Ide o také teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov. Mnohosten je tzv konvexné, ak leží na jednej strane roviny každého z rovinných mnohouholníkov na jej povrchu. Spoločná časť takejto roviny a plocha konvexného mnohouholníka sa nazýva hrana.
Na obrázku nižšie je vľavo nekonvexný mnohosten; na obrázku vpravo - konvexné.

Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany tvárí sú tzv okraje mnohostenu a vrcholy tvárí - vrcholy mnohostenu.

Hranol

hranol nazýva sa mnohosten, ktorý pozostáva z dvoch plochých mnohouholníkov ležiacich v rôznych rovinách a spojených paralelným posunom a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto mnohouholníkov (pozri obrázok). Polygóny sa nazývajú hranolové základne a segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy - bočné okraje hranola.

Označenia: .
Bočná plocha hranola pozostáva z rovnobežníkov. Každá z nich má dve strany, ktoré sú zodpovedajúcimi stranami základne, a ďalšie dve sú priľahlé bočné rebrá. Základy hranola sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách. Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké. Výška hranola nazývaná vzdialenosť medzi rovinami jeho základov.
Segment spájajúci dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva hranolová uhlopriečka. (Na obrázku - výška a uhlopriečky.)
Diagonálne rezy- sú to rezy hranola rovinami prechádzajúcimi cez dve bočné hrany, ktoré nepatria k tej istej ploche (pozri obrázky).

Hranol je tzv rovno ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol nazýva šikmé.
Bočné plochy rovného hranola sú obdĺžniky, výška rovného hranola sa rovná bočnej hrane, diagonálne rezy sú obdĺžniky.
Bočný povrch hranol sa nazýva súčet plôch bočných plôch. Celá plocha hranola rovná súčtu bočného povrchu a plôch základov.
Veta 1. Bočná plocha priameho hranola sa rovná súčinu obvodu podstavy a výšky, teda dĺžky bočnej hrany.
Kolmý rez hranolom rez budeme nazývať rovina kolmá na bočnú hranu hranola (to znamená, že táto rovina je kolmá na všetky bočné hrany hranola).
Veta 2. Bočná plocha nakloneného hranola sa rovná súčinu dĺžky bočnej hrany a obvodu kolmého rezu.
Na obrázku je znázornený kolmý rez.
S b = H ⋅ P Hlavná;
S n = S b + 2 S Hlavná
S b = l ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S Hlavná

Je zrejmé, že táto veta platí aj v prípade priameho hranola, pretože potom bude kolmý rez rezom roviny rovnobežnej s rovinami podstav hranola.
Všimnite si, že ak je určitý mnohouholník kolmým rezom hranola, potom jeho vnútorné uhly sú lineárne uhly dihedrálnych uhlov medzi zodpovedajúcimi bočnými stenami.
V prípade priameho hranola sú lineárne uhly dihedrálnych uhlov medzi bočnými plochami priamo rohmi základne.
Príklad
Na obrázku je znázornený rovný hranol.

- lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi plochami a .
Hranol je tzv správne, Ak:
je založená na pravidelnom mnohouholníku;
hranol je rovný.

Rovnobežníkovité

Rovnobežník je hranol, ktorý je založený na rovnobežníku.
Všetky strany rovnobežnostenu sú rovnobežníky.
Tváre rovnobežnostena, ktoré nemajú spoločné vrcholy, sa nazývajú opak.
Veta 1. Protiľahlé strany rovnobežnostena sú rovnobežné a rovné.
Rovnobežník zostáva rovnobežnostenom vo všetkých prípadoch, keď za základ považujeme ktorúkoľvek z jeho plôch (pozri obrázok).
Veta 2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a priesečník je rozdelený na polovicu.
Z toho vyplýva, že priesečník uhlopriečok rovnobežnostena je jeho stredom symetrie.
Poznámka: Pravý rovnobežnosten má štyri uhlopriečky, ktoré sú v pároch rovnaké.
Na obrázku; .
Vyplýva to z vlastností šikmých, tzv - rovnaké kolmice k rovine základne A B C D.

Ak zo susedných vrcholov vychádzajú dve uhlopriečky pravého kvádra, potom väčšia z nich je tá, ktorá vyčnieva do väčšej uhlopriečky podstavy, teda uhlopriečka rovnobežníka, ktorá leží oproti tupému uhlu. Preto, ak na obrázku vyššie uvažujeme uhol ABC tupé, poďme, .
Pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva pravouhlý rovnobežnosten(pozri obrázok).

Všetky strany kvádra sú obdĺžniky, ktoré možno rozdeliť na tri rovnaké páry. Za jeho základňu možno považovať ľubovoľnú plochu pravouhlého rovnobežnostena. Vzhľadom na to, že pri paralelnom premietaní môže byť ľubovoľný rovnobežník reprezentovaný ľubovoľným rovnobežníkom, obraz pravouhlého rovnobežnostena sa nijako nelíši od obrazu akéhokoľvek pravého rovnobežnostena.
Dĺžky nerovnobežných hrán sú tzv lineárne rozmery(rozmery) pravouhlého rovnobežnostena.
Veta 3. V pravouhlom rovnobežnostene sú všetky uhlopriečky rovnaké. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov.
Všetky dihedrálne uhly kvádra sú pravé.
Obdĺžnikový hranol má tri páry rovnakých diagonálnych častí. Každá z týchto častí je obdĺžnik (pozri obrázky).

Každá dvojica sekcií sa pretína pozdĺž priamky prechádzajúcej cez priesečníky uhlopriečok protiľahlých plôch. Segmenty medzi týmito bodmi sú rovnobežné a rovné jednej z hrán kvádra.
Pravouhlý trojuholník, ktorý je tvorený uhlopriečkou pravouhlého rovnobežnostena, uhlopriečkou bočnej plochy a stranou podstavy (pozri obrázok). Napríklad, .

Obdĺžnikový rovnobežnosten má stred symetrie - to je priesečník jeho uhlopriečok.
Má tiež tri roviny symetrie prechádzajúce stredom symetrie rovnobežne s plochami.
Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten, v ktorom sú všetky hrany rovnaké kocka.
Rovina akéhokoľvek diagonálneho rezu kocky je rovinou jej symetrie. Kocka má teda deväť rovín symetrie.
Na obrázku zvážte relatívnu polohu niektorých prvkov rovného rovnobežnostena:

- uhol medzi uhlopriečkou bočnej steny a rovinou základne ( - kolmá, - naklonená, CD- projekcia).
- uhol medzi uhlopriečkou pravého kvádra a rovinou základne ( - kolmá, - šikmá, AC- projekcia).
- uhol sklonu uhlopriečky k bočnej ploche ( AD- kolmý, - šikmý, - priemet).
Nech je pravý rovnobežnosten (pozri obrázok), kde A B C D- kosoštvorec. Jeho rez nakreslíme rovinou prechádzajúcou cez uhlopriečku podstavy BD a vrchol.

V reze dostaneme rovnoramenný trojuholník.
- lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi rovinou základne a rovinou rezu. vlastnosťou uhlopriečok kosoštvorca, - kolmé, - šikmé, SO- projekcia. Podľa vety o troch kolmičkách: .

Pyramída

Pyramída nazývaný mnohosten, ktorý pozostáva z plochého mnohouholníka - základne pyramídy, bodu, ktorý neleží v rovine základne - vrcholu pyramídy a všetkých segmentov spájajúcich vrchol pyramídy s bodmi základne. . Segmenty spájajúce vrchol pyramídy s vrcholmi základne sa nazývajú bočné rebrá.
výška pyramídy- kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu podstavy.
Pyramída je tzv n-uhlia ak je jeho základ n- gon. Trojuholníková pyramída je tiež tzv štvorsten. Bočná strana pyramídy- trojuholník. Jeden z jeho vrcholov je vrchol pyramídy a opačná strana je strana základne pyramídy.
Na obrázku SO je výška pyramídy. Potom - uhol medzi bočným okrajom a rovinou základne ( SO- kolmý, SA- naklonený, OA- projekcia).

Od základne výšky pyramídy (body IN) nakreslite kolmicu na stranu základne (napr. AE). Základňa tejto kolmice (bod F) spojiť sa s vrcholom pyramídy (bod S). Podľa vety o troch kolmičkách: . ( SO- kolmý, SP- naklonený, OF- projekcia, podľa konštrukcie.) Preto - lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi rovinou bočného čela ASE a základná rovina.
Na vyriešenie problémov s pyramídou je veľmi dôležité zistiť, kde sa nachádza základňa jej výšky.
1. Ak je splnená aspoň jedna z nasledujúcich podmienok:
všetky bočné okraje pyramídy sú rovnaké;
všetky bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom;
všetky bočné hrany zvierajú rovnaké uhly s výškou pyramídy;
všetky bočné hrany sú v rovnakej vzdialenosti od základne výšky, potom základňou výšky pyramídy je stred kružnice opísanej okolo základne pyramídy.
Bočné rebro l, výška H a polomer R opísaný okolo základne kruhu tvorí pravouhlý trojuholník:

V tomto prípade možno bočnú plochu nájsť podľa vzorca , kde l- dĺžka bočného okraja, , ... - ploché uhly hore.
2. Ak je splnená aspoň jedna z nasledujúcich podmienok:
všetky bočné plochy sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom;
všetky bočné plochy majú rovnakú výšku;
výšky bočných plôch zvierajú rovnaké uhly s výškou pyramídy;
bočné steny sú v rovnakej vzdialenosti od základne výšky, potom základňa výšky leží v strede kruhu vpísaného do základne pyramídy.
Na obrázku - pravouhlý, - polomer vpísanej kružnice v A B C D E F;

- výška pyramídy, SP- výška bočného čela;
- lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi bočnou plochou a rovinou základne;
O- stred kružnice vpísanej do základne, teda priesečník osi A B C D E F.
V tomto prípade .
3. Ak je bočná hrana kolmá na rovinu základne, potom je táto hrana výškou pyramídy (pozri obrázky).

V tomto prípade A - uhly sklonu bočných rebier SB A SC respektíve k základnej rovine. je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi bočnými stenami SAC A SBA.
4. Ak je bočná plocha kolmá na základnú rovinu (pozri obrázok), potom výška pyramídy bude výškou tejto plochy (podľa vety „Ak je priamka ležiaca v jednej z dvoch kolmých rovín kolmá na priamka ich priesečníka, potom je kolmá na druhú rovinu“).
5. Ak sú dve bočné steny kolmé na rovinu základne, potom výška pyramídy je ich spoločná bočná hrana.

Vzdialenosti od základne výšky pyramídy

Vzdialenosť od základne výšky pyramídy k bočnému okraju je kolmica spadnutá z bodu O na tomto okraji (pozri obrázok). Poznámka: , ale na obrázku by nemalo byť rovné: uhly sa pri paralelnom návrhu nezachovajú.
OF- vzdialenosť od základne výšky k bočnej hrane SE;
ON- vzdialenosť od základne výšky k bočnému lícu ASB(Viac o tejto vzdialenosti nájdete nižšie.)

, kde je uhol medzi okrajom SE a základná rovina.

Vzdialenosť od základne výšky k bočnej ploche

Dovoliť , Potom podľa vety o troch kolmých. teda AB kolmo na rovinu S.O.K.. Preto ak , tak ON kolmo na rovinu ASB.
.
Pyramída je tzv správne, ak jeho základňa je pravidelný mnohouholník a základňa jeho výšky je rovnaká ako stred mnohouholníka. os pravidelná pyramída sa nazýva priamka obsahujúca jej výšku. Bočné hrany pravidelnej pyramídy sú rovnaké, bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy nakreslenej z vrcholu pyramídy sa nazýva apotéma. Je to stred a stred bočnej steny, pretože ide o rovnoramenný trojuholník.
Veta. Bočný povrch pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu obvodu pіv základne a apotému.
; ,
Kde R- obvod základne, A- základná strana l- dĺžka apotémy.
Pravidelná trojuholníková pyramída
Na základni pravidelnej trojuholníkovej pyramídy leží rovnostranný trojuholník, ktorý je reprezentovaný ľubovoľným trojuholníkom (pozri obrázok).

Stred je priesečníkom jeho priesečníkov, ktorými sú výšky aj stredy. Mediány v paralelnej projekcii predstavujú mediány. Preto staviame dva mediány základne. Bod ich priesečníka je základňou výšky pyramídy. Predstavujeme výšku a potom spojíme vrchol pyramídy s vrcholmi základne. Získame bočné rebrá.
Na obrázku: - uhol sklonu bočného rebra k rovine základne (rovnaký pre všetky rebrá); - uhol sklonu bočnej plochy k rovine základne (rovnaký pre všetky plochy).
Nechajte .
Potom ; ; ;
; ; .
Preto, .
; .
Rovina axiálneho rezu ASD je rovina súmernosti pravidelného trojuholníkového ihlana.
Táto rovina je kolmá na rovinu základne a rovinu tváre BSC.
Je tiež zaujímavé poznamenať, že pretínajúce sa hrany pyramídy ( SA A BC, SB A AC, SC A AB) sú kolmé. Ak potom ON je vzdialenosť od základne výšky nielen po anathemu, ale aj po bočnú stranu BSC.
.
Pravidelná štvorhranná pyramída
Na základni pravidelnej štvorbokej pyramídy leží štvorec, ktorý je znázornený ľubovoľným rovnobežníkom. Jeho stred je priesečníkom uhlopriečok. Tento bod je základňou výšky pyramídy.
Nechajte stranu námestia A(pozri obrázok).
Potom ;
;
;
;
.

Poznámka: , , teda .
Paralelný dizajn zachováva paralelizmus.
; .
Vzdialenosť od výškovej základne k bočnej ploche:
; .

Pravidelná šesťhranná pyramída
V srdci pravidelnej šesťhrannej pyramídy je pravidelný šesťuholník (pozri obrázok). Jeho stred je priesečníkom uhlopriečok. Tento bod je základňou výšky pyramídy.
Potom ;
Nechajte stranu pravidelného šesťuholníka A.
;
;

.
; .

Skrátená pyramída
Strihaná pyramída nazýva sa mnohosten, ktorý zostane, ak je pyramída s rovnakým vrcholom oddelená od pyramídy rovinou rovnobežnou so základňou.
Veta. Rovina, ktorá je rovnobežná so základňou pyramídy a pretína ju, odreže podobnú pyramídu.
Upozornenie: aby ste správne zobrazili vyrezanú pyramídu, musíte začať s obrázkom pôvodnej plnej pyramídy (pozri obrázok).

Základy zrezanej pyramídy sú podobné mnohouholníky. Bočné steny - lichobežníky. - výška zrezaného ihlana, - výška bočnej plochy, - uhol sklonu bočnej hrany k rovine podstavy (akejkoľvek), - uhol sklonu bočnej plochy k rovine spodného základňu.
Správna zrezaná pyramída- ide o zrezanú pyramídu, ktorá bola vybratá z bežnej pyramídy.
Jeho bočné rebrá sú rovnaké a naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom. Jeho bočné steny sa rovnajú rovnostrannému lichobežníku a sú naklonené k rovine spodnej základne pod rovnakým uhlom. Výšky bočných plôch pyramídy sú tzv apotémy.
Bočný povrch pravidelného zrezaného ihlana sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov podstav a apotému.
, Kde P n a P- obvody príslušných základní, l- apotéma.
Obrázky ukazujú čísla, ktoré môžu byť veľmi užitočné pri riešení problémov na zrezanej pyramíde.
;
.

;


- pravouhlý lichobežník.
- výška zrezaného ihlana.
- výška bočnej hrany.

V prípade, že je zrezaná pyramída pravidelná, segmenty OD a sú polomery kružnice opísanej a OF a - polomery vpísanej kružnice pre spodnú a hornú základňu.

Pravidelné mnohosteny

Konvexný mnohosten je tzv správne, ak sú jeho steny pravidelné mnohosteny s rovnakým počtom strán a rovnakým počtom hrán sa zhodujú v každom vrchole mnohostenu.
Existuje päť typov pravidelných konvexných mnohostenov: pravidelný štvorsten, kocka, osemsten, dvanásťsten, dvadsaťsten.
1. Pravidelný štvorsten má steny - pravidelné trojuholníky; v každom vrchole sú tri hrany. Štvorsten je trojuholníková pyramída, ktorej všetky hrany sú rovnaké.
2. Všetky strany kocky sú štvorce; v každom vrchole sú tri hrany. Kocka je obdĺžnikový hranol s rovnakými hranami.
3. Plochy osemstenu sú pravidelné trojuholníky. Každý z jeho vrcholov má štyri hrany.
4. V dvanástniku sú steny pravidelné p "yatiktniks. Tri hrany sa zhodujú v každom z jeho vrcholov.
5. V líci dvadsaťsten - pravidelné trojuholníky. Každý z jeho vrcholov má päť hrán.
Obrázky zobrazujú príklady pravidelných mnohostenov s názvami.

Mestský vzdelávací ústav

Gymnázium č.26

Geometria

Hlavné typy mnohostenov a ich vlastnosti

Vykonané:

žiak 9. ročníka

Baisakova Lyazzat

učiteľ:

Sysoeva Elena Alekseevna

Čeľabinsk

Úvod

Doteraz sme sa v rámci geometrie zaoberali planimetriou - študovali sme vlastnosti plochých geometrických útvarov, teda útvarov, ktoré sú úplne umiestnené v rovine. Väčšina predmetov okolo nás ale nie je úplne plochá, nachádza sa v priestore. Časť geometrie, ktorá študuje vlastnosti postáv v priestore, sa nazýva stereometria ( z inej gréčtiny. στερεός, "stereo" - "pevné, priestorové" a μετρέω - "meriam").

Hlavné postavy vo vesmíre sú bodka , rovno A lietadlo. Spolu s týmito jednoduchými obrazcami stereometria zvažuje geometrické telesá a ich povrchy. Pri štúdiu geometrických telies použite obrázky na výkrese.

Obrázok 1 Obrázok 2

Obrázok 1 zobrazuje pyramídu, obrázok 2 - kocku. Tieto geometrické telesá sa nazývajú polyhedra. Zvážte niektoré typy a vlastnosti mnohostenov.

mnohostranný povrch. Mnohosten

Polyedrický povrch je spojením konečného počtu rovinných mnohouholníkov tak, že každá strana ktoréhokoľvek z mnohouholníkov je súčasne stranou iného (ale iba jedného) mnohouholníka, ktorý sa nazýva susediaci s prvým mnohouholníkom.

Z ktoréhokoľvek z polygónov, ktoré tvoria polyedrický povrch, sa dá dostať na ktorýkoľvek iný pohybom pozdĺž susedných polygónov.

Mnohouholníky, ktoré tvoria mnohostenný povrch, sa nazývajú jeho plochy; strany mnohouholníkov sa nazývajú hrany a vrcholy sú vrcholy mnohostenného povrchu.

Obrázok 1 zobrazuje spojenia polygónov, ktoré spĺňajú špecifikované požiadavky a sú polyedrickými plochami. Obrázok 2 zobrazuje obrázky, ktoré nie sú polyedrické povrchy.

Polyedrická plocha rozdeľuje priestor na dve časti - vnútornú plochu polyedrickej plochy a vonkajšiu plochu. Z dvoch vonkajších oblastí bude jeden, v ktorom je možné kresliť priame čiary, ktoré úplne patria do regiónu.

5 Spojenie polyedrickej plochy a jej vnútra sa nazýva mnohosten. V tomto prípade sa polyedrický povrch a jeho vnútorná oblasť nazývajú povrch a vnútorná oblasť mnohostenu. Plochy, hrany a vrcholy povrchu mnohostena sa nazývajú steny, hrany a vrcholy mnohostena.

Pyramída

Mnohosten, ktorého jedna plocha je ľubovoľný mnohosten a zvyšné plochy sú trojuholníky s jedným spoločným vrcholom, sa nazýva pyramída.

Mnohouholník sa nazýva základňa pyramídy a zvyšné plochy (trojuholníky) sa nazývajú bočné strany pyramídy.

Existujú trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď. pyramídy v závislosti od typu mnohouholníka ležiaceho na základni pyramídy.

Trojuholníková pyramída sa nazýva aj štvorsten. Obrázok 1 znázorňuje štvorhrannú pyramídu SABCD so základňou ABCD a bočnými stenami SAB, SBC, SCD, SAD.

Strany stien pyramídy sa nazývajú okraje pyramídy. Rebrá patriace k základni pyramídy sa nazývajú základné rebrá a všetky ostatné rebrá sa nazývajú bočné rebrá. Spoločný vrchol všetkých trojuholníkov (bočných plôch) sa nazýva vrchol pyramídy (na obr. 1 bod S je vrchol pyramídy, segmenty SA, SB, SC, SD sú bočné hrany, segmenty AB, BC , CD, AD sú okraje základne).

Výška pyramídy je úsečka kolmice vedená od vrcholu pyramídy S k rovine podstavy (konce tejto úsečky sú vrchol pyramídy a základňa kolmice). Na obr.1 SO - výška pyramídy.

Správna pyramída. Pyramída sa nazýva pravidelná, ak je základňou pyramídy pravidelný mnohouholník a ortogonálny priemet vrcholu na rovinu základne sa zhoduje so stredom mnohouholníka ležiaceho na základni pyramídy.

Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné; všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená z jej vrcholu, sa nazýva apotém tejto pyramídy. Na obrázku 2 je SN apotém. Všetky apotémy pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné.

Hranol

Mnohosten, ktorého dve strany sú rovnaké n-gony ležiace v rovnobežných rovinách a ostatné n tváre - rovnobežníky, tzv n- uhoľný hranol.

mnohosten ihlan hranol hranol rovnobežnosten

Pár rovných n-gony sa nazývajú základne hranola. Zvyšné strany hranola sa nazývajú jeho bočné strany a ich spojenie sa nazýva bočný povrch hranola. Obrázok 1 znázorňuje päťuholníkový hranol.

Strany plôch hranola sa nazývajú rebrá a konce rebier sa nazývajú vrcholy hranola. Hrany, ktoré nepatria k základni hranola, sa nazývajú bočné hrany.

Hranol, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstav, sa nazýva priamy hranol. V opačnom prípade sa hranol nazýva šikmý.

Úsečka kolmá na roviny podstav hranola, ktorej konce patria do týchto rovín, sa nazýva výška hranola.

Pravý hranol, ktorého základňou je pravidelný mnohouholník, sa nazýva pravidelný hranol.

Rovnobežníkovité

Rovnobežník je šesťsten, ktorého protiľahlé strany sú párovo rovnobežné. Rovnobežníkovité má 8 vrcholov, 12 hrán; jeho strany sú v pároch rovnaké rovnobežníky.

Rovnobežníkovité nazýva sa rovný, ak jeho bočné okraje sú kolmé na rovinu základne (v tomto prípade sú 4 bočné plochy obdĺžniky); pravouhlý, ak rovnobežnosten priamka a obdĺžnik slúžia ako základ (preto 6 plôch sú obdĺžniky);

Rovnobežníkovité, ktorej všetky plochy sú štvorcové, sa nazýva kocka.

Objem Rovnobežníkovité sa rovná súčinu plochy jeho základne a jeho výšky.

telesný objem

Každý mnohosten má objem, ktorý možno merať pomocou zvolenej objemovej jednotky. Kocka sa považuje za jednotku merania objemov, ktorej okraj sa rovná jednotke merania segmentov. Kocka s hranou 1 cm je tzv kubický centimeter. Podobne definované meter kubický A kubický milimeter, atď.

V procese merania objemov zvolenou mernou jednotkou je objem telesa vyjadrený kladným číslom, ktoré ukazuje, koľko jednotiek merania objemov a jeho častí sa do tohto telesa zmestí. Číslo vyjadrujúce objem telesa závisí od výberu jednotky na meranie objemov. Preto je za týmto číslom uvedená jednotka merania objemov.

Hlavné vlastnosti zväzkov:

1. Rovnaké telesá majú rovnaký objem.

2. Ak je teleso zložené z viacerých telies, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto telies.

Na zistenie objemov telies je v mnohých prípadoch vhodné použiť vetu tzv Cavalieriho princíp .

Cavalieriho princíp je nasledovný: ak sa na priesečníku dvoch telies ľubovoľnou rovinou rovnobežnou s nejakou danou rovinou získajú úseky rovnakej plochy, potom sa objemy telies navzájom rovnajú.

Záver

Polyhedra teda študuje časť geometrie nazývanú stereometria. Mnohosteny prichádzajú v rôznych typoch (pyramída, hranol atď.) a majú rôzne vlastnosti. Treba tiež poznamenať, že mnohosteny, na rozdiel od plochých postáv, majú objem a sú umiestnené v priestore.

Väčšina objektov okolo nás je vo vesmíre a štúdium mnohostenov nám pomáha získať predstavu o realite okolo nás z hľadiska geometrie.

Bibliografia

1. Geometria. Učebnica pre ročníky 7-9.

3. Wikipedia

Mnohosten- teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu mnohouholníkov, nazývaných steny mnohostenu. Strany a vrcholy týchto mnohouholníkov sa nazývajú hrany a vrcholy mnohostenu.Podľa počtu stien sa rozlišujú 4-édra, 5-édra atď. Segment spájajúci dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva uhlopriečka mnohostenu.

História objavu mnohostenu má korene v staroveku. Prvá zmienka o mnohostenoch je známa už tri tisícročia pred naším letopočtom v Egypte a Babylone.

Mnohosten je priestorový útvar (priestorové teleso), teleso si treba vizuálne predstaviť ako časť priestoru obsadenú fyzickým telom a ohraničenú povrchom. Polyhedra sú študované v sekcii geometrie telesa. Oblasť geometrie, ktorá študuje polohu, tvar, veľkosť a vlastnosti priestorových útvarov. Slovo "stereometria" pochádza z gréckych slov "στερεοσ" - objemový, priestorový a "μετρεο" - miera.

Príklady mnohostenov sú:

Kocka- mnohosten, ktorého povrch pozostáva zo šiestich štvorcov Kocka (pravidelný šesťsten) má všetky steny - štvorce; tri hrany sa zbiehajú v každom vrchole. Kocka je pravouhlý hranol s rovnakými hranami.Špeciálny prípad kvádra a hranola. Kocka má 12 hrán, 6 stien, 8 vrcholov.

Rovnobežníkovité- mnohosten, ktorého povrch sa skladá zo šiestich rovnobežníkov.Svety kvádra, ktoré nemajú spoločné vrcholy, nazývame protiľahlé. Rovnobežník má protiľahlé strany, ktoré sú rovnobežné a rovnaké. Uhlopriečka rovnobežnostena, podobne ako mnohosten, vo všeobecnosti, je segment spájajúci vrcholy rovnobežnostena, ktoré neležia v jednej z jeho plôch.

kváder- rovnobežnosten, ktorého steny sú obdĺžniky Dĺžky hrán pravouhlého rovnobežnostenu vychádzajúcich z jedného vrcholu sa nazývajú jeho miery alebo lineárne rozmery. Kváder má tri rozmery.

Pravý rovnobežnosten- ide o rovnobežnosten, ktorý má 4 bočné obdĺžniky.

Šikmá krabica je rovnobežnosten, ktorého bočné strany nie sú kolmé na základne.

Hranol- mnohosten, ktorého povrch pozostáva z dvoch rovnakých mnohouholníkov, ktoré sa nazývajú základne hranola, a rovnobežníkov, ktoré majú spoločnú stranu s každou z podstav. Mnohouholníky sa nazývajú základne hranola a segmenty spájajúce ich zodpovedajúce vrcholy sú stranou hrany hranola.Základy hranola sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách. Bočné okraje hranola sú rovnaké a rovnobežné. Povrch hranola sa skladá z dvoch podstav a bočnej plochy.Bočná plocha ľubovoľného hranola pozostáva z rovnobežníkov, z ktorých každý má dve strany zodpovedajúcich strán podstav a ďalšie dve sú priľahlé bočné hrany.Výška hranol je ľubovoľná kolmica vedená z bodu jednej základne do roviny druhej základne hranola.

rovný hranol- sa nazýva, ak sú jeho okraje kolmé na roviny podstav. Inak sa hranol nazýva šikmý.Bočné plochy sú obdĺžniky.Bočná hrana rovného hranola je jeho výška.

Správny hranol- rovný hranol, ktorého podstavy sú pravidelné mnohouholníky.

Pyramída- mnohosten, ktorého povrch pozostáva z mnohouholníka, ktorý sa nazýva základňa pyramídy, a trojuholníkov, ktoré majú spoločný vrchol. Segmenty spájajúce vrchol pyramídy s vrcholmi základne sa nazývajú bočné hrany. Povrch pyramídy pozostáva zo základne a bočných plôch. Každá bočná plocha je trojuholník. Jeden z jeho vrcholov je vrchol pyramídy a opačná strana je strana základne pyramídy. Výška pyramídy je kolmica vedená z vrcholu pyramídy k rovine podstavy. Pyramída sa nazýva n-gonálna, ak jej základňa je n-uholník. Trojuholníková pyramída sa nazýva aj štvorsten.

Správna pyramída- ihlan, na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a ktorého všetky bočné hrany sú rovnaké. Os pravidelnej pyramídy je priamka obsahujúca jej výšku. Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená od jej vrcholu po stranu základne, sa nazýva apotém.

Pevné látky Platóna- mnohosten, ktorého všetky steny sú pravidelné a rovnaké mnohouholníky, sa nazýva pravidelný. Uhly vo vrcholoch takéhoto mnohostenu sú si navzájom rovné.

Existuje päť typov pravidelných mnohostenov. Tieto mnohosteny a ich vlastnosti opísal pred viac ako dvetisíc rokmi staroveký grécky filozof Platón, čo vysvetľuje ich všeobecný názov.

Každý pravidelný mnohosten zodpovedá ďalšiemu pravidelnému mnohostenu s počtom plôch rovným počtu vrcholov daného mnohostenu. Počet hrán pre oba mnohosteny je rovnaký. Tie obsahujú:

Tetrahedron (oheň) je pravidelný štvorsten. Je ohraničený štyrmi rovnostrannými trojuholníkmi (ide o pravidelný trojuholníkový ihlan), štvorsten má 4 steny, 4 vrcholy a 6 hrán.

Pravidelný štvorsten má tváre - pravidelné trojuholníky; tri hrany sa zbiehajú v každom vrchole Pravidelný štvorsten je jedným z piatich pravidelných mnohostenov.

Oktaedrón (vzduch)- pravidelný osemsten. Pozostáva z ôsmich rovnostranných a rovnakých trojuholníkov, ktoré sú v každom vrchole spojené štyrmi. Plochy osemstenu majú pravidelné trojuholníky, ale na rozdiel od štvorstenu sa v každom z jeho vrcholov zbiehajú štyri hrany. Pravidelný osemsten je dvojitý s kockou. Ide o úplné skrátenie štvorstenu. Pravidelný osemsten je štvorcová dvojitá pyramída v ktoromkoľvek z troch ortogonálnych smerov. Je to tiež trojuholníkový antihranol v ktoromkoľvek zo štyroch smerov Osemsten je trojrozmerná verzia všeobecnejšieho hyperoktaedru.

Hexahedron (zem)- správny šesťuholník. Je to kocka pozostávajúca zo šiestich rovnakých štvorcov.

Dodekaedrón- pravidelný dvanásťsten, pozostáva z dvanástich pravidelných a rovnakých päťuholníkov, spojených tromi v blízkosti každého vrcholu. Dvanásťsten má 12 plôch (päťuholníkových), 30 hrán a 20 vrcholov (v každej sa zbiehajú 3 hrany).

Ikosahedrón (voda)- pozostáva z 20 rovnostranných a rovnakých trojuholníkov spojených piatimi blízko každého vrcholu. Počet hrán je 30, počet vrcholov je 12. Ikosahedrón má 59 hviezd.

Mnohosteny sú buď konvexné alebo nekonvexné. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny každej z jeho plôch. Štvorsten, rovnobežnosten a osemsten sú konvexné mnohosteny. Je zrejmé, že všetky plochy konvexného mnohostena sú konvexné mnohouholníky. Dá sa ľahko dokázať, že v konvexnom mnohostene je súčet všetkých rovinných uhlov v každom z jeho vrcholov menší ako 360°.

Pre konvexný mnohosten platí Eulerova veta B + G − P = 2, kde B je počet vrcholov mnohostenu, G je počet stien, P je počet hrán.

Konvexný mnohosten, ktorého všetky vrcholy ležia v dvoch rovnobežných rovinách, sa nazýva prizmatoid. Hranol, pyramída a zrezaná pyramída sú špeciálne prípady prizmatoidu. Všetky bočné strany prizmatoidu sú trojuholníky alebo štvoruholníky a štvoruholníkové steny sú lichobežníky alebo rovnobežníky.

Mnohosten sa tiež delí na pravidelný a nepravidelný. Mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú jeho steny pravidelné mnohouholníky (t. j. tie, v ktorých sú všetky strany a uhly rovnaké) a všetky uhly mnohostenov vo vrcholoch sú rovnaké. Pravidelné mnohosteny sú známe už od staroveku. Pravidelné mnohosteny vo veľkej miere študovali už starí Gréci. Úplný matematický popis pravidelných mnohostenov podal Euklides v poslednej, XIII. knihe Počiatkov. Je tu tiež polopravidelné mnohosteny- vo všeobecnosti ide o rôzne konvexné mnohosteny, ktoré síce nie sú pravidelné, ale majú niektoré svoje znaky, napr.: všetky plochy sú rovnaké, alebo sú všetky plochy pravidelné mnohouholníky, alebo existujú určité priestorové symetrie. Definícia sa môže líšiť a môže zahŕňať rôzne typy mnohostenov, ale predovšetkým sem patria Archimedove telesá.

Hviezdny mnohosten ( Hviezdicové teleso je nekonvexný mnohosten, ktorého tváre sa pretínajú. Podobne ako nehviezdicové mnohosteny sú plochy na hranách spojené v pároch (v tomto prípade sa vnútorné priesečníky nepovažujú za hrany). priesečník s inými plochami pozdĺž nových hrán.

Pravidelné hviezdne mnohosteny sú hviezdicové mnohosteny, ktorých steny sú identické (zhodné) pravidelné alebo hviezdicovité mnohouholníky. Na rozdiel od piatich klasických pravidelných mnohostenov (platónske telesá), tieto mnohosteny nie sú konvexné telesá.

V roku 1811 Augustin Lou Cauchy zistil, že existujú iba 4 pravidelné hviezdne telesá (nazývajú sa Kepler-Poinsotove telesá), ktoré nie sú zlúčeninami platónskych a hviezdnych telies. Patrí medzi ne malý hviezdicový dvanásťsten a veľký hviezdicový dvanásťsten, ktorý objavil Johannes Kepler v roku 1619, a veľký dvanásťsten a veľký dvadsaťsten, ktorý objavil v roku 1809 Louis Poinsot. Zostávajúce pravidelné hviezdicovité mnohosteny sú buď zlúčeniny platónskych pevných látok, alebo zlúčeniny Kepler-Poinsotových pevných látok.

Polopravidelné hviezdne mnohosteny sú hviezdicové mnohosteny, ktorých steny sú pravidelné alebo hviezdicovité mnohouholníky, ale nemusia byť nevyhnutne identické. V tomto prípade musí byť štruktúra všetkých vrcholov rovnaká (podmienka homogénnosti). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins a J. Miller v roku 1954 vymenovali 53 takýchto tiel a predložili hypotézu o úplnosti ich zoznamu. Až oveľa neskôr, v roku 1969, sa Sopovovi S.P. podarilo dokázať, že zoznam nimi prezentovaných mnohostenov je skutočne úplný.

Mnoho foriem hviezdicových mnohostenov navrhuje samotná príroda. Napríklad snehové vločky sú ploché projekcie hviezdicových mnohostenov. Niektoré molekuly majú správnu štruktúru trojrozmerných obrazcov.

Vlastnosti mnohostenov:

Vlastnosť 1. V konvexnom mnohostene sú všetky plochy konvexnými mnohouholníkmi.

Vlastnosť 2. Konvexný mnohosten môže byť zložený z ihlanov so spoločným vrcholom, ktorých základne tvoria povrch mnohostena.

Vlastnosť 3. Konvexný mnohosten leží na jednej strane roviny každej z jeho plôch.

Vlastnosť 4. V každom konvexnom mnohostene je plocha s počtom hrán menším alebo rovným päť.

Nie všetky uvedené typy mnohostenov sú študované a aplikované na základnej škole. Najčastejšie sa žiaci na hodinách matematiky oboznamujú s kockou, mnohouholníkom, pyramídou, valcom, rovnobežnostenom. Príkladom autorov učebníc je Istomina A.I. 3. ročník, Dorofeev G.V., Mirakova T.N., Buka T.B. 3. ročník, Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. 3. stupeň; tiež začínajú, zoznamujú sa v 2. ročníku, to je príklad učebníc Dorofeev G.V., Mirakova T.N. 2. ročník

Zvažovali sme teda pojmy mnohostena a jeho vlastnosti. Vymenoval typy mnohostenov. Oboznámili sme sa s históriou objavenia mnohostenu. Zistilo sa, že mnohosteny majú veľký význam v prírode a pre ľudí. Takže napríklad polyhedra sa používajú v stavebníctve.

Trojstenné a mnohostenné uhly:
Trojstenný uhol je tvar
tvorený tromi rovinami ohraničenými tromi lúčmi vychádzajúcimi z
jeden bod a nie klamstvo v jednom
lietadlá.
Zvážte nejaký byt
polygón a bod mimo
rovina tohto mnohouholníka.
Nakreslime lúče z tohto bodu,
prechádzajúci cez vrcholy
mnohouholník. Dostaneme postavu
ktorý sa nazýva mnohostranný
uhol.

Trojstenný uhol je súčasťou priestoru
ohraničený tromi plochými rohmi so spoločným
summit
A
v pároch
všeobecný
večierky,
nie
ležiace v rovnakej rovine. Spoločný top O týchto
rohy
volal
summit
trojstenný
uhol.
Strany rohov sa nazývajú hrany, ploché rohy
na vrchole trojstenného uhla sa nazývajú jeho
tváre. Každá z troch párov plôch má trojstenný uhol
tvorí dihedrálny uhol

Základné vlastnosti trojstenného uhla
1. Každý rovinný uhol trojstenného uhla je menší ako súčet
jeho ďalšie dva ploché rohy.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - ploché uhly,
A, B, C - dvojstenné uhly zložené z rovín
uhly β a γ, α a γ, α a β.
2. Súčet rovinných uhlov trojstenného uhla je menší ako
360 stupňov
3. Prvá kosínusová veta
pre trojstenný uhol
4. Druhá kosínusová veta pre trojstenný uhol

,
5. Sínusová veta
Mnohostenný uhol, ktorého vnútro je
umiestnené na jednej strane roviny každého z nich
jeho tváre sa nazývajú konvexný mnohosten
uhol. V opačnom prípade polyedrický uhol
sa nazýva nekonvexné.

Mnohosten je teleso, plocha
ktorý pozostáva z konečného čísla
ploché polygóny.

Polyhedron prvky
Tváre mnohostenu sú
polygóny, ktoré
formulár.
Okraje mnohostenu sú strany
polygóny.
Vrcholy mnohostenu sú
polygónové vrcholy.
Uhlopriečka mnohostenu je
úsečka spájajúca 2 vrcholy
nepatria k tej istej tvári.

Polyhedra
konvexné
nekonvexné

Mnohosten sa nazýva konvexný,
ak je na jednej strane
rovina každého mnohouholníka na jeho
povrchy.

KONVEXNÉ LYHEDRÁLNE UHLY

Polyedrický uhol sa nazýva konvexný, ak je konvexný
obrazec, t.j. spolu s ľubovoľnými dvoma jeho bodmi úplne obsahuje a
čiara, ktorá ich spája.
Obrázok ukazuje príklady
konvexné
A
nekonvexné
polyedrické rohy.
Veta. Súčet všetkých rovinných uhlov konvexného mnohostenného uhla je menší ako 360°.

KONVEXNÉ POLYTOPY

Uhlový mnohosten sa nazýva konvexný, ak ide o konvexný útvar,
t. j. spolu s ľubovoľnými dvoma svojimi bodmi úplne obsahuje spojenie
ich segment.
Kocka, rovnobežnosten, trojuholníkový hranol a pyramída sú konvexné
polyhedra.
Obrázok ukazuje príklady konvexnej a nekonvexnej pyramídy.

NEHNUTEĽNOSŤ 1

Vlastnosť 1. V konvexnom mnohostene sú všetky tváre
konvexné polygóny.
Vskutku, nech F je nejaká tvár mnohostenu
M, a body A, B patria stene F. Z podmienky konvexnosti
polyhedron M, z toho vyplýva, že segment AB je celý obsiahnutý
v mnohostene M. Keďže tento segment leží v rovine
polygón F, bude celý obsiahnutý v tomto
polygón, t.j. F je konvexný mnohouholník.

NEHNUTEĽNOSŤ 2

Vlastnosť 2. Môže sa skladať akýkoľvek konvexný mnohosten
pyramídy so spoločným vrcholom, ktorých základne tvoria plochu
mnohosten.
Vskutku, nech M je konvexný mnohosten. Vezmime si nejaké
vnútorný bod S mnohostenu M, t.j. jeho bod, ktorý nie je
nepatrí žiadnej stene mnohostenu M. Bod S spojíme s
vrcholy mnohostenu M ako segmenty. Všimnite si, že kvôli konvexnosti
mnohosten M, všetky tieto segmenty sú obsiahnuté v M. Uvažujme pyramídy s
vrchol S, ktorého základňami sú steny mnohostenu M. Tieto
pyramídy sú úplne obsiahnuté v M a spolu tvoria mnohosten M.

Pravidelné mnohosteny

Ak sú tváre mnohostenu
pravidelné polygóny s jedným a
rovnaký počet strán a v každom vrchole
mnohosten konverguje rovnaké číslo
hrany, potom konvexný mnohosten
nazval správne.

Názvy mnohostenov

pochádza zo starovekého Grécka,
označujú počet tvárí:
tvár "hedra";
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"okta" 8;
"ikosa" 20;
dodeca 12.

pravidelný štvorsten

Ryža. 1
Zložené zo štyroch
rovnostranný
trojuholníky. Každý
jeho vrchol je
top z troch
trojuholníky.
Preto súčet
ploché rohy pri
každý vrchol sa rovná
180º.

Pravidelný osemsten
Ryža. 2
Zložené z ôsmich
rovnostranný
trojuholníky. Každý
vrchol osemstenu
je vrchol
štyri trojuholníky.
Preto súčet
ploché rohy pri
každý vrchol 240º.

Pravidelný dvadsaťsten
Ryža. 3
Zložený z dvadsiatich
rovnostranný
trojuholníky. Každý
vrchol dvadsaťstenu
je päť najlepších
trojuholníky.
Preto súčet
ploché rohy pri
každý vrchol sa rovná
300º.

Kocka (šesťsten)

Ryža.
4
Zložený zo šiestich
štvorcov. Každý
horná časť kocky je
vrchol troch štvorcov.
Preto súčet
ploché rohy pre každého
vrchol je 270º.

Pravidelný dvanásťsten
Ryža. 5
Zložený z dvanástich
správne
päťuholníkov. Každý
vrchol dvanástnika
je vrcholom troch
správne
päťuholníkov.
Preto súčet
ploché rohy pri
každý vrchol sa rovná
324º.

Tabuľka č.1
Správne
mnohosten
číslo
tváre
vrcholov
rebrá
Tetrahedron
4
4
6
Kocka
6
8
12
Octaedron
8
6
12
Dodekaedrón
12
20
30
dvadsaťsten
20
12
30

Eulerov vzorec
Súčet počtu plôch a vrcholov ľubovoľnej
mnohosten
sa rovná počtu hrán plus 2.
G+W=R+2
Počet plôch plus počet vrcholov mínus číslo
rebrá
v akomkoľvek mnohostene je 2.
H+W R=2

Tabuľka číslo 2
číslo
Správne
mnohosten
Tetrahedron
tváre a
vrcholov
(G+V)
rebrá
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Kocka
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Octaedron
8 + 6 = 14
12
"octa"
Dodekaedrón
12 + 20 = 32
30
dodeca"
12.
30
"ikosa"
20
dvadsaťsten
20 + 12 = 32
8

Dualita pravidelných mnohostenov

Hexaedrón (kocka) a oktaedrón tvoria
dvojitý pár mnohostenov. číslo
plochy jedného mnohostenu sa rovná číslu
vrcholy toho druhého a naopak.

Vezmite ľubovoľnú kocku a zvážte mnohosten s
vrcholy v stredoch jej plôch. Aké ľahké
uistite sa, že dostaneme osemsten.

Stredy plôch osemstenu slúžia ako vrcholy kocky.

Mnohosteny v prírode, chémii a biológii
Kryštály niektorých látok, ktoré poznáme, sú vo forme pravidelných mnohostenov.
Crystal
pyrit-
prirodzené
Model
dvanásťsten.
kryštály
varenie
soli prejsť
tvar kocky.
Monokryštál
antimón
Crystal
síran hlinitý
(hranol)
kamenec draselný sodík - štvorsten.
má formu
osemsten.
V molekule
má metán
formulár
správne
štvorsten.
Dvadsaťsten bol v centre pozornosti biológov v ich sporoch o tvar
vírusy. Vírus nemôže byť dokonale okrúhly, ako sa predtým myslelo. Komu
aby vytvorili jeho tvar, vzali rôzne mnohosteny a nasmerovali na ne svetlo
v rovnakých uhloch ako prúdenie atómov k vírusu. Ukázalo sa, že iba jeden
mnohosten dáva presne ten istý tieň - dvadsaťsten.
V procese delenia vajíčka sa najskôr vytvorí štvorsten so štyrmi bunkami
oktaedr, kocka a nakoniec dodekaedrická-ikosaedrická štruktúra gastruly. A nakoniec
azda to najdôležitejšie – štruktúra DNA genetického kódu života – predstavuje
štvorrozmerný pohyb (pozdĺž časovej osi) rotujúceho dvanásťstena!

Mnohosten v umení
"Portrét Monny Lisy"
Kompozícia kresby je založená na zlatej farbe
trojuholníky, ktoré sú časťami
pravidelný hviezdicový päťuholník.
rytina "Melanchólia"
V popredí obrazu
zobrazený dvanásťsten.
"Posledná večera"
Kristus so svojimi učeníkmi je zobrazený v
pozadie obrovského priehľadného dvanásťstena.

Mnohosteny v architektúre
Múzeá ovocia
Múzeum ovocia v Yamanashi bolo vytvorené pomocou
3D modelovanie.
pyramídy
Alexandrijský maják
Spasská veža
Kremeľ.
Štvorposchodová Spasská veža s kostolom Spasiteľa
Nie je vyrobený ručne - hlavný vchod do Kazanského Kremľa.
Postavený v 16. storočí pskovskými architektmi Ivanom
Shiryayem a Postnik Yakovlev, prezývaný
"Barma". Štyri úrovne veže sú
kocka, mnohosten a pyramída.