приложение №3

Урок общего разбора темы с использованием опорных схем

«Иррациональные неравенства»

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые ряды. Отметим, что навыки по рассматриваемой теме не относятся к обязательным требованиям к подготовке учащихся, поэтому, у меня её изучают только более подготовленные учащиеся (1 и 2 группа).

Цель урока. Разобрать способы решения иррациональных неравенств среднего и повышенного уровня сложности, разработать опорные схемы.

1 этап урока - организационный (1мин.)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет назначение раздаточного материала, который находится на партах.

2 этап урока (5мин.)

Устная работа на повторение по решению простейших задач по теме «Степень с рациональным показателем»

Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на вопросы, комментируя свой ответ с ссылкой на соответствующий теоретический факт.

Повторение рекомендуется проводить на каждом уроке в 10-11-х классах. Учащимся раздаются листы с заданиями для устной работы, составленные на основе краевых диагностических контрольных работ следующего содержания.

Степень с рациональным показателем

Упростить: 1) 12m 4 /3m 8

2) 6с 3/7 + 4 (с 1/7 ) 3

3) (32х 2 ) 1/5 · х 3/5

4) 2 4,6а · 2 -1,6а

5) 2х 0,2 · х -1,2

6) 4х 3/5 · х 1/10

7) (25х 4 ) 0,5

8) 2х 4/5 · 3х 1/5

9) (3х 2/5 ) 2 + 2х 4/5

10) 3х 1/2 · х 3/2

Вычислить: 11) 4 3,2m · 4 -1,2m , при m =1/4

12) 6 -5,6а · 6 3,6а , при а = 1/2

13) 5 · 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4,4с · 3 -6,4с , при с =1/2

15) 3х 2/5 · х 3/5 , при х = 2

3 этап урока - изучение новой темы (20мин.), лекция

Учитель предлагает 3 группе учащихся приступить к работе над повторением с карточками - консультантами по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» (т.к. изучаемый материал повышенного уровня сложности и к обязательному не относится). Учащиеся 3 группы - это, как правила учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. После выполнения задания происходит обмен карточками внутри группы. Более подготовленные учащиеся приступают к разбору новой темы.

Перед разбором способов решений иррациональных неравенств учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основе которых будут строится опорные схемы для равносильных переходов. В зависимости от уровня подготовки учащихся это могут быть либо устные ответы на вопросы учителя, либо совместная работа учителя и учащихся, но в любом случае на уроке должно прозвучать следующее.

Определение 1. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Например, неравенство (х - 3)/(х 2 + 1) равносильны, т.к. имеют одно и то же множество решений: х . Неравенства 2х/(х - 1) > 1 и 2х > х - 1 не равносильны, т.к. решениями первого являются решения х 1, а решениями второго - числа х > -1.

Определение 2. Область определения неравенства - это множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства.

Мотивация. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, т.к. именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Часто неравенство служит важным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование каких-либо объектов, оценить их количество провести классификацию. Поэтому, с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Пример 1. √(5 - х)

Какова область определения неравенства?

При каком условии при возведении в квадрат обеих частей получится равносильное неравенство?

5 - х ≥ 0

√(5 - х) 5 - х -11

Пример 2. √10 + х - х 2 ≥ 2 10 + х - х 2 ≥ 0 10 + х - х 2 ≥ 4

10 + х - х 2 ≥ 4

т.к. каждое решение второго неравенства системы является решением первого неравенства.

Пример 3. Решить неравенства

А) √3х - 4

Б) √2х 2 + 5х - 3 ≤ 0 2х 2 + 5х - 3 = 0

Разберём три типичных примера, из которых будет видно, как при решении неравенств делать равносильные переходы, когда напрашивающееся преобразование равносильным не является.

Пример 1. √1 - 4х

Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, чтобы получить квадратное неравенство. При этом мы можем получить не равносильное неравенство. Если рассматривать только те х для которых обе части не отрицательны (левая неотрицательно заведомо), то возведение в квадрат будет всё таки возможным. Но что же делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, поскольку ни одно их этих х решением неравенства не будет: ведь для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом, и, стало быть, сама не отрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система

1 - 4х 2

Х + 11 ≥ 0.

Тем не менее, эта система не обязана быть равносильной исходному неравенству. Областью определения полученной системы является вся числовая прямая, в то время как исходное неравенство определено лишь для тех х, для которых 1 - 4х ≥ 0. Значит если мы хотим, чтобы наша система была равносильна неравенству надо приписать это условие:

1 - 4х 2

Х + 11 ≥ 0

1 - 4х ≥ 0

Ответ: (- 6; ¼]

Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что

√f(х) f(х) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0.

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо 2 .

Пример 2. √х > х - 2

Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?

1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

2 случай: если х - 2

х ≥ 0

Х - 2

При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

Х ≥ 0

Х - 2

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:

√f(х) > g(х) f(х) > (g(х)) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0

G(х)

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо >, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≥ (g(х)) 2 .

Пример 3. √х 2 - 1 > √х + 5.

Вопросы:

Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?

Можно ли возвести в квадрат?

Какова область определения неравенств?

Получим х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Х 2 - 1 ≥ 0

Какое условие лишнее?

Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе

Х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:

√f(х) > √g(х) f(х) > g(х)

G(х) ≥ 0.

Подумайте, что изменится, если вместо > в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или <.>

На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.

4 этап - закрепление знаний (5мин.)

Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства: № 1. √х 2 - 1 >1

№ 2. √25 - х 2

Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х 2

При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.

В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.

По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).

5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)

Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.

6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)

3 группа обмен карточками внутри группы.

2 группа № 168 (3, 4)

1 группа № 169 (5), № 170 (6)

Урок «Решение иррациональных неравенств»,

10 класс,

Цель : познакомить учащихся с иррациональными неравенствами и методами их решения.

Тип урока : изучение нового материала.

Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10- 11 класс», Ш.А. Алимов, справочный материал по алгебре, презентация по данной теме.

План урока:

Этап урока

Цель этапа

Время

Организационный момент

Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

2 мин

Устная работа

Пропедевтика определения иррационального уравнения.

4 мин

Изучение нового материала

Познакомить с иррациональными неравенствами и со способами их решения

20 мин

Решение задач

Формировать умение решать иррациональные неравенства

14 мин

Итог урока

Повторить определение иррационального неравенства и способы его решения.

3 мин

Домашнее задание

Инструктаж по домашнему заданию.

2 мин

Ход урока

Организационный момент.

Устная работа (Слайд 4,5)

Какие уравнения называются иррациональными?

Какие из следующих уравнений являются иррациональными?

Найти область определения

Объясните, почему эти уравнения не имеют решения на множестве действительных чисел

Древнегреческий учёный – исследователь, который впервые доказал существование иррациональных чисел (Слайд 6)

Кто впервые ввёл современное изображение корня (Слайд 7)

Изучение нового материала.

В тетради со справочным материалом запишите определение иррациональных неравенств: (Слайд 8) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня, называются иррациональными.

Иррациональные неравенства – это довольно сложный раздел школьного курса математики. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

Чтобы избежать ошибки при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенства функции определены, т.е. найти ООН, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ООН или её частях.

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. В тетради со справочным материалом запишем основные методы решения иррациональных неравенств по аналогии с методами решения иррациональных уравнений. (Слайд 9)

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: (Слайд 10)1. при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству; 2. если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Рассмотрим решение иррациональных неравенств, в которых правая часть является числом. (Слайд 11)

Возведём в квадрат обе части неравенства, но в квадрат мы можем возводить только неотрицательные числа. Значит, найдём ООН, т.е. множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства. Правая часть неравенства определена при всех допустимых значениях х, а левая при

х-4 0. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ.

Правая часть отрицательна, а левая часть неотрицательна при всех значениях х, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой при всех значениях х, удовлетворяющих условию х 3.

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:

Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида

Равносильно системе неравенств:

Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:

1. f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
3. g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.

Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.

Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.

Примеры решения задач

Задача. Решите неравенство:

Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:

Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:

Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .

Задача. Решите неравенство:

Применяем теорему:

Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:

2x 2 − 18x + 16 < (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16 < x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x < 0;
x (x − 10) < 0;
x ∈ (0; 10).

Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}