Imposibleng malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, paano makalkula ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: alisin ang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Desisyon:

Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa napag-uusapan ang pagkalkula ng mga derivatives dati.

Pananaliksik sa pag-andar. Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa mga gawain kung saan isinasaalang-alang ang mga pag-andar at sa kondisyon ay may mga tanong na nauugnay sa kanilang pag-aaral. Isaalang-alang ang mga pangunahing teoretikal na punto na kailangan mong malaman at maunawaan upang malutas ang mga ito.

Ito ay isang buong pangkat ng mga gawain na kasama sa pagsusulit sa matematika. Karaniwang itinataas ang tanong tungkol sa paghahanap ng mga punto ng maximum (minimum) o pagtukoy ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function sa isang naibigay na agwat.Isinasaalang-alang:

— Kapangyarihan at hindi makatwiran na mga pag-andar.

- Mga makatwirang pag-andar.

— Pag-aaral ng mga gawa at pribado.

- Mga function ng logarithmic.

— Trigonometric function.

Kung naiintindihan mo ang teorya ng mga limitasyon, ang konsepto ng isang derivative, ang mga katangian ng isang derivative para sa pag-aaral ng mga graph ng mga function at nito, kung gayon ang mga problemang ito ay hindi magdudulot sa iyo ng anumang kahirapan at malulutas mo ang mga ito nang madali.

Ang impormasyon sa ibaba ay mga teoretikal na punto, ang pag-unawa kung saan ay gagawing posible upang mapagtanto kung paano malutas ang mga naturang problema. Susubukan kong sabihin ang mga ito sa paraang kahit na ang mga nakaligtaan ang paksang ito o hindi nag-aral nito ay malulutas ang mga naturang problema nang walang labis na kahirapan.

Sa mga problema ng pangkat na ito, tulad ng nabanggit na, kinakailangan upang mahanap ang alinman sa minimum (maximum) na punto ng function, o ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan.

Minimum at maximum na mga puntos.Mga derivative na katangian.

Isaalang-alang ang graph ng function:

Ang punto A ay ang pinakamataas na punto, sa pagitan mula O hanggang A ay tumataas ang pag-andar, sa pagitan mula A hanggang B ay bumababa ito.

Ang punto B ay isang minimum na punto, sa pagitan mula A hanggang B ay bumababa ang pag-andar, sa pagitan mula B hanggang C ito ay tumataas.

Sa mga puntong ito (A at B), ang derivative ay naglalaho (katumbas ng zero).

Ang mga tangent sa mga puntong ito ay parallel sa axis baka.

Idaragdag ko na ang mga punto kung saan binabago ng function ang pag-uugali nito mula sa pagtaas patungo sa pagbaba (at kabaliktaran, mula sa pagbaba hanggang pagtaas) ay tinatawag na extrema.

Mahalagang punto:

1. Ang derivative sa pagtaas ng mga pagitan ay may positibong senyales (nKapag pinapalitan ang isang halaga mula sa pagitan sa hinalaw, isang positibong numero ang nakuha).

Nangangahulugan ito na kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may positibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay tumataas.

2. Sa mga pagitan ng pagbaba, ang derivative ay may negatibong tanda (kapag pinapalitan ang halaga mula sa pagitan sa derivative expression, isang negatibong numero ang nakuha).

Kaya, kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa ilang pagitan ay may negatibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay bumababa.

Ito ay kailangang linawin!

Kaya, sa pamamagitan ng pagkalkula ng derivative at equating ito sa zero, makakahanap ka ng mga puntos na naghahati sa totoong axis sa mga pagitan.Sa bawat isa sa mga agwat na ito, maaari mong matukoy ang tanda ng derivative at pagkatapos ay gumawa ng isang konklusyon tungkol sa pagtaas o pagbaba nito.

* Hiwalay, dapat itong sabihin tungkol sa mga punto kung saan ang derivative ay hindi umiiral. Halimbawa, makakakuha tayo ng derivative na ang denominator ay nawawala sa isang partikular na x. Malinaw na para sa naturang x ang derivative ay hindi umiiral. Kaya, ang puntong ito ay dapat ding isaalang-alang kapag tinutukoy ang mga pagitan ng pagtaas (pagbaba).

Ang function sa mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero ay hindi palaging nagbabago ng sign nito. Ito ay magiging isang hiwalay na artikulo. Walang ganoong gawain sa USE mismo.

Ang mga katangian sa itaas ay kinakailangan upang pag-aralan ang pag-uugali ng isang function sa pagtaas at pagbaba.

Ano pa ang kailangan mong malaman upang malutas ang mga tinukoy na problema: ang talahanayan ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Wala kung wala ito. Ito ay pangunahing kaalaman sa paksa ng derivative. Dapat mong malaman ang mga derivatives ng elementary functions nang napakahusay.

Pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong functionf(g(x)), isipin ang functiong(x) ay isang variable at pagkatapos ay kalkulahin ang derivativef’(g(x)) sa pamamagitan ng mga tabular na formula bilang isang ordinaryong derivative ng isang variable. Pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa derivative ng functiong(x) .

Manood ng isang video tutorial ni Maxim Semenikhin tungkol sa isang kumplikadong function:

Mga problema sa paghahanap ng maximum at minimum na puntos

Ang algorithm para sa paghahanap ng maximum (minimum) na mga punto ng function:

1. Hanapin ang derivative ng function f’(x).

2. Hanapin ang mga zero ng derivative (sa pamamagitan ng equating ang derivative sa zero f’(x)=0 at lutasin ang nagresultang equation). Nakahanap din kami ng mga punto kung saan wala ang derivative(sa partikular, ito ay may kinalaman sa fractional-rational functions).

3. Minarkahan namin ang nakuha na mga halaga sa linya ng numero at tinutukoy ang mga palatandaan ng derivative sa mga agwat na ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga mula sa mga agwat sa derivative expression.

Ang output ay isa sa dalawa:

1. Ang pinakamataas na punto ay ang puntokung saan ang derivative ay nagbabago mula sa positibo patungo sa negatibo.

2. Ang pinakamababang punto ay ang puntokung saan ang derivative ay nagbabago mula sa negatibo patungo sa positibo.

Mga problema sa paghahanap ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga

mga function sa pagitan.

Sa isa pang uri ng problema, kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang naibigay na agwat.

Ang algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function:

1. Tukuyin kung mayroong pinakamataas (minimum) na puntos. Upang gawin ito, hanapin namin ang derivative f’(x) , pagkatapos ay i-solve f’(x)=0 (mga puntos 1 at 2 mula sa nakaraang algorithm).

2. Tinutukoy namin kung ang mga nakuhang puntos ay nabibilang sa isang ibinigay na pagitan at isulat ang mga nasa loob nito.

3. Pinapalitan namin sa orihinal na function (hindi sa derivative, ngunit sa ibinigay na isa sa kondisyon) ang mga hangganan ng ibinigay na agwat at ang mga punto (maximum-minimum) na nakahiga sa loob ng interval (item 2).

4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function.

5. Pinipili namin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga mula sa mga nakuha, depende sa kung anong tanong ang ibinigay sa gawain, at pagkatapos ay isulat ang sagot.

Tanong: bakit sa mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function, kinakailangan upang maghanap ng maximum (minimum) na mga puntos?

Ang sagot ay pinakamahusay na inilarawan, tingnan ang isang eskematiko na representasyon ng mga graph na ibinigay ng mga function:

Sa mga kaso 1 at 2, sapat na upang palitan ang mga hangganan ng pagitan upang matukoy ang maximum o minimum na halaga ng function. Sa mga kaso 3 at 4, kinakailangan upang mahanap ang mga zero ng function (maximum-minimum na puntos). Kung papalitan natin ang mga hangganan ng pagitan (nang hindi nahanap ang mga zero ng function), makakakuha tayo ng maling sagot, makikita ito mula sa mga graph.

At ang bagay ay hindi natin makita kung ano ang hitsura ng tsart sa pagitan (kung mayroon man itong maximum o minimum sa loob ng pagitan) gamit ang isang ibinigay na function. Samakatuwid, hanapin ang mga zero ng function nang walang kabiguan!!!

Kung ang equation f'(x)=0 ay hindi magkakaroon ng solusyon, nangangahulugan ito na walang maximum-minimum na mga puntos (Figure 1.2), at upang mahanap ang nakatakdang gawain, tanging ang mga hangganan ng pagitan ang pinapalitan sa function na ito.

Isa pang mahalagang punto. Tandaan na ang sagot ay dapat na isang integer o isang panghuling decimal. Kapag kinakalkula ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function, makakatanggap ka ng mga expression na may numerong e at pi, pati na rin ang mga expression na may ugat. Tandaan na hindi mo kailangang kalkulahin ang mga ito hanggang sa wakas, at malinaw na ang resulta ng gayong mga expression ay hindi magiging sagot. Kung may pagnanais na kalkulahin ang naturang halaga, pagkatapos ay gawin ito (mga numero: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14).

Marami akong naisulat, malamang nalilito? Sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa, makikita mo na ang lahat ay simple.

Susunod, nais kong sabihin sa iyo ang isang maliit na sikreto. Ang katotohanan ay maraming mga gawain ang maaaring malutas nang hindi nalalaman ang mga katangian ng hinalaw at kahit na walang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Tiyak na sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa mga nuances na ito at ipapakita sa iyo kung paano ito ginagawa? huwag palampasin!

Ngunit kung gayon bakit ko sinabi ang teorya sa lahat at sinabi rin na dapat itong malaman nang walang kabiguan. Tama iyon - kailangan mong malaman. Kung naiintindihan mo ito, walang gawain sa paksang ito ang malito sa iyo.

Ang mga "panlilinlang" na iyong matututunan ay makakatulong sa iyo sa paglutas ng mga partikular (ilang) prototype na problema. UpangBilang karagdagang tool, ang mga diskarteng ito ay, siyempre, maginhawang gamitin. Ang problema ay maaaring malutas nang 2-3 beses nang mas mabilis at makatipid ng oras para sa paglutas ng bahagi C.

Lahat ng pinakamahusay!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Derivative ng isang function ng isang variable.

Panimula.

Ang mga pamamaraang pagpapaunlad na ito ay inilaan para sa mga mag-aaral ng Faculty of Industrial and Civil Engineering. Ang mga ito ay pinagsama-sama na may kaugnayan sa programa ng kurso ng matematika sa seksyong "Differential calculus ng mga function ng isang variable."

Ang mga pag-unlad ay kumakatawan sa isang solong gabay sa pamamaraan, na kinabibilangan ng: maikling teoretikal na impormasyon; "karaniwang" mga gawain at pagsasanay na may mga detalyadong solusyon at paliwanag para sa mga solusyong ito; mga pagpipilian sa kontrol.

Mga karagdagang pagsasanay sa dulo ng bawat talata. Ang ganitong istraktura ng mga pag-unlad ay ginagawa silang angkop para sa independiyenteng pag-master ng seksyon na may pinakamaliit na tulong mula sa guro.

§isa. Kahulugan ng isang derivative.

Mekanikal at geometriko na kahulugan

derivative.

Ang konsepto ng derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis.Bumangon ito noong ika-17 siglo. Ang pagbuo ng konsepto ng isang derivative ay historikal na nauugnay sa dalawang problema: ang problema ng bilis ng variable na paggalaw at ang problema ng isang tangent sa isang curve.

Ang mga gawaing ito, sa kabila ng magkaibang nilalaman ng mga ito, ay humahantong sa parehong mathematical operation na dapat gawin sa isang function. Ang operasyong ito ay nakatanggap ng espesyal na pangalan sa matematika. Ito ay tinatawag na operasyon ng pagkakaiba-iba ng isang function. Ang resulta ng operasyon ng pagkita ng kaibhan ay tinatawag na derivative.

Kaya, ang derivative ng function na y=f(x) sa puntong x0 ay ang limitasyon (kung mayroon) ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento.
sa
.

Ang derivative ay karaniwang tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Kaya ayon sa kahulugan

Ginagamit din ang mga simbolo upang tukuyin ang derivative
.

Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.

Kung ang s=s(t) ay ang batas ng rectilinear motion ng isang materyal na punto, kung gayon
ay ang bilis ng puntong ito sa oras t.

Ang geometric na kahulugan ng derivative.

Kung ang function na y=f(x) ay may derivative sa isang punto , pagkatapos ay ang slope ng tangent sa graph ng function sa punto
katumbas
.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function
sa punto =2:

1) Magbigay tayo ng punto =2 pagtaas
. Pansinin, iyon.

2) Hanapin ang pagtaas ng function sa punto =2:

3) Buuin ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento:

Hanapin natin ang limitasyon ng kaugnayan sa
:

.

kaya,
.

§ 2. Derivatives ng ilan

ang pinakasimpleng function.

Kailangang matutunan ng mag-aaral kung paano kalkulahin ang mga derivatives ng mga partikular na function: y=x,y= at sa pangkalahatan y= .

Hanapin ang derivative ng function na y=x.

mga. (x)′=1.

Hanapin natin ang derivative ng function

Derivative

Hayaan
pagkatapos

Madaling mapansin ang isang pattern sa mga expression para sa mga derivatives ng isang power function
sa n=1,2,3.

Kaya naman,

. (1)

Ang formula na ito ay wasto para sa anumang tunay na n.

Sa partikular, gamit ang formula (1), mayroon kaming:

;

.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function

.

.

Ang function na ito ay isang espesyal na kaso ng isang function ng form

sa
.

Gamit ang formula (1), mayroon tayo

.

Derivatives ng mga function y=sin x at y=cos x.

Hayaan ang y=sinx.

Hatiin sa ∆x, nakukuha natin

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0, mayroon tayo

Hayaan ang y=cosx .

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0, nakuha namin

;
. (2)

§3. Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Isaalang-alang ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Teorama1 . Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang naibigay na punto x, kung gayon ang kanilang kabuuan ay naiba-iba din sa puntong ito, at ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivative na termino: (u+v)"=u"+v".(3 )

Patunay: isaalang-alang ang function na y=f(x)=u(x)+v(x).

Ang increment na ∆x ng argumentong x ay tumutugma sa mga increment na ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ng mga function na u at v. Pagkatapos ang function na y ay dagdagan

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Kaya naman,

Kaya, (u+v)"=u"+v".

Teorama2. Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang naibigay na punto x, kung gayon ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto. Sa kasong ito, ang derivative ng produkto ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Patunay: Hayaan ang y=uv, kung saan ang u at v ay ilang naiba-iba na function ng x. Hayaang dagdagan ang x ng ∆x; pagkatapos ay dagdagan ang u ng ∆u, daragdagan ng ∆v ang v, at daragdagan ng ∆y ang y.

Mayroon kaming y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Samakatuwid, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Mula rito

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0 at isinasaalang-alang na ang u at v ay hindi nakadepende sa ∆x, mayroon kaming

Teorama 3. Ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang denominator nito ay katumbas ng parisukat ng divisor, at ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng derivative ng dibidendo ng divisor at ang produkto ng dibidendo sa pamamagitan ng derivative ng divisor, i.e.

Kung ang
pagkatapos
(5)

Teorama 4. Ang derivative ng pare-pareho ay zero, i.e. kung y=C, kung saan С=const, pagkatapos ay y"=0.

Teorama 5. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-sign ng derivative, i.e. kung y=Cu(x), kung saan С=const, pagkatapos ay y"=Cu"(x).

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

.

Ang function na ito ay may form
, kung saan u=x,v=cosx. Ang paglalapat ng panuntunan sa pagkita ng kaibhan (4), makikita natin

.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

.

Inilapat namin ang formula (5).

Dito
;
.

Mga gawain.

Maghanap ng mga derivatives ng mga sumusunod na function:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Bumuo ng ratio at kalkulahin ang limitasyon.

Saan talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba? Salamat sa isang limitasyon. Parang magic, pero sa totoo lang - sleight of hand at walang panloloko. Sa aralin Ano ang derivative? Sinimulan kong isaalang-alang ang mga tiyak na halimbawa, kung saan, gamit ang kahulugan, natagpuan ko ang mga derivatives ng isang linear at quadratic function. Para sa layunin ng cognitive warm-up, patuloy kaming aabalahin derivative table, hinahasa ang algorithm at mga teknikal na solusyon:

Halimbawa 1

Sa katunayan, kinakailangan na patunayan ang isang espesyal na kaso ng derivative ng isang power function, na kadalasang lumilitaw sa talahanayan: .

Desisyon teknikal na pormal sa dalawang paraan. Magsimula tayo sa una, pamilyar nang diskarte: ang hagdan ay nagsisimula sa isang tabla, at ang derivative function ay nagsisimula sa isang derivative sa isang punto.

Isipin mo ilang(tiyak) puntong kabilang sa mga domain isang function na may derivative. Itakda ang pagtaas sa puntong ito (siyempre, hindi lampaso/o -ako) at bumuo ng kaukulang pagtaas ng function:

Kalkulahin natin ang limitasyon:

Ang kawalan ng katiyakan 0:0 ay inalis sa pamamagitan ng isang karaniwang pamamaraan na isinasaalang-alang noong unang siglo BC. I-multiply ang numerator at denominator sa magkadugtong na expression :

Ang pamamaraan para sa paglutas ng naturang limitasyon ay tinalakay nang detalyado sa panimulang aralin. tungkol sa mga limitasyon ng mga pag-andar.

Dahil ang ANUMANG punto ng pagitan ay maaaring mapili bilang, kung gayon, sa pamamagitan ng pagpapalit ng , nakukuha natin ang:

Sagot

Muli, tayo ay magalak sa mga logarithms:

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng function gamit ang definition ng derivative

Desisyon: isaalang-alang natin ang ibang paraan sa pagsulong ng parehong gawain. Ito ay eksaktong pareho, ngunit mas makatwiran sa mga tuntunin ng disenyo. Ang ideya ay alisin ang subscript sa simula ng solusyon at gamitin ang titik sa halip na ang titik.

Isipin mo arbitraryo puntong kabilang sa mga domain function (interval ), at itakda ang increment dito. At dito, sa pamamagitan ng paraan, tulad ng sa karamihan ng mga kaso, maaari mong gawin nang walang anumang reserbasyon, dahil ang logarithmic function ay naiiba sa anumang punto sa domain ng kahulugan.

Pagkatapos ang kaukulang pagdaragdag ng function ay:

Hanapin natin ang derivative:

Ang kadalian ng disenyo ay balanse ng pagkalito na maaaring maranasan ng mga nagsisimula (at hindi lamang). Pagkatapos ng lahat, nasanay na tayo sa katotohanan na ang titik na "X" ay nagbabago sa limitasyon! Ngunit narito ang lahat ay naiiba: - isang antigong estatwa, at - isang buhay na bisita, masayang naglalakad sa koridor ng museo. Iyon ay, ang "x" ay "tulad ng isang pare-pareho".

Magkokomento ako sa pag-aalis ng kawalan ng katiyakan nang hakbang-hakbang:

(1) Gamitin ang ari-arian ng logarithm .

(2) Sa mga bracket, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

(3) Sa denominator, artipisyal tayong nagpaparami at hinahati sa "x" upang samantalahin ang kahanga-hangang limitasyon , habang bilang infinitesimal angat sa iba.

Sagot: sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative:

O sa madaling salita:

Iminumungkahi kong independiyenteng bumuo ng dalawa pang tabular na mga formula:

Halimbawa 3

Sa kasong ito, ang pinagsama-samang pagtaas ay agad na maginhawa upang mabawasan sa isang karaniwang denominator. Isang tinatayang sample ng takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin (ang unang paraan).

Halimbawa 3:Desisyon : isaalang-alang ang ilang punto , na kabilang sa saklaw ng function . Itakda ang pagtaas sa puntong ito at bumuo ng kaukulang pagtaas ng function:

Hanapin natin ang derivative sa isang punto :


Dahil bilang maaari kang pumili ng anumang punto saklaw ng function , pagkatapos at
Sagot : sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative

Halimbawa 4

Maghanap ng derivative ayon sa kahulugan

At dito dapat bawasan ang lahat kahanga-hangang limitasyon. Ang solusyon ay naka-frame sa pangalawang paraan.

Katulad nito, ang isang bilang ng iba pa tabular derivatives. Ang isang kumpletong listahan ay matatagpuan sa isang aklat-aralin sa paaralan, o, halimbawa, ang 1st volume ng Fichtenholtz. Wala akong nakikitang punto sa muling pagsusulat mula sa mga libro at mga patunay ng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan - nabuo din sila ng formula.

Halimbawa 4:Desisyon , pag-aari , at magtakda ng dagdag dito

Hanapin natin ang derivative:

Ginagamit ang kahanga-hangang limitasyon

Sagot : a-prioryo

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function , gamit ang kahulugan ng derivative

Desisyon: Gamitin ang unang biswal na istilo. Isaalang-alang natin ang ilang punto na kabilang sa , itakda natin ang pagtaas ng argumento dito. Pagkatapos ang kaukulang pagdaragdag ng function ay:

Marahil ang ilang mga mambabasa ay hindi pa lubos na nauunawaan ang prinsipyo kung saan dapat gawin ang isang pagtaas. Kumuha kami ng isang punto (numero) at hanapin ang halaga ng pag-andar dito: , iyon ay, sa function sa halip na Dapat palitan ang "x". Ngayon kumuha din kami ng isang napaka-tiyak na numero at pinapalitan din ito sa function sa halip na"x": . Isinulat namin ang pagkakaiba, habang kinakailangan ganap na panaklong.

Composed Function Increment ito ay kapaki-pakinabang upang agad na gawing simple. Para saan? Padaliin at paikliin ang solusyon ng karagdagang limitasyon.

Gumagamit kami ng mga formula, bukas na mga bracket at binabawasan ang lahat ng maaaring bawasan:

Ang pabo ay gutted, walang problema sa inihaw:

Sa kalaunan:

Dahil ang anumang tunay na numero ay maaaring mapili bilang kalidad, ginagawa namin ang pagpapalit at makuha .

Sagot: a-prioryo.

Para sa mga layunin ng pag-verify, nakita namin ang derivative na ginagamit mga panuntunan at talahanayan ng pagkakaiba-iba:

Ito ay palaging kapaki-pakinabang at kaaya-aya na malaman ang tamang sagot nang maaga, kaya mas mahusay na sa isip o sa isang draft na pagkakaiba-iba ang iminungkahing function sa isang "mabilis" na paraan sa pinakadulo simula ng solusyon.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang resulta ay nasa ibabaw:

Halimbawa 6:Desisyon : isaalang-alang ang ilang punto , pag-aari , at itakda ang pagtaas ng argumento dito . Pagkatapos ang kaukulang pagdaragdag ng function ay:


Kalkulahin natin ang derivative:


kaya:
Dahil bilang anumang tunay na numero ay maaaring mapili at
Sagot : a-prioryo.

Bumalik tayo sa istilo #2:

Halimbawa 7

Alamin natin agad kung ano ang dapat mangyari. Sa pamamagitan ng ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Desisyon: isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto na kabilang sa , itakda ang pagtaas ng argumento sa loob nito at isulat ang pagtaas ng function:

Hanapin natin ang derivative:


(1) Gamitin trigonometriko formula .

(2) Sa ilalim ng sine binubuksan namin ang mga bracket, sa ilalim ng cosine ipinakita namin ang mga katulad na termino.

(3) Sa ilalim ng sine binabawasan natin ang mga termino, sa ilalim ng cosine hinahati natin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

(4) Dahil sa kakaiba ng sine, inaalis namin ang "minus". Sa ilalim ng cosine, ipinapahiwatig namin na ang terminong .

(5) Artipisyal nating pinarami ang denominator na gagamitin unang kahanga-hangang limitasyon. Kaya, ang kawalan ng katiyakan ay inalis, sinusuklay namin ang resulta.

Sagot: a-prioryo

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahirapan ng problemang isinasaalang-alang ay nakasalalay sa pagiging kumplikado ng limitasyon mismo + isang bahagyang pagka-orihinal ng pag-iimpake. Sa pagsasagawa, ang parehong mga pamamaraan ng disenyo ay nakatagpo, kaya inilalarawan ko ang parehong mga diskarte sa mas maraming detalye hangga't maaari. Ang mga ito ay katumbas, ngunit gayon pa man, sa aking pansariling impression, mas kapaki-pakinabang para sa mga dummies na manatili sa unang opsyon na may "X zero".

Halimbawa 8

Gamit ang kahulugan, hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 8:Desisyon : isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto , pag-aari , magtakda tayo ng increment dito at gumawa ng pagtaas ng function:

Hanapin natin ang derivative:

Ginagamit namin ang trigonometric formula at ang unang kapansin-pansing limitasyon:

Sagot : a-prioryo

Suriin natin ang isang mas bihirang bersyon ng problema:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto gamit ang kahulugan ng isang derivative.

Una, ano ang dapat na nasa ilalim na linya? Numero

Kalkulahin natin ang sagot sa karaniwang paraan:

Desisyon: mula sa punto ng view ng kalinawan, ang gawaing ito ay mas simple, dahil ang formula ay isinasaalang-alang ang isang tiyak na halaga sa halip.

Nagtakda kami ng pagtaas sa punto at binubuo ang kaukulang pagtaas ng function:

Kalkulahin ang derivative sa isang punto:

Gumagamit kami ng isang napakabihirang formula para sa pagkakaiba ng mga tangent at muli bawasan ang solusyon sa unang kahanga-hangang limitasyon:

Sagot: sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative sa isang punto.

Ang gawain ay hindi napakahirap lutasin at "sa pangkalahatang mga termino" - sapat na upang palitan ng o simple, depende sa paraan ng disenyo. Sa kasong ito, siyempre, hindi ka makakakuha ng isang numero, ngunit isang derivative function.

Halimbawa 10

Gamit ang kahulugan, hanapin ang derivative ng function sa isang punto (ang isa ay maaaring lumabas na walang katapusan), na napag-usapan ko na sa mga pangkalahatang termino teoretikal na aralin tungkol sa derivative.

Naiiba din ang ilang putol-putol na tinukoy na function sa mga punto ng "junction" ng graph, halimbawa, catdog ay may isang karaniwang derivative at isang karaniwang tangent (abscissa) sa punto . Curve, yes differentiable by ! Maaaring i-verify ito ng mga nagnanais para sa kanilang sarili sa modelo ng nalutas na halimbawa.

©2015-2019 site
Lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kanilang mga may-akda. Hindi inaangkin ng site na ito ang pagiging may-akda, ngunit nagbibigay ng libreng paggamit.
Petsa ng paggawa ng page: 2017-06-11

Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, i.e. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, i.e. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, kaya y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kundisyon ay -3.Ang magkatulad na mga linya ay may parehong mga slope coefficient.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntos na A(-6; 2) at B(-1; 1). Tukuyin sa pamamagitan ng C(-6; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=-6 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulong ABC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng isang obtuse angle \pi -\alpha na may positibong direksyon ng Ox axis.

Tulad ng alam mo, ang tg(\pi -\alpha) ang magiging halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0. pansinin mo yan tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Mula dito, sa pamamagitan ng mga pormula ng pagbabawas, nakukuha namin ang: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y=16x^2+bx+12. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas malaki sa zero.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang ang x_0 ay ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=16x^2+bx+12 kung saan

ay padaplis sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, i.e. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, i.e. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas malaki kaysa sa zero, samakatuwid x_0=1, pagkatapos ay b=-2-32x_0=-34.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y=6.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang linyang y=6 ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 4 na extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=4x-6 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang slope ng tangent sa graph ng function na y \u003d x ^ 2-4x + 9 sa isang arbitrary point x_0 ay y "(x_0). Ngunit y" \u003d 2x-4, na nangangahulugang y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Ang slope ng tangent y \u003d 4x-7 na tinukoy sa kondisyon ay katumbas ng 4. Ang mga parallel na linya ay may parehong mga slope. Samakatuwid, nakita namin ang isang halaga na x_0 na 2x_0-4 \u003d 4. Nakukuha namin : x_0 \u003d 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x_0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntos na A(1; 1) at B(5; 4). Tukuyin sa pamamagitan ng C(5; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=5 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulo BAC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox.