Радиус Основания Образующие Высота Ось Боковая поверхность Стр

1. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. 2. Основаниями цилиндра называются его круги. 3. Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие точки окружностей его оснований. 4. Высотой цилиндра называется расстояние между основаниями. 5. Осью цилиндра называется прямая, соединяющая центры его оснований. 6. Боковой поверхностью цилиндра называется его цилиндрическая поверхность.

Концы отрезка АВ, равного а, лежат на окружностях основания цилиндра. Радиус цилиндра равен r, высота h, расстояние между прямой АВ и осью ОО 1 цилиндра равно d. 1. Объясните, как построить отрезок, длина которого равна расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и ОО 1 А В О О1О1 аh r C K d 2. Составьте план нахождения величины d по заданным величинам a, h, r. План: 1) из АВС найти АС, затем АК 2) из АКО найти d 3. Составьте план нахождения величины h по заданным величинам a, d, r. План: 1) из АKO найти АK, затем АC 2) из АBC найти BC = h Задача 1.

Задача 2. Плоскость γ, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой α. Высота цилиндра равна h, расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d. γ D В А С O m α K h 1. Докажите, что сечение цилиндра плоскостью γ есть прямоугольник. 2. Объясните, как построить отрезок, длина которого равна расстоянию между осью цилиндра и секущей плоскостью. 3. Составьте и объясните план вычисления площади сечения по данным α, d, h О1О1

1.Прямоугольник, стороны которого 6см и 4см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения и площадь его осевого сечения. 2.Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 12см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

Высота цилиндра равна Н, радиус его основания равен R. В цилиндр помещена пирамида, высота которой совпадает с образующей АА1 цилиндра, а основанием служит равнобедренный треугольник АВС (АВ=АС), вписанный в основание цилиндра. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если А = 120°. Дано: в цилиндр с высотой H и радиусом R вписана пирамида, образующая АА1 – высота пирамиды, АВС, АВ=АС, АВС – вписан в основание цилиндра, угол А = 120°. Найти: Sбок пирамиды. Решение: 1)Проведем AD BC и соединим точки А 1 и D. Согласно теореме, имеем А 1 D BC. Так как дуга CAB содержит 120°, а дуги АС и АВ – по 60°, то ВС = R, АВ = R. 2)В ABD имеем AD = R/2. Далее, из AA 1 D получим A 1 D = ½ Следовательно S А1АВ = ½ АВ · АА1 = ½ RH S А1ВС = ½ ВС · А 1 D = ½ R ½ = ¼ R 3) Sбок = 2 S А1АВ + S А1ВС = RH + ¼ R = = R/4(4H +). Ответ: R/4(4H +). O O1O1 A A1A1 C B D

Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра. М2М2 M1M1 O1O1 O2O2 R BC A Дано: цилиндр, высота О1О2 = 12 см, В – середина образующей М1М2, АВ пересекает О1О2 в т.С, СО2 = 4 см, АО2 = 18 см. Найти: R основания. Решение: Проведем плоскость через данную в условии задачи прямую АВ и ось цилиндра О 1 О 2. Эта плоскость содержит также образующую М 1 М 2, в которой пересекается с поверхностью цилиндра. Длина М 1 М 2 равна высоте цилиндра, т.е. М 1 М 2 = 12см, тогда по условию ВМ 2 = 6 см. М 1 М 2 || О 1 О 2, значит, еще у треугольников АВМ 2 и АСО 2 общий угол А, и значит они подобны. Отсюда Ответ: 9см

Тема: Цилиндр Задачи 1.Высота цилиндра Н, радиус основания R. Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, – квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси. 2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см. Тренировочные упражнения Задание1(α=1): прямоугольник АВСД вращается вокруг большей(меньшей) стороны. а)Нарисуйте это тело вращения. Дайте ему определение б)Что образует при вращении отрезок ВС? Отрезок АВ? в)Какие отрезки являются радиусами, высотой, осью цилиндра? г)Напишите формулу для вычисления площади основания и площади осевого сечения цилиндра.

Потерянная перчатка обычно связана с дурными последствиями, но это не всегда так. Возможно, Вселенная просто предупреждает о бедах, которые можно обойти. Специалисты сайта сайт расскажут, какие суеверия и приметы о потерянных перчатках существуют.

Пожалуй, все люди хотя бы раз случайно теряют перчатку, или сразу две. Многие приметы гласят: потерянные перчатки могут говорить о ссорах в семье, неудачах в любви, проблемах на работе и даже о серьезных болезнях. Но не все так плохо, как кажется на первый взгляд. Существуют и хорошие толкования суевериям, связанным с потерей перчаток. Все зависит от их цвета, материала, места их потери, а также даты, в которую это произошло.

К чему теряются перчатки

Пропажа личной вещи, будь то сережка, колечко или та же самая перчатка, сулит неприятности и беды. Согласно примете, которая зародилась еще в глубокой древности, пропажа личных вещей, соприкасающихся с телом, предостерегала о приближающихся негативных событиях. В эпоху ведьм люди полагали, что такие вещи крали именно колдуньи, чтобы совершить какой-либо обряд, используя черную магию. И раз такая вещь пропала, значит, ее украла ведьма, жди скорой беды.

Согласно суевериям, потерять перчатки можно к таким событиям.

• Скандалы и ссоры с родственниками.
• Потеря работы или понижение в должности.
• Проблемы на личном фронте, возможно, даже расставание со второй половинкой или развод.
• Если перчатки потеряны во время поездки куда-либо, то все это случается к ссорам и конфликтам в семье. Возможно, недопонимания и выяснение отношений начнутся уже в дороге, даже если в этот момент близкие будут не рядом. Такая поездка грозит не принести ничего, кроме негатива и расстройств.
• Если ребенок потерял перчатку, то беспокоиться практически не о чем. Просто постарайтесь следить за его здоровьем более внимательно, так как, согласно примете, потерянная ребенком перчатка предостерегает о скором ослаблении его иммунитета.
• Если взрослый человек забыл обе перчатки где-либо, то это происходит к скорой финансовой неудаче, возможно, этот человек даже потеряет крупную сумму денег.

Рассмотрим подробнее более индивидуальные случаи.

Потеря правой перчатки

• Если потерять правую перчатку, то такое событие сулит проблемы на работе, возможно даже вплоть до увольнения с должности. Неприятности могут быть связаны с сокращением заработной платы, потерей крупного поставщика или лишением премии.
• Когда теряется перчатка вдали от дома, постарайтесь избегать конфликтов, споров и ссор с родными: вероятность ссор повышается.
• Одинокие люди с потерей правой перчатки обретут намного больше — любовь, ведь скорая встреча со второй половинкой будет неизбежна.

Левая перчатка

• Потеря левой перчатки тоже может случиться к крупным ссорам с друзьями и близкими.
• Если кто-то из супругов потеряет левую перчатку, возможно, у партнера уже есть либо появится в скором времени роман на стороне.
• Потерянная левая перчатка практически никогда не приносит счастья, поэтому если вы потеряли данный аксессуар, то выбросьте и вторую перчатку. Не нужно хранить ее, если не хотите навлечь на себя беду .

Потерять обе перчатки

Что касается потери обеих перчаток, то тут большая часть примет и суеверий гласят о счастье и хороших событиях в будущем:

• Встреча романтического характера.
• Повышение на работе, новая высокооплачиваемая должность, получение крупной премии.
• Позитивные перемены в жизни.
• Встреча с друзьями и близкими людьми, общение с которыми было давно потеряно.

Согласно мнению эзотериков, чем сильнее человек ценит потерянные вещи, в том числе и перчатки, тем сильнее могут отразиться на нем негативные последствия после их потери. Лучше всего, потеряв перчатки, просто забыть о них. Купите себе новые и ни о чем не жалейте. Многое зависит от нашего настроя, ведь порой приметы даже противоречат друг другу. Не стоит грустить о такой незначительной потере, в конце концов, это всего лишь вещи. Верьте в добрые приметы, и не забывайте нажимать на кнопки и

16.01.2020 01:05

Очень многие относятся к вещам, бывшим в употреблении, с опаской, не желая ими пользоваться. Появляется...

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

• Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
• Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
• Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

• Формирование пространственных представлений учащихся.
• Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
• Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

• Использование информационных технологий (презентация).
• Рисунки.
• Карточки с домашним заданием.

Ход урока

I. Организационный момент .

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение .

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M" относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM" является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание .

1. Даны точки А , В и М М относительно середины отрезка АВ .
2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
3. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание .

1. Даны две точки А и В , симметричные относительно некоторой прямой, и точка М . Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
2. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
3. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
4. Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание .

1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
2. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
3. На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
4. На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)

Рис. 2

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

«Посмотри в зеркало!»

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении»? Или в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как мы выглядим «на самом деле»? Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. На помощь приходят трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

IV. Физкультминутка.

• «Ленивые восьмерки » – активизируют структуры, обеспечивающие запоминание, повышают устойчивость внимания.
  Нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости цифру восемь по три раза сначала одной рукой, затем сразу обеими руками.
• «Симметричные рисунки » – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма.
  Нарисовать в воздухе обеими руками симметричные рисунки.

V. Самостоятельная работа проверочного характера.

Ι вариант

ΙΙ вариант

1. В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
2. В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
3. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

VI. Подведение итогов урока. Оценивание.

• С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
• Что такое зеркальная симметрия?
• Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
• Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

VII. Домашнее задание.

1. Индивидуальное: достройте, применив осевую симметрию (см. рис. 7).

Рис. 7

2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой (см. рис. 8, 9).

Рис. 8	Рис. 9

3. Творческое задание: «В мире животных». Нарисуйте представителя из мира животных и покажите ось симметрии.

VIII. Рефлексия.

• Что понравилось на уроке?
• Какой материал был наиболее интересен?
• Какие трудности возникли при выполнении того или иного задания?
• Что бы вы изменили в ходе урока?

Цели урока:

Закрепление теоретических знаний по изучаемой теме;

Совершенствование навыков решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом: теоретический опрос по вопросам:

1. Что называется движением пространства?

2. Приведите примеры движений.

3. Какое отображение пространства на себя называется центральной симметрией?

4. Какое отображение пространства на себя называется осевой симметрией?

5. Что называется зеркальной симметрией?

6. Какое отображение пространства на себя называется параллельным переносом?

7. Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка, В(1; 0; 2) переходит в точку С(2; -1; 4). (Ответ: А(1,5; -0,5; 3).)

8. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3). (Ответ: Плоскость, относительно которой рассматривается зеркальная симметрия при которой точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3), параллельна осям Ох и Oz.)

9. В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? (Ответ: в левую), осевой симметрии? (Ответ: левую), центральной симметрии? (Ответ: правую).

В то время, когда идет фронтальная работа с классом, ученик решает задачу № 480 (а) у доски (проверка домашнего задания).

Задача № 480 а).

Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.

1) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную плоскость а, не проходящую через точку О (рис. 1).

Пусть прямая а и b, пересекающиеся в точке А, лежат в плоскости а. При симметрии с центром О прямые а и b переходят соответственно в параллельные прямые а1 и b1 (см. № 479 а). При этом точка А переходит в некоторую точку А1, лежащую как на прямой а1, так и на прямой b1, а значит, прямые а1 и b1 пересекаются.

Пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, т. е. прямые а1 и b1 определяют плоскость а1. По признаку параллельности плоскостей а || а1.

2) Далее можно доказать, что при центральной симметрии с центром О плоскость а отображается на плоскость a1. Это можно доказать как в задаче № 479 1а), где было доказано, что прямая АВ отображается на прямую А1В1.

III. Решение зада.

Задача № 483 а).

При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость β отображается в плоскость β1. Докажите, что если β || а1, то β1 || а.

Решение: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что β || а, но плоскости β1 и а пересекаются. Тогда они имеют общую точку М. Так как M ∈ а, то при данной зеркальной симметрии точка М отображается в себя. Отсюда следует, что точка М, которая принадлежит плоскости β1, лежит также в плоскости β. Но тогда плоскости а и β пересекаются. Полученное противоречие показывает, что наше предложение неверно, следовательно, β1 || а.

IV. Самостоятельная работа (см. приложение)

V. Подведение итогов

Сегодня мы закрепили теоретические знания по теме «Движения» и отработали навыки использования их в процессе решения задач различного уровня сложности.

Домашнее задание

Решить задачи: № 480 (б), 483 (б) (подобные были рассмотрены на уроках).

Дополнительные задачи:

№ 519 (Указание: рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями а и β, а и β1).

№ 520 (Указание: взять на плоскость а две пересекающиеся прямые и воспользоваться задачей № 484).

Центральная симметрия (рис. 2)

1. Докажите, что центральная симметрия есть движение.

2. Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, центрально-симметричную этому тетраэдру относительно точки О (рис. 3).

Слайд содержит теоретический материал справочного характера. По нему можно повторить теорию, провести опрос учащихся.

Этот слайд может быть использован при проверке результатов самостоятельной работы (I уровень).

Зеркальная симметрия

Плоскость а совпадает с плоскостью Оху (рис. 4).

Точки O1 и О2 - середины отрезков АА1 и ВВ1.

1. Докажите, что зеркальная симметрия есть движение (рис. 5).

2. Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, зеркально-симметричную этому тетраэдру относительно плоскости β.