Definícia .

Opísaný štvoruholník je štvoruholník, ktorého všetky strany sa dotýkajú kružnice. V tomto prípade sa hovorí, že kruh je vpísaný do štvoruholníka.

Aké vlastnosti má kružnica vpísaná do štvoruholníka? Kedy môže byť kruh vpísaný do štvoruholníka? Kde je stred vpísaného kruhu?

Veta 1.

Kruh môže byť vpísaný do štvoruholníka práve vtedy, ak sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké.

Kruh možno vpísať do štvoruholníka ABCD, ak

A naopak, ak sú súčty protiľahlých strán štvoruholníka rovnaké:

potom možno do štvoruholníka ABCD vpísať kružnicu.

Veta 2.

Stred kružnice vpísanej do štvoruholníka je priesečníkom jej priesečníkov.

O je priesečník osí štvoruholníka ABCD.

AO, BO, CO, DO sú osy uhlov štvoruholníka ABCD,

teda ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO atď.

3. Dotykové body vpísanej kružnice ležiace po stranách siahajúcich od jedného vrcholu sú od tohto vrcholu rovnako vzdialené.

AM=AN,

5. Plocha štvoruholníka súvisí s polomerom kruhu, ktorý je do neho vpísaný vzorcom

kde p je polobvod štvoruholníka.

Pretože súčty protiľahlých strán opísaného štvoruholníka sú rovnaké, semiperimeter sa rovná ktorejkoľvek z dvojíc súčtov opačných strán.

Napríklad pre štvoruholník ABCD p=AD+BC alebo p=AB+CD a

Sekcie: matematika , Súťaž „Prezentácia na lekciu“

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele.

Vzdelávacie. Vytváranie podmienok pre úspešné zvládnutie pojmu opisovaného štvoruholníka, jeho vlastností, charakteristík a osvojenie si zručností ich aplikovať v praxi.

Vývojový. Rozvoj matematických schopností, vytváranie podmienok pre schopnosť zovšeobecňovať a aplikovať vpred a vzad myšlienkový pochod.

Vzdelávacie. Pestovanie zmyslu pre krásu prostredníctvom estetiky kresieb, prekvapenie nad nezvyčajnosťou

rozhodnutie, formovanie organizácie, zodpovednosť za výsledky svojej práce.

1. Preštudujte si definíciu opísaného štvoruholníka.

2. Dokážte vlastnosť strán opísaného štvoruholníka.

3. Zaveďte dualitu vlastností súčtov protiľahlých strán a opačných uhlov vpísaných a opísaných štvoruholníkov.

4. Poskytnúť skúsenosti s praktickou aplikáciou uvažovaných teorémov pri riešení úloh.

5. Vykonajte počiatočné monitorovanie úrovne asimilácie nového materiálu.

Vybavenie:

• počítač, projektor;
• učebnica „Geometria. 10-11 ročníkov“ pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie: základné a profilové. automatické úrovne A.V. Pogorelov.

Softvér: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Používanie počítača pri príprave učiteľa na vyučovaciu hodinu.

Pomocou štandardného programu operačného systému Windows boli pre lekciu vytvorené nasledovné:

1. Prezentácia.
2. Tabuľky.
3. Plány.
4. Pracovný list.

Plán lekcie

Organizovanie času. (2 minúty.)

Kontrola domácich úloh. (5 minút.)

Učenie sa nového materiálu. (28 min.)

Samostatná práca. (7 min.)

Domáca úloha. (1 min.)

Zhrnutie lekcie. (2 minúty.)

Počas vyučovania

1. Organizačný moment. Pozdravujem. Uveďte tému a účel lekcie. Zapíšte si dátum a tému hodiny do zošita.

2. Kontrola domácich úloh.

3. Štúdium nového materiálu.

Práca na koncepte ohraničeného mnohouholníka.

Definícia. Polygón sa nazýva popísané o kruhu, ak Všetky jeho stranách obavy nejaký kruh.

Otázka. Ktoré z navrhovaných polygónov sú opísané a ktoré nie a prečo?

<Презентация. Слайд №2>

Dôkaz vlastností opísaného štvoruholníka.

<Презентация. Слайд №3>

Veta. V opísanom štvoruholníku sú súčty protiľahlých strán rovnaké.

Žiaci pracujú s učebnicou a formuláciu vety si zapisujú do zošita.

1. Uveďte formuláciu vety vo forme podmienkovej vety.

2. Aká je podmienka vety?

3. Aký je záver vety?

Odpoveď. Akštvoruholník je opísaný okolo kruhu, To súčty protiľahlých strán sú rovnaké.

Dôkaz je vykonaný, študenti si robia poznámky do svojich zošitov.

<Презентация. Слайд №4>

učiteľ. Poznámka dualita situácie pre strany a uhly opísaných a vpísaných štvoruholníkov.

Upevnenie získaných vedomostí.

Úlohy.

Protiľahlé strany opísaného štvoruholníka sú 8 m a 12 m.Je možné nájsť obvod?

Úlohy založené na hotových výkresoch.<Презентация. Слайд №5>

Odpoveď. 1. 10 m. 2. 20 m. 3. 21 m

Dôkaz charakteristiky opísaného štvoruholníka.

Povedzte opačnú vetu.

Odpoveď. Ak sú v štvoruholníku súčty protiľahlých strán rovnaké, potom do neho možno vpísať kruh. (Späť na snímku 2, obr. 7) <Презентация. Слайд №2>

učiteľ. Objasnite formuláciu vety.

Veta. Ak súčty opačných strán konvexnéštvoruholník sú rovnaké, potom doň možno vpísať kruh.

Práca s učebnicou. Zoznámte sa s dôkazom testu pre opísaný štvoruholník pomocou učebnice.

Aplikácia získaných vedomostí.

3. Úlohy na základe hotových výkresov.

1. Je možné vpísať kružnicu do štvoruholníka s protiľahlými stranami 9 m a 4 m, 10 m a 3 m?

2. Je možné vpísať kružnicu do rovnoramenného lichobežníka so základňami 1 m a 9 m a výškou 3 m?

<Презентация. Слайд №6>

Písomná práca v zošitoch

.

Úloha. Nájdite polomer kružnice vpísanej do kosoštvorca s uhlopriečkami 6 m a 8 m.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Samostatná práca.

1 možnosť

1. Je možné vpísať kruh

1) do obdĺžnika so stranami 7 ma 10 m,

2. Protiľahlé strany štvoruholníka opísaného okolo kruhu sú 7 ma 10 m.

Nájdite obvod štvoruholníka.

3. Okolo kruhu je opísaný rovnostranný lichobežník so základňami 4 ma 16 m.

1) polomer vpísanej kružnice,

Možnosť 2

1. Je možné vpísať kruh:

1) v rovnobežníku so stranami 6 ma 13 m,

2) na druhú?

2. Protiľahlé strany štvoruholníka opísaného okolo kruhu sú 9 ma 11 m. Nájdite obvod štvoruholníka.

3. Rovnostranný lichobežník s bočnou stranou 5 m je opísaný okolo kruhu s polomerom 2 m.

1) základňa lichobežníka,

2) polomer opísanej kružnice.

5. Domáce úlohy. S.86, č. 28, 29, 30.

6. Zhrnutie lekcie. Kontroluje sa samostatná práca a udeľujú známky.

<Презентация. Слайд № 8>

1 . Súčet uhlopriečok konvexného štvoruholníka je väčší ako súčet jeho dvoch protiľahlých strán.

2 . Ak segmenty spájajú stredy protiľahlých strán štvoruholník

a) sú rovnaké, potom sú uhlopriečky štvoruholníka kolmé;

b) sú kolmé, potom sú uhlopriečky štvoruholníka rovnaké.

3 . Osy uhlov na bočnej strane lichobežníka sa pretínajú v jeho strednej čiare.

4 . Strany rovnobežníka sú rovnaké a . Potom štvoruholník tvorený priesečníkmi osí uhlov rovnobežníka je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky sa rovnajú .

5 . Ak je súčet uhlov na jednej zo základov lichobežníka 90°, potom sa segment spájajúci stredy základov lichobežníka rovná ich polovičnému rozdielu.

6 . Na bokoch AB A AD rovnobežník A B C D získané body M A N tak rovno PANI A NC rozdeľte rovnobežník na tri rovnaké časti. Nájsť MN, Ak BD=d.

7 . Priamy segment rovnobežný so základňami lichobežníka, uzavretý vo vnútri lichobežníka, je rozdelený svojimi uhlopriečkami na tri časti. Potom sa segmenty susediace so stranami navzájom rovnajú.

8 . Cez priesečník uhlopriečok lichobežníka so základňami je nakreslená priamka rovnobežná so základňami. Úsek tejto čiary uzavretý medzi bočnými stranami lichobežníka sa rovná .

9 . Lichobežník je rozdelený priamkou rovnobežnou s jeho základňami, rovnajúcou sa a , na dva rovnaké lichobežníky. Potom sa segment tejto čiary uzavretý medzi stranami rovná .

10 . Ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok, potom štyri body A, B, C A D ležať na rovnakom kruhu.

A) CAD=CBD= 90°.

b) bodov A A IN ležať na jednej strane priamky CD a uhol CAD rovný uhlu CBD.

c) rovný AC A BD pretínajú v bode O A O A OS=OV OD.

11 . Priamka spájajúca bod R priesečník uhlopriečok štvoruholníka ABCD s bodka Q priesečníky liniek AB A CD, rozdeľuje stranu AD na polovicu. Potom sa rozdelí na polovicu a na stranu Slnko.

12 . Každá strana konvexného štvoruholníka je rozdelená na tri rovnaké časti. Zodpovedajúce deliace body na opačných stranách sú spojené segmentmi. Potom sa tieto segmenty rozdelia na tri rovnaké časti.

13 . Dve priame čiary rozdeľujú každú z dvoch protiľahlých strán konvexného štvoruholníka na tri rovnaké časti. Potom medzi týmito čiarami leží tretina plochy štvoruholníka.

14 . Ak možno do štvoruholníka vpísať kružnicu, potom úsečka spájajúca body, v ktorých sa vpísaná kružnica dotýka protiľahlých strán štvoruholníka, prechádza priesečníkom uhlopriečok.

15 . Ak sú súčty protiľahlých strán štvoruholníka rovnaké, potom je možné do takého štvoruholníka vpísať kružnicu.

16. Vlastnosti vpísaného štvoruholníka so vzájomne kolmými uhlopriečkami.Štvoruholník A B C D vpísané do kruhu s polomerom R. Jeho uhlopriečky AC A BD vzájomne kolmé a pretínajú sa v bode R. Potom

a) stredná hodnota trojuholníka ARV kolmo na stranu CD;

b) prerušovaná čiara AOC rozdeľuje štvoruholník A B C D na dve rovnako veľké postavy;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 + BP 2 + CP 2 + DP 2 = 4R 2 a AB2+BC2+CD2+AD2=8R2;

e) vzdialenosť od stredu kruhu k strane štvoruholníka je polovica opačnej strany.

e) ak kolmice klesli na stranu AD z vrchov IN A S, prejsť cez uhlopriečky AC A BD v bodoch E A F, To BCFE- kosoštvorec;

g) štvoruholník, ktorého vrcholy sú priemety bodu R po stranách štvoruholníka A B C D,- vpísané aj popísané;

h) štvoruholník tvorený dotyčnicami k opísanej kružnici štvoruholníka A B C D, nakreslený v jeho vrcholoch, môže byť vpísaný do kruhu.

17 . Ak a, b, c, d- po sebe idúce strany štvoruholníka, S je jeho plocha, teda , a rovnosť platí len pre vpísaný štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú navzájom kolmé.

18 . Brahmaguptov vzorec. Ak sú strany cyklického štvoruholníka rovnaké a, b, c A d, potom jeho oblasť S možno vypočítať pomocou vzorca,

Kde - polobvod štvoruholníka.

19 . Ak štvoruholník so stranami A, b, c, d dá sa vpísať a okolo nej opísať kružnica, potom sa jej plocha rovná .

20 . Bod P sa nachádza vo vnútri štvorca A B C D, a uhol PAB rovný uhlu RVA a je rovný 15°. Potom trojuholník DPC- rovnostranný.

21 . Ak pre cyklický štvoruholník A B C D je splnená rovnosť CD=AD+BC, potom osi jeho uhlov A A IN pretínajú na strane CD.

22 . Pokračovanie opačných strán AB A CD cyklický štvoruholník A B C D pretínajú v bode M, a strany AD A slnko- na mieste N. Potom

a) osi uhla AMD A D.N.C. vzájomne kolmé;

b) rovný MQ A NQ pretínajú strany štvoruholníka vo vrcholoch kosoštvorca;

c) priesečník Q týchto osí leží na úsečke spájajúcej stredy uhlopriečok štvoruholníka A B C D.

23 . Ptolemaiova veta. Súčet súčinov dvoch párov protiľahlých strán cyklického štvoruholníka sa rovná súčinu jeho uhlopriečok.

24 . Newtonova veta. V každom opísanom štvoruholníku sú stredy uhlopriečok a stred vpísanej kružnice umiestnené na tej istej priamke.

25 . Mongeova veta.Čiary vedené stredmi strán vpísaného štvoruholníka kolmého na protiľahlé strany sa pretínajú v jednom bode.

27 . Štyri kruhy, postavené po stranách konvexného štvoruholníka ako priemery, pokrývajú celý štvoruholník.

29 . Dva protiľahlé uhly konvexného štvoruholníka sú tupé. Potom je uhlopriečka spájajúca vrcholy týchto uhlov menšia ako druhá uhlopriečka.

30. Stredy štvorcov postavené na stranách rovnobežníka mimo neho tvoria štvorec.

Materiál z Wikipédie – voľnej encyklopédie

• V euklidovskej geometrii, vpísaný štvoruholník je štvoruholník, ktorého vrcholy ležia na tej istej kružnici. Tento kruh sa nazýva opísaný kruhštvoruholník a hovorí sa, že vrcholy ležia na tej istej kružnici. Stred tohto kruhu a jeho polomer sa nazývajú stred A polomer opísaný kruh. Ďalšie výrazy pre tento štvoruholník: štvoruholník leží na jednom kruhu, strany posledného štvoruholníka sú tetivami kružnice. Konvexný štvoruholník sa zvyčajne považuje za konvexný štvoruholník. Vzorce a vlastnosti uvedené nižšie platia v konvexnom prípade.
• Hovoria, že ak okolo štvoruholníka možno nakresliť kruh, To štvoruholník je vpísaný do tohto kruhu, a naopak.

Všeobecné kritériá pre zápis štvoruholníka

• Okolo konvexného štvoruholníka $\backslash pi$ radiány), to znamená:

$\backslash uhol\; A+\backslash uhol\; C\; =\; \backslash uhol\; B\; +\; \backslash uhol\; D\; =\; 180^\backslash circ$

alebo v zápise obrázku:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Je možné opísať kruh okolo akéhokoľvek štvoruholníka, v ktorom sa štyri kolmé stredy jeho strán pretínajú v jednom bode (alebo strednice jeho strán, to znamená kolmice na strany prechádzajúce ich stredmi).
• Môžete opísať kruh okolo akéhokoľvek štvoruholníka, s ktorým susedí jeden vonkajší uhol daný vnútorný uhol, sa presne rovná druhému vnútornému uhlu oproti daný vnútorný roh. V podstate je táto podmienka podmienkou antiparalelnosti dvoch protiľahlých strán štvoruholníka. Na obr. Nižšie sú vonkajšie a priľahlé vnútorné rohy zeleného päťuholníka.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Križovatka X môže byť vnútorný alebo vonkajší vzhľadom na kruh. V prvom prípade získame cyklický štvoruholník is A B C D a v druhom prípade získame vpísaný štvoruholník ABDC. Pri pretínaní vnútri kruhu rovnosť hovorí, že súčin dĺžok úsečiek, v ktorých je bod X delí jednu uhlopriečku, sa rovná súčinu dĺžok úsečiek, v ktorých je bod X rozdeľuje ďalšiu uhlopriečku. Táto podmienka je známa ako „teorém pretínajúceho sa akordu“. V našom prípade sú uhlopriečky vpísaného štvoruholníka tetivami kružnice.
• Ďalšie kritérium pre zaradenie. Konvexný štvoruholník A B C D kruh je vpísaný vtedy a len vtedy

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2)\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))\; =\; 1.$

Osobitné kritériá pre zápis štvoruholníka

Jednoduchý vpísaný (bez sebapriesečníka) štvoruholník je konvexný. Kruh možno opísať okolo konvexného štvoruholníka vtedy a len vtedy, ak súčet jeho opačných uhlov je rovný 180° ( $\backslash pi$ radián). Môžete opísať kruh okolo:

• akýkoľvek antiparalelogram
• ľubovoľný obdĺžnik (špeciálny prípad je štvorec)
• akýkoľvek rovnoramenný lichobežník
• akýkoľvek štvoruholník, ktorý má dva protiľahlé pravé uhly.

Vlastnosti

Vzorce s uhlopriečkami

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

V poslednom vzorci dvojice susedných strán čitateľa a A d, b A c položte ich konce na diagonálnu dĺžku e. Podobné tvrdenie platí aj pre menovateľa.

• Vzorce pre diagonálne dĺžky(následky ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ A $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Vzorce s uhlami

Pre cyklický štvoruholník s postupnosťou strán a , b , c , d, s poloobvodom p a uhol A medzi stranami a A d, goniometrické funkcie uhla A sú dané vzorcami

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Rohový θ medzi uhlopriečkami je:str.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Ak protiľahlé strany a A c pretínajú pod uhlom φ , potom je to rovnaké

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Kde p je tam polobvod. :str.31

Polomer kružnice opísanej okolo štvoruholníka

Vzorec Parameshvara

Ak štvoruholník s po sebe idúcimi stranami a , b , c , d a poloobvodové p vpísané do kruhu, potom sa jeho polomer rovná Parameshwarov vzorec:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Odvodil ho indický matematik Parameshwar v 15. storočí (asi 1380–1460)

• Konvexný štvoruholník (pozri obrázok vpravo) tvorený štyrmi údajmi Mikelove rovné čiary, je vpísaný do kruhu práve vtedy, ak je Mikelov bod Mštvoruholníka leží na priamke spájajúcej dva zo šiestich priesečníkov priamok (tie, ktoré nie sú vrcholmi štvoruholníka). Teda kedy M leží na E.F..

Kritérium, že štvoruholník zložený z dvoch trojuholníkov je vpísaný do určitého kruhu

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Posledná podmienka dáva výraz pre uhlopriečku fštvoruholník vpísaný do kruhu cez dĺžky jeho štyroch strán ( a, b, c, d). Tento vzorec bezprostredne nasleduje pri násobení a pri vzájomnom porovnávaní ľavej a pravej časti vzorcov vyjadrujúcich podstatu Ptolemaiova prvá a druhá veta(viď vyššie).

Kritérium, že štvoruholník vyrezaný priamkou z trojuholníka je vpísaný do určitého kruhu

• Priamka, antiparalelná k strane trojuholníka a pretínajúca ho, z neho odreže štvoruholník, okolo ktorého sa dá vždy opísať kruh.
• Dôsledok. Okolo antiparalelogramu, v ktorom sú dve protiľahlé strany antiparalelné, je vždy možné opísať kruh.

Plocha štvoruholníka vpísaná do kruhu

Variácie Brahmaguptovho vzorca

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ kde p je polobvod štvoruholníka. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Ostatné plošné vzorce

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Kde θ ktorýkoľvek z uhlov medzi uhlopriečkami. Za predpokladu, že uhol A nie je priamka, plocha môže byť vyjadrená aj ako :str.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Kde R je polomer kružnice opísanej. Ako priamy dôsledok máme nerovnosť

$S\backslash le\; 2R^2,$

kde rovnosť je možná práve vtedy, ak je tento štvoruholník štvorcom.

Brahmagupta štvoruholníky

Brahmaguptov štvoruholník je štvoruholník vpísaný do kruhu s celočíselnými dĺžkami strán, celočíselnými uhlopriečkami a celočíselnou plochou. Všetky možné štvoruholníky Brahmagupta so stranami a , b , c , d, s uhlopriečkami e , f, s rozlohou S a polomer kružnice opísanej R možno získať odstránením menovateľov nasledujúcich výrazov zahŕňajúcich racionálne parametre t , u, A v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Príklady

• Jednotlivé štvoruholníky vpísané do kruhu sú: obdĺžnik, štvorec, rovnoramenný alebo rovnoramenný lichobežník, antiparalelogram.

Štvoruholníky vpísané do kruhu s kolmými uhlopriečkami (vpísané ortodiagonálne štvoruholníky)

Vlastnosti štvoruholníkov vpísaných do kruhu s kolmými uhlopriečkami

Circumradius a oblasť

Pre štvoruholník vpísaný do kruhu s kolmými uhlopriečkami predpokladajme, že priesečník uhlopriečok rozdeľuje jednu uhlopriečku na segmenty dĺžky p 1 a p 2 a rozdeľuje druhú uhlopriečku na dĺžkové segmenty q 1 a q 2. Potom (prvá rovnosť je Archimedov návrh 11) Kniha Lemmy)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Kde D- priemer kruhu. To je pravda, pretože uhlopriečky sú kolmé na tetivu kruhu. Z týchto rovníc vyplýva, že polomer kružnice opísanej R možno napísať ako

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

alebo z hľadiska strán štvoruholníka v tvare

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Z toho tiež vyplýva

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Pre vpísané ordiagonálne štvoruholníky platí Brahmaguptova veta:

Ak má cyklický štvoruholník kolmé uhlopriečky pretínajúce sa v bode $M$, potom dva páry antimediatris prejsť cez bod $M$.

Komentujte. V tejto vete pod anti-mediatrix porozumieť segmentu $F.E.$štvoruholník na obrázku vpravo (analogicky s odvesnicou (strednicou) na stranu trojuholníka). Je kolmá na jednu stranu a zároveň prechádza stredom protiľahlej strany štvoruholníka.

Napíšte recenziu na článok "Štvoruholníky vpísané do kruhu"

Poznámky

1. Bradley, Christopher J. (2007), Algebra geometrie: karteziánske, areálové a projektívne súradnice,Vysoké vnímanie, s. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Vpísané štvoruholníky.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometria, Cambridge University Press, s. 202, O.C.L.C.
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Kuriér Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Fórum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometria, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (marec 2000), "Okruh cyklického štvoruholníka", Matematický vestník T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Vysokoškolská geometria: Úvod do modernej geometrie trojuholníka a kruhu(2. vyd.), Courier Dover, str. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), Epizódy v euklidovskej geometrii devätnásteho a dvadsiateho storočia, zv. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(anglicky) na webovej stránke Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Prehodnotená geometria, Mathematical Association of America, str. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Poklady z matematickej olympiády, Springer, str. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R.H. & MacDougall, J.A. (1999), "", Bulletin Austrálskej matematickej spoločnosti T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometria, Dover Publ. Co., 2007
21. , S. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (september 2003), "Maximalizácia plochy štvoruholníka", The College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, s. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Šastrý, K.R.S. (2002). "" (PDF). Fórum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Náročné problémy v geometrii(2. vyd.), Courier Dover, str. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

pozri tiež

Podľa počtu strán Správne Trojuholníky Štvoruholníky pozri tiež

Článok obsahuje krátke („Harvardské“) odkazy na publikácie, ktoré nie sú uvedené alebo nesprávne opísané v bibliografickej časti. Zoznam nefunkčných odkazov: , , , , , , , , – No čo, kozák môj? (Marya Dmitrievna nazývala Natašu kozákom) - povedala a rukou pohladila Natašu, ktorá sa bez strachu a veselo priblížila k jej ruke. – Viem, že ten elixír je dievča, ale milujem ju. Zo svojej obrovskej sieťky vytiahla náušnice jachon v tvare hrušky a dala ich Natashe, ktorá sa na narodeniny žiarila a červenala, okamžite sa od nej odvrátila a obrátila sa k Pierrovi. - Eh, eh! milý! "Poď sem," povedala predstieraným tichým a tenkým hlasom. - No tak, drahá... A hrozivo si vyhrnula rukávy ešte vyššie. Pierre pristúpil a naivne sa na ňu pozeral cez okuliare. - Poď, poď, moja drahá! Bol som jediný, kto povedal tvojmu otcovi pravdu, keď mal príležitosť, ale Boh ti to prikazuje. Odmlčala sa. Všetci mlčali, čakali, čo sa bude diať, a cítili, že je tam len predslov. - Dobre, nemám čo povedať! dobrý chlapec!... Otec leží na posteli a zabáva sa na tom, že policajta posadí na medveďa. Je to hanba, otec, je to hanba! Bolo by lepšie ísť do vojny. Odvrátila sa a podala ruku grófovi, ktorý sa len ťažko ubránil smiechu. - Tak poď k stolu, mám čaj, je čas? - povedala Marya Dmitrievna. Gróf kráčal vpred s Maryou Dmitrievnou; potom grófka, ktorú viedol husársky plukovník, správna osoba, s ktorou mal Nikolaj zastihnúť pluk. Anna Mikhailovna - so Shinshinom. Berg si potriasol rukou s Verou. Usmievavá Julie Karagina išla s Nikolajom k stolu. Za nimi prišli ďalšie páry, ktoré sa tiahli cez celú sálu, a za nimi, jeden po druhom, deti, vychovávatelia a vychovateľky. Čašníci sa začali miešať, stoličky hrkotali, v zbore začala hrať hudba a hostia si sadli na svoje miesta. Zvuky grófskej domácej hudby vystriedali zvuky nožov a vidličiek, vrava hostí a tiché kroky čašníkov. Na jednom konci stola sedela grófka na čele. Vpravo je Marya Dmitrievna, vľavo Anna Mikhailovna a ďalší hostia. Na druhom konci sedel gróf, vľavo husársky plukovník, vpravo Shinshin a ďalší mužskí hostia. Na jednej strane dlhého stola sú starší mladí ľudia: Vera vedľa Berga, Pierre vedľa Borisa; na druhej strane - deti, vychovávatelia a guvernantky. Gróf spoza krištáľu, fliaš a váz s ovocím hľadel na svoju ženu a jej vysokú čiapku s modrými stuhami a usilovne nalieval susedom víno, nezabúdajúc ani na seba. Aj grófka spoza ananásov, nezabúdajúc na povinnosti gazdinky, vrhla významné pohľady na svojho manžela, ktorého holá hlava a tvár, ako sa jej zdalo, sa vo svojej ryšave výraznejšie líšili od jeho sivých vlasov. Na konci žien sa ozývalo stále bľabotanie; na mužskom záchode sa čoraz hlasnejšie ozývali hlasy, najmä husársky plukovník, ktorý toľko jedol a pil, čím ďalej tým viac sa červenal, že ho už gróf dával za príklad ostatným hosťom. Berg s jemným úsmevom Vere prehovoril, že láska nie je pozemský, ale nebeský cit. Boris vymenoval svojho nového priateľa Pierra za hostí pri stole a vymenil si pohľady s Natašou, ktorá sedela oproti nemu. Pierre málo hovoril, obzeral si nové tváre a veľa jedol. Počnúc dvoma polievkami, z ktorých si vybral a la tortue, [korytnačku] a kulebyaki a až po lieskové tetrovy, nevynechal ani jedno jedlo a ani jedno víno, ktoré komorník záhadne vystrčil do fľaše zabalenej v obrúsku. spoza susedovho ramena, hovoriac alebo „vyschnutá Madeira“, alebo „maďarská“ alebo „rýnske víno“. Položil prvý zo štyroch krištáľových pohárov s grófskym monogramom, ktoré stáli pred každým prístrojom, a s pôžitkom si odpil, hľadiac na hostí s čoraz príjemnejším výrazom. Nataša sediaca oproti nemu sa na Borisa pozerala tak, ako sa trinásťročné dievčatá pozerajú na chlapca, s ktorým sa práve prvýkrát pobozkali a do ktorého sú zamilované. Ten istý jej pohľad sa občas obrátil k Pierrovi a pod pohľadom tohto zábavného, ​​živého dievčaťa sa chcel sám zasmiať, nevediac prečo. Nikolai sedel ďaleko od Sonyy, vedľa Julie Karaginy, a znova sa k nej prihovoril s rovnakým mimovoľným úsmevom. Sonya sa veľkolepo usmiala, ale zjavne ju trápila žiarlivosť: zbledla, potom sa začervenala a zo všetkých síl počúvala, čo si Nikolai a Julie hovorili. Guvernantka sa nepokojne obzerala okolo seba, akoby sa chystala brániť, keby sa niekto rozhodol uraziť deti. Nemecký učiteľ sa snažil zapamätať si všetky druhy jedál, zákuskov a vín, aby všetko podrobne opísal v liste svojej rodine v Nemecku, a bol veľmi urazený skutočnosťou, že komorník s fľašou zabalenou v obrúsku niesol okolo neho. Nemec sa zamračil, snažil sa dať najavo, že toto víno nechce dostávať, ale urazil sa, pretože nikto nechcel pochopiť, že vínom nie je potrebné uhasiť smäd, nie z chamtivosti, ale zo svedomitej zvedavosti. Na mužskom konci stola bol rozhovor čoraz živší. Plukovník povedal, že manifest o vyhlásení vojny už bol zverejnený v Petrohrade a že kópiu, ktorú on sám videl, teraz doručil kuriér hlavnému veliteľovi. - A prečo je pre nás ťažké bojovať s Bonaparte? - povedal Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour." [Už porazil aroganciu Rakúska. Obávam sa, že teraz by na nás neprišiel rad.] Plukovník bol podsaditý, vysoký a sangvinický Nemec, zjavne sluha a vlastenec. Urazili ho Shinshinove slová. "A potom sme dobrý suverén," povedal a vyslovil e namiesto e a ъ namiesto ь. "Potom, že cisár to vie. Vo svojom manifeste povedal, že sa môže ľahostajne pozerať na nebezpečenstvá, ktoré ohrozujú Rusko, a že bezpečnosť ríše, jej dôstojnosť a posvätnosť jej spojenectiev," povedal, z nejakého dôvodu osobitne zdôraznil slovo „odbory“, akoby to bola celá podstata veci. A svojou charakteristickou neomylnou, oficiálnou pamäťou zopakoval úvodné slová manifestu... „a túžbu, jediný a nenahraditeľný cieľ panovníka: nastoliť mier v Európe na pevných základoch – rozhodli sa teraz poslať časť armády v zahraničí a vyvinúť nové úsilie na dosiahnutie tohto zámeru “. "Preto sme dobrý suverén," uzavrel, povzbudzujúc si vypil pohár vína a obzrel sa späť na grófa, aby ho povzbudil. – Connaissez vous le proverbe: [Poznáte príslovie:] „Erema, Erema, mal by si sedieť doma, nabrúsiť si vretená,“ povedal Shinshin, trhol sa a usmieval sa. – Cela nous convient a merveille. [To nám príde vhod.] Prečo Suvorov - rozsekali ho, ako tanier, [na hlavu] a kde sú teraz naši Suvorovci? Je vous demande un peu, [Pýtam sa ťa,] - povedal a neustále preskakoval z ruštiny do francúzštiny. "Musíme bojovať až do poslednej kvapky krvi," povedal plukovník a udrel do stola, "a zomrieť za nášho cisára a potom bude všetko v poriadku." A hádať sa čo najviac (zvlášť pri slove „možné“) sa hádal čo najmenej,“ dokončil a opäť sa obrátil na grófa. "Takto posudzujeme starých husárov, to je všetko." Ako súdite, mladý muž a mladý husár? - dodal a obrátil sa k Nikolajovi, ktorý, keď počul, že ide o vojnu, opustil svojho partnera, pozrel sa všetkými očami a všetkými ušami počúval plukovníka. "Úplne s tebou súhlasím," odpovedal celý začervenaný Nikolaj, točil tanierom a prestavoval poháre s takým rozhodným a zúfalým pohľadom, akoby bol v tej chvíli vystavený veľkému nebezpečenstvu, "som presvedčený, že Rusi musia zomrieť." alebo zvíťaziť.“ povedal. rovnako ako ostatní, keď už to slovo bolo povedané, že to bolo príliš nadšené a pompézne na súčasnú príležitosť, a preto trápne. "Cest bien beau ce que vous venez de dire, [Úžasné! To, čo si povedal, je úžasné]," povedala Julie, ktorá sedela vedľa neho a vzdychla. Sonya sa celá triasla a začervenala sa až po uši, za ušami a na krk a ramená, v Kým Nikolaj hovoril, Pierre počúval plukovníkove prejavy a súhlasne prikývol hlavou. "To je pekné," povedal. "Skutočný husár, mladý muž," zakričal plukovník a znova udrel do stola. -Čo tam robíš hluk? – Zrazu sa cez stôl ozval basový hlas Maryy Dmitrievny. -Prečo klopeš na stôl? - obrátila sa k husárovi, - koho sa vzrušuješ? správne, myslíš si, že Francúzi sú pred tebou? "Hovorím pravdu," povedal husár s úsmevom. „Všetko o vojne,“ zakričal gróf cez stôl. - Koniec koncov, môj syn prichádza, Marya Dmitrievna, môj syn prichádza. - A mám štyroch synov v armáde, ale neobťažujem sa. Všetko je Božia vôľa: zomrieš ležať na peci a v boji sa Boh zmiluje,“ ozval sa z druhého konca stola bez námahy hustý hlas Maryy Dmitrievny. - Toto je pravda. A rozhovor sa opäť sústredil – dámy na ich konci stola, muži na jeho. "Ale ty sa nebudeš pýtať," povedal malý brat Natashe, "ale nebudeš sa pýtať!" "Spýtam sa," odpovedala Natasha. Jej tvár sa zrazu začervenala, čo vyjadrovalo zúfalé a veselé odhodlanie. Vstala, vyzvala Pierra, ktorý sedel oproti nej, aby počúval, a obrátila sa k matke: - Matka! – ozval sa cez stôl jej detský, prsatý hlas. - Čo chceš? - spýtala sa grófka vystrašene, ale keď videla na tvári svojej dcéry, že ide o žart, prísne mávla rukou a urobila výhražné a negatívne gesto hlavou. Rozhovor utíchol. - Matka! aká torta to bude? – Natašin hlas znel ešte rozhodnejšie, bez toho, aby sa zlomil. Grófka sa chcela zamračiť, ale nemohla. Marya Dmitrievna potriasla hrubým prstom. "Kozák," povedala výhražne. Väčšina hostí sa pozerala na starších a nevedela, ako na tento trik. - Tu som! - povedala grófka. - Matka! aká torta bude? - kričala teraz Natasha smelo a vrtošivo veselo, vopred si bola istá, že jej žart bude dobre prijatý. Sonya a tučná Petya sa skrývali pred smiechom. "Preto som sa pýtala," zašepkala Natasha svojmu malému bratovi a Pierrovi, na ktorého sa znova pozrela. "Zmrzlinu, ale nedajú ti ju," povedala Marya Dmitrievna. Natasha videla, že sa niet čoho báť, a preto sa Mary Dmitrievny nebála. - Marya Dmitrievna? aká zmrzlina! Nemám rada smotanu. - Mrkva. - Nie, ktorý? Marya Dmitrievna, ktorá? – takmer skríkla. - Chcem vedieť! Marya Dmitrievna a grófka sa zasmiali a všetci hostia ich nasledovali. Všetci sa nesmiali nad odpoveďou Marya Dmitrievna, ale s nepochopiteľnou odvahou a obratnosťou tohto dievčaťa, ktoré vedelo a odvážilo sa takto zaobchádzať s Maryou Dmitrievnou. Natasha zaostala, až keď jej povedali, že bude ananás. Šampanské sa podávalo pred zmrzlinou. Hudba opäť začala hrať, gróf pobozkal grófku a hostia vstali a zablahoželali grófke, štrngali pohármi po stole s grófom, deťmi a navzájom. Opäť pribehli čašníci, stoličky hrkotali a v rovnakom poradí, ale s červenšími tvárami, sa hostia vrátili do salónu a grófskej kancelárie. Bostonské stoly boli od seba odsunuté, večierky usporiadané a grófovi hostia sa usadili v dvoch obývačkách, rozkladacej miestnosti a knižnici. Gróf, rozkladajúc svoje karty, len ťažko odolal zvyku popoludňajšieho spánku a zo všetkého sa smial. Mládež, podnietená grófkou, sa zhromaždila okolo klavichordu a harfy. Julie ako prvá na želanie všetkých zahrala skladbu s variáciami na harfe a spolu s ďalšími dievčatami začala žiadať Natashu a Nikolaja, známych svojou muzikálnosťou, aby niečo zaspievali. Natasha, ktorú oslovovali veľké dievča, bola na to zrejme veľmi hrdá, no zároveň nesmelá. - Čo budeme spievať? - opýtala sa. "Kľúč," odpovedal Nikolaj. - No, ponáhľajme sa. Boris, poď sem,“ povedala Natasha. - Kde je Sonya? Obzrela sa a keď videla, že jej priateľ nie je v izbe, rozbehla sa za ňou. Natasha, ktorá vbehla do Sonyinej izby a nenašla tam svojho priateľa, vbehla do detskej izby - a Sonya tam nebola. Natasha si uvedomila, že Sonya je v chodbe na hrudi. Truhlica na chodbe bola miestom smútku mladšej ženskej generácie Rostovského domu. Vskutku, Sonya vo svojich vzdušných ružových šatách, rozdrvila ich, ležala tvárou nadol na špinavú pásikavú perovú posteľ svojej opatrovateľky, na hruď, zakryla si tvár prstami, horko plakala a triasla nahými ramenami. Natašina tvár, animovaná, s narodeninami po celý deň, sa zrazu zmenila: oči sa jej zastavili, potom sa jej široký krk zachvel, kútiky pier ovisnuté. - Sonya! čo si?... Čo, čo ti je? Wow wow!… A Natasha, ktorá otvorila svoje veľké ústa a stala sa úplne hlúpou, začala revať ako dieťa, nevedela dôvod a len preto, že Sonya plakala. Sonya chcela zdvihnúť hlavu, chcela odpovedať, ale nemohla a skryla sa ešte viac. Natasha sa rozplakala, sadla si na modrú perovú posteľ a objala svoju kamarátku. Keď Sonya nabrala silu, vstala, začala si utierať slzy a rozprávať príbeh. - Nikolenka o týždeň odchádza, vyšiel mu... papier.... sám mi povedal... Áno, aj tak by som neplakal... (ukázala papierik, ktorý držala jej ruka: bola to poézia, ktorú napísal Nikolaj) Stále by som neplakal, ale ty nie, môžeš... nikto nemôže pochopiť... akú má dušu. A opäť začala plakať, pretože jeho duša bola taká dobrá. "Cítiš sa dobre... nezávidím ti... ľúbim ťa a Boris tiež," povedala a nazbierala trochu síl, "je roztomilý... pre teba neexistujú žiadne prekážky." A Nikolaj je môj bratranec... Potrebujem... samotného metropolitu... a to je nemožné. A potom, ak mama... (Sonya zvažovala grófku a zavolala svojej matke), povie, že ničím Nikolajovi kariéru, nemám srdce, že som nevďačná, ale naozaj... preboha... (prekrížila sa) Aj ja ju tak veľmi milujem a vás všetkých, len Veru... Načo? Čo som jej urobil? Som ti tak vďačný, že by som rád obetoval všetko, ale nemám nič... Sonya už nemohla hovoriť a opäť si schovala hlavu do dlaní a perovej postele. Natasha sa začala upokojovať, ale na jej tvári bolo vidieť, že pochopila dôležitosť smútku svojho priateľa. - Sonya! - povedala zrazu, akoby uhádla skutočný dôvod bratrancovho smútku. – Je to tak, Vera sa s tebou rozprávala po večeri? Áno? – Áno, tieto básne napísal sám Nikolaj a iné som skopíroval ja; Našla ich na mojom stole a povedala, že ich ukáže mame, a tiež povedala, že som nevďačný, že mama mu nikdy nedovolí vziať si ma a on si vezme Julie. Vidíš, ako je s ňou celý deň... Natasha! Prečo?… A opäť plakala trpkejšie ako predtým. Natasha ju zdvihla, objala a s úsmevom cez slzy ju začala upokojovať. - Sonya, never jej, miláčik, never jej. Pamätáš sa, ako sme sa všetci traja rozprávali s Nikolenkou v sedacej izbe; pamätáš po večeri? O všetkom sme predsa rozhodli, ako to bude. Nepamätám si ako, ale pamätáš si, ako bolo všetko dobré a všetko bolo možné. Brat strýka Shinshina je ženatý s bratrancom a my sme bratranci z druhého kolena. A Boris povedal, že je to veľmi možné. Vieš, povedala som mu všetko. A je taký šikovný a taký dobrý," povedala Natasha... "Ty, Sonya, neplač, moja drahá, Sonya." - A so smiechom ju pobozkala. - Viera je zlá, Boh ju žehnaj! Ale všetko bude v poriadku a nepovie to mamke; Nikolenka to povie sama a na Julie ani nepomyslel. A pobozkala ju na hlavu. Sonya vstala a mačiatko sa vzchopilo, oči mu zaiskrili a zdalo sa, že je pripravený mávať chvostom, skákať na svoje mäkké labky a znova sa hrať s loptou, ako sa naňho patrí. - Myslíš? Správny? Bohom? – povedala a rýchlo si upravila šaty a vlasy. - Naozaj, preboha! - odpovedala Natasha a narovnala si zatúlaný prameň hrubých vlasov pod cop svojej kamarátky. A obaja sa zasmiali. - Dobre, poďme spievať "Kľúč." - Poďme do. "Vieš, tento tučný Pierre, ktorý sedel oproti mne, je taký zábavný!" - zrazu povedala Natasha a zastavila sa. - Veľmi sa bavím! A Natasha bežala chodbou. Sonya, striasajúc zo seba chmýří a schovávajúc básne v lone, po krk s vyčnievajúcimi hrudnými kosťami, ľahkými, veselými krokmi, so začervenanou tvárou, bežala za Natašou po chodbe k pohovke. Na želanie hostí zaspievali mladí ľudia kvarteto „Kľúč“, ktoré sa všetkým veľmi páčilo; potom Nikolaj znova zaspieval pieseň, ktorú sa naučil. V príjemnej noci, v mesačnom svite, Predstavte si seba šťastne Že na svete ešte niekto je, Kto myslí aj na teba! Ako ona svojou krásnou rukou, Kráčajúc popri zlatej harfe, So svojou vášnivou harmóniou Volá k sebe, volá vás! Ešte deň alebo dva a príde nebo... Ale ach! tvoj priateľ nebude žiť! A ešte nedospieval posledné slová, keď sa mladí v sále chystali do tanca a muzikanti v zbore sa začali klepať nohami a kašľať. Pierre sedel v obývačke, kde s ním Shinshin, akoby s návštevou zo zahraničia, začal pre Pierra nudný politický rozhovor, ku ktorému sa pridali aj ostatní. Keď začala hrať hudba, Natasha vošla do obývačky a smiala sa a červenala sa priamo k Pierrovi a povedala: - Mama mi povedala, aby som ťa požiadal o tanec. "Bojím sa, že si pomýlim čísla," povedal Pierre, "ale ak chceš byť mojím učiteľom..." A ponúkol svoju hrubú ruku, spustiac ju nízko, útlemu dievčaťu. Kým sa páry usadili a hudobníci zoradili, Pierre si sadol k svojej malej slečne. Nataša bola úplne šťastná; tancovala s veľkým, s niekým, kto prišiel zo zahraničia. Sedela pred všetkými a rozprávala sa s ním ako s veľkým dievčaťom. V ruke mala vejár, ktorý jej dala jedna slečna držať. A v tej najsvetskejšej póze (Boh vie, kde a kedy sa to naučila), ona, ovievala sa a usmievala sa cez vejár, prehovorila k svojmu pánovi. - Čo je, čo je? Pozri, pozri,“ povedala stará grófka, prešla chodbou a ukázala na Natašu. Natasha sa začervenala a zasmiala sa. - No a čo ty, mami? Nuž, aký druh lovu hľadáte? Čo je tu prekvapujúce? Uprostred tretej eko-schôdze sa stoličky v obývačke, kde hrali gróf a Marya Dmitrievna, dali do pohybu a väčšina ctených hostí a starí ľudia sa po dlhom sedení naťahovali a ukladali peňaženky a peňaženky. vo vreckách vyšli dverami haly. Marya Dmitrievna kráčala vpred s grófom - obaja s veselými tvárami. Gróf s hravou zdvorilosťou, ako balet, ponúkol svoju okrúhlu ruku Márii Dmitrievnej. Vzpriamil sa a tvár sa mu rozžiarila obzvlášť statočným, šibalským úsmevom, a len čo zatancovala posledná figúrka ecosaise, zatlieskal muzikantom a zakričal do zboru, pričom oslovil prvé husle: - Semyon! Poznáte Danilu Kuporovú? Toto bol grófov obľúbený tanec, ktorý tancoval v mladosti. (Danilo Kupor bol v skutočnosti jednou postavou Angličanov.) "Pozri ocka," zakričala Natasha na celú sálu (úplne zabudla, že tancuje s veľkým), sklonila kučeravú hlavu na kolená a prepukla v zvonivý smiech po celej sále. Vskutku, všetci v sále s úsmevom radosti hľadeli na veselého starca, ktorý vedľa svojej dôstojnej dámy, Mary Dmitrievny, ktorá bola od neho vyššia, objal ruky, potriasol nimi včas, narovnal ramená, vykrútil sa. nohami, mierne podupkávajúc nohami a s čoraz rozkvitanejším úsmevom na okrúhlej tvári pripravoval divákov na to, čo malo prísť. Len čo sa ozvali veselé, vyzývavé zvuky Danily Kuporovej, podobné veselému štebotaniu, všetky dvere sály sa zrazu zaplnili mužskými tvárami na jednej strane a ženskými usmievavými tvárami sluhov na strane druhej, ktorí vyšli pozri na veselého pána. - Otec je náš! Orol! – ozvala sa nahlas opatrovateľka z jedných dverí. Gróf dobre tancoval a vedel to, ale jeho pani nevedela a nechcela dobre tancovať. Jej obrovské telo stálo vzpriamene s mocnými rukami ovisnutými (podala sieťku grófke); tancovala len jej prísna, ale krásna tvár. To, čo bolo vyjadrené v celej okrúhlej postave grófa, sa v Maryi Dmitrievne prejavilo iba v čoraz usmievavejšej tvári a šklbaní nosa. Ale ak gróf, čoraz nespokojnejší, uchvátil publikum prekvapením z obratných krútení a ľahkých skokov svojich mäkkých nôh, Marya Dmitrievna s najmenšou horlivosťou v pohybe ramenami alebo obtáčaní rúk v zákrutách a dupaní neurobila nič. menej dojem na základe zásluh, ktorý všetci ocenili jej obezitu a vždy prítomnú tvrdosť. Tanec bol čoraz živší. Protistrany na seba nedokázali upútať pozornosť ani minútu a ani sa o to nepokúšali. Všetko obsadil gróf a Marya Dmitrievna. Natasha ťahala rukávy a šaty všetkých prítomných, ktorí už mali oči na tanečníkoch, a žiadala, aby sa pozreli na ocka. Počas prestávok tanca sa gróf zhlboka nadýchol, mával a kričal na hudobníkov, aby rýchlo hrali. Rýchlejšie, rýchlejšie a rýchlejšie, rýchlejšie a rýchlejšie a rýchlejšie, počítanie prebiehalo, teraz na špičkách, teraz na pätách, ponáhľal sa okolo Maryy Dmitrievny a nakoniec obrátil svoju dámu na svoje miesto, urobil posledný krok a zdvihol mäkkú nohu z za chrbtom, sklonil spotenú hlavu s usmiatou tvárou a mával pravou rukou za búrlivého potlesku a smiechu, najmä od Natashe. Obaja tanečníci sa zastavili, ťažko dýchali a utierali sa cambrickými vreckovkami. "Takto sa tancovalo za našich čias, ma chere," povedal gróf. - Ach áno, Danila Kupor! - povedala Marya Dmitrievna, silno a dlho vypustila ducha a vyhrnula si rukávy. Kým Rostovovci v sále za zvukov unavených rozladených hudobníkov tancovali šiestu angličtinu a unavení čašníci a kuchári pripravovali večeru, zasiahla grófa Bezukhyho šiesta rana. Lekári vyhlásili, že nie je nádej na uzdravenie; pacient dostal tichú spoveď a prijímanie; pripravovali sa na pomazanie a v dome vládol ruch a úzkosť očakávania, bežné v takýchto chvíľach. Za domom, za bránami, sa tlačili hrobári, ktorí sa schovávali pred blížiacimi sa vozmi a čakali na bohatú objednávku na grófsky pohreb. Vrchný veliteľ Moskvy, ktorý neustále posielal pobočníkov, aby sa informovali o grófovom postavení, sa v ten večer sám prišiel rozlúčiť so slávnym šľachticom Kataríny, grófom Bezukhim. Nádherná prijímacia miestnosť bola plná. Všetci s úctou vstali, keď odtiaľ vyšiel vrchný veliteľ, ktorý bol s pacientom asi pol hodiny sám, mierne vracal poklony a snažil sa čo najrýchlejšie prejsť pohľadom lekárov, duchovných a príbuzných. fixované na neho. Princ Vasilij, ktorý počas týchto dní schudol a zbledol, odpílil hlavného veliteľa a potichu mu niečo niekoľkokrát zopakoval. Keď princ Vasilij odprevadil hlavného veliteľa, sadol si sám na stoličku v hale, prekrížil si nohy vysoko, položil si lakeť na koleno a zavrel oči rukou. Keď takto dlho sedel, vstal a nezvyčajne unáhlenými krokmi, rozhliadajúc sa vystrašenými očami, prešiel dlhou chodbou do zadnej polovice domu, k najstaršej princeznej. Tí v slabo osvetlenej miestnosti sa medzi sebou rozprávali nerovnomerným šepotom a zakaždým stíchli a s očami plnými otázok a očakávaní sa pozreli späť na dvere, ktoré viedli do komnát umierajúceho, a vydali slabý zvuk, keď niekto vyšiel von. alebo doň vstúpil. „Ľudská hranica,“ povedal starý pán, duchovný, pani, ktorá si sadla vedľa neho a naivne ho počúvala, „hranica bola stanovená, ale nemôžete ju prekročiť. "Zaujímalo by ma, či nie je príliš neskoro na vykonanie pomazania?" - s pridaním duchovného titulu, opýtala sa pani, akoby na túto vec nemala vlastný názor.

Opísaná kružnica štvoruholníka. ? ? Kruh možno opísať okolo štvoruholníka, ak súčet protiľahlých uhlov je 180°: ? + ? =? + ? Ak je štvoruholník vpísaný do kruhu, potom súčet protiľahlých uhlov je 180°. ? ? a. d. d1. PTOLÓMIA VETA Súčet súčinov protiľahlých strán sa rovná súčinu uhlopriečok: ac + bd = d1 d2. d2. b. c. b. Plocha štvoruholníka. a. c. d. Kde p je polobvod štvoruholníka.

Snímka 9 z prezentácie "Polomer vpísanej a opísanej kružnice". Veľkosť archívu s prezentáciou je 716 KB.

Geometria 9. ročník

zhrnutie ďalších prezentácií

„Zlatý pomer v živote“ - Zlatá špirála v umení. Cesta do histórie matematiky. Valuyki. Plátno. Maľba a zlatý rez. Zlatá špirála v prírode. Zlatý rez je vlastný proporciám ľudského tela. Architekt M.F. Kazakov. Koncept zlatého rezu. Rozdelenie segmentu. Zlatý rez v prírode. Zlatá špirála. Vedecký prístroj. Zlatý rez v architektúre a umení. Zlatý obdĺžnik. Čo je zlatý rez.

„Ako nájsť bodový súčin vektorov“ – Nájdite bodový súčin vektorov. Námestie. ABCD je štvorec. Doplňte chýbajúce slovo. Av = slnko = ac. Skalárny súčin. Vyber správnu odpoveď. Nájdite strany a uhly trojuholníka. Strany trojuholníka. Oboznámte študentov s vetou o hľadaní skalárneho súčinu vektorov. Av = slnko = ac = 2. Skalárny súčin vektorov. Uhol medzi vektormi. Vyplňte tabuľku.

„Typy a vlastnosti trojuholníkov“ - Oblasť trojuholníka. Problémy v súradniciach. Záverečné opakovanie geometrie. Vlastnosti. Pravidelný trojuholník. Trojuholník. Skontrolujte sa. Stred opísanej kružnice. Relatívna poloha trojuholníka a segmentov. Rovnoramenný trojuholník. Správny trojuholník. Bisector.

„Trojuholníky“ 9. ročník“ - Rovnoramenné. Trojuholníky. Súčet uhlov trojuholníka. Obdĺžnikový. Bisector. Rovnostranný. Stredná čiara. Kolmica. Medián. Trojuholníky. Tupý trojuholník je trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov tupý. Vzťah medzi stranami a uhlami trojuholníka. Trojuholníková nerovnosť. Vonkajší roh. Výška.

„Obvod a kruh“ – Nájdite obvod kruhu. Oblasť kruhu. Vypočítajte. Nájdite polomer kruhu. Dokončite vyhlásenie. Kruh. Kruhový sektor. Vypočítajte dĺžku rovníka. Obvod. Samostatná práca. Kruh. Hra. Nájdite oblasť tieňovanej postavy. Nakreslite kruh so stredom K a polomerom 2 cm.

„Otázky o mnohostenoch“ - Aký geometrický obrazec sa získa na reze valca. Obdĺžnik. Získanie niektorých Archimedovych pevných látok. V = abc. Výška valca. Kocka, rovnobežnosten, pyramída. Niektoré geometrické telesá. Nájdite objem akvária znázornený na obrázku. Aké predmety majú valcový tvar? Kužeľ. Prečo ste zaradili kocku, hranol a pyramídu medzi mnohosteny? Guľa a guľa sú gule. Guľa, valec, kužeľ, zrezaný kužeľ.