Ang Pythagorean theorem ay ang pinakamahalagang pahayag ng geometry. Ang teorama ay nabuo bilang mga sumusunod: ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti nito.

Karaniwan ang pagtuklas ng pahayag na ito ay iniuugnay sa sinaunang pilosopo ng Griyego at matematiko na si Pythagoras (VI siglo BC). Ngunit ipinakita ng isang pag-aaral sa Babylonian cuneiform na mga tapyas at sinaunang mga manuskrito ng Tsino (mga kopya ng mas matandang manuskrito) na ang pananalitang ito ay kilala nang matagal bago si Pythagoras, marahil isang milenyo bago siya. Ang merito ni Pythagoras ay natuklasan niya ang patunay ng teorama na ito.

Marahil, ang katotohanang nakasaad sa Pythagorean theorem ay unang itinatag para sa isosceles right triangles. Ito ay sapat na upang tingnan ang mosaic ng itim at mapusyaw na tatsulok na ipinapakita sa fig. 1 upang i-verify ang bisa ng triangle theorem: ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ay naglalaman ng 4 na triangles, at isang parisukat na naglalaman ng 2 triangles ay binuo sa bawat binti. Upang patunayan ang pangkalahatang kaso sa Sinaunang India, mayroon silang dalawang pamamaraan: sa isang parisukat na may isang gilid, apat na right-angled na tatsulok na may mga binti na may haba at inilalarawan (Larawan 2, a at 2, b), pagkatapos ay sumulat sila ng isa. salitang "Tingnan mo!". At sa katunayan, sa pagtingin sa mga figure na ito, makikita natin na sa kaliwa ay isang pigura na walang mga tatsulok, na binubuo ng dalawang parisukat na may mga gilid at, ayon sa pagkakabanggit, ang lugar nito ay pantay, at sa kanan - isang parisukat na may isang gilid - ang lugar nito ay pantay. Samakatuwid, , na siyang pahayag ng Pythagorean theorem.

Gayunpaman, sa loob ng dalawang libong taon, hindi ang visual na patunay na ito ang ginamit, ngunit isang mas kumplikadong patunay na naimbento ni Euclid, na inilagay sa kanyang sikat na aklat na "Mga Simula" (tingnan ang Euclid at ang kanyang "Mga Simula"), pinababa ni Euclid ang taas mula sa ang vertex ng tamang anggulo sa hypotenuse at pinatunayan na ang pagpapatuloy nito ay naghahati sa parisukat na binuo sa hypotenuse sa dalawang parihaba, ang mga lugar kung saan ay katumbas ng mga lugar ng kaukulang mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 3). Ang pagguhit na ginamit sa patunay ng teorama na ito ay pabirong tinatawag na "Pythagorean pants". Sa loob ng mahabang panahon siya ay itinuturing na isa sa mga simbolo ng agham sa matematika.

Ngayon, maraming dosenang iba't ibang patunay ng Pythagorean theorem ang kilala. Ang ilan sa mga ito ay batay sa isang partisyon ng mga parisukat, kung saan ang parisukat na binuo sa hypotenuse ay binubuo ng mga bahagi na kasama sa mga partisyon ng mga parisukat na binuo sa mga binti; iba pa - sa pandagdag sa pantay na mga numero; ang pangatlo - sa katotohanan na ang taas, na ibinaba mula sa tuktok ng tamang anggulo hanggang sa hypotenuse, ay naghahati sa tamang tatsulok sa dalawang tatsulok na katulad nito.

Ang Pythagorean theorem ay sumasailalim sa karamihan sa mga geometric na kalkulasyon. Kahit na sa Sinaunang Babylon, ginamit ito upang kalkulahin ang haba ng taas ng isang isosceles triangle sa pamamagitan ng mga haba ng base at gilid, ang arrow ng segment sa pamamagitan ng diameter ng bilog at ang haba ng chord, at itatag ang relasyon. sa pagitan ng mga elemento ng ilang regular na polygon. Sa tulong ng Pythagorean theorem, ang generalization nito ay napatunayan, na ginagawang posible upang makalkula ang haba ng gilid na nakahiga sa tapat ng isang talamak o mahinang anggulo:

Mula sa paglalahat na ito ay sumusunod na ang pagkakaroon ng tamang anggulo sa ay hindi lamang sapat, kundi isang kinakailangang kondisyon para sa katuparan ng pagkakapantay-pantay . Ang pormula (1) ay nagpapahiwatig ng kaugnayan sa pagitan ng mga haba ng mga diagonal at mga gilid ng isang paralelogram, kung saan madaling mahanap ang haba ng median ng isang tatsulok mula sa mga haba ng mga gilid nito.

Batay sa Pythagorean theorem, ang isang formula ay hinango din na nagpapahayag ng lugar ng anumang tatsulok sa mga tuntunin ng haba ng mga gilid nito (tingnan ang Heron's formula). Siyempre, ang Pythagorean theorem ay ginamit din upang malutas ang iba't ibang mga praktikal na problema.

Sa halip na mga parisukat sa mga gilid ng isang tamang tatsulok, maaari kang bumuo ng anumang mga hugis na katulad ng bawat isa (equilateral triangles, semicircles, atbp.). Sa kasong ito, ang lugar ng figure na binuo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng figure na binuo sa mga binti. Ang isa pang generalization ay konektado sa paglipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: ang parisukat ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito (haba, lapad at taas). Ang isang katulad na teorama ay totoo rin sa mga multidimensional at kahit na walang hanggan-dimensional na mga kaso.

Ang Pythagorean theorem ay umiiral lamang sa Euclidean geometry. Hindi ito nagaganap sa geometry ni Lobachevsky o sa ibang mga geometry na hindi Euclidean. Walang analogue ng Pythagorean theorem sa globo alinman. Dalawang meridian na bumubuo ng isang anggulo ng 90° at ang ekwador ay nakagapos sa isang equilateral na spherical triangle sa globo, ang tatlo ay mga tamang anggulo. Para sa kanya, hindi gaya ng nasa eroplano.

Gamit ang Pythagorean theorem, ang distansya sa pagitan ng mga punto at ang coordinate plane ay kinakalkula ng formula

.

Matapos matuklasan ang Pythagorean theorem, ang tanong ay lumitaw kung paano hanapin ang lahat ng triple ng natural na mga numero na maaaring maging mga gilid ng right triangles (tingnan ang mahusay na theorem ni Fermat). Ang mga ito ay natuklasan ng mga Pythagorean, ngunit ang ilang pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng gayong triple ng mga numero ay kilala kahit na sa mga Babylonians. Ang isa sa mga cuneiform tablet ay naglalaman ng 15 triplets. Kabilang sa mga ito ay may mga triple, na binubuo ng napakalaking bilang na maaaring walang tanong sa paghahanap sa kanila sa pamamagitan ng pagpili.

HIPPOCRATE HELS

Ang mga hippocratic hole ay mga figure na nakatali sa mga arko ng dalawang bilog, at, bukod dito, tulad na, gamit ang radii at haba ng karaniwang chord ng mga bilog na ito, gamit ang isang compass at isang ruler, maaari kang bumuo ng mga parisukat na pantay na sukat sa kanila.

Mula sa generalization ng Pythagorean theorem hanggang sa mga kalahating bilog, sumusunod na ang kabuuan ng mga lugar ng mga pink na butas na ipinapakita sa figure sa kaliwa ay katumbas ng lugar ng asul na tatsulok. Samakatuwid, kung kukuha tayo ng isosceles right triangle, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang butas, ang lugar ng bawat isa ay magiging katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok. Sinusubukang lutasin ang problema ng pag-squaring ng isang bilog (tingnan ang Classical Problems of Antiquity), ang sinaunang Greek mathematician na si Hippocrates (5th century BC) ay nakahanap ng higit pang mga butas, ang mga lugar kung saan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga lugar ng rectilinear figure.

Ang isang kumpletong listahan ng mga hippomarginal hole ay nakuha lamang noong ika-19-20 siglo. sa pamamagitan ng paggamit ng Galois theory method.

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay karaniwang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang natural na siyentipikong pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliché at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, bagaman ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work Zhou -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga Katibayan ng Pythagorean Theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: ang isa ay may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na pormula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled na tatsulok gaya ng ipinahiwatig sa drawing. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted kasama. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras, kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang mga lugar ng lahat ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Ang teorama ay napatunayan.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's upuan” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga konstruksyon na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Tsino na mathematician at sa amin pagkatapos nila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD segment ng linya ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at AT, pati na rin ang E at Sa at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang pigura sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na kilala na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin ang kanang bahagi ng notasyon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nang matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, at mga katulad nito. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at may malaking kahalagahan sa geometry. Ang mga triple ng Pythagorean ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triplet ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid na 3.4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay bilang default na parihaba.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa pagtatayo: ang Pythagorean theorem ay malawakang ginagamit dito sa mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng mga rafters para sa isang gable roof. Tukuyin kung gaano kataas ang isang mobile tower na kailangan para maabot ng signal ang isang tiyak na settlement. At kahit na patuloy na mag-install ng Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magdudulot ng mga pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahating kabanata ng isang kuwento tungkol sa isang dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaunawa sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong itong lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas mataas na mga marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Upang kumbinsihin sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

PAGSUKAT NG LUGAR NG MGA GEOMETRIC FIGURES.

§ 58. ANG PYTHAGOREAN THEOREM 1 .

__________
1 Si Pythagoras ay isang Greek scientist na nabuhay mga 2500 taon na ang nakalilipas (564-473 BC).
_________

Hayaang bigyan ang isang tamang tatsulok kung kaninong panig a, b at kasama(dev. 267).

Bumuo tayo ng mga parisukat sa mga gilid nito. Ang mga lugar ng mga parisukat na ito ay ayon sa pagkakabanggit a 2 , b 2 at kasama 2. Patunayan natin yan kasama 2 = a 2 +b 2 .

Bumuo tayo ng dalawang parisukat na MKOR at M"K"O"R" (Fig. 268, 269), na kumukuha para sa gilid ng bawat isa sa kanila ng isang segment na katumbas ng kabuuan ng mga binti ng isang right-angled triangle ABC.

Matapos makumpleto ang mga konstruksyon na ipinakita sa mga guhit 268 at 269 sa mga parisukat na ito, makikita natin na ang parisukat ng MKOR ay nahahati sa dalawang parisukat na may mga lugar. a 2 at b 2 at apat na pantay na right triangle, ang bawat isa ay katumbas ng right triangle ABC. Ang parisukat na M"K"O"R" ay nahahati sa isang may apat na gilid (ito ay may kulay sa pagguhit 269) at apat na right-angled na tatsulok, na ang bawat isa ay katumbas din ng tatsulok na ABC. Ang may kulay na quadrilateral ay isang parisukat, dahil ang mga gilid nito ay pantay (ang bawat isa ay katumbas ng hypotenuse ng tatsulok na ABC, i.e. kasama) at tama ang mga anggulo / 1 + / 2 = 90°, kung saan / 3 = 90°).

Kaya, ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti (sa pagguhit ng 268 mga parisukat na ito ay may kulay) ay katumbas ng lugar ng MKOR square na walang kabuuan ng mga lugar ng apat na pantay na tatsulok, at ang lugar ng ​ang parisukat na itinayo sa hypotenuse (sa pagguhit 269 ang parisukat na ito ay may kulay din) ay katumbas ng lugar ng parisukat na M "K" O "R", katumbas ng parisukat ng MKOR, nang walang kabuuan ng mga lugar ng apat sa parehong tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti.

Nakukuha namin ang formula kasama 2 = a 2 +b 2, kung saan kasama- hypotenuse, a at b- mga binti ng isang kanang tatsulok.

Ang Pythagorean theorem ay maaaring ibuod tulad ng sumusunod:

Ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Mula sa formula kasama 2 = a 2 +b 2 maaari mong makuha ang mga sumusunod na formula:

a 2 = kasama 2 - b 2 ;
b 2 = kasama 2 - a 2 .

Ang mga formula na ito ay maaaring gamitin upang mahanap ang hindi kilalang bahagi ng isang right triangle na ibinigay sa dalawa sa mga gilid nito.
Halimbawa:

a) kung binigay ang mga binti a= 4 cm, b\u003d 3 cm, pagkatapos ay mahahanap mo ang hypotenuse ( kasama):
kasama 2 = a 2 +b 2 , ibig sabihin. kasama 2 = 4 2 + 3 2 ; na may 2 = 25, kung saan kasama= √25 =5 (cm);

b) kung ang hypotenuse ay ibinigay kasama= 17 cm at binti a= 8 cm, pagkatapos ay makakahanap ka ng isa pang binti ( b):

b 2 = kasama 2 - a 2 , ibig sabihin. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, kung saan b= √225 = 15 (cm).

Bunga: Kung sa dalawang tamang tatsulok ABC at A 1 B 1 C 1 hypotenuse kasama at kasama 1 ay pantay, at ang binti b ang tatsulok na ABC ay mas malaki kaysa sa binti b 1 tatsulok A 1 B 1 C 1,
tapos yung binti a tatsulok na ABC na mas mababa sa binti a 1 tatsulok A 1 B 1 C 1 . (Gumawa ng isang guhit na nagpapakita ng kahihinatnan na ito.)

Sa katunayan, batay sa Pythagorean theorem, nakukuha natin ang:

a 2 = kasama 2 - b 2 ,
a 1 2 = kasama 1 2 - b 1 2

Sa mga nakasulat na formula, ang minuends ay pantay, at ang subtrahend sa unang formula ay mas malaki kaysa sa subtrahend sa pangalawang formula, samakatuwid, ang unang pagkakaiba ay mas mababa kaysa sa pangalawa,
i.e. a 2 < a 12 . saan a< a 1 .

Mga ehersisyo.

1. Gamit ang drawing 270, patunayan ang Pythagorean theorem para sa isosceles right triangle.

2. Ang isang binti ng isang right triangle ay 12 cm, ang isa ay 5 cm. Kalkulahin ang haba ng hypotenuse ng tatsulok na ito.

3. Ang hypotenuse ng right triangle ay 10 cm, ang isa sa mga binti ay 8 cm. Kalkulahin ang haba ng kabilang binti ng triangle na ito.

4. Ang hypotenuse ng right triangle ay 37 cm, ang isa sa mga binti nito ay 35 cm. Kalkulahin ang haba ng kabilang binti ng triangle na ito.

5. Bumuo ng isang parisukat na dalawang beses sa lugar ng ibinigay na isa.

6. Bumuo ng isang parisukat, dalawang beses sa lugar ng ibinigay na isa. Pagtuturo. Gumuhit ng mga dayagonal sa parisukat na ito. Ang mga parisukat na itinayo sa mga kalahati ng mga dayagonal na ito ay ang nais na mga.

7. Ang mga binti ng isang kanang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit 12 cm at 15 cm Kalkulahin ang haba ng hypotenuse ng tatsulok na ito na may katumpakan na 0.1 cm.

8. Ang hypotenuse ng right triangle ay 20 cm, ang isa sa mga binti nito ay 15 cm. Kalkulahin ang haba ng kabilang binti sa pinakamalapit na 0.1 cm.

9. Gaano katagal dapat ang hagdan upang ito ay nakakabit sa isang bintana na matatagpuan sa taas na 6 m, kung ang ibabang dulo ng hagdan ay dapat na 2.5 m mula sa gusali? (Damn. 271.)

Siguraduhin na ang tatsulok na ibinigay sa iyo ay isang tamang tatsulok, dahil ang Pythagorean theorem ay nalalapat lamang sa mga tamang tatsulok. Sa mga tamang tatsulok, ang isa sa tatlong anggulo ay palaging 90 degrees.

• Ang isang tamang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ipinapahiwatig ng isang parisukat sa halip na isang curve, na kumakatawan sa mga hindi tamang anggulo.

Lagyan ng label ang mga gilid ng tatsulok. Italaga ang mga binti bilang "a" at "b" (ang mga binti ay mga gilid na nagsasalubong sa tamang mga anggulo), at ang hypotenuse bilang "c" (ang hypotenuse ay ang pinakamalaking gilid ng isang tamang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo).

Tukuyin kung aling bahagi ng tatsulok ang gusto mong hanapin. Ang Pythagorean theorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang anumang panig ng isang right triangle (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala). Tukuyin kung aling panig (a, b, c) ang kailangang matagpuan.

• Halimbawa, binigyan ng hypotenuse na katumbas ng 5, at binigyan ng isang binti na katumbas ng 3. Sa kasong ito, kailangan mong hanapin ang pangalawang binti. Babalik tayo sa halimbawang ito mamaya.
• Kung ang iba pang dalawang panig ay hindi alam, ang haba ng isa sa mga hindi kilalang panig ay dapat matagpuan upang mailapat ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, gamitin ang mga pangunahing trigonometric function (kung bibigyan ka ng halaga ng isa sa mga hindi tamang anggulo).

Palitan sa formula ang isang 2 + b 2 \u003d c 2 ang mga halaga na ibinigay sa iyo (o ang mga halaga na iyong natagpuan). Tandaan na ang a at b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 3² + b² = 5².

Kuwadrado ang bawat kilalang panig. O iwanan ang mga degree - maaari mong i-square ang mga numero sa ibang pagkakataon.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 9 + b² = 25.

Ihiwalay ang hindi kilalang panig sa isang bahagi ng equation. Upang gawin ito, ilipat ang mga kilalang halaga sa kabilang panig ng equation. Kung nahanap mo ang hypotenuse, pagkatapos ay sa Pythagorean theorem ito ay nakahiwalay na sa isang bahagi ng equation (kaya walang kailangang gawin).

• Sa aming halimbawa, ilipat ang 9 sa kanang bahagi ng equation upang ihiwalay ang hindi kilalang b². Makakakuha ka ng b² = 16.

Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation pagkatapos magkaroon ng hindi alam (squared) sa isang side ng equation at intercept (number) sa kabilang side.

• Sa aming halimbawa, b² = 16. Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation at makuha ang b = 4. Kaya ang pangalawang leg ay 4.

Gamitin ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay, dahil maaari itong magamit sa isang malaking bilang ng mga praktikal na sitwasyon. Upang gawin ito, matutong kilalanin ang mga tamang tatsulok sa pang-araw-araw na buhay - sa anumang sitwasyon kung saan ang dalawang bagay (o mga linya) ay nagsalubong sa tamang mga anggulo, at ang ikatlong bagay (o linya) ay nag-uugnay (diagonal) sa tuktok ng unang dalawang bagay (o linya), maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hindi kilalang panig (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala).

• Halimbawa: Binigyan ng hagdan na nakasandal sa isang gusali. Ang ibaba ng hagdan ay 5 metro mula sa base ng dingding. Ang tuktok ng hagdan ay 20 metro mula sa lupa (pataas sa dingding). Ano ang haba ng hagdan?
  • Ang ibig sabihin ng "5 metro mula sa base ng pader" ay a = 5; "ay 20 metro mula sa lupa" ay nangangahulugan na ang b = 20 (iyon ay, binibigyan ka ng dalawang paa ng isang kanang tatsulok, dahil ang pader ng gusali at ang ibabaw ng Earth ay nagsalubong sa tamang mga anggulo). Ang haba ng hagdan ay ang haba ng hypotenuse, na hindi alam.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Kaya, ang tinatayang haba ng hagdan ay 20.6 metro.

Isang bagay na matitiyak mo sa isang daang porsyento, na kapag tinanong kung ano ang parisukat ng hypotenuse, sinumang may sapat na gulang ay matapang na sasagot: "Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Ang teorama na ito ay matatag na nakatanim sa isipan ng bawat taong may pinag-aralan, ngunit sapat lamang na hilingin sa isang tao na patunayan ito, at pagkatapos ay maaaring lumitaw ang mga paghihirap. Samakatuwid, tandaan at isaalang-alang natin ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem.

Maikling pangkalahatang-ideya ng talambuhay

Ang Pythagorean theorem ay pamilyar sa halos lahat, ngunit sa ilang kadahilanan ang talambuhay ng taong gumawa nito ay hindi gaanong sikat. Aayusin natin. Samakatuwid, bago pag-aralan ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, kailangan mong madaling makilala ang kanyang personalidad.

Pythagoras - isang pilosopo, matematiko, palaisip mula ngayon napakahirap na makilala ang kanyang talambuhay mula sa mga alamat na nabuo sa memorya ng dakilang taong ito. Ngunit tulad ng mga sumusunod mula sa mga sinulat ng kanyang mga tagasunod, si Pythagoras ng Samos ay isinilang sa isla ng Samos. Ang kanyang ama ay isang ordinaryong pamutol ng bato, ngunit ang kanyang ina ay nagmula sa isang marangal na pamilya.

Ayon sa alamat, ang kapanganakan ni Pythagoras ay hinulaang ng isang babaeng nagngangalang Pythia, kung saan pinangalanan ang batang lalaki. Ayon sa kanyang hula, ang isang ipinanganak na lalaki ay magdadala ng maraming benepisyo at kabutihan sa sangkatauhan. Which is what he actually did.

Ang pagsilang ng isang teorama

Sa kanyang kabataan, lumipat si Pythagoras sa Egypt upang makilala ang mga sikat na Egyptian sages doon. Matapos makipagpulong sa kanila, pinapasok siya sa pag-aaral, kung saan natutunan niya ang lahat ng magagandang tagumpay ng pilosopiya, matematika at medisina ng Egypt.

Marahil, ito ay sa Egypt na si Pythagoras ay naging inspirasyon ng kamahalan at kagandahan ng mga pyramids at nilikha ang kanyang mahusay na teorya. Maaaring mabigla ito sa mga mambabasa, ngunit naniniwala ang mga modernong istoryador na hindi pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorya. Ngunit ipinasa lamang niya ang kanyang kaalaman sa kanyang mga tagasunod, na kalaunan ay natapos ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon sa matematika.

Maging na ito ay maaaring, ngayon ay hindi isang pamamaraan para sa pagpapatunay ng teorama na ito ay kilala, ngunit ilang sabay-sabay. Ngayon ay maaari lamang nating hulaan kung paano eksaktong ginawa ng mga sinaunang Greeks ang kanilang mga kalkulasyon, kaya dito natin isasaalang-alang ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Bago ka magsimula ng anumang mga kalkulasyon, kailangan mong malaman kung aling teorya ang patunayan. Ang Pythagorean theorem ay ganito ang tunog: "Sa isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 o, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse."

Mayroong 15 sa kabuuan iba't ibang paraan patunay ng Pythagorean theorem. Ito ay isang medyo malaking bilang, kaya bigyang-pansin natin ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan isa

Tukuyin muna natin kung ano ang mayroon tayo. Malalapat din ang data na ito sa iba pang mga paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, kaya dapat mong tandaan kaagad ang lahat ng magagamit na notasyon.

Ipagpalagay na ang isang tamang tatsulok ay ibinigay, na may mga binti a, b at hypotenuse na katumbas ng c. Ang unang paraan ng patunay ay batay sa katotohanan na ang isang parisukat ay dapat na iguguhit mula sa isang right-angled na tatsulok.

Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng isang segment na katumbas ng binti sa haba ng binti a, at kabaliktaran. Kaya dapat itong lumabas ng dalawang pantay na panig ng parisukat. Ito ay nananatiling lamang upang gumuhit ng dalawang parallel na linya, at ang parisukat ay handa na.

Sa loob ng nagresultang figure, kailangan mong gumuhit ng isa pang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse ng orihinal na tatsulok. Upang gawin ito, mula sa vertices ac at sv, kailangan mong gumuhit ng dalawang parallel na mga segment na katumbas ng c. Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong panig ng parisukat, ang isa ay ang hypotenuse ng orihinal na right-angled na tatsulok. Ito ay nananatiling lamang upang iguhit ang ikaapat na segment.

Batay sa resultang figure, maaari nating tapusin na ang lugar ng panlabas na parisukat ay (a + b) 2. Kung titingnan mo ang loob ng figure, makikita mo na bilang karagdagan sa panloob na parisukat, mayroon itong apat na right-angled triangles. Ang lugar ng bawat isa ay 0.5 av.

Samakatuwid, ang lugar ay: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Kaya naman (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

At, samakatuwid, na may 2 \u003d isang 2 + sa 2

Ang teorama ay napatunayan.

Paraan ng dalawa: magkatulad na tatsulok

Ang pormula na ito para sa patunay ng Pythagorean theorem ay hinango sa batayan ng isang pahayag mula sa seksyon ng geometry tungkol sa mga katulad na tatsulok. Sinasabi nito na ang binti ng isang right triangle ay ang mean na proporsyonal sa hypotenuse nito at ang hypotenuse segment na nagmumula sa vertex ng isang anggulo na 90 o.

Ang paunang data ay nananatiling pareho, kaya simulan natin kaagad sa patunay. Gumuhit tayo ng isang segment na CD patayo sa gilid AB. Batay sa pahayag sa itaas, ang mga binti ng mga tatsulok ay pantay:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Upang masagot ang tanong kung paano patunayan ang Pythagorean theorem, ang patunay ay dapat ilagay sa pamamagitan ng pag-squaring ng parehong hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 \u003d AB * HELL at SV 2 \u003d AB * DV

Ngayon kailangan nating idagdag ang mga nagresultang hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kung saan AD + DV \u003d AB

Lumalabas na:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

At samakatuwid:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Ang patunay ng Pythagorean theorem at iba't ibang paraan ng paglutas nito ay nangangailangan ng maraming nalalaman na diskarte sa problemang ito. Gayunpaman, ang pagpipiliang ito ay isa sa pinakasimpleng.

Isa pang paraan ng pagkalkula

Ang paglalarawan ng iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ay maaaring walang sabihin, hanggang sa magsimula kang magsanay nang mag-isa. Maraming mga pamamaraan ang nagsasangkot hindi lamang sa mga kalkulasyon ng matematika, kundi pati na rin ang pagtatayo ng mga bagong figure mula sa orihinal na tatsulok.

Sa kasong ito, kinakailangan upang makumpleto ang isa pang right-angled triangle VSD mula sa binti ng sasakyang panghimpapawid. Kaya, ngayon mayroong dalawang tatsulok na may isang karaniwang binti BC.

Alam na ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay may ratio bilang mga parisukat ng kanilang magkatulad na mga linear na sukat, kung gayon:

S avs * s 2 - S avd * sa 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (mula 2 hanggang 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

mula 2 hanggang 2 \u003d isang 2

c 2 \u003d isang 2 + sa 2

Dahil ang pagpipiliang ito ay halos hindi angkop mula sa iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem para sa grade 8, maaari mong gamitin ang sumusunod na pamamaraan.

Ang pinakamadaling paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem. Mga pagsusuri

Naniniwala ang mga mananalaysay na ang pamamaraang ito ay unang ginamit upang patunayan ang isang teorama sa sinaunang Greece. Ito ay ang pinakasimpleng, dahil ito ay nangangailangan ng ganap na walang mga kalkulasyon. Kung gumuhit ka ng isang larawan nang tama, kung gayon ang patunay ng pahayag na ang isang 2 + sa 2 \u003d c 2 ay malinaw na makikita.

Ang mga kondisyon para sa pamamaraang ito ay bahagyang naiiba mula sa nauna. Upang patunayan ang teorama, ipagpalagay na ang tamang tatsulok na ABC ay isosceles.

Kinukuha namin ang hypotenuse AC bilang gilid ng parisukat at iguhit ang tatlong panig nito. Bilang karagdagan, kinakailangan upang gumuhit ng dalawang diagonal na linya sa nagresultang parisukat. Upang sa loob nito ay makakuha ka ng apat na isosceles triangles.

Sa mga binti AB at CB, kailangan mo ring gumuhit ng isang parisukat at gumuhit ng isang dayagonal na linya sa bawat isa sa kanila. Gumuhit kami ng unang linya mula sa vertex A, ang pangalawa - mula sa C.

Ngayon ay kailangan mong maingat na tingnan ang nagresultang pagguhit. Dahil mayroong apat na tatsulok sa hypotenuse AC, katumbas ng orihinal, at dalawa sa mga binti, ito ay nagpapahiwatig ng katotohanan ng teorem na ito.

Sa pamamagitan ng paraan, salamat sa pamamaraang ito ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, ang sikat na parirala ay ipinanganak: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng direksyon."

Patunay ni J. Garfield

Si James Garfield ay ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos ng Amerika. Bilang karagdagan sa pag-iiwan ng kanyang marka sa kasaysayan bilang pinuno ng Estados Unidos, siya rin ay isang likas na matalinong itinuro sa sarili.

Sa simula ng kanyang karera, siya ay isang ordinaryong guro sa isang katutubong paaralan, ngunit sa lalong madaling panahon ay naging direktor ng isa sa mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Ang pagnanais para sa pag-unlad ng sarili at pinapayagan siyang mag-alok ng isang bagong teorya ng patunay ng Pythagorean theorem. Ang teorama at isang halimbawa ng solusyon nito ay ang mga sumusunod.

Una kailangan mong gumuhit ng dalawang right-angled triangles sa isang piraso ng papel upang ang binti ng isa sa mga ito ay isang pagpapatuloy ng pangalawa. Ang mga vertice ng mga tatsulok na ito ay kailangang konektado upang mapunta sa isang trapezoid.

Tulad ng alam mo, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito at ang taas.

S=a+b/2 * (a+b)

Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang trapezoid bilang isang pigura na binubuo ng tatlong tatsulok, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Ngayon ay kailangan nating i-equalize ang dalawang orihinal na expression

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d isang 2 + sa 2

Mahigit sa isang volume ng isang aklat-aralin ang maaaring isulat tungkol sa Pythagorean theorem at kung paano ito patunayan. Ngunit may katuturan ba kapag ang kaalamang ito ay hindi maisabuhay?

Praktikal na aplikasyon ng Pythagorean theorem

Sa kasamaang palad, ang modernong kurikulum ng paaralan ay nagbibigay para sa paggamit ng teorama na ito lamang sa mga problemang geometriko. Ang mga nagtapos ay malapit nang umalis sa mga pader ng paaralan nang hindi alam kung paano nila magagamit ang kanilang kaalaman at kasanayan sa pagsasanay.

Sa katunayan, lahat ay maaaring gumamit ng Pythagorean theorem sa kanilang pang-araw-araw na buhay. At hindi lamang sa mga propesyonal na aktibidad, kundi pati na rin sa mga ordinaryong gawaing bahay. Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso kapag ang Pythagorean theorem at mga pamamaraan ng patunay nito ay maaaring maging lubhang kailangan.

Koneksyon ng theorem at astronomy

Tila kung paano maaaring ikonekta ang mga bituin at tatsulok sa papel. Sa katunayan, ang astronomy ay isang siyentipikong larangan kung saan malawakang ginagamit ang Pythagorean theorem.

Halimbawa, isaalang-alang ang paggalaw ng isang light beam sa kalawakan. Alam natin na ang liwanag ay naglalakbay sa magkabilang direksyon sa parehong bilis. Tinatawag namin ang trajectory AB kung saan gumagalaw ang light ray l. At kalahati ng oras na kailangan para sa ilaw na makarating mula sa punto A hanggang sa punto B, tawagan natin t. At ang bilis ng sinag - c. Lumalabas na: c*t=l

Kung titingnan mo ang parehong sinag mula sa isa pang eroplano, halimbawa, mula sa isang space liner na gumagalaw sa bilis na v, kung gayon sa gayong pagmamasid sa mga katawan, magbabago ang kanilang bilis. Sa kasong ito, kahit na ang mga nakatigil na elemento ay lilipat nang may bilis na v sa tapat na direksyon.

Sabihin nating ang comic liner ay naglalayag sa kanan. Pagkatapos ang mga puntong A at B, sa pagitan ng kung saan ang sinag ay nagmamadali, ay lilipat sa kaliwa. Bukod dito, kapag ang sinag ay gumagalaw mula sa punto A hanggang sa punto B, ang punto A ay may oras upang lumipat at, nang naaayon, ang ilaw ay darating na sa isang bagong punto C. Upang mahanap ang kalahati ng distansya na inilipat ng punto A, kailangan mong i-multiply ang bilis ng liner sa kalahati ng oras ng paglalakbay ng beam (t ").

At upang malaman kung gaano kalayo ang maaaring maglakbay ng isang sinag ng liwanag sa panahong ito, kailangan mong italaga ang kalahati ng landas ng mga bagong beech at makuha ang sumusunod na expression:

Kung iniisip natin na ang mga punto ng liwanag C at B, pati na rin ang space liner, ay ang mga vertices ng isang isosceles triangle, kung gayon ang segment mula sa point A hanggang sa liner ay hahatiin ito sa dalawang right triangles. Samakatuwid, salamat sa Pythagorean theorem, maaari mong mahanap ang distansya na maaaring maglakbay ng isang sinag ng liwanag.

Ang halimbawang ito, siyempre, ay hindi ang pinakamatagumpay, dahil iilan lamang ang maaaring mapalad na subukan ito sa pagsasanay. Samakatuwid, isinasaalang-alang namin ang higit pang mga makamundong aplikasyon ng theorem na ito.

Saklaw ng paghahatid ng signal ng mobile

Ang modernong buhay ay hindi na maiisip nang walang pagkakaroon ng mga smartphone. Ngunit gaano kalaki ang kanilang magagamit kung hindi nila maikonekta ang mga subscriber sa pamamagitan ng mga komunikasyon sa mobile?!

Ang kalidad ng mga mobile na komunikasyon ay direktang nakasalalay sa taas kung saan matatagpuan ang antenna ng mobile operator. Upang makalkula kung gaano kalayo mula sa isang mobile tower ang isang telepono ay maaaring makatanggap ng signal, maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem.

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang tinatayang taas ng isang nakatigil na tore upang makapagpalaganap ito ng signal sa loob ng radius na 200 kilometro.

AB (taas ng tore) = x;

BC (radius ng signal transmission) = 200 km;

OS (radius ng globo) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Ang paglalapat ng Pythagorean theorem, nalaman namin na ang pinakamababang taas ng tore ay dapat na 2.3 kilometro.

Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay

Kakatwa, ang Pythagorean theorem ay maaaring maging kapaki-pakinabang kahit sa pang-araw-araw na mga bagay, tulad ng pagtukoy sa taas ng isang closet, halimbawa. Sa unang sulyap, hindi na kailangang gumamit ng gayong kumplikadong mga kalkulasyon, dahil maaari ka lamang kumuha ng mga sukat gamit ang isang panukalang tape. Ngunit marami ang nagulat kung bakit lumitaw ang ilang mga problema sa panahon ng proseso ng pagpupulong kung ang lahat ng mga sukat ay kinuha nang higit sa tumpak.

Ang katotohanan ay ang wardrobe ay binuo sa isang pahalang na posisyon at pagkatapos ay tumataas at naka-install laban sa dingding. Samakatuwid, ang sidewall ng cabinet sa proseso ng pag-aangat ng istraktura ay dapat na malayang pumasa pareho sa taas at pahilis ng silid.

Ipagpalagay na mayroong wardrobe na may lalim na 800 mm. Distansya mula sa sahig hanggang kisame - 2600 mm. Sasabihin ng isang may karanasan na tagagawa ng muwebles na ang taas ng cabinet ay dapat na 126 mm na mas mababa kaysa sa taas ng silid. Ngunit bakit eksaktong 126 mm? Tingnan natin ang isang halimbawa.

Sa perpektong sukat ng cabinet, suriin natin ang pagpapatakbo ng Pythagorean theorem:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - lahat ay nagtatagpo.

Sabihin nating ang taas ng cabinet ay hindi 2474 mm, ngunit 2505 mm. Pagkatapos:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Samakatuwid, ang cabinet na ito ay hindi angkop para sa pag-install sa kuwartong ito. Dahil kapag iniangat ito sa isang patayong posisyon, maaaring mapinsala ang katawan nito.

Marahil, na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ng iba't ibang mga siyentipiko, maaari nating tapusin na ito ay higit pa sa totoo. Ngayon ay maaari mong gamitin ang impormasyong natanggap sa iyong pang-araw-araw na buhay at siguraduhin na ang lahat ng mga kalkulasyon ay hindi lamang magiging kapaki-pakinabang, ngunit tama rin.