Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

		Количество уволившихся	Зарплата
			30000 рублей
			35000 рублей
			40000 рублей
			45000 рублей
			50000 рублей
			55000 рублей
			60000 рублей

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

	номер месяца	название месяца	цена товара N
			1750 рублей за тонну
			1755 рублей за тонну
			1767 рублей за тонну
			1760 рублей за тонну
			1770 рублей за тонну
			1790 рублей за тонну
			1810 рублей за тонну
			1840 рублей за тонну

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений (СКО) y от среднего значения раскладывается на две части - объясненную и необъясненную:

или, соответственно:

Здесь возможны два крайних случая: когда общая СКО в точности равна остаточной и когда общая СКО равна факторной.

В первом случае фактор х не оказывает влияния на результат, вся дисперсия y обусловлена воздействием прочих факторов, линия регрессии параллельна оси Ох и уравнение должно иметь вид.

Во втором случае прочие факторы не влияют на результат, y связан с x функционально, и остаточная СКО равна нулю.

Однако на практике в правой части присутствуют оба слагаемых. Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации y приходится на объясненную вариацию. Если объясненная СКО будет больше остаточной СКО, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Число степеней свободы (df-degrees of freedom) - это число независимо варьируемых значений признака.

Для общей СКО требуется (n-1) независимых отклонений,

Факторная СКО имеет одну степень свободы, и

Таким образом, можем записать:

Из этого баланса определяем, что = n-2.

Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или дисперсию на одну степень свободы: - общая дисперсия, - факторная, - остаточная.

Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии

Хотя теоретические значения коэффициентов уравнения линейной зависимости предполагаются постоянными величинами, оценки а и b этих коэффициентов, получаемые в ходе построения уравнения по данным случайной выборки, являются случайными величинами. Если ошибки регрессии имеют нормальное распределение, то оценки коэффициентов также распределены нормально и могут характеризоваться своими средними значениями и дисперсией. Поэтому анализ коэффициентов начинается с расчёта этих характеристик.

Дисперсии коэффициентов рассчитываются по формулам:

Дисперсия коэффициента регрессии:

где - остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Дисперсия параметра:

Отсюда стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

Они служат для проверки нулевых гипотез о том, что истинное значение коэффициента регрессии b или свободного члена a равно нулю: .

Альтернативная гипотеза имеет вид: .

t - статистики имеют t - распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам распределения Стьюдента при определённом уровне значимости б и степенях свободы находят критическое значение.

Если, то нулевая гипотеза должна быть отклонена, коэффициенты считаются статистически значимыми.

Если, то нулевая гипотеза не может быть отклонена. (В случае, если коэффициент b статистически незначим, уравнение должно иметь вид, и это означает, что связь между признаками отсутствует. В случае, если коэффициент а статистически незначим, рекомендуется оценить новое уравнение в виде).

Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии:

Доверительный интервал для а: .

Доверительный интервал для b:

Это означает, что с заданной надёжностью (где - уровень значимости) истинные значения а, b находятся в указанных интервалах.

Коэффициент регрессии имеет четкую экономическую интерпретацию, поэтому доверительные границы интервала не должны содержать противоречивых результатов, например, Они не должны включать нуль.

Анализ статистической значимости уравнения в целом.

Распределение Фишера в регрессионном анализе

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F- критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза о том, что все коэффициенты регрессии, за исключением свободного члена а, равны нулю и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат y (или).

Величина F - критерия связана с коэффициентом детерминации. В случае множественной регрессии:

где m - число независимых переменных.

В случае парной регрессии формула F - статистики принимает вид:

При нахождении табличного значения F- критерия задается уровень значимости (обычно 0,05 или 0,01) и две степени свободы: - в случае множественной регрессии, - для парной регрессии.

Если, то отклоняется и делается вывод о существенности статистической связи между y и x.

Если, то вероятность уравнение регрессии считается статистически незначимым, не отклоняется.

Замечание. В парной линейной регрессии. Кроме того, поэтому. Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Распределение Фишера может быть использовано не только для проверки гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии, но и гипотезы о равенстве нулю части этих коэффициентов. Это важно при развитии линейной регрессионной модели, так как позволяет оценить обоснованность исключения отдельных переменных или их групп из числа объясняющих переменных, или же, наоборот, включения их в это число.

Пусть, например, вначале была оценена множественная линейная регрессия по п наблюдениям с т объясняющими переменными, и коэффициент детерминации равен, затем последние k переменных исключены из числа объясняющих, и по тем же данным оценено уравнение, для которого коэффициент детерминации равен (, т.к. каждая дополнительная переменная объясняет часть, пусть небольшую, вариации зависимой переменной).

Для того, чтобы проверить гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при исключённых переменных, рассчитывается величина

имеющая распределение Фишера с степенями свободы.

По таблицам распределения Фишера, при заданном уровне значимости, находят. И если, то нулевая гипотеза отвергается. В таком случае исключать все k переменных из уравнения некорректно.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и по поводу обоснованности включения в уравнение регрессии одной или нескольких k новых объясняющих переменных.

В этом случае рассчитывается F - статистика

имеющая распределение. И если она превышает критический уровень, то включение новых переменных объясняет существенную часть необъяснённой ранее дисперсии зависимой переменной (т.е. включение новых объясняющих переменных оправдано).

Замечания. 1. Включать новые переменные целесообразно по одной.

2. Для расчёта F - статистики при рассмотрении вопроса о включении объясняющих переменных в уравнение желательно рассматривать коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы.

F - статистика Фишера используется также для проверки гипотезы о совпадении уравнений регрессии для отдельных групп наблюдений.

Пусть имеются 2 выборки, содержащие, соответственно, наблюдений. Для каждой из этих выборок оценено уравнение регрессии вида. Пусть СКО от линии регрессии (т.е.) равны для них, соответственно, .

Проверяется нулевая гипотеза: о том, что все соответствующие коэффициенты этих уравнений равны друг другу, т.е. уравнение регрессии для этих выборок одно и то же.

Пусть оценено уравнение регрессии того же вида сразу для всех наблюдений, и СКО.

Тогда рассчитывается F - статистика по формуле:

Она имеет распределение Фишера с степенями свободы. F - статистика будет близкой к нулю, если уравнение для обеих выборок одинаково, т.к. в этом случае. Т.е. если, то нулевая гипотеза принимается.

Если же, то нулевая гипотеза отвергается, и единое уравнение регрессии построить нельзя.

Оценив параметры a и b , мы получили уравнение регрессии, по которому можно оценить значения y по заданным значениям x . Естественно полагать, что расчетные значения зависимой переменной не будут совпадать с действительными значениями, так как линия регрессии описывает взаимосвязь лишь в среднем, в общем. Отдельные значения рассеяны вокруг нее. Таким образом, надежность получаемых по уравнению регрессии расчетных значений во многом определяется рассеянием наблюдаемых значений вокруг линии регрессии. На практике, как правило, дисперсия ошибок неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с параметрами регрессии a и b . Вполне логично предположить, что оценка связана с суммой квадратов остатков регрессии. Величина является выборочной оценкой дисперсии возмущений , содержащихся в теоретической модели . Можно показать, что для модели парной регрессии

где - отклонение фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения.

Если , то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции ) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак у полностью обусловлен влиянием фактора х.

Обычно на практике имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от теоретических . Этот разброс обусловлен как влиянием фактора х , т.е. регрессией y по х , (такую дисперсию называют объясненной, так как она объясняется уравнением регрессии),так и действием прочих причин (необъясненная вариация, случайная). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества уравнения.

Согласно основному положению дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной y от среднего значения может быть разложена на две составляющие: объясненную уравнением регрессии и необъясненную:

,

где - значения y , вычисленные по уравнению .

Найдем отношение суммы квадратов отклонений, объясненной уравнением регрессии, к общей сумме квадратов:

, откуда

. (7.6)

Отношение части дисперсии, объясненной уравнением регрессии к общей дисперсии результативного признака называется коэффициентом детерминации . Значение не может превзойти единицы и это максимальное значение будет только достигнуто при , т.е. когда каждое отклонение равно нулю и поэтому все точки диаграммы рассеяния в точности лежат на прямой.

Коэффициент детерминации характеризует долю объясненной регрессией дисперсии в общей величине дисперсии зависимой переменной. Соответственно величина характеризует долю вариации (дисперсии) у, необъясненную уравнением регрессии, а значит, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов. Чем ближе к единице, тем выше качество модели.

При парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату парного линейного коэффициента корреляции: .

Корень из этого коэффициента детерминации есть коэффициент (индекс) множественной корреляции, или теоретическое корреляционное отношение.

Для того чтобы узнать, действительно ли полученное при оценке регрессии значение коэффициента детерминации отражает истинную зависимость между y и x выполняют проверку значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров. Проверка значимости уравнения регрессии позволяет узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования, например, для прогноза или нет.

При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная гипотеза о значимости уравнения - гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии или о неравенстве нулю коэффициента детерминации: .

Для проверки значимости модели регрессии используют F- критерий Фишера, вычисляемый как отношение суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы):

, (7.7)

где k – число независимых переменных.

После деления числителя и знаменателя соотношения (7.7) на общую сумму квадратов отклонений зависимой переменной, F- критерий может быть эквивалентно выражен на основе коэффициента :

.

Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная уравнением регрессии и необъясненная (остаточная) дисперсии не отличаются друг от друга.

Расчетное значение F- критерий сравнивается с критическим значением, которое зависит от числа независимых переменных k , и от числа степеней свободы (n-k-1) . Табличное (критическое) значение F- критерия – это максимальная величина отношений дисперсий, которое может иметь место при случайном расхождении их для заданного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Если расчетное значение F- критерий больше табличного при заданном уровне значимости, то нулевая гипотеза об отсутствии связи отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, т.е. модель считается значимой.

Для модели парной регрессии

.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его коэффициентов. Для этого определяется стандартная ошибка каждого из параметров. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии параметров определяются по формулам:

, (7.8)

(7.9)

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии или среднеквадратические отклонения, рассчитанные по формулам (7.8,7.9), как правило, приводятся в результатах расчета модели регрессии в статистических пакетах.

Опираясь на среднеквадратические ошибки коэффициентов регрессии, проверяют значимость этих коэффициентов используя обычную схему проверки статистических гипотез.

В качестве основной гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля «истинного» коэффициента регрессии. Альтернативной гипотезой при этом является гипотеза обратная, т. е. о неравенстве нулю «истинного» параметра регрессии. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью t- статистики, имеющей t -распределение Стьюдента:

Затем расчетные значения t- статистики сравниваются с критическими значениями t- статистики, определяемыми по таблицам распределения Стьюдента. Критическое значение определяется в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы, которое равно (n-k-1), п - число наблюдений, k - число независимых переменных. В случае линейной парной регрессии число степеней свободы равно (п- 2). Критическое значение также может быть вычислено на компьютере с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР пакета Ехсеl.

Если расчетное значение t- статистики больше критического, то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) «истинный» коэффициент регрессии значимо отличается от нуля, что является статистическим подтверждением существования линейной зависимости соответствующих переменных.

Если расчетное значение t- статистики меньше критического, то нет оснований отвергать основную гипотезу, т. е. «истинный» коэффициент регрессии незначимо отличается от нуля при уровне значимости α . В этом случае фактор, соответствующий этому коэффициенту должен быть исключен из модели.

Значимость коэффициента регрессии можно установить методом построения доверительного интервала. Доверительный интервал для параметров регрессии a и b определяют следующим образом:

,

,

где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы (п- 2) для парной регрессии.

Поскольку коэффициенты регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, доверительные интервалы не должны содержать нуль. Истинное значение коэффициента регрессии не может одновременно содержать положительные и отрицательные величины, в том числе и нуль, иначе мы получаем противоречивые результаты при экономической интерпретации коэффициентов, чего не может быть. Таким образом, коэффициент значим, если полученный доверительный интервал не накрывает нуль.

Пример 7.4. По данным примера 7.1:

а) Построить парную линейную модель регрессии зависимости прибыли от реализации от отпускной цены с использованием программных средств обработки данных.

б) Оценить значимость уравнения регрессии в целом, используя F- критерий Фишера при α=0,05.

в) Оценить значимость коэффициентов модели регрессии, используя t -критерий Стьюдента при α=0,05 и α=0,1.

Для проведения регрессионного анализа используем стандартную офисную программу EXCEL. Построение регрессионной модели проведем с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ настройки ПАКЕТ АНАЛИЗА (рис.7.5), запуск которого осуществляется следующим образом:

СервисАнализ данныхРЕГРЕССИЯОК.

Рис.7.5. Использование инструмента РЕГРЕССИЯ

В диалоговом окне РЕГРЕССИЯ в поле Входной интервал Y необходимо ввести адрес диапазона ячеек, содержащих зависимую переменную. В поле Входной интервал Х нужно ввести адреса одного или нескольких диапазонов, содержащих значения независимых переменных Флажок Метки в первой строке – устанавливается в активное состояние, если выделены и заголовки столбцов. На рис. 7.6. показана экранная форма вычисления модели регрессии с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ.

Рис. 7.6. Построение модели парной регрессии с помощью

инструмента РЕГРЕССИЯ

В результате работы инструмента РЕГРЕСИЯ формируется следующий протокол регрессионного анализа (рис.7.7).

Рис. 7.7. Протокол регрессионного анализа

Уравнение зависимости прибыли от реализации от отпускной цены имеет вид:

Оценку значимости уравнения регрессии проведем используя F- критерий Фишера. Значение F- критерий Фишера возьмем из таблицы «Дисперсионный анализ» протокола EXCEL (рис. 7.7.). Расчетное значение F- критерия 53,372. Табличное значение F- критерия при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы составляет 4,964. Так как , то уравнение считается значимым.

Расчетные значения t -критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии приведены в результативной таблице (рис. 7.7). Табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и 10 степенях свободы составляет 2,228. Для коэффициента регрессии a , следовательно коэффициент a не значим. Для коэффициента регрессии b , следовательно, коэффициент b значим.

ТЕМА 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ

Уравнение регрессии - этоаналитическое представление корреляционной зависимости. Уравнение регрессии описывает гипотетическую функциональную зависимость между условным средним значением результативного признака и значением признака – фактора (факторов), т.е. основную тенденцию зависимости.

Парная корреляционная зависимость описывается уравнением парной регрессии, множественная корреляционная зависимость – уравнением множественной регрессии.

Признак-результат в уравнении регрессии – это зависимая переменная (отклик, объясняемая переменная), а признак-фактор – независимая переменная (аргумент, объясняющая переменная).

Простейшим видом уравнения регрессии является уравнение парной линейной зависимости:

где y – зависимая переменная (признак-результат); x – независимая переменная (признак-фактор); и – параметры уравнения регрессии; - ошибка оценивания.

В качестве уравнения регрессии могут быть использованы различные математические функции. Частое практическое применение находят уравнения линейной зависимости, параболы, гиперболы, степной функции и др.

Как правило, анализ начинается с оценки линейной зависимости, поскольку результаты легко поддаются содержательной интерпретации. Выбор типа уравнения связи – достаточно ответственный этап анализа. В «докомпьютерную» эпоху эта процедура была сопряжена с определенными сложностями и требовала от аналитика знания свойств математических функций. В настоящее время на базе специализированных программ можно оперативно построить множество уравнений связи и на основе формальных критериев осуществить выбор лучшей модели (однако математическая грамотность аналитика не утратила своей актуальности).

Гипотезу о типе корреляционной зависимости можно выдвинуть по результатам построения поля корреляции (см. лекцию 6). Исходя из характера расположения точек на графике (координаты точек соответствуют значениям зависимой и независимой переменных), выявляется тенденция связи между признаками (показателями). Если линия регрессии проходит через все точки поля корреляции, то эта свидетельствует о функциональной связи. В практике социально-экономических исследований такую картину наблюдать не приходится, поскольку присутствует статистическая (корреляционная) зависимость. В условиях корреляционной зависимости при нанесении линии регрессии на диаграмму рассеивания наблюдается отклонение точек поля корреляции от линии регрессии, что демонстрирует, так называемые, остатки или ошибки оценивания (см. рисунок 7.1).

Наличие ошибки уравнения связано с тем, что:

§ не все факторы, влияющие на результат, учитываются в уравнении регрессии;

§ может быть неверно выбранаформа связи - уравнение регрессии;

§ не все факторы включены в уравнение.

Построить уравнение регрессии – означает рассчитать значения его параметров. Уравнение регрессии строится на основе фактических значений анализируемых признаков. Расчет параметров, как правило, выполняется с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Суть МНК состоит в том, что удается получить такие значения параметров уравнения, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений теоретических значений признака-результата (рассчитанных на основе уравнения регрессии), от фактических его значений:

,

где - фактическое значение признака-результата у i-й единицы совокупности; - значение признака-результата у i-й единицы совокупности, полученное по уравнению регрессии ().

Т.о., решается задача на экстремум, то есть необходимо найти, при каких значениях параметров, функция S достигает минимума.

Проводя дифференцирование, приравнивая частные производные нулю:

, (7.3)

, (7.4)

где - среднее произведение значений фактора и результата; - среднее значение признака - фактора; - среднее значение признака -результата; - дисперсия признака-фактора.

Параметр в уравнении регрессии характеризует угол наклона линии регрессии на графике. Этот параметр называют коэффициентом регрессии и его величина характеризует, на сколько единиц своего измерения изменится признак-результат при изменении признака-фактора на единицу своего измерения. Знак при коэффициенте регрессии отражает направленность зависимости (прямая или обратная) и совпадает со знаком коэффициента корреляции (в условиях парной зависимости).

В рамках рассматриваемого примера, в программе STATISTICA рассчитаны параметры уравнения регрессии, описывающего зависимость между уровнем среднедушевых денежных доходов населения и величиной валового регионального продукта на душу населения в регионах России, см. таблицу 7.1.

Таблица 7.1 - Расчет и оценка параметров уравнения, описывающего зависимостьмежду уровнем среднедушевых денежных доходов населения и величиной валового регионального продукта на душу населения в регионах России, 2013 г.

В графе "В" таблицы содержатся значения параметров уравнения парной регрессии, следовательно, можно записать: = 13406,89 + 22,82 x.Данное уравнение описывает тенденцию связи между анализируемыми характеристиками. Параметр - это коэффициент регрессии. В данном случае он равен 22,82 и характеризует следующее: при увеличении ВРП на душу населения на 1 тыс.рублей среднедушевые денежные доходы в среднем возрастают (на что указывает знак "+") на 22,28 руб.

Параметр уравнения регрессии в социально-экономических исследованиях, как правило, содержательно не интерпретируется. Формально он отражает величину признака - результата при условии, что признак - фактор равен нулю. Параметр характеризует расположение линии регрессии на графике, см. рисунок 7.1.

Рисунок 7.1 - Поле корреляции и линия регрессии, отражающие зависимость уровня среднедушевых денежных доходов населения в регионах России и величины ВРП на душу населения

Значение параметра соответствует точке пересечения линии регрессии с осью Y, при X=0.

Построение уравнения регрессии сопровождается оценкой статистической значимости уравнения в целом и его параметров. Необходимость таких процедур связана с ограниченным объемом данных, что может препятствовать действию закона больших чисел и, следовательно, выявлению истинной тенденции во взаимосвязи анализируемых показателей. Кроме того, любую исследуемую совокупность можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности, а характеристики, полученные в ходе анализа, как оценку генеральных параметров.

Оценка статистической значимости параметров и уравнения в целом – это обоснование возможности использования построенной модели связи для принятия управленческих решений и прогнозирования (моделирования).

Статистическая значимость уравнения регрессии в целом оценивается с использованием F-критерия Фишера , который представляет собой отношение факторной и остаточных дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где - факторная дисперсия признака - результата; k – число степеней свободы факторной дисперсии (число факторов в уравнении регрессии); - среднее значение зависимой переменной; - теоретическое (полученной по уравнению регрессии) значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности; - остаточная дисперсии признака - результата; n – объем совокупности; n-k-1 – число степеней свободы остаточной дисперсии.

Величина F-критерия Фишера, согласно формуле, характеризует соотношение между факторной и остаточной дисперсиями зависимой переменной, демонстрируя, по существу, во сколько раз величина объясненной части вариации превышает необъясненную.

F-критерий Фишера табулирован, входом в таблицу является число степеней свободы факторной и остаточной дисперсий. Сравнение расчетного значения критерия с табличным (критическим) позволяет ответить на вопрос: статистически значима ли та часть вариации признака-результата, которую удается объяснить факторами, включенными в уравнение данного вида. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым и, соответственно, статистически значим и коэффициент детерминации. В противном случае (), уравнение – статистически незначимо, т.е. вариация учтенных в уравнении факторов не объясняет статистически значимой части вариации признака-результата, либо не верно выбрано уравнение связи.

Оценка статистической значимости параметров уравнения осуществляется на основе t-статистики , которая рассчитывается как отношение модуля параметров уравнения регрессии к их стандартным ошибкам ():

, где ; (7.6)

, где ; (7.7)

где - стандартные отклонения признака - фактора и признака - результата; - коэффициент детерминации.

В специализированных статистических программах расчет параметров всегда сопровождается расчетом значений их стандартных (среднеквадратических) ошибок и t-статистики (см. таблицу 7.1). Расчетное значение t-статистики сравнивается с табличным, если объем изучаемой совокупности менее 30 единиц (безусловно малая выборка), следует обратиться к таблице t- распределения Стьюдента, если объем совокупности большой, следует воспользоваться таблицей нормального распределения (интеграла вероятностей Лапласа). Параметр уравнения признается статистически значимым, если.

Оценка параметров на основе t-статистики, по существу, является проверкой нулевой гипотезы о равенстве генеральных параметров нулю (H 0: =0; H 0: =0;), то есть о статистически не значимой величине параметров уравнения регрессии. Уровень значимости гипотезы, как правило, принимается: = 0,05. Если расчетный уровень значимости меньше 0,05 , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная - о статистической значимости параметра.

Продолжим рассмотрение примера. В таблице 7.1 в графе «B» приведены значения параметров, в графе Std.Err.ofB - величины стандартных ошибок параметров (), в графе t(77 – число степеней свободы) рассчитаны значения t - статистики с учетом числа степеней свободы. Для оценки статистической значимости параметров расчетные значения t - статистик необходимо сравнить с табличным значением. Заданному уровню значимости (0,05) в таблице нормального распределения соответствует t = 1,96. Поскольку 18,02, 10,84, т.е. , следует признать статистическую значимость полученных значений параметров, т.е. эти значения сформированы под влиянием не случайных факторов и отражают тенденцию связи между анализируемыми показателями.

Для оценки статистической значимости уравнения в целом обратимся к значению F-критерия Фишера (см. таблицу 7.1). Расчетное значение F-критерия = 117,51, табличное значение критерия, исходя из соответствующего числа степеней свободы (для факторной дисперсии d.f. =1, для остаточной дисперсииd.f. =77), равно 4,00 (см. приложение.....). Таким образом, , следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо. В такой ситуации можно говорить и о статистической значимости величины коэффициента детерминации, т.е. вариация среднедушевых доходов населения в регионах России на 60 процентов может быть объяснена вариацией объемов валового регионального продукта на душу населения.

Проводя оценку статистической значимости уравнения регрессии и его параметров, можем получить различное сочетание результатов.

· Уравнение по F-критерию статистически значимо и все параметры уравнения по t-статистике тоже статистически значимы. Данное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений (на какие факторы следует воздействовать, чтобы получить желаемый результат), так и для прогнозирования поведения признака-результата при тех или иных значениях факторов.

· По F-критерию уравнение статистически значимо, но незначимы параметры (параметр) уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений (касающихся тех факторов, по которым получено подтверждение статистической значимости их влияния), но уравнение не может быть использовано для прогнозирования.

· Уравнение по F-критерию статистически незначимо. Уравнение не может быть использовано. Следует продолжить поиск значимых признаков-факторов или аналитической формы связи аргумента и отклика.

Если подтверждена статистическая значимость уравнения и его параметров, то может быть реализован, так называемый, точечный прогноз, т.е. получена оценка значения признака-результата (y) при тех или иных значениях фактора (x).

Совершенно очевидно, что прогнозное значение зависимой переменной, рассчитанное на основе уравнения связи, не будет совпадать с фактическим ее значением ().Графически эта ситуация подтверждается тем, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии,лишь при функциональной связи линия регрессии пройдет через все точки диаграммы рассеивания. Наличие расхождений между фактическими и теоретическими значениями зависимой переменной связано, прежде всего, с самой сутью корреляционной зависимости:одновременно на результат воздействует множество факторов, из которых только часть может быть учтена в конкретном уравнении связи. Кроме того, может быть неверно выбрана форма связи результата и фактора (тип уравнения регрессии). В связи с этим возникает вопрос, насколько информативно построенное уравнение связи. На этот вопрос отвечают два показателя: коэффициент детерминации (о нем уже говорилось выше) и стандартная ошибка оценивания.

Разность между фактическими и теоретическими значениями зависимой переменной называют отклонениями или ошибками, или остатками . На основе этих величин рассчитывается остаточная дисперсия. Квадратный корень из остаточной дисперсии и является среднеквадратической (стандартной) ошибкой оценивания:

= (7.8)

Стандартная ошибка уравнения измеряется в тех же единицах, что и прогнозируемый показатель. Если ошибки уравнения подчиняются нормальному распределению (при больших объемах данных), то 95 процентов значений должны находиться от линии регрессии на расстоянии, не превышающем 2S (исходя из свойства нормального распределения - правила трех сигм). Величина стандартной ошибки оценивания используется при расчете доверительных интервалов при прогнозировании значения признака - результата для конкретной единицы совокупности.

В практических исследованиях часто возникает необходимость в прогнозе среднего значения признака - результата при том или ином значении признака - фактора. В этом случае в расчете доверительного интервала для среднего значения зависимой переменной()

учитывается величина средней ошибки:

(7.9)

Использование разных величин ошибок объясняется тем, что изменчивость уровней показателей у конкретных единиц совокупности гораздо выше, чем изменчивость среднего значения, следовательно, ошибка прогноза среднего значения меньше.

Доверительный интервал прогноза среднего значения зависимой переменной:

, (7.10)

где - предельная ошибка оценки (см. теорию выборки); t – коэффициент доверия, значение которого находится в соответствующей таблице, исходя из принятого исследователем уровня вероятности (числа степеней свободы) (см. теорию выборки).

Доверительный интервал для прогнозируемого значения признака-результата может быть рассчитан и с учетом поправки на смещение (сдвиг) линии регрессии. Величина поправочного коэффициента определяется:

(7.11)

где - значение признака-фактора, исходя из которого, прогнозируется значение признака-результата.

Отсюда следует, что чем больше значение отличается от среднего значения признака-фактора, тем больше величина корректирующего коэффициента, тем больше ошибка прогноза. С учетом данного коэффициента доверительный интервал прогноза будет рассчитываться:

На точность прогноза на основе уравнения регрессии могут влиять разные причины. Прежде всего, следует учитывать, что оценка качества уравнения и его параметров проводится, исходя из предположения о нормальном распределении случайных остатков. Нарушение этого допущения может быть связано с наличием резко отличающихся значений в данных, с неравномерной вариацией, с наличием нелинейной зависимости. В этом случае качество прогноза снижается. Второй момент, о котором следует помнить, - значения факторов, учитываемые при прогнозировании результата, не должны выходить за пределы размаха вариации данных, на основе которых построено уравнение.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08

В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.

Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.

Фактическая цена

Теоретическая цена
Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.

Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.

Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.

Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:

Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.

Общая , п - число единиц в изучаемой совокупности

Фактическая , п - число факторов, включенных в анализ

Остаточная

F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.

Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.

Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.

F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.

После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.

Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.

Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и

Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .

В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:

Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.

Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.

В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.

Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R 2 должен быть > 0,5.

При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R 2). Величина R 2 (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R 2 и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.

Скорректированный коэф-т детерминации

п –объем совокупности/число наблюдений

k – число факторов включенных в анализ

п-1 – число степеней свободы

(1-R 2) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака

Всегда меньше R 2 . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.

34. Задачи изучения динамических рядов.

Ряды динамики называют временными рядами или динамическими рядами. Динамический ряд – это упорядоченная во времени последовательность показателей, характеризующих то или иное явление (объем ВВП с 90 по 98 гг). Целью изучения рядов динамики является выявление закономерности развития изучаемого явления (основной тенденции) и прогнозирование на этой основе. Из определения РД следует, что любой ряд состоит из двух элементов: время t и уровень ряда (те конкретные значения показателя, на основе которого построен ДРяд). ДРяды могут быть 1)моментными – ряды, показатели которых фиксируются на момент времени, на определенную дату, 2)интервальными – ряды, показатели которого получают за какой-то период времени (1.численность населения СПб, 2.объем ВВП за период). Разделение рядов на моментные и интервальные необходимо, поскольку это определяет специфику расчета некоторых показателей ДРядов. Суммирование уровней интервальных рядов дает содержательно интерпретируемый результат, что нельзя сказать о суммировании уровней моментных рядов, поскольку последние содержат повторный счет. Важнейшей проблемой в анализе рядов динамики является проблема сопоставимости уровней ряда. Это понятие очень разноплановое. Уровни должны быть сопоставимы по методам расчета и по территории и охвату единиц совокупности. Если ДРяд строится в стоимостных показателях, то все уровни должны быть представлены или рассчитаны в сопоставимых ценах. При построении интервальных рядов уровни должны характеризовать одинаковые отрезки времени. При построении моментных РядовД уровни должны фиксироваться на одну и ту же дату. ДРяды могут быть полными и неполными. Неполные ряды используются в официальных изданиях (1980,1985,1990,1995,1996,1997,1998,1999…). Комплексный анализ РД включает изучение следующих моментов:

1. расчет показателей изменения уровней РД

2. расчет средних показателей РД

3. выявление основной тенденции ряда, построение трендовых моделей

4. оценка автокорреляции в РД, построение авторегрессионных моделей

5. корреляция РД (изучение связей м/у ДРядами)

6. прогнозирование РД.

35. Показателей изменения уровней временных рядов .

В общем виде РядД может быть представлен:

у – уровень ДР, t – момент или период времени к которому относится уровень (показатель), n – длина ДРяда (число периодов). при изучении ряда динамики рассчитывают следующие показатели: 1. абсолютный прирост, 2. коэффициент роста (темп роста), 3. ускорение, 4. коэффициент прироста (темп прироста), 5. абсолютное значение 1 % прироста. Рассчитываемые показатели могут быть: 1. цепные – получают путем сопоставления каждого уровня ряда с непосредственно предшествующим, 2. базисные – получают путем сопоставления с уровнем, выбранным за базу сравнения (если специально не оговаривается, за базу берется 1ый уровень ряда). 1. Цепные абсолютные приросты: . Показывает на сколько больше или меньше . Цепные абсолютные приросты называют показателями скорости изменения уровней динамического ряда. Базисный абсолютный прирост : . Если уровни ряда представляют собой относительные показатели, выраженные в %-ах, то абсолютный прирост выражается в пунктах изменения. 2. коэффициент роста (темпы роста): Рассчитывается как отношение уровней ряда к непосредственно предшествующим (цепные коэффициенты роста), либо к уровню, принятому за базу сравнения (базисные коэффициенты роста): . Характеризует во сколько раз каждый уровень ряда > или < предшествующего или базисного. На основе коэффициентов роста рассчитываются темпы роста. Это коэффициенты роста, выраженные в %ах: 3. на основе абсолютных приростов рассчитывают показатель – ускорение абсолютных приростов : . Ускорение – абсолютный прирост абсолютных приростов. Оценивает как изменяются сами приросты, они стабильны или принимают ускорение (возрастают). 4. темп прироста – это отношение прироста к базе сравнения. Выражается в %-ах: ; . Темп прироста – это темп роста минус 100%. Показывает на сколько % данный уровень ряда > или < предшествующего либо базисного. 5. абсолютное значение 1% прироста. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, т.е.: - сотая доля предыдущего уровня. Все эти показатели рассчитываются для оценки степени изменения уровней ряда. Цепные коэффициенты и темпы роста называются показателями интенсивности изменения уровней ДРядов.

2. Расчет средних показателей РД Рассчитывают средние уровни рядов, средние абсолютные приросты, средние темпы роста и средние темпы прироста. Средние показатели рассчитываются с целью обобщения информации и возможности сравнивать уровни и показатели их изменения по различным рядам. 1. средний уровень ряда а) для интервальных временных рядов рассчитывается по средней арифметической простой: , где n – число уровней во временном ряду; б) для моментных рядов средний уровень рассчитывается по специфической формуле, которая называется средней хронологической: . 2. средний абсолютный прирост рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов по средней арифметической простой:

. 3. Средний коэффициент роста рассчитывается на основе цепных коэффициентов роста по формуле средней геометрической: . При комментарии средних показателей ДРядов необходимо указывать 2 момента: период, который характеризует анализируемый показатель и временной интервал, за который построен ДРяд. 4. Средний темп роста : . 5. средний темп прироста : .