Средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка. Чем меньше значения этих критериев, тем больше надежность прогнозной модели.
линейного коэффициента корреляции определяется по формуле
Среднеквадратическая ошибка (стандартное отклонение) для оценки S и доверительный интервал предсказания
Фактически задача сводится к оценке средней эластичности в течение более или менее длительного периода времени. Проанализируем оценки эластичности видовых цен (совместная эластичность) разного уровня, т.е. видовой структуры, на элеваторное зерно, зерно на бирже и на муку. Полученные оценки сведены в табл. 14.5 вместе с их стандартными среднеквадратическими ошибками - погрешностями оценки, или пределами доверительных интервалов показателей эластичности.
Для проверки существенности коэффициентов корреляции рассчитываем среднеквадратические ошибки коэффициентов корреляции г
Степень тесноты множественной статистической связи и среднеквадратическая ошибка прогноза (аппроксимации) одной переменной по совокупности других. Интуитивно и из смысла рассмотренных выше характеристик степени тесноты статистической связи ясно, что чем теснее эта связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой, тем точнее можно восстановить (спрогнозировать, аппроксимировать) неизвестное значение одной переменной по заданной величине другой.
Таким образом, мы снова (как и в п. В.5 и 1.1.1) пришли к функции регрессии f (X) = Е (т] = X), на этот раз как к функции от р переменных (1>, с(2),. .., х(р наиболее точно (в смысле среднеквадратической ошибки) воспроизводящей условное значение исследуемого результирующего показателя т] (X) по заданной величине X объясняющих переменных.
Среднеквадратическая ошибка комбинированного прогноза соответственно равна
Если для описания разброса переменной применяют термин среднеквадратичное отклонение , то для описания подобного статистического параметра применяют термин среднеквадратическая ошибка.
Хорошо известно, что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния (текущего, прошлого и будущего) динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на статистический портрет оцениваемой динамической системы . Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка , чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка.
Таким образом, использование формул (1.13)-(1.16) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания с уменьшением а уменьшается среднеквадратическая ошибка, но при этом возрастает ошибка в начальных условиях , что в свою очередь влияет на точность прогноза.
Этот факт и дает возможность использовать соотношения (1.81) для построения прогнозных значений анализируемого временного ряда на 1 тактов времени вперед. Теоретическую базу такого подхода к прогнозированию обеспечивает известный результат, в соответствии с которым наилучшим (в смысле среднеквадратической ошибки) линейным прогнозом в момент времени t с упреждением 1 является условное математическое ожидание случайной величины xt+i, вычисленное при условии, что все значения хт до момента времени t. Этот результат является частным случаем общей теории прогнозирования (см. ).
При любом разделении полного полинома заданной степени на частные полиномы критерий минимума среднеквадратической ошибки, определяемой на обучающей последовательности (первый критерий), позволяет однозначно определить оптимальные оценки всех коэффициентов, если число точек в обучающей последовательности больше числа членов каждого из частных полиномов по крайней мере на единицу.
При заданной степени полного полинома имеется много вариантов разбиения его на частные полиномы. Полный перебор всех комбинаций по критерию среднеквадратической ошибки, измеряемой на отдельной проверочной последовательности данных, позволяет найти единственное наилучшее разделение.
Следовательно, так же как и в случае парной зависимости, вариация (случайный разброс) результирующего показателя т] складывается из контролируемой нами (по значению предикторной переменной X) вариации функции регрессии / (X) и из не поддающегося нашему контролю случайного разброса значений г (X) (при фиксированном X) относительно функции регрессии / (X). Именно этот неконтролируемый разброс (характеризуемый величиной о (Х)) и определяет одновременно и среднеквадратическую ошибку прогноза (или аппроксимации) величины результирующего показателя г по значениям пре-дикторных переменных X, и степень тесноты связи , существующей между величиной г, с одной стороны, и значениями
X. Тейл предложил в этом случае использовать стандартную среднеквадратическую ошибку
Эта корреляция не слишком-то снижает неопределенность. Действительно, среднеквадратическая ошибка прогноза снижается всего на 1%. Таким образом, хотя и были обнаружены некоторые слабые признаки автокорреляции индекса NASDAQ, они почти не приносят пользы на практике. Все остальные корреляции случайны и статистически недостоверны. Учитывая, как много корреляций мы проанализировали, чтобы обнаружить только одну мало-мальски статистически значимую, можно с большой долей вероятности утверждать, что и эта единственная корреляция - скорее всего, случайный результат, подобный выпадению нескольких орлов подряд, когда подбрасывается монетка.
Оценить точность каких-либо измерений - это значит определить на основе полученных результатов сравнимые числовые (количественные) характеристики, выражающие качественную сторону самих измерений и условий их проведения. Количественные характеристики измерений или критерии оценки точности измерений устанавливаются теорией вероятности и теорией ошибок (в частности, способом наименьших квадратов). Согласно этим теориям оценка точности результатов измерений производится только по случайным ошибкам.
Показателями точности измерений могут служить:
Средняя квадратическая ошибка измерений;
Относительная ошибка измерений;
Предельная ошибка измерений.
Понятие средней квадратичной ошибки введено Гауссом , и в настоящее время она принята в качестве основной характеристики точности измерений в геодезии.
Средней квадратичной ошибкой называется среднее квадратичное значение из суммы квадратов ошибок отдельных измерений. Для ее вычисления используют либо истинные ошибки измерений, либо уклонения результатов измерений от среднего арифметического.
Обозначим истинное значение измеряемой величины через X, результат измерения через l i .
Истинными ошибками измерений Δ i называются разности результатов измерений и истинных значений, т. е.
В этом случае среднюю квадратичную ошибку m отдельного результата вычисляют по формуле:
где n - количество равноточных измерений.
Однако в большинстве случаев практики, если не считать редких случаев специальных исследований, истинное значение измеряемой величины и, следовательно, истинные ошибки остаются неизвестными. В этих случаях для нахождения окончательного значения измеряемой величины и оценки точности результатов измерений используют принцип среднего арифметического.
Пусть l 1 , l 2 , .... l n результаты n равноточных измерений одной и той же величины. Тогда частное
называется средним арифметическим из измеренных значений этой величины.
Разность каждого отдельного результата измерения и среднего арифметического значения называется уклонением результатов измерений от среднего арифметического и обозначается буквой v :
v i = l i - .
Пример. Отдельный угол измерен четырьмя приемами, и получены результаты:
l 1 = 74° 17"42"; l 2 = 74° 17"46"; l 3 = 74° 17"43"; l 4 = 74° 17"47".
Тогда среднее арифметическое значение угла будет = 74° 17"44",5, а уклонения результатов измерений от среднего арифметического соответственно будут v 1 = - 2",5; v 2 = +1",5; v 3 = - 1",5 и v 4 = +2",5.
Уклонения результатов измерений от среднего арифметического обладают двумя важными свойствами:
Для любого ряда равноточных измерений алгебраическая сумма уклонений равна нулю [v ] = 0;
Для любого ряда равноточных измерений сумма квадратов уклонений минимальна, т. е. меньше суммы квадратов уклонений отдельных измерений от любого другого значения, принятого, вместо среднего арифметического значения, [v 2 ] = min.
Первое свойство уклонений служит надежным контролем вычисления среднего арифметического значения из результатов измерений. Второе свойство уклонений используют для оценки точности результатов измерений.
Если ошибки отдельных измерений вычисляют относительно среднего арифметического значения из результатов измерений, среднюю квадратичную ошибку отдельного результата вычисляют по формуле
Пример. Используя данные предыдущего примера, найдем среднюю квадратичную ошибку измерения угла одним приемом:
При определении средних квадратичных ошибок измерений необходимо руководствоваться следующими правилами:
1) средняя квадратичная ошибка суммы или разности измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных ошибок слагаемых, т. е. для выражения А = а + b - с +...+ q средняя квадратичная ошибка будет равна
при равноточных измерениях, когда m a = m b = m c = ... = m q:
2) средняя квадратичная ошибка произведения измеренной величины на постоянное число равна произведению средней квадратичной ошибки этой величины на то же самое число, т. е. для выражения L = kl;
3) средняя квадратичная ошибка результатов равноточных измерений прямо пропорциональна средней квадратичной ошибке одного измерения m и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений, т.е.
или с учетом формулы (12):
Примеры: 1. Угол β получен как разность двух направлений, определенных с ошибками m 1 = ± 3" и m 2 = ± 4".
По первому правилу находим .
2. Радиус окружности измерен со средней квадратичной ошибкой m R = ±5 см.
По второму правилу находим среднюю квадратичную ошибку длины окружности
m 0 = 2πm R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 см.
3. Средняя квадратичная ошибка измерения угла одним приемом равно m = ± 8". Какова точность измерения угла четырьмя приемами?
По третьему правилу
.
4. Угол β измерен пятью приемами. При этом отклонения от среднего арифметического составили: - 2", + 3",- 4", +4" и -1". Какова точность окончательного результата?
По третьему правилу
Если задающее воздействие приложенное к линейной системе (рис. 7.2), - случайная стационарная функция, то управляемая величина и ошибка воспроизведения системы являются также случайными стационарными функциями. Ясно, что в этих условиях о точности системы можно судить не по мгновенным, а лишь по некоторым средним значениям ошибки. При статистическом методе анализа и синтезе динамическая точность системы определяется среднеквадратическим значением ее ошибки, т. е. квадратным корнем из среднего значения квадрата ошибки:
Рис. 7.2. Структурная схема САУ.
Рис. 7.3. К понятию о среднеквадратической ошибке.
которым пользуются как критерием, определяющим точность или качество работы системы при наличии стационарных случайных воздействий (связь между и ее иллюстрируется рис. 7.3).
Если известна корреляционная функция или спектральная плотность ошибки, то в соответствии с выражением (7.11) дисперсия ошибки может быть вычислена по формуле
Оптимальной передаточной функцией при использовании критерия СКО является такая передаточная функция системы, при которой среднеквадратическая ошибка имеет минимум.
Отметим достоинства и недостатки оценки точности системы с помощью СКО. При принятии СКО в качестве критерия точности анализ и синтез системы получается сравнительно простой. С помощью СКО (или дисперсии) возможно оценить сверху вероятность появления любой ошибки. Так, например, при нормальном законе распределения ошибок вероятность того, что ошибка (отклонение от среднего значения) превысит весьма мала (меньше 0,003). Согласно критерию СКО нежелательность ошибки возрастает с ее величиной.
Имеется большой класс систем, для которых критерий СКО эффективен. Однако критерий СКО, как и всякий другой критерий, не является универсальным. Он обеспечивает малое значение лишь средней, а не мгновенной ошибки, поэтому в тех системах, где недопустимы большие, хотя и кратковременные ошибки, желательно применение другого критерия. Этот недостаток критерия СКО особо проявляется при расчете САУ с обратной связью. Выражения для корреляционной функции, спектральной плотности и среднеквадратического значения ошибки справедливы только для больших промежутков времени. Поэтому ошибки системы, связанные со сравнительно кратковременными переходными процессами в ней, практически не влияют на среднеквадратическое значение ошибки, т. е. ошибки, усредненной за бесконечно большой промежуток времени. На практике же часто встречаются системы, работающие на ограниченном участке времени, когда нельзя пренебречь ошибками, связанными с переходным процессом. Как правило, если параметры системы выбраны из условия получения минимума СКО при работе на большом промежутке времени, то замкнутая система имеет слабозатухающий переходный процесс. Поэтому на практике задачу о рациональном выборе передаточной функции системы
Среднее арифметическое значение серии измерений
При увеличении n среднее значение
Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположений:
- ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
- при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
- вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.
Нормальный закон распределения описывается следующей функцией:
где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Х ист – истинное значение измеряемой величины.
Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой X = X ист и имеет максимум при X = Xист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в правую часть уравнения (1.13) X ист вместо X. Получим
,
откуда следует, что с уменьшением σ возрастает y(X). Площадь под кривой
должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от -∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).
На рис. 1.1 приведены графики трех функций нормального распределения для трех значений σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) и одном Х ист. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины, которая при бесконечно большом количестве измерений (n → ∞) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией σ. Величина σ характеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях σ кривые идут более круто и большие значения ΔХ менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.
Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.
Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n измерений определяется по формуле:
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:
Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).
Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое <Х> и некоторую ошибку ΔX. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) или (<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.
Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Х ист с заданной вероятностью.
Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.
Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ΔХ. Это принято записывать в виде:
Р((<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)) = α
Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ΔХ до <Х> + ΔХ. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ΔХ, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности ΔХ.
Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:
- величину самой ошибки (или доверительный интервал);
- величину доверительной вероятности (надежности).
Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.
Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке S n соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3σ) – 0.997.
Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X – σ, X + σ), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность ∆Х > 3σ, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).
Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.
Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки ε = ΔX/σ.
Vidutinė kvadratinė paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. mean square error vok. mittlerer quadratischer Fehler, m rus. среднеквадратичная ошибка, f pranc. écart quadratique moyen, m; erreur quadratique moyenne, f … Automatikos terminų žodynas
приведённая среднеквадратичная ошибка - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN normalized mean square errorNMSE … Справочник технического переводчика
Среднеквадратичная фазовая ошибка - 1. Среднеквадратичная величина фазовой ошибки во всех отсчетах Употребляется в документе: РД 45.301 2002 Средства измерений электросвязи сетей подвижной связи стандарта GSM 900/1800. Технические требования … Телекоммуникационный словарь
стандартная ошибка - 2.56. стандартная ошибка; среднеквадратичная ошибка Стандартное отклонение оценки Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения …
АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИЙ - STATISTICAL ANALYSISМенеджеры в бизнесе часто используют статистические методы при принятии решений или анализе решаемых проблем. В данном разделе рассматриваются некоторые основные статистические методыАрифметическое среднее. Арифметическое… … Энциклопедия банковского дела и финансов
ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Радионавигационная система - комплекс из нескольких однотипных или разнотипных радионавигационных устройств, взаимодействующих между собой (по радиоканалам или в рамках единой структурной схемы) и обеспечивающих при совместной работе определение местоположения… … Большая советская энциклопедия
Стандартный квантовый предел - Квантовая механика … Википедия
ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА - (см. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ СЧЁТЧИК). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА … Физическая энциклопедия
ИНФРАКРАСНАЯ АСТРОНОМИЯ - область наблюдательной астрофизики, объединяющая методы и результаты исследований излучения астр, объектов в ИК диапазоне (0,7 мкм 1 мм). Иногда как часть И. а. выделяют субмиллиметровую астрономию (0,1 1 мм). Первым шагом в истории И. а. было… … Физическая энциклопедия
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
- задача об оценке значений случайного процесса Х(t)на нек ром интервале а
