В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.
Доступен видеоразбор данного задания:
Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:
а) Поскольку прямая MN параллельна прямой DA , которая принадлежит плоскости DAS , то прямая MN параллельна плоскости DAS . Следовательно, линия пересечения плоскости DAS и сечения KMN будет параллельна прямой MN . Пусть это линия KL . Тогда KMNL — искомое сечение.
Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC . Прямая BC параллельна прямой MN , так как четырехугольник MNCB является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB . AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:
AH — половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:
Тогда имеют место соотношения:
Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB , пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK и ABS . Так как эти углы соответственные при прямых KM , SB и секущей MB , то KM параллельна SB .
Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC ). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN . Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA . Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR . Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR .
Действительно, KL перпендикулярна плоскости OSR , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS ). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS , проведенной к стороне OR . То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN , а значит перпендикулярна этой плоскости.
Ищем стороны треугольника SOR
. Сторону SR
ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH
: . Длину SP
находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH
: . Треугольники SOK
и SPA
подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH
находим 
. Из теоремы косинусов для треугольника POR
находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR
.
Из теоремы косинусов для треугольника SOR
находим 
, тогда из основного тригонометрического тождества находим 
. Тогда площадь треугольника OSR
равна:
С другой стороны эта площадь равна 
, где h
— искомая высота. Откуда находим .
Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS и DK , которые также параллельны. Пусть B 1 M — высота треугольника A 1 B 1 C 1 , а BE — высота треугольника ABC . Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:
Из прямоугольного треугольника B
1 M
A
1 находим по теореме Пифагора 
. Из прямоугольного треугольника B
1 QS
находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE
правильного треугольника ABC
). Треугольники MQT
и PTB
подобны по двум углам (углы PTB
и MTQ
равны как вертикальные, углы TPB
и MQT
равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ
, PB
и секущей PQ
). Их коэффициент подобия равен 
.
Далее из прямоугольного треугольника MBE
находим . Используя доказанное подобие, находим 
. Аналогично, . Следовательно, 
.
1. Отметьте характеристики земной коры красным карандашом, мантии - зелёным, ядра - синим.
2. Подпишите на рисунке 9 внутренние оболочки Земли и укажите, на какой глубине находятся границы между ними.
3. Из чего состоит земная кора? Дополните схему 4.
4. Выберите из списка самые распространённые в земной коре минералы и отметьте их знаком «+»
5. На схеме 5 с помощью стрелок установите соответствие между понятиями и их определениями.
6. Закончите предложения.
Из медленно остывающей на глубине магмы образуются глубинные магматические горные породы.
Из излившейся на земную поверхность лавы образуются излившиеся (вулканические) магматические горные породы.
7. Из списка (каменная соль, мрамор, песок, глина, гранит, известняк, мел, базальт, гипс) выберите:
а) глубинную магматическую горную породу:
гранит;
б) излившуюся (вулканическую) горную породу:
базальт.
8. Как различаются осадочные горные породы по происхождению? Дополните схему 6.
9. Из списка (гнейс, гранит, мрамор, песок, базальт, гипс, торф) выберите:
а) осадочную обломочную горную породу:
песок;
б) осадочную породу химического происхождения:
гипс;
в) осадочную породу органического происхождения:
торф.
10. Подчеркните название самой распространённой в земной коре метаморфической горной породы.
Песок, гравий, базальт, мел, мрамор, гранит, гнейс, уголь, каменная соль, гипс.
11. Заполните таблицу 5, выбрав из списка горные породы соответствующего происхождения: торф, гнейс, гранит, песчаник, уголь, гравий, базальт, щебень, мел, соли, песок, мрамор, известняк, гипс, галька, глина.
12. Как одни горные породы преобразуются в другие? Дополните схему 7.
13. Отметьте характеристики континентальной земной коры красным карандашом, океанической - синим.
14. На рисунке 10 обозначены виды земной коры (цифрами 1-2); слои земной коры обоих видов (цифрами 3-7); толщина земной коры (цифрами 8-10).
Определите и запишите, что обозначено каждой цифрой.
1. Океаническая земная кора.
2. Материковая земная кора.
3. Осадочный слой материковой земной коры.
4. Гранитный слой материковой земной коры.
5. Базальтовый слой материковой земной коры.
6. Базальтовый слой океанической земной коры.
7. Осадочный слой океанической земной коры.
8. Толщина океанической земной коры, составляющая 0,5-12 км.
9. Толщина материковой земной коры, составляющая 35-40 км.
10. Толщина литосферы, составляющая под океанами 50 км, на материках -200 км.
11. Толщина материковой земной коры под горами, составляющая 75 км.
15. Закончите предложение.
Литосфера - твёрдая оболочка Земли, состоящая из земной коры и верхней части мантии.
16. Отметьте знаком «+» характеристики литосферы.
17. Закончите предложение.
Литосфера не монолитна, а разбита разломами на отдельные блоки, которые называются литосферными плитами.
18. Пользуясь рисунком 44 учебника, определите, какие семь самых больших литосферных плит Земли изображены на рисунке 11 цифрами 1-7. Обведите красным карандашом границы их раздвижения, а синим - столкновения.
1. Южно-Американская.
2. Африканская.
3. Евроазиатская.
4. Северо-Американская.
5. Тихоокеанская.
6. Индо-Австралийская
7. Антарктическая.
19. Закончите предложение.
Совокупность всех неровностей поверхности суши и дна морей и океанов называется рельефом.
20. Заполните таблицу 6.
21. Отметьте выпуклые формы рельефа красным карандашом, вогнутые - синим.
22. Как формы рельефа разделяют по размерам? Заполните таблицу 7.
23. Рассмотрите рисунок 12.
24. На схеме 8 с помощью стрелок установите соответствие между понятиями и их определениями.
25. На схеме 9 с помощью стрелок установите соответствие между абсолютными высотами и цветами послойной окраски. Раскрасьте рисунок соответствующими цветами.
26. Рассмотрите фрагмент карты на рисунке 13.
а) Закончите предложения.
Показанные на карте линии называются горизонталями. С помощью этих линий изображают рельеф местности.
б) Выпуклая или вогнутая форма рельефа изображена на карте?
Выпуклая.
в) Раскрасьте изображённую форму рельефа, применяя послойную окраску.
27. Заполните таблицу 8, выбрав из списка (материки, равнины суши и дна океанов, овраги, холмы, горные хребты, кочки, балки, межгорные впадины, впадины океанов) формы рельефа, созданные внутренними или внешними силами, действующими на Земле.
28. На какие виды в зависимости от направления разделяют медленные движения земной коры? Дополните схему 10.
29. На рисунке 14, а показано положение полуострова Индостан 70 млн лет назад, на рисунке 14, б - в настоящее время. Остров передвигался к берегам Евразии вместе с литосферной плитой со средней скоростью 9 см в год. Какова длина пройденного Индостаном пути?
Длина пути полуострова Индостан составляет
30. Рассмотрите рисунок 15 (а и б) и закончите предложения.
а) Горы на рисунке 15, а возникают в местах столкновения литосферных плит, а горы на рисунке 15, б - в местах их расхождения.
б) Горы на рисунке 15, а располагаются на суше и состоят из смятых в складки горных пород.
в) Горы на рисунке 15, б располагаются на дне океанов и состоят из магматических горных пород.
31. На плане (рис. 16) изображён рельеф приморской территории. Закрасьте голубым цветом часть местности, которую затопит море, если земная кора опустится на 6 м.
Землетрясения - это быстрые колебания земной коры, вызванные подземными толчками.
33. Перечислите виды залегания горных пород, изображённые на рисунке 17.
1. Смятие в складки
2. Сброс
3. Горст
4. Грабен
34. На схеме 11 с помощью стрелок установите соответствие между понятиями и их определениями.
35. Подпишите на рисунке 18 очаг и эпицентр землетрясения.
36. Почему районы часто повторяющихся землетрясений располагаются на Земле поясами?
Эти пояса – зоны столкновения литосферных плит.
37. Подпишите на рисунке 19 названия частей вулкана и вулканических выбросов (веществ).
38. На рисунке 20 представлены два типа извержений вулканов. Опишите их.
а) вулкан трещинного типа.
б) вулкан кратерного типа.
39. Почему горообразование, вулканизм и землетрясения происходят в одних и тех же районах?
Это границы столкновения литосферных плит.
40. Пользуясь текстом учебника и физической картой мира, приведите примеры крупных вулканов:
а) Средиземноморского пояса: Везувий, Этна, Эльбрус, Казбек, Арарат, Стромболи.
б) Тихоокеанского пояса: Ключевская Сопка, Фудзияма, Попокатепетль, Орисаба, Льюльяйльяко, Котопахи, Сан-Педро.
41. Под воздействием каких внутренних и внешних сил формируется рельеф Земли? Заполните таблицу 9.
42. Отметьте характеристики внутренних сил красным карандашом, внешних - синим.
43. Какие виды выветривания вы знаете? Дополните схему 12.
44. Закончите предложения.
Выветривание - это разрушение и изменение горных пород на поверхности суши под влиянием условий природной среды.
45. Как воздействует выветривание на горные породы? Заполните таблицу 10.
46. Выберите правильный вариант ответа.
Сильно вытянутое понижение рельефа, образованное длительной работой реки, называется:
в) долиной;
47. Какова роль внешних сил в формировании рельефа? Заполните таблицу 11.
48. На Восточно-Европейской равнине нет ледников. Но многие возвышенности между параллелями 50 и 55° с. ш. состоят из ледниковых отложений (Валдайская и Смоленско-Московская возвышенности, Северные Увалы). Как они образовались?
В антропогенный период кайнозойской эры по этой территории проходил древний ледник, который и принёс большое количество отложений.
49.Выберите правильный вариант ответа.
Песчаные серповидные холмы, образующиеся в пустынях, называются:
в) барханами.
50. Определите, какие элементы строения горной страны изображены на рисунке 21 цифрами 1-4.
1. Горный хребет.
2. Вершина горы.
3. Межгорная долина.
4. Склон горы.
51.Самые длинные горы суши:
б) Анды;
Самые высокие горы суши:
б) Гималаи.
52.Как различаются горы по абсолютной высоте? Дополните схему 13.
53. На рисунке 22 изображены равнины, имеющие разную абсолютную высоту. Как они называются?
а) низменность;
б) возвышенность;
в) плоскогорье.
54. Выберите правильный вариант ответа.
Самыми крупными по площади низменностями являются:
г) Амазонская и Западно-Сибирская.
55. Выберите правильное утверждение.
б) Равнины занимают 60% площади суши, а горы - 40%.
56. Используя физическую карту мира, определите, какие формы рельефа дна океана обозначены на рисунке 23 цифрами 1-5. Запишите название каждой из них.
1. Северо-Атлантический хребет;
2. Южно-Атлантический хребет;
3 .Восточно-Тихоокеанское поднятие;
4. Западно-Индийский хребет;
5. Австрало-Антарктическое поднятие.
57. Выберите правильный вариант ответа.
Подводные горные цепи с океанической земной корой, образующие единую горную систему протяжённостью более 60 тыс. км, называются:
в) срединно-океаническими хребтами.
58. Отметьте знаком «+» характеристики срединно-океанических хребтов.
59.Выберите правильный вариант ответа.
Ложе океанов занимает от площади их дна около:
б) 50%.
60. Из каких форм рельефа состоит ложе океанов? Дополните схему 14.
61.Определите и запишите, какие формы рельефа дна Мирового океана изображены на рисунке 24 цифрами 1-5.
1. Шельф (материковая отмель).
2. Континентальный (материковый склон).
3. Ложе океана.
4. Срединно-океанический хребет.
5. Глубоководный желоб.
62. Вставьте в предложение вместо каждой цифры одно из слов, приведённых в списке под соответствующим номером, чтобы предложение получилось правильным по смыслу.
1. Короткие, длинные.
2. Узкие, широкие.
3. Поднятия, хребты, впадины.
4. 60 м, 600 м, 6000 м.
5. Раздвижения, столкновения.
Глубоководные желоба - это длинные и узкие океанические впадины с глубиной более 6000м, располагающиеся на границах столкновения литосферных плит.
63. Выберите правильный вариант ответа.
Самый глубокий желоб Земли:
в) Марианский.
64. Почему 80% населения Земли живёт на равнинах (до высоты 500 м) и только 1% - в горах на высоте более 2000 м?
На равнинах проще строить здания и дороги, вести сельское хозяйство.
65. Какие грозные природные явления, связанные с земной корой, происходят в горах?
Землетрясения и извержения вулканов, обвалы, оползни, грязекаменные потоки (сели).
66. Какой хозяйственной деятельностью занимается человек в горах? Как она меняется в зависимости от высоты гор? Опишите эту деятельность на схеме 15.
67. Какими способами добывают полезные ископаемые? Дополните схему 16.
68. Каково воздействие хозяйственной деятельности человека на земную кору? Заполните таблицу 12.
Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v 0).
Рис. 14. Проекция вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, численно равна площади S под графиком
Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершенного этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.
Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения s x можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d и b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.
Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от v ах до v cx .
За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.
На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.
Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v 0x и ВС = v x , а высотой - отрезок OB = t. Следовательно,
Поскольку v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можно записать:
Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.
По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.
Вопросы
- Пользуясь рисунком 14, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.
- Запишите уравнение для определения проекции вектора перемещения тела при его прямолинейном равноускоренном движении.
