1. Гипербола лежит за полосой со сторонами x = ± a .

Действительно, согласно уравнению гиперболы, имеет место неравенство

2. Гипербола является симметричной относительно начала координат и относительно координатных осей. Это вытекает из того, что в уравнение гиперболы переменные x и y входят в квадратах х 2 и у 2 , и уравнению гиперболы удовлетворяют точки с координатами (х , у ),

(− х , у ), (х , − у ), (− х , − у ).

3. Гипербола имеет две асимптоты

к которым приближаются точки гиперболы при удалении их от начала координат.

4. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках А и С, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются, соответственно, действительной и мнимой полуосями.

5. Гипербола с равными полуосями а = b называется равносторонней и ее каноническое уравнение имеет вид

x 2 − y 2 = a 2 .

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а : то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b ⁄ a , а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.

В случае равносторонней гиперболы (a = b ) ε = √2.

ОПР 2. . Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы.

Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε, является эллипсом, если ε < 1, и гиперболой, если ε > 1.

Гипербола - это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются.
Формула гиперболы y = k/x , при условии, что k не равно 0 . То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.

Гипербола - это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Свойства:

1. Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF2.

2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

3. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей , а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

4. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

42. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Эксцентриситет:

Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

43.Случай сопряжённой,вырожденной гиперболы (НЕ ПОЛНОСТЬЮ)

Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .

Гипербола и ее свойства

Конспект лекции 14.

Гипербола и парабола и их свойства. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.

Литература. § 20, 21.

Определœение 1. Гиперболой принято называть множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек и, принадлежащих той же плоскости, является постоянной величиной, меньшей расстояния между точками и.

Точки и,как и в случае эллипса, будем называть фокусами . Очевидно, следует предполагать, что фокусы не совпадают друг с другом. Пусть, а модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равен. Тогда, как следует из определœения

Из неравенств, связывающих стороны треугольника, следует, что не существует таких точек М, для которых. Заметим, что эта разность равна в том и только в том случае, когда М лежит на прямой, и не принадлежит отрезку между фокусами. Будем также предполагать, что a ¹ 0, иначе, точки, удовлетворяющие этому условию, образуют серединный перпендикуляр отрезка.

Выведем уравнение гиперболы. Как и в случае эллипса введем прямоугольную декартовую систему координат, которую также будем называть канонической , ось абсцисс которой содержит фокусы и, а ось ординат совпадает с серединным перпендикуляром отрезка (рис. 67). В этой системе координаты фокусов равны: . Точка в том и только в том случае лежат на гиперболе, когда ее координаты удовлетворяют уравнению:

Упростим это уравнение. Раскроем модуль: , и ʼʼуединимʼʼ один из радикалов: . Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

После упрощений получим: . Еще раз возведем обе части в квадрат: , или

В силу неравенства (17.1) , в связи с этим существует число b , для которого

Тогда. Разделив обе части этого равенства на, окончательно получим:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (17.4). Покажем обратное. Возьмем произвольную точку, координаты которой являются решением этого уравнения. Пусть. Эти числа будем называть фокальными радиусами точки М. Нам следует показать, что. Из уравнения (17.4) следует, что

Так как, то, заменив в данном выражении у по формуле (17.6), получим:

Из формулы (17.3) следует, что. По этой причине. Таким образом,

Аналогично показывается, что

Раскроем модули в полученных формулах. Пусть. Тогда, в связи с этим. Из неравенства (17.5) следует, что. Так как, то перемножая эти неравенства, получим: . Отсюда следует, что. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и.

Пусть. Тогда и. Из неравенства (17.5) следует, что, перемножая его с неравенством, получим: или. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и. И в первом и во втором случаях модуль разности фокальных радиусов постоянен и равен. Уравнение (17.4) является уравнением гиперболы. Оно носит название канонического .

Рассмотрим свойства гиперболы, которые позволят построить ее изображение. Вначале найдем ее точки пересечения с осями канонической системы координат. Пусть точка служит точкой пересечения гиперболы с осью абсцисс. Тогда из уравнения (17.4) следует, что, ᴛ.ᴇ. либо, либо. Гипербола пересекается с осью абсцисс в двух точках: . Она не пересекает оси ординат. Действительно, в случае если точка лежит на гиперболе, то число удовлетворяет уравнению: , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не имеет действительных корней. Точки и называются вершинами гиперболы, а числа а и b ‑ ее действительной и мнимой полуосями .

В случае если точка лежит на гиперболе, то, как следует из ее канонического уравнения, точки и также лежат на гиперболе. Отсюда следует, что гипербола симметрична, относительно осœей и центрально симметрична относительно начала канонической системы координат. По этой причине достаточно построить точки гиперболы, лежащие в первой координатной четверти, а затем отразить их симметрично относительно осœей и начала системы координат. Из формулы (17.6) следует, что в этой четверти гипербола совпадает с графиком функции. Средствами математического анализа доказывается, что при эта функция является непрерывной, гладкой и возрастающей. Вместе с тем, она имеет асимптоту. Как доказывается в курсе математического анализа, прямая тогда и только тогда служит асимптотой функции при, когда В данном случае

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, прямая ‑асимптота гиперболы в первой координатной четверти. Так как гипербола симметрична относительно координатных осœей, то эта же прямая служит ее асимптотой в третьей четверти, а прямая ‑ ее асимптота во второй и четвертой четвертях. Гипербола изображена на рисунке 67.

Укажем способ построения точек гиперболы циркулем и линœейкой. Пусть и ‑ ее фокусы, и - точки пересечения с осью абсцисс. Построим окружность a с центром в точке радиуса r . Далее увеличим раствор циркуля на длину отрезка и построим окружность b с центром в точке с радиусом. Ясно, что точки пересечения окружностей a и b лежат на гиперболе. Меняя радиус r можно построить любое число точек гиперболы (рис. 68).

Гипербола, аналогично тому, как и эллипс, обладает директориальным свойством.

Определœение 2. Под эксцентриситетом гиперболы принято понимать число, равное:

Из неравенства (17.1) следует, что для гиперболы (сравните, для эллипса эксцентриситет меньше единицы). Выясним, как меняется форма гиперболы, в случае если ее эксцентриситет принимает значения от 1 до + .. Тогда из формулы (17.9) получим: . Пусть e ® 1, тогда a ® c . Как мы уже отмечали, в данном случае гипербола "сжимается", ее ветви приближаются к двум лучам оси абсцисс, начала которых лежат в ее фокусах. При a ® 0 ветви гиперболы "распрямляются" к серединному перпендикуляру отрезка, ᴛ.ᴇ. к оси ординат.

Определœение 3. Прямые, определœенные уравнениями:

называются директрисами гиперболы.

Считается, что директриса соответствует фокусу, а - фокусу. Так как, то. По этой причине директрисы пересекают ось абсцисс во внутренних точках отрезка, заключенного между вершинами гиперболы (рис. 69). Докажем директориальное свойство гиперболы.

Теорема. Гипербола представляет собой множество всœех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до директрисы, соответствующей этому фокусу, является постоянным числом, равным эксцентриситету.

Доказательство. Пусть дана гипербола. Будем предполагать, что на плоскости выбрана ее каноническая система координат. Рассмотрим точку, лежащую на гиперболе. Обозначим через и ее расстояния до директрис и. Из формулы для вычисления расстояния от точки до прямой (см. § 14) следует, что, . Найдем отношения и, где и ‑ фокальные радиусы точки М . Из равенств (17.7) - (17.9), получим: и. По этой причине.

Покажем обратное. Пусть отношение расстояния от некоторой точки М до фокуса гиперболы к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету. Проверим, что точка лежит на гиперболе. Доказательство проведем для фокуса и директрисы. Для вторых фокусов и директрисы рассуждения проводятся аналогично. Пусть даны координаты точки: . Тогда. Расстояние до директрисы равно: . Так как, то. Отсюда

Так как (см. (17.3)), то, или. Точка М принадлежит гиперболе, теорема доказана.

Директориальные свойства эллипса и гиперболы позволяют иначе подойти к определœению этих кривых. Из доказанных теорем следует, что если на плоскости даны прямая (директриса) и точка (фокус), которая не лежит на этой прямой, то множество всœех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы, равно постоянному числу, представляет собой эллипс, в случае если это число меньше единицы, и гиперболу, в случае если оно больше единицы. Ответ на вопрос, какой вид имеет это множество, в случае если отношение равно единице, будет дан в следующем параграфе.

Ответим на вопрос, какой вид имеет множество точек, для каждой из которых отношении расстояния до точки к расстоянию до прямой, не содержащей эту точку, равно единице. Мы покажем, что такое множество точек хорошо известно из школьного курса алгебры, оно совпадает с параболой.

Определœение 1. Множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки плоскости равно расстоянию до фиксированной прямой, не содержащей эту точку, принято называть параболой.

Точку и прямую, которые упомянуты в определœении, будем называть соответственно фокусом и директрисой параболы. Будем также считать, что эксцентриситет параболы равен единице. Нетрудно узнать, что представляет собой множество точек, удовлетворяющих определœению 1, в случае если фокус лежит на директрисе. В случае если F - фокус, d ‑ директриса, а М - точка множества, то в данном случае отрезок FM перпендикулярен d . По этой причине такое множество совпадает с прямой, проходящей через фокус перпендикулярной директрисе.

Выведем уравнение параболы. Для этого выберем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус F и была перпендикулярна даректрисе d параболы, а ее начало О совпадало с серединой отрезка, заключенного между F и точкой Q пересечения оси абсцисс и директрисы. Направление оси абсцисс определяется вектором (рис. 71). Такую систему координат будем называть канонической . Обозначим через p длину отрезка FQ , Число р принято называть фокальным параметром параболы. Тогда в канонической системе координаты фокуса F и уравнение директрисы d имеет вид: ,

Рассмотрим произвольную точку. расстояние р от М до F равно: . Длина перпендикуляра d, опущенного из M на директрису d , согласно формуле для вычисления расстояния от точки до прямой (см § 14), имеет вид: . По этой причине из определœения 1 следует, что точка М в том и только в том случае лежит на параболе, когда

Уравнение (18.1) представляет собой уравнение параболы. Нам крайне важно его упростить. Для этого возведем обе части в квадрат:

Отсюда следует, что

После приведения подобных членов, получим:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в случае если точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (18.4). Нетрудно убедиться в обратном. В случае если координаты точки М служат решением уравнения (18.4), то они удовлетворяют уравнениям (18.3) и (18.2). Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (18.2), получим, что координаты точки М удовлетворяют (18.1). Точка лежит на параболе.

Уравнение (18.4) носит название канонического уравнения параболы. Отметим ее свойства. Начало О канонической системы координат лежит на параболе, так как ‑ решение уравнения (18.4). Она принято называть ее вершиной. Парабола симметрична относительно оси абсцисс и не симметрична относительно оси ординат канонической системы. Действительно, в случае если координаты точки удовлетворяют уравнению (18.4), то координаты точки также удовлетворяют уравнению (18.4), а координаты точки не являются решением этого уравнения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, для построения параболы достаточно изобразить график степенной функции, а затем отобразить его симметрично относительно оси абсцисс. Средствами математического анализа доказывается, что она непрерывная, гладкая и бесконечно возрастающая функция. Парабола изображена на рисунке 71.

Рассмотрим способ построения точек параболы. Пусть F - ее фокус, а d - директриса. Проведем ось симметрии параболы, ᴛ.ᴇ. прямую l , содержащую F и перпендикулярную d . Далее построим несколько прямых перпендикулярных оси. На каждой прямой определим две точки пересечения с окружностью, центр которой находится в фокусе F , а радиус равен расстоянию между этой прямой и директрисой (см. рис. 72). Ясно, что эти точки лежат на параболе.

Пусть кривая g представляет собой эллипс, одну ветвь гиперболы, либо параболу. Пусть F - фокус, а d - директриса кривой g, соответствующая этому фокусу. При этом будем предполагать, что в случае гиперболы фокус и директриса выбраны так, что рассматриваемая ветвь кривой лежит в той же полуплоскости относительно d, что и фокус F . Будем также предполагать, что полюс полярной системы координат совпадает с F, a полярная ось l - лежит на оси симметрии и не пересекает директрису d (рис. 74). Восставим в точке F перпендикуляр к l , Р - точка его пересечения с γ. Обозначим через р длину отрезка FР . Число р будем называть фокальным параметром g.

Обозначим через r и j - полярные координаты точки М . Напомним, что в нашем случае, а j - ориентированный угол между полярной осью l и вектором. Обозначим через Q и N проекции точек Р и М на директрису d , а через К ‑ проекцию М на ось симметрии кривой g (см. рис. 74). Тогда, в случае если R - точка пересечения директрисы d и оси симметрии l , то Так как проекция на l имеет вид: , а, то. Воспользуемся директориальным свойством кривой второго порядка. В случае если e - эксцентриситет g, то. По этой причине, а. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, . Помножив это соотношение на e и выделив r, окончательно получим:

Уравнение (18.6) принято называть полярным уравнением кривой второго порядка g.

Пусть e < 1. Тогда g представляет собой эллипс. В этом случае для любого j: . Так как полярный радиус всœегда положителœен, то для любого угла φ существует значение, ρ определяемое формулой (18.6), для которого точка M (r; j) лежит на эллипсе. Любой луч с началом в полюсе полярной системы координат пересекает эллипс (рис. 75). В случае если e = 1, то g представляет собой - параболу. В этом случае для любого j: , причем при j = 0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в уравнении (18.6) j принимает всœе значения на полуинтервале (- p; p] , за исключением 0. Любой луч с началом в фокусе F , за исключением полярной оси, пересекает параболу (рис. 76). Рассмотрим случай, когда e > 1. Тогда g представляет собой ветвь гиперболы. Как следует из уравнения (18.6), угол j удовлетворяет неравенству. Отсюда

Решим это неравенство. Пусть. Так как, то. Воспользуемся формулами, выражающими эксцентриситет гиперболы через ее полуоси и расстояние между фокусами (см. § 17), получим: , ᴛ.ᴇ. . Нетрудно видеть, что j является решением неравенства (18.7) в том и только в том случае, когда, . Геометрически это означает, что если угол φ принадлежит отрезку [ ; ], то луч, составляющий угол j с полярной осью и с началом в фокусе F, не пересекает ветвь гиперболы. Отметим, что лучи, образующие с полярной осью углы, равные и, параллельны асимптотам гиперболы (рис. 77). Можно доказать, что если на плоскости введены обобщенные полярные координаты (см. § 9), то уравнение (18.6) в случае задает вторую ветвь гиперболы.

Гипербола и ее свойства - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Гипербола и ее свойства" 2017, 2018.

Исследуя гиперболу с помощью построений, подобных построениям, проведенным для исследования эллипса, мы обнаружим, что гипербола обладает свойствами, аналогичными свойствам эллипса.

Рассечем прямой круговой конус плоскостью б, пересекающей обе его плоскости, т.е. параллельной двум его образующим. В сечении получится гипербола. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости б.

Впишем в конус два шара - один в одну его полость, другой в другую, так чтобы каждый из них касался конической поверхности и секущей плоскости. Пусть первый шар касается плоскости б в точке F 1 и касается конической поверхности по окружности UґVґ. Пусть второй шар касается плоскости б в точке F 2 и касается конической поверхности по окружности UV.

Выберем на гиперболе произвольную точку М. Проведем через нее образующую конуса МS и отметим точки d и D, в которых она коснется первого и второго шаров. Соединим точку М с точками F 1 , F 2 , которые назовем фокусами гиперболы. Тогда МF 1 =Md, так как оба отрезка являются касательными к первому шару, проведенными из точки М. Аналогично МF 2 =MD. Вычитая почленно из первого равенства второе, найдем

МF 1 -МF 2 =Md-MD=dD,

где dD - величина постоянная (как образующую конуса с основаниями UґVґ и UV), не зависящая от выбора точки М на гиперболе. Обозначим через Р и Q точки, в которых прямая F 1 F 2 пересекает гиперболу. Эти точки Р и Q называются вершинами гиперболы. Отрезок РQ называется действительной осью гиперболы. В курсе элементарной геометрии доказывается, что dD=PQ. Поэтому МF 1 -MF 2 =PQ.

Если точка М будет находиться на той ветви гиперболы, около которой расположен фокус F 1 , то МF 2 -MF 1 =PQ. Тогда окончательно получаем МF 1 -MF 2 =PQ.

Модуль разности расстояний произвольной точки М гиперболы от ее фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная, равная длине действительной оси гиперболы.

Уравнение гиперболы

Примем основное свойство гиперболы за ее определение: Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине ее действительной оси.

Пусть длина отрезка F 1 F 2 =2с, а длина действительной оси равна 2а. Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рисунке 5. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 (с, 0) и F 2 (-с, 0). Очевидно, 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2а (5) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данной гиперболе. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

r 1 =, r 2 =. Вернемся к равенству (5):

Возведем в квадрат обе части равенства

(х+с) 2 +у 2 =4а 2 ±4а+(х-с) 2 +у 2

Сокращая, получаем:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4а=4а 2 -4 хс

а 2 х 2 -2а 2 хс+а 2 с 2 +а 2 у 2 =а 4 -2а 2 хс+х 2 с 2

х 2 (с 2 -а 2) - а 2 у 2 = а 2 (с 2 -а 2) (6)

Заметим, что с 2 -а 2 >0. Обозначим с 2 -а 2 =b 2 . Уравнение (6) будет иметь вид: b 2 х 2 -а 2 у 2 =а 2 b 2 . Выполним преобразование, приводящее уравнение гиперболы к каноническому виду, а именно поделим обе части уравнения на а 2 b 2: (7) - каноническое уравнение гиперболы, величины а и b - соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Мы должны убедиться в том, что уравнение (7), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (5*), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (7), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (5). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формулы эллипса, найдем для r 1 и r 2 следующие выражения:

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем r 1 -r 2 =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса . Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса - сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F 1 и F 2) называют фокусами гиперболы . Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, - фокальными радиусами .

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости - положением фокусов F 1 и F 2 .

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы , а вторую - ее мнимой осью . Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы .

Середина отрезка F 1 F 2 , соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы .

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F 1 MF 2 (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F 1 F 2 . Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а

Уравнение гиперболы . Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках F 1 и F 2 и действительной осью 2а. Пусть 2с - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 | > 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат , а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической , а соответствующие переменные - каноническими .

В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F 1 (c; 0) и F 2 (-с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2а в координатах |√((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2)| = 2а, где (x; у) - координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х - с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2) + 4а 2 . После упрощения получим -εх - а = ±√((х + с) 2 + у 2), или

√((х + с) 2 + у 2) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 - 1)х 2 - у 2 = с 2 - а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 - a 2 ,

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы .

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F 1 (с;0) и F 2 (-с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F 1 и F 2 . У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F 1 и F 2 меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 - а 2) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы .

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 - а 2). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции - {x: x ≥ а} ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - а 2). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y" = -ab(x 2 - а 2) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:

Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, - не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(-a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы - точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала }