На данном уроке будут рассмотрены различные способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на применение этих правил.
Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где - многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .
Каков алгоритм наших действий?
1. Сократить или упростить каждую из дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.
Эти действия требуют разложения на множители многочленов .
Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.
Пример 1. Упростить: .
Решение:
Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, - вынести общий множитель за скобки.
В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.
.
Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:
При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: 
.
Ответ: .
Пример 2. Упростить: .
Решение:
По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .
Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:
.
Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.
Однако они отличаются знаком.
Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.
Пример 3. Упростить: .
Решение:
Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:
Ответ: .
Давайте вспомним: что же такое многочлен? - это сумма одночленов. А одночлен - это произведение степеней переменных и чисел.
Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. Разложить на множители: .
Пример 5. Разложить на множители: .
В последнем примере общий множитель - двучлен.
Способ 2. Группировка.
Пример 6. Разложить на множители: .
Решение:
Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.
В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .
Ответ: .
Способ 3. Формулы сокращенного умножения.
Перечислим основные формулы сокращённого умножения:
1. - разность квадратов;
2. - квадрат суммы (разности);
3. - разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);
Сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).
Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.
Пример 7. Разложить на множители: .
Пример 8. Разложить на множители: .
Решение:
Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .
Ответ: .
Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.
Способ 4. Выделение полного квадрата.
Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.
Пример 9. Разложить на множители: .
Решение:
Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого - - у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: 
. Значит, если в роли из формулы квадрата разности выступает , то в роли должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.
Простые дроби имеют название элементарных дробей.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Дроби различают:
- A x - a ;
- A (x - a) n ;
- M x + N x 2 + p x + q ;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.
При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.
Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
Пример 1
Произвести разложение дроби вида - 2 x + 3 x 3 + x .
Решение
Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.
Применим деление углом. Получаем, что
Отсюда следует, что дробь примет вид
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен - 2 x + 3 x 3 + x .
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов
Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:
- Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
- Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.
Рассмотрим на нескольких примерах:
Пример 2
Когда в знаменателе имеется выражение вида (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x - a + B x - b + C x - c + D x - d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.
Пример 3
Когда знаменатель имеет выражение (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 - неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.
Пример 4
Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.
Пример 5
Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также, как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 - неопределенными коэффициентами.
Пример 6
Когда имеется знаменатель вида (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа
A x - a + B 3 x - b 3 + В 2 x - b 2 + В 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.
Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x (x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.
- Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Производим запись ответа:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.
Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:
x - a x - b x - c x - d .
Пример 7
Произвести разложение дроби 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x .
Решение
По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Квадратный трехчлен x 2 - 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:
x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Запись трехчлена может быть в виде x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Тогда изменится знаменатель: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
После упрощения придем к неравенству вида
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .
Если х = 0 , получим:
2 · 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B · 0 · (0 - 2) + C · 0 · (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6
Если x = 2 , тогда
2 · 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B · 2 · (2 - 2) + C · 2 · (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Если x = 3 , тогда
2 · 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B · 3 · (3 - 2) + C · 3 · (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Ответ: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x - 3 + 1 2 · 1 x - 2
Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.
Пример 8
Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 на простейшие дроби.
Решение
По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Приравняем числители и получим, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = - 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:
5 = - 16 A ⇒ A = 5 16
Если х = - 1
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .
Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .
Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Примечание
При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.
Отношение двух многочленов $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью . Если более точно, то это рациональная функция одной переменной (т.е. переменной $x$).
Рациональная дробь называется правильной , если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной .
Пример №1
Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.
- $\frac{3x^2+5\sin x-4}{2x+5}$;
- $\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$;
- $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$;
- $\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$.
1) Данная дробь не является рациональной, поскольку содержит $\sin x$. Рациональная дробь этого не допускает.
2) Мы имеем отношение двух многочленов: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следовательно, согласно определению, выражение $\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$ есть рациональная дробь. Так как степень многочлена в числителе равна $2$, а степень многочлена в знаменателе равна $9$, то данная дробь является правильной (ибо $2 < 9$).
3) И в числителе, и в знаменателе данной дроби расположены многочлены (разложенные на множители). Нам совершенно неважно, в какой форме представлены многочлены числителя и знаменателя: разложены они на множители или нет. Так как мы имеем отношение двух многочленов, то согласно определению выражение $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ есть рациональная дробь.
Дабы ответить на вопрос о том, является ли данная дробь правильной, следует определить степени многочленов в числителе и знаменателе. Начнём с числителя, т.е. с выражения $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для определения степени этого многочлена можно, конечно, раскрыть скобки. Однако разумно поступить гораздо проще, ибо нас интересует лишь наибольшая степень переменной $x$. Выберем из каждой скобки переменную $x$ в наибольшей степени. Из скобки $(2x^3+8x+4)$ возьмём $x^3$, из скобки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ возьмём $(x^4)^9=x^{4\cdot9}=x^{36}$, а из скобки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ выберем $x^7$. Тогда после раскрытия скобок наибольшая степень переменной $x$ будет такой:
$$ x^3\cdot x^{36}\cdot x^7=x^{3+36+7}=x^{46}. $$
Степень многочлена, расположенного в числителе, равна $46$. Теперь обратимся к знаменателю, т.е. к выражению $(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)$. Степень этого многочлена определяется так же, как и для числителя, т.е.
$$ x\cdot (x^2)^{15}\cdot x^{10}=x^{1+30+10}=x^{41}. $$
В знаменателе расположен многочлен 41-й степени. Так как степень многочлена в числителе (т.е. 46) не меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 41), то рациональная дробь $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ является неправильной.
4) В числителе дроби $\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$ стоит число $3$, т.е. многочлен нулевой степени. Формально числитель можно записать так: $3x^0=3\cdot1=3$. В знаменателе имеем многочлен, степень которого равна $6\cdot 4=24$. Отношение двух многочленов есть рациональная дробь. Так как $0 < 24$, то данная дробь является правильной.
Ответ : 1) дробь не является рациональной; 2) рациональная дробь (правильная); 3) рациональная дробь (неправильная); 4) рациональная дробь (правильная).
Теперь перейдём к понятию элементарных дробей (их ещё именуют простейшими рациональными дробями). Существуют четыре типа элементарных рациональных дробей:
- $\frac{A}{x-a}$;
- $\frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
- $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть
Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.
Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь представить в виде суммы элементарных рациональных дробей. Решению этой задачи и посвящён материал, изложенный на данной странице. Для начала нужно убедиться, что выполнено следующее условие: многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Каждой скобке вида $(x-a)$, расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{A}{x-a}$.
- Каждой скобке вида $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{(x-a)^3}+\ldots+\frac{A_n}{(x-a)^n}$.
- Каждой скобке вида $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q < 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Каждой скобке вида $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Если же дробь неправильная, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить её на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби. Как именно это делается, разберём далее (см. пример №2 пункт 3). Пару слов насчёт буквенных обозначений в числителях (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и тому подобные). Буквы можно использовать любые - на свой вкус. Важно лишь, чтобы эти буквы были различными во всех элементарных дробях. Чтобы найти значения этих параметров применяют метод неопределённых коэффициентов или метод подстановки частных значений (см. примеры №3, №4 и №5).
Пример №2
Разложить заданные рациональные дроби на элементарные (без нахождения параметров):
- $\frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}$;
- $\frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)}$;
- $\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$.
1) Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна $17$ (как определить эту степень детально пояснено в пункте №3 примера №1). Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной. Обратимся к наменателю этой дроби. Начнём со скобок $(x-5)$ и $(x+2)^4$, которые полностью подпадают под вид $(x-a)^n$. Кроме того, имеются ещё и скобки $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Выражение $(x^2+3x+10)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=3$; $q=10$, $n=1$. Так как $p^2-4q=9-40=-31 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=\frac{A}{x-5}+\ldots $$
Полученный результат можно записать так:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22. $$
Тогда дробь $\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ представима в иной форме:
$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}. $$
Дробь $\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 3). Теперь обратимся к знаменателю данной дроби. В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители. Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера , но в нашем случае проще обойтись стандартным "школьным" методом группировки слагаемых:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\\ 3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)} $$
Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:
$$ \frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$
Итак, окончательно имеем:
$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$
Продолжение этой темы будет рассмотрено во второй части.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
