Definícia trojuholníka

Trojuholník je geometrický útvar pozostávajúci z troch bodov, ktoré sú navzájom spojené v sérii.

Trojuholník má tri strany a tri uhly.

Existuje mnoho typov trojuholníkov a všetky majú rôzne vlastnosti. Uvádzame hlavné typy trojuholníkov:

1. Všestranný(všetky strany rôznych dĺžok);
2. Rovnoramenné(dve strany sú rovnaké, dva uhly na základni sú rovnaké);
3. Rovnostranný(všetky strany a všetky uhly sú rovnaké).

Pre všetky typy trojuholníkov však existuje jeden univerzálny vzorec na zistenie obvodu trojuholníka – ide o súčet dĺžok všetkých strán trojuholníka.

Online kalkulačka

Vzorec pre obvod trojuholníka

P = a + b + c P = a + b + c P=a +b +c

A, b, c a, b, c a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka.

Poďme analyzovať problém hľadania obvodu trojuholníka.

Úloha

Trojuholník má strany: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm Aký je obvod trojuholníka?

Riešenie
Namiesto toho použijeme vzorec na zistenie obvodu trojuholníka a dosadíme a a a, bb b A c c c ich číselné hodnoty:
P = a + b + c P = a + b + c P=a +b +c
P=28+46+51=125cm P=28+46+51=125\text(cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

odpoveď:
P = 125 cm. P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Úloha

Trojuholník je rovnostranný so stranou 23 cm Aký je obvod trojuholníka?

Riešenie

P = a + b + c P = a + b + c P=a +b +c

Ale podľa podmienky máme rovnostranný trojuholník, to znamená, že všetky jeho strany sú rovnaké. V tomto prípade bude mať vzorec nasledujúcu formu:

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=a +a +a =3a

Dosaďte do vzorca číselnú hodnotu a nájdite obvod trojuholníka:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Odpoveď
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Úloha

V rovnoramennom trojuholníku má strana b 14 cm a základňa a 9 cm Nájdite obvod trojuholníka.

Riešenie
Na zistenie obvodu trojuholníka použijeme vzorec:

P = a + b + c P = a + b + c P=a +b +c

Ale podľa podmienky máme rovnoramenný trojuholník, to znamená, že jeho strany sú rovnaké. V tomto prípade bude mať vzorec nasledujúcu formu:

P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2b + aP=a +b +b=2b+a

Do vzorca nahradíme číselné hodnoty a nájdeme obvod trojuholníka:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Odpoveď
P = 37 cm. P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Jedným zo základných geometrických tvarov je trojuholník. Vzniká, keď sa pretínajú tri úsečky. Tieto úsečky tvoria strany obrázku a ich priesečníky sa nazývajú vrcholy. Každý študent, ktorý študuje kurz geometrie, musí byť schopný nájsť obvod tohto útvaru. Získaná zručnosť bude užitočná pre mnohých v dospelosti, napríklad sa bude hodiť študentovi, inžinierovi, staviteľovi,

Existujú rôzne spôsoby, ako zistiť obvod trojuholníka. Výber vzorca, ktorý potrebujete, závisí od dostupných zdrojových údajov. Na zapísanie tejto hodnoty v matematickej terminológii sa používa špeciálne označenie - P. Zvážte, aký je obvod, hlavné metódy na jeho výpočet pre trojuholníkové postavy rôznych typov.

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť obvod tvaru, je, ak máte údaje pre všetky strany. V tomto prípade sa používa nasledujúci vzorec:

Písmeno "P" označuje hodnotu samotného obvodu. Na druhej strane "a", "b" a "c" sú dĺžky strán.

Keď poznáme veľkosť troch veličín, bude stačiť získať ich súčet, čo je obvod.

Alternatívna možnosť

V matematických úlohách sú všetky dané dĺžky málokedy známe. V takýchto prípadoch sa odporúča použiť alternatívny spôsob nájdenia požadovanej hodnoty. Keď podmienky špecifikujú dĺžku dvoch priamych čiar, ako aj uhol medzi nimi, výpočet sa vykoná hľadaním tretej. Ak chcete nájsť toto číslo, musíte získať druhú odmocninu pomocou vzorca:

.

Obvod na oboch stranách

Na výpočet obvodu nie je potrebné poznať všetky údaje geometrického útvaru. Zvážte metódy výpočtu na dvoch stranách.

Rovnoramenný trojuholník

Trojuholník sa nazýva rovnoramenný, ak aspoň dve jeho strany majú rovnakú dĺžku. Nazývajú sa bočné a tretia strana sa nazýva základňa. Rovnaké čiary tvoria vrcholový uhol. Charakteristickým znakom v rovnoramennom trojuholníku je prítomnosť jednej osi symetrie. Os je zvislá čiara začínajúca od horného rohu a končiaca v strede základne. Vo svojom jadre obsahuje os symetrie tieto pojmy:

• stred vrcholového uhla;
• medián k základni;
• výška trojuholníka;
• stredová kolmica.

Na určenie obvodu rovnoramenného trojuholníkového útvaru použite vzorec.

V tomto prípade potrebujete poznať iba dve veličiny: základňu a dĺžku jednej strany. Označenie "2a" znamená vynásobenie dĺžky strany číslom 2. K výslednému obrázku je potrebné pridať hodnotu základne - "b".

Vo výnimočnom prípade, keď sa dĺžka základne rovnoramenného trojuholníka rovná jeho bočnej čiare, možno použiť jednoduchšiu metódu. Vyjadruje sa v nasledujúcom vzorci:

Ak chcete získať výsledok, stačí toto číslo vynásobiť tromi. Tento vzorec sa používa na nájdenie obvodu pravidelného trojuholníka.

Užitočné video: problémy na obvode trojuholníka

Trojuholník obdĺžnikový

Hlavným rozdielom medzi pravouhlým trojuholníkom a inými geometrickými tvarmi tejto kategórie je prítomnosť uhla 90 °. Na základe toho sa určí typ postavy. Pred určením, ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, stojí za zmienku, že táto hodnota pre akýkoľvek plochý geometrický útvar je súčtom všetkých strán. Takže v tomto prípade najjednoduchší spôsob, ako zistiť výsledok, je sčítať tri hodnoty.

Vo vedeckej terminológii sa tie strany, ktoré susedia s pravým uhlom, nazývajú „nohy“ a opakom 90º uhla je prepona. Rysy tejto postavy študoval starogrécky vedec Pythagoras. Podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh.

.

Na základe tejto vety bol odvodený ďalší vzorec, ktorý vysvetľuje, ako nájsť obvod trojuholníka s dvomi známymi stranami. Pomocou nasledujúcej metódy môžete vypočítať obvod so zadanou dĺžkou nôh.

.

Ak chcete zistiť obvod, ak máte informácie o veľkosti jednej nohy a prepony, musíte určiť dĺžku druhej prepony. Na tento účel sa používajú nasledujúce vzorce:

.

Taktiež obvod opísaného typu postavy je určený bez údajov o rozmeroch nôh.

Budete potrebovať poznať dĺžku prepony, ako aj uhol, ktorý k nej prilieha. Ak poznáme dĺžku jednej z nôh, ak k nej prilieha uhol, obvod obrázku sa vypočíta podľa vzorca:

.

P=a+b+c Ako zistiť obvod trojuholníka: Každý vie, že obvod je ľahké nájsť – stačí zrátať všetky tri strany trojuholníka. Existuje však niekoľko ďalších spôsobov, ako zistiť súčet dĺžok strán trojuholníka. Krok 1 Vzhľadom na polomer kružnice vpísanej do trojuholníka a jeho obsah nájdite obvod pomocou vzorca P=2S/r. Krok 2 Ak poznáte dva uhly, napríklad α a β, susediace so stranou a dĺžku tejto strany, potom na zistenie obvodu použite vzorec a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Krok 3 Ak podmienka určuje susedné strany a uhol β medzi nimi, zvážte pri hľadaní obvodu kosínusovú vetu. Potom P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), kde a^2 a b^2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Výraz pod koreňom je dĺžka tretej neznámej strany vyjadrená pomocou kosínusovej vety. Krok 4 Pre rovnoramenný trojuholník má obvodový vzorec tvar P=2a+b, kde a sú strany a b je jeho základňa. Krok 5 Vypočítajte obvod pravidelného trojuholníka pomocou vzorca P=3a. Krok 6 Nájdite obvod pomocou polomerov kruhov vpísaných do trojuholníka alebo opísaných okolo neho. Takže pre rovnostranný trojuholník si zapamätajte a použite vzorec P=6r√3=3R√3, kde r je polomer opísanej kružnice a R je polomer kružnice opísanej. Krok 7 Pre rovnoramenný trojuholník použite vzorec P=2R(2sinα+sinβ), kde α je uhol v základni a β je uhol oproti základni.

Predbežná informácia

Obvod každého plochého geometrického útvaru v rovine je definovaný ako súčet dĺžok všetkých jeho strán. Trojuholník nie je výnimkou. Najprv uvádzame koncept trojuholníka, ako aj typy trojuholníkov v závislosti od strán.

Definícia 1

Trojuholník budeme nazývať geometrickým útvarom, ktorý je zložený z troch bodov spojených úsečkami (obr. 1).

Definícia 2

Body v rámci Definície 1 sa budú nazývať vrcholy trojuholníka.

Definícia 3

Segmenty v rámci definície 1 sa budú nazývať strany trojuholníka.

Je zrejmé, že každý trojuholník bude mať 3 vrcholy a 3 strany.

V závislosti od pomeru strán k sebe sa trojuholníky delia na skalnaté, rovnoramenné a rovnostranné.

Definícia 4

O trojuholníku sa hovorí, že je zmenšený, ak sa žiadna z jeho strán nerovná inej.

Definícia 5

Trojuholník budeme nazývať rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké, ale nie sú rovné tretej strane.

Definícia 6

Trojuholník sa nazýva rovnostranný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.

Všetky typy týchto trojuholníkov môžete vidieť na obrázku 2.

Ako nájsť obvod scalenového trojuholníka?

Dostaneme skalenový trojuholník s dĺžkami strán rovnými $α$, $β$ a $γ$.

Záver: Ak chcete nájsť obvod zmenšeného trojuholníka, spočítajte všetky dĺžky jeho strán.

Príklad 1

Nájdite obvod scalenového trojuholníka rovný $34$ cm, $12$ cm a $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odpoveď: 57 dolárov viď.

Príklad 2

Nájdite obvod pravouhlého trojuholníka, ktorého nohy sú $ 6 $ a $ 8 $ cm.

Najprv zistíme dĺžku prepony tohto trojuholníka pomocou Pytagorovej vety. Označte ho teda $α$

$α=10$ Podľa pravidla pre výpočet obvodu scalenového trojuholníka dostaneme

$P=10+8+6=24$ cm

Odpoveď: $24 viď.

Ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka?

Dostaneme rovnoramenný trojuholník, ktorého dĺžka strán bude $α$ a dĺžka základne $β$.

Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to

$P=α+α+β=2α+β$

Záver: Ak chcete zistiť obvod rovnoramenného trojuholníka, pridajte dvojnásobok dĺžky jeho strán k dĺžke jeho základne.

Príklad 3

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho strany sú $ 12 $ cm a jeho základňa je $ 11 $ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odpoveď: 35 dolárov viď.

Príklad 4

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho výška prikreslená k základni je $8$ cm a základňa je $12$ cm.

Zvážte obrázok podľa stavu problému:

Keďže trojuholník je rovnoramenný, $BD$ je tiež medián, teda $AD=6$ cm.

Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka $ADB$ nájdeme stranu. Označte ho teda $α$

Podľa pravidla pre výpočet obvodu rovnoramenného trojuholníka dostaneme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odpoveď: 32 dolárov viď.

Ako zistiť obvod rovnostranného trojuholníka?

Dostaneme rovnostranný trojuholník s dĺžkami všetkých strán rovnými $α$.

Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to

$P=α+α+α=3α$

Záver: Ak chcete zistiť obvod rovnostranného trojuholníka, vynásobte dĺžku strany trojuholníka 3 $.

Príklad 5

Nájdite obvod rovnostranného trojuholníka, ak jeho strana je $12$ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=3\cdot 12=36$ cm

Trojuholník je jedným zo základných geometrických útvarov, ktoré sú tromi pretínajúcimi sa úsečkami. Tento údaj poznali dokonca aj vedci zo starovekého Egypta, starovekého Grécka a starovekej Číny, ktorí odvodili väčšinu vzorcov a vzorov, ktoré vedci, inžinieri a dizajnéri doteraz používali.

Hlavné zložky trojuholníka sú:

Vrcholy - priesečníky segmentov.

Strany sú pretínajúce sa úsečky.

Na základe týchto komponentov formulujú také pojmy, ako je obvod trojuholníka, jeho plocha, vpísaná a opísaná kružnica. Už od školy je známe, že obvod trojuholníka je číselným vyjadrením súčtu všetkých troch jeho strán. Zároveň existuje veľké množstvo vzorcov na zistenie tejto hodnoty v závislosti od počiatočných údajov, ktoré má výskumník v tomto alebo tom prípade.

1. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť obvod trojuholníka, sa používa, keď sú známe číselné hodnoty všetkých troch jeho strán (x, y, z), v dôsledku toho:

2. Obvod rovnostranného trojuholníka možno nájsť, ak si uvedomíme, že pre daný obrazec sú všetky strany, rovnako ako všetky uhly, rovnaké. Keď poznáme dĺžku tejto strany, obvod rovnostranného trojuholníka možno určiť podľa vzorca:

3. V rovnoramennom trojuholníku majú na rozdiel od rovnostranného iba dve strany rovnakú číselnú hodnotu, takže v tomto prípade bude vo všeobecnosti obvod nasledovný:

4. Nasledujúce metódy sú potrebné v prípadoch, keď nie sú známe číselné hodnoty všetkých strán. Napríklad, ak má štúdia údaje o dvoch stranách a uhol medzi nimi je známy, potom obvod trojuholníka možno nájsť pomocou definície tretej strany a známeho uhla. V tomto prípade bude táto tretia strana nájdená podľa vzorca:

z = 2x+2y-2xycosp

Na základe toho sa obvod trojuholníka bude rovnať:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. V prípade, že je na začiatku uvedená dĺžka nie viac ako jednej strany trojuholníka a sú známe číselné hodnoty dvoch susedných uhlov, potom je možné obvod trojuholníka vypočítať na základe sínusová veta:

P = x+sinβ x/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Sú prípady, keď známe parametre kružnice do nej vpísanej slúžia na zistenie obvodu trojuholníka. Tento vzorec je tiež známy väčšine zo školských lavíc:

P = 2S/r (S je plocha kruhu, zatiaľ čo r je jeho polomer).

Zo všetkého vyššie uvedeného je vidieť, že hodnota obvodu trojuholníka sa dá zistiť mnohými spôsobmi na základe údajov, ktoré výskumník vlastní. Okrem toho existuje niekoľko ďalších špeciálnych prípadov zistenia tejto hodnoty. Obvod je teda jednou z najdôležitejších veličín a charakteristík pravouhlého trojuholníka.

Ako viete, takýto trojuholník sa nazýva postava, ktorej dve strany tvoria pravý uhol. Obvod pravouhlého trojuholníka sa zistí pomocou číselného vyjadrenia súčtu oboch ramien a prepony. V prípade, že výskumník pozná údaje iba na dvoch stranách, zvyšok možno vypočítať pomocou známej Pytagorovej vety: z \u003d (x2 + y2), ak sú známe obe nohy, alebo x \u003d (z2 - y2), ak je známa prepona a noha.

V prípade, že je známa dĺžka prepony a jeden z uhlov, ktoré k nej priliehajú, potom sa ďalšie dve strany nájdu podľa vzorcov: x \u003d z sinβ, y \u003d z cosβ. V tomto prípade bude obvod:

P= z(cosβ + sinβ +1)

Špeciálnym prípadom je aj výpočet obvodu pravidelného (alebo rovnostranného) trojuholníka, teda obrazca, v ktorom sú všetky strany a všetky uhly rovnaké. Vypočítať obvod takéhoto trojuholníka zo známej strany nie je problém, často však výskumník pozná nejaké iné údaje. Takže ak je známy polomer vpísanej kružnice, obvod pravidelného trojuholníka sa zistí podľa vzorca:

A ak je daná hodnota polomeru kružnice opísanej, obvod pravidelného trojuholníka sa zistí takto:

Vzorce sa musia naučiť naspamäť, aby sa dali úspešne aplikovať v praxi.