Zložené slovo "rovnobežník"? A za tým sa skrýva veľmi jednoduchá postava.

To znamená, že sme vzali dve paralelné čiary:

Prekrížené ďalšími dvoma:

A vo vnútri je rovnobežník!

Aké vlastnosti má rovnobežník?

Vlastnosti rovnobežníka.

To znamená, čo môžete použiť, ak je v úlohe uvedený rovnobežník?

Na túto otázku odpovedá nasledujúca veta:

Nakreslíme všetko podrobne.

Čo to znamená prvý bod vety? A faktom je, že ak MÁTE rovnobežník, tak určite budete

Druhý bod znamená, že ak existuje rovnobežník, potom opäť určite:

No a nakoniec, tretí bod znamená, že ak MÁTE rovnobežník, potom určite:

Vidíte, aký je tam bohatý výber? Čo použiť pri probléme? Skúste sa sústrediť na otázku úlohy, alebo jednoducho vyskúšajte všetko jeden po druhom – poslúži nejaký „kľúč“.

Teraz si položme ďalšiu otázku: ako môžeme rozpoznať rovnobežník „pohľadom“? Čo sa musí stať so štvoruholníkom, aby sme mu mohli dať „názov“ rovnobežníka?

Na túto otázku odpovedá niekoľko znakov rovnobežníka.

Znaky rovnobežníka.

Pozor! Začať.

Paralelogram.

Poznámka: ak ste vo svojom probléme našli aspoň jeden znak, určite máte rovnobežník a môžete použiť všetky vlastnosti rovnobežníka.

2. Obdĺžnik

Myslím, že to pre vás vôbec nebude novinka

Prvá otázka: je obdĺžnik rovnobežník?

Jasné že je! Veď má – pamätáš, naše znamenie 3?

A odtiaľto, samozrejme, vyplýva, že v obdĺžniku, ako v každom rovnobežníku, sú uhlopriečky rozdelené na polovicu priesečníkom.

Obdĺžnik má ale aj jednu výraznú vlastnosť.

Vlastnosť obdĺžnika

Prečo je táto vlastnosť charakteristická? Pretože žiadny iný rovnobežník nemá rovnaké uhlopriečky. Sformulujme to jasnejšie.

Vezmite prosím na vedomie: aby sa štvoruholník stal obdĺžnikom, musí sa najprv stať rovnobežníkom a potom preukázať rovnosť uhlopriečok.

3. Diamant

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S úplným právom - rovnobežník, pretože má a (pamätajte na našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, potom musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Vlastnosti kosoštvorca

Pozri sa na obrázok:

Rovnako ako v prípade obdĺžnika sú tieto vlastnosti charakteristické, to znamená, že pre každú z týchto vlastností môžeme usúdiť, že nejde len o rovnobežník, ale o kosoštvorec.

Známky diamantu

A opäť dávajte pozor: nesmie existovať iba štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú kolmé, ale rovnobežník. Uisti sa:

Nie, samozrejme, hoci jeho uhlopriečky sú kolmé a uhlopriečka je osou uhlov a. Ale... uhlopriečky nie sú rozdelené na polovicu priesečníkom, teda - NIE rovnobežník, a teda NIE kosoštvorec.

To znamená, že štvorec je zároveň obdĺžnik a kosoštvorec. Poďme sa pozrieť čo sa stalo.

Je jasné prečo? - kosoštvorec je os uhla A, ktorá sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti štvoruholníkov. Paralelogram

Vlastnosti rovnobežníka

Pozor! slová " vlastnosti rovnobežníka„To znamená, že ak je vo vašej úlohe Existuje rovnobežník, potom je možné použiť všetky nasledujúce.

Veta o vlastnostiach rovnobežníka.

V akomkoľvek rovnobežníku:

Poďme pochopiť, prečo je to všetko pravda, inými slovami DOKÁŽEME teorém.

Prečo je teda 1) pravda?

Ak ide o rovnobežník, potom:

• ležať ako krížom krážom
• ležať ako kríže.

To znamená (podľa kritéria II: a - všeobecné.)

No to je ono, to je ono! - dokázané.

Ale mimochodom! Dokázali sme aj 2)!

prečo? Ale (pozrite sa na obrázok), teda práve preto.

Zostávajú len 3).

Aby ste to urobili, musíte ešte nakresliť druhú uhlopriečku.

A teraz to vidíme - podľa charakteristiky II (uhly a strana „medzi nimi“).

Vlastnosti overené! Prejdime k znameniam.

Znaky rovnobežníka

Pripomeňme, že znak rovnobežníka odpovedá na otázku „ako viete, že obrazec je rovnobežník?

V ikonách je to takto:

prečo? Bolo by pekné pochopiť prečo - to stačí. Ale pozri:

No, prišli sme na to, prečo je znak 1 pravdivý.

No je to ešte jednoduchšie! Opäť nakreslíme uhlopriečku.

Čo znamená:

A Je to tiež jednoduché. Ale...iné!

Znamená, . Wow! Ale aj - vnútorná jednostranná so sekantom!

Preto skutočnosť, ktorá to znamená.

A ak sa pozriete z druhej strany, potom - vnútorný jednostranný so sekantom! A preto.

Vidíte, aké je to skvelé?!

A opäť jednoduché:

Presne to isté a.

Dávaj pozor: ak ste našli najmenej jeden znak rovnobežníka vo vašom probléme, potom máte presne tak rovnobežník a môžete použiť každý vlastnosti rovnobežníka.

Pre úplnú prehľadnosť si pozrite diagram:

Vlastnosti štvoruholníkov. Obdĺžnik.

Vlastnosti obdĺžnika:

Bod 1) je celkom zrejmý - koniec koncov, znak 3 () je jednoducho splnený

A bod 2) - veľmi dôležité. Tak to dokážme

To znamená na dvoch stranách (a - všeobecne).

No, keďže trojuholníky sú rovnaké, potom sú rovnaké aj ich prepony.

Dokázal to!

A predstavte si, že rovnosť uhlopriečok je charakteristická vlastnosť obdĺžnika medzi všetkými rovnobežníkmi. To znamená, že toto tvrdenie je pravdivé^

Poďme pochopiť prečo?

To znamená (čo znamená uhly rovnobežníka). Ale ešte raz si pripomeňme, že ide o rovnobežník, a preto.

Znamená, . No, samozrejme, z toho vyplýva, že každý z nich! Veď musia dať celkom!

Tak dokázali, že ak rovnobežník zrazu (!) sa uhlopriečky ukážu ako rovnaké, potom toto presne obdĺžnik.

Ale! Dávaj pozor! Toto je o rovnobežníky! Nie hocijakýštvoruholník s rovnakými uhlopriečkami je obdĺžnik a iba rovnobežník!

Vlastnosti štvoruholníkov. Rhombus

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S úplným právom - rovnobežník, pretože má (Pamätajte si našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Existujú však aj špeciálne vlastnosti. Poďme to sformulovať.

Vlastnosti kosoštvorca

prečo? Keďže kosoštvorec je rovnobežník, jeho uhlopriečky sú rozdelené na polovicu.

prečo? Áno, práve preto!

Inými slovami, uhlopriečky sa ukázali ako osy rohov kosoštvorca.

Ako v prípade obdĺžnika, tieto vlastnosti sú výrazný, každý z nich je tiež znakom kosoštvorca.

Známky diamantu.

Prečo je toto? A pozri,

To znamená oboje Tieto trojuholníky sú rovnoramenné.

Aby bol štvoruholník kosoštvorcom, musí sa najprv „stať“ rovnobežníkom a potom vykazovať prvok 1 alebo prvok 2.

Vlastnosti štvoruholníkov. Námestie

To znamená, že štvorec je obdĺžnik a kosoštvorec zároveň. Poďme sa pozrieť čo sa stalo.

Je jasné prečo? Štvorec - kosoštvorec - je osou uhla, ktorý sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

prečo? No, aplikujme Pytagorovu vetu na...

SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Vlastnosti rovnobežníka:

1. Opačné strany sú rovnaké: , .
2. Opačné uhly sú rovnaké: , .
3. Súčet uhlov na jednej strane je: , .
4. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom: .

Vlastnosti obdĺžnika:

1. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké: .
2. Obdĺžnik je rovnobežník (pre obdĺžnik sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti kosoštvorca:

1. Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé: .
2. Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov: ; ; ; .
3. Kosoštvorec je rovnobežník (pre kosoštvorec sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti štvorca:

Štvorec je kosoštvorec a zároveň obdĺžnik, preto sú pre štvorec splnené všetky vlastnosti obdĺžnika a kosoštvorca. a:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Počas skúšky sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Sign-ki par-ral-le-lo-gram-ma

1. Definícia a základné vlastnosti rovnobežníka

Začnime tým, že si pripomenieme definíciu par-ral-le-lo-gram-ma.

Definícia. Paralelogram- what-you-rekh-gon-nick, ktorý má každé dve pro-ti-falošné strany, ktoré sú rovnobežné (pozri obr. . 1).

Ryža. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Spomeňme si základné vlastnosti par-ral-le-lo-gram-ma:

Aby ste mohli využívať všetky tieto vlastnosti, musíte si byť istí, že fi-gu-ra, o niekom -roy hovoríme, - par-ral-le-lo-gram. K tomu je potrebné poznať také skutočnosti, ako sú znaky par-ral-le-lo-gram-ma. My sa teraz pozeráme na prvé dve z nich.

2. Prvý znak rovnobežníka

Veta. Prvý znak par-ral-le-lo-gram-ma. Ak sú v štvoruholi dve protiľahlé strany rovnaké a rovnobežné, potom táto štvoruhoľná prezývka - rovnobežník. .

Ryža. 2. Prvý znak par-ral-le-lo-gram-ma

Dôkaz. Uhlopriečku dáme do štvoruhlíka-ni-ka (viď obr. 2), rozdelila ho na dve trojuhoľné-ni-ka. Zapíšme si, čo vieme o týchto trojuholníkoch:

podľa prvého znaku rovnosti trojuholníkov.

Z rovnosti naznačených trojuholníkov vyplýva, že znakom rovnobežnosti priamok pri krížení ch-nii ich s-ku-shchi. Máme to:

Do-ka-za-ale.

3. Druhý znak rovnobežníka

Veta. Druhým znakom je par-ral-le-lo-gram-ma. Ak v štvoruholníku sú každé dve pro-ti-falošné strany rovnaké, potom tento štvoruholník je rovnobežník. .

Ryža. 3. Druhý znak par-ral-le-lo-gram-ma

Dôkaz. Uhlopriečku vložíme do štvoruholníka (viď obr. 3), rozdelí ju na dva trojuholníky. Zapíšme si, čo vieme o týchto trojuholníkoch na základe tvaru teórie:

podľa tretieho znaku rovnosti trojuholníkov.

Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že znakom rovnobežných čiar pri ich pretínaní s-ku-shchey. Poďme jesť:

par-ral-le-lo-gram podľa definície. Q.E.D.

Do-ka-za-ale.

4. Príklad použitia prvého prvku rovnobežníka

Pozrime sa na príklad použitia znakov par-ral-le-lo-gram.

Príklad 1. Vo vydutine nie sú uhlíky Nájdite: a) rohy uhlíkov; b) sto-ro-well.

Riešenie. Ilustrácia Obr. 4.

pa-ral-le-lo-gram podľa prvého znaku par-ral-le-lo-gram-ma.

A. vlastnosťou par-ral-le-lo-gramu o pro-ti-falošných uhloch, vlastnosťou par-ral-le-lo-gramu o súčte uhlov, keď leží na jednu stranu.

B. z povahy rovnosti pro-falošných strán.

re-tiy podpísať par-ral-le-lo-gram-ma

5. Prehľad: Definícia a vlastnosti rovnobežníka

Zapamätajme si to rovnobežník- toto je štvorhranný roh, ktorý má pro-ti-falošné strany v pároch. To znamená, že ak - par-ral-le-lo-gram, tak (pozri obr. 1).

Paralelne-le-lo-gram má množstvo vlastností: pro-ti-falošné uhly sú rovnaké (), pro-ti-falošné uhly -sme si rovní ( ). Okrem toho je dia-go-na-li par-ral-le-lo-gram v bode re-se-che-niya rozdelený podľa súčtu uhlov, pri-le-pressing na akúkoľvek stranu pa -ral-le-lo-gram-ma, rovný atď.

Ale aby ste mohli využiť všetky tieto vlastnosti, je potrebné si byť úplne istý, že ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Na tento účel existujú znaky par-ral-le-lo-gram: teda tie fakty, z ktorých možno vyvodiť jednoznačný záver, že to, čo-vy-rekh-coal-nick je para-ral- le-lo-gram-mama. V predchádzajúcej lekcii sme sa už pozreli na dva znaky. Teraz sa pozeráme na tretíkrát.

6. Tretí znak rovnobežníka a jeho dôkaz

Ak je v štvoruhlíku dia-go-on v bode re-se-che-niya robia-by-lams, tak daný štvor-you Roh-coal-nick je par-ral-le -lo-gram-mama.

Vzhľadom na to:

Co-ty-re-coal-nick; ; .

dokázať:

Paralelogram.

dôkaz:

Na preukázanie tejto skutočnosti je potrebné ukázať paralelnosť strán par-le-lo-gram. A rovnobežnosť priamych línií sa najčastejšie dosahuje prostredníctvom rovnosti vnútorných krížových uhlov v týchto pravých uhloch. Tu je ďalšia metóda na získanie tretieho znamienka par-ral -le-lo-gram-ma: prostredníctvom rovnosti trojuholníkov .

Pozrime sa, ako sú tieto trojuholníky rovnaké. Z podmienky totiž vyplýva: . Navyše, keďže sú uhly vertikálne, sú rovnaké. To je:

(prvý znak rovnostitri-uhlie-ni-cov- pozdĺž dvoch strán a rohu medzi nimi).

Z rovnosti trojuholníkov: (keďže vnútorné priečne uhly v týchto priamkach a oddeľovačoch sú rovnaké). Okrem toho z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že . To znamená, že chápeme, že v štvoruhoľnom je dvesto rovnakých a paralelných. Podľa prvého znaku par-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-ale.

7. Príklad úlohy o treťom znaku rovnobežníka a zovšeobecnenie

Pozrime sa na príklad použitia tretieho znaku par-ral-le-lo-gram.

Príklad 1

Vzhľadom na to:

- rovnobežník; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (pozri obr. 2).

dokázať:- par-ral-le-lo-gram.

dôkaz:

To znamená, že v štyri-uhlie-no-dia-go-on-či v bode re-se-che-niya robia-by-lam. Podľa tretieho znaku par-ral-le-lo-gram z toho vyplýva, že - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-ale.

Ak analyzujete tretí znak par-ral-le-lo-gram, môžete si všimnúť, že tento znak je s-vet- má vlastnosť par-ral-le-lo-gram. To znamená, že dia-go-na-li de-la-xia nie je len vlastnosťou par-le-lo-gramu a jeho charakteristického, kha-rak-te-ri-sti-che- vlastnosť, podľa ktorej sa dá odlíšiť od množiny čo-si-rekh-uhlia-ni-cov.

SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Dôkaz

Najprv si nakreslíme uhlopriečku AC. Získame dva trojuholníky: ABC a ADC.

Keďže ABCD je rovnobežník, platí nasledovné:

AD || BC \Pravá šípka \uhol 1 = \uhol 2 ako ležať krížom krážom.

AB || CD\Rightarrow\uhol3 =\uhol 4 ako ležať krížom krážom.

Preto \triangle ABC = \triangle ADC (podľa druhého kritéria: a AC je spoločné).

A preto \triangle ABC = \trojuholník ADC, potom AB = CD a AD = BC.

Osvedčené!

2. Opačné uhly sú rovnaké.

Dôkaz

Podľa dôkazu vlastnosti 1 My to vieme \uhol 1 = \uhol 2, \uhol 3 = \uhol 4. Súčet opačných uhlov je teda: \uhol 1 + \uhol 3 = \uhol 2 + \uhol 4. Ak vezmeme do úvahy, že \triangle ABC = \triangle ADC dostaneme \uholník A = \uholník C , \uholník B = \uholník D .

Osvedčené!

3. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

Dôkaz

Nakreslíme ďalšiu uhlopriečku.

Autor: majetok 1 vieme, že protiľahlé strany sú totožné: AB = CD. Ešte raz si všimnite priečne ležiace rovnaké uhly.

Je teda jasné, že \triangle AOB = \triangle COD podľa druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov (dva uhly a strana medzi nimi). To znamená, že BO = OD (oproti rohom \uhol 2 a \uhol 1) a AO = OC (oproti rohom \uhol 3 a \uhol 4).

Osvedčené!

Znaky rovnobežníka

Ak je vo vašom probléme prítomná iba jedna vlastnosť, potom je obrázok rovnobežník a môžete použiť všetky vlastnosti tohto obrázku.

Pre lepšie zapamätanie si všimnite, že znak rovnobežníka odpovie na nasledujúcu otázku - "ako to zistiť?". Teda ako zistiť, že daný obrazec je rovnobežník.

1. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnaké a rovnobežné.

AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD je rovnobežník.

Dôkaz

Poďme sa na to pozrieť bližšie. Prečo AD || BC?

\triangle ABC = \triangle ADC by majetok 1: AB = CD, AC - spoločné a \uholník 1 = \uhol 2 ležiace krížovo s rovnobežkami AB a CD a sečnicou AC.

Ale ak \triangle ABC = \triangle ADC , potom \uholník 3 = \uholník 4 (leží oproti AB a CD). A preto AD || BC (\uhol 3 a \uhol 4 - tie ležiace krížom sú si tiež rovné).

Prvý znak je správny.

2. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnaké.

AB = CD, AD = BC \Šípka doprava ABCD je rovnobežník.

Dôkaz

Uvažujme o tomto znamení. Opäť nakreslíme uhlopriečku AC.

Autor: majetok 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Z toho vyplýva, že: \uhol 1 = \uhol 2 \Šípka doprava || B.C. A \uhol 3 = \uhol 4 \Šípka doprava AB || CD, to znamená, že ABCD je rovnobežník.

Druhý znak je správny.

3. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého opačné uhly sú rovnaké.

\uhol A = \uhol C , \uhol B = \uhol D \Šípka doprava ABCD- rovnobežník.

Dôkaz

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(keďže ABCD je štvoruholník a \uhol A = \uhol C , \uholník B = \uhol D podľa podmienky).

Ukazuje sa, že \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ale \alpha a \beta sú vnútorné jednostranné na sečne AB.

A to, že \alpha + \beta = 180^(\circ) tiež znamená, že AD || B.C.

Navyše, \alpha a \beta sú interné jednostranné na sečnici AD . A to znamená AB || CD.

Tretí znak je správny.

4. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

AO = OC; BO = OD\Pravý rovnobežník.

Dôkaz

BO=OD; AO = OC , \uhol 1 = \uhol 2 ako zvislý \Rightarrow \triangle AOB = \trojuholník COD, \Pravá šípka \uhol 3 = \uhol 4 a \Rightarrow AB || CD.

Podobne BO = OD; AO = OC, \uhol 5 = \uhol 6 \Šípka doprava \trojuholník AOD = \trojuholník BOC \Šípka doprava \uhol 7 = \uhol 8 a \Rightarrow AD || B.C.

Štvrtý znak je správny.

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

Stredná škola Savinskaya

Výskum

Rovnobežník a jeho nové vlastnosti

Vyplnil: žiak 8B ročníka

Stredná škola MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 rokov

Vedúci: učiteľ matematiky

Tulčevskaja N.A.

p. Savino

Ivanovský región, Rusko

2016

ja Úvod _____________________________________________________strana 3

II. Z histórie rovnobežníka _____________________________________strana 4

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka ________________________________strana 4

IV. Dôkaz o vlastnostiach _______________________________________ strana 5

V. Riešenie problémov pomocou ďalších vlastností __________strana 8

VI. Aplikácia vlastností rovnobežníka v živote _____________________strana 11

VII. Záver __________________________________________________ strana 12

VIII. Literatúra __________________________________________________ strana 13

Úvod

"Medzi rovnocenné mysle

pri rovnosť ostatných podmienok

kto pozná geometriu, je lepší"

(Blaise Pascal).

Pri štúdiu témy „Paralelogram“ na hodinách geometrie sme sa pozreli na dve vlastnosti rovnobežníka a tri vlastnosti, ale keď sme začali riešiť problémy, ukázalo sa, že to nestačí.

Mal som otázku: má rovnobežník iné vlastnosti a ako pomôžu pri riešení problémov?

A rozhodol som sa študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a ukázať, ako ich možno použiť na riešenie problémov.

Predmet štúdia : rovnobežník

Predmet štúdia : vlastnosti rovnobežníka
Cieľ práce:

formulácia a dôkaz ďalších vlastností rovnobežníka, ktoré sa v škole neštudujú;

použitie týchto vlastností na riešenie problémov.

Úlohy:

Preštudujte si históriu vzhľadu rovnobežníka a históriu vývoja jeho vlastností;

Nájdite ďalšiu literatúru o skúmanej problematike;

Študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a dokázať ich;

Ukážte použitie týchto vlastností pri riešení problémov;

Zvážte uplatnenie vlastností rovnobežníka v živote.
Výskumné metódy:

Práca s náučnou a populárno-náučnou literatúrou, internetovými zdrojmi;

Štúdium teoretického materiálu;

Identifikácia radu problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou dodatočných vlastností rovnobežníka;

Pozorovanie, porovnávanie, analýza, analógia.

Trvanie štúdie : 3 mesiace: január-marec 2016

1. Z histórie rovnobežníka

V učebnici geometrie čítame nasledujúcu definíciu rovnobežníka: Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch.

Slovo "paralelogram" sa prekladá ako "rovnobežné čiary" (z gréckych slov Parallelos - rovnobežka a gramme - čiara), tento pojem zaviedol Euklides. Euklides vo svojej knihe Elements dokázal nasledujúce vlastnosti rovnobežníka: protiľahlé strany a uhly rovnobežníka sú rovnaké a uhlopriečka ho pretína. Euklides nespomína priesečník rovnobežníka. Až koncom stredoveku sa vyvinula úplná teória rovnobežníkov a až v 17. storočí sa v učebniciach objavili vety o rovnobežníkoch, ktoré sú dokázané pomocou Euklidovej vety o vlastnostiach rovnobežníka.

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka

V učebnici geometrie sú uvedené iba 2 vlastnosti rovnobežníka:

Opačné uhly a strany sú rovnaké

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a sú rozpoltené priesečníkom.

V rôznych zdrojoch o geometrii môžete nájsť nasledujúce dodatočné vlastnosti:

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180°

Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník;

Osy protiľahlých uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežkách;

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch;

Keď sa priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka pretnú, vytvoria obdĺžnik;

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k rovnakej uhlopriečke sú rovnaké.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Ak nakreslíte výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostanete obdĺžnik.

IV Dôkaz vlastností rovnobežníka

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180 0

Dané:

ABCD – rovnobežník

dokázať:

A+
B=

dôkaz:

A a
B – vnútorné jednostranné uhly s rovnobežnými priamkami BC AD a sečna AB, čo znamená
A+
B=

2

Vzhľadom na to: A B C D - rovnobežník,

Bisector AK
A.

dokázať: AVK – rovnoramenné

dôkaz:

1)
1=
3 (priečne ležiaci pri BC AD a secant AK ),

2)
2=
3, pretože AK je osička,

znamená 1=
2.

3) ABC - rovnoramenné, pretože 2 uhly trojuholníka sú rovnaké

. Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník

3

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK – stred A,

CP - stred C.

dokázať: AK ║ SR

dôkaz:

1) 1=2, pretože AK je os

2) 4=5 pretože CP – bisector

3) 3=1 (priečno ležiace uhly pri

BC ║ AD a AK-sekant),

4) A =C (vlastnosťou rovnobežníka), čo znamená 2=3=4=5.

4) Z odsekov 3 a 4 vyplýva, že 1 = 4 a tieto uhly zodpovedajú priamkam AK a CP a sečne BC,

to znamená AK ║ CP (na základe rovnobežnosti čiar)

. Bisektory opačných uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežných priamkach

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník,

AK-sektor A,

Stred DP D

dokázať: DP AK.

dôkaz:

1) 1 = 2, pretože AK - bisector

Nech 1=2=x, potom A=2x,

2) 3 = 4, pretože D Р – osička

Nech 3=4=y, potom D=2y

3) A + D = 180 0, pretože súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180

2) Zvážte OD

1+3 = 900, potom
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK-sektor A,

DP-osektor D,

CM stred C,

BF - stred B .

dokázať: KRNS - obdĺžnik

dôkaz:

Na základe predchádzajúcej vlastnosti 8=7=6=5=90 0 ,

znamená, že KRNS je obdĺžnik.

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k rovnakej uhlopriečke sú rovnaké.

Vzhľadom na to: ABCD-rovnobežník, AC-uhlopriečka.

VC AC, D.P. A.C.

dokázať: BC = DP

dôkaz: 1) DCP = KAB, ako vnútorné kríže ležiace s AB ║ CD a sečnicou AC.

2) AKB= CDP (pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov AB=CD CD P=AB K).

A v rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce strany rovnaké, čo znamená DP = BK.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Vzhľadom na to: ABCD rovnobežník.

dokázať: VKDR je rovnobežník.

dôkaz:

1) BP=KD (AD=BC, body K a P

rozdeliť tieto strany na polovicu)

2) BP ║ KD (lež na AD BC)

Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je štvoruholník rovnobežník.

Ak nakreslíte výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostanete obdĺžnik.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník. BD a AC sú uhlopriečky.

dokázať: AC 2 + ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

dôkaz: 1)OPÝTAŤ SA: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (podľa Pytagorovej vety)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(výška )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Nechaj D K=A P=x, Potom C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 podľa Pytagorovej vety )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ² = 2 СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² = 2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 SD²-2 X² + AD 2 +2AD X+ X 2 +AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ IND² = 2 CD 2 +2AD 2 = 2 (CD 2 +AD 2 ).

V . Riešenie problémov pomocou týchto vlastností

Priesečník osí dvoch uhlov rovnobežníka susediaceho s jednou stranou patrí protiľahlej strane. Najkratšia strana rovnobežníka je 5 . Nájdite jeho veľkú stránku.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK – bisektor
A,

D K – osička
D, AB = 5

Nájsť: Slnko

rozhodnutie

Riešenie

Pretože AK - bisector
A potom je ABC rovnoramenné.

Pretože D K – osička
D, teda DCK - rovnoramenný

DC = C K = 5

Potom BC=VC+SC=5+5 = 10

odpoveď: 10

2. Nájdite obvod rovnobežníka, ak os jedného z jeho uhlov rozdeľuje stranu rovnobežníka na segmenty 7 cm a 14 cm.

1 prípad

Vzhľadom na to:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: P rovnobežník

Riešenie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože AK – bisektor
A potom je ABC rovnoramenné.

AB=BK= 14 cm

Potom P = 2 (14+21) = 70 (cm)

deje

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

D K – osička
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: P rovnobežník

Riešenie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože D K – osička
D, teda DCK - rovnoramenný

DC = C K = 7

Potom P = 2 (21+7) = 56 (cm)

odpoveď: 70 cm alebo 56 cm

3. Strany rovnobežníka sú 10 cm a 3 cm Stredy dvoch uhlov susediacich s väčšou stranou rozdeľujú opačnú stranu na tri segmenty. Nájdite tieto segmenty.

1 prípad: osi sa pretínajú mimo rovnobežníka

Vzhľadom na to: ABCD – rovnobežník, AK – bisector
A,

D K – osička
D, AB = 3 cm, BC = 10 cm

Nájsť: VM, MN, NC

Riešenie

Pretože AM - bisector
A potom je AVM rovnoramenný.

Pretože DN – bisektor
D, teda DCN - rovnoramenný

DC=CN=3

Potom MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3) = 4 cm

Prípad 2: osi sa pretínajú vo vnútri rovnobežníka

Pretože AN - bisector
A potom je ABN rovnoramenný.

AB=BN = 3 D

A posuvná mriežka by mala byť posunutá do požadovanej vzdialenosti vo dverách

Paralelogramový mechanizmus- štvortyčový mechanizmus, ktorého články tvoria rovnobežník. Používa sa na realizáciu translačného pohybu pomocou kĺbových mechanizmov.

Paralelogram s pevným článkom- jeden článok je nehybný, opačný robí kývavý pohyb, pričom zostáva rovnobežný s nehybným. Dva paralelogramy spojené jeden po druhom dávajú koncovému článku dva stupne voľnosti, pričom je rovnobežný s pevným článkom.

Príklady: stierače predného skla autobusov, vysokozdvižné vozíky, trojnožky, vešiaky, závesy automobilov.

Rovnobežník s pevným kĺbom- využíva sa vlastnosť rovnobežníka udržiavať konštantný pomer vzdialeností medzi tromi bodmi. Príklad: kresliaci pantograf - zariadenie na úpravu mierky výkresov.

Rhombus- všetky články sú rovnako dlhé, priblíženie (stiahnutie) dvojice protiľahlých závesov vedie k oddialeniu ďalších dvoch závesov. Všetky odkazy fungujú v kompresii.

Príklady - automobilový zdvihák v tvare diamantu, električkový pantograf.

Nožnicový alebo Mechanizmus v tvare X, taktiež známy ako Norimberské nožnice- kosoštvorcová verzia - dva články spojené v strede závesom. Výhodou mechanizmu je kompaktnosť a jednoduchosť, nevýhodou je prítomnosť dvoch posuvných párov. Dva (alebo viac) takýchto mechanizmov zapojených do série tvoria diamant(y) v strede. Používa sa vo výťahoch a detských hračkách.

VII Záver

Kto študuje matematiku od detstva?

rozvíja pozornosť, trénuje si mozog,

vlastná vôľa, pestuje vytrvalosť

a vytrvalosť pri dosahovaní cieľov

A. Markuševič

Počas práce som dokázal ďalšie vlastnosti rovnobežníka.

Bol som presvedčený, že s využitím týchto vlastností môžete riešiť problémy rýchlejšie.

Ako sa tieto vlastnosti aplikujú, som ukázal na príkladoch riešenia konkrétnych problémov.

Veľa som sa naučil o rovnobežníku, ktorý nie je v našej učebnici geometrie

O tom, že znalosť geometrie je v živote veľmi dôležitá, som sa presvedčil prostredníctvom príkladov aplikácie vlastností rovnobežníka.

Cieľ mojej výskumnej práce bol splnený.

O význame matematických vedomostí svedčí aj to, že bola zriadená cena pre toho, kto vydá knihu o človeku, ktorý celý život prežil bez pomoci matematiky. Toto ocenenie zatiaľ nezískal ani jeden človek.

VIII Literatúra

1. Pogorelov A.V. Geometria 7-9: učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie - M.: Školstvo, 2014

   L.S.Atanasyan a ďalší. Pridať. Kapitoly pre učebnicu 8. ročníka: učebnica. manuál pre študentov škôl a pokročilých tried. študoval matematiku. – M.: Vita-press, 2003

   Internetové zdroje

   Materiály z Wikipédie