Разделы: Математика
Класс: 8
Тип занятия: комбинированный.
Дидактическая цель: создание условий для осознания и осмысления понятия «среднее пропорциональное», совершенствования умений находить пропорциональные отрезки с опорой на подобие треугольников, проверки уровня усвоения знаний и умений по теме.
Задачи:
- установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника, высотой, проведенной к гипотенузе и отрезками гипотенузы;
- ввести понятие среднего пропорционального;
- формировать умения применять полученные знания к решению практических задач;
Учебно-методические материалы: учебник «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян, презентация «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Приложение 1 .
Ожидаемые результаты:
Личностные
- Умение определять границу знания и незнания.
- Умение математически грамотно излагать мысли.
- Умение распознавать некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение планировать свою деятельность по решению учебной задачи.
- Умение строить цепочку логических рассуждений.
- Умение давать словесную формулировку факту, записанному в виде формулы.
Предметные
- Умение находить подобные треугольники и доказывать их подобие.
- Умение выражать катеты прямоугольного треугольника и высоту, проведенную из вершины прямого угла, через отрезки гипотенузы.
- Умение читать математическую запись, используя понятие «среднее пропорциональное».
План конспект урока.
1. Организационный момент . Организация внимания; волевая саморегуляция. (Каждому учащемуся раздаются рабочие листы к уроку на два варианта). Приложение 2 , Приложение 3 .
2. Повторение: Повторим основные сведения темы «Подобные треугольники» Слайд 1
- Дайте определение подобных треугольников
- Как читается первый признак подобия треугольников
- Как читается второй признак подобия треугольников
- Как читается третий признак подобия треугольников
- Что такое коэффициент подобия?
- Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.
Тест на установление истинности или ложности высказываний (отвечать “да” или “нет”). Слайд 2
- Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.
- Два равносторонних треугольника всегда подобны.
- Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
- Периметры подобных треугольников равны.
- Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.
- Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
- Два равнобедренных треугольника подобны.
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Ключ к тесту: 1. да; 2. да; 3. да; 4. нет; 5. нет; 6. нет; 7. да; 8. нет; 9. да; 10. нет.
Форма проверки теста – взаимопроверка. Ответы и проверка проводятся в рабочих листах к уроку.
3. Теоретическое задание по группам. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает задание. Приложение 4 .
Группа № 1
- Доказать подобие «левого» и «правого» прямоугольных треугольников.
- Записать пропорциональность катетов.
- Выразить из пропорции высоту.
Группа № 2
По заранее заготовленному чертежу прямоугольного треугольника (рисунок 1)
- Доказать подобие «левого» и «большого» прямоугольных треугольников.
- Выразить из пропорции ВС.
Группа № 3
По заранее заготовленному чертежу прямоугольного треугольника (рисунок 1)
- Доказать подобие «правого» и «большого» прямоугольных треугольников.
- Записать пропорциональность сходственных сторон.
- Выразить из пропорции АС.
На доске по заранее сделанным чертежам и в тетрадях записать доказательство данных утверждений. К доске вызываются по одному человеку из группы.
4. Формулировка темы урока. Во всех трех заданиях мы с вами составили некоторые отношения. Как можно назвать элементы, входящие в эти отношения. Ответ: пропорциональные отрезки. Уточним пропорциональные отрезки в …? Ответ: в прямоугольном треугольнике. Итак, ребята тема нашего урока? Ответ: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Слайд 3
5. Формулировка доказанных утверждений
Прежде чем работать дальше введем некоторые
новые понятия и обозначения.
Что называется средним арифметическим двух
чисел?
Ответ: Среднее арифметическое чисел m и n
называется число а, равное полусумме чисел m и n
Запишите формулу для среднего арифметического
чисел m и n.
Сформулируем определение среднего
геометрического двух чисел: число a
называется средним геометрическим (или средним
пропорциональным) для чисел m и n, если
выполняется равенство Слайд 4
Решим несколько упражнений на закрепление
данных определений. Слайд 5
1. Найдите среднее арифметическое и среднее
геометрическое чисел 3 и 12.
2. Найти длину среднего пропорционального
(среднего геометрического) отрезков MN и KP,
если MN = 9 см, KP = 27 см
Введем понятия проекции катета на гипотенузу.
Слайд 6.
Теперь используя новые понятия, попытаемся
сформулировать доказанные при работе в группах
выводы.
По этому слайду попробуйте сформулировать
утверждение, которое доказали вторая и третья
группа. Слайд 7
Запишите данное утверждение, используя новые
обозначения (проекции катета на гипотенузу) и
затем сформулируйте его, применяя определение
проекции катета на гипотенузу. Слайд 8
По этому слайду попробуйте сформулировать
утверждение, которое доказали учащиеся
третьей группы. Слайд 9
Запишите данное утверждение, используя новые
обозначения (проекции катета на гипотенузу) и
затем сформулируйте его, применяя определение
проекции катета на гипотенузу. Слайд 10
6. Блиц-опрос на закрепление изученных формул. Слайд 11-12
- В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СD. AD = 16, DB = 9. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 11
- В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота CD. AD = 18, DB = 2. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 12
- В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СН. СА = 6, АН = 2. Найти НВ. Слайд 13
Тест по проверке первичного усвоения материала
В презентации открываем слайд с выведенными формулами (Слайд 14). В рабочих листах напечатан тест: выполните его, записав верные ответы в табличку. Затем взаимопроверка (Слайд 15) по готовым ответам в презентации.
Домашнее задание
Каждому ученику раздается памятка с формулами и текстом задач на дом с подсказками (план поэтапного выполнения каждого задания) Приложение 5 .
9. Рефлексия
Подвести итоги урока. Собрать рабочие листы и выставить оценку за урок каждому ученику.
Литература.
- http://gorkunova.ucoz.ru/ Раздаточный материал к практикуму по теме "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»
- Презентация «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» Савченко Е.М. г. Полярные Зори, Мурманской области.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Геометрия 8 класс
Домашнее задание
1. Задача 3, 5 A B C N M 3 4 Дано: MN || AC . Найти: Р∆АВС
А В С D М N P Q MNPQ – параллелограмм? 2. Задача
Подобие прямоугольных треугольников А В С А 1 В 1 С 1 Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны
Среднее пропорциональное А В С D Х У Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и СД, если
Реши задачи: 1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 16 см и 4 см? 2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 15 см и 6 см? 3. Является ли отрезок длиной см средним пропорциональным между отрезками с длинами 5 см и 4 см? да нет да
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 9 4 ? Задача 1 .
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 9 7 ? Задача 2 .
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 21 4 ? Задача 3 .
А В С Н 20 30 ? Задача 4 .
Домашнее задание
Реши задачу 5 2 ? ? ? Реши задачу 9 4 ? ? ? Решить треугольник
А В С Н 20 15 ? Задача. В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону 25
А В С Н 20 15 ? Задача 5 . В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону 25
Признак подобия прямоугольных треугольников
Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.
Теорема 1
Признак подобия прямоугольных треугольников : два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).
Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники
Доказательство.
Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.
Теорема доказана.
Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
Теорема 2
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2
Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.
Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.
Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$
\[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]
Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.
Теорема доказана.
Среднее пропорциональное
Теорема 3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.
Доказательство.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно
Теорема доказана.
Теорема 4
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.
Доказательство.
В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно
Теорема доказана.
