На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.
Теория
Конспект урока
Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.
На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.
Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:
Область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;
Периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.
Рассмотрим функцию:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
;
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .
Теперь рассмотрим функцию:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения ;
2) Область значений ;
3) Функция четная 
Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .
Перейдем к функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;
2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;
5) Функция периодична с периодом
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.
И завершаем рассмотрением функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;
2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
5) Функция периодична с периодом
Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .
Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.
Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.
Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:
Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.
Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.
Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:
Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.
Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.
Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.
Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:
К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.
Например, решением уравнения является 
. Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.
Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:
1) Простейшие , например, ;
2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;
3) Уравнения со сложным аргументом
, например, 
;
4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;
5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;
6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;
7) Однородные уравнения , например, ;
8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций
, например, 
. Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;
А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.
Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.
Наиболее часто встречаются системы следующих типов:
1) В которых одно из уравнений степенное
, например, 
;
2) Системы из простейших тригонометрических уравнений
, например, 
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.
В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.
Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .
Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:
имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.
Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .
Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.
 |
Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?
Тригонометрические функции числового аргумента. Свойства и графики тригонометрических функций.
Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.
Данная кривая имеет название – синусоида.
Свойства функции y=sin x
2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]
3. Четность функции:
y=sin x – нечетная,.
4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.
Для функции y=sin x период составляет 2π.
Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.
Наименьший положительный период Т=2π.
Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.
Свойства функции y=cos x
1. Область определения функции: D(y)=R
2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]
3. Четность функции:
y=cos x –четная.
4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.
Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.
Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.
Свойства функции y=tg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.
2. Область значения функции: E(y)=R.
3. Четность функции:
y=tg x – нечетная.
4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.
Функция y=tg x – периодическая с периодом π.
Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.
Свойства функции y=ctg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.
Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике . Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (). Данные функции часто появляются при решении и функциональных уравнений.
К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция .
Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left({x,y} \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left({x,y} \right)\).
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)
Секанс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)
Косеканс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)
В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) и радиус \(r\) образуют
прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой.
Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику
формулируются таким образом:
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)
График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)
Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Напомним те основные сведения из тригонометрии, которые необходимы для дальнейшего.
Тригонометрические функции рассматриваются первоначально как функции угла, так как численное значение каждой из них (если только оно имеет смысл) определяется заданием угла. Взаимно-однозначное соответствие между дугами окружности и центральными углами позволяет рассматривать тригонометрические функции как функции дуги. Так, например, аргумент функции sin φ мы имеем возможность по желанию толковать как угол или как дугу. Таким образом, первоначально аргумент тригонометрической функции выступает как геометрический объект - угол или дуга. Однако как в самой математике, так и в ее приложениях возникает потребность рассматривать тригонометрические функции как функции от числового аргумента. Даже в школьной математике не всегда аргумент тригонометрической функции рассматривается как угол. Так, например, гармоническое колебательное движение задается при помощи уравнения: s = A sin at. Здесь аргумент t есть время, а не угол (коэффициент а - число, характеризующее частоту колебания).
Процесс измерения углов (или дуг) ставит в соответствие всякому углу (дуге) в качестве его меры некоторое число. В результате измерения угла (дуги) может получиться любое действительное число, так как мы можем рассматривать направленные углы (дуги) любой величины. Выбрав определенную единицу измерения углов (дуг), можно всякому углу (дуге) поставить в соответствие измеряющее его число, и, обратно, всякому числу поставить в соответствие угол (дугу), измеряющийся данным числом. Это позволяет толковать аргумент тригонометрической функции как число. Рассмотрим какую-нибудь тригонометрическую функцию, например, синус. Пусть х - любое действительное число, этому числу соответствует вполне определенный угол (дуга), измеряющийся числом х, а полученному углу (дуге) соответствует вполне определенное значение синуса, sin x. В конечном итоге получается соответствие между числами: каждому действительному числу х соответствует вполне определенное действительное число y = sin x. Следовательно, sin x можно толковать как функцию числового аргумента . При рассмотрении тригонометрических функций как функций числового аргумента условились в качестве единицы измерения дуг и углов принимать радиан. В силу этого соглашения символы sin x, cos x, tgx и ctg x следует толковать как синус, косинус, тангенс и котангенс угла (дуги), радианная мера которого выражается числом х. Так, например, sin 2 есть синус дуги, измеряющейся двумя радианами * .
* (Заметим, что в некоторых руководствах радианная мера крайне неудачно называется отвлеченной, в отличие от градусной. Между обоими способами измерения нет принципиальной разницы , только лишь выбраны разные единицы измерения. К сожалению, и до сих пор этот вопрос иногда порождает псевдонаучное, вредное "методическое" пустословие. )
Выбор единицы измерения дуг и углов не имеет принципиального значения. Выбор радиана не диктуется необходимостью. Радиан оказывается лишь наиболее удобной единицей, так как в радианном измерении формулы математического анализа, относящиеся к тригонометрическим функциям, принимают наиболее простой вид * .
* (Это упрощение и объясняется тем, что в радианной мере Примем, например, за единицу измерения углов градус. Пусть t и х соответственно градусная и радианная меры данного угла, тогда имеем:
Закон соответствия между значениями аргумента и тригонометрической функции устанавливается не прямым указанием математических операций (формулой), которые надлежит выполнить над аргументом, а геометрически * . Однако, чтобы иметь возможность говорить о функции, необходимо наличие закона соответствия, в силу которого каждому допустимому значению аргумента соответствует определенное значение функции, но не существенно , каким способом этот закон устанавливается.
* (Средствами элементарной математики невозможно построить формулы, выражающие значения тригонометрических функций при помощи алгебраических действий над аргументом. Формулы, известные из высшей математики, выражающие значения тригонометрических функций непосредственно через значение аргумента,
Функции sin х и cos х имеют смысл при любых действительных значениях x, а потому областью их определения является множество всех действительных чисел.
Функция tg x определена для всех действительных значений x, отличных от чисел вида π / 2 + kπ.
Функция ctg x определена для всех действительных значений x, отличных от чисел вида kπ.
Итак, аргумент тригонометрической функции по нашему усмотрению можно толковать как угол, или как дугу, или, наконец, как число. Называя аргумент дугой (или углом), можно подразумевать под ним не саму дугу (или угол), а число, ее измеряющее. Сохраняя геометрическую терминологию, мы позволим себе вместо, например, такой фразы: "синус числа π / 2 " говорить: "синус дуги π / 2 ".
Геометрическая терминология тем удобна, что она напоминает о соответствующих геометрических образах.
Одним из важнейших свойств тригонометрических функций является их периодичность. Функции sin x и cos x имеют период 2π. Это значит, что при любом значении х имеют место равенства:
sin х = sin (x + 2π) = sin (х + 4π) = ... = sin (x + 2kπ);
cos х = cos (х + 2π) = cos (х + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),
где k - любое целое число.
Строго говоря, функции sin x и cos x имеют бесконечное множество периодов:
±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,
число 2тг, являющееся наименьшим положительным периодом, принято называть просто периодом.
Свойство периодичности имеет следующее геометрическое толкование: значение тригонометрических функций sin x и cos х не изменяется, если к дуге х прибавить (или вычесть) целое число окружностей. Если функция sin x или cos x обладает каким-либо свойством при значении аргумента х = а, то она обладает тем же свойством при любом из значений a + 2kπ.
Функции tg x и ctg x также являются периодическими, их периодом (наименьшим положительным) является число π.
При исследовании свойств периодической функции достаточно рассмотреть ее в каком-либо промежутке, по величине равном периоду.
Перечислим основные свойства тригонометрических функций.
1°. Функция sin х на сегменте 
(I и I отрицательная четверти) возрастает. Значения синуса в концах сегмента, т. е. при х = π / 2 и при х = - π / 2 равны соответственно 1 и -1.
2°. Каково бы ни было действительное число k, по абсолютной величине не большее 1, на сегменте - π / 2 ≤x≤ π / 2 существует единственная дуга х = х 1 , синус которой равен k. Иначе говоря, на сегменте синус имеет при одном единственном значении аргумента х = х 1 произвольное заданное значение, не превосходящее по абсолютной величине 1.
В самом деле, по данному значению синуса можно в I и I отрицательной четвертях тригонометрического круга (радиус тригонометрического круга всегда будем считать равным 1) построить соответствующую дугу. Достаточно отложить на вертикальном диаметре отрезок величиной k (вверх при k>0 и вниз при k
Свойства 1° и 2° обычно объединяют в виде следующего условного утверждения.
На сегменте - π / 2 ≤x≤ π / 2 синус возрастает от -1 до 1.
При помощи аналогичных геометрических рассуждений, или воспользовавшись формулой приведения sin (π - х) = sin x, нетрудно установить, что на сегменте π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (т. е. во II и III четвертях) синус убывает от 1 до -1. Сегменты - π / 2 ≤x≤ π / 2 и π / 2 ≤x≤ 3π / 2 вместе составляют полную окружность, т. е. охватывают полный период синуса. Дальнейшее исследование синуса становится излишним, и мы можем утверждать, что на любом сегменте [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] синус возрастает от -1 до 1, а на любом сегменте [ π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] синус убывает от 1 до -1. График синуса представлен на чертеже 11.
Исследование косинуса проводится аналогично. Основные свойства косинуса таковы:
Функция cos x на сегменте (т. е. в I и II четвертях) убывает от 1 до -1. На сегменте [π, 2π] (т. е. в III и IV четвертях) косинус возрастает от -1 до 1. В силу периодичности косинус убывает от 1 до -1 на сегментах и возрастает от -1 до 1 на сегментах [(2k-1)π, 2kπ] (черт. 12).
Рассмотрим функцию y = tg x в интервале (- π / 2 , π / 2).
Граничные значения ± π / 2 следует исключить, ибо tg (± π / 2) не существует.
1 °. В интервале (- π / 2 , π / 2) функция tg х возрастает.
2°. Каково бы ни было действительное число k, в интервале - - π / 2
В существовании и единственности дуги х 1 легко убедиться из геометрического построения, представленного на чертеже 13.
Итак, в интервале (- π / 2 , π / 2) тангенс возрастает и при единственном значении аргумента имеет произвольное заданное действительное значение. Свойства 1° и 2° кратко формулируют в виде следующего утверждения:
в интервале (- π / 2 , π / 2) тангенс возрастает от -∞ до ∞.
Каково бы ни было заданное (как угодно большое) положительное число N, значения тангенса больше N при всех значениях x, меньших π / 2 и достаточно близких к π / 2 . Символически это утверждение записывается так:
При значениях х, больших - π / 2 и достаточно близких к - π / 2 у значения tg x
* (Нередко пишут tg π / 2 = ∞ и говорят, что значение тангенса π / 2 равно ∞. Это утверждение в курсе элементарной математики может привести лишь к нелепым антинаучным представлениям. Символ ∞ не есть число и не может быть значением функции. Точный смысл, в котором следует употреблять символы ±∞, разъяснен в тексте. )
Дальнейшее исследование тангенса излишне, ибо величина интервала (- π / 2 , π / 2) равна π, т. е. полному периоду тангенса. Следовательно, в любом интервале (- π / 2 + π, π / 2 + π) тангенс возрастает от -∞ до ∞, а в точках x = (2k+1)π / 2 имеет смысла. График тангенса представлен на чертеже 14.
Функция ctg x в интервале (0, π), а также в каждом из интервалов (kπ, (k+1)π) убывает от ∞ до -∞, а в точках х = kπ котангенс не имеет смысла. График котангенса представлен на чертеже 15.
