Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды - осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок .

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M 1 и N 1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 , и наоборот, в каждую точку Q 1 отрезка M 1 N 1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р 1 " плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M 1 N 1 , MР = M 1 Р 1 ", РN = Р 1 "N 1 . Из этих равенств следует, что M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MР + РN = MN = M 1 N 1 , то есть, точка Р 1 " принадлежит отрезку M 1 N 1 и совпадает с точкой P 1 , в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 > M 1 N 1 . То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 . Вторая часть теоремы (касательно точки Q 1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О 1 , а точки А и В - соответственно в точки А 1 и В 1 .

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А 1 , О 1 и В 1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А 1 О 1 , ОВ = О 1 В 1 и АВ = А 1 В 1 . Таким образом, АОВ = А 1 О 1 В 1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О 1 .

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения - параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М 1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением .

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М 1 , а точка N - в точку N 1 . При этом выполнены условия параллельного переноса: и . Рассмотрим четырехугольник

ММ 1 N 1 N. У него две противоположные стороны (MM 1 и NN 1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M 1 N 1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол - в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

1. Российский общеобразовательный портал ().

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Свойство 1. Пусть f - движение точек плоскости, A", B" и C"- образы точек А, В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А, В и С коллинеарные.

Cвойство 4. При движении преобразуется в равный ему отрезок Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Свойство 7. Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек. Свойство 7. При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Теорема (Основная теорема движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно R".

«Исследование движений плоскости и некоторых их свойств». стр. 21 из 21

Исследование движений плоскости

и некоторых их свойств

Cодержание

Из истории развития теории движений.

Определение и свойства движений.

Конгруэнтность фигур.

Виды движений.

4.1. Параллельный перенос.

4.2. Поворот.

4.3. Симметрия относительно прямой.

4.4. Скользящая симметрия.

5. Исследование особых свойств осевой симметрии.

6. Исследование возможности существования других видов движений.

7. Теорема подвижности. Два рода движений.

8. Классификация движений. Теорема Шаля.

Движения как группа геометрических преобразований.

Применение движений в решении задач.

Литература.

История развития теории движений.

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!

Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он использовал движения.

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твёрдое целое вокруг некоторой точки О на 180 о, луч ОА перейдёт в его продолжение ОА ’ . При таком повороте (его ещё называют центральной симметрией с центром О ) каждая точка А перемещается в такую точку А ’ , что О является серединой отрезка АА ’ (рис.1).

Рис.1 Рис.2

Пусть О – общая вершина вертикальных углов АОВ и А ’ ОВ ’ . Но тогда ясно, что при повороте на 180 о стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны (рис.2).

Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией : две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине (рис.3). Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.

Рис.3 Рис.4

Применял Фалес и ещё одно движение – параллельный перенос , при котором все точки фигуры смещаются в определённом направлении на одно и то же расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя:

если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки (рис.4).

Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид , автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 г. до н.э.

Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом». По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии .

В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издаёт сочинение «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного». Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или «следов», которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично даётся представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837 г. он выпускает труд «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». В процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:

всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо

параллельным переносом, либо поворотом,

всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой

симметрией, либо скользящей симметрией.

Доказательство теоремы Шаля полностью проводится в п.8 данного реферата.

Важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теории движений (перемещений). К этому времени назрела необходимость дать классификацию всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн (1849-1925).

В 1872 г., вступая в должность профессора Эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название «Эрлангенская программа» .

По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.

В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделены самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделённых на пять групп, была впервые опубликована в 1899 г в книге «Основания геометрии» .

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трёх аксиом движения .

Виды и некоторые важные свойства движений подробно рассматриваются в данном реферате, коротко же их можно выразить следующим образом: движения образуют группу, которая задаёт и определяет евклидову геометрию.

Определение и свойства движений.

При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается новая фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X ’ и Y ’ другой фигуры так, что XY = X ’Y ’.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние

между точками, называется движением этой фигуры.

! Замечание: понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное (образ) положения фигуры. Этим геометрический подход отличается от физического.

При движении разным точкам соответствуют разные образы, причём каждой точке Х одной фигуры ставится в соответствие единственная точка Х ’ другой фигуры. Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным или биективным .

Применительно к движениям вместо термина «равенство» фигур (прямых, отрезков, плоскостей и т.д.) употребляется термин «конгруэнтность» и используется символ  . Для обозначения принадлежности используется символ є.С учётом сказанного можно дать более корректное определение движению:

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых

различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ (X ) φ (Y ).

Результат последовательного выполнения двух движений называется композицией . Если сначала выполняется движение φ , а следом за ним движение ψ , то композиция этих движений обозначается через ψ ◦ φ .

Самым простым примером движения является тождественное отображение (принято обозначать - ε ), при котором каждой точке Х , принадлежащей плоскости, сопоставляется сама эта точка, т.е. ε (X ) = X .

Рассмотрим несколько важных свойств движений.

C войство 1.

Лемма 2. 1. Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Доказательство.

Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C войство 2.

Лемма 2.2 . Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Доказательство.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

Свойство 3 (ассоциативность композиций).

Лемма 2.3. Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n .

Положим φ 1 = φ и φ n+1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

C войство 4 (сохранение прямолинейности) .

Теорема 2. 1. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки,

Движение тела под действием силы тяжести

Курсовая работа >> Физика

Вида траекторий их движения подтверждает возросшее... аэро- и гидродинамики является исследование движения твёрдых тел в газе и... трение) – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление... ствола и плоскость горизонта оружия составляли некоторый угол, ...

Исследование распределения электропроводности в пересжатых детонационных волнах в конденсированных взрывчатых веществах

Дипломная работа >> Химия

... исследования электрофизических свойств ... результаты и их анализ 2.1 ... продуктов детонации в плоскости Чепмена-Жуге... позволяет считать движение электрона квазиклассическим. ... Карташов А. М., Свих В. Г. О некоторых систематических ошибках при измерении проводимости...

Свойства машиностроительных материалов (2)

Практическая работа >> Промышленность, производство

I РАЗДЕЛ Конструкционные стали и сплавы Конструкционными называются стали, предназначенные для изготовления деталей машин (машиностроительные стали), конструкций и сооружений (строительные стали). Углеродистые конструкционные стали Углеродистые...

Введение.

Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.

В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.

Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.

В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.

Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:

Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.

Определение. Преобразованием множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.

Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.

Часть I. Движения пространства.

Общие свойства движений.

Определение. Преобразование пространства называется движением , если оно сохраняет расстояния между точками.

Свойства движений.

1. Преобразование, обратное к движению, – движение.
2. Композиция движений – движение.
3. При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
4. Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.
5. Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
6. Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения движения.

1. Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´.
   Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.

Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.

1. Следует из свойства 3.
2. Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.
3. Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.

Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.

Виды движений.

3.1. Тождественное преобразование.

Определение. Тождественным преобразованием Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Очевидно, тождественное преобразование является движением.

3.2. Параллельный перенос.

Определение. Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .

Теорема 3.2. Параллельный перенос – движение.

Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:

Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.

Центральная симметрия.

Определение. Симметрией относительно точки О (центральной симметрией ) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии .

Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .

Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.

Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 .

Теперь, если В 1 совпала с В´, С 1 – с С´, D 1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В 1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B 1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В 1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S β переводит тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 в тетраэдр A´B´C 2 D 2 .

Теперь, если С 2 совпала с С´, а D 2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С 2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С 2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С 2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S γ переводит тетраэдр A´B´C 2 D 2 в тетраэдр A´B´C´D 3 .

Теперь, если D 3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D 3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D 3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S δ переводит тетраэдр A´B´C´D 3 в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.

Гомотетия пространства.

Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .

Свойства гомотетии.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения гомотетии.

3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).

4. Доказывается от противного.

1. Следует из свойства 1.

Свойства подобия.

Теорема 2.1. Подобие пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:

Доказательство. Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.

Заметим, что, выбрав за f движение , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .

Свойства подобия.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.

3. Следует из определения подобия.

4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.

Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.

Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.

Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.

Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.

Задача 1.

Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.

Решение.

Для правильного треугольника утверждение очевидно.

Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.

Задача 2.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение.

Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.

Сжатие к прямой.

Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k () называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .

Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).

Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.

Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.

Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.

Доказательство. Следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.

Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.

3. Аффинные преобразования пространства.

Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.

Свойства.

1. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
2. Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
3. При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).

Доказательства свойств.

1. Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
2. Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
3. Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.

Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).

Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.

Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.

1. Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
2. Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.

Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.

Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда

Поэтому имеем равенства (*):

Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования .

Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.

Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:

Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система

с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.

Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .

Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:

.

Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:

,

где V 0 – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:

,

где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.

Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).

Задача.

Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.

Решение.

Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.

Ответ: 1:12.

Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством ), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства . Соответственные при родстве элементы называются родственными .

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства .

Свойства родства.

1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
2. (Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
3. Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом . Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова)плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами . При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным .

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными .

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции :

1. Центральное проектирование – проективное преобразование.
2. Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
3. Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

.

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X 1 X 2 (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y 1 Y 2 (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х 1 , Х 2 следует, что прямая Х 1 Х 2 – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y 1 ´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y 2 ´ такую, что Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y 1 ´ и Y 2 ´ следует, что прямая Y 1 ´Y 2 ´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С 0 ´ прямой С´D´.

Докажем, что С 0 совпадает с С´. Из того, что Х 2 при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y 2 ´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С 0 и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D 0 – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись п

Теорема о движении центра масс.

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Например, если бросить камень в цель, совсем не нужно знать как он будет кувыркаться во время полета, важно установить попадет он в цель или нет. Для этого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим по­членно их левые и правые части. Тогда получим:

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем:

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме произ­водных, найдем:

где - ускорение центра масс системы. Так как по свойству вну­тренних сил системы, то, подставляя все найденные значения, получим окончательно:

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением дви­жения материальной точки, получаем другое вы­ражение теоремы: центр масс системы движется как мате­риальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­нений видно, что решения, которые мы получаем, рассмат­ривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т.е. имеют вполне конкрет­ный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движе­ние полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Так движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, сил трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тоже возможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.

Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил) части, осколки его, разлетятся так, что центр масс их будет двигаться по прежней траектории.

Теоремой о движении центра масс механической системы следует пользоваться для решения задач механики, в которых требуется:

По силам, приложенным к механической системе (чаще всего к твердому телу), определить закон движения центра масс;

По заданному закону движения тел, входящих в механическую систему, найти реакции внешних связей;

По заданному взаимному движению тел, входящих в механическую систему, определить закон движения этих тел относительно некоторой неподвижной системы отсчета.

С помощью этой теоремы можно составить одно из уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы.

При решении задач часто используются следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю, .

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.

Например, если на тело начнут действовать две силы, образующие пару сил (рис.38), то центр масс С его будет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращаться вокруг центра масс. И неважно, где приложена пара сил.

Кстати, в статике мы доказывали, что действие пары на тело не зависит от того, где она приложена. Здесь мы показали, что вращение тела будет вокруг центральной оси С .

Рис.38

Теорема об изменении кинетического момента.

Кинетический момент механической системы относительно неподвижного центраO является мерой движения системы вокруг этого центра. При решении задач обычно применятся не сам вектор , а его проекции на оси неподвижной системы координат, которые называются кинетическими моментами относительно оси. Например,- кинетический момент системы относительно неподвижной осиOz .

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов точек и тел, входящих в эту систему. Рассмотрим способы определения кинетического момента материальной точки и твердого тела при различных случаях их движения.

Для материальной точки с массой , имеющей скорость, кинетический момент относительно некоторой осиOz определяется как момент вектора количества движения этой точки относительно выбранной оси:

Кинетический момент точки считается положительным, если со стороны положительного направления оси движение точки происходит против часовой стрелки.

Если точка совершает сложное движение, для определения ее кинетического момента следует вектор количества движения рассматривать как сумму количеств относительного и переносного движений (рис.41)

Но , где- расстояние от точки до оси вращения, и

Рис. 41

Вторую составляющую вектора кинетического момента можно определить так же, как и момент силы относительно оси. Как и для момента силы, величинаравна нулю, если вектор относительной скорости лежит в одной плоскости с осью переносного вращения.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

Наиболее просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ее движении вокруг неподвижного центра формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра O по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра

где - главный момент всех внешних сил относительно центраО .

При решении задач, в которых рассматриваются тела, вращающиеся вокруг неподвижной оси, используют теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

Как и для теоремы о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента имеет следствия.

Следствие 1. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается неизменным.

Следствие 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным.

Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным.. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счет внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.