Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Предлагаю на этот раз устроить что-то вроде «доказательного марафона» по решению задач, которые предлагаются девятиклассникам в вариантах ГИА по математике. Связаны они с доказательством несложных, но в то же время очень полезных геометрических фактов. В статье намеренно не приведены подробные решения задач, лишь некоторые наброски и подсказки. Постарайтесь преодолеть эту марафонскую дистанцию самостоятельно, без ошибок и за один подход.
Задача 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Угол α обозначен одной дугой, β — двумя
Доказательство: из рисунка видно, что α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (развернутый угол), следовательно, α + β = 90 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 2. Два отрезка AC и BD пересекаются в точке O , которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB .
ABCD, конечно, будет параллелограммом, но в условии этого не дано
Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (BO = OD — по условию, AO = OC — по условию, ∠DOC = ∠AOB — вертикальные), то есть ∠ACD = ∠CAB , а поскольку они являются накрест лежащими при прямых AB , CD и секущей AC , то AB параллельна DC . Аналогично доказываем параллельность прямых BC и AD. Итак, ABCD — параллелограмм по определению. BC = AD , AB = CD (в параллелограмме противоположные стороны равны), AC — общая для треугольников ACD и CAB , поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.
Задача 3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию, а также перпендикулярна основанию.
Углы, образованные медианой и основанием, назовем «нижними», медианой и боковыми сторонами — «верхними»
Доказательство: боковые треугольники на рисунке равны по трем сторонам, из чего следует равенство, во-первых, «верхних» углов (доказали, что биссектриса), во-вторых, «нижних» углов, в сумме как смежные дающих 180 0 , и равных поэтому по 90 0 каждый (доказали перпендикулярность). Что и требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Треугольники, образованные медианами, основанием и нижними половинами боковых сторон исходного треугольника, назовем «нижними»
Доказательство: углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому «нижние» треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, из чего следует равенство проведенных медиан. Что и требовалось доказать.
Задача 5. Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.
Все отмеченные на рисунке углы, конечно, равны, хоть и обозначены разными дугами
Доказательство: «нижний» треугольник равнобедренный, что следует из равенства углов при его основании, «боковые» треугольники равны по стороне (равные из доказанного выше частички биссектрис) и двум углам (первые равны по условию, вторые как вертикальные), поэтому оставшиеся частички биссектрис также равны друг другу, а значит равны и сами биссектрисы целиком. Что и требовалось доказать.
Задача 6. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине третьей стороны.
Чистенькие стороны назовем «основаниями», перечеркнутые — «боковыми сторонами»
Доказательство: боковые стороны маленького и большого треугольника на рисунке относятся как 1: 2, кроме того у них есть один общий угол, а значит они подобны по второму признаку с коэффициентом подобия 1: 2, поэтому и основания относятся как 1: 2. Что и требовалось доказать.
Задача 7. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
Параллелограмм с диагональю, больше, пожалуй, добавить нечего
Доказательство: противоположные стороны параллелограмма равны, диагональ является общей стороной для этих треугольников, поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.
Задача 8. Докажите, что медиана, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Другими словами медиана проведена из вершины прямого угла
Доказательство: если вокруг данного прямоугольного треугольника описать окружность, то вписанный в эту окружность прямой угол треугольника будет описаться на полуокружность, поэтому гипотенуза будет диаметром этой окружности, а половинки гипотенузы и данная нам в задаче медиана — радиусами, итак, все они равны. Что и требовалось доказать.
Задача 9. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Дополнительное построение: соединяем точку C с точкой O (мысленно)
Доказательство: углы B и A прямые (радиусы окружности, проведенные в точку качания, перпендикулярны касательным), значит прямоугольные треугольники AOC и BOC равны по гипотенузе (общая для них воображаемая нами сторона OC ) и катету (радиусы окружности OB = OA ), а значит AC = CB . Что и требовалось доказать.
Задача 10. Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.
Линия, соединяющая две точки на рисунке, является медианой треугольника, который мы рассмотрим
Доказательство: в равнобедренном треугольнике, образованном точками пересечения хорды с окружностью и центром этой окружности, изображенная медиана будет являться высотой, а значит диаметр, содержащий в себе эту высоту, перпендикулярен хорде. Что и требовалось доказать.
Задача 11. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.
Мысленно соединяем вместе все отмеченные на рисунке точки, точку пересечения горизонтали и вертикали назовем H
Доказательство: треугольники O 1 AO 2 и O 1 BO 2 равны по трем сторонам, следовательно, ∠HO 2 A = ∠HO 2 B , тогда треугольники HAO 2 и HBO 2 равны по двум сторонам и углу между ними, значит ∠AHO 2 = ∠BHO 2 , а в сумме два равных угла могут давать 180 0 только в том случае, если каждый из них равен по 90 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 12. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Описанный четырехугольник. Назовем его ABCD. Пусть M, E, X и L — точки касания
Доказательство: используем теорему об отрезках касательных (задача 9). ВК = ВР , СР = СН , DX = DL и АТ = АК . Суммируем стороны АВ и CD : AB + CD = (AM + MB ) + (DX + XC ) = AL + BE + DL + CE = (AL + LD ) + (BE + EC ) = AD + BC. Что и требовалось доказать.
Задача 13. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противолежащих углов равны.
Описанная окружность
Доказательство: по теореме о вписанном угле сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 0 , поскольку вместе они опираются на полную окружность, градусная мера которой 360 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 14. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
Доказательство: сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна α + β = 180 0 (см. задачу 13), сумма углов при боковой стороне трапеции также равна α + γ = 180 0 (эти углы являются односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне), из сравнения этих формул получаем, что β = γ , то есть углы при основании такой трапеции равны, и она действительно равнобедренная. Что и требовалось доказать.
Задача 15. В квадрате ABCD точки К и Е - середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE .
Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB . Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB , то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD
что и требовалось доказать.
Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD –диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углыDAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что уголBDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
Инструкция
Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.
Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.
Обратите внимание
Если требуется доказать равенство между собой двух прямоугольных треугольников, то это можно сделать при помощи следующих признаков равенства прямоугольных треугольников:
По одному из катетов и гипотенузе;
- по двум известным катетам;
- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и одному из острых углов.
Треугольники бывают остроугольными (если все углы его меньше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов больше 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).
Полезный совет
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются подобными. Подобными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Стоит отметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении подобных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый коэффициент подобия. Также этот коэффициент можно получить путем деления площадей подобных треугольников.
Источники:
- доказать равенство площадей треугольников
Два треугольника равны, если все элементы одного равны элементам другого. Но необязательно знать все размеры треугольников, чтобы сделать заключение об их равенстве. Достаточно иметь определенные наборы параметров заданных фигур.
Инструкция
Если известно, что две стороны одного треугольника равны другого и равны углы между этими сторонами, то рассматриваемые треугольники равны. Для доказательства совместите вершины равных углов двух фигур. Продолжайте наложение. Из полученной общей для двух треугольников точки направьте одну сторону угла наложенного треугольника по соответствующей стороне нижней фигуры. По условию, эти стороны в двух равны. Значит, концы отрезков совпадут. Следовательно, совместилась еще одна пара вершин в заданных треугольниках. Направления вторых сторон угла, с которого начато , совпадут вследствие равенства этих углов. А поскольку эти стороны равны, произойдет наложение последней вершины. Между двумя точками возможно проведение единственной прямой. Следовательно, третьи стороны в двух треугольниках совпадут. Вы получили две полностью совпавшие фигуры и доказанный первый признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней два угла в одном треугольнике равны соответствующим в другом треугольнике, то два эти треугольника равны. Для доказательства правильности этого утверждения наложите две фигуры, совместив вершины равных углов при равных сторонах. Вследствие равенства углов совпадет направление второй и третьей сторон и однозначно определится место их пересечения, т. е. третья вершина первого из треугольников обязательно совместится с аналогичной точкой второго. Второй признак равенства треугольников доказан.
