Sa mga "lumang" aklat-aralin, tinatawag din itong "chain" rule. Kaya kung y \u003d f (u), at u \u003d φ (x), ibig sabihin

y \u003d f (φ (x))

complex - compound function (komposisyon ng mga function) pagkatapos

saan , pagkatapos ng pagkalkula ay isinasaalang-alang sa u = φ(x).

Tandaan na dito kinuha namin ang "iba't ibang" komposisyon mula sa parehong mga pag-andar, at ang resulta ng pagkita ng kaibhan ay natural na nakadepende sa pagkakasunud-sunod ng "paghahalo".

Ang panuntunan ng chain ay natural na umaabot sa komposisyon ng tatlo o higit pang mga function. Sa kasong ito, magkakaroon ng tatlo o higit pang "link" sa "chain" na bumubuo sa derivative, ayon sa pagkakabanggit. Narito ang isang pagkakatulad sa multiplikasyon: "mayroon kami" - isang talahanayan ng mga derivatives; "doon" - talahanayan ng pagpaparami; Ang “with us” ay isang chain rule at ang “there” ay isang multiplication rule na may “column”. Kapag kinakalkula ang mga naturang "kumplikadong" derivatives, siyempre, walang mga pantulong na argumento (u¸v, atbp.) ang ipinakilala, ngunit, nang mapansin para sa kanilang sarili ang bilang at pagkakasunud-sunod ng mga pag-andar na nakikilahok sa komposisyon, "i-string" nila ang kaukulang mga link sa ang ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod.

. Dito, limang operasyon ang ginagawa gamit ang "x" upang makuha ang halaga ng "y", iyon ay, isang komposisyon ng limang function ang nagaganap: "panlabas" (ang huli sa kanila) - exponential - e ; pagkatapos ay sa reverse order ay isang batas ng kapangyarihan. (♦) 2 ; trigonometrikong kasalanan (); kapangyarihan. () 3 at panghuli ang logarithmic ln.(). Kaya

Ang mga sumusunod na halimbawa ay "papatayin ang mga pares ng mga ibon gamit ang isang bato": magsasanay kami ng pagkakaiba-iba ng mga kumplikadong function at dagdagan ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na pag-andar. Kaya:

4. Para sa isang function ng kapangyarihan - y \u003d x α - muling pagsusulat nito gamit ang kilalang "basic logarithmic identity" - b \u003d e ln b - sa anyo x α \u003d x α ln x makuha natin

5. Para sa isang arbitrary exponential function, gamit ang parehong pamamaraan, magkakaroon tayo

6. Para sa isang di-makatwirang logarithmic function, gamit ang kilalang formula para sa paglipat sa isang bagong base, kami ay magkakasunod na nakakuha

.

7. Upang pag-iba-ibahin ang tangent (cottangent), ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng quotient:

Upang makakuha ng mga derivatives ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko, ginagamit namin ang relasyon na nasiyahan sa pamamagitan ng mga derivatives ng dalawang magkabaligtaran na function, iyon ay, ang mga function na φ (x) at f (x) na konektado ng mga relasyon:

Narito ang ratio

Ito ay mula sa formula na ito para sa magkabilang kabaligtaran na mga pag-andar

at
,

Sa huli, ibubuod namin ang mga ito at ang iba pa, tulad ng madaling makuhang mga derivative, sa sumusunod na talahanayan.

Kung ang g(x) at f(u) ay mga naiba-iba na function ng kanilang mga argumento, ayon sa pagkakabanggit, sa mga punto x at u= g(x), pagkatapos ay ang kumplikadong function ay din differentiable sa punto x at matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang isang tipikal na pagkakamali sa paglutas ng mga problema sa mga derivatives ay ang awtomatikong paglilipat ng mga patakaran para sa pagkakaiba-iba ng mga simpleng function sa mga kumplikadong function. Matuto tayong iwasan ang pagkakamaling ito.

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Maling solusyon: kalkulahin ang natural na logarithm ng bawat termino sa mga bracket at hanapin ang kabuuan ng mga derivatives:

Tamang solusyon: muli nating tinutukoy kung saan ang "mansanas" at nasaan ang "minced meat". Dito, ang natural na logarithm ng expression sa mga bracket ay ang "mansanas", iyon ay, ang function sa intermediate argument u, at ang expression sa mga bracket ay "minced meat", iyon ay, isang intermediate argument u sa pamamagitan ng independent variable x.

Pagkatapos (gamit ang formula 14 mula sa talahanayan ng mga derivatives)

Sa maraming totoong problema, ang expression na may logarithm ay medyo mas kumplikado, kung kaya't mayroong isang aralin

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Maling solusyon:

Tamang solusyon. Muli, tinutukoy namin kung saan ang "mansanas" at kung saan ang "minced meat". Dito, ang cosine ng expression sa mga bracket (formula 7 sa talahanayan ng mga derivatives) ay "mansanas", inihanda ito sa mode 1, na nakakaapekto lamang dito, at ang expression sa mga bracket (ang derivative ng degree - numero 3 sa ang talahanayan ng mga derivatives) ay "minced meat", ito ay niluto sa mode 2, na nakakaapekto lamang dito. At gaya ng dati, ikinonekta namin ang dalawang derivative na may sign ng produkto. Resulta:

Ang derivative ng isang kumplikadong logarithmic function ay isang madalas na gawain sa mga pagsubok, kaya lubos naming inirerekomenda na bisitahin mo ang aralin na "Derivative ng isang logarithmic function".

Ang mga unang halimbawa ay para sa mga kumplikadong function, kung saan ang intermediate argument sa independent variable ay isang simpleng function. Ngunit sa mga praktikal na gawain madalas na kinakailangan upang mahanap ang derivative ng isang kumplikadong function, kung saan ang intermediate argument ay alinman mismo sa isang kumplikadong function o naglalaman ng tulad ng isang function. Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Maghanap ng mga derivatives ng naturang mga function gamit ang mga talahanayan at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Kapag natagpuan ang derivative ng intermediate argument, ito ay pinapalitan lamang sa tamang lugar sa formula. Nasa ibaba ang dalawang halimbawa kung paano ito ginagawa.

Bilang karagdagan, ito ay kapaki-pakinabang na malaman ang mga sumusunod. Kung ang isang kumplikadong function ay maaaring katawanin bilang isang chain ng tatlong function

kung gayon ang derivative nito ay dapat matagpuan bilang produkto ng mga derivatives ng bawat isa sa mga function na ito:

Marami sa iyong mga takdang-aralin ay maaaring mangailangan sa iyo na magbukas ng mga tutorial sa mga bagong window. Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, hindi nalilimutan na sa nagresultang produkto ng mga derivatives, ang intermediate argument na may paggalang sa independiyenteng variable. x hindi nagbabago:

Inihahanda namin ang pangalawang salik ng produkto at inilalapat ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

Ang pangalawang termino ay ang ugat, kaya

Kaya, nakuha na ang intermediate argument, na kung saan ay ang kabuuan, ay naglalaman ng isang kumplikadong function bilang isa sa mga termino: ang exponentiation ay isang kumplikadong function, at kung ano ang itinaas sa isang kapangyarihan ay isang intermediate argument ng isang independent variable. x.

Samakatuwid, muli naming inilalapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Binabago namin ang antas ng unang kadahilanan sa isang ugat, at iniiba ang pangalawang kadahilanan, hindi namin nakakalimutan na ang derivative ng pare-pareho ay katumbas ng zero:

Ngayon ay mahahanap na natin ang derivative ng intermediate argument na kailangan para kalkulahin ang derivative ng complex function na kinakailangan sa kondisyon ng problema. y:

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Una, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkakaiba-iba ng kabuuan:

Kunin ang kabuuan ng mga derivatives ng dalawang kumplikadong function. Hanapin ang una:

Dito, ang pagpapataas ng sine sa isang kapangyarihan ay isang kumplikadong pag-andar, at ang sine mismo ay isang intermediate na argumento sa independiyenteng variable. x. Samakatuwid, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, kasama ang paraan inaalis ang multiplier sa mga bracket :

Ngayon ay nakita natin ang pangalawang termino mula sa mga bumubuo ng derivative ng function y:

Dito, ang pagtaas ng cosine sa isang kapangyarihan ay isang kumplikadong function f, at ang cosine mismo ay isang intermediate argument na may kinalaman sa independent variable x. Muli, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Ang resulta ay ang kinakailangang derivative:

Talaan ng mga derivatives ng ilang kumplikadong function

Para sa mga kumplikadong function, batay sa panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function, ang formula para sa derivative ng isang simpleng function ay tumatagal ng ibang anyo.

1. Hinango ng isang kumplikadong function ng kapangyarihan, kung saan u x
2. Pinagmulan ng salitang-ugat ng pagpapahayag
3. Derivative ng exponential function
4. Espesyal na kaso ng exponential function
5. Derivative ng isang logarithmic function na may arbitrary na positibong base a
6. Derivative ng isang kumplikadong logarithmic function, kung saan u ay isang differentiable function ng argument x
7. Sine derivative
8. Cosine derivative
9. Tangent derivative
10. Derivative ng cotangent
11. Derivative ng arcsine
12. Derivative ng arc cosine
13. Derivative ng arc tangent
14. Derivative ng inverse tangent

Ito ay ganap na imposible upang malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa isang naibigay na punto sa pagtaas ng argumento kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: alisin ang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Desisyon:

Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't mag-ingat: kadalasang may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa nagagawa ang pagkalkula ng mga derivatives dati.

kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Derivative ng exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na sakop, isaalang-alang ang mas kumplikadong mga derivatives, at makikilala din ang mga bagong trick at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang compound function, unawain at lutasin lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito, ikaw ay may kumpiyansa na iibahin ang medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na manatili sa posisyon na "Saan pa? Oo, at sapat na iyon! ”, Dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa mga tunay na pagsubok at madalas na matatagpuan sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang compound function isinaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang mga seksyon ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang magpinta ng mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay tayo sa oral na paghahanap ng mga derivatives. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan, ipinapalagay na ang mag-aaral ay makakahanap ng mga katulad na derivatives sa autopilot. Isipin natin na sa alas-3 ng umaga ay nag-ring ang telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang x?". Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa isang malayang solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivative nang pasalita, sa isang hakbang, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain, kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi pa niya naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang compound function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivatives

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay tila kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

(4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

(5) Kinukuha namin ang derivative ng logarithm.

(6) Panghuli, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pugad .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una, inilalapat namin ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot? Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin ang tatlong-palapag na bahagi:

Ang kawalan ng karagdagang mga pagpapasimple ay na may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa mga banal na paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan, gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na naglalagay sa iyo sa kawalan ng pag-asa - kailangan mong kumuha ng hindi kasiya-siyang derivative ng isang fractional degree, at pagkatapos ay mula din sa isang fraction.

Kaya dati kung paano kunin ang derivative ng "fancy" logarithm, dati itong pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang praktikal na notebook, kopyahin ang mga formula na ito doon mismo. Kung wala kang notebook, iguhit ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring mabalangkas tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Nahanap namin ang derivative:

Ang paunang pagbabago ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon isang pares ng mga simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Lahat ng pagbabago at sagot sa pagtatapos ng aralin.

logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw, posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Katulad na mga halimbawa na aming isinaalang-alang kamakailan. Anong gagawin? Ang isa ay maaaring sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay nakakakuha ka ng isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Tandaan : kasi Ang function ay maaaring tumagal ng mga negatibong halaga, kung gayon, sa pangkalahatan, kailangan mong gumamit ng mga module: , na nawawala bilang resulta ng pagkakaiba-iba. Gayunpaman, ang kasalukuyang disenyo ay katanggap-tanggap din, kung saan bilang default ang kumplikado mga halaga. Ngunit kung sa lahat ng mahigpit, pagkatapos ay sa parehong mga kaso ito ay kinakailangan upang gumawa ng isang reserbasyon na.

Ngayon ay kailangan mong "masira" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi na may isang stroke:

Ang derivative ng right side ay medyo simple, hindi ako magkokomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong mahawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong na: "Bakit, may isang letra bang "y" sa ilalim ng logarithm?".

Ang katotohanan ay ang "isang letrang y" na ito - AY ISANG FUNCTION SA SARILI(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na tahasang tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Dagdag pa, ayon sa panuntunan ng proporsyon, itinapon namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon naaalala natin kung anong uri ng "laro"-function ang napag-usapan natin kapag nag-iiba? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri sa katapusan ng aralin.

Sa tulong ng logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang exponential function ay isang function na mayroon at ang antas at base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o sa anumang panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na isinasaalang-alang lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, ang antas ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm sa kanang bahagi:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming isang produkto ng dalawang pag-andar, na kung saan ay iba-iba ayon sa karaniwang formula .

Natagpuan namin ang derivative, para dito isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga susunod na hakbang ay madali:

Sa wakas:

Kung ang ilang pagbabago ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

Sa mga praktikal na gawain, ang exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa itinuturing na halimbawa ng lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm ng x" (isa pang logarithm ay nested sa ilalim ng logarithm). Kapag ang pagkakaiba ng isang pare-pareho, tulad ng naaalala natin, ito ay mas mahusay na agad na alisin ito sa pag-sign ng derivative upang hindi ito makakuha sa paraan; at, siyempre, ilapat ang pamilyar na tuntunin :

Ang mga kumplikadong function ay hindi palaging umaangkop sa kahulugan ng isang kumplikadong function. Kung mayroong isang function ng form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, kung gayon hindi ito maituturing na kumplikado, hindi katulad ng y \u003d sin 2 x.

Ipapakita ng artikulong ito ang konsepto ng isang kumplikadong function at ang pagkakakilanlan nito. Gumawa tayo ng mga formula para sa paghahanap ng derivative na may mga halimbawa ng mga solusyon sa konklusyon. Ang paggamit ng talahanayan ng mga derivative at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ay makabuluhang binabawasan ang oras upang mahanap ang hinango.

Mga pangunahing kahulugan

Kahulugan 1

Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isang function din.

Ito ay tinukoy sa ganitong paraan: f (g (x)) . Mayroon kaming na ang function na g (x) ay itinuturing na isang argumento f (g (x)) .

Kahulugan 2

Kung mayroong function na f at isang cotangent function, kung gayon ang g(x) = ln x ay ang natural na logarithm function. Nakuha namin na ang kumplikadong function na f (g (x)) ay isusulat bilang arctg (lnx). O isang function f, na isang function na itinaas sa ika-4 na kapangyarihan, kung saan ang g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ay itinuturing na isang buong rational function, nakuha namin na f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Malinaw na ang g(x) ay maaaring nakakalito. Mula sa halimbawang y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, makikita na ang halaga ng g ay may cube root na may fraction. Ang expression na ito ay maaaring tukuyin bilang y = f (f 1 (f 2 (x))) . Kung saan mayroon tayong f ay isang function ng sine, at ang f 1 ay isang function na matatagpuan sa ilalim ng square root, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ay isang fractional rational function.

Kahulugan 3

Ang antas ng nesting ay tinutukoy ng anumang natural na numero at isinusulat bilang y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Kahulugan 4

Ang konsepto ng komposisyon ng function ay tumutukoy sa bilang ng mga nested function ayon sa pahayag ng problema. Para sa solusyon, ang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ng form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng complex function ng form na y = (2 x + 1) 2 .

Desisyon

Ayon sa convention, ang f ay isang squaring function, at ang g(x) = 2 x + 1 ay itinuturing na isang linear function.

Inilapat namin ang derivative formula para sa isang kumplikadong function at isulat ang:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Kinakailangang maghanap ng derivative na may pinasimple na paunang anyo ng function. Nakukuha namin ang:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Kaya mayroon tayo nito

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Nagtugma ang mga resulta.

Kapag nilulutas ang mga problema sa ganitong uri, mahalagang maunawaan kung saan matatagpuan ang function ng form na f at g (x).

Halimbawa 2

Dapat mong mahanap ang mga derivatives ng mga kumplikadong function ng form y \u003d sin 2 x at y \u003d sin x 2.

Desisyon

Ang unang entry ng function ay nagsasabi na ang f ay ang squaring function at g(x) ay ang sine function. Pagkatapos makuha namin iyon

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Ang pangalawang entry ay nagpapakita na ang f ay isang sine function, at ang g (x) = x 2 ay tumutukoy sa power function. Ito ay sumusunod na ang produkto ng isang kumplikadong function ay maaaring isulat bilang

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Ang formula para sa derivative na y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) ay isusulat bilang y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )))) . . . f n "(x)

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng function na y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Desisyon

Ipinapakita ng halimbawang ito ang pagiging kumplikado ng pagsulat at pagtukoy sa lokasyon ng mga function. Pagkatapos ay ang y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ay tumutukoy, kung saan ang f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ay ang sine function, ang function ng pagtaas sa 3 degree, isang function na may logarithm at base e, isang function ng arc tangent at isang linear.

Mula sa formula para sa kahulugan ng isang kumplikadong function, mayroon kami na

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Pagkuha ng hahanapin

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) bilang derivative ng sine sa talahanayan ng mga derivatives, pagkatapos ay f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bilang derivative ng power function, pagkatapos ay f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) bilang isang logarithmic derivative, pagkatapos ay f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) bilang derivative ng arc tangent, pagkatapos f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kapag nahanap ang derivative f 4 (x) \u003d 2 x, kunin ang 2 mula sa sign ng derivative gamit ang formula para sa derivative ng power function na may exponent na katumbas ng 1, pagkatapos ay f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Pinagsasama namin ang mga intermediate na resulta at makuha iyon

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Ang pagsusuri ng naturang mga function ay kahawig ng mga nesting doll. Ang mga panuntunan sa differentiation ay hindi palaging mailalapat nang tahasan gamit ang isang derivative table. Kadalasan kailangan mong ilapat ang formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng mga kumplikadong function.

Mayroong ilang mga pagkakaiba sa pagitan ng isang kumplikadong view at isang kumplikadong function. Sa isang malinaw na kakayahang makilala ito, ang paghahanap ng mga derivative ay magiging lalong madali.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang isaalang-alang sa pagdadala ng tulad ng isang halimbawa. Kung mayroong isang function ng form na y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , maaari itong ituring bilang isang kumplikadong function ng form na g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Malinaw, kinakailangang ilapat ang formula para sa kumplikadong hinalaw:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Ang isang function ng form na y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ay hindi itinuturing na kumplikado, dahil mayroon itong kabuuan t g x 2 , 3 t g x at 1 . Gayunpaman, ang t g x 2 ay itinuturing na isang kumplikadong pag-andar, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang function ng kapangyarihan ng form na g (x) \u003d x 2 at f, na isang function ng tangent. Upang gawin ito, kailangan mong mag-iba ayon sa dami. Nakukuha namin iyon

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Lumipat tayo sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Nakukuha natin na y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Ang mga kumplikadong pag-andar ay maaaring isama sa mga kumplikadong pag-andar, at ang mga kumplikadong pag-andar mismo ay maaaring mga pinagsama-samang pag-andar ng kumplikadong anyo.

Halimbawa 5

Halimbawa, isaalang-alang ang isang kumplikadong function ng form na y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ang function na ito ay maaaring katawanin bilang y = f (g (x)) , kung saan ang value ng f ay isang function ng base 3 logarithm, at ang g (x) ay itinuturing na kabuuan ng dalawang function ng form na h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 at k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Malinaw, y = f (h (x) + k (x)) .

Isaalang-alang ang function h(x) . Ito ang ratio ng l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 sa m (x) = e x 2 + 3 3

Mayroon tayong l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ay ang kabuuan ng dalawang function n (x) = x 2 + 7 at p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , kung saan ang p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ay isang kumplikadong function na may numerical coefficient na 3, at ang p 1 ay isang cube function, p 2 cosine function, p 3 (x) = 2 x + 1 - linear function.

Nalaman namin na ang m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ay ang kabuuan ng dalawang function q (x) = e x 2 at r (x) = 3 3 , kung saan q (x) = q 1 (q 2 (x)) ay isang kumplikadong function, q 1 ay isang function na may exponent, q 2 (x) = x 2 ay isang power function.

Ipinapakita nito na h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kapag pumasa sa isang expression ng form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), malinaw na ang function ay ipinakita sa anyo ng isang complex s ( x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) na may integer rational t (x) = x 2 + 1, kung saan ang s 1 ay ang squaring function, at s 2 (x) = ln x ay logarithmic may base e.

Kasunod nito na ang expression ay kukuha ng anyong k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pagkatapos makuha namin iyon

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Ayon sa mga istruktura ng function, naging malinaw kung paano at kung anong mga formula ang dapat ilapat upang gawing simple ang expression kapag ito ay naiba. Upang maging pamilyar sa mga naturang problema at upang maunawaan ang kanilang solusyon, kinakailangan na sumangguni sa punto ng pagkakaiba-iba ng isang function, iyon ay, paghahanap ng derivative nito.

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter