Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. Несомненно, что уже первобытный человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в самых грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды. Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки. Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра и т.д. Потребности земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и ее частей, а следовательно, и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

В период экономического и культурного расцвета Древней Греции и ее колоний геометрия достигла высокого теоретического развития. Из числа выдающихся геометров Греции вопросами стереометрии интересовались Анаксагор, Демокрит, Гиппократ (V в. до н. э.). Гиппократ является в числе первых, занимавшихся решением знаменитой задачи древности – делийской задачи об удвоении куба. В школе Платона проблемы стереометрии значительно продвинулись. Один из представителей школы Платона Теетет рассмотрел восьмигранник и двадцатигранник и дал впервые теорию некоторых свойств пяти правильных многогранников. Ученик Платона Менехме впервые дал некоторую теорию конических сечений. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал. Из 13 книг его «Начал» стереометрии отведены XI-XIII книги. Собранные Евклидом сведения о стереометрии дополнил, углубил и расширил величайший математик древности Архимед. Он дал тринадцать полуправильных тел, каждое из которых ограничено правильными многоугольниками, но не одного и того же рода, и вычислил объемы тел вращения. Благодаря трудам Архимеда стереометрия достигла своего кульминационного пункта, и элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена.

После падения Греции наблюдается длительный застой в развитии математики и стереометрии в частности, длившийся тысячу лет. Для развития стереометрии в новое время многое было сделано Кеплером. В своей «Новой стереометрии» - «стереометрии бочек» - он впервые употребил в геометрии бесконечно-малую величину. Открытие Ньютоном и Лейбницем интегрального исчисления окончательно разрешило проблему квадратуры и кубатуры.

Цилиндр - тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

r – радиус цилиндра;
d – диаметр цилиндра;
l – образующая цилиндра;
h – высота цилиндра.

Примечание: в прямом круговом цилиндре длина образующей равна длине высоты.

Объем кругового цилиндра рассчитывается по формуле:

V = π · r 2 · h , где

π – константная величина (≈3.1415 );
r – радиус основания цилиндра;
h – высота цилиндра.

Куб - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб;

A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 - вершины куба;

a - длина ребра куба.

Объем куба рассчитывается по формуле:

V куб = a 3 , где

a – длина ребра куба.

Тетраэдр - правильный многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

ABCD - тетраэдр;

A, B, C, D - вершины тетраэдра;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - ребра тетраэдра;

ABD, BCD, ACD - грани тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по формуле:

a – длина любого ребра тетраэдра.

Методические указания

Для успешного решения задач из данной категории вы должны:

знать определения геометрических тел и их свойства;

уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;

уметь решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

знать формулы расчета площадей и объемов геометричеких тел.

T ест№8 Объём цилиндра Вариант 1.

1. Найдите объём цилиндра с высотой, равной 3 см и диаметром основания – 6 см. а) 27π см 3 ; б) 9π см 3 ; в) 36π см 3 ; г) 18π см 3 ; д) 54π см 3 .

2. Объём цилиндра равен 27π. Найдите диаметр основания цилиндра, если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности.

а) 3; б) определить нельзя; в) 6; г) 2; д) 9.

3. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60˚. Найдите объём цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16√3 см 2 .

а) 16π см 3 ; б) 16√3 см 3 ; в) 32π√3 см 3 ; г) 8π√3 см 3 ; д) 16π√3 см 3 .

4. В цилиндр вписан шар радиуса 1 см. Найдите объём цилиндра.

а) 4π см 3 ; б) 2π см 3 ; в) 8π см 3 ; г) π см 3 ; д) определить нельзя.

5. Объём цилиндра равен 120. Найдите высоту цилиндра с точностью до 0,01, если радиус основания больше её в 3 раза.

а) 1,62; б) 1,63; в) 1,61; г) 1,6; д) 1,60.

6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см 2 , площадь основания - 18π см 2 . Найдите объём цилиндра.

а) 9π см 3 ; б) 31,5π√2 см 3 ; в) 21π см 3 ; г) 63π см 3 ; д) 31,5π√3 см 3 .

7. Выберите верное утверждение.

а) Объём цилиндра равен половине произведения площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πS/2, где S – площадь осевого сечения цилиндра;

в) объём равностороннего цилиндра равен V = 2πR 3 , где R – радиус основания цилиндра;

г) объём цилиндра вычисляется по формуле V = Mh/2, где М – площадь боковой поверхности цилиндра, а h – его высота;

8. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120˚. Радиус основания цилиндра равен R, угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30˚. Найдите объём цилиндра а) 3πR 2 ; б) πR 3 √3; в) 3πR 3 ; г) πR 3 ; д) 3πR 3 √3.

9. Через образующую цилиндра проведены две плоскости. Угол между ними равен 120˚. Площади получившихся сечений равны 1. Радиус основания цилиндра равен 1. Найдите объём цилиндра. а) π√3/3; б) 2π; в) π/2; г) π; д) определить нельзя.

10. Алюминиевый провод диаметром 2 мм имеет массу 3,4 кг. Найдите длину провода с точностью до 1 см, если плотность алюминия равна 2,6 г/см 3 .

а) 41646; б) 43590; в) 41656; г) 41635; д) 41625.

T ест№8 Объём цилиндра Вариант 2.

1. Найдите объём цилиндра с высотой, равной 6 см и диаметром основания – 3 см. а) 13,5π см 3 ; б) 9π см 3 ; в) 27π см 3 ; г) 18π см 3 ; д) 54π см 3 .

2. Объём цилиндра равен 32π. Найдите высоту цилиндра, если площадь полной его поверхности в три раза больше площади боковой поверхности.

а) 3; б) определить нельзя; в) 4; г) 8; д) 2.

3. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60˚. Найдите площадь осевого сечения, если объем цилиндра равен16 π √3 см 2 .

а) 16 см 2 ; б) 16√3 см 2 ; в) 32√3 см 2 ; г) 8√3 см 2 ; д) 16π√3 см 2 .

4. Около цилиндра описан шар радиуса 1 см. Найдите объём цилиндра.

а) 4π√2 см 3 ; б) 0,5π√2 см 3 ; в) определить нельзя; г) π см 3 ; д) π√2 см 3 .

5. Объём цилиндра равен 120. Найдите высоту цилиндра с точностью до 0,01, если радиус основания меньше её в 3 раза.

а) 2,3; б) 2,33; в) 2,35; г) 2,335; д) 2,34.

6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 30 см 2 , площадь основания - 9π см 2 . Найдите объём цилиндра.

а) 45π см 3 ; б) 22,5π см 3 ; в) 23π см 3 ; г) 9π см 3 ; д) 30π см 3 .

7. Выберите неверное утверждение.

а) Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = 1/2πrS, где S – площадь осевого сечения цилиндра, а r – радиус цилиндра;

в) объём равностороннего цилиндра вычисляется по формуле V = 1/4πh 3 , где h – высота цилиндра;

г) объём цилиндра вычисляется по формуле V = 1/2Mr, где M – площадь боковой поверхности цилиндра, а r – его радиус;

д) объём равностороннего цилиндра вычисляется по формуле V = πh 3 /2, где h – высота цилиндра.

8. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120 0 . Это сечение удалено от оси цилиндра на расстояние, равное a. Диагональ сечения равна 4a. Найдите объем цилиндра. а) 8πa 2 ; б) 4πa 3 ; в) 2πa 3 ; г) 16πa 3 ; д) 8πa 3 .

9. Через образующую цилиндра проведены две плоскости. Угол между ними равен 120˚. Площади получившихся сечений равны 1. Высота цилиндра равна 1. Найдите объём цилиндра. а) π/4; б) π/2; в) π; г) π/3; д) определить нельзя.

10. Алюминиевый провод диаметром 2 мм имеет массу 3,4 м. Найдите массу провода с точностью до 1 г, если плотность алюминия равна 2,6 г/см 3 .

а) 278; б) 277; в) 29; г) 27; д) 28.

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания первого сосуда, тогда 2 R — радиус основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обо-значим через H — уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда

V=\pi R^2 \cdot 20, и V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. Отсюда \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H, H =5

Ответ

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см 3 .

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h . V воды = S осн. · h = \pi R^2\cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=\pi R^2\cdot15 . Отсюда, \pi R^2=\frac{2000}{15}=\frac{400}{3}.

Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H . По условию H=h+9=15+9=24. Значит, V воды + детали = \pi R^2\cdot H=\frac{400}{3}\cdot24=3200. Следовательно, V детали = V воды + детали − V воды = 3200-2000=1200.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 8 , а площадь боковой поверхности 96\pi.

Показать решение

Решение

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac{96\pi}{16\pi}=6.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В сосуд цилиндрический формы налили 500 куб. см воды. Определите объем детали полностью погруженной в воду, если после погружения уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Выразите ответ в куб. см.

Показать решение

Решение

Обозначим за V 1 изначальный объем жидкости в цилиндре. После погружения детали, объем жидкости увеличился в 1,2 раза, значит конечный объем жидкости равен V 2 = 1,2· V 1 . Объем детали равен разности объемов до и после погружения, значит V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 куб. см.

Ответ

При переливе жидкости ее исходный объем не изменяется, т.е.: V 1 = V 2 , а значит справедливо равенство: \pi\left(\frac{d_1}{2}\right)^2h_1=\pi\left(\frac{3d_1}{2}\right)^2h_2

Подставим значения из условия, упростим выражение и найдем искомую высоту жидкости второго сосуда h 2 :

\pi \enspace\frac{d_1^{2}}{4}\enspace 63=\pi \enspace\frac{9d_1^{2}}{4}\enspace h_2

\frac{63}{4}=\frac{9}{4}h_2

h_2=\frac{63}{9}=7