Je nepravdepodobné, že by v živote našej redakcie prešiel aspoň jeden rok bez toho, aby nedostala dobrý tucet dôkazov Fermatovej vety. Teraz, po „víťazstve“ nad ním, prúdenie ustúpilo, ale nevyschlo.

Samozrejme, aby sme ho nevysušili úplne, uverejňujeme tento článok. A nie na moju obranu - vraj preto sme mlčali, sami sme ešte nedozreli na diskusiu o tak zložitých problémoch.

Ale ak sa vám článok naozaj zdá komplikovaný, pozrite sa hneď na jeho koniec. Budete musieť cítiť, že vášne sa dočasne upokojili, veda sa neskončila a čoskoro budú do redakcie zaslané nové dôkazy nových teorémov.

Zdá sa, že 20. storočie nebolo márne. Po prvé, ľudia na chvíľu vytvorili druhé Slnko odpálením vodíkovej bomby. Potom kráčali po Mesiaci a nakoniec dokázali povestnú Fermatovu vetu. Z týchto troch zázrakov sú prvé dva na perách každého, pretože mali obrovské sociálne dôsledky. Naopak, tretí zázrak vyzerá ako ďalšia vedecká hračka – na rovnakej úrovni ako teória relativity, kvantová mechanika a Gödelova veta o neúplnosti aritmetiky. Relativita a kvantá však priviedli fyzikov k vodíkovej bombe a výskum matematikov zaplnil náš svet počítačmi. Bude tento reťazec zázrakov pokračovať aj v 21. storočí? Je možné vystopovať súvislosť medzi ďalšími vedeckými hračkami a revolúciami v našom každodennom živote? Umožňuje nám toto spojenie robiť úspešné predpovede? Skúsme to pochopiť na príklade Fermatovej vety.

Na začiatok si všimnime, že sa narodila oveľa neskôr, ako bol jej prirodzený termín. Prvým špeciálnym prípadom Fermatovej vety je napokon Pytagorova rovnica X 2 + Y 2 = Z 2 , ktorá dáva do súvislosti dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Po dokázaní tohto vzorca pred dvadsiatimi piatimi storočiami si Pytagoras okamžite položil otázku: Je v prírode veľa trojuholníkov, v ktorých majú nohy aj prepona celé číslo? Zdá sa, že Egypťania poznali iba jeden takýto trojuholník - so stranami (3, 4, 5). Nie je však ťažké nájsť ďalšie možnosti: napríklad (5, 12, 13) , (7, 24, 25) alebo (8, 15, 17) . Vo všetkých týchto prípadoch má dĺžka prepony tvar (A 2 + B 2), kde A a B sú prvočísla rôznej parity. V tomto prípade sa dĺžky nôh rovnajú (A 2 - B 2) a 2AB.

Pythagoras, ktorý si všimol tieto vzťahy, ľahko dokázal, že akákoľvek trojica čísel (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) je riešením rovnice X 2 + Y 2 \u003d Z 2 a nastaví obdĺžnik so vzájomne jednoduchými dĺžkami strán. Je tiež vidieť, že počet rôznych trojíc tohto druhu je nekonečný. Ale majú všetky riešenia Pytagorovej rovnice tento tvar? Pytagoras nebol schopný dokázať ani vyvrátiť takúto hypotézu a prenechal tento problém potomkom bez toho, aby naň upozornil. Kto chce poukázať na svoje zlyhania? Zdá sa, že potom bol problém integrálnych pravouhlých trojuholníkov sedem storočí v zabudnutí - kým sa v Alexandrii neobjavil nový matematický génius menom Diophantus.

Vieme o ňom málo, ale je jasné, že nebol ako Pytagoras. Cítil sa ako kráľ v geometrii a dokonca aj mimo nej – či už v hudbe, astronómii alebo politike. Prvé aritmetické spojenie medzi dĺžkami strán harmonickej harfy, prvý model vesmíru zo sústredných sfér nesúcich planéty a hviezdy so Zemou v strede a napokon prvá republika vedcov v talianskom meste Crotone - to sú osobné úspechy Pytagora. Čomu by sa mohol postaviť proti takýmto úspechom Diophantus – skromný výskumník veľkého Múzea, ktoré už dávno prestalo byť pýchou mestského davu?

Len jedna vec: lepšie pochopenie starovekého sveta čísel, ktorých zákony Pytagoras, Euklides a Archimedes sotva stihli pocítiť. Všimnite si, že Diophantus ešte neovládal pozičný systém písania veľkých čísel, ale vedel, čo sú záporné čísla a pravdepodobne strávil veľa hodín premýšľaním o tom, prečo je súčin dvoch záporných čísel kladný. Svet celých čísel bol prvýkrát odhalený Diophantusovi ako zvláštny vesmír, odlišný od sveta hviezd, segmentov alebo mnohostenov. Hlavným zamestnaním vedcov v tomto svete je riešenie rovníc, skutočný majster nájde všetky možné riešenia a dokáže, že iné riešenia neexistujú. Toto urobil Diophantus s kvadratickou Pytagorovou rovnicou a potom si pomyslel: má aspoň jedno riešenie podobnú kubickú rovnicu X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diophantus nedokázal nájsť takéto riešenie, neúspešný bol aj jeho pokus dokázať, že riešenia neexistujú. Preto, keď Diophantus zostavil výsledky svojej práce v knihe „Aritmetika“ (bola to prvá učebnica teórie čísel na svete), podrobne analyzoval Pytagorovu rovnicu, ale nenaznačil ani slovo o možných zovšeobecneniach tejto rovnice. Ale mohol: koniec koncov to bol Diophantus, ktorý ako prvý navrhol označenie mocniny celých čísel! Ale žiaľ, pojem „zošit úloh“ bol helénskej vede a pedagogike cudzí a zverejňovanie zoznamov nevyriešených problémov sa považovalo za neslušné zamestnanie (iba Sokrates konal inak). Ak nemôžete vyriešiť problém - mlčte! Diophantus sa odmlčal a toto mlčanie sa ťahalo štrnásť storočí – až do nástupu New Age, kedy sa oživil záujem o proces ľudského myslenia.

Kto na prelome 16.-17. storočia o ničom nefantazíroval! Neúnavný kalkulátor Kepler sa snažil uhádnuť súvislosť medzi vzdialenosťami od Slnka k planétam. Pytagoras zlyhal. Keplerov úspech prišiel po tom, čo sa naučil integrovať polynómy a iné jednoduché funkcie. Naopak, snílek Descartes nemal rád dlhé výpočty, ale bol to on, kto prvýkrát predstavil všetky body roviny alebo priestoru ako súbory čísel. Tento odvážny model redukuje akýkoľvek geometrický problém o číslach na nejaký algebraický problém o rovniciach - a naopak. Napríklad celočíselné riešenia Pytagorovej rovnice zodpovedajú celočíselným bodom na povrchu kužeľa. Povrch zodpovedajúci kubickej rovnici X 3 + Y 3 = Z 3 vyzerá komplikovanejšie, jeho geometrické vlastnosti Pierrovi Fermatovi nič nenaznačovali a musel si raziť nové cesty divočinou celých čísel.

V roku 1636 sa Diofantova kniha, práve preložená do latinčiny z gréckeho originálu, dostala do rúk mladého právnika z Toulouse, ktorý náhodou prežil v nejakom byzantskom archíve a priviezol ho do Talianska jeden z rímskych utečencov v čase tureckého skaziť. Pri čítaní elegantnej diskusie o Pytagorovej rovnici si Fermat pomyslel: je možné nájsť také riešenie, ktoré pozostáva z troch štvorcových čísel? Nie sú malé čísla tohto druhu: je ľahké to overiť výpočtom. A čo veľké rozhodnutia? Bez počítača by Fermat nemohol uskutočniť numerický experiment. Všimol si však, že pre každé „veľké“ riešenie rovnice X 4 + Y 4 = Z 4 možno zostrojiť menšie riešenie. Súčet štvrtých mocnín dvoch celých čísel sa teda nikdy nerovná rovnakej mocnine tretieho čísla! A čo súčet dvoch kociek?

Inšpirovaný úspechom pre stupeň 4, Fermat sa pokúsil upraviť "spôsob zostupu" pre stupeň 3 - a uspel. Ukázalo sa, že z tých jednotlivých kociek, na ktoré sa rozpadla veľká kocka s celočíselnou dĺžkou hrany, sa nedali poskladať dve malé kocky. Víťazný Fermat si na okraj Diofantovej knihy urobil krátku poznámku a poslal do Paríža list s podrobnou správou o svojom objave. No odpovede sa nedočkal – aj keď matematici z hlavného mesta zvyčajne rýchlo zareagovali na ďalší úspech ich osamelého kolegu-súpera v Toulouse. O čo tu ide?

Jednoducho: v polovici 17. storočia aritmetika vyšla z módy. Veľké úspechy talianskych algebraistov 16. storočia (keď sa riešili polynomické rovnice 3. a 4. stupňa) sa nestali začiatkom všeobecnej vedeckej revolúcie, pretože neumožňovali riešiť nové svetlé problémy v susedných oblastiach vedy. Ak by teda Kepler dokázal odhadnúť obežné dráhy planét pomocou čistej aritmetiky... Ale bohužiaľ, toto si vyžadovalo matematickú analýzu. To znamená, že sa musí rozvíjať – až po úplný triumf matematických metód v prírodných vedách! Ale analýza vyrastá z geometrie, zatiaľ čo aritmetika zostáva oblasťou hry pre nečinných právnikov a iných milovníkov večnej vedy o číslach a číslach.

Takže Fermatove aritmetické úspechy sa ukázali ako predčasné a zostali nedocenené. Nerozrušilo ho to: pre slávu matematika sa mu po prvýkrát odhalili fakty diferenciálneho počtu, analytickej geometrie a teórie pravdepodobnosti. Všetky tieto Fermatove objavy okamžite vstúpili do zlatého fondu novej európskej vedy, zatiaľ čo teória čísel ustúpila do pozadia na ďalších sto rokov – až kým ju neobnovil Euler.

Tento „kráľ matematikov“ 18. storočia bol šampiónom vo všetkých aplikáciách analýzy, ale nezanedbával ani aritmetiku, pretože nové metódy analýzy viedli k neočakávaným skutočnostiam o číslach. Kto by si myslel, že nekonečný súčet inverzných štvorcov (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) sa rovná π 2 /6? Kto z Helénov mohol predvídať, že podobné série umožnia dokázať iracionalitu čísla π?

Takéto úspechy prinútili Eulera, aby si pozorne znovu prečítal zachované Fermatove rukopisy (našťastie sa ich synovi veľkého Francúza podarilo zverejniť). Je pravda, že dôkaz „veľkej vety“ pre stupeň 3 sa nezachoval, ale Euler ho ľahko obnovil poukázaním na „metódu zostupu“ a okamžite sa pokúsil preniesť túto metódu na ďalší hlavný stupeň - 5.

To tam nebolo! V Eulerovom uvažovaní sa objavili komplexné čísla, ktoré si Fermat stihol nevšimnúť (to je zvyčajná partia objaviteľov). Ale faktorizácia komplexných celých čísel je chúlostivá záležitosť. Ani Euler to celkom nepochopil a „Fermatov problém“ odložil bokom, v zhone dokončiť svoje hlavné dielo – učebnicu „Základy analýzy“, ktorá mala pomôcť každému talentovanému mladému mužovi postaviť sa na roveň Leibnizovi a Euler. Vydanie učebnice bolo dokončené v Petrohrade v roku 1770. Ale Euler sa nevrátil k Fermatovej vete, pretože si bol istý, že všetko, čoho sa dotkli jeho ruky a myseľ, nezabudne nová vedecká mládež.

A tak sa aj stalo: Eulerovým nástupcom v teórii čísel sa stal Francúz Adrien Legendre. Koncom 18. storočia dokončil dôkaz Fermatovej vety pre stupeň 5 – a hoci neuspel pre veľké prvočísla, zostavil ďalšiu učebnicu teórie čísel. Nech jej mladí čitatelia predčia autora tak, ako čitatelia Matematických princípov prírodnej filozofie predčili veľkého Newtona! Legendre sa nevyrovnal Newtonovi ani Eulerovi, no medzi jeho čitateľmi boli dvaja géniovia: Carl Gauss a Evariste Galois.

Takúto vysokú koncentráciu géniov umožnila Francúzska revolúcia, ktorá vyhlásila štátny kult Rozumu. Potom sa každý talentovaný vedec cítil ako Kolumbus alebo Alexander Veľký, schopný objaviť alebo dobyť nový svet. Mnohým sa to podarilo, preto sa v 19. storočí stal hlavným motorom evolúcie ľudstva vedecko-technický pokrok a všetci rozumní vládcovia (počnúc Napoleonom) si to uvedomovali.

Gauss bol povahovo blízky Kolumbovi. No on (podobne ako Newton) nevedel zaujať predstavivosť panovníkov či študentov krásnymi rečami, a preto svoje ambície obmedzil na sféru vedeckých konceptov. Tu si mohol robiť, čo chcel. Napríklad starodávny problém trisekcie uhla z nejakého dôvodu nemožno vyriešiť pomocou kompasu a pravítka. Pomocou komplexných čísel zobrazujúcich body roviny Gauss prekladá tento problém do jazyka algebry - a získava všeobecnú teóriu uskutočniteľnosti určitých geometrických konštrukcií. Tak sa zároveň objavil rigorózny dôkaz nemožnosti skonštruovať pravidelný 7- alebo 9-uholník kružidlom a pravítkom a taký spôsob zostrojenia pravidelného 17-uholníka, aký urobili najmúdrejší geometri Hellasu. nesnívať o.

Samozrejme, takýto úspech nie je darovaný nadarmo: treba vymýšľať nové koncepty, ktoré odrážajú podstatu veci. Newton predstavil tri takéto koncepty: tok (derivát), plynulý (integrálny) a mocninový rad. Stačili na vytvorenie matematickej analýzy a prvého vedeckého modelu fyzikálneho sveta vrátane mechaniky a astronómie. Gauss tiež predstavil tri nové koncepty: vektorový priestor, pole a kruh. Vyrástla z nich nová algebra, ktorá podriadila grécku aritmetiku a Newtonom vytvorenú teóriu numerických funkcií. Zostávalo podriadiť Aristotelom vytvorenú logiku algebre: potom by bolo možné pomocou výpočtov dokázať odvoditeľnosť či neodvoditeľnosť akýchkoľvek vedeckých tvrdení z tohto súboru axióm! Odvodzuje sa napríklad Fermatova veta z axióm aritmetiky alebo Euklidov postulát rovnobežných priamok pochádza z iných axióm planimetrie?

Gauss nestihol zrealizovať tento odvážny sen – hoci postúpil ďaleko a uhádol možnosť existencie exotických (nekomutatívnych) algebier. Len odvážnemu Rusovi Nikolajovi Lobačevskému sa podarilo postaviť prvú neeuklidovskú geometriu a prvá nekomutatívna algebra (Teória skupín) sa podarila Francúzovi Evaristovi Galoisovi. A až oveľa neskôr ako Gaussova smrť - v roku 1872 - mladý Nemec Felix Klein uhádol, že rozmanitosť možných geometrií môže byť uvedená do súladu s rôznymi možnými algebrami. Jednoducho povedané, každá geometria je definovaná svojou grupou symetrie – zatiaľ čo všeobecná algebra študuje všetky možné grupy a ich vlastnosti.

Ale takéto pochopenie geometrie a algebry prišlo oveľa neskôr a útok na Fermatovu vetu sa obnovil počas Gaussovho života. Sám opomenul Fermatovu vetu z princípu: nie je vecou kráľa riešiť jednotlivé problémy, ktoré sa nehodia do svetlej vedeckej teórie! Ale študenti Gaussa, vyzbrojení jeho novou algebrou a klasickou analýzou Newtona a Eulera, uvažovali inak. Po prvé, Peter Dirichlet dokázal Fermatovu vetu pre stupeň 7 pomocou kruhu komplexných celých čísel generovaných koreňmi tohto stupňa jednoty. Potom Ernst Kummer rozšíril Dirichletovu metódu na VŠETKY prvostupňové stupne (!) - zdalo sa mu to v zhone a triumfoval. Čoskoro však prišlo vytriezvenie: dôkaz prejde bezchybne iba vtedy, ak sa každý prvok prsteňa jedinečne rozloží na hlavné faktory! V prípade obyčajných celých čísel bola táto skutočnosť známa už Euklidovi, ale iba Gauss podal jej prísny dôkaz. Ale čo celé komplexné čísla?

Podľa „princípu najväčšieho nešťastia“ môže a MAL by dôjsť k nejednoznačnej faktorizácii! Len čo sa Kummer naučil vypočítať mieru nejednoznačnosti metódami matematickej analýzy, objavil tento špinavý trik v kruhu pre stupeň 23. Gauss nemal čas dozvedieť sa o tejto verzii exotickej komutatívnej algebry, ale Gaussovi študenti rástli namiesto ďalšieho špinavého triku novú krásnu teóriu ideálov. Pravda, pri riešení Fermatovho problému to veľmi nepomohlo: jasnejšia sa stala len jeho prirodzená zložitosť.

Počas celého 19. storočia si táto starodávna modla od svojich obdivovateľov vyžadovala čoraz viac obetí v podobe nových zložitých teórií. Nie je prekvapujúce, že začiatkom 20. storočia veriaci znechutili a vzbúrili sa a odmietli svoju bývalú modlu. Slovo „fermatista“ sa medzi profesionálnymi matematikmi stalo pejoratívnym pojmom. A hoci za úplný dôkaz Fermatovej vety bola udelená značná cena, jej žiadatelia boli väčšinou sebavedomí ignoranti. Najsilnejší matematici tej doby – Poincaré a Hilbert – sa tejto téme vzdorne vyhýbali.

V roku 1900 Hilbert nezaradil Fermatovu vetu do zoznamu dvadsiatich troch hlavných problémov, ktorým čelila matematika 20. storočia. Pravda, do ich série zaradil všeobecný problém riešiteľnosti diofantínskych rovníc. Nápoveda bola jasná: nasledujte príklad Gaussa a Galoisa a vytvorte všeobecné teórie nových matematických objektov! Potom jedného pekného (ale nie vopred predvídateľného) dňa stará trieska sama vypadne.

Takto pôsobil veľký romantik Henri Poincaré. Zanedbávajúc mnohé „večné“ problémy, celý život študoval SYMETRIE rôznych predmetov matematiky alebo fyziky: buď funkcie komplexnej premennej, alebo trajektórie pohybu nebeských telies, alebo algebraické krivky alebo hladké variety (to sú viacrozmerné zovšeobecnenia zakrivených linky). Motív jeho konania bol jednoduchý: ak majú dva rôzne predmety podobnú symetriu, znamená to, že medzi nimi existuje vnútorný vzťah, ktorý ešte nie sme schopní pochopiť! Napríklad každá z dvojrozmerných geometrií (Euklidova, Lobačevskij alebo Riemannová) má svoju vlastnú skupinu symetrie, ktorá pôsobí v rovine. Ale body roviny sú komplexné čísla: týmto spôsobom sa pôsobenie akejkoľvek geometrickej skupiny prenáša do obrovského sveta komplexných funkcií. Je možné a potrebné študovať najsymetrickejšiu z týchto funkcií: AUTOMORPHOUS (ktoré podliehajú Euklidovskej skupine) a MODULARNE (ktoré podliehajú Lobačevského skupine)!

V rovine sú aj eliptické krivky. Nemajú nič spoločné s elipsou, ale sú dané rovnicami v tvare Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, a preto sa pretínajú s ľubovoľnou priamkou v troch bodoch. Táto skutočnosť nám umožňuje zaviesť násobenie medzi body eliptickej krivky – premeniť ju na grupu. Algebraická štruktúra tejto skupiny odráža geometrické vlastnosti krivky; možno je jednoznačne určená jej skupinou? Táto otázka stojí za preštudovanie, pretože pre niektoré krivky sa skupina, ktorá nás zaujíma, ukazuje ako modulárna, to znamená, že súvisí s Lobachevského geometriou ...

Takto uvažoval Poincaré, zvádzajúc matematickú mládež Európy, no na začiatku 20. storočia tieto pokušenia neviedli k jasným vetám ani hypotézam. Inak to dopadlo s Hilbertovou výzvou: študovať všeobecné riešenia diofantínskych rovníc s celočíselnými koeficientmi! V roku 1922 mladý Američan Lewis Mordell spojil množinu riešení takejto rovnice (ide o vektorový priestor určitej dimenzie) s geometrickým rodom komplexnej krivky, ktorá je daná touto rovnicou. Mordell dospel k záveru, že ak je stupeň rovnice dostatočne veľký (viac ako dva), potom je rozmer priestoru riešenia vyjadrený v zmysle rodu krivky, a preto je tento rozmer KONEČNÝ. Naopak – s mocninou 2 má Pytagorova rovnica NEKONEČNE DIMENZIONÁLNU rodinu riešení!

Mordell samozrejme videl súvislosť svojej hypotézy s Fermatovou vetou. Ak sa zistí, že pre každý stupeň n > 2 je priestor celých riešení Fermatovej rovnice konečnorozmerný, pomôže to dokázať, že takéto riešenia vôbec neexistujú! Mordell však nevidel spôsob, ako svoju hypotézu dokázať – a hoci žil dlhý život, nečakal na premenu tejto hypotézy na Faltingsovu vetu. Stalo sa tak v roku 1983, v úplne inej dobe, po veľkých úspechoch algebraickej topológie variet.

Poincaré vytvoril túto vedu akoby náhodou: chcel vedieť, čo sú to trojrozmerné variety. Riemann predsa prišiel na štruktúru všetkých uzavretých plôch a dostal veľmi jednoduchú odpoveď! Ak takáto odpoveď neexistuje v trojrozmernom alebo viacrozmernom prípade, potom musíte prísť so systémom algebraických invariantov variety, ktorý určuje jej geometrickú štruktúru. Najlepšie je, ak sú takéto invarianty prvkami niektorých skupín – komutatívne alebo nekomutatívne.

Aj keď sa to môže zdať zvláštne, tento odvážny plán Poincarého sa podaril: uskutočnil sa v rokoch 1950 až 1970 vďaka úsiliu mnohých geometrov a algebraistov. Do roku 1950 sa v tichosti hromadili rôzne metódy na klasifikáciu variet a po tomto dátume sa zdalo, že sa nahromadilo kritické množstvo ľudí a nápadov a došlo k explózii porovnateľnej s vynálezom matematickej analýzy v 17. storočí. Ale analytická revolúcia trvala storočie a pol a pokryla tvorivé biografie štyroch generácií matematikov - od Newtona a Leibniza po Fouriera a Cauchyho. Naopak, topologická revolúcia 20. storočia bola do dvadsiatich rokov vďaka veľkému počtu jej účastníkov. Zároveň vznikla veľká generácia sebavedomých mladých matematikov, ktorí zrazu zostali bez práce vo svojej historickej domovine.

V sedemdesiatych rokoch sa vrhli do priľahlých odborov matematiky a teoretickej fyziky. Mnohí si vytvorili vlastné vedecké školy na desiatkach univerzít v Európe a Amerike. Medzi týmito centrami stále cirkuluje veľa študentov rôzneho veku a národností, s rôznymi schopnosťami a sklonmi a každý sa chce presláviť nejakým objavom. Bolo to v tomto pandemóniu, kde sa Mordellov domnienka a Fermatova veta konečne dokázali.

Prvá lastovička, netušiaca o svojom osude, však vyrástla v Japonsku v hladných a nezamestnaných povojnových rokoch. Meno lastovičky bolo Yutaka Taniyama. V roku 1955 mal tento hrdina 28 rokov a rozhodol sa (spolu s priateľmi Gorom Shimurom a Takauji Tamagawa) oživiť matematický výskum v Japonsku. kde začať? Samozrejme, s prekonanou izoláciou od zahraničných kolegov! V roku 1955 teda traja mladí Japonci usporiadali v Tokiu prvú medzinárodnú konferenciu o algebre a teórii čísel. Zrejme to bolo jednoduchšie urobiť v Japonsku prevychovaných Američanmi ako v Rusku zmrazenom Stalinom...

Medzi čestnými hosťami boli dvaja hrdinovia z Francúzska: Andre Weil a Jean-Pierre Serre. Tu mali Japonci veľké šťastie: Weil bol uznávaným šéfom francúzskych algebraistov a členom Bourbakiho skupiny a mladý Serre hral podobnú úlohu medzi topológmi. Japonskej mládeži v búrlivých diskusiách s nimi praskali hlavy, roztápali sa im mozgy, no nakoniec sa vykryštalizovali také nápady a plány, ktoré sa v inom prostredí len ťažko mohli zrodiť.

Jedného dňa Taniyama oslovil Weila s otázkou o eliptických krivkách a modulárnych funkciách. Francúz spočiatku ničomu nerozumel: Taniyama nebol majstrom angličtiny. Potom sa vyjasnila podstata veci, ale Taniyama nedokázal dať svojim nádejam presnú formuláciu. Weil mohol mladému Japoncovi odpovedať len to, že ak bude mať veľké šťastie v oblasti inšpirácie, potom z jeho nejasných hypotéz vyrastie niečo rozumné. Ale zatiaľ čo nádej na to je slabá!

Weil si zjavne nevšimol nebeský oheň v Taniyamovom pohľade. A bol oheň: zdá sa, že na chvíľu sa do Japoncov preniesla neodbytná myšlienka zosnulého Poincarého! Taniyama dospel k presvedčeniu, že každá eliptická krivka je generovaná modulárnymi funkciami – presnejšie povedané, je „uniformizovaná modulárnou formou“. Bohužiaľ, toto presné znenie sa zrodilo oveľa neskôr - v rozhovoroch Taniyamu s jeho priateľom Shimurom. A potom Taniyama spáchal samovraždu v návale depresie... Jeho hypotéza zostala bez majiteľa: nebolo jasné, ako ju dokázať, ani kde ju otestovať, a preto ju dlho nikto nebral vážne. Prvá odozva prišla až o tridsať rokov neskôr – takmer ako za Fermatovej éry!

Ľady sa prelomili v roku 1983, keď dvadsaťsedemročný Nemec Gerd Faltings celému svetu oznámil: Mordellova hypotéza bola dokázaná! Matematici boli na pozore, ale Faltings bol skutočný Nemec: v jeho dlhom a komplikovanom dôkaze neboli žiadne medzery. Len prišiel čas, nahromadili sa fakty a pojmy – a teraz sa jednému talentovanému algebraistovi, opierajúcemu sa o výsledky desiatich ďalších algebraistov, podarilo vyriešiť problém, ktorý na majstra čakal šesťdesiat rokov. V matematike 20. storočia to nie je nezvyčajné. Stojí za to pripomenúť problém sekulárneho kontinua v teórii množín, Burnsideove dve domnienky v teórii grúp alebo Poincarého domnienky v topológii. Nakoniec, v teórii čísel, nadišiel čas na zber starých plodín... Ktorý vrchol bude ďalším zo série dobytých matematikov? Zrúti sa Eulerov problém, Riemannova hypotéza alebo Fermatova veta? Je to dobré!

A teraz, dva roky po odhalení Faltingsa, sa v Nemecku objavil ďalší inšpirovaný matematik. Volal sa Gerhard Frey a tvrdil niečo zvláštne: že Fermatova veta je ODVODENÁ z Taniyamovej domnienky! Freyov štýl vyjadrovania myšlienok, žiaľ, viac pripomínal nešťastného Taniyamu ako jeho jasného krajana Faltingsa. V Nemecku Freyovi nikto nerozumel a odišiel do zámoria - do honosného mesta Princeton, kde si po Einsteinovi zvykli na nie takých návštevníkov. Niet divu, že si tam hniezdo urobil Barry Mazur, všestranný topológ, jeden z hrdinov nedávneho útoku na hladké rozvody. A vedľa Mazura vyrástol študent – ​​Ken Ribet, rovnako skúsený v spletitosti topológie a algebry, no stále sa nijako neoslavuje.

Keď prvýkrát počul Freyove prejavy, Ribet usúdil, že ide o nezmysel a takmer sci-fi (pravdepodobne Weil reagoval na Taniyamove odhalenia rovnakým spôsobom). Ribet však na túto „fantáziu“ nedokázal zabudnúť a občas sa k nej mentálne vracal. O šesť mesiacov neskôr Ribet veril, že vo Freyových fantáziách je niečo rozumné a o rok neskôr sa rozhodol, že on sám dokáže Freyovu zvláštnu hypotézu takmer dokázať. Niektoré „diery“ však zostali a Ribet sa rozhodol vyspovedať svojho šéfa Mazura. Pozorne počúval študenta a pokojne odpovedal: „Áno, urobili ste všetko! Tu musíte použiť transformáciu Ф, tu - použite Lemmy B a K a všetko bude mať dokonalú formu! Ribet teda urobil skok z temnoty do nesmrteľnosti pomocou katapultu v osobe Freya a Mazura. Spravodlivo, všetky z nich - spolu s neskorým Taniyamom - by sa mali považovať za dôkazy Fermatovej poslednej vety.

Ale tu je problém: odvodili svoje tvrdenie z hypotézy Taniyama, ktorá sama osebe nebola dokázaná! Čo ak je neverná? Matematici už dávno vedia, že „čokoľvek vyplýva z klamstva“, ak je Taniyamov odhad nesprávny, potom je Ribetova bezchybná úvaha bezcenná! Naliehavo potrebujeme dokázať (alebo vyvrátiť) Taniyamovu domnienku – inak niekto ako Faltings dokáže Fermatovu vetu iným spôsobom. Stane sa hrdinom!

Je nepravdepodobné, že sa niekedy dozvieme, koľko mladých či skúsených algebraistov skočilo na Fermatovu vetu po úspechu Faltingsa alebo po víťazstve Ribeta v roku 1986. Všetci sa snažili pracovať v tajnosti, aby sa v prípade neúspechu nezaradili do komunity „dummy“-fermatistov. Je známe, že najúspešnejší zo všetkých - Andrew Wiles z Cambridge - pocítil chuť víťazstva až začiatkom roku 1993. To Wilesa ani tak nepotešilo, ako skôr vystrašilo: čo ak jeho dôkaz o Taniyamovej domnienke ukázal chybu alebo medzeru? Potom jeho vedecká povesť zanikla! Dôkaz si treba starostlivo zapísať (bude to však veľa desiatok strán!) a odložiť o šesť mesiacov či rok, aby ste si ho neskôr mohli chladnokrvne a pedantne prečítať... Ale čo ak niekto zverejní svoj dôkaz počas tejto doby? Ach problémy...

Napriek tomu Wiles prišiel s dvojitým spôsobom, ako rýchlo otestovať svoj dôkaz. Najprv musíte dôverovať jednému zo svojich spoľahlivých priateľov a kolegov a povedať mu celý priebeh uvažovania. Zvonku sú všetky chyby viditeľnejšie! Po druhé, je potrebné prečítať si špeciálny kurz na túto tému pre šikovných študentov a absolventov: týmto šikovným ľuďom neunikne ani jedna lektorská chyba! Len im do poslednej chvíle nehovorte konečný cieľ kurzu – inak sa o tom dozvie celý svet! A samozrejme, musíte hľadať také publikum mimo Cambridge - je to lepšie ani nie v Anglicku, ale v Amerike ... Čo môže byť lepšie ako vzdialený Princeton?

Wiles tam išiel na jar 1993. Jeho trpezlivý priateľ Niklas Katz po vypočutí dlhej Wilesovej správy v nej našiel množstvo medzier, no všetky sa dali ľahko opraviť. Postgraduálni študenti z Princetonu však čoskoro utiekli z Wilesovho špeciálneho kurzu, pretože nechceli nasledovať rozmarné myšlienky lektora, ktorý ich vedie nikto nevie kam. Po takejto (nie zvlášť hlbokej) recenzii svojho diela sa Wiles rozhodol, že je čas odhaliť svetu veľký zázrak.

V júni 1993 sa v Cambridge konala ďalšia konferencia venovaná „teórii Iwasawa“ – populárnej sekcii teórie čísel. Wiles sa rozhodol povedať svoj dôkaz o Taniyamovej domnienke bez toho, aby oznámil hlavný výsledok až do úplného konca. Reportáž pokračovala dlho, no úspešne, postupne sa začali hrnúť novinári, ktorí niečo tušili. Nakoniec udrel hrom: Fermatova veta je dokázaná! Všeobecnú radosť nezatienili žiadne pochybnosti: všetko sa zdá byť jasné... Ale o dva mesiace neskôr si Katz po prečítaní posledného textu Wilesa všimol ďalšiu medzeru. Istý prechod v uvažovaní sa opieral o „Eulerov systém“ – ale to, čo Wiles vybudoval, taký systém nebol!

Wiles skontroloval úzke hrdlo a uvedomil si, že sa tu mýlil. Ešte horšie: nie je jasné, ako nahradiť chybnú úvahu! Nasledovali najtemnejšie mesiace Wilesovho života. Predtým voľne syntetizoval bezprecedentný dôkaz z materiálu, ktorý mal po ruke. Teraz je viazaný na úzku a jasnú úlohu – bez istoty, že má riešenie a že sa mu ho v dohľadnej dobe podarí nájsť. Nedávno Frey neodolal rovnakému boju - a teraz bolo jeho meno zakryté menom šťastného Ribeta, hoci sa Freyov odhad ukázal ako správny. A čo sa stane s MOJIM hádam a MOJIM menom?

Táto tvrdá práca trvala presne jeden rok. V septembri 1994 bol Wiles pripravený priznať porážku a prenechať hypotézu Taniyama šťastnejším nástupcom. Po takomto rozhodnutí začal pomaly znovu čítať svoj dôkaz - od začiatku do konca, počúval rytmus uvažovania, znovu prežíval potešenie z úspešných objavov. Po dosiahnutí „prekliateho“ miesta však Wiles v duchu nepočul falošnú poznámku. Bol priebeh jeho uvažovania stále bezchybný a chyba vznikla len pri SLOVENSOM opise mentálneho obrazu? Ak tu nie je „Eulerov systém“, čo sa tu skrýva?

Zrazu ma napadla jednoduchá myšlienka: „Eulerov systém“ nefunguje tam, kde je použiteľná teória Iwasawa. Prečo túto teóriu neaplikovať priamo – našťastie je blízka a známa aj samotnému Wilesovi? A prečo tento prístup neskúsil od samého začiatku, ale nechal sa unášať cudzou víziou problému? Wiles si už na tieto detaily nepamätal – a stalo sa to zbytočné. Vykonal potrebné úvahy v rámci teórie Iwasawa a všetko sa ukázalo za pol hodiny! Tak sa – s oneskorením jedného roka – uzavrela posledná medzera v dôkaze Taniyamovej domnienky. Finálny text dostal na milosť skupina recenzentov najslávnejšieho matematického časopisu, o rok neskôr vyhlásili, že teraz nie sú žiadne chyby. V roku 1995 teda posledná Fermatova domnienka zomrela vo veku tristošesťdesiat rokov a zmenila sa na osvedčenú vetu, ktorá sa nevyhnutne dostane do učebníc teórie čísel.

Keď zhrnieme tristoročné rozruch okolo Fermatovej vety, musíme vyvodiť zvláštny záver: tento hrdinský epos sa nemohol stať! V skutočnosti Pytagorova veta vyjadruje jednoduché a dôležité spojenie medzi vizuálnymi prírodnými objektmi – dĺžkami segmentov. To isté sa však nedá povedať o Fermatovej vete. Vyzerá to skôr ako kultúrna nadstavba na vedeckom substráte – ako dosiahnutie severného pólu Zeme alebo let na Mesiac. Pripomeňme si, že oba tieto výkony spievali spisovatelia dávno predtým, ako boli dosiahnuté - v dávnych dobách, po objavení sa Euklidových „Elementov“, ale pred objavením sa Diophantusovej „Aritmetiky“. Takže potom tu bola verejná potreba intelektuálnych vykorisťovaní tohto druhu – aspoň imaginárneho! Predtým mali Heléni dosť Homérových básní, tak ako sto rokov pred Fermatom mali Francúzi dosť náboženských vášní. Potom však náboženské vášne opadli – a vedľa nich stála veda.

V Rusku sa takéto procesy začali pred stopäťdesiatimi rokmi, keď Turgenev postavil Jevgenija Bazarova na roveň Jevgenija Onegina. Je pravda, že spisovateľ Turgenev zle pochopil motívy konania vedca Bazarova a neodvážil sa ich spievať, ale čoskoro to urobili vedec Ivan Sechenov a osvietený novinár Jules Verne. Spontánna vedecká a technologická revolúcia potrebuje kultúrnu škrupinu, aby prenikla do mysle väčšiny ľudí, a tu prichádza najskôr sci-fi a potom populárno-vedecká literatúra (vrátane časopisu „Knowledge is Power“).

Konkrétna vedecká téma zároveň nie je pre širokú verejnosť vôbec dôležitá a nie je veľmi dôležitá ani pre hrdinov-interpretov. Keď Amundsen počul o dosiahnutí severného pólu Pearym a Cookom, okamžite zmenil cieľ svojej už pripravenej expedície - a čoskoro dosiahol južný pól pred Scottom o mesiac. Neskôr úspešný oboplávanie Zeme Jurijom Gagarinom prinútil prezidenta Kennedyho zmeniť bývalý cieľ amerického vesmírneho programu na drahší, ale oveľa pôsobivejší: pristátie ľudí na Mesiaci.

Už dávnejšie odpovedal bystrý Hilbert na naivnú otázku študentov: „Riešenie akého vedeckého problému by bolo teraz najužitočnejšie“? - odpovedal vtipom: "Chyťte muchu na odvrátenej strane Mesiaca!" Na zmätenú otázku: "Prečo je to potrebné?" - nasleduje jasná odpoveď: „TOTO nikto nepotrebuje! Myslite však na vedecké metódy a technické prostriedky, ktoré budeme musieť vyvinúť, aby sme takýto problém vyriešili – a koľko ďalších krásnych problémov popri tom vyriešime!

Presne to sa stalo s Fermatovou vetou. Euler to mohol prehliadnuť.

V tomto prípade by sa modlou matematikov stal nejaký iný problém – možno aj z teórie čísel. Napríklad problém Eratosthenes: existuje konečná alebo nekonečná množina dvojčiat (napríklad 11 a 13, 17 a 19 atď.)? Alebo Eulerov problém: je každé párne číslo súčtom dvoch prvočísel? Alebo: existuje algebraický vzťah medzi číslami π a e? Tieto tri problémy ešte neboli vyriešené, hoci v 20. storočí sa matematici priblížili k pochopeniu ich podstaty. Ale toto storočie dalo vzniknúť aj mnohým novým, nemenej zaujímavým problémom, najmä na priesečníku matematiky s fyzikou a inými odvetviami prírodných vied.

V roku 1900 Hilbert vybral jeden z nich: vytvoriť úplný systém axióm matematickej fyziky! O sto rokov neskôr nie je tento problém ani zďaleka vyriešený, už len preto, že arzenál matematických fyzikálnych prostriedkov neustále rastie a nie všetky majú rigorózne opodstatnenie. Ale po roku 1970 sa teoretická fyzika rozdelila na dve vetvy. Jeden (klasický) už od čias Newtona modeluje a predpovedá STABILNÉ procesy, druhý (novorodenecký) sa snaží formalizovať interakciu NESTABNÝCH procesov a spôsobov ich riadenia. Je jasné, že tieto dve odvetvia fyziky musia byť axiomatizované oddelene.

Prvým z nich sa pravdepodobne bude zaoberať o dvadsať alebo päťdesiat rokov ...

A čo chýba druhej vetve fyziky – tej, ktorá má na starosti všetky druhy evolúcie (vrátane cudzokrajných fraktálov a podivných atraktorov, ekológie biocenóz a Gumilyovovej teórie vášne)? Toto pravdepodobne čoskoro nepochopíme. Ale uctievanie vedcov k novej modle sa už stalo masovým fenoménom. Pravdepodobne sa tu rozvinie epos, porovnateľný s trojstoročným životopisom Fermatovej vety. Na priesečníku rôznych vied sa teda rodia nové idoly - podobné náboženským, ale zložitejšie a dynamickejšie ...

Človek zrejme nemôže zostať človekom bez toho, aby z času na čas nezvrhol staré idoly a nevytváral nové – v bolestiach i s radosťou! Pierre Fermat mal to šťastie, že bol v osudnej chvíli blízko horúceho miesta zrodu nového idolu – a podarilo sa mu zanechať na novorodencovi odtlačok svojej osobnosti. Takýto osud možno závidieť a nie je hriechom ho napodobňovať.

Sergej Smirnov
"Poznanie je moc"

Na svete nie je veľa ľudí, ktorí o tom nikdy nepočuli Fermatova posledná veta- možno je to jediný matematický problém, ktorý si získal takú veľkú popularitu a stal sa skutočnou legendou. Spomína sa v mnohých knihách a filmoch, pričom hlavný kontext takmer všetkých zmienok je nemožnosť dokázať vetu.

Áno, táto veta je veľmi slávna a v istom zmysle sa stala „modlou“, ktorú uctievajú amatérski a profesionálni matematici, ale len málo ľudí vie, že jej dôkaz bol nájdený, a to sa stalo už v roku 1995. Ale najprv to.

Takže Fermatova posledná veta (často označovaná ako Fermatova posledná veta), ktorú v roku 1637 sformuloval vynikajúci francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchý a zrozumiteľný každému človeku so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a n + b n \u003d c n nemá žiadne prirodzené (to znamená nezlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné, ale najlepší matematici a jednoduchí amatéri sa snažia nájsť riešenie už viac ako tri a pol storočia.

Sám Fermat tvrdil, že odvodil veľmi jednoduchý a výstižný dôkaz svojej teórie, no doteraz sa nenašli žiadne listinné dôkazy o tejto skutočnosti. Preto sa teraz verí, že Fermat nikdy nebol schopný nájsť všeobecné riešenie svojej vety., hoci napísal čiastočný dôkaz pre n = 4.

Po Fermatovi prišli také skvelé hlavy ako Leonhard Euler(v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3), Adrien Legendre a Johann Dirichlet(títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Kulhavý(ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnoho ďalších. V polovici 80. rokov minulého storočia sa ukázalo, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu

Fermatova posledná veta, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Fermatovej poslednej vety sa takmer skončila.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles prezentované svetu dôkaz poslednej Fermatovej vety na ktorom sa pracuje viac ako sedem rokov. Ukázalo sa však, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je to pravda. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise Annals of Mathematics. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola urobená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor o neriešiteľnosti Fermatovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách! Preto sa teraz sily toľkých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú na hľadanie jednoduchého a výstižného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...

Grigorij Perelman. Refusenik

Vasilij Maksimov

V auguste 2006 boli oznámené mená najlepších svetových matematikov, ktorí dostali najprestížnejšiu Fieldsovu medailu - akúsi obdobu Nobelovej ceny, o ktorú boli matematici z rozmaru Alfreda Nobela zbavení. Fieldsovu medailu – okrem čestného odznaku udeľuje laureátom aj šek na pätnásťtisíc kanadských dolárov – udeľuje Medzinárodný kongres matematikov každé štyri roky. Založil ho kanadský vedec John Charles Fields a prvýkrát bol ocenený v roku 1936. Od roku 1950 Fieldsovu medailu pravidelne osobne udeľuje španielsky kráľ za prínos k rozvoju matematickej vedy. Laureátmi ceny sa môžu stať jeden až štyria vedci do štyridsať rokov. Cenu si už prevzalo 44 matematikov, z toho osem Rusov.

Grigorij Perelman. Henri Poincare.

V roku 2006 sa laureátmi stali Francúz Wendelin Werner, Austrálčan Terence Tao a dvaja Rusi Andrey Okounkov pôsobiaci v USA a vedec Grigorij Perelman z Petrohradu. Na poslednú chvíľu však vyšlo najavo, že Perelman toto prestížne ocenenie odmietol – ako organizátori oznámili, „z principiálnych dôvodov“.

Takýto extravagantný čin ruského matematika neprekvapil ľudí, ktorí ho poznali. Nie je to prvýkrát, čo odmieta matematické ocenenia, svoje rozhodnutie vysvetľuje tým, že nemá rád slávnostné udalosti a prílišný humbuk okolo svojho mena. Pred desiatimi rokmi, v roku 1996, Perelman odmietol cenu Európskeho matematického kongresu s odvolaním sa na skutočnosť, že nedokončil prácu na vedeckom probléme nominovanom na ocenenie a nebol to posledný prípad. Zdá sa, že ruský matematik si dal za svoj životný cieľ prekvapiť ľudí, čím ide proti verejnej mienke a vedeckej komunite.

Grigorij Jakovlevič Perelman sa narodil 13. júna 1966 v Leningrade. Od mladosti mal rád exaktné vedy, brilantne vyštudoval slávnu 239. strednú školu s hĺbkovým štúdiom matematiky, vyhral početné matematické súťaže: napríklad v roku 1982 ako súčasť tímu sovietskych školákov sa zúčastnil Medzinárodnej matematickej olympiády, ktorá sa konala v Budapešti. Perelman bez skúšok bol zapísaný na katedru mechaniky a matematiky Leningradskej univerzity, kde študoval „vynikajúco“ a naďalej vyhrával v matematických súťažiach na všetkých úrovniach. Po absolvovaní univerzity s vyznamenaním nastúpil na postgraduálnu školu na petrohradskom oddelení Steklovho matematického inštitútu. Jeho vedúcim bol slávny matematik akademik Aleksandrov. Grigorij Perelman po obhajobe dizertačnej práce zostal na ústave v laboratóriu geometrie a topológie. Známy svojou prácou na teórii Alexandrovových priestorov, dokázal nájsť dôkazy pre množstvo dôležitých hypotéz. Napriek početným ponukám od popredných západných univerzít Perelman uprednostňuje prácu v Rusku.

Jeho najznámejším úspechom bolo v roku 2002 riešenie slávneho Poincareho dohadu, ktorý bol publikovaný v roku 1904 a odvtedy zostal nepreukázaný. Perelman na ňom pracoval osem rokov. Poincarého hypotéza bola považovaná za jednu z najväčších matematických záhad a jej riešenie sa považovalo za najdôležitejší úspech v matematickej vede: okamžite by posunula štúdium problémov fyzikálnych a matematických základov vesmíru. Najbystrejšie mysle planéty predpovedali jeho riešenie až o niekoľko desaťročí a Clay Institute of Mathematics v Cambridge, Massachusetts, urobil z Poincareho problému jeden zo siedmich najzaujímavejších nevyriešených matematických problémov tisícročia, z ktorých každý mal sľúbený milión dolárová cena (Problémy s miléniovou cenou) .

Hypotéza (niekedy nazývaná problém) francúzskeho matematika Henriho Poincarého (1854–1912) je formulovaná nasledovne: každý uzavretý, jednoducho prepojený trojrozmerný priestor je homeomorfný s trojrozmernou sférou. Pre objasnenie sa používa dobrý príklad: ak omotáte jablko gumičkou, potom v zásade stiahnutím pásky k sebe môžete jablko stlačiť do špice. Ak zabalíte šišku tou istou páskou, nemôžete ju stlačiť do bodu bez toho, aby ste šišku alebo gumu neroztrhli. V tejto súvislosti sa jablko nazýva „jednorazovo spojená“ figúrka, ale šiška nie je jednoducho spojená. Takmer pred sto rokmi Poincaré zistil, že dvojrozmerná sféra je jednoducho spojená a navrhol, že trojrozmerná sféra je tiež jednoducho spojená. Najlepší matematici na svete nedokázali túto domnienku dokázať.

Na to, aby sa Perelman kvalifikoval na cenu Clay Institute, stačilo publikovať svoje riešenie v jednom z vedeckých časopisov, a ak do dvoch rokov nikto nenájde chybu v jeho výpočtoch, riešenie bude považované za správne. Perelman sa však už od začiatku odchýlil od pravidiel, svoje riešenie zverejnil na predtlačovej stránke vedeckého laboratória Los Alamos. Možno sa bál, že sa mu do výpočtov vkradla chyba – podobný príbeh sa už stal v matematike. Anglický matematik Andrew Wiles v roku 1994 navrhol riešenie slávnej Fermatovej vety a o pár mesiacov neskôr sa ukázalo, že do jeho výpočtov sa vkradla chyba (aj keď bola neskôr opravená a senzácia sa predsa len konala). Dodnes nie je oficiálne zverejnený dôkaz o Poincareho dohadu – existuje však smerodajný názor najlepších matematikov planéty, potvrdzujúci správnosť Perelmanových výpočtov.

Fieldsovu medailu dostal Grigory Perelman práve za vyriešenie problému Poincarého. Ruský vedec však odmietol cenu, ktorú si nepochybne zaslúži. "Grigory mi povedal, že sa cíti izolovaný od medzinárodnej matematickej komunity, mimo tejto komunity, a preto nechce dostať ocenenie," povedal John Ball, prezident Svetovej únie matematikov (WCM), na tlačovej konferencii v r. Madrid.

Hovorí sa, že Grigory Perelman úplne opustí vedu: pred šiestimi mesiacmi opustil svoj rodný Steklov matematický inštitút a hovoria, že už nebude robiť matematiku. Možno sa ruský vedec domnieva, že preukázaním slávnej hypotézy urobil pre vedu všetko, čo mohol. Ale kto sa podujme hovoriť o myšlienkovom postupe takého bystrého vedca a mimoriadneho človeka? .. Perelman odmieta akékoľvek komentáre a denníku The Daily Telegraph povedal: „Nič, čo môžem povedať, nie je v najmenšom záujme verejnosti.“ Popredné vedecké publikácie však boli vo svojich hodnoteniach jednomyseľné, keď uviedli, že "Grigory Perelman, ktorý vyriešil Poincareho vetu, stál na rovnakej úrovni ako najväčší géniovia minulosti a súčasnosti."

Mesačník literárny a publicistický časopis a vydavateľstvo.

Pred mnohými rokmi som dostal list z Taškentu od Valeryho Muratova, súdiac podľa rukopisu, muža v mladom veku, ktorý vtedy býval na Kommunisticheskaya ulici v dome číslo 31. Chlapík bol odhodlaný: „Priamo k veci. zaplatíš mi za dokázanie Fermatovej vety? vyhovuje aspoň 500 rubľov. Inokedy by som ti to dokázal zadarmo, ale teraz potrebujem peniaze...“

Úžasný paradox: málokto vie, kto je Fermat, kedy žil a čo robil. Ešte menej ľudí môže dokonca opísať jeho veľkú vetu v najvšeobecnejších pojmoch. Ale každý vie, že existuje akási Fermatova veta, nad dôkazom ktorej sa matematici celého sveta naťahujú už viac ako 300 rokov, no nevedia to dokázať!

Existuje veľa ambicióznych ľudí a samotné vedomie, že existuje niečo, čo iní nedokážu, ešte viac podnecuje ich ambície. Preto tisíce (!) dôkazov Veľkej vety prišli a prišli do akadémií, vedeckých ústavov a dokonca aj redakcií novín po celom svete – bezprecedentný a nikdy neprekonaný rekord pseudovedeckého amatérskeho výkonu. Existuje dokonca pojem: „fermatisti“, teda ľudia posadnutí túžbou dokázať Veľkú vetu, ktorí profesionálnych matematikov úplne vyčerpali požiadavkami na hodnotenie ich práce. Slávny nemecký matematik Edmund Landau dokonca pripravil štandard, podľa ktorého odpovedal: „Vo vašom dôkaze Fermatovej vety je chyba na stránke...“ a jeho absolventi zapísali číslo strany. A v lete 1994 noviny po celom svete hlásia niečo úplne senzačné: Veľká veta je dokázaná!

Kto je teda Fermat, aká je podstata problému a skutočne sa vyriešil? Pierre Fermat sa narodil v roku 1601 v rodine garbiara, bohatého a váženého muža – pôsobil ako druhý konzul v rodnom meste Beaumont – to je niečo ako asistent starostu. Pierre študoval najprv u františkánskych mníchov, potom na Právnickej fakulte v Toulouse, kde potom vykonával advokáciu. Fermatov okruh záujmov však ďaleko presahoval rámec judikatúry. Zaujímal sa najmä o klasickú filológiu, známe sú jeho komentáre k textom antických autorov. A druhou vášňou je matematika.

V 17. storočí, ako aj o mnoho rokov neskôr, neexistovala taká profesia: matematik. Preto boli všetci veľkí matematici tej doby matematici „na čiastočný úväzok“: René Descartes slúžil v armáde, Francois Viet bol právnik, Francesco Cavalieri bol mních. Vtedy neexistovali vedecké časopisy a klasik vedy Pierre Fermat počas svojho života nepublikoval ani jednu vedeckú prácu. Bol tam dosť úzky okruh „amatérov“, ktorí pre nich riešili rôzne zaujímavé problémy a písali si o tom listy, niekedy sa hádali (ako Fermat s Descartom), ale v podstate zostali rovnako zmýšľajúci. Stali sa zakladateľmi novej matematiky, rozsievačmi brilantných semien, z ktorých začal vyrastať mohutný strom moderného matematického poznania, naberal silu a vetvil sa.

Fermat bol teda rovnaký „amatér“. V Toulouse, kde žil 34 rokov, ho všetci poznali predovšetkým ako poradcu vyšetrovacej komory a skúseného právnika. Ako 30-ročný sa oženil, mal troch synov a dve dcéry, občas chodieval na služobné cesty a pri jednej z nich náhle vo veku 63 rokov zomrel. Všetky! Život tohto muža, súčasníka Troch mušketierov, je prekvapivo jednotvárny a bez dobrodružstva. Dobrodružstvá sa stali súčasťou jeho Veľkej vety. Nebudeme hovoriť o celom Fermatovom matematickom dedičstve a ťažko sa o ňom hovorí ľudovo. Vezmite si moje slovo: toto dedičstvo je skvelé a rozmanité. Tvrdenie, že Veľká veta je vrcholom jeho práce, je veľmi diskutabilné. Len osud Veľkej vety je prekvapivo zaujímavý a obrovský svet ľudí nezasvätených do tajomstiev matematiky sa vždy zaujímal nie o samotnú vetu, ale o všetko okolo nej...

Korene celého tohto príbehu treba hľadať v staroveku, tak milovanom Fermatom. Približne v 3. storočí žil v Alexandrii grécky matematik Diophantus, vedec, ktorý myslel originálnym spôsobom, myslel mimo rámca a vyjadroval svoje myšlienky mimo rámca. Z 13 zväzkov jeho Aritmetiky sa k nám dostalo len 6. Práve keď mal Fermat 20 rokov, vyšiel nový preklad jeho diel. Fermat mal veľmi rád Diophanta a tieto spisy boli jeho referenčnou knihou. Na jej poliach Fermat zapísal svoju Veľkú vetu, ktorá vo svojej najjednoduchšej modernej podobe vyzerá takto: rovnica Xn + Yn = Zn nemá riešenie v celých číslach pre n - viac ako 2. (Pre n = 2 je riešenie zrejmé : Z2 + 42 = 52). Na tom istom mieste na margo zväzku Diophantine Fermat dodáva: "Objavil som tento skutočne úžasný dôkaz, ale tieto okraje sú pre neho príliš úzke."

Na prvý pohľad je maličkosť jednoduchá, no keď túto „jednoduchú“ vetu začali dokazovať iní matematici, sto rokov sa to nikomu nepodarilo. Napokon to veľký Leonhard Euler dokázal pre n = 4, potom po 20 (!) rokoch - pre n = 3. A opäť sa práca na dlhé roky zastavila. Ďalšie víťazstvo patrí Nemcovi Petrovi Dirichletovi (1805–1859) a Francúzovi Andrienovi Legendremu (1752–1833), ktorí priznali, že Fermat mal pravdu pre n = 5. Potom to isté urobil Francúz Gabriel Lamet (1795–1870) pre n = 7. Nakoniec, v polovici minulého storočia, Nemec Ernst Kummer (1810-1893) dokázal Veľkú vetu pre všetky hodnoty n menšie alebo rovné 100. Navyše ju dokázal pomocou metód, ktoré mohli neboli známe Fermatovi, čo ešte viac posilnilo závoj tajomstva okolo Veľkej vety.

Ukázalo sa teda, že Fermatovu vetu dokazujú „kúsok po kúsku“, ale nikto to nedokázal „úplne“. Nové pokusy o dôkazy viedli iba ku kvantitatívnemu zvýšeniu hodnôt n. Každý pochopil, že po vynaložení priepasti práce bolo možné dokázať Veľkú vetu pre ľubovoľne veľké číslo n, ale Fermat hovoril o akejkoľvek hodnote z toho viac ako 2! Práve v tomto rozdiele medzi „ľubovoľne veľkým“ a „akýmkoľvek“ sa sústredil celý zmysel problému.

Treba si však uvedomiť, že pokusy dokázať Fermgovu vetu neboli len akousi matematickou hrou, riešením zložitého rébusu. V priebehu týchto dôkazov sa otvorili nové matematické obzory, vznikli a vyriešili sa problémy, ktoré sa stali novými vetvami matematického stromu. Veľký nemecký matematik David Hilbert (1862-1943) uviedol Veľkú vetu ako príklad toho, „aký stimulačný účinok môže mať zvláštny a zdanlivo bezvýznamný problém na vedu“. Ten istý Kummer, pracujúci na Fermatovej vete, sám dokázal vety, ktoré tvorili základ teórie čísel, algebry a teórie funkcií. Dokazovanie Veľkej vety teda nie je šport, ale skutočná veda.

Čas plynul a elektronika prišla na pomoc profesionálnym „fsrmatntom“. Elektronické mozgy nových metód sa nepodarilo vynájsť, ale nabrali rýchlosť. Približne začiatkom 80. rokov bola Fermatova veta dokázaná pomocou počítača pre n menšie alebo rovné 5500. Postupne sa toto číslo zvýšilo na 100 000, ale každý pochopil, že takáto „akumulácia“ je záležitosťou čistej technológie, ktorá dáva nič do mysle alebo srdca. Nemohli zaujať pevnosť Veľkej vety „hlavou“ a začali hľadať kruhové objazdové manévre.

V polovici 80. rokov dokázal mladý matematik G. Filettings takzvanú „Mordellovu domnienku“, ktorú, mimochodom, 61 rokov tiež „nedosiahol“ žiadny z matematikov. Vznikla nádej, že teraz, takpovediac, „útokom z boku“ by sa dala vyriešiť aj Fermatova veta. Vtedy sa však nič nedialo. V roku 1986 navrhol nemecký matematik Gerhard Frei v Essesche novú metódu dôkazu. Nezaväzujem sa to vysvetľovať striktne, ale nie matematickou, ale všeobecne ľudskou rečou, znie to asi takto: ak sme presvedčení, že dôkaz nejakej inej vety je nepriamym, nejakým spôsobom transformovaným dôkazom Fermatovej vety, tak to znie asi takto: potom teda dokážeme Veľkú vetu. O rok neskôr Američan Kenneth Ribet z Berkeley ukázal, že Frey mal pravdu a skutočne, jeden dôkaz by sa dal zredukovať na druhý. Touto cestou sa vydali mnohí matematici po celom svete. Urobili sme veľa, aby sme dokázali Veľkú vetu Viktora Aleksandroviča Kolyvanova. Tristoročné múry nedobytnej pevnosti sa triasli. Matematici si uvedomili, že to nebude trvať dlho.

V lete 1993 sa v starovekom Cambridge na Inštitúte matematických vied Isaaca Newtona zišlo 75 najvýznamnejších svetových matematikov, aby prediskutovali svoje problémy. Bol medzi nimi aj americký profesor Andrew Wiles z Princetonskej univerzity, významný špecialista na teóriu čísel. Každý vedel, že dlhé roky pracoval na Veľkej vete. Wiles predniesol tri prezentácie a na poslednej, 23. júna 1993, na samom konci, keď sa odvrátil od tabule, s úsmevom povedal:

Asi nebudem pokračovať...

Najprv zavládlo mŕtve ticho, potom sa ozval potlesk. Tí, ktorí sedeli v sále, boli dostatočne kvalifikovaní, aby pochopili: Fermatova posledná veta je dokázaná! V každom prípade nikto z prítomných nenašiel žiadne chyby vo vyššie uvedenom dôkaze. Zástupca riaditeľa Newtonovho inštitútu Peter Goddard novinárom povedal:

„Väčšina odborníkov si nemyslela, že to zistia do konca života. Toto je jeden z najväčších úspechov matematiky nášho storočia...

Prešlo niekoľko mesiacov, nenasledovali žiadne pripomienky ani odmietnutia. Pravda, Wiles nezverejnil svoj dôkaz, ale iba poslal takzvané výtlačky svojej práce veľmi úzkemu okruhu svojich kolegov, čo, prirodzene, bráni matematikom komentovať túto vedeckú senzáciu a rozumiem aj akademikovi Ludwigovi Dmitrievičovi Faddeevovi, kto povedal:

- Môžem povedať, že ten pocit nastal, keď som dôkaz videl na vlastné oči.

Faddeev verí, že pravdepodobnosť výhry Wilesa je veľmi vysoká.

„Môj otec, známy odborník na teóriu čísel, si bol napríklad istý, že veta bude dokázaná, ale nie elementárnymi prostriedkami,“ dodal.

Ďalší náš akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bol voči novinkám skeptický a domnieva sa, že dôkaz Veľkej vety vôbec nie je skutočným matematickým problémom. Predseda Rady pre aplikovanú matematiku Maslov má z hľadiska svojich vedeckých záujmov ďaleko od „fermatistov“ a keď hovorí, že kompletné riešenie Veľkej vety má len športový záujem, dá sa to pochopiť. Dovolím si však poznamenať, že pojem relevantnosti v akejkoľvek vede je premenný. Pred 90 rokmi pravdepodobne Rutherfordovi tiež povedali: "No, dobre, dobre, teória rádioaktívneho rozpadu ... No a čo? Aké je to použitie? .."

Práca na dôkaze Veľkej vety už dala matematike veľa a možno dúfať, že dá ešte viac.

„To, čo urobil Wiles, posunie matematikov do iných oblastí,“ povedal Peter Goddard. - Skôr to neuzatvára jeden z myšlienkových smerov, ale vyvoláva nové otázky, ktoré si budú vyžadovať odpoveď ...

Profesor Moskovskej štátnej univerzity Michail Iľjič Zelikin mi súčasnú situáciu vysvetlil takto:

Vo Wilesovej práci nikto nevidí žiadne chyby. Aby sa však táto práca stala vedeckým faktom, je potrebné, aby viacerí renomovaní matematici nezávisle zopakovali tento dôkaz a potvrdili jeho správnosť. Toto je nevyhnutná podmienka pre uznanie Wilesovej práce matematickou komunitou...

Ako dlho to bude trvať?

Túto otázku som položil jednému z našich popredných špecialistov v oblasti teórie čísel, doktorovi fyzikálnych a matematických vied Alexejovi Nikolajevičovi Parshinovi.

Andrew Wiles má pred sebou veľa času...

Faktom je, že 13. septembra 1907 nemecký matematik P. Wolfskel, ktorý bol na rozdiel od drvivej väčšiny matematikov boháčom, odkázal 100 tisíc mariek tomu, kto o ďalších 100 rokov dokáže Veľkú vetu. Začiatkom storočia išli úroky z odkázanej sumy do pokladnice slávnej Getgangentskej univerzity. Tieto peniaze boli použité na pozvanie popredných matematikov na prednášky a vedeckú prácu. V tom čase bol predsedom komisie udeľovania cien David Hilbert, ktorého som už spomínal. Poistné platiť nechcel.

„Našťastie,“ povedal veľký matematik, „zdá sa, že okrem mňa nemáme matematika, ktorý by túto úlohu zvládol, ale nikdy sa neodvážim zabiť hus, ktorá nám znáša zlaté vajcia. “

Do termínu - 2007, ktorý určil Wolfskel, zostáva niekoľko rokov a zdá sa mi, že nad "Hilbertovým kuracím" číha vážne nebezpečenstvo. Ale v skutočnosti to nie je o cene. Je to o zvedavosti myslenia a ľudskej vytrvalosti. Bojovali viac ako tristo rokov, no stále to dokázali!

A ďalej. Pre mňa je na celom tomto príbehu najzaujímavejšie: ako sám Fermat dokázal svoju Veľkú vetu? Veď všetky dnešné matematické triky mu boli neznáme. A dokázal to vôbec? Koniec koncov, existuje verzia, ktorú sa zdalo, že dokázal, ale sám našiel chybu, a preto neposlal dôkazy iným matematikom, ale zabudol prečiarknuť záznam na okraji zväzku Diophantine. Preto sa mi zdá, že dôkaz Veľkej vety sa samozrejme uskutočnil, ale tajomstvo Fermatovej vety zostalo a je nepravdepodobné, že ho niekedy odhalíme ...

Možno sa Fermat vtedy mýlil, ale nemýlil sa, keď napísal: „Možno mi budú potomkovia vďační, že som mu ukázal, že starí ľudia nevedeli všetko, a to môže preniknúť do vedomia tých, ktorí prídu po mne. pochodeň jeho synom...“