Aikido – stelesnenie princípu najmenšej akcie Naša psychológia a technológia sú do značnej miery poháňané konceptom veľmi blízkym myšlienke najmenšej akcie. Neustále sa snažíme uľahčiť si život. Dnešné počítače nie sú dostatočne rýchle; Oni musia

Najvšeobecnejšia formulácia pohybového zákona mechanických sústav je daná takzvaným princípom najmenšieho pôsobenia (alebo Hamiltonovým princípom). Podľa tohto princípu sa každý mechanický systém vyznačuje špecifickou funkciou.

alebo v krátkosti, pohyb systému spĺňa nasledujúcu podmienku.

Nechajte systém zaujať určité pozície v časových okamihoch, charakterizované dvoma sadami súradnicových hodnôt (1) a potom sa medzi týmito polohami systém pohybuje takým spôsobom, že integrál

mal najmenšiu možnú hodnotu. Funkcia L sa nazýva Lagrangeova funkcia tohto systému a integrál (2.1) sa nazýva akcia.

Skutočnosť, že Lagrangeova funkcia obsahuje iba q a q, ale nie vyššie derivácie, je vyjadrením vyššie uvedeného tvrdenia, že mechanický stav je úplne určený špecifikáciou súradníc a rýchlostí.

Prejdime k odvodeniu diferenciálnych rovníc, ktoré riešia problém určenia minima integrálu (2.1). Aby sme zjednodušili písanie vzorcov, najprv predpokladajme, že systém má iba jeden stupeň voľnosti, takže musí byť definovaná iba jedna funkcia

Nech existuje práve tá funkcia, pre ktorú má S minimum. To znamená, že S sa zvyšuje, keď je nahradené akoukoľvek funkciou formulára

kde je funkcia, ktorá je malá v celom časovom intervale od do (nazýva sa to variácia funkcie, pretože všetky porovnávané funkcie (2.2) musia mať rovnaké hodnoty, potom by to malo byť:

Zmena v 5, keď je q nahradené za, je daná rozdielom

Rozširovanie tohto rozdielu na mocniny (v integrande) začína pojmami prvého poriadku. Nevyhnutnou podmienkou pre minimalizáciu S) je, aby množina týchto pojmov zanikla; nazýva sa to prvá variácia (alebo zvyčajne len variácia) integrálu. Princíp najmenšej akcie teda možno napísať ako

alebo zmenou:

Upozorňujeme, že integrujeme druhý výraz po častiach a získame:

Ale kvôli podmienkam (2.3) prvý výraz v tomto výraze zmizne. Zostáva integrál, ktorý sa musí rovnať nule pre ľubovoľné hodnoty . To je možné len vtedy, ak integrand rovnako zmizne. Tak dostaneme rovnicu

V prítomnosti niekoľkých stupňov voľnosti, v princípe najmenšej akcie, sa rôzne funkcie musia meniť nezávisle. Je zrejmé, že potom dostaneme s rovníc tvaru

Toto sú požadované diferenciálne rovnice; v mechanike sa nazývajú Lagrangeove rovnice. Ak je známa Lagrangeova funkcia daného mechanického systému, potom rovnice (2.6) vytvárajú spojenie medzi zrýchleniami, rýchlosťami a súradnicami, t.j. predstavujú pohybové rovnice systému.

Z matematického hľadiska rovnice (2.6) tvoria sústavu s rovníc druhého rádu pre s neznámych funkcií. Všeobecné riešenie takéhoto systému obsahuje ľubovoľné konštanty. Na ich určenie a tým úplné určenie pohybu mechanického systému je potrebné poznať počiatočné podmienky charakterizujúce stav systému v určitom danom časovom bode, napríklad znalosť počiatočných hodnôt všetkých súradníc a rýchlosti.

Nech mechanický systém pozostáva z dvoch častí A a B, z ktorých každá, ak je uzavretá, by mala ako Lagrangeovu funkciu, respektíve funkcie ? Potom, v limite, keď sú časti oddelené tak ďaleko, že interakcia medzi nimi môže byť zanedbaná, Lagrangiánska funkcia celého systému smeruje k limitu

Táto vlastnosť aditivity Lagrangeovej funkcie vyjadruje skutočnosť, že pohybové rovnice každej z neinteragujúcich častí nemôžu obsahovať veličiny súvisiace s inými časťami systému.

Je zrejmé, že vynásobenie Lagrangeovej funkcie mechanického systému ľubovoľnou konštantou samo osebe neovplyvňuje pohybové rovnice.

Zdalo by sa, že odtiaľ môže nasledovať významná neistota: Lagrangeove funkcie rôznych izolovaných mechanických systémov by sa mohli násobiť akýmikoľvek rôznymi konštantami. Vlastnosť aditivity eliminuje túto neistotu – umožňuje len súčasné násobenie Lagrangeových funkcií všetkých systémov tou istou konštantou, čo jednoducho vychádza z prirodzenej svojvôle pri výbere jednotiek merania tejto fyzikálnej veličiny; K tejto problematike sa vrátime v § 4.

Je potrebné urobiť nasledujúcu všeobecnú poznámku. Uvažujme dve funkcie, ktoré sa od seba líšia celkovou časovou deriváciou ľubovoľnej funkcie súradníc a času

Integrály (2.1) vypočítané pomocou týchto dvoch funkcií sú spojené vzťahom

t.j. sa od seba líšia dodatočným členom, ktorý pri zmene akcie zmizne, takže podmienka sa zhoduje s podmienkou a tvar pohybových rovníc zostáva nezmenený.

Lagrangeova funkcia je teda definovaná len do súčtu celkovej derivácie ľubovoľnej funkcie súradníc a času.

V krátkosti sme preskúmali jeden z najpozoruhodnejších fyzikálnych princípov – princíp najmenšieho pôsobenia a zastavili sme sa pri príklade, ktorý sa mu zdal v rozpore. V tomto článku sa na tento princíp pozrieme trochu podrobnejšie a uvidíme, čo sa stane v tomto príklade.

Tentokrát budeme potrebovať trochu viac matematiky. Opäť sa však pokúsim predstaviť hlavnú časť článku na elementárnej úrovni. Trošku prísnejšie a zložitejšie body zvýrazním farebne, dajú sa preskočiť bez toho, aby to ohrozilo základné chápanie článku.

Hraničné podmienky

Na presný opis jeho pohybu sú spravidla špecifikované počiatočné podmienky. Napríklad je špecifikované, že v počiatočnom okamihu bola lopta v bode so súradnicou a mala rýchlosť . Po nastavení počiatočných podmienok v tejto forme jednoznačne určíme ďalší pohyb lopty - bude sa pohybovať konštantnou rýchlosťou a jej poloha v čase sa bude rovnať počiatočnej polohe plus rýchlosť vynásobená uplynulým časom. : . Tento spôsob nastavenia počiatočných podmienok je veľmi prirodzený a intuitívne známy. Uviedli sme všetky potrebné informácie o pohybe gule v počiatočnom časovom okamihu a potom je jej pohyb určený Newtonovými zákonmi.

Nie je to však jediný spôsob, ako upresniť pohyb lopty. Ďalším alternatívnym spôsobom je nastavenie polohy lopty v dvoch rôznych časoch a . Tie. spýtaj sa:

1) v okamihu, keď bola lopta v bode (so súradnicou);
2) v okamihu, keď bola lopta v bode (so súradnicou ).

Výraz „bola v bode“ neznamená, že lopta bola v bode v pokoji. V tej chvíli mohol preletieť cez bod. To znamená, že jeho poloha v čase sa zhodovala s bodom. To isté platí pre bod.

Tieto dve podmienky tiež jednoznačne určujú pohyb lopty. Jeho pohyb sa dá ľahko vypočítať. Na splnenie oboch podmienok musí byť rýchlosť lopty samozrejme . Poloha lopty v danom čase sa bude opäť rovnať počiatočnej polohe plus rýchlosť vynásobená uplynutým časom:

Upozorňujeme, že v podmienkach problému sme nemuseli nastavovať počiatočnú rýchlosť. Jednoznačne sa určil z podmienok 1) a 2).

Nastavenie podmienok druhým spôsobom vyzerá nezvyčajne. Môže byť nejasné, prečo je vôbec potrebné sa ich pýtať touto formou. V princípe najmenšej akcie sa však využívajú podmienky v tvare 1) a 2), a nie vo forme určenia počiatočnej polohy a počiatočnej rýchlosti.

Cesta s najmenšou akciou

Môžeme napríklad pohybovať loptou rovnakou rýchlosťou, ktorá sa rovná (zelená trajektória). Alebo ho môžeme udržať v bode polovicu času a potom ho presunúť do bodu dvojnásobnou rýchlosťou (modrá trajektória). Najprv ho môžete presunúť opačným smerom a potom ho presunúť na (hnedú trajektóriu). Môžete ním pohybovať tam a späť (červená cesta). Vo všeobecnosti ho môžete presúvať akokoľvek chcete, pokiaľ sú splnené podmienky 1) a 2).

Ku každej takejto trajektórii môžeme priradiť číslo. V našom príklade, t.j. pri absencii akýchkoľvek síl pôsobiacich na loptičku sa toto číslo rovná celkovej naakumulovanej kinetickej energii počas celej doby jej pohybu v časovom intervale medzi a a nazývame akcia.

V tomto prípade slovo „akumulovaná“ kinetická energia nevyjadruje význam veľmi presne. V skutočnosti sa kinetická energia nikde neakumuluje, akumulácia sa používa iba na výpočet akcie pre dráhu. V matematike existuje pre takúto akumuláciu veľmi dobrý koncept - integrál:

Akcia je zvyčajne označená písmenom . Symbol znamená kinetickú energiu. Tento integrál znamená, že pôsobenie sa rovná akumulovanej kinetickej energii lopty v časovom intervale od do.

V prvom príklade (zelená trajektória) sme loptičku pohybovali rovnomerne, t.j. s rovnakou rýchlosťou, ktorá by sa samozrejme mala rovnať: m/s. Kinetická energia lopty v každom časovom okamihu sa rovná: = 1/2 J. Za jednu sekundu sa nahromadí 1/2 J kinetickej energie. Tie. akcia pre takúto dráhu sa rovná: J s.

Teraz nepohybujme loptičku okamžite z bodu do bodu, ale držte ju v bode pol sekundy a potom, počas zostávajúceho času, ju rovnomerne posúvajte do bodu. V prvej pol sekunde je lopta v pokoji a jej kinetická energia je nulová. Preto je príspevok k pôsobeniu tejto časti trajektórie tiež nulový. Druhú pol sekundy pohybujeme loptou dvojnásobnou rýchlosťou: m/s. Kinetická energia sa bude rovnať = 2 J. Príspevok tohto časového úseku k pôsobeniu bude rovný 2 J krát pol sekundy, t.j. 1 J s. Preto sa celková akcia pre takúto trajektóriu rovná J s.

Podobne každá iná dráha s nami danými okrajovými podmienkami 1) a 2) zodpovedá určitému číslu, ktoré sa rovná akcii pre túto dráhu. Spomedzi všetkých takýchto dráh existuje dráha, ktorá má najmenšiu akciu. Dá sa dokázať, že táto trajektória je zelená trajektória, t.j. rovnomerný pohyb lopty. Pre akúkoľvek inú trajektóriu, bez ohľadu na to, aká je zložitá, bude akcia väčšia ako 1/2.

V matematike sa takéto porovnanie pre každú funkciu určitého čísla nazýva funkcionál. Dosť často vo fyzike a matematike vznikajú podobné problémy ako u nás, t.j. nájsť funkciu, pre ktorú je hodnota určitého funkcionálu minimálna. Napríklad jeden z problémov, ktorý mal veľký historický význam pre rozvoj matematiky, je problém bachistochróny. Tie. nájsť krivku, po ktorej sa loptička kotúľa najrýchlejšie. Opäť platí, že každá krivka môže byť reprezentovaná funkciou h(x) a každá funkcia môže byť spojená s číslom, v tomto prípade časom kotúľania lopty. Opäť je problém nájsť funkciu, pre ktorú je hodnota funkcionálu minimálna. Odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá takýmito problémami, sa nazýva variačný počet.

Princíp najmenšej akcie

Prvá dráha je získaná z fyzikálnych zákonov a zodpovedá skutočnej dráhe voľnej gule, na ktorú nepôsobia žiadne sily a pre ktorú sú uvedené okrajové podmienky vo formulári 1) a 2).

Druhá trajektória je získaná z matematického problému nájdenia trajektórie s danými okrajovými podmienkami 1) a 2), pre ktorú je akcia minimálna.

Princíp najmenšej akcie uvádza, že tieto dve trajektórie sa musia zhodovať. Inými slovami, ak je známe, že sa loptička pohybovala takým spôsobom, že boli splnené okrajové podmienky 1) a 2), potom sa nevyhnutne pohybovala po trajektórii, pre ktorú je akcia minimálna v porovnaní s akoukoľvek inou trajektóriou s rovnakou hranicou. podmienky.

Niekto by to mohol považovať za obyčajnú náhodu. Existuje veľa problémov, v ktorých sa objavujú jednotné trajektórie a priame čiary. Princíp najmenšej akcie sa však ukazuje ako veľmi všeobecný princíp, platný aj v iných situáciách, napríklad pre pohyb lopty v rovnomernom gravitačnom poli. Aby ste to dosiahli, stačí nahradiť kinetickú energiu rozdielom medzi kinetickou a potenciálnou energiou. Tento rozdiel sa nazýva Lagrangian alebo Lagrangian funkcia a akcia sa teraz rovná celkovému nahromadenému Lagrangianu. V skutočnosti funkcia Lagrange obsahuje všetky potrebné informácie o dynamických vlastnostiach systému.

Ak spustíme guľu v rovnomernom gravitačnom poli tak, že v okamihu prejde bodom a v okamihu príde do bodu, potom podľa Newtonových zákonov poletí pozdĺž paraboly. Práve táto parabola sa bude zhodovať s trajektóriami, pri ktorých bude akcia minimálna.

Pre teleso pohybujúce sa v potenciálnom poli, napríklad v gravitačnom poli Zeme, sa teda Lagrangeova funkcia rovná: . Kinetická energia závisí od rýchlosti telesa a potenciálna od jeho polohy, t.j. súradnice V analytickej mechanike sa celý súbor súradníc, ktoré určujú polohu systému, zvyčajne označuje jedným písmenom. Pre guľu, ktorá sa voľne pohybuje v gravitačnom poli, znamená súradnice , a .

Na označenie rýchlosti zmeny akejkoľvek veličiny vo fyzike veľmi často jednoducho umiestnia bodku nad túto veličinu. Označuje napríklad rýchlosť zmeny súradníc alebo inými slovami rýchlosť telesa v smere. Pomocou týchto konvencií sa rýchlosť našej lopty v analytickej mechanike označuje ako . Tie. znamená zložky rýchlosti.

Keďže Lagrangeova funkcia závisí od rýchlosti a súradníc a môže tiež explicitne závisieť od času (výslovne závisí od času znamená, že hodnota je odlišná v rôznych časoch, pre rovnaké rýchlosti a polohy lopty), potom sa akcia vo všeobecnosti zapíše ako

Nie vždy minimálne

Presne povedané, potenciálna energia sa môže považovať za rovnajúcu sa nie nule, ale akémukoľvek číslu, pretože rozdiel v potenciálnej energii v rôznych bodoch priestoru je dôležitý. Zmena hodnoty potenciálnej energie však neovplyvňuje hľadanie trajektórie s minimálnou akciou. Ide len o to, že pre všetky trajektórie sa hodnota akcie zmení na rovnaké číslo a trajektória s minimálnou akciou zostane trajektóriou s minimálnou akciou. Pre pohodlie zvolíme pre našu loptu potenciálnu energiu rovnú nule.

Na obrázku sú znázornené obe fyzikálne možné trajektórie pohybu lopty. Zelená dráha zodpovedá loptičke v pokoji, zatiaľ čo modrá dráha zodpovedá loptičke odrážajúcej sa od steny pružiny.

Len jeden z nich má však minimálny efekt, a to ten prvý! Druhá dráha má viac akcie. Ukazuje sa, že v tomto probléme sú dve fyzikálne možné trajektórie a iba jedna s minimálnou akciou. Tie. V tomto prípade zásada najmenšej akcie nefunguje.

Stacionárne body

Na grafe som zelenou farbou označil štyri špeciálne body. Čo majú tieto body spoločné? Predstavme si, že graf funkcie je skutočný sklz, po ktorom sa môže guľôčka kotúľať. Štyri určené body sú špeciálne tým, že ak loptičku umiestnite presne na tento bod, nikam sa neodkotúľa. Vo všetkých ostatných bodoch, napríklad v bode E, nebude schopný stáť na mieste a začne sa šmýkať dole. Takéto body sa nazývajú stacionárne. Nájdenie takýchto bodov je užitočná úloha, pretože každé maximum alebo minimum funkcie, ak nemá ostré zlomy, musí byť nevyhnutne stacionárnym bodom.

Ak tieto body presnejšie klasifikujeme, tak bod A je absolútne minimum funkcie, t.j. jeho hodnota je menšia ako hodnota akejkoľvek inej funkcie. Bod B nie je ani maximum, ani minimum a nazýva sa sedlový bod. Bod C sa nazýva lokálne maximum, t.j. hodnota v ňom je väčšia ako v susedných bodoch funkcie. A bod D je lokálne minimum, t.j. hodnota v ňom je menšia ako v susedných bodoch funkcie.

Hľadanie takýchto bodov sa vykonáva v oblasti matematiky nazývanej matematická analýza. V opačnom prípade sa niekedy nazýva infinitezimálna analýza, pretože môže pracovať s nekonečne malými veličinami. Z hľadiska matematickej analýzy majú stacionárne body jednu špeciálnu vlastnosť, vďaka ktorej sa nachádzajú. Aby sme pochopili, čo je táto vlastnosť, musíme pochopiť, ako funkcia vyzerá vo veľmi malých vzdialenostiach od týchto bodov. Aby sme to urobili, vezmeme mikroskop a pozrieme sa cez neho na naše body. Obrázok ukazuje, ako funkcia vyzerá v blízkosti rôznych bodov pri rôznych zväčšeniach.

Je vidieť, že pri veľmi veľkom zväčšení (t.j. pre veľmi malé odchýlky x) vyzerajú stacionárne body úplne rovnako a sú veľmi odlišné od nestacionárneho bodu. Je ľahké pochopiť, aký je tento rozdiel - graf funkcie v stacionárnom bode sa pri zväčšení stáva striktne vodorovnou čiarou a v nestacionárnom bode sa stáva naklonenou čiarou. To je dôvod, prečo sa loptička inštalovaná na nehybnom bode nebude kotúľať.

Horizontálnosť funkcie v stacionárnom bode môže byť vyjadrená rôzne: funkcia v stacionárnom bode sa prakticky nemení pri veľmi malej zmene svojho argumentu, a to aj v porovnaní so zmenou samotného argumentu. Funkcia v nestacionárnom bode s malou zmenou sa mení úmerne zmene. A čím väčší je sklon funkcie, tým viac sa funkcia mení, keď . V skutočnosti, ako sa funkcia zvyšuje, stáva sa viac a viac ako dotyčnica ku grafu v príslušnom bode.

V striktnom matematickom jazyku výraz „funkcia sa prakticky nemení v bode s veľmi malou zmenou“ znamená, že pomer zmeny funkcie a zmeny jej argumentu má tendenciu k 0, pretože má tendenciu k 0:

$$zobrazenie$$\lim_(∆x \to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$zobraziť$$

Pre nestacionárny bod má tento pomer tendenciu k nenulovému číslu, ktoré sa rovná dotyčnici sklonu funkcie v tomto bode. Toto isté číslo sa nazýva derivácia funkcie v danom bode. Derivácia funkcie ukazuje, ako rýchlo sa funkcia mení okolo daného bodu s malou zmenou v jej argumente. Stacionárne body sú teda body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná 0.

Stacionárne trajektórie

Opäť, v matematickom jazyku, „trochu odlišné“ má nasledujúci presný význam. Predpokladajme, že máme daný funkcionál pre funkcie s požadovanými okrajovými podmienkami 1) a 2), t.j. A . Predpokladajme, že trajektória je stacionárna.

Môžeme vziať akúkoľvek inú funkciu tak, aby na koncoch mala nulové hodnoty, t.j. = = 0. Zoberme si aj premennú, ktorú budeme stále zmenšovať. Z týchto dvoch funkcií a premennej môžeme poskladať tretiu funkciu, ktorá bude spĺňať aj okrajové podmienky a. Keď sa zníži, trajektória zodpovedajúca funkcii sa bude čoraz viac približovať k trajektórii.

Navyše, pre stacionárne trajektórie sa pri malých hodnotách funkcionálu budú trajektórie veľmi málo líšiť od hodnoty funkcionálu aj v porovnaní s . Tie.

$$zobrazenie$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$zobraziť$$

Okrem toho by to malo platiť pre každú trajektóriu spĺňajúcu okrajové podmienky = = 0.

Zmena funkcionála s malou zmenou funkcie (presnejšie lineárna časť zmeny funkcionálu, úmerná zmene funkcie) sa nazýva variácia funkcionálu a označuje sa . Názov „počet variácií“ pochádza z výrazu „variácia“.

Pre stacionárne trajektórie variácia funkcionálu.

Metódu na nájdenie stacionárnych funkcií (nielen pre princíp najmenšej akcie, ale aj pre mnohé iné problémy) našli dvaja matematici – Euler a Lagrange. Ukazuje sa, že stacionárna funkcia, ktorej funkcionál je vyjadrený integrálom podobným akčnému integrálu, musí spĺňať určitú rovnicu, ktorá sa dnes nazýva Euler-Lagrangeova rovnica.

Stacionárny princíp

Ukazuje sa, že skutočné telesá sa nemusia nevyhnutne pohybovať po trajektóriách s najmenšou aktivitou. Môžu sa pohybovať po širšom súbore špeciálnych trajektórií, konkrétne po stacionárnych trajektóriách. Tie. skutočná dráha telesa bude vždy nehybná. Preto sa princíp najmenšieho pôsobenia správnejšie nazýva princíp stacionárneho pôsobenia. Podľa zavedenej tradície sa však často nazýva princípom najmenšej akcie, čo znamená nielen minimalizáciu, ale aj stacionárnosť trajektórií.

Teraz môžeme zapísať princíp stacionárneho pôsobenia v matematickom jazyku, ako sa zvyčajne píše v učebniciach: .

Tu ide o zovšeobecnené súradnice, t.j. súbor premenných, ktoré jednoznačne definujú polohu systému.
- rýchlosť zmeny zovšeobecnených súradníc.
- Lagrangeova funkcia, ktorá závisí od zovšeobecnených súradníc, ich rýchlostí a prípadne času.
- akcia, ktorá závisí od konkrétnej trajektórie systému (t. j. na ).

Reálne trajektórie sústavy sú stacionárne, t.j. pre nich variácia akcie.

Niektoré pozoruhodné dôsledky vyplývajú z princípu najmenšieho (presnejšie stacionárneho) pôsobenia, ktorému sa budeme venovať v ďalšej časti.

Keď som sa prvýkrát dozvedel o tomto princípe, mal som pocit akejsi mystiky. Zdá sa, že príroda záhadne prechádza všetkými možnými cestami pohybu systému a vyberá si tú najlepšiu.

Dnes chcem trochu hovoriť o jednom z najpozoruhodnejších princípov fyziky - princípe najmenšej akcie.

Pozadie

Svetlo sa pri odraze pohybuje aj tak, aby sa z jedného bodu do druhého dostalo čo najkratšou cestou. Na obrázku bude najkratšia cesta zelená cesta, pri ktorej sa uhol dopadu rovná uhlu odrazu. Akákoľvek iná cesta, napríklad červená, bude dlhšia.

V roku 1662 Pierre Fermat navrhol, že rýchlosť svetla v hustej hmote, ako je sklo, je menšia ako vo vzduchu. Predtým bola všeobecne akceptovaná Descartesova verzia, podľa ktorej musí byť rýchlosť svetla v hmote väčšia ako vo vzduchu, aby sa dosiahol správny zákon lomu. Pre Fermata sa predpoklad, že svetlo sa môže pohybovať rýchlejšie v hustejšom médiu ako v riedkom, zdal neprirodzený. Preto predpokladal, že všetko je presne naopak a dokázal úžasnú vec – pri tomto predpoklade sa svetlo láme tak, aby sa do cieľa dostalo v minimálnom čase.

Všetky tieto skutočnosti nasvedčovali tomu, že príroda koná nejakým racionálnym spôsobom, svetlo a telesá sa pohybujú najoptimálnejším spôsobom, pričom vynakladajú čo najmenej námahy. Ale o aké snahy ide a ako ich vypočítať, zostalo záhadou.

V roku 1744 Maupertuis zaviedol pojem „akcia“ a sformuloval princíp, podľa ktorého sa skutočná dráha častice líši od akejkoľvek inej v tom, že jej činnosť je minimálna. Samotný Maupertuis však nikdy nedokázal jasne definovať, čo táto akcia znamená. Presnú matematickú formuláciu princípu najmenšej akcie už vypracovali iní matematici – Euler, Lagrange a napokon ju uviedol William Hamilton:

Voľné telo

Ako by ste teda mali jazdiť, aby ste sa dostali do cieľa presne v stanovený čas a spotrebovali čo najmenej paliva? Je jasné, že musíte ísť v priamom smere. So zvyšujúcou sa prejdenou vzdialenosťou sa nespotrebuje menej paliva. A potom môžete zvoliť rôzne taktiky. Napríklad môžete rýchlo prísť na miesto vopred a len sedieť a čakať, kým príde čas. Rýchlosť jazdy a tým aj spotreba paliva v každom okamihu bude vysoká, ale zníži sa aj čas jazdy. Snáď celková spotreba paliva nebude taká veľká. Alebo môžete jazdiť rovnomerne, rovnakou rýchlosťou, aby ste bez ponáhľania dorazili presne v daný moment. Alebo jazdite časť cesty rýchlo a časť pomalšie. Aká je najlepšia cesta?

Ukazuje sa, že najoptimálnejším a najhospodárnejším spôsobom jazdy je jazdiť konštantnou rýchlosťou, aby ste do cieľa dorazili presne v stanovený čas. Akákoľvek iná možnosť spotrebuje viac paliva. Môžete si to overiť sami pomocou niekoľkých príkladov. Dôvodom je, že spotreba paliva rastie s druhou mocninou rýchlosti. Preto so zvyšujúcou sa rýchlosťou rastie spotreba paliva rýchlejšie, ako sa znižuje čas jazdy a zvyšuje sa aj celková spotreba paliva.

Zistili sme teda, že ak auto v každom okamihu spotrebuje palivo úmerne svojej kinetickej energii, potom najhospodárnejší spôsob, ako sa dostať z bodu do bodu v presne stanovený čas, je jazdiť rovnomerne a priamočiaro, presne spôsob, akým sa teleso pohybuje v neprítomnosti síl pôsobiacich naň.sila Akýkoľvek iný spôsob jazdy bude mať za následok vyššiu celkovú spotrebu paliva.

V gravitačnom poli

Spotreba paliva sa v každom okamihu rovná kinetickej energii mínus potenciálna energia auta (mínus potenciálna energia, pretože inštalované zariadenie vyrába palivo a nespotrebováva ho). Teraz sa naša úloha pohybovať autom medzi bodmi čo najefektívnejšie stáva ťažšou. Priamočiary rovnomerný pohyb sa v tomto prípade ukazuje ako nie najefektívnejší. Ukazuje sa, že optimálnejšie je nabrať trochu nadmorskej výšky, chvíľu tam zostať, spotrebovať viac paliva a potom zostúpiť do bodu . Pri správnej trajektórii letu celková produkcia paliva v dôsledku stúpania pokryje dodatočné náklady na palivo na zväčšenie dĺžky dráhy a zvýšenie rýchlosti. Ak pozorne počítate, najhospodárnejší spôsob pre auto bude let v parabole, presne po rovnakej trajektórii a presne rovnakou rýchlosťou, akou by letel kameň v gravitačnom poli Zeme.

Lagrangeova funkcia a princíp najmenšej akcie

Analógom celkového množstva paliva spotrebovaného počas celého obdobia pohybu, t.j. Lagrangeova hodnota nahromadená počas celého času pohybu sa nazýva „akcia“.

Princíp najmenšej akcie spočíva v tom, že sa telo pohybuje tak, že akcia (ktorá závisí od trajektórie pohybu) je minimálna. Zároveň nesmieme zabúdať, že sú špecifikované počiatočné a konečné podmienky, t.j. kde je telo v okamihu času a v okamihu času.

V tomto prípade sa karoséria nemusí nutne pohybovať v rovnomernom gravitačnom poli, s ktorým sme uvažovali pri našom aute. Do úvahy prichádzajú úplne iné situácie. Teleso môže kmitať na elastickom páse, hojdať sa na kyvadle alebo lietať okolo Slnka, vo všetkých týchto prípadoch sa pohybuje tak, aby minimalizovalo „celkovú spotrebu paliva“, t.j. akcie.

Ak sa systém skladá z niekoľkých telies, potom sa Lagrangián takéhoto systému bude rovnať celkovej kinetickej energii všetkých telies mínus celková potenciálna energia všetkých telies. A opäť sa budú všetky telesá pohybovať v zhode tak, aby efekt celého systému pri takomto pohybe bol minimálny.

Nie také jednoduché

Zoberme si napríklad loptu a umiestnime ju na prázdne miesto. V určitej vzdialenosti od nej položíme elastickú stenu. Povedzme, že chceme, aby lopta po určitom čase skončila na rovnakom mieste. Za týchto daných podmienok sa lopta môže pohybovať dvoma rôznymi spôsobmi. Po prvé, môže jednoducho zostať na mieste. Po druhé, môžete ho zatlačiť smerom k stene. Lopta priletí k stene, odrazí sa od nej a vráti sa späť. Je jasné, že ho dokážete stlačiť takou rýchlosťou, aby sa vrátil presne v ten správny čas.

Ako zachrániť zásadu najmenšieho konania, aby bola platná aj v takýchto situáciách? Porozprávame sa o tom v.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Matematický výskum a vývoj Fermatovho princípu uskutočnil Christiaan Huygens, po ktorom o téme aktívne diskutovali najväčší vedci 17. storočia. Leibniz zaviedol základný koncept akcie do fyziky v roku 1669: „Formálne akcie pohybu sú úmerné ... súčinu množstva hmoty, vzdialenosti, na ktorú sa pohybujú, a rýchlosti.

  Súbežne s analýzou základov mechaniky boli vyvinuté metódy riešenia variačných problémov. Isaac Newton vo svojich „Matematických princípoch prírodnej filozofie“ (1687) položil a vyriešil prvý variačný problém: nájsť formu rotačného telesa pohybujúceho sa v odporovom médiu pozdĺž svojej osi, pre ktorú by bol odpor, ktorý zažívame, najmenší. Takmer súčasne sa objavili ďalšie variačné problémy: problém brachistochróny (1696), forma reťazovej línie atď.

  Rozhodujúce udalosti sa odohrali v roku 1744. Leonhard Euler publikoval prvú všeobecnú prácu o variačnom počte („Metóda hľadania kriviek s vlastnosťami maxima alebo minima“) a Pierre-Louis de Maupertuis vo svojom pojednaní „Zmierenie rôznych zákonov prírody, ktoré sa doteraz zdalo Nezlučiteľné,“ dal prvú formuláciu princípu najmenšej akcie: „cesta, po ktorej nasleduje svetlo, je cestou, pre ktorú bude množstvo akcie najmenšie“. Preukázal splnenie tohto zákona pre odraz aj lom svetla. V reakcii na Maupertuisov článok publikoval Euler (v tom istom roku 1744) prácu „O určení pohybu vrhaných telies v neodolnom prostredí metódou maxím a miním“ a v tejto práci dal Maupertuisovu princíp všeobecného mechanického charakteru: „Keďže všetky prírodné javy sa riadia nejakým ak existuje nejaký zákon maxima alebo minima, potom niet pochýb, že pre zakrivené čiary, ktoré opisujú vrhané telesá, keď na ne pôsobia nejaké sily, existuje určitá vlastnosť maximum alebo minimum. Euler ďalej formuloval tento zákon: dráha telesa dosahuje minimum ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Potom to aplikoval, odvodil zákony pohybu v rovnomernom gravitačnom poli a v niekoľkých ďalších prípadoch.

  V roku 1746 Maupertuis v novom diele súhlasil s Eulerovým názorom a vyhlásil najvšeobecnejšiu verziu jeho princípu: „Keď dôjde k nejakej zmene v prírode, množstvo akcie potrebné na túto zmenu je najmenšie možné. Množstvo pôsobenia je súčinom hmotnosti telies podľa ich rýchlosti a vzdialenosti, ktorú prejdú. V rozsiahlej diskusii, ktorá nasledovala, Euler podporil Maupertuisovu prioritu a argumentoval univerzálnou povahou nového zákona: „celú dynamiku a hydrodynamiku je možné odhaliť s úžasnou ľahkosťou prostredníctvom samotnej metódy maxím a miním.

  Nová etapa sa začala v rokoch 1760-1761, keď Joseph Louis Lagrange zaviedol prísny koncept variácie funkcie, dal variačnému kalkulu modernú formu a rozšíril princíp najmenšej akcie na svojvoľný mechanický systém (teda nielen na voľné hmotné body). Toto znamenalo začiatok analytickej mechaniky. Ďalšie zovšeobecnenie princípu uskutočnil Carl Gustav Jacob Jacobi v roku 1837 – problém považoval za geometrický, ako hľadanie extrémov variačného problému v konfiguračnom priestore s neeuklidovskou metrikou. Jacobi poukázal najmä na to, že pri absencii vonkajších síl predstavuje trajektória systému geodetickú líniu v konfiguračnom priestore.

  Hamiltonov prístup sa ukázal ako univerzálny a vysoko efektívny v matematických modeloch fyziky, najmä pre kvantovú mechaniku. Jeho heuristická sila bola potvrdená pri vytvorení Všeobecnej relativity, keď David Hilbert aplikoval Hamiltonov princíp na odvodenie konečných rovníc gravitačného poľa (1915).

  V klasickej mechanike

  Princíp najmenšej akcie slúži ako základný a štandardný základ lagrangeovských a hamiltonovských formulácií mechaniky.

  Najprv sa pozrime na konštrukciu takto: Lagrangeova mechanika. Na príklade fyzikálneho systému s jedným stupňom voľnosti si pripomeňme, že dej je funkcionál vzhľadom na (zovšeobecnené) súradnice (v prípade jedného stupňa voľnosti - jedna súradnica), to znamená, že je vyjadrený prostredníctvom q (t) (\displaystyle q(t)) aby každý mysliteľný variant funkcie q (t) (\displaystyle q(t)) porovnáva sa určité číslo - akcia (v tomto zmysle môžeme povedať, že akcia ako funkcionál je pravidlo, ktoré umožňuje akúkoľvek danú funkciu q (t) (\displaystyle q(t)) vypočítať veľmi špecifické číslo – nazývané aj akcia). Akcia vyzerá takto:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t, (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\bodka ( q))(t),t)dt,)

  Kde L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\bodka (q))(t),t)) je Lagrangián systému v závislosti od zovšeobecnených súradníc q (\displaystyle q), jeho prvá derivácia q ˙ (\displaystyle (\bodka (q))), a tiež prípadne výslovne od času t (\displaystyle t). Ak má systém viac stupňov voľnosti n (\displaystyle n), potom Lagrangian závisí od väčšieho počtu zovšeobecnených súradníc q i (t), i = 1, 2, … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\bodky ,n) a ich prvé deriváty. Akcia je teda skalárna funkčná v závislosti od trajektórie telesa.

  Skutočnosť, že akcia je skalárna, uľahčuje jej zapisovanie do akýchkoľvek zovšeobecnených súradníc, hlavné je, že poloha (konfigurácia) systému je nimi jednoznačne charakterizovaná (napríklad namiesto karteziánskych súradníc môžu byť polárne súradnice, vzdialenosti medzi bodmi systému, uhly alebo ich funkcie atď. .d.).

  Akciu je možné vypočítať pre úplne ľubovoľnú trajektóriu q (t) (\displaystyle q(t)), bez ohľadu na to, aké „divoké“ a „neprirodzené“ to môže byť. V klasickej mechanike je však medzi celou množinou možných trajektórií len jedna, po ktorej telo skutočne pôjde. Princíp stacionárneho pôsobenia presne dáva odpoveď na otázku, ako sa bude telo skutočne pohybovať:

  To znamená, že ak je daný Lagrangián systému, potom pomocou variačného počtu môžeme presne určiť, ako sa teleso bude pohybovať, najskôr získaním pohybových rovníc - Euler-Lagrangeových rovníc a potom ich riešením. To umožňuje nielen seriózne zovšeobecniť formuláciu mechaniky, ale aj zvoliť najvhodnejšie súradnice pre každý konkrétny problém, neobmedzujúce sa len na karteziánske, čo môže byť veľmi užitočné na získanie najjednoduchších a najľahšie vyriešených rovníc.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ veľké ()\súčet _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\suma _( i)p_(i)(\bodka (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

  Kde H (q, p, t) ≡ H (q1, q2, …, qN, p1, p2, …, pN, t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\ekviv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\bodky ,q_(N),p_(1),p_(2),\bodky ,p_(N),t) )- Hamiltonova funkcia tohto systému; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (všeobecné) súradnice, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\bodky ,p_(N))- k nemu konjugované (zovšeobecnené) impulzy, ktoré spolu charakterizujú v každom danom časovom okamihu dynamický stav systému, pričom každý je funkciou času, čím charakterizujú vývoj (pohyb) systému. V tomto prípade, aby sme získali pohybové rovnice systému vo forme Hamiltonových kanonických rovníc, je potrebné meniť takto napísanú akciu nezávisle pre všetky q i (\displaystyle q_(i)) A p i (\displaystyle p_(i)).

  Treba poznamenať, že ak je z podmienok problému v zásade možné nájsť zákon pohybu, potom je to automaticky nie znamená, že je možné skonštruovať funkcionál, ktorý počas skutočného pohybu nadobúda stacionárnu hodnotu. Príkladom je spoločný pohyb elektrických nábojov a monopólov - magnetických nábojov - v elektromagnetickom poli. Ich pohybové rovnice nemožno odvodiť z princípu stacionárneho pôsobenia. Podobne niektoré hamiltonovské systémy majú pohybové rovnice, ktoré nemožno odvodiť z tohto princípu.

  Príklady

  Triviálne príklady pomáhajú vyhodnotiť využitie princípu činnosti prostredníctvom Eulerových-Lagrangeových rovníc. Voľná ​​častica (hmotnosť m a rýchlosť v) v euklidovskom priestore sa pohybuje po priamke. Pomocou Eulerových-Lagrangeových rovníc to možno zobraziť v polárnych súradniciach nasledovne. Pri absencii potenciálu sa Lagrangeova funkcia jednoducho rovná kinetickej energii

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\bodka (x))^(2)+(\bodka (y))^(2)\vpravo)) ψ = ∫ [D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  Tu ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) je podmienený zápis pre nekonečne viacnásobnú funkčnú integráciu na všetkých trajektóriách x(t), a ℏ (\displaystyle \hbar )- Planckova konštanta. Zdôrazňujeme, že v princípe sa akcia v exponenciáli objavuje (alebo sa môže objaviť) sama pri štúdiu operátora evolúcie v kvantovej mechanike, ale pre systémy, ktoré majú presný klasický (nekvantový) analóg, sa presne rovná bežnému klasická akcia.

  Matematická analýza tohto výrazu v klasickej limite - pre dostatočne veľké S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), teda s veľmi rýchlymi osciláciami pomyselnej exponenciály - ukazuje, že drvivá väčšina všetkých možných trajektórií v tomto integráli sa navzájom ruší v limite (formálne pri S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Takmer pre každú cestu existuje cesta, na ktorej bude fázový posun presne opačný a ich súčet bude nulový. Neznížia sa iba tie trajektórie, pri ktorých sa pôsobenie blíži ku krajnej hodnote (pre väčšinu systémov - na minimum). Ide o čisto matematický fakt z