А в каких вопросах сомневаетесь?

Тогда сформулируйте, пожалуйста, цель урока.

(Цель прописываем на доске).

Как будем добиваться цели?

Предлагаю вам задание №148 с.80 в учебнике.

Выполняем задание самостоятельно.

Проверяем по образцу: (на слайде)

3, 2, 7, 1, 4, 5, 8, 6,

Легко ли было сравнивать углы? В чем затруднение?

Кто согласен, не согласен?

Как сравнивали? Каким способом?

Критерии:

«5» - 0 ошибок, «4» - 1-2ош., «3» - 3-4 ош.

Практическая работа №1.

Выполняем задание 3) этого номера, чертим в тетради 2 угла, которые легко сравнить и 2 угла, которые сравнить трудно. (1 чел. – за доской)

Взаимопроверка

Проверяем, оцениваем умение чертить углы для сравнения на глаз.

А сейчас, чтобы подтвердить или опровергнуть другие высказывания из игры «Верите ли вы что…», я предлагаю вам познакомиться с небольшой информацией, в которой, если вы будете внимательно читать, можете найти ответы на вопросы.

При чтении я предлагаю использовать прием « Инсерт» для удобства фиксации информации. (+ знал, ! – новое, ? не понял)

Текст для работы:

Форму предметов и их размеры изучает геометрия – часть великой науки математики. Главное понятие геометрии - фигура. У фигур есть своё название: шар, луч, прямая, точка, отрезок, угол, треугольник….

Два луча, исходящих из одной начальной точки, образуют угол. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их начальная точка – вершиной угла. Углы бывают разные: тупые, прямые, острые и развернутые. Величину угла можно сравнить и измерить. Сравнить углы можно разными способами. Сравнить можно на глаз (примерно), а можно путём наложения углов друг на друга. Измеряют углы специальным прибором – транспортиром. Транспортир показывает величину угла в градусах.

Итак, что вы уже знали?

А, какую новую, интересную информации по теме урока вы сейчас узнали?

В задании №148 мы сравнивали углы каким способом?

О каком другом способе сравнения углов узнали?

Практическая работа №2.

Предлагаю сравнить два угла именно этим способом.

Каждый ребенок получает лист с двумя углами:

Предварительно составляется совместно с детьми алгоритм сравнения углов с помощью наложения:

Для того, чтобы сравнить углы, необходимо: Алгоритм:

1) вырезать угол №1; 2) совместить вершины углов и одну из сторон углов; 3) по второй стороне угла определить какой угол больше (меньше).

Дети вырезают один из углов и накладывают на другой по алгоритму.

Каким способом сейчас сравнивали углы?

Математика – наука точная. Как вы считаете, какой способ является более точным?

Физкультминутка

А сейчас я вам вернуться к вопросу №7 игры и выполнить это задание, чтобы проверить его. Смоделируем углы при помощи пластилина и палочек.

Проверим по образцу на слайде или на доске.

Оценим (умение моделировать углы).

Недавно на уроке математики чертили разные углы. Я предлагаю вам решить задачу, связанную с этим заданием. Слайд

Задача. У Юли на чертеже получились 7 тупых углов, 1 прямой, и 11 – острых, а Вали 5 тупых углов, 2 прямых и 14 – острых. У кого и на сколько начерчено углов больше?

Каким из известных способов краткой записи удобнее её записать? (таблицей).

Составим таблицу и решим задачу самостоятельно.

Проверка. Оценка умения решать задачи.

Учебно- методическая разработка урока математики в 5 классе по теме: Сравнение углов наложением.

Аръяхова Марина Владимировна,

Учитель математики МБОУ

«Чувашско-Дрожжановская средняя общеобразовательная школа»

План- конспект урока

Тема урока : Сравнение углов наложением

Тип урока : комбинированный.

Цели урока:

1.Образовательные:

Повторить определение угла и способы обозначения углов;

Повторить определение развернутого угла;

Сформировать умение сравнивать углы наложением.

2.Развивающие:

Развитие умения анализировать и делать выводы из теоретического материала, предложенного в учебнике;

Развитию монологической речи и диалога как формы обобщения и закрепления знаний

3. Воспитательные:

Воспитание культуры математической речи;

Воспитание культуры математической записи при решении задач;

Воспитание культуры использования на уроке геометрических инструментов.

Оборудование : проектор, экран, медиапрезентация, компьютер.

Ход урока:

1.Организационный момент .

- Проверка готовности учащихся к уроку, отметка в журнале отсутствующих учащихся.

Обмен рабочими тетрадями.

2.Актуализация знаний учащихся.

Устная работа .

Используя материалы слайдов №1, 2, 3, 4, 5 повторяем определение угла и виды углов.

Практическая работа.

Выполнить практическую работу, предложенную на слайде №6 по вариантам. Два сильных ученика выполняют то же задание на оборотной стороне доски . Далее самопроверка выполненных работ, для образца используются работы сильных учеников, выполненные на доске и предварительно проверенные учителем.

3.Изучение нового материала.

- Актуализация знаний с целью подготовки к изучению новой темы .

Устный опрос с использованием слайдов №7,8,9,10,11

Вспомнить способы сравнения двух отрезков

Какой из углов больше острый или тупой?

Какой из углов больше острый или прямой?

Какой из углов больше прямой или тупой?

- Постановка проблемного вопроса.

Как сравнить два угла, если они оба острые или оба тупые?

Учитель в ходе устной беседы подводит учащихся к основному выводу изучаемой темы. Для сравнения двух углов необходимо их наложить друг на друга. Если при наложении два угла совместятся то они равны. (слайд№13)

4. Закрепление изученной темы

- Фронтальная работа с классом

Устно выполните задание со слайда№14 и сделайте вывод

Выполните аналогичное задание по слайду№16.

- Работа по учебнику

Учащиеся самостоятельно выполняют упражнение № 516 с учебника, затем проверяют выполненное задание по слайду№18

Выполнение практической работы

Дети выполняют работу самостоятельно в тетрадях по слайду№19. Проверка практической работы выполняется путем взаимопроверки, правильный вариант выполнения дается на слайде№20

5. Подведение итогов урока .

6. Домашнее задание .

Написать мини-сочинение про приключение 4 углов острого, тупого, прямого и развернутого.

Использованная литература .

1. Математика 5 класс: И.И Зубарева,А.Г.Мордкович-М.:Мнемозина, 2012.

2. Алгебра открытые уроки: С.Н.Зеленская. Издательство «Учитель».

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая - внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС - смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

§ 28. Сравнение углов наложением - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

Разные геометрические формы можно сравнивать между собой различными способами. Одним из таких способов – наложение одной фигуры на другую. Также как и другие фигуры, можно сравнивать между собой углы, когда это необходимо. Сегодня вы узнаете об этом из даного параграфа учебника.
Один из способ сравнения углов – наложение. Углы, которые при наложении совпадают, называют равными. Если углы не совпадают, то можно легко определить, какой из углов будет меньше, а какой больше другого. Чтобы сравнить углы с помощью наложения, нужно приложить их вершины друг ко другу. Затем совмещают одну сторону одного угла со стороной другого угла. Если при этом вторая их сторона тоже совпадет, то такие углы будут равными. Метод наложения – самый простой графический способ определения равности углов. Для того, чтобы воспользоваться таким методом, подойдет калька или другие полупрозрачные материалы. Либо можно использовать транспортир, замеряя величину одного угла и перенося ее на второй угол. Выберите удобный для себя способ, чтобы решать и изображать разные геометрические задачи, так как в дальнейшем эти знания пригодяться и в решении задач с фигурами. Просмотрите параграф учебника по этой теме, чтобы лучше разобраться и запомнить материал!