Метод интервалов - это универсальный способ решения практически любых неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры. Он основан на следующих свойствах функций:

1. Непрерывная функция g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):

Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x) меняет знак.

2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя - простейший пример хорошо известная функция :

Мы видим, что функция меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.

2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя. Например, функция y=x 2 не меняет знак в точке х=0:

Т.к. уравнение x 2 =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.

Функция меняет знак в нуле числителя, , но не меняет знак в нуле знаменателя: , так как корень - корень второй кратности, то есть четной кратности:

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет.

Обратите внимание! Любое нелинейное неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный , следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств .

1. Для начала необходимо привести неравенство к виду

Р(х)V0,

где V- знак неравенства: <,>,≤ или ≥. Для этого необходимо:

а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,

б) найти корни получившегося выражения,

в) разложить левую часть неравенства на множители

г) одинаковые множители записать в виде степени.

Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней - если в результате получится множитель в четной степени, значит, соответствующий корень имеет четную кратность.

2. Нанести найденные корни на числовую ось.

3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем "пустыми", если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.

4. Выделяем корни четной кратности - в них Р(х) знак не меняет.

5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х 0 , которое больше большего корня и подставляем в Р(х) .

Если P(x 0)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак "+".

Если P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

При переходе через точку, обозначающую корень четной кратности знак НЕ МЕНЯЕТСЯ.

7. Еще раз смотрим на знак исходного неравенства, и выделяем промежутки нужного нам знака.

8. Внимание! Если наше неравенство НЕСТРОГОЕ, то условие равенства нулю проверяем отдельно.

9. Записываем ответ.

Если исходное неравенство содержит неизвестное в знаменателе , то также переносим все слагаемых влево, и приводим левую часть неравенства к виду

(где V- знак неравенства: < или >)

Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству

НЕстрогое неравенство вида

равносильно системе :

На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:

1. Находим корни числителя и знаменателя.
2. Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
3. Далее следуем общему алгоритму:
4. Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
5. Выясняем знак на самом правом промежутке.
6. Расставляем знаки.
7. В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
8. Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
9. Записываем ответ.

Чтобы лучше понять алгоритм решения неравенств методом интервалов , посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов .

Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.

Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.

Пример: Решить систему неравенств

(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,

Сначала решаем неравенство

(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.

Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).

Рисунок 1

Теперь решим неравенство

Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).

Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).

Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).

Пример: Решить систему неравенств

х2 - 6х + 10 < 0,

Решим сначала неравенство

х 2 - 6х + 10 < 0.

Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что

х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.

Поэтому неравенство (2) можно записать в виде

(х - 3) 2 + 1 < 0,

откуда видно, что оно не имеет решении.

Теперь можно не решать неравенство

так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.

Пример: Решить систему неравенств

Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем

1 < 0, < 0.

С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.

Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Пример: Решить систему неравенств

Преобразуем первое неравенство системы:

х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0

(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.

Рассмотрим второе неравенство системы; имеем

Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.

Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.

Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:

х + y < 2,5,

Решение: Приведем систему к виду

Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

>>Математика:Рациональные неравенства

Рациональное неравенство с одной переменной х - это неравенство вида - рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень . Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой, но в математике чаще всего предпочтение отдается букве х.

При решении рациональных неравенств используются те три правила, которые были сформулированы выше в § 1. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду / (ж) > 0, где / (х) - алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f (х) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, который мы уже упоминали выше (см. в предыдущем параграфе пример 3).

Пример 1. Решить неравенство (х - 1) (х + 1) (х - 2) > 0.

Решение. Рассмотрим выражение f(х) = (х-1)(х + 1)(х-2).

Оно обращается в 0 в точках 1,-1,2; отметим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка (рис. 6), на каждом из которых выражение f (x) сохраняет постоянный знак. Чтобы в этом убедиться, проведем четыре рассуждения (для каждого из указанных промежутков в отдельности).

Возьмем любую точку х из промежутка (2, Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Но тогда x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значит, и f (х) > 0 (как произведение рациональное неравенство трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке выполняется неравенство f (x) > 0.

Возьмем любую точку х из интервала (1,2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки-1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1, но х < 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Возьмем любую точку х из интервала (-1,1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х >-1, но х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 > 0, х -1 <0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) > 0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1,1) выполняется неравенство f (x)> 0.

Возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-оо, -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Это значит, что x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Подведем итоги. Знаки выражения f (x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 11. Нас интересуют те из них, на которых выполняется неравенство f (x) > 0. С помощью геометрической модели , представленной на рис. 11, устанавливаем, что неравенство f (x) > 0 выполняется на интервале (-1, 1) или на открытом луче
О т в е т: -1 < х < 1; х > 2.

Пример 2. Решить неравенство
Решение. Как и в предыдущем примере, почерпнем необходимую информацию из рис. 11, но с двумя изменениями по сравнению с примером 1. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f (x) < 0, нам придется выбрать промежутки Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f (x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рис. 12 представлена геометрическая модель ответа, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ:
П р и м е р 3. Решить неравенство
Решение . Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби fх, содержащейся в левой части неравенства. В числителе имеем х 2 - х = х(х - 1).

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - bх ~ 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни. Из уравнения х 2 - 5х - 6 = 0 находим х 1 = -1, х 2 = 6. Значит, (мы воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена: ах 2 + bх + с = а(х - х 1 - х 2)).
Тем самым мы преобразовали заданное неравенство к виду

Рассмотрим выражение:

Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 13). Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение fх) сохраняет постоянный знак. Рассуждая так же, как в примере 1, приходим к выводу, что знаки выражения fх) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 13. Нас интересует, где выполняется неравенство f (x) < 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0твет: -1

Пример 4. Решить неравенство

Решение. При решении рациональных неравенств, как правило, предпочитают оставлять в правой части неравенства только число 0. Поэтому преобразуем неравенство к виду

Далее:

Как показывает опыт, если в правой части не(ра-венства содержится лишь число 0, удобнее проводить рассуждения, когда в левой его части и числитель и знаменатель имеют положительный старший коэффициент . А что у нас? У нас в знаменателе дроби в этом смысле все в порядке (старший коэффициент, т.е. коэффициент при х 2 , равен 6 - положительное число), но в числителе не все в порядке - старший коэффициент (коэффициент при х) равен -4 (отрицательное число). Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство

Разложим числитель и знаменатель алгебраической дроби на множители. В числителе все просто:
Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен

(мы снова воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена).
Тем самым заданное неравенство мы привели к виду

Рассмотрим выражение

Числитель этой дроби обращается в 0 в точке а знаменатель - в точках Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 14), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причем на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак (эти знаки указаны на рис. 14). Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство fх < 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f {х) > 0 или f (x) <0,где
При этом количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым. Затем отмечали на числовой прямой точки а,Ь,с,д. и определяли знаки выражения f (х) на выделенных промежутках. Заметили, что на самом правом из выделенных промежутков выполняется неравенство f (х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f (х) чередуются (см. рис. 16а). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которая чертится справа налево и сверху вниз (рис. 166). На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси х, выполняется неравенство f (х) > 0; где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство f (х) < 0.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Имеем

(обе части предыдущего неравенства умножили на 6).
Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки (в этих точках числитель дроби, содержащейся в левой части неравенства, обращается в нуль) и точки (в этих точках знаменатель указанной дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какое - правее, какое - левее) и не особенно обращая внимания на соблюдение масштаба. Ясно, что Сложнее обстоит дело с числами Первая прикидка показывает, что и то и другое число чуть больше, чем 2,6, откуда нельзя сделать вывод о том, какое из указанных чисел больше, а какое - меньше. Предположим (наугад), что Тогда
Получилось верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: на самом деле
Итак,

Отметим указанные 5 точек в указанном порядке на числовой прямой (рис. 17а). Расставим знаки выражения
на полученных промежутках: на самом правом - знак +, а далее знаки чередуются (рис. 176). Начертим кривую знаков и выделим (штриховкой) те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство f (x) > 0 (рис. 17в). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f (x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f (x) обращается в нуль. Это - корни числителя дроби f (x), т.е. точки отметим их на рис. 17в темными кружочками (и, естественно, включим в ответ). Вот теперь рис. 17в дает полную геометрическую модель решений заданного неравенства.

Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.

Навигация по странице.

Что такое рациональные неравенства?

В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.

Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:

В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.

Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1) , - это рациональные неравенства. А неравенство не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.

Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.

Определение.

Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.

Определение.

Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.

Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , - целые неравенства, а 1:x+3>0 и - дробно рациональные.

Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.

Решение целых неравенств

Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства .

Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).

В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Решение.

Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0 . Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0 , которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2 ,
x≤2/3 .

Ответ:

x≤2/3 .

Пример.

Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .

Решение.

Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0 ,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0 ,
1>0 .

Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.

Ответ:

x - любое.

Пример.

Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .

Решение.

В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0 ,
−2·x 2 +11·x+6>0 .

Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .

Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6 :

Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.

Ответ:

(−0,5, 6) .

В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Решение.

Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 .

Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1 , 2 и 3 , которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.

Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .

Ответ:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.

Пример.

Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .

Решение.

Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.

Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0 ,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0 .

Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.

А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0 и x 2 −2·x−19=0 . Их корнями являются числа . Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:

По чертежу записываем ответ .

Ответ:

В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.

Решение дробно рациональных неравенств

Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них – дробное. Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения.

Алгоритм решения дробно рационального неравенства с одной переменной r(x), ≥):

• Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
• Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x) , где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
• Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
• Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.

Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.

Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.

На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.

Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x) совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x) может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.