Všetky problémy v tejto časti sú voliteľné v tom zmysle, že nie je nevyhnutné, aby ich všetci študenti dokázali vyriešiť. Používajte ich v takej miere, v akej to bude pre vašich študentov zaujímavé, pokiaľ môžete organizovať vzdelávacie aktivity školákov, ktoré prispievajú k ich rozvoju. Prvé úlohy sú dobré na frontálnu prácu s triedou. Po práci s nimi sa žiaci učia lepšie rozlišovať medzi priamou a nepriamou úmernosťou, zažívajú menšie ťažkosti s úlohami na jednoduchom trojitom pravidle.
278 .* 3 sliepky zniesli 3 vajcia za 3 dni. Koľko vajec znesie 12 sliepok za 12 dní?
Študenti budú veľmi prekvapení, keď sa dozvedia, že „zrejmá“ odpoveď „12 vajec“ je nesprávna. Riešenie prvého problému z tejto časti je najlepšie analyzovať spoločne, možno po nejakej domácej úvahe. Usmerňujúce otázky sú uvedené v časti „Odpovede a tipy“. Stručne zapíšte stav problému:
dni kuracích vajec
12 12 x,
počas dialógu musíte zistiť, koľkokrát sa zvýšil počet kurčiat (4-krát); ako sa zmenil počet vajec, ak sa počet dní nezmenil (zvýšil sa 4-krát); koľkokrát sa počet dní zvýšil (4-krát); ako sa zmenil počet vajec (zvýšil sa 4-krát). V dôsledku toho je počet vajec:
x = 3 4 4 = 48.
279 .* 100 kozičiek za 100 dní zje 100 kg zrná. Koľko kilogramov obilia zje 10 sýkoriek za 10 dní?
280 .* 3 maliari dokážu namaľovať 60 okien za 5 dní.
a) Koľko maliarov treba prideliť na maľovanie okien, aby za 2 dni namaľovali 64 okien?
b) Koľko okien namaľuje 5 maliarov za 4 dni?
c) Koľko dní bude trvať 2 maliarom namaľovať 48 okien?
281 .* a) 2 bagre za 2 h kopať 2 m priekopy. Koľko kopáčov za 5 h kopať 5 m priekopy?
b) 10 čerpadiel za 10 min odčerpať 10 t voda. Koľko minút odčerpá 25 čerpadiel 25 t voda?
282 .* Kurzy cudzích jazykov si prenajímajú učebne v škole. V prvom polroku za prenájom 4 učební na 6 dní v týždni škola získala 336 R. za mesiac. Aký bude mesačný nájom v druhom polroku za 5 tried, 5 dní v týždni za rovnakých podmienok?
283 .* Od "Aritmetika" L.F. Magnitského. Niekto mal 100 R. u obchodníkov na 1 rok a získal len 7 z nich R. A keď dal 1000 obchodníkom R. za 5 rokov, koľko priberú?
284 .* Zo "Všeobecnej aritmetiky" I. Newtona. Ak pisár dokáže napísať 15 fólií za 8 dní, koľko pisárov bude potrebných na napísanie 405 fólií za 9 dní?
285 .* Starý problém. Kopírovač dokáže skopírovať 40 listov do 4 dní, pričom pracuje na 9 h o deň. Za koľko dní skopíruje 60 listov, pričom spracuje 12 h o deň?
286 .* Hostesky sa opýtali:
Znášajú vaše kurčatá dobre?
Zamyslite sa sami, - znela odpoveď, - jeden a pol sliepky znesie za deň a pol jeden a pol vajíčka a celkovo mám 12 sliepok.
Koľko vajec znesú kurčatá denne?
287 .* a) V prvom tíme kopáčov sú 4 ľudia - sú za 4 h kopal 4 m priekopy. V druhej brigáde kopáčov je 5 ľudí - sú pre 5 h kopal 5 m priekopy. Ktorý tím funguje najlepšie?
b) Prvá gazdiná 3 sliepky zniesli 6 vajec za 3 dni a druhá gazdiná 4 sliepky zniesli 8 vajec za 4 dni. Ktorá gazdiná má lepšie sliepky?
288 .* Staroveké úlohy. a) Údržba 45 ľudí bola vynaložená za 56 dní v roku 2040 R. Koľko by sa malo minúť na podporu 75 ľudí na 70 dní?
b) Na tlač knihy s 32 riadkami na stranu a 30 písmenami na riadok je potrebných 24 listov papiera na každú kópiu. Koľko listov papiera je potrebných na vytlačenie tejto knihy v rovnakom formáte, ale s 36 riadkami na stranu a 32 písmenami na riadok?
Zvážte zložitejšie problémy so štyrmi a dokonca šiestimi veličinami. Môžu byť zadané ako nepovinná domáca úloha tým najsilnejším študentom, ktorí radi riešia hádanky.
289 .* Z "Arithmetic" od A.P. Kiseleva.
a) 120 libier petroleja bolo použitých na osvetlenie 18 miestností za 48 dní, pričom v každej miestnosti svietili 4 lampy. Koľko dní vydrží 125 libier petroleja, ak je osvetlených 20 izieb a 3 lampy v každej izbe?
b) Pre 5 rovnakých petrolejových kachlí, ktoré horeli 24 dní, 6 h denne, minul 120 l petrolej. Koľko dní stačí 216 l petrolej, ak 9 toho istého petroleja spáli 8 h o deň?
290 .* Stará úloha. Artel bagrov s 26 ľuďmi, ktorí pracujú s 12 strojmi h za deň, dokáže vykopať kanál pri 96 m dĺžka, 20 mšírka a 12 dm hĺbky do 40 dní. Ako dlho môže byť vykopaný kanál 39 kopáčmi, ktorí pracujú 80 dní na 10 h za deň, ak by šírka kanála mala byť 10 m hĺbka 18 dm?
Úloha 290 S.I. Šochor-Trockij ju považoval za nevyhovujúcu pre životné podmienky a nevhodnú pre školskú prax, považoval ju vo svojej „metóde aritmetiky“ (1935) „pre seba“. Aplikujme nami vylepšený „konečný vzorec“. V silnej triede možno túto metódu ukázať žiakom, ale len s ich aktívnou účasťou na riešení – inak bude práca bezvýznamná. Nižšie je uvedená stručná podmienka problému a argumentácia, paralelne s ktorou možno na tabuli uchovávať postupne dopĺňaný záznam, zobrazený vpravo.
Dĺžka Pers. Dni hodina. Shir. Ch.
96 26 40 12 20 12
x 39 80 10 10 18
Dĺžka kanála sa bude zvyšovať od
nárast počtu ľudí v 39 / 26 krát, x = 96· 39/26
z nárastu počtu dní v 80 / 40 krát x = 96 39/26 80/40
a zo zmenšenia šírky v 20 / 10 časy; x = 96 39/26 80/40 .
Dĺžka kanála sa zmenší z
zníženie počtu hodín 12 / 10 krát a x = 96 39/26 80/40 20/10: 12/10
a z rastúcej hĺbky v 18 / 12 krát: x = 96· 39/26 · 80/40 · 20/10: 12/10: 18/12.
Nakoniec máme: x = 320. To znamená, že 39 bagrov môže vykopať kanál dlhý 320 m.
Všetky problémy v tejto časti sú voliteľné v tom zmysle, že nie je nevyhnutné, aby ich všetci študenti dokázali vyriešiť. Používajte ich v takej miere, v akej to bude pre vašich študentov zaujímavé.
Tri sliepky zniesli 3 vajcia za 3 dni. Koľko vajec znesie 12 sliepok za 12 dní?
Študenti budú veľmi prekvapení, keď sa dozvedia, že „zrejmá“ odpoveď „12 vajec“ je nesprávna. Je lepšie analyzovať riešenie prvého problému z tejto časti kolektívne, možno po premýšľaní doma a stručne zapísať stav problému:
Kuracie dni vajcia
3 33
12 12 x
Počas dialógu musíte zistiť, koľkokrát sa zvýšil počet kurčiat (4-krát); ako sa zmenil počet vajec, ak sa počet dní nezmenil (zvýšil sa 4-krát); koľkokrát sa počet dní zvýšil (4-krát); ako sa zmenil počet vajec (zvýšil sa 4-krát). Počet vajec je: x = 3 4 4 = 48.
2. Traja maliari dokážu namaľovať 60 okien za 5 dní. Koľko maliarov treba prideliť na maľovanie okien, aby za 2 dni namaľovali 64 okien?
3. Kurzy cudzích jazykov prenajímajú priestory na vyučovanie v škole. Za prenájom štyroch učební na 6 dní v týždni dostala škola v prvom polroku 336 rubľov. za mesiac. Aký bude mesačný nájom v druhom polroku za 5 tried, 5 dní v týždni za rovnakých podmienok?
4. (Z "Všeobecnej aritmetiky" od I. Newtona.) Ak pisár dokáže napísať 15 fólií za 8 dní, koľko pisárov bude potrebných na napísanie 405 fólií za 9 dní?
5. (Starý problém.) Na údržbu 45 ľudí sa za 56 dní minulo 2040 rubľov. Koľko by sa malo minúť na podporu 75 ľudí na 70 dní?
Zvážte zložitejšie problémy so štyrmi a dokonca šiestimi veličinami. Môžu byť zadané ako nepovinná domáca úloha tým najsilnejším študentom, ktorí radi riešia hádanky.
6. (Z "Aritmetiky" od A. Kiselyova.) Na osvetlenie 18 izieb sa za 48 dní minulo 120 libier petroleja a v každej izbe horeli 4 lampy. Koľko dní vydrží 125 libier petroleja, ak je osvetlených 20 izieb a 3 lampy v každej izbe?
7. (Starý problém.) Artel 26 bagrov pracujúcich so strojmi 12 hodín denne dokáže vyhĺbiť kanál dlhý 96 m, široký 20 m a hlboký 12 dm za 40 dní. Ako dlho môže byť prieplav hĺbený 39 kopáčmi pracujúcimi 80 dní 10 hodín denne, ak má byť šírka prieplavu 10 m, hĺbka je 18 dm?
Dobré znášať, dobré učiť,
Dosahujte ciele cez nepriazeň osudu
Slúžte pravde s láskou -
Tomu hovorím múdrosť.
A. V. Elisov.
Zloženie skúšky z matematiky v novej forme absolventmi základných škôl a absolventmi stredných škôl formou jednotnej štátnej skúšky položilo učiteľom niekoľko otázok: Ako učiť v nových podmienkach? Ako zorganizovať hodinu tak, aby študenti boli po skúške spokojní a nepovedali, že „takéto problémy sme neriešili“? Slová L.G. Peterson: „Hodnota dnes nie je tam, kde sa svet vníma podľa schémy „viem – neviem, môžem – nemôžem, vlastním – nie“, ale kde je téza "Hľadám a nachádzam, myslím a učím sa, trénujem a robím." Do popredia sa dostáva osobnosť žiaka, jeho postoj k svetu, schopnosť kultúrnej komunikácie a reflexie, primerané sebahodnotenie a sebarozvoj, zameranie na tvorbu a dobro.
Aká by mala byť moderná lekcia? V prvom rade je to zaujímavá lekcia. Len tak si udržíte vysokú motiváciu a emocionálne zafarbenie hodiny. Ide o premyslenú štruktúru hodiny a logiku učenia sa nového učiva a rôznorodosť didaktického materiálu a organizáciu práce študentov a neustále hľadanie foriem a metód výučby a technického vybavenia školy. lekciu.
Kde začať? Na začiatku každého akademického roka v 5. – 9. ročníku robím vstupné monitorovacie testy na zistenie zvyškových vedomostí študentov. Podľa zvyškových vedomostí usadím deti v súlade s tromi úrovňami tréningu do určitých radov. Študenti zároveň vedia, že keď si látku osvoja, môžu prejsť do ďalšej skupiny z hľadiska úrovne ich prípravy.
Aby som dosiahol dobré výsledky v každej lekcii, vediem povinný ústny výpočet, výučbu samostatnej práce, testy. V 6. ročníku by žiaci mali dobre zvládnuť tému s kladnými a zápornými číslami, v 7. ročníku by sa mali dobre učiť vzorce skráteného násobenia, v 8. ročníku by mali riešiť kvadratické rovnice. Toto sú globálne témy, ktoré sa nedajú spustiť. V 5. – 7. ročníku používam pracovné zošity s testovacími úlohami, ako aj zbierky úloh s testami. Oboznámenie študentov s algoritmami riešenia problémov prebieha na vyučovacej hodine - prednáškach. Chalani majú samostatný zošit, do ktorého si zapisujú pokyny a ukážku úlohy. Ďalší rozvoj sa uskutočňuje na praktických hodinách s rôznymi formami práce (frontálna, skupinová, individuálna). Aby som rýchlo kontroloval asimiláciu algoritmu, veľmi často (každú hodinu alebo každú hodinu) vykonávam malú samostatnú prácu, ktorej účelom nie je dávať známky, ale identifikovať tých študentov, ktorí niečomu nerozumejú. Títo chlapi majú okamžitú pomoc od konzultantov alebo vysvetľujem znova a zavolám na predstavenstvo. Pri organizovaní práce v skupinách dostávajú niektorí žiaci úlohy zamerané na dosiahnutie povinných študijných výsledkov a niektorí majú pred sebou vzorovú úlohu, iní majú len algoritmus, silnejší žiaci dostávajú úlohy na pokročilej úrovni. Na takejto hodine je moja práca zameraná na slabších žiakov, v silnej skupine spravidla vždy kolektívnym úsilím nájdu správne riešenie, samostatne aplikujú poznatky a metódy činnosti v novej situácii. Pri hodnotení študentov sa neponáhľam so zapisovaním známok do denníka, vždy dávam možnosť získať vyššiu známku a určite opraviť „dvojku“, preto musí študent pracovať na chybách na svojom vlastné alebo s pomocou konzultantov (s mojou pomocou), a potom riešiť podobnú úlohu na lekcii .
Hlavná vec je, že časom sa chlapci prestávajú báť "dvojky", kladú otázky odvážnejšie, vyrovnávajú sa s úlohami povinnej úrovne. Atmosféra na lekcii je priateľská, pokojná.
Výučbové algoritmy umožňujú dosiahnuť povinnú úroveň učenia pre najslabších študentov a nemôžu viesť k štandardizácii myslenia a potláčaniu tvorivých schopností detí, pretože rozvoj rôznych automatizovaných činností (zručností) je nevyhnutnou súčasťou tvorivého procesu. , bez ktorej to jednoducho nejde.
Učenie sa algoritmov sa neobmedzuje len na ich zapamätanie, ale zahŕňa aj samostatné objavovanie, konštrukciu a tvorbu algoritmov, a to je tvorivý proces. Napokon, algoritmizácia nepokrýva celý vzdelávací proces, ale iba tie jeho súčasti, kde je to vhodné. Systém algoritmov - programov umožňuje do určitej miery automatizovať vzdelávací proces v štádiu rozvíjania zručností pri riešení typických problémov a vytvára široké možnosti pre aktívnu samostatnú prácu študentov.
Na konci 7. ročníka a v 8. ročníku zoznamujem žiakov so zbierkou úloh na prípravu na štátnu záverečnú atestáciu v 9. ročníku od L. V. Kuznecovovej, vydavateľstvo Prosveshchenie 2007-2009. Tento zborník je určený na prípravu na štátnu záverečnú certifikáciu z algebry v novej podobe, ktorá pozostáva z troch hlavných častí a dvoch príloh.
V 9. ročníku rozvíjam systém prípravy žiakov na skúšku pre kurz základnej školy.
V kalendárovo-tematickom plánovaní hodín algebry pre 9. ročník uvádzam témy, ktoré si treba zopakovať
Hlavná vlastnosť proporcie;
Problémy pri zostavovaní a riešení proporcií;
Záujmové úlohy;
Skrátené vzorce násobenia;
Výrazy a ich premeny
Rovnice a sústavy rovníc;
Nerovnosti a systémy nerovností;
Aritmetické a geometrické postupnosti.
Opakovanie vykonávam na hodine aj po hodine prostredníctvom systémových konzultácií. Na hodine, po vytvorení mikroklímy v triede, vypracujem algoritmizáciu akcií; udržiavaním záujmu žiakov o predmet, vytváram motiváciu k učeniu. Študenti sa dobre naučia požadovaný minimálny materiál z matematiky, ak používajú metodické techniky:
Riešenie problémov podľa vzoru;
Zváženie rôznych prístupov k riešeniu toho istého problému;
Zostavovanie referenčných diagramov a používanie iných názorných učebných pomôcok;
Správny výber tém a úrovne úloh, ktoré im dávajú zábavnú formu;
Využitie súťaženia podnietené nasledujúcimi učiteľskými otázkami: „Ako rýchlejšie vyriešiť?“, Kto má najkratšie riešenie?“. , Najľahší?".
Vykonávam tematickú kontrolu pomocou testovania podľa pravidiel organizácie práce s testami:
Žiaci si robia poznámky na kartičky s odpoveďami;
Učiteľ dáva pokyny, ako správne vyplniť kartu;
Časy ukončenia a normy hodnotenia musia byť študentovi vopred vysvetlené.
Na hodinách využívam kartičky-konzultanti, pomocou ktorých si opakujú preberanú látku. Obsahujú všetky podmienené momenty študovanej témy, ako aj algoritmus na riešenie úloh.
KARTA-KONZULTANT K TÉME
"SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNIC"
Systém lineárnych rovníc: 
:
Spôsoby, ako to vyriešiť
| Grafický spôsob | Substitučná metóda | Spôsob pridávania |
| 1. V každej rovnici vyjadrite y pomocou x 2. Nakreslite funkciu každej rovnice 3. Určte súradnice priesečníka | 1. Z ľubovoľnej rovnice vyjadrovať jednu premennú z hľadiska inej. 2. Získané výrazy dosaďte a vyriešte. 3. Dosaďte zistenú hodnotu premennej a vypočítajte hodnotu druhej premennej. | 1. Vyrovnajte moduly koeficientov ľubovoľnej premennej. 2. Sčítajte (odčítajte) prijaté rovnice sústavy. 3. Zostavte nový systém: jedna rovnica je nová, druhá je jedna zo starých. 4. Vyriešte novú rovnicu a nájdite hodnotu jednej premennej. 5. Dosaďte hodnotu nájdenej premennej do starej rovnice a nájdite hodnotu inej premennej. |
Odpoveď: x \u003d _______; y =_______
Pri práci so slabšími deťmi využívam celý arzenál kariet Pracuj podľa vzoru!“ , ktoré vám umožňujú vypracovať algoritmus rôznych akcií a matematických operácií.
Vzorové zadania.
| 1 výraz | 2 výraz | Súčin rozdielu týchto výrazov ich súčtom | Rozdiel druhých mocnín týchto výrazov |
| s 3r 0,5 x ach | s 5v 2r 2s | (c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v) | C2 - x 2 9u 2 – 25v 2 |
Študenti musia dokončiť úlohy s medzerami. Vynechávajú sa kľúčové slová, ktorých správne zapamätanie svedčí o pochopení látky.
Absolvujte úlohy.
odmocniny.
Použite tematické tabuľky pre rôzne časti školského kurzu. Každá tabuľka stručne načrtáva teóriu konkrétneho problému (definície, vety, dôsledky, vzorce); sú uvedené nákresy, grafy, ako aj príklady riešenia najzásadnejších problémov.
Tabuľky pomáhajú systematizovať vedomosti, rýchlo a úplne opakovať hlavné body konkrétnej témy.
Tabuľka. odmocniny.
| Definícia aritmetického koreňa  |  = 4, pretože 4 0, 4 2 = 16;
−5, pretože -5 0;
| 
2 0,8 |
| identity | Základné vlastnosti |
|
| 
| 
|
7, pretože 7 2 25;
neurčené. 
3;
0,9. 
Porovnania súvisiace s odmocninami
Ak a b 0, potom 
.
.
Ak a 1, potom a a 1.
Ak 0 a 1, potom a a 0 1.
| Odstránenie spod koreňa
| Úvod pod koreň
|
 ;
|  ;
|
, b 0
;
;
;Vediem hodiny zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí. Bez hodín zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí, nazývaných aj hodiny zovšeobecňujúceho opakovania, nemožno proces opakovania vzdelávacích materiálov študentmi považovať za ukončený. Hlavným účelom týchto lekcií je asimilovať študentmi súvislosti a vzťahy medzi pojmami, teóriami, pri vytváraní holistického pohľadu študentov na študovanú látku, jej význam a aplikáciu v konkrétnych podmienkach. Sumarizácia a opakovanie sú zamerané na to, aby študenti uspeli na skúškach z matematiky. Uvediem príklad zovšeobecňujúceho opakovania na tému: "Riešenie textových úloh."
otázky:
Jednoduché proporčné problémy.
Ťažké pomerové problémy.
Test číslo 1.
Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Nájdenie percenta.
Test číslo 2.
Komplexné problémy s percentami. Cvičenie.
Úlohy na pohyb po rieke.
Pohybové úlohy.
Test číslo 3.
Test číslo 4.
Úlohy na násobenie a delenie prirodzených čísel.
Časti úloh.
Úlohy spolupráce.
Riešenie problémov pomocou rovníc.
Test číslo 5.
Rôzne úlohy. Otázky a úlohy.
Použité zdroje :
Algebra: Sat. úlohy na prípravu na záverečnú certifikáciu v 9. ročníku / [L. V. Kuznecovová, S. B. Suvorová, E. A. Bunimovič a ďalší]. M.: Vzdelávanie, 2007.
Náučné a metodické noviny Matematika 2005, číslo 18, 19, 20, 21, 22, 23, 2007 číslo 18, 19; 2008 č. 11, 12.
Programy vzdelávacích inštitúcií. Algebra 7-9. Moskva. Vzdelávanie. 2008 Zostavila: Burmistrová T. A.
Jednoduché problémy s proporciou
Prvé úlohy zahŕňajú získanie odpovede na základe zažitých predstáv žiakov, sú zamerané na zopakovanie pojmov priamej a nepriamej úmernosti.
Pri riešení prvých problémov je vhodné zdôrazniť, že kúpnu cenu určuje vzorec
cena = cena množstvo,
a sledujte, ako sa pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) jednej hodnoty zmení druhá hodnota s treťou nezmenenou.
1°. Za niekoľko rovnakých ceruziek zaplatili 8 rubľov. Koľko by ste mali zaplatiť za rovnaké ceruzky, ak ste ich kúpili 2-krát menej?
2°. Za niekoľko rovnakých ceruziek zaplatili 8 rubľov. Koľko by ste mali zaplatiť za rovnaký počet ceruziek, z ktorých každá je 2-krát drahšia?
3°. Sú peniaze na nákup 30 ceruziek. Koľko zápisníkov sa dá kúpiť za rovnaké peniaze, ak je zápisník 2-krát lacnejší ako ceruzka?
Cyklista prešiel za pár hodín 36 km. Akú vzdialenosť prejde za rovnaký čas chodec, ktorého rýchlosť je 3-krát nižšia ako rýchlosť cyklistu?
Cyklista prejde určitú vzdialenosť za 3 hodiny Koľko hodín bude trvať prejdenie tejto vzdialenosti motocyklistovi, ktorého rýchlosť je 5-krát väčšia ako rýchlosť cyklistu?
Prejdime k riešeniu problémov pomocou proporcií. Prvý z nich obsahuje celočíselné hodnoty veličín, ktorých pomer je tiež celé číslo.
6. Za 6 hodín vlak prešiel 480 km. Akú vzdialenosť prekonal vlak za prvé 2 hodiny, ak bola jeho rýchlosť konštantná?
7. Na výrobu čerešňového džemu na 6 kg bobúľ vezmite 4 kg kryštálového cukru. Koľko kilogramov kryštálového cukru by sa malo vziať na 12 kg bobúľ?
100 g roztoku obsahuje 4 g soli. Koľko gramov soli obsahuje 300 g roztoku?
9. Osobný vlak prekonal vzdialenosť medzi dvoma mestami rýchlosťou 80 km/h za 3 hodiny Koľko hodín by potreboval nákladný vlak prejsť rovnakú vzdialenosť rýchlosťou 40 km/h?
10. Piati maliari dokázali natrieť plot za 8 dní. Koľko dní bude trvať 10 maliarov, kým natrie rovnaký plot?
V probléme 10, ako aj v mnohých iných problémoch, sa predpokladá, že všetci pracovníci pracujú s rovnakou produktivitou a navzájom sa nerušia. Je žiaduce, aby to bolo vždy stanovené, aby študenti boli k takýmto podmienkam viac pozorní.
Aby nenadobudli dojem, že existujú len dva druhy závislosti – priama alebo nepriamo úmerná – je užitočné zvážiť provokatívne úlohy, pri ktorých má závislosť iný charakter.
11. 1) Za 2 hodiny bolo ulovených 12 karasov. Koľko kaprov sa uloví za 3 hodiny?
Traja kohúti zobudili 6 ľudí. Koľko ľudí zobudí päť kohútov?
Keď Vasya prečítal 10 strán knihy, má na prečítanie ešte 90 strán. Koľko strán mu zostane na prečítanie, keď prečíta 30 strán?
Vzťah medzi počtom prečítaných strán v knihe a počtom zostávajúcich strán sa často berie ako inverzný vzťah: čím viac strán sa číta, tým menej zostáva na prečítanie. Venujte pozornosť deťom, aby zvýšenie jednej a zníženie druhej hodnoty nenastalo v rovnakom počte krát.
Zvážte problém, v ktorom sa závislosť medzi veličinami často berie ako priama úmernosť a odpoveď „do 4 týždňov“ sa považuje za správnu.
12*. Jazierko je zarastené ľaliami a o týždeň sa plocha pokrytá ľaliami zdvojnásobí. Za koľko týždňov je jazierko do polovice pokryté ľaliami, ak je úplne pokryté ľaliami za 8 týždňov?
Keďže plocha pokrytá ľaliami sa za týždeň zdvojnásobí, týždeň predtým bolo jazierko úplne pokryté ľaliami, jeho plocha bola nimi pokrytá z polovice. To znamená, že rybník bol za 7 týždňov napoly pokrytý ľaliami?
8 m látky stálo rovnako ako 63 m chintzu. Koľko metrov chintzov sa dá kúpiť namiesto 12 metrov látky?
(Starý problém.) V horúcom dni vypilo sud kvasu 6 kosačiek za 8 hodín Potrebujeme zistiť, koľko kosačiek vypije rovnaký sud kvasu za 3 hodiny?
(Z "Aritmetiky" Al. Kiseljova?) 8 arshinov látky stojí 30 rubľov. Koľko stojí 15 arshinov tejto látky?
Nákladné auto rýchlosťou 60 km/h prekonalo vzdialenosť medzi mestami za 8 hodín Za koľko hodín prejde rovnakú vzdialenosť osobné auto rýchlosťou 80 km/h?
Motorista si všimol, že pri rýchlosti 60 km/h prešiel most cez rieku za 40 sekúnd. Na spiatočnej ceste prešiel cez most za 30 sekúnd. Určte rýchlosť auta na ceste späť.
Dve ozubené kolesá sú v zábere so zubami. Prvý, ktorý má 60 zubov, robí 50 otáčok za minútu. Koľko otáčok za minútu robí druhý, ktorý má 40 zubov?
Vyššie uvedené problémy úplne postačujú na to, aby sa študenti naučili rozlišovať medzi priamou a nepriamou úmernosťou, vytvárať proporcie] a riešiť ich.
(Z "Aritmetiky" od A.P. Kiseleva.) 8 robotníkov dokončí nejakú prácu za 18 dní; koľko dní dokončí 9 ľudí rovnakú prácu a budú pracovať tak úspešne ako prví?
20*. (Starý problém.) Desať robotníkov musí dokončiť prácu za 8 dní. Keď odpracovali 2 dni, ukázalo sa, že po 3 dňoch je potrebné prácu ukončiť. Koľko ďalších pracovníkov potrebujete najať?
(Z "Aritmetiky" od L. F. Magnitského.) Istý pán zavolal tesára a prikázal postaviť dvor. Dal mu 20 robotníkov a spýtal sa, koľko dní postavia jeho dvor. Tesár odpovedal: o 30 dní. A majster potrebuje postaviť za 5 dní, kvôli čomu sa spýtal tesára: koľko ľudí potrebujete, aby ste s nimi mohli postaviť dvor za 5 dní; a ja som tesár, zmätený, pýta sa teba, aritmetika: koľko ľudí potrebuje mať, aby ten dvor postavil za 5 dní?
22*. (Starý problém.) Vzali 560 vojakov na kŕmenie na 7 mesiacov a nariadili im byť v službe 10 mesiacov; a chceli od seba odobrat ludi, aby bolo dost jedla na 10 mesiacov. Otázka je, koľko ľudí treba zredukovať.
(Starý problém.) Jedna skupina tesárov, ktorá pozostáva z 28 ľudí, dokáže postaviť dom za 54 dní a druhá - 30 ľudí - za 45 dní. Ktorý artel funguje lepšie?
Na záver rozhovoru o problémoch vyriešených pomocou proporcií je potrebné uviesť príklad problému, ktorý nemožno vyriešiť „starým spôsobom“
24. Osobný vlak prejde určitú vzdialenosť za 3 hodiny a rýchlik za 2 hodiny.. Raz tieto vlaky opustili dve mestá oproti sebe súčasne. Osobný vlak prešiel pred stretnutím so sanitkou 120 km. Koľko kilometrov prešiel rýchlik, kým sa stretol s osobným vlakom?
Tu nemôžete deliť 120 km 3 hodinami, pretože iná vzdialenosť bola prejdená za 3 hodiny. Stručne napíšme stav problému.
Časová vzdialenosť
Expres 2h x km
Osobná SP 120 km
Prvýkrát išli vlaky po rovnakej trase, pričom rýchlosť je nepriamo úmerná času, teda rýchlosť rýchlika je dvojnásobná oproti rýchlosti osobného vlaku.
A druhýkrát bol čas pohybu konštantný, pričom vzdialenosť je priamo úmerná rýchlosti, to znamená, že vzdialenosť prejdená rýchlikom je dvojnásobkom vzdialenosti prejdenej osobným vlakom.
Urobme pomer 
, vyriešením ktorého dostaneme x = 180. Rýchlik pred stretnutím s osobným vlakom prešiel 180 km.
Úlohy s náročnými pomermi
Kuracie dni vajcia
3 33
12 12 x
4.
5. (Starý problém.)
6.
7.
(Starý problém.)
Test 1
možnosť 1
Obe knižnice mali rovnaký počet kníh. O rok neskôr sa počet kníh v prvej knižnici zvýšil o 50% av druhej - 2-krát. Ktorá knižnica má viac kníh?
B. V druhej knižnici
AT. Je tam rovnaký počet kníh
G
Pri kúpe práčky v hodnote 6500 r. kupujúci predložil inzerát vystrihnutý z novín s právom na zľavu 5 %. Koľko zaplatí za auto?
Do prvého kurzu ústavu môže byť prijatých 180 ľudí. Počet podaných prihlášok bol 120% z počtu miest na kurze. Koľko žiadostí bolo podaných?
Hladina vody v rieke bola okolo 2,4 m. V prvých hodinách povodne stúpla o 5 %. Akú úroveň dosiahla voda v rieke?
Možnosť 2
Obe knižnice mali rovnaký počet kníh. O rok neskôr sa počet kníh v prvej knižnici zvýšil o 50% av druhej - 1,5-krát. Ktorá knižnica má viac kníh?
B. V druhej knižnici
AT. Je tam rovnaký počet kníh
G. Na odpoveď nie je dostatok údajov
Účet za energie je 800 rubľov. Koľko budete musieť zaplatiť za energie po ich zdražení o 6 %?
V decembri dostal každý zamestnanec podniku odmenu vo výške 130 z jeho mesačnej mzdy. Aký bonus dostal zamestnanec, ktorého plat je 5500 rubľov?
Spoločnosť vložila do banky 5 miliónov rubľov. vo výške 8 % ročne. Koľko bude na účte firmy o rok?
B. 9 miliónov rubľov D. 0,4 milióna rubľov
Nájdenie čísla podľa jeho percent
Do predajne elektro tovaru boli prinesené žiarovky. Medzi nimi bolo 16 rozbitých žiaroviek, čo tvorilo 2 % z ich počtu. Koľko žiaroviek bolo prinesených
skóre?
Nájdite číslo, ktorého 110 % sa rovná 33.
60 % triedy išlo do kina a zvyšných 12 ľudí na výstavu. Koľko žiakov je v triede?
4. Cena tovaru sa zvýšila o 30% a teraz je 91 rubľov. Koľko stál produkt pred zvýšením ceny?
5. Závod plánoval vyrobiť 10 000 áut. Plán bol prekročený o 2 %. Koľko áut vyrobil závod nad rámec plánu? Koľko áut ste vypustili z vody?
Problém 5 je najlepšie vyriešiť dvoma spôsobmi. Najprv odpovedzte na položené otázky:
10 000 0,02 = 200 (stroj);
10 000 + 200 = 10 200 (stroj),
potom si polož ďalšie otázky:
-Na koľko percent závod splnil plán?
- Zap 100 + 2 = 102 (%).
-Koľko áut predstavuje 102 %?
10 000 – 1,02 = 10 200 (stroj)
Tráva počas sušenia stráca 80 % svojej hmoty. Koľko ton sena sa získa zo 4 ton čerstvej trávy? Koľko ton trávy treba pokosiť, aby sa vysušili 4 tony sena?
100 - 80 \u003d 20 (%) - hmotnosť trávy je hmotnosť sena;
4 0,2 \u003d 0,8 (t) - seno sa získa zo 4 ton trávy;
4: 0,2 \u003d 20 (t) - tráva sa musí pokosiť.
Cena albumu bola znížená najskôr o 15%, potom o ďalších 15 rubľov. Nová cena albumu po dvoch zníženiach o 19 rubľov. Určte jeho pôvodnú cenu.
15 + 19 = 34 (str.) - cena albumu do druhej
zníženie ceny;
100 - 15 \u003d 85 (%) - pripadá na 34 rubľov;
3) 
= 40 (str.) - album pôvodne stál.
Dajte dokopy tri čísla. Prvý predstavoval 25% sumy a druhý - 40%. Nájdite tretie číslo, ak je o 45 menšie ako druhé.
100 - 25 - 40 = 35 (%) - zaúčtované sumy
na treťom čísle;
40 - 35 \u003d 5 (%) - suma padne na 45;
3) 
= 315 je tretie číslo.
Do kina chodilo 30 % triedy a ďalších 5 ľudí a zvyšní 3 do triedy a 8 ľudí na exkurziu. Koľko ľudí je v triede?
Tretina pracovníkov podniku mala dovolenku v lete, 35 % zvyšku pracovníkov malo dovolenku na jeseň a ďalších 2 314 ľudí malo dovolenku v zime a na jar. Koľko pracovníkov je v podniku?
Pri predaji tovaru za 693 p. získal 10% zisk. Určte cenu položky.
Nájdenie percenta
Pri riešení úloh v tejto časti by si žiaci mali osvojiť jednu jednoduchú myšlienku: nájsť percento z dvoch čísel, t.j. koľko percent je prvé číslo z druhého, môžete pomer prvého čísla k druhému vyjadriť v percentách.
Prvé úlohy tohto typu by mali byť jednoduché, to znamená, že pomer čísel by mal byť vyjadrený ako konečný desatinný zlomok.
Ak chcete zistiť percento dvoch čísel, môžete prvé číslo vydeliť druhým a výsledok vynásobiť 100.
Zo 16 kg čerstvých hrušiek sa získali 4 kg sušených hrušiek. Aký zlomok hmotnosti čerstvých hrušiek zanechá hmotnosť sušených hrušiek? Vyjadrite túto časť v percentách. Koľko percent hmoty sa stratí počas sušenia?
Koľko percent z 50 je 40? Koľko percent z čísla 40 je číslo 50?
Máša prečítala 120 strán a zostáva jej prečítať 130 strán knihy. Koľko percent zo všetkých stránok prečítala? Koľko percent zo všetkých strán jej zostáva prečítať?
Mesiac mal 12 slnečných a 18 zamračených dní. Koľko percent v mesiaci je slnečných dní? zamračené dni?
5. O koľko percent je 50 viac ako 40? 40 menej ako 50?
50 zo 40 je 
, alebo 
% = 125% ;
50 viac ako 40 o 125 - 100 = 25 (%);
40 z 50 je 
, alebo 
% = 80% ;
40 je menej ako 50 x 100 - 80 = 20 (%).
6. Cena tovaru sa znížila zo 40 rubľov. do 30 r. O koľko klesla cena? O koľko percent klesla cena?
V úlohe 6 je pre žiakov ťažké určiť, ktoré číslo majú brať ako 100 %. Musíte ich upozorniť na číslo, s ktorým porovnávajú iné číslo. Pomáha v tom preformulovanie problému: „Koľko percent z 30 r. menej ako 40 rubľov? Porovnajte so sumou 40 rubľov, čo znamená 40 rubľov. je 100 %.
Test 2
možnosť 1
Počet dopravných nehôd v letnom období bol 0,7 z ich počtu v zimnom období. O koľko percent sa znížil počet dopravných nehôd v lete v porovnaní so zimou?
A. 70 % B. 30 % C. 7 % D. 3 %
A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Možnosť 2
Po zlacnení TV bola jeho nová cena 0,8 starej. Koľko percent zo starej ceny tvorí nová?
A. 0,8 % B. 8 % C. 20 % D. 80 %
Spojte zlomky, ktoré vyjadrujú zlomky určitej hodnoty, a im zodpovedajúce percentá.
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Úlohy s náročnými pomermi
Všetky problémy v tejto časti sú voliteľné v tom zmysle, že nie je nevyhnutné, aby ich všetci študenti dokázali vyriešiť. Používajte ich v takej miere, v akej to bude pre vašich študentov zaujímavé.
Tri sliepky zniesli 3 vajcia za 3 dni. Koľko vajec znesie 12 sliepok za 12 dní?
Študenti budú veľmi prekvapení, keď sa dozvedia, že „zrejmá“ odpoveď „12 vajec“ je nesprávna. Rozhodnutie prvéhochatky z tejto sekcie je najlepšie rozobrať spoločne,možno, po porade doma, zapisovanístručná podmienka úlohy:
Kuracie dni vajcia
3 33
12 12 x
Počas dialógu musíte zistiť, koľkokrát sa zvýšil počet kurčiat (4-krát); ako sa zmenil počet vajec, ak sa počet dní nezmenil (zvýšil sa 4-krát); koľkokrát sa počet dní zvýšil (4-krát); ako sa zmenil počet vajec (zvýšil sa 4-krát). Počet vajec je: x = 3 4 4 = 48.
2. Traja maliari dokážu namaľovať 60 okien za 5 dní. Koľko maliarov treba prideliť na maľovanie okien, aby za 2 dni namaľovali 64 okien?
3. Kurzy cudzích jazykov prenajímajú priestory na vyučovanie v škole. Za prenájom štyroch učební na 6 dní v týždni dostala škola v prvom polroku 336 rubľov. za mesiac. Aký bude mesačný nájom v druhom polroku za 5 tried, 5 dní v týždni za rovnakých podmienok?
4. (Z "Všeobecnej aritmetiky" od I. Newtona.) Ak pisár dokáže napísať 15 fólií za 8 dní, koľko pisárov bude potrebných na napísanie 405 fólií za 9 dní?
5. (Starý problém.) Na údržbu 45 ľudí sa za 56 dní minulo 2040 rubľov. Koľko by sa malo minúť na podporu 75 ľudí na 70 dní?
Zvážte zložitejšie problémy so štyrmi a dokonca šiestimi veličinami. Môžu byť zadané ako nepovinná domáca úloha tým najsilnejším študentom, ktorí radi riešia hádanky.
6. (Z "Aritmetiky" od A. Kiselyova.) Na osvetlenie 18 izieb sa za 48 dní minulo 120 libier petroleja a v každej izbe horeli 4 lampy. Koľko dní vydrží 125 libier petroleja, ak je osvetlených 20 izieb a 3 lampy v každej izbe?
7.
(Starý problém.) Artel 26 bagrov pracujúcich so strojmi 12 hodín denne dokáže vyhĺbiť kanál dlhý 96 m, široký 20 m a hlboký 12 dm za 40 dní. Ako dlho môže byť prieplav hĺbený 39 kopáčmi pracujúcimi 80 dní 10 hodín denne, ak má byť šírka prieplavu 10 m, hĺbka je 18 dm?
Úlohy na pohyb po rieke
Rýchlosti po prúde a proti prúdu sú súčtom a rozdielom vlastnej rýchlosti a rýchlosti prúdu. Aby ste ich našli, musíte použiť predtým zvládnutú metódu hľadania dvoch veličín podľa ich súčtu a rozdielu: rozdiel v rýchlostiach po prúde a proti prúdu sa rovná dvojnásobku aktuálnej rýchlosti.
1. Na ceste z bodu ALE do odseku AT loď strávila 1 hodinu 40 minút a na ceste späť - 2 hodiny, ktorým smerom tečie rieka?
Rýchlosť člna na stojatej vode je 18 km/h. Rýchlosť rieky je 2 km/h. Ako rýchlo sa bude loď pohybovať po rieke? Proti prúdu?
Rýchlosť člna na stojatej vode (vlastná rýchlosť) je 12 km/h a rýchlosť rieky 3 km/h. Určte: rýchlosť člna s prúdom a proti prúdu rieky; dráha lode pozdĺž rieky za 3 hodiny; dráha člna proti prúdu rieky za 5 hodín.
Vlastná rýchlosť lode je 27 km/h, rýchlosť rieky 3 km/h. Ako dlho bude lodi trvať cesta pozdĺž rieky medzi dvoma kotviskami, ak je vzdialenosť medzi nimi 120 km?
Loď s vlastnou rýchlosťou 15 km/h sa plavila 2 hodiny po prúde a 3 hodiny proti prúdu. Ako ďaleko za celý čas preplával, ak je rýchlosť rieky 2 km/h?
Vzdialenosť medzi dvoma kotviskami je 24 km. Ako dlho bude motor
Nižšie uvedená tabuľka (s ďalšími číselnými údajmi) je vhodná na samostatnú prácu.
Určte rýchlosti a vyplňte tabuľku:
| vlastnú rýchlosť | Rýchlosť rieky | Rýchlosť podľa po prúde Prietok rieky | Rýchlosť proti prúdu |
|
| 1 | 12 km/h | 4 km/h | ||
| 2 | 25 km/h | 28 km/h | ||
| 3 | 24 km/h | 20 km/h |
||
| 4 | 5 km/h | 17 km/h | ||
| 5 | 3 km/h | 16 km/h |
||
| 6 | 48 km/h | 42 km/h |
Motorový čln preplával 48 km po prúde za 3 hodiny a proti prúdu za 4 hodiny. Nájdite rýchlosť prúdu.
Rýchlosť rieky je 3 km/h. O koľko kilometrov za hodinu je rýchlosť lode po prúde väčšia ako rýchlosť proti prúdu?
5 rýchlosť odstraňovania.)
rýchlosť zatvárania.)
(Starý problém.)
(Starý problém.)
v dráha prvého vlaku;
8. Vzdialenosť medzi mestami ALE a AT rovná sa 720 km. Od ALE v AT
10. 1) Z ods ALE do odseku AT A a B rovných 30 km?
Z bodu A do bodu AT,
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Úlohy pre pohyb
1. Dvaja chodci súčasne opustili to isté miesto v opačných smeroch. Rýchlosť prvého je 4 km/h, rýchlosť druhého 5 km/h Ako ďaleko od seba budú po 3 hodinách? Koľko kilometrov za hodinu sa chodci od seba vzďaľujú? (Táto hodnota sa nazýva rýchlosť odstraňovania.)
2. Z dvoch obcí, ktorých vzdialenosť je 36 km, vyšli proti sebe naraz dvaja chodci. Ich rýchlosti sú 4 km/h a 5 km/h. Na koľko kilometrov za hodinu sa k sebe chodci približujú? (Táto hodnota sa nazýva rýchlosť zatvárania.)
Ako ďaleko od seba budú po 3 hodinách?
Dvaja cyklisti vyrazili súčasne proti sebe z dvoch bodov, ktorých vzdialenosť je 36 km. Rýchlosť prvého je 10 km/h, druhého 8 km/h. O koľko hodín sa stretnú?
1) Vzdialenosť medzi týmito dvoma mestami je 900 km. Z týchto miest vyrazili proti sebe dva vlaky rýchlosťou 60 km/h a 80 km/h. Ako ďaleko boli od seba vlaky 1 hodinu pred stretnutím? Je v úlohe nejaká podmienka navyše?
3) Dvaja cyklisti odišli naraz z dvoch obcí, ktorých vzdialenosť bola 54 km. Rýchlosť prvého je 12 km/h, druhého 15 km/h. Za koľko hodín budú od seba 27 km?
Cyklista a motorkár odišli z toho istého miesta v rovnakom čase rovnakým smerom. Rýchlosť motocyklistu je 40 km/h a cyklistu 12 km/h. Aká je rýchlosť ich vzájomného odstránenia? Za koľko hodín bude vzdialenosť medzi nimi 56 km?
(Starý problém.) Istý mladý muž odišiel z Moskvy do Vologdy. Prešiel 40 míľ denne. O deň neskôr za ním poslali ďalšieho mladého muža, ktorý denne prejde 45 míľ. O koľko dní predbehne druhý prvého?
(Starý problém.) Z Moskvy do Tveru odchádzali súčasne dva vlaky. Prvý prešiel rýchlosťou 39 verst a dorazil do Tveru o dve hodiny skôr.
druhý, ktorý prešiel o hodinu 26 verst. Koľko míľ je z Moskvy do Tveru?
26 2 \u003d 52 (versts) - koľko vlak zaostával za prvým;
39 - 26 \u003d 13 (versts) - o koľko zaostal druhý vlak za prvým vlakom za 1 hodinu;
52: 13 \u003d 4 (h) - toľko času bolo v dráha prvého vlaku;
39 4 \u003d 156 (versts) - vzdialenosť z Moskvy do Tveru.
8. Vzdialenosť medzi mestami ALE a AT rovná sa 720 km. Od ALE v AT Rýchlik odchádza rýchlosťou 80 km/h. Po 2 hodinách odišiel osobný vlak z B do A smerom k nemu rýchlosťou 60 km/h. Koľko hodín po odchode rýchlika sa stretnú?
9. Dva vlaky idú proti sebe - jeden rýchlosťou 70 km/h, druhý rýchlosťou 80 km/h. Cestujúci sediaci v druhom vlaku si všimol, že prvý vlak ho prešiel za 12 sekúnd. Aká je dĺžka prvého vlaku?
10. 1) Z ods ALE do odseku AT Chodec odchádza rýchlosťou 5 km/h. V tom istom čase išiel cyklista z A do B rýchlosťou 10 km/h. Cyklista vošiel do B, otočil sa späť a rovnakou rýchlosťou išiel smerom k chodcovi. Za koľko hodín po začatí pohybu sa stretnú, ak vzdialenosť medzi A a B rovných 30 km?
Z bodu A do bodu AT, vzdialenosť medzi nimi je 17 km, cyklista odchádzal rýchlosťou 12 km/h. V tom istom čase chodec odchádza z A do B rýchlosťou 5 km/h. Cyklista prešiel na B, otočil sa a rovnakou rýchlosťou išiel späť.
Koľko hodín po začatí hnutia sa stretnú?
Vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi je 12 km. Dvaja cyklisti odišli súčasne proti sebe rýchlosťou 10 km/h a 8 km/h. Každý z nich dosiahol iný bod, otočil sa a rovnakou rýchlosťou išiel späť. O koľko hodín po začatí hnutia sa stretnú druhýkrát?
1)30:10 = 3(h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);
5-3 = 15 (km); 5) 15 : 15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Test č. 4
1. Nájdite čas, ktorý cyklistovi trvá dostať sa z bodu A do bodu B
(pozri diagram na obrázku 1).
υ=12 km/h
A| _________________________________________ AT
s = 6 km
Ryža. jeden.
ALE. 72 h B. 0,5 h AT. 2 h
G. 5 h D. ________________
Z dvoch bodov, ktorých vzdialenosť je 10 km, odišli dvaja turisti v rovnakom čase rovnakým smerom. Rýchlosť prvého turistu je 4 km/h, rýchlosť toho, ktorý ho nasleduje, je 6 km/h. Ako dlho bude trvať, kým druhý turista predbehne prvého?
ALE. Po 1 hodine B. Po 2,5 hodinách AT. V 1
G. Po 5 hodinách D. ________________________
Z jednej stanice do druhej po rieke sa loď plavila 3 hodiny, na ceste späť strávila 4 hodiny.Rýchlosť rieky je 1 km/h. Napíšte rovnicu na zistenie vlastnej rýchlosti člna pomocou x km/h.
Odpoveď: ______________________
Ciele lekcie:
- riešenie zložitejších problémov pre proporcionálne veličiny („komplikované trojité pravidlo“);
- rozvoj nielen logického, ale aj obrazného myslenia, predstavivosti detí a ich schopnosti uvažovať, klásť otázky a odpovedať na ne, teda reč cvičiacich;
- rozšírenie obzorov pri riešení starých praktických (alebo pravdepodobných) problémov;
- formovanie predstáv o bohatstve kultúrneho a historického dedičstva ľudstva.
Počas vyučovania
I. Organizačný moment:
Dnes začíname riešiť zložitejšie, no nemenej zaujímavé úlohy pre proporcionálne veličiny.
Štúdium proporcií a týchto závislostí má veľký význam pre následné štúdium matematiky.
Neskôr pomocou proporcií budete riešiť úlohy z chémie, fyziky a geometrie.
S čím začali?
- Oboznámte sa s pojmami „pomer“, „proporcia“
(pomer - ………., podiel - ……… (očakáva sa odpoveď študentov) - Naučili sme sa riešiť proporcie a zistili sme, že hlavný spôsob ich riešenia by mal byť založený na ……. (základná vlastnosť proporcií)
- Naučili sme sa rozlišovať dve veličiny v podmienkach problémov, zakladať typ závislosti medzi nimi. (priamy alebo inverzný vzťah)
- Naučili sme sa, ako urobiť krátky záznam o stave problému a zostaviť pomer (zníženie hodnoty je znázornené šípkou nadol a zvýšenie šípkou nahor)
Ale nezabúdajme na to - analyzoval spôsob riešenia problémov úplne bez proporcií (aplikácii tejto techniky by mali predchádzať otázky položené pri riešení problémov: koľkokrát sa hodnota zvýšila alebo znížila?)
Poďme vpred od jednoduchého k zložitému.
II. ústna práca.
1. Z týchto hodnôt vyberte tie, ktoré sú priamo alebo nepriamo úmerné:
a) dĺžka strany štvorca a obvod.
b) dĺžka strany štvorca a jej plocha.
c) dĺžka a šírka obdĺžnika pre danú oblasť.
d) rýchlosť auta a dráhu, ktorú prejde za určitý čas.
e) rýchlosť turistu idúceho z kempu na stanicu a čas, ktorý mu trvá doraziť na stanicu.
e) vek stromu a jeho výška.
g) objem oceľovej gule a jej hmotnosť.
h) počet prečítaných strán v knihe a počet zostávajúcich strán na prečítanie.
(Vzťah medzi počtom prečítaných strán v knihe a počtom zostávajúcich strán je často mylne považovaný za proporcionalitu: čím viac stránok prečítaných, tým menej zostáva na prečítanie. Upozorňujeme, že zvýšenie na jednej a zníženie na druhej nenastane v rovnakom počte krát.).
2. Poďme analyzovať problém:
Keď Vasya prečítal 10 strán knihy, má na prečítanie ešte 90 strán. Koľko strán mu zostane na prečítanie, keď prečíta 30 strán.
3. Zvážte úlohy („provokatívna povaha“):
a) Za 2 hodiny bolo ulovených 12 karasov. Koľko kaprov sa chytí za 3 hodiny.
b) Traja kohúti zobudili 6 ľudí. Koľko ľudí zobudí 5 kohútov.
c) * Rybník je zarastený ľaliami a o týždeň sa plocha pokrytá ľaliami zdvojnásobí. Za koľko týždňov bude jazierko do polovice pokryté ľaliami, ak bude za 8 týždňov úplne pokryté ľaliami?
(Riešenie: keďže plocha pokrytá ľaliami sa za týždeň zdvojnásobí, potom týždeň predtým, ako je jazierko úplne pokryté ľaliami, bola jeho plocha nimi pokrytá napoly, t. j. jazierko bolo napoly pokryté ľaliami za 7 týždňov)
III. Riešenie problémov:
(stav úloh je uvedený na tabuli)
Stručnú podmienku a dve riešenia navrhujú študenti na tabuli urobiť veľmi rýchlo.
1 spôsob:
Metóda 2: množstvo látky sa zvýšilo 15/8-krát, čo znamená, že zaplatia 15/8-krát viac peňazí
Х=30*15/8=56r25k
2. Istý pán zavolal tesára a rozkázal postaviť dvor. Dal mu 20 robotníkov a spýtal sa, na koľko dní mu postavia dvor. Tesár odpovedal: o 30 dní. A majster potrebuje postaviť za 5 dní, a preto sa spýtal tesára: koľko ľudí potrebujete, aby ste s nimi mohli postaviť dvor za 5 dní; a tesár, zmätený, sa vás pýta, aritmetik: koľko ľudí potrebuje najať, aby postavili dvor za 5 dní?
Na tabuli je napísaná nedokončená krátka podmienka:
Dokončite podmienku a vyriešte problém dvoma spôsobmi.
I možnosť: pomer
Možnosť II: bez proporcií
V rovnakom čase pri tabuli pracujú dvaja študenti.
ja 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 pracovníkov
3. Brali 560 vojakom jedlo na 7 mesiacov a nariadili im byť 10 mesiacov v službe a chceli si odobrať ľudí, aby bolo dosť jedla na 10 mesiacov. Otázkou je, koľko ľudí by sa malo znížiť?
Stará úloha.
(písanie na tabuľu)
(vyplnenie krátkej poznámky študentmi)
Vyriešte tento problém bez pomeru:
(Počet mesiacov sa zvyšuje o faktor, čo znamená, že počet vojakov klesá o faktor.
560 - 392 = 168 (vojaci sa musia znížiť)
V dávnych dobách na riešenie mnohých typov problémov existovali špeciálne pravidlá na ich riešenie. Problémy známe pre priamu a nepriamu úmernosť, v ktorých je potrebné nájsť štvrtú hodnotu troch hodnôt dvoch veličín, sa nazývali problémy pre „trojité pravidlo“.
Ak pre tri hodnoty bolo zadaných päť hodnôt a bolo potrebné nájsť šiestu, potom sa pravidlo nazývalo „päť“. Podobne pre štyri množstvá platilo „pravidlo sedemdesiatky“. Úlohy na aplikáciu týchto pravidiel sa nazývali aj úlohy pre „komplexné trojité pravidlo“.
Vyskúšajme!!!
4. Vezmite úlohu, ktorá vám bola ponúknutá, ako dodatočnú.
Domáca úloha.
Tri sliepky zniesli 3 vajcia za 3 dni. Koľko vajec znesie 12 sliepok za 12 dní?
Odpoveď na problém je ………?
Budeme analyzovať riešenie problému spoločne, pričom stručne zapíšeme stav problému:
Študenti sa snažia kolektívne klásť otázky a odpovedať na ne.
(počet pisárov sa časom zvyšuje s nárastom listov a klesá
z nárastu pracovných dní 
(pisári)).
Zvážte zložitejší problém so štyrmi veličinami.
Vezmite jeden problém so šiestimi hodnotami ako nepovinnú domácu úlohu pre tých študentov, ktorí radi riešia hádanky.
6. Na osvetlenie 18 izieb za 48 dní sa minulo 120 ton petroleja a v každej izbe horeli 4 lampy. Koľko dní vydrží 125 libier petroleja, ak je osvetlených 20 miestností a v každej miestnosti svietia 3 lampy?
Zapíše sa stručná podmienka problému a uvedie sa argument, paralelne s ktorým možno na tabuli viesť postupne dopĺňaný záznam X = ... .. .
Počet dní používania petroleja sa zvyšuje so zvýšením množstva petroleja v
krát a zo zníženia svietidiel na polovicu.
Počet dní používania petroleja klesá s pribúdajúcimi izbami v 20 krát.
X = 48 * * : = 60 (dní)
Nakoniec má X = 60. To znamená, že 125 libier petroleja stačí na 60 dní.
IV. Zhrnutie lekcie.
Celú lekciu vyriešil už takmer zabudnuté úlohy. Prešli sme od jednoduchého k zložitému. Bolo jasné, že staré problémy sú zaujímavé, je pekné vidieť vašu tvrdú prácu pri riešení problémov, mali sme dobrý tréning v rozlišovaní medzi priamou a nepriamou úmernosťou.
Vysvetlenia, ktoré ponúka učiteľ, sa zdajú byť jasné, ale dopredu sa musíte posunúť aj sami.
V. Domáca úloha.
Sýkorka dni obilia
X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg
2. Starý problém.
Termín príjmu Dirham
3. * Dodatočná úloha.
Artel 26 kopáčov pracujúcich so strojmi 12 hodín denne dokáže vyhĺbiť kanál dlhý 96 metrov, široký 20 metrov a hlboký 12 metrov za 40 dní. Ako dlho môže byť kanál vykopaný 30 kopáčmi pracujúcimi 80 dní, 10 hodín denne, ak má byť šírka
10 m, hĺbka 18 dm?
rozhodnutie. 
Úlohy spolupráce a produktivity
Úlohy tohto typu zvyčajne obsahujú informácie o výkone viacerých subjektov (pracovníkov, mechanizmov, čerpadiel a pod.) nejakého diela, ktorého objem nie je uvedený a nie je požadovaný (napríklad dotlač rukopisu, zhotovenie dielov, kopanie priekopy, plnenie potrubím nádrže a pod.). Predpokladá sa, že vykonávaná práca je vykonávaná rovnomerne, t.j. s konštantným výkonom pre každý predmet. Keďže množstvo vykonanej práce (alebo napríklad objem napúšťaného bazéna) nás nezaujíma, tak objem všetkej práce. alebo bazén sa berie ako jednotka. častmusí vykonať všetku prácu a P je producentnáročnosť práce, teda množstvo vykonanej práce za jednotku času, spolu súvisia
pomerP= 1/t .Je užitočné poznať štandardnú schému riešenia typických problémov.
Nech jeden robotník urobí nejakú prácu za x hodín a iný robotník za y hodín. Potom za hodinu vystúpia resp. 1/Xa 1/rčasť práce. Spolu za hodinu dokončia 1/X +1/ rčasť práce. Ak teda spolupracujú, všetka práca bude vykonaná za 1/ (1/X+ 1/ r)
Problémy so spoluprácou sú pre študentov náročné na riešenie, preto pri príprave na skúšku môžete začať riešením najjednoduchších problémov. Zvážte typ problémov, pri ktorých stačí zaviesť iba jednu premennú.
Úloha 1. Jeden štukatér zvládne úlohu o 5 hodín rýchlejšie ako iný. Spolu túto úlohu zvládnu za 6 hodín. Koľko hodín každý z nich dokončí úlohu?
rozhodnutie. Nechajte prvého štukatéra dokončiť úlohu preXhodiny, potom druhý štukatér dokončí túto úlohu oX+5 hodín. Za 1 hodinu spoločnej práce absolvujú 1/X + 1/( X+5) úlohy. Urobme rovnicu
6×(1/X+ 1/( X+5)) = 1 aleboX² - 7 X-30 = 0. Vyriešením tejto rovnice dostanemeX= 10 aX= -3. Podľa zadaniaXje kladná hodnota. Prvý štukatér teda zvládne prácu za 10 hodín a druhý za 15 hodín.
Úloha 2 . Dvaja robotníci dokončili prácu za 12 dní. Za koľko dní môže každý pracovník dokončiť prácu, ak jednému z nich trvalo dokončenie celej práce o 10 dní viac ako druhému?
rozhodnutie . Nech prvý pracovník minie všetku prácuXdni, potom druhý- (X-10 dní. Za 1 deň spoločnej práce vykonávajú 1/X+ 1/( X-10) úlohy. Urobme rovnicu
12×(1/X+ 1/( X-10) = 1 aleboX²- 34X+120=0. Vyriešením tejto rovnice dostanemeX= 30 aX= 4. IbaX= 30. Prvý pracovník teda môže dokončiť prácu za 30 dní a druhý za 20 dní.
Úloha 3. Za 4 dni spoločnej práce boli 2/3 poľa orané dvoma traktormi. Koľko dní by trvalo orať celé pole každým traktorom, ak sa prvý dá orať o 5 dní rýchlejšie ako druhý?
rozhodnutie. Nechajte prvý traktor utratiťdokončiť úlohu X dni, potom druhý - X + 5 dní. Za 4 dni spoločnej práce oba traktory orali 4×(1/ X + 1/( X +5)) úloh, teda 2/3 poľa. Napíšeme rovnicu 4×(1/ X + 1/ ( X +5)) = 2/3 aleboX² -7X-30 = 0. . Vyriešením tejto rovnice dostanemeX= 10 aX= -3. Podľa zadaniaXje kladná hodnota. Preto prvý traktor dokáže orať pole za 10 hodín a druhý za 15 hodín.
Úloha 4 . Masha dokáže vytlačiť 10 strán za 1 hodinu, Tanya - 4 strany za 0,5 a Olya - 3 strany za 20 minút. Ako si môžu dievčatá medzi sebou rozdeliť 54 strán textu, aby každá fungovala rovnako dlho?
rozhodnutie . Tanya podľa stavu vytlačí 4 strany za 0,5 hodiny, t.j. 8 strán za 1 hodinu a Olya - 9 strán za 1 hodinu. Označením X hodín času, počas ktorého dievčatá pracovali, dostaneme rovnicu
10X + 8X + 9X \u003d 54, odkiaľ X \u003d 2.
Takže Tanya musí vytlačiť 20 strán, Tanya 16 strán a Olya 18 strán.
Úloha 5. Na dvoch súčasne pracujúcich duplikátoroch môžete vytvoriť kópiu rukopisu za 20 minút. Za aký čas je možné vykonať túto prácu na každom prístroji samostatne, ak je známe, že pri práci na prvom to bude trvať o 30 minút menej ako pri práci na druhom?
rozhodnutie. Nech X min je čas potrebný na vytvorenie kópie na prvom stroji, potom X + 30 min je čas potrebný na prácu na druhom stroji. Potom sa 1/X kópia vykoná prvým prístrojom za 1 minútu a 1/(X + 30) kópií - druhé zariadenie.
Zostavme rovnicu: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, dostanemeX²-10X-600= 0. Odkiaľ X = 30 a X = - 20. Stav problému vyhovuje X = 30. Dostali sme: 30 minút - čas, za ktorý prvé zariadenie vytvorí kópiu, 60 minút - druhé.
Úloha 6. Firma A dokáže zrealizovať nejakú zákazku na výrobu hračiek o 4 dni rýchlejšie ako firma B. Ako dlho môže každá firma zrealizovať túto zákazku, ak je známe, že keď spolupracujú za 24 dní, zrealizujú 5-krát väčšiu zákazku?
rozhodnutie. Označenie pre X dní čas, ktorý potrebuje firma A na dokončenie zákazky, potom X + 4 dni je čas pre firmu B. Pri zostavovaní rovnice treba brať do úvahy, že za 24 dní spoločnej práce nie 1 zákazku. bude dokončená, ale 5 objednávok. Dostávame, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Odkiaľ nasleduje 5 X²-28X-96 = 0. Po vyriešení kvadratickej rovnice dostaneme X = 8 a X = - 12/5. Prvá firma môže zrealizovať objednávku za 8 dní, firma B za 12 dní.
Pri riešení nasledujúcich problémov musíte zadať viac ako jednu premennúa riešiť sústavy rovníc.
Úloha 7 . Dvaja robotníci vykonávajú nejakú prácu. Po 45 minútach spoločnej práce bol prvý pracovník preradený na inú prácu a druhý pracovník dokončil zvyšok práce za 2 hodiny a 15 minút. Za aký čas by mohol každý pracovník samostatne vykonať všetku prácu, ak je známe, že druhý bude potrebovať o 1 hodinu viac ako prvý?
rozhodnutie. Prvý robotník nech vykoná všetku prácu za x hodín a druhý robotník za y hodín. Z podmienky úlohy máme x = y -1. Najprv 1 hodinu
pracovník urobí 1/Xčasť práce a druhá - 1/rčasť práce.T.do. odpracovali spolu ¾ hodiny, potom za tento čas odpracovali ¾ (1 /X + 1/ r)
časť práce. pozadu2i 1/4h práce druhá dokončená 9/4× (1/r) časť práce.T.do. všetka práca je hotová, potom zostavíme rovnicu ¾ (1/X+1/ r)+9/4×1/r= 1 alebo
¾×1/X+ 3 × 1/r =1
Nahradením hodnotyXdo tejto rovnice dostaneme ¾× 1/ (r-1)+ 3×1/r= 1. Túto rovnicu zredukujeme na kvadratickú rovnicu 4y2 -19 rokov + 12 =0, ktorý mározhodnutia pri 1 = h apri 2 = 4 h. Prvé riešenie nie je vhodné (obeoktorí spolu pracovali iba ¾ hodiny!). Potom y \u003d 4 a x \u003d3.
Odpoveď. 3 hodiny, 4 hodiny.
Úloha 8. Bazén je možné napúšťať vodou z dvoch kohútikov. Ak sa prvý kohútik otvorí na 10 minút a druhý na 20 minút, bazén sa naplní.
Ak sa prvý kohútik otvorí na 5 minút a druhý na 15 minút, naplnia sa 3/5 bazén.
Ako dlho trvá, kým každý kohútik naplní celý bazén?
rozhodnutie.
Nechajte od prvého kohútika napustiť bazén za x minút a od druhého - za y 1 minútu. Prvý kohútik sa naplní časť bazéna a druhá . O 10 minút sa naplní prvé poklepanie časť bazéna a za 20 minút od druhého kohútika - .
T.do. bazén sa naplní, potom dostaneme prvú rovnicu: 
. Podobne napíšeme aj druhú rovnicu 
(naplnené pre celý bazén, ale len jeho objem). Pre zjednodušenie riešenia problému zavedieme nové premenné: 
Potom máme lineárny systém rovníc:
10u + 20v = 1,
,ktorého riešením bude u = v =. Odtiaľ dostaneme odpoveď: x = min, y = 50 min.
Úloha 9 . Dvaja robia prácu. Prvý fungoval čas, ktorý ten druhý potrebuje na vykonanie všetkej práce. Potom fungoval druhý čas, ktorý by prvý potreboval na dokončenie zvyšku práce. Obaja iba vystupovali všetku prácu. Ako dlho trvá, kým každý dokončí túto prácu, ak je známe, že keď budú spolupracovať, urobia to v3 h36 min?
rozhodnutie. Označte x hodín a y hodín čas, za ktorý prvý a druhý vykoná všetku prácu. Potom a
Časti práce, ktorú vykonávajú1 hodinaPracuje (podľa podmienok)
čas, vykoná sa prvý
časť práce. Zostane nenaplnená časť práce, na ktorú by prvý vynaložil hodiny. Podľa podmienok druhý funguje 1/3
tentokrát. Potom to urobí 
časť práce. Obidve dokončené všetku prácu. Preto dostaneme rovnicu 
.
Spoločná práca pre1
obaja urobia +
časť práce. Keďže podľa stavu problému budú túto prácu vykonávať za3
h36
min (t.j.a 3
hodiny), potom1
hodinu budú robiť všetku prácu. Preto 1/X + 1/
r = 5/18.
Označenie v prvej rovnici dostaneme kvadratickú rovnicu
6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , ktorých korene sú rovnakét 1 =2/3 , t 2 =3/2. Keďže nie je známe, kto beží rýchlejšie, zvažujeme oba prípady.
a)t = => y= X. Dosaďte y do druhej rovnice: Očividne to nie je riešenie.
úlohy, pretože spolu prácu zvládnu za viac ako 3 hodiny.
b) t=3/2 => r=3/2 X. Z druhej rovnice máme 1/X+2/3×1/X\u003d 5/18. Odtiaľtox=6,y=9.
Úloha 10. Voda vstupuje do nádrže z dvoch potrubí rôznych priemerov. Prvý deň obe rúry pracujúce súčasne podali 14m 3 voda. Na druhý deň sa zapínala len malá trúbka. Podala 14 m 3 vody, pričom pracovali o 5 hodín dlhšie ako v prvý deň. Na tretí deň práce pokračovali rovnaký čas ako druhý, ale najprv fungovali obe rúry, čo dávalo 21 m 3 voda. A potom fungovalo len veľké potrubie, ktoré dalo ďalších 20 m 3 voda. Nájdite výkon každého potrubia.
rozhodnutie. V tomto probléme neexistuje abstraktný pojem "objem nádrže", ale sú uvedené konkrétne objemy vody, ktoré pretekajú potrubím. Metodika riešenia problému však v skutočnosti zostáva rovnaká.
Menšie a väčšie potrubia nechajte prečerpať za 1 hodinu x a y m3 voda. Pri spoločnej práci obe potrubia napájajú x + y m3 voda.
Preto v prvý deň potrubia fungovali 14/(X+ r) hodiny. Na druhý deň malá fajka pracovala o 5 hodín viac, t.j. 5+14/(X+ r) . Pre to
čas podala 14 m 3
voda. Odtiaľ dostaneme prvú rovnicu 
14 alebo 5+14/(X+
r)=14/
X. Na tretí deň obe potrubia fungovali spolu21/(X+
r) hodín a potom veľká fajka fungovala 20/Xhodiny. Celkový čas potrubí sa zhoduje s časom prevádzky prvého potrubia na druhý deň, t.j.
5+14/( X+ r) =21/( X+ r)+ 20/ X. Keďže ľavé strany rovnice sú rovnaké, máme . Zbavením sa menovateľov dostaneme homogénnu rovnicu 20X 2 +27 xy-14 r 2 =0. Delenie rovnice podľar 2 a označovanieX/ r= t, máme 20t 2 +27 t-14 = 0. Z dvoch koreňov tejto kvadratickej rovnice (t 1 = , t 2 = ) podľa významu problému je len vhodnýt= . tedaX= r. NahrádzanieXdo prvej rovnice nájdemer=5. PotomX=2.
Úloha 11. Dve posádky, ktoré spolupracovali, vykopali priekopu za dva dni. Potom začali kopať zákop rovnakej hĺbky a šírky, ale 5-krát dlhší ako prvý. Najprv pracovala len prvá brigáda a potom až druhá brigáda, ktorá odpracovala jeden a pol krát menej prác ako prvá brigáda. Kopanie druhej ryhy bolo ukončené za 21 dní. Za koľko dní by druhý tím vykopal prvú priekopu, ak je známe, že množstvo práce vykonané prvým tímom za jeden deň je väčšie ako množstvo práce vykonané za jeden deň druhým tímom?
rozhodnutie.Tento problém je pohodlnejšie vyriešiť, ak vykonanú prácu privediete do rovnakej mierky. Ak by obe posádky vykopali prvý výkop spoločne za 2 dni, potom by samozrejme druhý výkop (päťkrát dlhšie) vykopali za 10 dní. Túto ryhu nech prvá brigáda vykope za x dní a druhá za y, t.j. za 1 deň by prvý kopal časť výkopu, druhá - za 1/r a spolu -1/X+1/ r časť priekopy.
Potom máme 
.
Pri kopaní druhej priekopy pracovali brigády oddelene. Ak druhý tím dokončil rozsah prácem, potom (podľa stavu problému) - prvá brigáda .
Akom +
m
=
m
rovná množstvu práce prijatej ako jednotka, potomm
=
.
Následne sa kopala druhá brigáda
zákopov a vynaložených na to v dňoch. Prvá brigáda kopaná
zákopy a strávil X
dni. Preto máme 
aleboX
=
35-
.
Dosadením x do prvej rovnice sa dostaneme ku kvadratickej rovnici2r 2
- 95y +1050 = 0, ktorých korene budú y 1
=
a
pri 2
= 30. Potom, resp.X 1
=
a
X 2
=15.
Od stavu problému vyberte ten, ktorý potrebujete: y \u003d 30. Keďže zistená hodnota sa vzťahuje na druhý výkop, prvý výkop (päťkrát kratší) by druhý tím vykopal za 6 dní.
Úloha 12. Na hĺbení jamy s objemom 340 m sa podieľali tri bagre 3 . Za hodinu vyvezie prvý bager 40 m 3 libier, druhý - na s m 3 menej ako prvý a tretí - o 2 s viac ako prvý. Prvý a druhý bager pracovali súčasne a vykopali 140 m 3 pôdy. Potom sa vykopal zvyšok jamy, pričom sa pracovalo súčasne, prvý a tretí bager. Určte hodnoty pomocou(0<с<15), pri ktorej bola jama vykopaná za 4 hodiny, ak sa práce vykonávali bez prerušenia.
rozhodnutie. Od prvého bagra vyvezie 40 m 3 pôdy za hodinu, potom druhý - (40-s) m 3 a tretí - (40 + 2s) m 3 libier za hodinu. Nechajte prvý a druhý bager spolu pracovať x hodín. Potom z podmienky úlohy vyplýva (40+40-s)x = 140 alebo (80-s)x = 140. Ak prvé a tretie rýpadlo spolupracovalo na hodinách, potom máme (40+40+2s) y = 340-140 alebo (80 + 2s) y - 200. Keďže celkový prevádzkový čas je 4 hodiny, získame nasledujúcu rovnicu na určenie s x + y \u003d 4 resp.
Táto rovnica je ekvivalentná kvadratickej rovnicis 2 -30 + 200 =0, ktorých rozhodnutia budú 1 = 10 m 3 a s 2 = 20 m 3 . Len podľa stavu problémudo
c = 10 m 3 .
Úloha 10. Každý z dvoch pracovníkov bol poverený spracovaním rovnakého počtu dielov. Prvý sa pustil do práce okamžite a dokončil ju za 8 hodín, druhý najprv viac ako 2 hodiny nastavoval zariadenie a potom s jeho pomocou dokončil prácu o 3 hodiny skôr ako prvý. Je známe, že druhý robotník hodinu po začiatku svojej práce spracoval toľko detailov, koľko do toho momentu spracoval prvý robotník. Koľkokrát prípravok zvyšuje produktivitu stroja (t. j. počet dielov spracovaných za hodinu práce)?
rozhodnutie. Toto je príklad problému, v ktorom nie je potrebné nájsť všetky neznáme.
Označme čas nastavenia stroja druhým pracovníkom ako x (podľa podmienky x>2). Predpokladajme, že bolo potrebné spracovať každýnpodrobnosti.
Potom spracováva prvý pracovník za hodinu detaily a druhý podrobnosti. Obaja pracovníci spracovali rovnaký počet dielov hodinu po začatí prác druhého. Znamená to, že Odtiaľ dostaneme rovnicu na určenie x: X 2 -4x + 3-0 ktorého korene sú x 1 = 1 aX 2 = 3. Pretože
x > 2, potom je požadovaná hodnota x = 3. Preto druhý pracovník spracováva za hodinu podrobnosti. Pretože prvý pracovník za hodinu spracováva
dielov, potom odtiaľto zistíme, že zariadenie zvyšuje produktivitu práce v = 4 krát.
Úloha 1 3. Traja pracovníci musia vyrobiť niekoľko dielov. Najprv začal pracovať len jeden robotník a po čase sa k nemu pridal druhý. Keď bola vyrobená 1/6 všetkých dielov, začal pracovať aj tretí robotník. Prácu dokončili v rovnakom čase a každý vyrobil rovnaký počet dielov. Ako dlho pracoval tretí pracovník, ak je známe, že pracoval o dve hodiny menej ako druhý a že prvý a druhý, pracujúci spoločne, dokázali vyrobiť všetok požadovaný počet dielov o 9 hodín skôr, ako by to urobil tretí, pracujúc oddelene ?
rozhodnutie. Prvý pracovník nech odpracuje x hodín a tretí pracovník x hodín. Potom druhý pracovník odpracoval ešte 2 hodiny, teda y + 2 hodiny. Každý z nich vyrobil rovnaký počet dielov, teda 1/3 všetkých dielov. V dôsledku toho by prvý urobil všetky detaily za 3 hodiny, druhý za 3 (y + 2) hodiny a tretí za 3 roky. Preto prvý vyrába za hodinu časť všetkých detailov, druhá - a tretí - .
Keďže všetci traja počas ich spoločnej práce produkovali všetky detaily, potom dostaneme prvú rovnicu (všetky tri pracovali spolu v hodinách)
. (1)
Prvý a druhý, pracujúci spoločne, by všetky časti vyrobili spolu o 9 hodín skôr, ako by to urobil tretí pracovník, ktorý by pracoval sám. Odtiaľ dostaneme druhú rovnicu
.
(2)
Tieto dve rovnice sa dajú ľahko zredukovať na ekvivalentný systém
Vyjadrením z druhej rovnice x a dosadením do prvej rovnice dostaneme y 3 -5r 2 - 32y - 36 = 0. Táto rovnica je faktorizovaná(r- 9) (y +2) 2 = 0.
Pretože y > 0, rovnica má iba jeden požadovaný koreň y \u003d 9.odpoveď:y = 9.
Úloha 14. Voda rovnomerne vstupuje do jamy, 10 rovnakých čerpadiel, ktoré pôsobia súčasne, môže čerpať vodu z naplnenej jamy za 12 hodín a 15 takýchto čerpadiel - za 6h.Ako dlho dokáže 25 takýchto čerpadiel spolupracovať na odčerpávaní vody z naplnenej jamy?
rozhodnutie.Nechajte objem jamyVm 3 a výkon každého čerpadla je x m 3 o jednej hodine. Voda do jamy nepretržite prúdi.T.k. výška jeho príjmu je neznáma, potom označujeme y m 3 za hodinu - objem vody vstupujúcej do jamy. Desať čerpadiel sa odčerpá za 12 hodín X= 120x voda. Toto množstvo vody sa rovná celkovému objemu jamy a objemu vody, ktorá sa do jamy dostane za 12 hodín. Celý tento zväzok jeV+12 r. Vyrovnaním týchto objemov vytvoríme prvú rovnicu 120x =V + 12 r .
Podobne je zostavená rovnica pre 15 takýchto čerpadiel:15-6 X = V + 6 ralebo 90X = V + 6 r. Z prvej rovnice máme V = 120x - 12y. Dosadením V do druhej rovnice dostaneme y = 5x.
Časový úsek, počas ktorého bude fungovať 25 takýchto čerpadiel, nie je známy. Označme to podľat. Potom, berúc do úvahy podmienky problému, analogicky zostavíme poslednú rovnicu. Máme 25TX= V+ty. Dosadením y a V do tejto rovnice nájdeme 25TX= 120x -12 5x +t 5x alebo 20TX= 60x. Odtiaľto sa dostanemet= 3 hodiny.odpoveď: na 3 hodiny.
Úloha 15. Dva tímy pracovali spolu 15 dní a potom sa k nim pridal tretí tím a 5 dní po tom bola všetka práca dokončená. Je známe, že druhá brigáda vyprodukuje za deň o 20 % viac ako prvá. Druhá a tretia brigáda mohli robiť všetku prácu spolu čas potrebný na dokončenie všetkých prác prvým a tretím tímom, keď spolupracujú. Ako dlho by trvalo všetkým trom tímom urobiť všetku prácu a spolupracovať?
rozhodnutie. Nechajte všetku prácu, pracujúcu oddelene, vykonať prvý, druhý a tretí tím pre x, y azdni. Potom v deň vystúpenia časť práce. Transformáciou prvej podmienky problému na rovnicu za predpokladu, že celé množstvo práce sa rovná jednej, dostaneme
15 alebo
(1)
20
.
Keďže druhá brigáda vyprodukuje 120 % toho, čo prvá brigáda (o 20 % viac), máme alebo . (2)
Druhá a tretia brigáda by všetku prácu urobili za 1/ deň a prvý a tretí - za 1/ dni. Podľa podmienky sa prvá hodnota rovná
(3)
Druhý, teda 1/ . Odtiaľ dostaneme tretiu rovnicu .V úlohe je potrebné určiť čas na dokončenie celej práce v troch tímy spolupracujúce, teda veľkosť1/ .
Je zrejmé, že je pohodlnejšie riešiť sústavu rovníc (1)-(3), ak zavedieme nové premenné: ,
Je potrebné nájsť hodnotu
l/(u + v+ w) .Potom máme ekvivalentný systém
Riešenie tohto lineárneho systému ľahko nájdemeu= Potom sa požadovaná hodnota rovná 1/ TakžePri spoločnej práci teda všetky tri tímy dokončia celú prácu za 16 dní.
odpoveď: na 16 dní. Ak by sa produktivita druhej továrne zdvojnásobila, potom by sa to rovnalo takmer všetky typy výkonnostných úloh.
Úlohy
Dvaja pracovníci spolu dokážu dokončiť nejakú prácu za 10 dní. Po 7 dňoch spoločnej práce jeden z nich ochorel a druhý dokončil prácu po odpracovaní ďalších 9 dní. Koľko dníMôže každý pracovník vykonávať všetku prácu samostatne?
Množstvo robotníkov dokončilo práce za pár dní. Ak sa zvýši počet robotníkovtsya o 3, potom sa práca vykoná o 2 dni skôr, a ak sa počet pracovníkov zvýši o 12, potom o 5 dní skôr. Určite počet pracovníkov a čas potrebný na dokončenie tejto práce.
Dve čerpadlá rôzneho výkonu, pracujúce spoločne, naplnia bazén za 4 hodiny.Naplnenie polovice bazéna trvá prvému čerpadlu o 4 hodiny dlhšie ako druhému čerpadlu naplniť tri štvrtiny bazéna. Ako dlho trvá každému jednotlivému čerpadlu naplnenie bazéna?
10. Loď je naložená žeriavmi. Najprv 2 hodiny pracovali štyri žeriavy rovnakého výkonu, potom sa k nim pridali ďalšie dva žeriavy, ale s nižším výkonom a po 3 hodinách bolo nakladanie hotové. Ak by všetky žeriavy začali pracovať súčasne, nakladanie by bolo zostávajúca práca. Produktivita tretieho tímu je polovičným súčtom produktivity prvého a druhého tímu. Koľkokrát je produktivita druhej brigády väčšia ako produktivita tretej brigády?
15. Dva tímy štukatérov, ktorí spolupracovali, omietli obytnú budovu za 6 dní. Pri inej príležitosti oblepili palicu a urobili trikrát toľko práce, ako na omietke bytového domu. Najprv v klube pracovala prvá brigáda a potom ju nahradila druhá brigáda a dotiahla prácu do konca a prvá brigáda odpracovala dvakrát toľko práce ako druhá. Klub oblepili za 35 dní. Za koľko dní by stihla prvá brigádana obhliadku obytného domu, ak je známe, že druhá brigáda by nad tým strávila viac ako 14 dní?
Oba tímy začali pracovať o 8.00 hod. Po vytvorení 72 dielov začali pracovať oddelene. O 15. hodine sa ukázalo, že za čas samostatnej práce prvá brigáda urobila o 8 detailov viac ako druhá. Na druhý deň prvá brigáda urobila o jednu časť viac za 1 hodinu a druhá brigáda o jednu časť menej za 1 hodinu ako v prvý deň. Práca brigády začala spoločne o 8. hodine a po vyrobení 72 dielov začali opäť pracovať oddelene. Teraz, v čase samostatnej práce, vyrobila prvá brigáda o 8 dielov viac ako druhá, do 13:00 Koľko dielov za hodinu vyrobila každá brigáda?
Traja pracovníci musia vyrobiť 80 rovnakých dielov. Je známe, že všetci traja spolu vyrobia 20 dielov za hodinu. Prvý začal pracovať ako prvý.pracovné. Vyrobil 20 dielov, na ich výrobe strávil viac ako 3 hodiny.Ostatnú prácu robili spolu druhý a tretí robotník. Celá práca trvala 8 hodín Koľko hodín by prvému pracovníkovi trvalo vyrobiť všetkých 80 dielov?
Bazén sa plní vodou cez prvé potrubie o 5 hodín rýchlejšie ako cez druhé potrubie a o 30 hodín rýchlejšie ako cez tretie potrubie. Je známe, že prkapacita spúšťania tretieho potrubia je 2,5-krát menšia ako nosnosť prvého potrubia a 24 m 3 /h je menšia ako kapacita druhého potrubia. Nájdite kapacitu prvého a tretieho potrubia.
Kopalo sa dvoma bagrami, z ktorých prvé má nižšiu produktivituspoločný pracovný výkop o objeme 240 m 3 . Potom prvý začal kopať druhú priekopu a druhý pokračoval v kopaní prvého. 7 hodín po začatí ich prác bol objem prvej jamy 480 m 3 väčší ako objem druhej jamy. Na druhý deň zvýšilo druhé rýpadlo svoju produktivitu o 10 m 3 / h, a prvý sa znížil o 10 m 3 /h Najprv spoločne vykopali jamu 240 m 3 , po ktorom prvý začal kopať ďalšiu jamu a druhý pokračoval v kopaní prvej. Teraz sa objem prvej jamy stal 480 m 3 viac ako objem druhej jamy už 5 hodín po začatí práce bagrov. Koľko zeminy za hodinu bagre vykopali v prvý deň práce?
Tri motorové vozidlá prepravujú obilie, pričom na každú jazdu sa úplne nakladajú. Na jeden let sa prvé a druhé auto prepravia spoločne6 ton obilia a prvý a tretí spolu nesú rovnaké množstvo obilia v 2 letoch ako druhý v 3 letoch. Koľko obilia sa prepraví na jednu jazdu druhým autom, ak je známe, že určité množstvo obilia sa prepraví druhým a tretím spolu, s.urobiť 3-krát menej jázd, ako by na prepravu rovnakého množstva obilia potrebovalo tretie auto?
Dva rýpadlá rôznych konštrukcií musia položiť dve priekopy toho istého krížačistý úsek s dĺžkou 960mi180 m Celé dielo trvalo 22 dní, počas ktorých prvý bager položil veľkú ryhu. Druhý bager začal pracovať o 6 dní neskôr ako prvý, vykopal menšiu ryhu, 3 dni ju opravoval a potom pomohol prvému. Ak by nebolo potrebné venovať čas opravám, práce by boli hotové za 21 dní. Koľko metrov výkopu dokáže každý bager vykopať za deň?
Tri brigády orali dve polia s celkovou rozlohou 120 hektárov. Prvé pole bolo orané za 3 dni, pričom všetky tri tímy spolupracovali. Druhé pole bolo orané 6 dní prvého a druhého brigadas. Ak by všetky tri tímy pracovali na druhom poli 1 deň, potom by prvé družstvo mohlo orať zvyšok druhého poľa za 8 dní. Koľko hektárov denne orala druhá brigáda?
Dve potrubia rovnakého priemeru sú pripojené k dvom bazénom(dokaždý bazén má svoje vlastné potrubie). Prvým potrubím sa nalial určitý objem vody do prvého bazéna a hneď nato sa druhým potrubím nalial rovnaký objem vody do druhého bazéna a celé to trvalo 16 hodín.Ak voda pretiekla prvým toľko času ako cez druhé potrubie a cez druhé - toľko času ako cez prvé, potom by sa voda naliala cez prvé potrubie 320 m 3 menej ako druhý. Ak cez prvý prejde 10 m 3 menej a cez druhú - o 10 m 3 viac vody, potom by naliatie počiatočných objemov vody do bazéna (najskôr do prvého a potom do druhého) trvalo 20 hodín. Ako dlho voda tiekla každým z potrubí?
Dva konvoje, pozostávajúce z rovnakého počtu áut, prepravujú náklad. V každom zVozidlá v okolí majú rovnakú nosnosť a počas ciest sú plne naložené. Nosnosť áut v rôznych kolónach je rôzna a na 1 jazdu prvý konvoj odvezie o 40 ton nákladu viac ako druhý konvoj. Ak sa počet áut v prvom konvoji zníži o 2 a v druhom konvoji - o 10, potom prvý konvoj prepraví 90 ton nákladu v 1 jazde a druhý konvoj prepraví 90 ton nákladu v 3 jazdách . Aká je nosnosť vozidiel druhého konvoja?
Jeden pracovník dokáže vyrobiť dávku dielov za 12 hodín.Jeden pracovník sa pustil do práce, ďalší sa k nemu pridal o hodinu neskôr, tretí o hodinu neskôr atď., až kým nebola práca hotová. Ako dlho pracoval prvý pracovník? (Produktivita práce všetkých pracovníkov je rovnaká.)
Tím pracovníkov s rovnakou kvalifikáciou musel vyrobiť dávku dielov. najprvNa začiatku sa pustil do práce jeden pracovník, o hodinu sa k nemu pridal druhý, o hodinu tretí a tak ďalej, až kým nezačal pracovať celý tím. Ak by všetci členovia tímu pracovali od úplného začiatku, práca by bola dokončená o 2 hodiny rýchlejšie. Koľko pracovníkov je v tíme?
Traja robotníci kopali priekopu. Najprv prvý pracovník pracoval polovičný úväzok, neovyžadovali ďalší dvaja, aby vykopali celú priekopu, potom druhý robotník pracoval polovicu času, kým ďalší dvaja vykopali celú priekopu, a nakoniec tretí robotník odpracoval polovicu času, kým ďalší dvaja vykopali celú priekopu. V dôsledku toho bola priekopa vykopaná. Koľkokrát rýchlejšie by sa kopala priekopa, keby všetci traja robotníci pracovali súčasne od samého začiatku?
