Problém 1

Riešte sústavu lineárnych rovníc dvoma spôsobmi: pomocou Cramerových vzorcov a Gaussovej metódy

1) vyriešte nehomogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc Ax = B Cramerovou metódou

Determinant systému D sa nerovná nule. Nájdime pomocné determinanty D 1, D 2, D 3, ak sa nerovnajú nule, tak neexistujú riešenia, ak sa rovnajú, riešení je nekonečne veľa.

Systém 3 lineárnych rovníc s 3 neznámymi, ktorých determinant je nenulový, je vždy konzistentný a má jedinečné riešenie vypočítané podľa vzorcov:

odpoveď: máme riešenie:

2) riešte nehomogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc Ax = B pomocou Gaussovej metódy

Vytvorme rozšírenú maticu systému

Zoberme si prvý riadok ako vodítko a prvok a 11 = 1 ako vodítko. Pomocou vodiacej čiary dostaneme nuly v prvom stĺpci.

zodpovedá množine riešení sústavy lineárnych rovníc

odpoveď: máme riešenie:

Problém 2

Dané súradnice vrcholov trojuholníka ABC

Nájsť:

1) dĺžka strany AB;

4) rovnica mediánu AE;

Zostrojte daný trojuholník a všetky čiary v súradnicovom systéme.

A(1;-1), B(4;3). C(5; 1).

1) Vzdialenosť medzi bodmi A( x 1; o 1) a B( x 2; o 2) sa určuje podľa vzorca

pomocou ktorého zistíme dĺžku strany AB;

2) rovnice strán AB a BC a ich uhlové koeficienty;

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body roviny A( x 1; o 1) a B( x 2; o 2) má tvar

Dosadením súradníc bodov A a B do (2) dostaneme rovnicu strany AB:

Uhlový koeficient k AB priamky AB nájdeme transformáciou výslednej rovnice do tvaru rovnice priamky s uhlovým koeficientom. y =kx - b.

, teda odkiaľ

Podobne získame rovnicu priamky BC a nájdeme jej uhlový koeficient.

Dosadením súradníc bodov B a C do (2) dostaneme rovnicu pre stranu BC:

Uhlový koeficient k BC priamky BC nájdeme transformáciou výslednej rovnice do tvaru rovnice priamky s uhlovým koeficientom. y =kx - b.

, teda

3) vnútorný uhol vo vrchole B v radiánoch s presnosťou 0,01

Na nájdenie vnútorného uhla nášho trojuholníka použijeme vzorec:

Všimnite si, že postup výpočtu rozdielu medzi uhlovými koeficientmi v čitateli tohto zlomku závisí od relatívnej polohy priamok AB a BC.

Nahradením predtým vypočítaných hodnôt k BC a k AB do (3) nájdeme:

Teraz pomocou tabuliek s inžinierskym mikrokalkulátorom dostaneme B » 1,11 rad.

4) rovnica mediánu AE;

Na zostavenie rovnice mediánu AE najprv nájdeme súradnice bodu E, ktorý leží v strede segmentu BC.

Dosadením súradníc bodov A a E do rovnice (2) dostaneme strednú rovnicu:

5) rovnica a dĺžka výšky CD;

Na zostavenie rovnice pre výšku CD použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom M( x 0; y 0) s daným sklonom k, ktorý má podobu

a podmienka kolmosti priamok AB a CD, ktorá je vyjadrená vzťahom k AB k CD = -1, odkiaľ k CD = -1/k AB = - 3/4

Nahradením v (4) namiesto k hodnotou k C D = -3/4 a namiesto X 0 , r 0 zodpovedajúce súradnice bodu C, získame rovnicu pre výšku CD

Na výpočet dĺžky výšky CD použijeme vzorec na zistenie vzdialenosti d od daného bodu M( x 0; y 0) na danú priamku s rovnicou Ax+ By + C = 0, ktorá má tvar:

Nahradenie v (5) namiesto toho x 0; y 0 súradnice bodu C a namiesto A, B, C dostaneme koeficienty rovnice priamky AB

6) rovnica priamky prechádzajúcej bodom E rovnobežne so stranou AB a bodom M jej priesečníka s výškou CD;

Pretože požadovaná priamka EF je rovnobežná s priamkou AB, potom k EF = k AB = 4/3. Namiesto toho dosadzovanie do rovnice (4). x 0; y 0 súradnice bodu E a namiesto k hodnotu k EF dostaneme rovnicu priamky EF."

Aby sme našli súradnice bodu M, riešime spoločne rovnice priamok EF a CD.

Teda M(5,48; 0,64).

7) rovnica kružnice so stredom v bode E prechádzajúca vrcholom B

Keďže kružnica má stred v bode E(4,5; 2) a prechádza cez vrchol B(4; 3), potom jej polomer

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode M 0 ( x 0; y 0) má tvar

Trojuholník ABC, výška CD, medián AE, priamka EF, bod M a kružnica zostrojená v súradnicovom systéme x0y na obr.1.

Problém 3

Zostavte rovnicu priamky, ktorej vzdialenosť k bodu A (2; 5) sa rovná vzdialenosti od priamky y = 1. Výslednú krivku nakreslite do súradnicového systému.

Riešenie

Nechaj M ( X, r) - aktuálny bod požadovanej krivky. Pustime kolmicu MB z bodu M na priamku y = 1 (obr. 2). Potom B(x; 1). Keďže MA = MB, potom

Skladáme hlavný determinant pre systém

a vypočítajte to.

Potom skladáme ďalšie determinanty

a vypočítať ich.

Podľa Cramerovho pravidla sa riešenie systému nachádza pomocou vzorcov

;
;
,Ak

1)

Poďme počítať:

Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme:

Odpoveď: (1; 2; 3)

2)

Poďme počítať:

Keďže hlavný determinant
a aspoň jedna ďalšia sa nerovná nule (v našom prípade
), potom systém nemá riešenie.

3)

Poďme počítať:

Pretože všetky determinanty sú rovné nule, systém má nekonečný počet riešení, ktoré možno nájsť takto:

Vyriešte systémy sami:

A)
b)

Odpoveď: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktická lekcia č.3 na tému:

Bodový súčin dvoch vektorov a jeho aplikácia

1. Ak je daný
A
, potom nájdeme skalárny súčin pomocou vzorca:

∙

2.Ak, potom skalárny súčin týchto dvoch vektorov nájdeme podľa vzorca

1. Dané dva vektory
A

Ich skalárny súčin nájdeme takto:

.

2. Sú dané dva vektory:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Skalárny súčin sa nachádza takto:

3.
,

3.1 Nájdenie práce konštantnej sily na priamom úseku dráhy

1) Pod vplyvom sily 15 N sa teleso posunulo v priamke o 2 metre. Uhol medzi silou a smerom pohybu =60 0. Vypočítajte prácu, ktorú vykoná sila na pohyb telesa.

Vzhľadom na to:

Riešenie:

2) Vzhľadom na to:

Riešenie:

3) Teleso sa pod vplyvom sily 60 N posunulo z bodu M(1; 2; 3) do bodu N(5; 4; 6). Uhol medzi smerom sily a vektorom posunutia =45 0. Vypočítajte prácu vykonanú touto silou.

Riešenie: nájdite vektor posunutia

Nájdenie modulu vektora posunutia:

Podľa vzorca
nájsť prácu:

3.2 Určenie ortogonality dvoch vektorov

Dva vektory sú ortogonálne, ak
, teda

pretože

1)

– nie ortogonálne

2)

- ortogonálne

3) Určte pri akom  vektory
A
vzájomne ortogonálne.

Pretože
, To
, Prostriedky

Rozhodnite sa sami:

A)

. Nájdite ich skalárny súčin.

b) Vypočítajte, koľko práce sila vyrobí
, ak sa bod jeho aplikácie, pohybujúci sa priamočiaro, posunul z bodu M (5; -6; 1) do bodu N (1; -2; 3)

c) Určte, či sú vektory ortogonálne
A

Odpovede: a) 1 b) 16 c) áno

3.3 Nájdenie uhla medzi vektormi

1)

. Nájsť .

nachádzame

nahradiť do vzorca:

.

1). Dané sú vrcholy trojuholníka A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Nájdite uhol vo vrchole A.

Dajme to do vzorca:

Rozhodnite sa sami:

Dané sú vrcholy trojuholníka A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Určte vnútorný uhol vo vrchole A.

Odpoveď: 90 o

Praktická lekcia č.4 na tému:

VEKTOROVÝ PRODUKT DVOCH VEKTOROV A JEHO APLIKÁCIA.

Vzorec na nájdenie krížového súčinu dvoch vektorov:

	vyzerá ako

1) Nájdite modul vektorového súčinu:

Zostavme si determinant a vypočítajme ho (pomocou Sarrusovho pravidla alebo vety o expanzii determinantu na prvky prvého radu).

1. spôsob: podľa Sarrusovho pravidla

Metóda 2: rozšírte determinant na prvky prvého riadku.

2) Nájdite modul vektorového súčinu:

4.1. VÝPOČET PLOCHY PARALELOGRAMU POSTAVENÉHO NA DVOCH VEKTOROCH.

1) Vypočítajte plochu rovnobežníka postaveného na vektoroch

2). Nájdite vektorový súčin a jeho modul

4.2. VÝPOČET PLOCHY TROJUHOLNÍKA

Príklad: dané sú vrcholy trojuholníka A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Vypočítajte obsah trojuholníka.

Najprv nájdime súradnice dvoch vektorov vychádzajúcich z rovnakého vrcholu.

Poďme nájsť ich vektorový produkt

4.3. STANOVENIE KOLINEARITY DVOCH VEKTOROV

Ak je vektor
A
sú teda kolineárne

t.j. súradnice vektorov musia byť proporcionálne.

a) Dané vektory::
,
.

Sú kolineárne, pretože
A

po zmenšení každého zlomku dostaneme pomer

b) Dané vektory:

.

Nie sú kolineárne, pretože
alebo

Rozhodnite sa sami:

a) Pri akých hodnotách ma n vektora
kolineárne?

odpoveď:
;

b) Nájdite vektorový súčin a jeho modul
,
.

odpoveď:
,
.

Praktická lekcia č.5 na tému:

ROVNA ČIARA V lietadle

Úloha č. 1. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(-2; 3) rovnobežne s priamkou

1. Nájdite sklon čiary
.

je rovnica priamky s uhlovým koeficientom a začiatočnou ordinátou (
). Preto
.

2. Keďže priamky MN a AC sú rovnobežné, ich uhlové koeficienty sú rovnaké, t.j.
.

3. Na nájdenie rovnice priamky AC použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom s daným uhlovým koeficientom:

. Namiesto toho v tomto vzorci A nahradiť súradnice bodu A(-2; 3). Dosadíme – 3. Výsledkom suplovania dostaneme:

odpoveď:

Úloha č.2. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(1; –2) rovnobežne s priamkou.

1. Nájdite sklon čiary.

Toto je všeobecná rovnica priamky, ktorá je vo všeobecnosti daná vzorcom. Porovnaním rovníc zistíme, že A = 2, B = –3. Sklon priamky danej rovnicou nájdeme podľa vzorca
. Dosadením A = 2 a B = –3 do tohto vzorca dostaneme sklon priamky MN. takže,
.

2. Keďže priamky MN a KS sú rovnobežné, ich uhlové koeficienty sú rovnaké:
.

3. Na nájdenie rovnice priamky KS použijeme vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej bodom s daným uhlovým koeficientom.
. Namiesto toho v tomto vzorci A dosadíme súradnice bodu K(–2; 3), namiesto

Úloha č. 3. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(–1; –3) kolmým na priamku.

1. je všeobecná rovnica priamky, ktorá je vo všeobecnom tvare daná vzorcom.

a zistíme, že A = 3, B = 4.

Sklon priamky danej rovnicou nájdeme podľa vzorca:
. Dosadením A = 3 a B = 4 do tohto vzorca dostaneme sklon priamky MN:
.

2. Keďže priamky MN a KD sú kolmé, ich uhlové koeficienty sú nepriamo úmerné a majú opačné znamienko:

.

3. Na nájdenie rovnice priamky KD použijeme vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej bodom s daným uhlovým koeficientom.

. Namiesto toho v tomto vzorci A nahradiť súradnice bodu K(–1;–3). poďme nahradiť V dôsledku substitúcie dostaneme:

Rozhodnite sa sami:

1. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(–4; 1) rovnobežným s priamkou
.

odpoveď:
.

2. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(5; –2) rovnobežne s priamkou
.

3. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(–2, –6) kolmým na priamku
.

4. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K(7; –2) kolmým na priamku
.

odpoveď:
.

5. Nájdite rovnicu kolmice spadnutej z bodu K(–6; 7) na priamku
.

2.3.1. Definícia.

Nech sú dané lineárne rovnice:

a 1 X + b 1 r + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 X + b 2 r + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 X + b 3 r + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Ak je potrebné nájsť všeobecné riešenie rovníc (2.3.1) ¾ (2.3.3), potom hovoria, že tvoria systému . Systém pozostávajúci z rovníc (2.3.1) ¾ (2.3.3) je označený takto:

Všeobecné riešenie rovníc, ktoré tvoria sústavu, sa nazýva systémové riešenie . Vyriešte systém (2.3.4) ¾ to znamená buď nájsť množinu všetkých jej riešení, alebo dokázať, že žiadne neexistujú.

Rovnako ako v predchádzajúcich prípadoch, nižšie nájdeme podmienky, za ktorých systém (2.3.4) má jedinečné riešenie, má viac riešení a nemá žiadne riešenie.

2.3.2. Definícia. Nech je daný systém (2.3.4) lineárnych rovníc. Matrice

sa nazývajú podľa toho ( základné )matice A rozšírená matica systémov.

2.3.3. Definície ekvivalentných sústav tvaru (2.3.4), ako aj elementárne transformácie 1. a 2. typu sa zavádzajú rovnako ako pre sústavy dvoch rovníc s dvomi a tromi neznámymi.

Elementárna transformácia 3. typ sústavy (2.3.4) sa nazýva zámena niektorých dvoch rovníc tejto sústavy. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch sústav 2 rovníc s elementárnymi transformáciami systému sa získa systém,ekvivalentné tomuto.

2.3.4. Cvičenie. Riešte sústavy rovníc:

Riešenie. A)

(1) Prehodili sme prvú a druhú rovnicu systému (transformácia typu 3).

(2) Prvá rovnica vynásobená 4 bola odčítaná od druhej a prvá rovnica vynásobená 6 bola odčítaná od tretej (transformácia typu 2); teda neznáma bola vylúčená z druhej a tretej rovnice X .

(3) Druhá rovnica, vynásobená 14, bola odčítaná od tretej; neznámy bol vylúčený z tretieho r .

(4) Z poslednej rovnice zistíme z = 1, dosadením ktorého do druhého nájdeme r = 0. Nakoniec dosadzovanie r = 0 a z = 1 do prvej rovnice, nájdeme X = -2,ñ

(1) Prehodili sme prvú a druhú rovnicu systému.

(2) Prvá rovnica vynásobená 4 sa odpočítala od druhej a prvá rovnica vynásobená 6 sa odčítala od tretej.

(3) Druhá a tretia rovnica sa zhodovali. Jednu z nich zo systému vylúčime (alebo inak povedané, ak od tretej rovnice odčítame druhú, tretia rovnica sa zmení na identitu 0 = 0; je zo systému vylúčená. Predpokladáme, že z = a .

(4) Náhradník z = a do druhej a prvej rovnice.

(5) Nahrádzanie r = 12 - 12a do prvej rovnice nájdeme X .

c) Ak je prvá rovnica delená 4 a tretia ¾ 6, dostaneme ekvivalentný systém

čo je ekvivalentné s rovnicou X - 2r - z = -3. Riešenia tejto rovnice sú známe (pozri príklad 2.2.3 b))

Posledná rovnosť vo výslednom systéme je rozporuplná. Preto systém nemá žiadne riešenia.

Transformácie (1) a (2) ¾ sú presne rovnaké ako zodpovedajúce transformácie systému b))

(3) Odpočítajte druhú od poslednej rovnice.

Odpoveď: a) (-2; 0; 1);

b) (21. - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) Systém nemá žiadne riešenia.

2.3.5. Z predchádzajúcich príkladov vyplýva, že systém s tromi neznámymi ako systém s dvoma neznámymi, môže mať len jedno riešenie, nekonečné množstvo riešení a nemať jediné riešenie. Nižšie budeme analyzovať všetky možné prípady. Najprv si však predstavíme nejaký zápis.

Nech D označuje determinant matice systému:

Nech D 1 označuje determinant získaný z D nahradením prvého stĺpca stĺpcom voľných členov:

Podobne povedzme

D2= a D3=.

2.3.6. Veta. Ak D¹0, potom systém(2.3.4)má unikátne riešenie

, , . (2.3.5)

Vzorce (2.3.5) sú tzv vzorce = = 0 pre všetkých i ¹ j a aspoň jeden z determinantov , , nerovná sa nule, potom systém nemá riešenia.

4) Ak = = = = = = 0 pre všetkých i ¹ j , potom má systém nekonečný počet riešení, v závislosti od dvoch parametrov.

PRAKTICKÁ LEKCIA č.7

RIEŠENIE SYSTÉMU 3 LINEÁRNYCH ROVNIC

S TROCH PREMENNÝMI

Cieľ:

Rozvíjať schopnosť transformovať matice;

Rozvíjať schopnosti riešenia systémov3 lineárne rovnice v troch premenných pomocou Cramerovej metódy;

Upevniť poznatky o vlastnostiach determinantov 2. a 3. rádu;

Materiálno-technické zabezpečenie: pokyny na vykonávanie práce;

Dodacia lehota: 2 akademické hodiny;

Priebeh lekcie:

Preštudujte si stručné teoretické informácie;

Dokončite úlohy;

Urobte záver o práci;

Pripravte si obhajobu svojej práce na testové otázky.

Stručné teoretické informácie:

Matica je štvorcový alebo obdĺžnikový stôl, naplnené číslami. Tieto čísla sa nazývajú maticové prvky.

Maticové prvky, horizontálne umiestnený, tvoria riadky matice. Maticové prvky, usporiadané vertikálne, vytvorte stĺpce matice.

Riadky sú očíslované zľava doprava, počnúc od čísla1, stĺpce sú očíslované zhora nadol, počnúc od čísla1.

MatrixA , majúcem linky an stĺpci, nazývaná maticaveľkosťm nan a je určenýA m∙n . Elementa ja j maticeA = { a ij } stojí na križovatkei - oh linky aj- stĺpec.

Hlavná uhlopriečka štvorcovej matice je uhlopriečka vedúca z ľavého horného rohu matice do pravého dolného rohu.Bočná uhlopriečka štvorcovej matice je uhlopriečka vedúca z ľavého dolného rohu matice do pravého horného rohu.

Dve matice sa považujú za rovnaké, ak majú rovnaký rozmer a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké.

Každá matica môže byť vynásobená ľubovoľným číslom a akk – teda číslok ∙ A ={ k ∙ a ij }.

Matrice rovnakej veľkostiA m∙n AB m∙n možno zložiť aA m∙n + B m∙n = { a ij + b i j }.

Operácia pridávania matice má vlastnostiA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Príklad 1 Po vykonaní operácií na matriciach, nájdite maticu C= 2A - B, kde, .

Riešenie.

Vypočítajme maticu 2A s rozmerom 3x3:

Vypočítajme maticu C = 2A - V rozmere 3x3:

C = 2 A - B .

Determinant matice tretieho rádu je číslo definované rovnosťou:

.

Toto číslo predstavuje algebraický súčet pozostávajúci zo šiestich členov. Každý výraz obsahuje presne jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca matice. Každý člen pozostáva zo súčinu troch faktorov.

Obr.1.1. Obr.1.2.

Znaky, s ktorými sú členy determinantu zahrnuté vo vzorci na nájdenie determinantu tretieho rádu, možno určiť pomocou danej schémy, ktorá sa nazýva pravidlo trojuholníkov alebo Sarrusovo pravidlo. Prvé tri členy sú brané so znamienkom plus a sú určené z obrázku (1.1.) a ďalšie tri členy sú brané so znamienkom mínus a sú určené z obrázku (1.2).

Príklad 2 Vypočítajte determinant tretieho rádu pomocou Sarrusovho pravidla:

Riešenie:

Príklad 3 Vypočítajte determinant tretieho rádu pomocou metódy rozšírenia cez prvky prvého riadku:

Riešenie:

Používame vzorec:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Pozrime sa na hlavné vlastnosti determinantov:

Determinant s nulovým riadkom (stĺpcom) sa rovná nule.

Ak vynásobíte ľubovoľný riadok (ľubovoľný stĺpec) matice ľubovoľným číslom, determinant matice sa vynásobí týmto číslom.

Pri transponovaní matice sa determinant nemení.

Determinant zmení znamienko, keď sa preusporiadajú ľubovoľné dva riadky (stĺpce) matice.

Determinant matice s dvoma rovnakými riadkami (stĺpcami) je rovný nule.

Determinant sa nezmení, ak sa k ľubovoľnému riadku pridá akýkoľvek ďalší riadok vynásobený ľubovoľným číslom. Podobné tvrdenie platí aj pre stĺpce.

Vlastnosti matíc a determinantov sú široko používané pri riešení systému troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

,

kde x 1 , X 2 , X 3 sú premenné a 11 , A 12 ,…, A 33 - číselné koeficienty. Malo by sa pamätať na to, že pri riešení systému je možná jedna z troch možných odpovedí:

1) systém má jedinečné riešenie – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) systém má nekonečne veľa riešení (nedefinovaných);

3) systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Zvážte riešenie systému troch lineárnych rovníc s tromi neznámymiCramerova metóda, ktoráumožňuje nájsťjediné riešenie systému založené na schopnosti vypočítať determinanty tretieho rádu:

Príklad 3 Nájdite riešenie systému troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi pomocou Cramerových vzorcov:

Riešenie. Nájdite determinanty tretieho rádu pomocouSarrusovo pravidlo alebo rozšírenie o prvky prvého radu:

Riešenie systému nájdeme pomocou vzorcov:

Odpoveď: (- 152; 270; -254)

Úlohy na samostatné dokončenie:

ja. Nájdite transformačnú maticu.

II. Vypočítajte determinantIIIobjednať.

III. Vyriešte systém Cramerovou metódou.

Možnosť 1.

1. C = A +3 B , Ak, . 2..

Možnosť 2.

1. C =2 A - B ,Ak, . 2..

Možnosť 3.

1. C = 3 A + B , Ak, . 2. .

Možnosť 4.

1. C = A - 4 B , Ak, . 2..

Možnosť 5.

1. C = 4 A - B , Ak, . 2..

Možnosť 6.

1. C = A +2 B , Ak, . 2..

Možnosť 7.

1. C =2 A + B , Ak, . 2..

Možnosť 8.

1. C =3 A - B , Ak, . 2..

Možnosť 9.

1. C = A - 3 B , Ak, . 2..

Možnosť 10.

1. C = A - 2 B , Ak, . 2..

Možnosť 11.

1. C = A +4 B , Ak, . 2..

Možnosť 12.

1. C =4 A + B , Ak, . 2..

Možnosť 13.

1. C = A +3 B , Ak, . 2..

Možnosť 14.

1. C =2 A - B , Ak, . 2..

Možnosť 15.

1. C =3 A + B , Ak, . 2..

Otázky na sebaovládanie:

Čo je matica?

Pravidlá pre výpočet determinantov tretieho rádu?

Napíšte Cramerove vzorce na riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi premennými.

Systémy rovníc sú široko používané v ekonomickom sektore na matematické modelovanie rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v matematike, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárnych rovníc sú dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice jej vykreslením bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešeniami polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - to znamená nájsť hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo zistiť, že vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom rovnosti hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľa.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Na riešenie takýchto systémov neexistuje všeobecná analytická metóda, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafické a maticové metódy, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy používania konkrétnej metódy

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc v učive 7. ročníka všeobecnovzdelávacích predmetov je pomerne jednoduché a veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pomocou Gaussovej a Cramerovej metódy sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokoškolského štúdia.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej z hľadiska druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc triedy 7 pomocou substitučnej metódy:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu je jednoduché a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej pomocou druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nevhodné.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešení systémov metódou sčítania sa rovnice sčítavajú po členoch a násobia sa rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica v jednej premennej.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou sčítania pri 3 a viacerých premenných nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je vhodné použiť, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné miesta.

Algoritmus riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice určitým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie by sa jeden z koeficientov premennej mal rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Spôsob riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém vyžaduje nájsť riešenie nie viac ako dvoch rovníc; počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši pre zavedenú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardný kvadratický trinom. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje jedno riešenie: x = -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre 3 rovnicové sústavy. Metóda spočíva v zostrojení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovej osi. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia sústav lineárnych rovníc názorným spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad vyžaduje nájdenie grafického riešenia sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Malo by sa pamätať na to, že nie vždy je možné povedať, či systém má riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na výstižný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je matica jedného stĺpca s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva identita.

Inverzná matica je matica po vynásobení, ktorou sa pôvodná zmení na jednotkovú maticu; takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre prevod sústavy rovníc na maticu

Vo vzťahu k sústavám rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako maticové čísla, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa považuje za nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad do prvého, koeficient neznámej y - len do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je celkom jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| je determinantom matice. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť diagonálne prvky navzájom. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že z každého riadku a každého stĺpca musíte vziať jeden prvok, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v práci neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie systémov Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešení systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná riešeniam substitúciou a algebraickým sčítaním, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa pri sústavách 3 a 4 rovníc používa riešenie Gaussovou metódou. Účelom metódy je zredukovať systém do podoby obráteného lichobežníka. Pomocou algebraických transformácií a substitúcií sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, zatiaľ čo 3 a 4 sú s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice: 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Vyriešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je to jeden z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí zapísaných do pokročilých vzdelávacích programov na hodinách matematiky a fyziky.

Na uľahčenie zaznamenávania sa výpočty zvyčajne vykonávajú takto:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšte maticu, s ktorou sa má pracovať, a potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica je napísaná za znakom „šípky“ a potrebné algebraické operácie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

Výsledkom by mala byť matica, v ktorej sa jedna z uhlopriečok rovná 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednotkový tvar. Nesmieme zabudnúť vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob nahrávania je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatné použitie akejkoľvek metódy riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré metódy hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.