Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема . Если элементы сходящейся последовательности {x n x n ≥ b (x n ≤ b ), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b ).
Доказательство . Пусть все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b . Требуется доказать неравенство a ≥ b . Предположим, что a < b . Поскольку a - предел последовательности {x n }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x n - a | < b - a . Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a ) < x n - a < b - a . Используя правое из этих неравенств, получим x n < b , а это противоречит условию теоремы. Случай x n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание . Элементы сходящейся последовательности {x n } могут удовлетворять строгому неравенству x n > b , однако при этом предел a может оказаться равным b . Например, если , то x n > 0, однако .
Следствие 1 . Если элементы x n и y n сходящихся последовательностей {x n } и {y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≤ y n , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:
В самом деле, элементы последовательности {y n - x n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что
Следствие 2 . Если все элементы сходящейся последовательности {x n } находятся на сегменте [a , b ], то и ее предел c также находится на этом сегменте.
В самом деле, так как a ≤ x n ≤ b , то a ≤ c ≤ b .
Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.
Теорема . Пусть {x n } и {z n } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y n } удовлетворяют неравенствам x n ≤ y n ≤ z n . Тогда последовательность {y n } сходится и имеет предел a .
Доказательство . Нам достаточно доказать, что последовательность {y n - a } является бесконечно малой. Обозначим через N * номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x n - a ≤ y n - a ≤ z n - a . Отсюда следует, что при n ≥ N * элементы последовательности {y n - a } удовлетворяют неравенству
|y n - a | ≤ max {|x n - a |, |z n - a |}.
Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N 1 и N 2 такие, что при n ≥ N 1 |x n - a | < ε , а при n ≥ N 2 |z n - a | < ε . Пусть N = max{N * , N 1 , N 2 }. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y n - a | < ε . Итак, последовательность {y n - a } - бесконечно малая. Теорема доказана.
Формулировка:
Если существуют 3 последовательности, элементы одной из которых начиная с некоторого номера будут между элементами двух других при равных номерах, а также 2 другие последовательности имеют конечные пределы, и эти пределы равны, то наша последовательность тоже будет сходится к конечному пределу,и этот предел будет равен пределам двух других последовательностей.
Доказательство:
а n предел а n равен d и предел c n равен d
(!) что у последовательности b n тоже есть предел и он равен d
рассмотрим E>0
предел а n равен d, следовательно существует номер N 1 , начиная с которого |а n -d|
тогда:
E-d<а n то есть E-d что и требовалась доказать.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку, и при этом
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Точки разрыва и их типы
Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена.
Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность
f(a + 0) - f(a - 0)
называется скачком функции в точке х = а.
Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен .
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) g(x), , где g(a) 0 также непрерывны в этой точке.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а.
Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-07-22
Пусть цена некоторого актива в текущий момент времени г равна S(T) . Цена исполнения опциона колл на этот актив с моментом исполнения Т равна К. Вычислим цену этого опциона в момент времени т. Разделим временной интервал [г, Т] на п периодов одинаковой длины (Т - т)/п. Вычисление цены колл опциона проводится в рамках n-периодной биномиальной модели ценообразования опционов, а затем находится её предел при п -> оо.
Итак, цена с опциона в n-периодной биномиальной модели определяется формулой (3.12). Согласно определению, jo стремится к In [К/(S(t)dn))/ 1п(м/d) при ті -^ оо. По интегральной формуле Му- авра-Лапласа
b&j0,n,p) - 1 -Ф (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ л/np"q
где Ф(х) = ^ dt - нормальная функция распределения.
Пользуясь определением (3.16) чисел и ad, получим, что при п -> оо
с = 5(г)Ф(гіі) - Ke-r^-T4{d2), (3.17)
где
\ii(S(t)/К) + (г + а2/2)(Т - т)
d\
ал/Т - т
ал/Т - т
Найденную формулу (3.17) для цены колл опциона называют формулой Блэка-Шоулза.
Доказательство формулы (3.17) использует разложение экспоненты в ряд
ех = 1 + х+^+.... (3.18)
Подставив и и d из формулы (3.17) в равенство (3.8), определяющее числа р ид, получим:
erAt - ел/Ш-
Р
Раскладывая экспоненты в ряд по формуле (3.18) и пренебрегая слагаемыми, малыми по сравнению с At, получим, что
ал/At + (г - а212) At ал/At - (г - а212) At
Р ~ т= 1 Я ~ т=
2ал/М 2ал/М
Если неопределённость рыночной цены отсутствует, то цена актива S удовлетворяет уравнению
AS = fiSAt, (2.1)
где At - достаточно мало. При At -> 0 уравнение (2.1) становится дифференциальным
S" = /J.S.
Его решение S(T) = S(0)емТ определяет цену S(T) актива в момент времени Т.
На практике однако всегда существует неопределённость цены актива. Для описания неопределённости рассматриваются функции времени, которые при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Это свойство определяет случайный процесс.
Случайный процесс w{t) называется винеровским, если го(0) = О, и случайные величины w(t\ +s) -w(t\) и w(t2 + s) - w(t2) имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией, равной s и независимы при любых t\, t2, s, образующих непересекающиеся интервалы (ti,ti + s) и (t2,t2 + s).
График винеровского процесса можно получить, например, следующим образом. Зафиксируем некоторое число h > 0 и определим семейство случайных величины Wh(t) в моменты времени t = 0, h, 2h,.... Положим Wh(0) = 0. Разность AWh = Wh((k+l)h) - Wh(kh) является случайной величиной и задаётся таблицей: AWh -6 6 Р 1/2 1/2 Можно представлять, что значение случайной величины Wh ((&+ l)/i) получается из значения Wh(kh) с помощью бросания монеты. Тогда математическое ожидание случайной величины AWh равно М(АИ//1) = 0, а дисперсия D(AWh) = S2. Число й полагают равным Vh, чтобы дисперсия ~D(AWh) оказалась равной h.
Оказывается, что винеровский процесс w(t) получается из семейства случайных величин Wh(t) при h -> 0. Сам предельный переход достаточно труден и здесь не рассматривается. Следовательно, график семейства Wh (t) при малых h является хорошим приближением винеровского процесса. Например, для наглядного изображения винеровского процесса на отрезке достаточно взять h = 0.01.
В простейшем случае, когда /х = 0, то есть фондовый рынок в среднем не растёт и не убывает, предполагается, что
AS = aS Aw,
где w(t) - винеровский процесс, а а > 0 - некоторое положительное число. Тот факт, что приращения цены актива пропорциональны цене, выражает естественное предположение, что неопределённость выражения (S(t + At) - S(t))/S(t) не зависит от S. Это означает, что инвестор одинаково не уверен, какая получится доля прибыли при цене актива в $20 и при цене актива в $100.
Модель поведения цены активов в общем случае определяется уравнением
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t) Aw, (2.2)
Коэффициент а, являющийся единицей неопределённости, называют волатильностью (volatility).
2.2.
Еще по теме Предельный переход:
- Переход к рыночной экономике связан с переходом к системе современного менеджмента, главным объектом которого становится организация (предприятие), а внутри нее - человек труда, работник.
- Предельная величина (предельное значение экономического показателя)
Пусть дана некоторая последовательность перенумерованных чисел x 1 , x 2 ,..., x n ,.. ., которую обозначим коротко или {x n } . Эту последовательность можно записать как функцию от номера n : x n =f(n) , или x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..
Любая последовательность будет задана, если будет указано правило образования ее членов. Последовательность, как правило, задается формулами вида x n =f(n) или x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) и т.д., где .
Пример .Последовательность 2, 4, 8, 16, .. . задана формулой x n =2 n ; геометрическая прогрессия a 1 , a 2 ,..., a n , .. . может быть определена формулой a n =a 1 q n-1 или a n =a n-1 q ; числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . определяются формулами x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .
График числовой последовательности {x n } образуется множеством точек M n (n;f(n)) на плоскости nOx , то есть график числовой последовательности состоит из дискретных точек.
Последовательность {x n } называется возрастающей , если выполнено условие вида .
Последовательность {x n } называется убывающей , если выполнено условие вида .
Последовательность {x n } называется не возрастающей , если выполнено условие вида .
Последовательность {x n } называется не убывающей , если выполнено условие вида: .
Такие последовательности называются монотонными . Остальные последовательности - не монотонные.
Рядом называется бесконечная последовательность каких-либо объектов одинаковой природы.
Пример .Ряд из чисел - числовой ряд. Ряд из функций - функциональный ряд .
Порядок следования элементов ряда - существенен. Поменяв порядок, из тех же элементов получим другой ряд.
Нас здесь интересует лишь числовой ряд и его сумма, записываемая пока формально (не конструктивно, не формализованно), то есть сумма всех членов некоторой бесконечной числовой последовательности u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., или u 1 +u 2 +...+u n +.. .. Этот ряд можно записать компактно в виде
Знак - знак "сигма" или знак суммы, последовательного суммирования всех элементов u n от нижнего предела n=1 (указывается внизу, может быть как любым конечным, так и отрицательной бесконечностью) до верхнего предела (указывается вверху, может быть любым числом, большим или равным нижнему пределу, а также положительной бесконечностью).
Числа u n (n=1, 2, .. .) называются членами ряда, а u n - общим членом ряда.
Пример .В школьном курсе математики дается геометрическая бесконечно убывающая прогрессия a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
Пример . Гармонический ряд чисел - ряд вида: . Ниже мы рассмотрим его более детально.
Числовой ряд будет считаться заданным, то есть каждый его элемент будет определен однозначно, если указано правило нахождения его общего члена или дана некоторая числовая функция
натурального аргумента 
, или u n =f(n)
.
Пример .Если , то задан ряд , или в компактной записи:
Если задан гармонический ряд чисел , то его общий член можно записать в виде , а сам ряд - в виде
Дадим определение конечной суммы ряда и последовательности таких конечных сумм.
Конечная сумма n первых членов ряда называется его n -ой частичной суммой и обозначается через S n :
Эта сумма находится по обычным правилам суммирования чисел. Таких сумм можно составить бесконечно много, то есть для каждого ряда можно рассматривать ряд, составленный из частичных сумм: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . или последовательность частичных сумм, построенных для этого ряда: .
Последовательность ограничена сверху , если найдется такое общее для всех членов последовательности число M , которого не превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено следующее условие:
Последовательность чисел ограничена снизу , если найдется такое общее для всех членов последовательности число m , которое превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено условие:
Последовательность чисел ограничена , если найдутся такие общие для всех членов последовательности числа m и M , которые удовлетворяют условию:
Число a
называется пределом числовой последовательности
{x n }
, если существует такое малое число , что все члены последовательности, за исключением некоторого конечного числа первых членов, попадают в - окрестность числа a
, то есть, в конце концов, сгущаются около точки a
. Таким образом, в промежуток должны попасть все точки x i
, i=N 0
, N 0 +1
, N 0 +2, ..
. последовательности. При этом номер N 0
зависит от выбранного числа , то есть 
(рис. 7.1) .
Рис. 7.1.
Математически существование предела последовательности можно записать в виде:
Этот факт записывают коротко в виде 
или , и говорят, что сходится
к числу a
. Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся
.
Из определения предела непосредственно следует: если отбросить, добавить или изменить конечное число членов последовательности, то сходимость не нарушается (то есть если сходится исходная последовательность, то сходится и измененная последовательность) и пределы исходной и полученной последовательности будут равны.
Пример
.Положим, что 
, где , то есть , , 
.
Этот факт легко доказывается, но мы пока берем его в качестве доказанного факта. Тогда , : 
. Найдем значение
номера (если такой номер существует). Рассмотрим 
. Верно следующее соотношение:
Поэтому, если возьмем номер 
, то неравенство
будет выполнено. Например, при значении , получаем номер N 0 =99
, то есть , |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
Дадим теперь два эквивалентных определения предела функции
: с помощью предела последовательности и с помощью соответствия малых окрестностей
аргумента и значения функции. Из выполнимости одного определения следует выполнимость другого. Пусть функция
y=f(x)
определена 
, кроме, может быть, точки x=x 0
, которая является предельной точкой D(f)
. В этой точке функция
может быть не задана (не определена) или может иметь разрыв.
