Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана ) - уравнение, названное по имени Людвига Больцмана , который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики , которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах , и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t ) функции распределения плотности f (x , p , t ) в одночастичном фазовом пространстве , где x и p - координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

f (x , p , t) d 3 x d 3 p {\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}x\,d^{3}p}

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t . Уравнение Больцмана

∂ f ∂ t + ∂ f ∂ x ⋅ p m + ∂ f ∂ p ⋅ F = d f d t | c o l l . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {df}{dt}}\right|_{\mathrm {coll} }.}

Здесь F (x , t ) - поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m - масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений . Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля . Если поле сил F (x , t ) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f {\displaystyle f} , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

L ^ G R = ∑ α p α ∂ ∂ x α − ∑ α β γ Γ β γ α p β p γ ∂ ∂ p α , {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}

Интеграл столкновений

Столкновения между частицами приводит к изменению их скоростей. Если W (v , v ′) d 3 v ′ d t {\displaystyle W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt} задает вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью v {\displaystyle \mathbf {v} } в состояние со скоростью v ′ {\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }} , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде

∂ f ∂ t | c o l l = ∫ v ′ [ f (t , r , v ′) W (v ′ , v) − f (t , r , v) W (v , v ′) ] d 3 v ′ {\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{coll}=\int _{\mathbf {v} ^{\prime }}d^{3}v^{\prime }} .

В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двух частиц находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Приближение времени релаксации

Уравнения Больцмана - сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов - непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

f = f 0 + f 1 {\displaystyle f=f_{0}+f_{1}} ,

где f 0 (v) {\displaystyle f_{0}(\mathbf {v})} - равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики, а f 1 {\displaystyle f_{1}} - небольшое отклонение.

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА - интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф-ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r , ф-ции распределения электронов в металле, в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов (кинетики физической) , в частности кинетической теории газов . К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой , молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма ; dr= =dxdydz )и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения частиц со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где - изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма за единицу времени, F= =F (r ,t) - сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), - изменение ф-ции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения ф-ции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими "обратные" столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

Скорости частиц до столкновения, - скорости тех же частиц после столкновения, - величина относит. скорости сталкивающихся частиц, - дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол в лаб. системе координат, - угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R , = , для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил, (b - прицельный параметр, - азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение .

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения) . Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами - предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности) .

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения ф-ций распределения сталкивающихся частиц, но и от ф-ций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов - увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми - Дирака статистике , а знак плюс - Бозе - Эйнштейна статистике, g - статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином),- импульс частицы. Ф-ции нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке . Равновесные ф-ции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0 . Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов) .

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются , модулированными с периодом решётки и зависящими от k ; и номера энергетич. зоны l . Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). Ф-ция распределения электронов n(k, l, t )удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F = (E и Н - напряжённости электрич. и магн. полей, е - электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k ,l) , - волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f , s) - ф-ция распределения фононов, f и s - волновой вектор и поляризация фононов, - нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией - дельта-ф-ция, - матричные элементы перехода электрона из состояния k , l в состояние , к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами - квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате ф-ция распределения фононов N (f , s ) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия, - плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в с групповой скоростью и сталкивающихся между собой. Теория непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение ф-ции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Лит . см. при статьях Кинетическая теория газов . Кинетика физическая. Д. Я. Зубарев .

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения молекул газа в их фазовом пространстве, где — совокупность обобщенных координат молекулы, – совокупность обобщенных импульсов, соответствующих координатам, – время (функция распределения зависит от времени в нестационарном состоянии). Довольно часто символом Г обозначают совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы и времени . Величины обладают важным свойством: это движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного движения.

Так, для одноатомного газа величинами являются три компоненты атома . Для двухатомной молекулы в входит импульс и вращательный момент.

Основное кинетическое уравнение

Основное уравнение кинетической теории газов (или кинетической уравнение) – это уравнение определяющее функцию распределения .

Уравнение:

где — интеграл столкновений, уравнение (1) называют кинетическим уравнением. Символ — означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям молекул. Кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления интеграла столкновений. Тогда кинетическое уравнение приобретает вид (2). Это интегро-дифференциальное уравнение также, называют уравнением Больцмана:

Требуется пояснить, что такое правая часть уравнения (2).

При столкновении двух молекул значения их величин меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала d. Полное число столкновений с переходами со всеми возможными значениями при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу:

(уходящие частицы)

Некоторые молекулы благодаря столкновениям попадают в интервал dГ (столкновения с переходами ). Полное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV) равно:

(приходящие частицы).

Если вычесть число актов ухода их числа актов прихода, понятно, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1с на

Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега l (некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями). Отношение называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений полагают:

Разность в числителе (3) учитывает, что интеграл столкновений обращается в 0 для равновесной функции распределения. Знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия.

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа малой . Кинетическое уравнение — это уравнение первого порядка по времени, оно описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения.

Решение кинетического уравнения весьма сложно с математической точки зрения. Трудности его решения обусловлены многомерностью функции, зависящей от семи скалярных переменных, и сложным видом правой части уравнения.

Если функция распределения зависит только от координаты x и составляющей скорости кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:

где и функции распределения молекул до столкновения и после столкновения; – скорости молекул; — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW, зависящее от взаимодействия молекул. — изменение функции распределения в следствии столкновений. -изменение плотности числа частиц. — сила, действующая на частицу.

Если газ состоит из частиц одного сорта, кинетическое уравнение можно записать в виде:

где – среднее число частиц в элементе фазового объема около точки (-изменение плотности числа частиц около точки ( в момент времени t за единицу времени.

Уравнение Больцмана справедливо если:

Если система находится в состоянии статистического равновесия, то интеграл столкновений обращается в ноль и решением уравнения Больцмана будет распределение . Решение уравнения Больцмана для соответствующих условий позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопические уравнения для различных процессов переноса ( , вязкости, ). В поле тяготения земли решение уравнения Больцмана есть известная барометрическая формула.

На Основе решений уравнения Больцмана объясняется макроскопическое поведение газа, вычисление коэффициентов вязкости, теплопроводности.

Кинематическое уравнение является основным уравнением динамики разреженных газов и применяется для аэродинамического расчёта летательных аппаратов на больших высотах полёта.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Получить уравнение непрерывности из уравнения Больцмана. Считать, что газ состоит из одинаковых частиц, поля внешних сил нет.

Решение

Запишем уравнение Больцмана в виде: Рассмотри левую часть равенства (1.2). Умножим каждое слагаемое на молекулы m и проинтегрируем по dГ, получим: Интеграл – концентрация молекул газа в пространстве. — газа. Столкновения не меняют числа сталкивающихся частиц, соответственно, столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности газа в каждом элементе объема газа. Соответственно из (1.3) получаем: Рассмотрим столкновений правой части уравнения (1.2). (по определению). Проведем интегрирование по dГ: где , так как интегрирование проводится по каждой переменной , , Г, то значит можно произвести переобозначения переменных (например во втором интеграле) и при этом интеграл не изменится:

Уравнение Больцмана

Людвиг Больцман, австрийский физик-теоретик, член Ав­стрийской Академии наук, один из основоположников класси­ческой кинетической теории.

Приведем в соприкосновение два газа, различающиеся сред­ними значениями кинетической энергии поступательного дви­жения молекул {W 1 > W 2). Тогда, взаимоотталкиваясь, их мо­лекулы начнут обмениваться энергиями. Через некоторое вре­мя кинетические энергии обоих газов сравняются (W). Газы придут в состояние энергетического равновесия и переход анер­гии от одного газа к другому прекратится, несмотря на продол­жающиеся столкновения молекул.

Учтем теперь, что подобным же образом ведут при соприкос­новении и два различно нагретых газа, имеющих температуры T 1 и T 2 > T 1 . Один из них нагревается, другой - охлаждается и через некоторое время их температуры сравняются (T). Газы приходят в состояние теплового равновесия и теплообмен пре­кращается. Изобразим сказанное схемой.

Итак, W и Т ведут себя совершенно одинаково: при сопри­косновении газов обе эти характеристики одинаковым образом изменяются и затем сравниваются, что соответствует состояни­ям энергетического или теплового равновесия. Как показыва­ют строгие расчеты, эти характеристики связаны между собой пропорциональной зависимостью: Т ~ W.

Можно было бы даже измерять температуру газа значением кинетической энергии его молекул. Однако это было бы не­удобным, так как тогда пришлось бы измерять температуру в джоулях, что, во-первых, непривычно и, во-вторых, выражало бы температуру очень малыми числами. Например, темпера­тура таяния льда, равная 273К, выражалась бы 5,7 10 -21 Лж. Чтобы сохранить за температурой привычные кельвины (или °С), удобнее всего принять

где размерный множитель к ([к] - Дж/К) обеспечивает изме­рение температуры в единицах К, а числовой коэффициент 2/3 введен потому, что он стоит при W к в уравнении Клаузиуса. Измеряемую таким способом температуру будем обозначать Т и называть термодинамической температурой:

Из последнего выражения следует уравнение Больцмана:

где к = 1,38 10 -23 Дж/К - постоянная Больцмана (ее числовое значение позднее получим теоретически). Из уравнения Больц­мана вытекает физический смысл нуля термодинамической тем­пературы (0 К): при Т = 0 будет W к = 0, т.е. при нуле Кельвина прекращается движение молекул (т.е. тепловое движение).

Которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах , и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t ) функции распределения плотности f (x , p , t ) в одночастичном фазовом пространстве , где x и p - координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t . Уравнение Больцмана

Здесь F (x , t ) - поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m - масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют уравнением Лиувилля . Если поле сил F (x , t ) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, т.е. переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовых систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана .

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Уравнение Больцмана" в других словарях:

уравнение Больцмана - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Boltzmann equation … Справочник технического переводчика

Уравнение Больцмана (кинетическое уравнение Больцмана) уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных… … Википедия

Интегродифференциальное уравнение, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения систем из большого числа ч ц, напр. ф ция распределения f(v, r, t) молекул газа по скоростям v и координатам r, ф ции распределения эл нов в … Физическая энциклопедия

Интегродифференц. ур ние, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф ции распределения электронов в металле,… … Физическая энциклопедия

Уравнение для функции распределения f (ν, r, t) молекул газа по скоростям ν и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями… … Большая советская энциклопедия

Уравнение Власова система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье и позднее излагается… … Википедия

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера Планка. Уравнение Фоккера Планка одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… … Википедия

Уравнение Больцмана, известное также как кинетическое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных… … Википедия

В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна… … Википедия