Je možné zaznamenať množstvo výsledkov, ktoré sú súčasťou tejto akcie. Tieto výsledky sú tzv vlastnosti sčítania prirodzených čísel. V tomto článku budeme podrobne analyzovať vlastnosti sčítania prirodzených čísel, napíšeme ich pomocou písmen a uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Asociačná vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Teraz uvedieme príklad ilustrujúci asociatívnu vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Predstavte si situáciu: 1 jablko spadlo z prvej jablone a 2 jablká a ďalšie 4 jablká spadli z druhej jablone. Teraz zvážte nasledujúcu situáciu: 1 jablko a 2 ďalšie jablká spadli z prvej jablone a 4 jablká spadli z druhej jablone. Je jasné, že rovnaký počet jabĺk bude na zemi v prvom aj druhom prípade (čo sa dá overiť prepočtom). To znamená, že výsledok pridania čísla 1 k súčtu čísel 2 a 4 sa rovná výsledku pridania súčtu čísel 1 a 2 k číslu 4.

Uvažovaný príklad nám umožňuje formulovať asociatívnu vlastnosť sčítania prirodzených čísel: ak chcete k danému číslu pridať daný súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu pridať prvý člen tohto súčtu a pridať druhý člen tento súčet k získanému výsledku. Táto vlastnosť môže byť napísaná pomocou písmen, ako je toto: a+(b+c)=(a+b)+c, kde a , b a c sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že v rovnosti a+(b+c)=(a+b)+c sú zátvorky „(“ a „)“. Zátvorky sa používajú vo výrazoch na označenie poradia vykonávania akcií - najskôr sa vykonávajú akcie v zátvorkách (viac o tom v sekcii). Inými slovami, zátvorky uzatvárajú výrazy, ktorých hodnoty sa vyhodnocujú ako prvé.

Na záver tohto odseku poznamenávame, že asociatívna vlastnosť sčítania nám umožňuje jednoznačne určiť sčítanie troch, štyroch a viacerých prirodzených čísel.

Vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla, vlastnosť sčítania nuly k nule.

Vieme, že nula NIE JE prirodzené číslo. Prečo sme sa teda v tomto článku rozhodli zvážiť vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla? Sú na to tri dôvody. Po prvé: táto vlastnosť sa používa pri pridávaní prirodzených čísel do stĺpca. Po druhé: táto vlastnosť sa používa pri odčítaní prirodzených čísel. Po tretie: ak predpokladáme, že nula znamená neprítomnosť niečoho, potom význam sčítania nuly a prirodzeného čísla sa zhoduje s významom sčítania dvoch prirodzených čísel.

Urobme úvahy, ktoré nám pomôžu sformulovať vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla. Predstavte si, že v krabici nie sú žiadne položky (inými slovami, v krabici je 0 položiek) a sú v nej umiestnené položky, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo. To znamená, že sa pridala 0 a položky. Je jasné, že po tejto akcii sú položky v krabici. Preto platí rovnosť 0+a=a.

Podobne, ak krabica obsahuje položky a je do nej pridaných 0 položiek (to znamená, že nie sú pridané žiadne položky), potom po tejto akcii budú položky v krabici. Takže a+0=a .

Teraz môžeme uviesť vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla: súčet dvoch čísel, z ktorých jedno je nula, sa rovná druhému číslu. Matematicky možno túto vlastnosť zapísať ako nasledujúcu rovnosť: 0+a=a alebo a+0=a, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo.

Samostatne venujeme pozornosť skutočnosti, že pri sčítaní prirodzeného čísla a nuly zostáva pravdivá komutatívna vlastnosť sčítania, teda a+0=0+a .

Nakoniec sformulujeme vlastnosť sčítania nula-nula (je celkom zrejmá a nepotrebuje ďalšie komentáre): súčet dvoch čísel, ktoré sú každé nula, je nula. teda 0+0=0 .

Teraz je čas zistiť, ako sa vykonáva sčítanie prirodzených čísel.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 1., 2., 3., 4. ročník vzdelávacích inštitúcií.
• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.

Témou, ktorej je venovaná táto lekcia, je „Vlastnosti sčítania.“ V nej sa zoznámite s komutatívnymi a asociatívnymi vlastnosťami sčítania a preskúmate ich na konkrétnych príkladoch. Zistite, kedy ich môžete použiť na uľahčenie procesu výpočtu. Testovacie prípady pomôžu určiť, ako dobre ste sa materiál naučili.

Lekcia: Vlastnosti sčítania

Pozrite sa pozorne na výraz:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Musíme nájsť jeho hodnotu. Poďme na to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Výsledok výrazu 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Povedz mi, bolo to pohodlné počítať? Počítanie nebolo veľmi pohodlné. Pozrite sa znova na čísla v tomto výraze. Je možné ich zameniť, aby boli výpočty pohodlnejšie?

Ak čísla preusporiadame inak:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Konečný výsledok výrazu je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidíme, že výsledky výrazov sú rovnaké.

Pojmy možno zamieňať, ak je to vhodné pre výpočty, a hodnota súčtu sa od toho nezmení.

V matematike existuje zákon: Komutatívny zákon sčítania. Hovorí, že súčet sa nemení od preusporiadania podmienok.

Strýko Fjodor a Šarik sa hádali. Sharik našiel hodnotu výrazu tak, ako bol napísaný, a strýko Fjodor povedal, že pozná iný, pohodlnejší spôsob výpočtu. Vidíte pohodlnejší spôsob výpočtu?

Lopta vyriešila výraz tak, ako sa píše. A strýko Fjodor povedal, že pozná zákon, ktorý vám umožňuje meniť podmienky, a vymenil čísla 25 a 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vidíme, že výsledok zostáva rovnaký, ale výpočet je oveľa jednoduchší.

Pozrite si nasledujúce výrazy a prečítajte si ich.

6 + (24 + 51) = 81 (k 6 pridajte súčet 24 a 51)
Existuje pohodlný spôsob výpočtu?
Vidíme, že ak sčítame 6 a 24, dostaneme okrúhle číslo. K okrúhlemu číslu je vždy jednoduchšie niečo pridať. Vezmite do zátvoriek súčet čísel 6 a 24.
(6 + 24) + 51 = …
(pripočítajte 51 k súčtu čísel 6 a 24)

Vypočítajme hodnotu výrazu a uvidíme, či sa hodnota výrazu zmenila?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vidíme, že hodnota výrazu zostáva rovnaká.

Precvičme si ešte jeden príklad.

(27 + 19) + 1 = 47 (pripočítajte 1 k súčtu čísel 27 a 19)
Aké čísla možno pohodlne zoskupiť tak, aby sa získal pohodlný spôsob?
Uhádli ste, že ide o čísla 19 a 1. Zoberme si súčet čísel 19 a 1 v zátvorkách.
27 + (19 + 1) = …
(k 27 pridajte súčet čísel 19 a 1)
Poďme zistiť hodnotu tohto výrazu. Pamätáme si, že najprv sa vykoná akcia v zátvorkách.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Význam nášho výrazu zostáva rovnaký.

Asociačný zákon sčítania: dva susedné výrazy možno nahradiť ich súčtom.

Teraz si precvičme používanie oboch zákonov. Musíme vypočítať hodnotu výrazu:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Najprv použijeme komutatívnu vlastnosť sčítania, ktorá nám umožňuje zamieňať pojmy. Vymeňme si pojmy 14 a 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Teraz používame asociatívnu vlastnosť, ktorá nám umožňuje nahradiť dva susedné členy ich súčtom.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Najprv zistíme hodnotu súčtu 38 a 2.

Teraz je súčet 14 a 6.

3. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().

robiť doma

1. Vypočítajte súčet členov rôznymi spôsobmi:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Vypočítajte výsledky výrazov:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Vypočítajte si množstvo pohodlným spôsobom:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

takže, vo všeobecnosti odčítanie prirodzených čísel NEMÁ komutatívnu vlastnosť. Napíšme toto vyhlásenie v listoch. Ak a a b sú nerovnaké prirodzené čísla, potom a-b≠b-a. Napríklad 45–21≠21–45 .

Vlastnosť odčítania súčtu dvoch čísel od prirodzeného čísla.

Ďalšia vlastnosť súvisí s odčítaním súčtu dvoch čísel od prirodzeného čísla. Pozrime sa na príklad, ktorý nám pomôže pochopiť túto vlastnosť.

Predstavte si, že máme v rukách 7 mincí. Najprv sa rozhodneme ponechať si 2 mince, no v domnení, že to nebude stačiť, sa rozhodneme uložiť ešte jednu mincu. Na základe významu sčítania prirodzených čísel možno tvrdiť, že v tomto prípade sme sa rozhodli ušetriť počet mincí, ktorý je určený súčtom 2 + 1. Takže vezmeme dve mince, pridáme k nim ďalšiu a vložíme ich do prasiatka. V tomto prípade je počet mincí, ktoré nám ostanú v rukách, určený rozdielom 7−(2+1) .

Teraz si predstavme, že máme 7 mincí a do prasiatka vložíme 2 mince a potom ďalšiu mincu. Matematicky je tento proces opísaný nasledujúcim číselným výrazom: (7−2)−1 .

Ak spočítame mince, ktoré zostanú v rukách, tak v prvom a druhom prípade máme 4 mince. To znamená, že 7−(2+1)=4 a (7−2)−1=4, teda 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Uvažovaný príklad nám umožňuje formulovať vlastnosť odčítania súčtu dvoch čísel od daného prirodzeného čísla. Odčítať od daného prirodzeného čísla daný súčet dvoch prirodzených čísel je to isté ako odpočítať prvý člen tohto súčtu od daného prirodzeného čísla a potom odpočítať druhý člen od výsledného rozdielu.

Pripomeňme si, že odčítaniu prirodzených čísel sme dali význam len pre prípad, keď je minuend väčší ako odpočet, alebo sa mu rovná. Preto môžeme od daného prirodzeného čísla odpočítať daný súčet len ​​vtedy, ak tento súčet nie je väčší ako prirodzené číslo, ktoré sa redukuje. Všimnite si, že za tejto podmienky každý z členov nepresahuje prirodzené číslo, od ktorého sa odpočítava súčet.

Pomocou písmen sa vlastnosť odčítania súčtu dvoch čísel od daného prirodzeného čísla zapíše ako rovnosť a−(b+c)=(a−b)−c, kde a , b a c sú nejaké prirodzené čísla a sú splnené podmienky a>b+c alebo a=b+c.

Uvažovaná vlastnosť, ako aj asociatívna vlastnosť sčítania prirodzených čísel umožňujú odpočítať súčet troch alebo viacerých čísel od daného prirodzeného čísla.

Vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu dvoch čísel.

Prejdeme k ďalšej vlastnosti, ktorá súvisí s odčítaním daného prirodzeného čísla od daného súčtu dvoch prirodzených čísel. Zvážte príklady, ktoré nám pomôžu „uvidieť“ túto vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu dvoch čísel.

Predpokladajme, že v prvom vrecku máme 3 cukríky a v druhom 5 cukríkov a musíme dať 2 cukríky. Môžeme to urobiť rôznymi spôsobmi. Zoberme si ich postupne.

Najprv môžeme dať všetky cukríky do jedného vrecka, potom odtiaľ vybrať 2 cukríky a rozdať. Popíšme tieto akcie matematicky. Potom, čo cukríky vložíme do jedného vrecka, ich počet bude určený súčtom 3 + 5. Teraz z celkového počtu cukríkov rozdáme 2 cukríky, pričom zvyšný počet cukríkov, ktoré máme, určíme podľa nasledujúceho rozdielu (3+5)−2 .

Po druhé, 2 cukríky môžeme rozdať tak, že ich vyberieme z prvého vrecka. V tomto prípade rozdiel 3−2 určuje zostávajúci počet cukríkov v prvom vrecku a celkový počet cukríkov, ktoré nám ostanú, určí súčet (3−2)+5 .

Do tretice môžeme dať preč 2 cukríky z druhého vrecka. Potom rozdiel 5−2 bude zodpovedať počtu zostávajúcich cukríkov v druhom vrecku a celkový zostávajúci počet cukríkov bude určený súčtom 3+(5−2) .

Je jasné, že vo všetkých prípadoch budeme mať rovnaký počet sladkostí. Preto sú rovnosti (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) pravdivé.

Ak by sme mali dať nie 2, ale 4 cukríky, tak to môžeme urobiť dvoma spôsobmi. Najprv rozdajte 4 cukríky, ktoré ste predtým vložili do jedného vrecka. V tomto prípade je zostávajúci počet sladkostí určený výrazom ako (3+5)−4 . Po druhé, z druhého vrecka sme mohli rozdať 4 cukríky. V tomto prípade celkový počet cukríkov dáva nasledujúci súčet 3+(5−4) . Je jasné, že v prvom a druhom prípade budeme mať rovnaký počet sladkostí, preto platí rovnosť (3+5)−4=3+(5−4).

Po rozbore výsledkov získaných pri riešení predchádzajúcich príkladov môžeme sformulovať vlastnosť odčítania daného prirodzeného čísla od daného súčtu dvoch čísel. Odčítanie daného prirodzeného čísla od daného súčtu dvoch čísel je to isté ako odčítanie daného čísla od jedného z členov a následné sčítanie výsledného rozdielu a ďalšieho člena. Treba poznamenať, že odčítané číslo NESMIE byť väčšie ako člen, od ktorého sa toto číslo odpočítava.

Napíšme vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu pomocou písmen. Nech a , b a c sú nejaké prirodzené čísla. Potom, za predpokladu, že a je väčšie alebo rovné c, potom rovnosť (a+b)-c=(a-c)+b a za podmienky, že b je väčšie alebo rovné c, rovnosť (a+b)−c=a+(b−c). Ak sú obe a aj b väčšie alebo rovné c , potom sú obe posledné rovnosti pravdivé a možno ich zapísať takto: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Analogicky možno formulovať vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu troch alebo viacerých čísel. V tomto prípade možno toto prirodzené číslo odčítať od akéhokoľvek člena (samozrejme, ak je väčšie alebo rovné odčítavanému číslu) a zvyšné členy možno pripočítať k výslednému rozdielu.

Na vizualizáciu vyjadrenej vlastnosti si môžeme predstaviť, že máme veľa vreciek a tie obsahujú sladkosti. Predpokladajme, že musíme dať 1 cukrík. Je jasné, že 1 cukrík môžeme dať z akéhokoľvek vrecka. Zároveň je jedno, z ktorého vrecka to dáme, pretože to nemá vplyv na počet sladkostí, ktoré nám ostanú.

Vezmime si príklad. Nech a , b , c a d sú nejaké prirodzené čísla. Ak a>d alebo a=d , potom sa rozdiel (a+b+c)−d rovná súčtu (a−d)+b+c . Ak b>d alebo b=d , potom (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Ak c>d alebo c=d , potom platí rovnosť (a+b+c)−d=a+b+(c−d).

Je potrebné poznamenať, že vlastnosť odčítania prirodzeného čísla od súčtu troch alebo viacerých čísel nie je novou vlastnosťou, pretože vyplýva z vlastností sčítania prirodzených čísel a vlastnosti odčítania čísla od súčtu dvoch čísel.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 1., 2., 3., 4. ročník vzdelávacích inštitúcií.
• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.