1. Ang iskedyul ng isang araw ay naglalaman ng 5 aralin. Tukuyin ang bilang ng mga naturang iskedyul kapag pumipili mula sa labing-isang disiplina.
2. Ang komisyon ay binubuo ng isang chairman, kanyang kinatawan at limang iba pang tao. Sa ilang paraan maaaring ipamahagi ng mga miyembro ng komisyon ang mga tungkulin sa kanilang sarili.
3. Sa ilang paraan maaaring pumili ng tatlong attendant mula sa isang grupo ng 20 tao?
4. Gaano karaming iba't ibang kumbinasyon ng tunog ang maaaring kunin sa sampung piling piano key, kung ang bawat kumbinasyon ng tunog ay maaaring maglaman ng tatlo hanggang sampung tunog.
5. Mayroong 10 pula at 5 pink na carnation sa isang plorera. Sa ilang paraan mapipili ang limang carnation ng parehong kulay mula sa isang plorera?
6. Ang mga numero ng ruta ng tram ay minsan ay ipinapahiwatig ng dalawang kulay na ilaw. Ilang iba't ibang ruta ang maaaring markahan kung walong kulay ng mga parol ang gagamitin.
7. Mula sa isang pangkat ng 15 tao, apat na kalahok sa relay race 800 + 400 + 200 + 100 ang napili. Sa ilang paraan mailalagay ang mga atleta sa mga yugto ng relay.
8. Ang isang koponan ng limang nakikipagkumpitensya sa isang kompetisyon sa paglangoy kasama ang 20 iba pang mga atleta. Sa ilang paraan maipamahagi ang mga lugar na inookupahan ng mga miyembro ng pangkat na ito.
9. Mula sa isang grupo ng 12 tao, dalawang attendant ang pinipili araw-araw sa loob ng 6 na araw. Tukuyin ang bilang ng iba't ibang listahan ng tungkulin kung ang bawat tao ay naka-duty nang isang beses.
Mga tanong para sa talakayan sa forum
1. Paglutas ng mga problema ng combinatorics.
Listahan ng karagdagang literatura:
1. Gorbatov V.A. Mga Batayan ng discrete mathematics. M.: Mas mataas na paaralan, 2000. - 544 p.
2. V. A. Kofman, Panimula sa inilapat na combinatorics. M.: Radyo at komunikasyon, 1982. 431s.
Seminar №7. Teorya ng graph
Ang layunin ng workshop:
Isaalang-alang ang mga isyung nauugnay sa praktikal na aplikasyon ng teorya ng graph sa paggawa ng desisyon.
Plano ng aralin:
Ang Semina ay nakatuon sa teorya ng graph. Ang unang paksa ay ang mga pangunahing konsepto at operasyon sa mga graph, pagkatapos ang paksa ay nakatuon sa mga ruta at puno. Ang workshop ay 2 oras.
Gawain 1. Ang Figure 7.1 ay nagpapakita ng mga graph - na may apat na vertices sa bawat isa. Paghambingin ang mga graph.
kanin. 7.1. Nagbibilang -
Desisyon.
Ang mga resulta ng paghahambing ng graph ay ang mga sumusunod:
hindi nakatuon;
Nakatuon;
Kumpleto, at = ;
Hindi ito kumpleto, dahil kahit na ang bawat pares ng vertices ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid, mayroong isang loop. Minsan ang kumpletong graph ay isang graph na may mga loop sa lahat ng vertices, ang bawat pares nito ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid. Ang graph ay hindi nakakatugon sa kahulugang ito.
Ang lahat ng vertice ng graph na ito ay nakahiwalay (isang graph na may walang laman na hanay ng mga gilid, ibig sabihin, 0);
At pinupunan nila ang isa't isa: = and = ;
Multigraph dahil naglalaman ito ng maraming gilid a at b, pati na rin ang e at f;
Nakadirekta, na kanonikong nauugnay sa isang hindi nakadirekta na graph;
At hindi pantay, dahil magkaiba sila ng mga gilid (4,1) - at (1,4) sa ;
Directed Multigraph: Mga gilid a at b ay multiple, habang hindi ito multigraph, dahil ang mga gilid nito a at b iba ang oriented.
Gawain 2. Ano ang mga antas ng vertices ng mga graph sa Fig. 7.2.
kanin. 7.2. Nagbibilang at
Desisyon.
Ang parehong mga graph ay may apat na vertice: . Mga antas ng vertex ng isang hindi nakadirekta na graph: , , , , kung sumasang-ayon kaming isaalang-alang ang kontribusyon ng loop sa antas ng vertex. Ang kabuuan ng mga degree ng lahat ng vertices ng graph ay 14, i.e. dalawang beses ang bilang ng mga gilid sa graph:
saan m=7 ay ang bilang ng mga gilid ng graph.
Mga antas ng vertex ng isang nakadirekta na graph:
Ang mga kabuuan ng mga antas ng vertices ng una at pangalawang uri ng graph ay nag-tutugma at katumbas ng bilang m mga gilid ng graph: .
Gawain 3. Sa fig. Ang 7.3 ay nagpapakita ng isang network graph (modelo ng network) para sa pagsasagawa ng isang hanay ng mga operasyon (mga gawa) ng isang partikular na programa. Sa loob nito, ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng mga operasyon, vertex - mga kaganapan na nagpapakilala sa pagtatapos ng ilang trabaho at simula ng iba. Ang direksyon ng mga arrow ay sumasalamin sa pagkakasunud-sunod ng mga kaganapang ito. Tukuyin ang isang network graph sa iba't ibang paraan.
kanin. 7.3. graph ng network
Desisyon.
Ang itinatanghal na modelo ng network ay isang direktang graph na maaaring ganap na matukoy sa iba't ibang paraan:
1) graphically (tingnan ang figure sa itaas);
2) sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang set: at ;
3) ang incidence matrix (Talahanayan 7.1). Ang isang tampok ng modelo ng network ay ang paglabas ng mga arrow mula sa paunang kaganapan 1, at papasok lamang ang panghuling kaganapan 6. Samakatuwid, sa unang hilera ng incidence matrix ay may mga yunit lamang na may minus sign, at sa huling hilera lamang na may plus sign;
Talahanayan 7.1. Matrix ng insidente
4) adjacency matrix (Talahanayan 7.2). Para sa kadahilanang ipinahiwatig sa talata 3, mga zero lamang ang inilalagay sa huling hilera ng adjacency matrix;
Talahanayan 7.2. Adjacency matrix
5) ang listahan ng mga gilid ay tumutukoy sa isang network graph sa isang malinaw na paraan, dahil ang mga gilid ng graph ay tinutukoy ng kanilang mga end vertices. Sa kasong ito, ang mga numero ng mga vertices na ipinahiwatig sa column na "mga gilid" ay uulitin sa column na "mga vertices" ng listahan, at sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga arrow - mga gilid ay ipinahiwatig sa kasong ito.
Gawain 4. Gawin ang mga graph sa Fig. 7.4 sa ibaba ay mga Hamiltonian cycle, chain.
kanin. 7.4. Nagbibilang at
Desisyon.
Ang isang Hamiltonian cycle bilang isang simpleng cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ng graph ay umiiral sa graph - napupunta ito sa mga gilid ( a, b, c, d, e, f, g, q, n, m, l, h, a). Mayroon ding Hamiltonian chain sa B, kung saan ito ay sapat na upang alisin ang anumang gilid sa Hamiltonian cycle.
Walang Hamiltonian cycle sa isang graph: upang dumaan sa vertices a, b, c ang panlabas na tatsulok ng graph ay dapat maglaman ng lahat ng mga gilid na nakahiga sa mga panig na ito, ngunit pagkatapos ay hindi ito dumaan sa vertex na matatagpuan sa gitna ng tatsulok d.Gayunpaman, mayroong isang Hamiltonian chain sa graph, halimbawa, na may simula sa vertex a, wakas d at isang pagkakasunod-sunod ng mga gilid na nag-uugnay sa mga vertices a, f, b, g, c, e, d.
Gawain 5. Problema sa Pinakamaikling Daan. Ano ang pinakamaikling paraan upang makapunta mula sa isang graph vertex patungo sa isa pa. Sa mga tuntunin ng pamamahala ng produksyon: kung paano makarating mula sa punto A hanggang sa punto B sa pinakamaikling paraan (at, samakatuwid, na may pinakamaliit na pagkonsumo ng gasolina at oras). simulan ang vertex hanggang wakas ang vertex. Isaalang-alang ang graph na ipinapakita sa Fig. 7.5.
kanin. 7.5. Graph
Ang sitwasyon ay maaaring ilarawan hindi lamang ng isang nakadirekta na graph na may mga timbang na itinalaga sa mga arko, kundi pati na rin ng isang talahanayan (tingnan ang talahanayan sa ibaba). Sa talahanayang ito, dalawang vertice - ang simula ng landas at ang dulo ng landas - ay nauugnay sa oras ng paglalakbay. Sa mesa. 7.3 Isinasaalang-alang ang mga landas na walang intermediate stop. Ang mga mas kumplikadong ruta ay binubuo ng mga elementarya na segment na nakalista sa talahanayan.
Talahanayan 7.3. Paunang data para sa pinakamaikling problema sa landas.
Ang tanong ay tinanong sa problema: kung paano makakuha mula sa vertex 1 hanggang sa vertex 4 sa pinakamaikling paraan.
Desisyon. Ipakilala natin ang notasyon: Sa(T) - haba ng pinakamaikling landas mula vertex 1 hanggang vertex T. (Dahil ang anumang landas na isasaalang-alang ay binubuo ng mga arko, at mayroong isang tiyak na bilang ng mga arko, at bawat isa ay pumapasok nang hindi hihigit sa isang beses, mayroong tiyak na maraming mga kalaban para sa pinakamaikling landas, at ang pinakamababa ng isang may hangganang bilang ng mga elemento ay palaging naaabot. ) Ang problemang isinasaalang-alang ay ang pagkalkula Sa(4) at isang indikasyon ng landas kung saan naabot ang minimum na ito.
Para sa paunang data na ipinakita sa fig. sa itaas at sa talahanayan. sa itaas, isang arrow lang ang pumapasok sa vertex 3, mula lang sa vertex 1, at malapit sa arrow na ito ay may haba na katumbas ng 1, samakatuwid Sa(3) = 1. Bukod dito, ito ay malinaw na Sa(1) = 0.
Maaari kang makarating sa vertex 4 alinman mula sa vertex 2, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 4, o mula sa vertex 5, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 5. Samakatuwid, ang kaugnayan
Sa(4) = min(С(2) + 4; Sa(5) + 5}.
Kaya, ang muling pagsasaayos (pagpapasimple) ng problema ay natupad - ang paghahanap ng С(4) ay nabawasan sa paghahanap ng С(2) at Sa(5).
Maaari kang makarating sa vertex 5 alinman mula sa vertex 3, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 2, o mula sa vertex 6, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 3. Samakatuwid, ang kaugnayan
Sa(5) = min ( Sa(3) + 2; Sa(6) + 3}.
Alam natin yan Sa(3) = 1. Samakatuwid
Sa(5) = min(3; Sa(6) + 3}.
Since obvious naman na Sa(6) ay isang positibong numero, pagkatapos ito ay sumusunod mula sa huling kaugnayan na Sa(5) = 3.
Maaari kang makarating sa vertex 2 alinman mula sa vertex 1, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 7, o mula sa vertex 3, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 5, o mula sa vertex 5, na naglakbay sa isang landas na katumbas ng 2. Samakatuwid, ang kaugnayan
Sa(2) = min (С(1) + 7; С(3) + 5; Sa(5) + 2}.
Alam natin yan Sa(1) = 0, Sa(3) = 1, Sa(5) = 3. Samakatuwid
Sa(2) = min(0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5.
Ngayon ay mahahanap na natin Sa(4):
Sa(4) = min ( Sa(2) + 4; Sa(5) + 5) = min(5 + 4; 3 + 5) = 8.
Kaya, ang haba ng pinakamaikling landas ay 8. Malinaw mula sa huling kaugnayan na ang isa ay dapat pumunta sa vertex 4 hanggang sa vertex 5. Pagbabalik sa pagkalkula Sa(5), nakikita natin na dapat tayong pumunta sa vertex 5 hanggang sa vertex 3. At makakarating lamang tayo sa vertex 3 mula sa vertex 1. Kaya, ang pinakamaikling landas ay ang mga sumusunod:
1 → 3 → 5 → 4 .
Gawain 6. Ang problema sa pinakamataas na daloy. Paano (ibig sabihin, sa anong mga ruta) maipadala ang pinakamataas na posibleng dami ng mga kalakal mula sa panimulang punto hanggang sa huling punto, kung ang kapasidad ng mga landas sa pagitan ng mga punto ay limitado.
Upang malutas ang problemang ito, ang bawat arko ng nakadirekta na graph na naaayon sa sistema ng transportasyon ay dapat na nauugnay sa isang numero - ang kapasidad ng arko na ito. Isaalang-alang ang graph sa Fig. 7.6.
kanin. 7.6. Graph
Ang paunang data sa sistema ng transportasyon, halimbawa, in-plant, na ipinapakita sa fig. 7.6., Maaari mo ring itakda ang talahanayan sa Talahanayan 7.4.
Talahanayan 7.4. Paunang data para sa pinakamaikling problema sa landas.
Desisyon.
Ang solusyon ng problema sa pinakamataas na daloy ay maaaring makuha mula sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang.
Malinaw, ang maximum na kapasidad ng sistema ng transportasyon ay hindi lalampas sa 6, dahil hindi hihigit sa 6 na yunit ng kargamento ang maaaring ipadala mula sa panimulang punto 0, ibig sabihin, 2 mga yunit sa punto 1, 3 mga yunit sa punto 2 at 1 yunit sa punto 3 .
Susunod, kinakailangan upang matiyak na ang lahat ng 6 na yunit ng kargamento na umaalis sa punto 0 ay umabot sa huling punto 4. Malinaw, ang 2 yunit ng kargamento na dumating sa punto 1 ay maaaring direktang ipadala sa punto 4. Ang mga kalakal na dumating sa punto 2 ay magkakaroon ng upang hatiin: 2 mga yunit kaagad na ipinadala sa punto 4, at 1 yunit - sa intermediate point 3 (dahil sa limitadong kapasidad ng seksyon sa pagitan ng mga punto 2 at 4). Ang mga sumusunod na kargamento ay naihatid sa punto 3: 1 yunit mula sa punto 0 at 1 yunit mula sa punto 2. Ipinapadala namin sila sa punto 4.
Kaya, ang maximum na kapasidad ng sistema ng transportasyon na isinasaalang-alang ay 6 na yunit ng kargamento. Kasabay nito, ang mga panloob na seksyon (mga sangay) sa pagitan ng mga punto 1 at 2, pati na rin sa pagitan ng mga punto 1 at 3 ay hindi ginagamit. throughput ng 3 units.
Ang solusyon ay maaaring iharap sa anyo ng isang talahanayan. 7.5.
Talahanayan 7.5. Paglutas ng maximum na problema sa daloy
Omnibus N 9-10 2007.
Sea soul ng mga ilaw ng ruta.
Ang mahiwagang bagay ay tradisyon. Sa una, maingat nilang sinusunod ito, sinusubukan na mapaglabanan ang lahat ng mga nuances, dalhin ito sa pamahiin, pagkatapos ay bigla nilang natuklasan na hindi ito natutugunan sa mga inaasahan na inilagay dito, hindi nakakatugon sa lohika, walang pang-agham na katwiran - at nasira nila. na may tradisyon, at pagkatapos ay mapansin nang may kalungkutan na sa kanya Nawala ang isang bagay na maganda at kailangan. . .
Kamakailan lamang, nagkaroon ng tradisyon na magbigay ng mga ruta ng tram hindi lamang ng isang digital, kundi pati na rin ng isang pagtatalaga ng kulay - ang mga ilaw ng ruta ay naiilawan sa magkabilang panig ng numero ng ruta, sa harap at likod ng kotse. Ang mga kalye na may trapiko ng tram ay nakikilala sa pamamagitan ng isang espesyal, maligaya na kagandahan, mga driver, pasahero, trabahador ng track, dispatcher at switchmen ay ginagabayan ng mga ilaw ng ruta sa daloy ng tram, marami ang hindi maisip ang isang tram na walang mga kulay na ilaw. Ang sistema ng mga ilaw ng ruta ng Moscow ay itinayo sa isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga numero at mga kulay. Ang "1" ay palaging pula, "2" ay berde, "5" ay olive, "7" ay asul, at iba pa. Ngunit sa Leningrad, ang mga ilaw ay "nagsalita" sa ibang wika, at ang kanilang pagbabasa "sa Moscow" ay madalas na humantong sa walang kapararakan, dahil walang 10 ilaw, tulad ng sa Moscow, ngunit lima lamang. Magkaiba sila nang husto, at ang kanilang mga kumbinasyon ay laging mukhang napakaganda. Gayunpaman, sa limang ilaw, 25 magkakaibang kumbinasyon ng dalawa ang posible, habang ang mga ruta sa St. Petersburg-Leningrad sa kalaunan ay naging mga 70, kaya ang mga palatandaan ng mga ruta ay maaaring maulit. Halimbawa, dalawang puti - 9, 43; pula at dilaw - 1, 51, 64; asul at pula - 33, 52, 54; dalawang pula - 5, 36, 39, 45, 47. At tanging ruta N 20 ang itinalaga sa parehong paraan ayon sa mga sistema ng Moscow at St. Petersburg: berde at puti.
Ito ay nangyari na ang mga ilaw ng ruta sa St. Petersburg ay nagbago. Kung nangyari na pagkatapos baguhin ang isa sa mga ruta ay nagtrabaho ito sa isang sapat na mahabang seksyon na may isa pang ruta na may parehong mga kulay, kung gayon ang isa sa mga rutang ito ay kailangang baguhin ang komposisyon ng mga ilaw.
Ang Ruta N 4 ay dating nagmumula sa isla ng mga Decembrist patungo sa sementeryo ng Volkov at ipinahiwatig ng dalawang dilaw (orange) na ilaw. Pagkatapos ay isinara ang ruta at sa ilalim ng parehong numero ay binuksan ito sa ibang lugar na may iba't ibang mga ilaw: asul + asul, dahil mayroon itong karaniwang seksyon na may ika-35 na tram (dalawang dilaw).
Ang ruta N 43 ay orihinal na may mga ilaw: pula + puti. Noong pinalawig sa port noong 1985, nagbago ang mga ilaw: puti + puti, nang magsimulang magbahagi ang ruta sa isang seksyon na may tram N 28 (pula + puti). Ang ruta 3 ay minarkahan ng berde at puting kulay. Noong naibalik ang mga ilaw noong 2007, ang kumbinasyon ay binago sa dilaw + berde. Kasabay nito, ang mga kumbinasyon sa ilang iba pang mga ruta ay nagbago din: 48 (ay: puti + puti, ngayon: asul + asul); 61 (na noon ay: puti + puti, ngayon: puti + dilaw), atbp.
Ang St. Petersburg system ng mga ilaw ng ruta, napakasimple sa hitsura at napakasalimuot, ay konektado sa tradisyon, una sa lahat, ng mga European tram city. Kaya, noong 1907, ang isang liham sa pahayagan ng Novoye Vremya ay naglalaman ng isang kahilingan mula sa "mga naninirahan sa Vasilevsky Island" na ipakilala ang mga may kulay na ilaw sa mga tram, "tulad ng ginagawa nila sa ibang bansa, lalo na sa Frankfurt am Main." Sa kasalukuyan, ang mga labi ng mga dating sistema ay napanatili sa anyo ng mga kulay na dayagonal na pag-iilaw sa mga palatandaan ng ruta ng mga tram sa Amsterdam. Ang tradisyon na ito, sa turn, ay malamang na bumalik sa navigational lights. Bakit eksakto sa dagat, at hindi, sabihin, sa riles? Oo, dahil ang mga ilaw ng ruta, tulad ng mga ilaw ng dagat, ay hindi nagbabawal ng anuman, hindi pinipilit ang sinuman, ngunit tumulong lamang na i-orient ang kanilang sarili sa dilim.
Ang mga ilaw ng maritime navigation ay na-decipher sa mga espesyal na aklat sa dagat - mga direksyon sa paglalayag ng mga dagat. Ang mga ilaw ng ruta ay inilalarawan din sa mga guidebook ng lungsod. Ang una sa mga ito ay ang "Mobile guide ng St. Petersburg trams", na inilathala ng publishing house E.I. Marcus (1910).
Ang komposisyon ng mga kulay na ginamit sa mga ilaw ng ruta ng St. Petersburg (puti, pula, orange o dilaw, berde, asul) ay kaunti ang pagkakaiba sa mga kulay ng mga ilaw sa dagat (puti, pula, orange, berde, asul, lila).
Kung titingnang mabuti, makakahanap ka ng iba pang pagkakatulad, ngunit mas mahalaga na maunawaan kung bakit ang gayong hindi mahigpit na sistema ng mga ilaw ng ruta ay nag-ugat sa masinop na Petersburg, na nangangailangan ng patuloy na pagsasaayos. Ang sagot ay simple: pagkatapos ng lahat, ang St. Petersburg ay isang seaside city, at ang kalubhaan ng mga anyo ng arkitektura at ang kawalang-galang ng karnabal ay pantay na katangian nito, na nangangahulugan na ang mga masasayang kulay ng mga ilaw ng ruta ay katangian din.
Noong 2007, nagbago ang tradisyon. Ngayon ang mga kotse ay nilagyan ng mga LED lamp para sa mga ilaw ng ruta. Ang mga ito ay magniningning hindi lamang sa takipsilim ng gabi, kundi pati na rin sa liwanag ng araw.
Gawain bilang 3. Talahanayan 26 Opsyon Blg. Trabaho
Talahanayan 26
c) Ang tren sa subway ay gumagawa ng 16 na hinto kung saan bumababa ang lahat ng pasahero. Sa ilang paraan maipamahagi sa pagitan ng mga hintuan na ito ang 100 pasaherong makasakay sa tren sa huling hintuan?
MGA ELEMENTO NG COMBINATORICS.
Mga tuntunin sa kabuuan at produkto.
Ang Combinatorics (o compound theory) ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga tanong tungkol sa kung gaano karaming iba't ibang kumbinasyon na nakakatugon sa ilang kundisyon ang maaaring gawin mula sa mga ibinigay na bagay.
Sa kaso kapag ang intersection ng set A at B ay walang laman, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nananatili: n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB).
Ang bilang ng mga elemento sa unyon ng tatlong set ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) -n(AÇC) - n(BÇC) - - n(AÇBÇC)
Halimbawa. Sa 40 mag-aaral sa grupo, 35 ang matagumpay na nakapasa sa pagsusulit sa matematika, at 37 sa wikang Ruso. Dalawang estudyante ang nakatanggap ng hindi kasiya-siyang mga marka sa parehong asignatura. Ilang estudyante ang may utang na pang-akademiko?
Desisyon. Hayaang ang A ay ang hanay ng mga mag-aaral na nakatanggap ng hindi kasiya-siyang marka sa matematika, pagkatapos n(A) = 40 - 35 = 5; at ang B ay ang hanay ng mga mag-aaral na nakatanggap ng hindi kasiya-siyang marka sa wikang Ruso, pagkatapos n(B) = 40 - 37 = 3. Pagkatapos ang bilang ng mga mag-aaral na may utang sa akademya ay n(AÈB). Kaya naman, n(AÈB) = n(A) + n(B) - n(AÇB) = 5 + 3 – 2 = 6.
Kung AÇB = Æ, kung gayon n(AÈB) = n(A) + n(B)
tuntunin ng kabuuan at binabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang elementong x ay maaaring mapili sa k mga paraan, at ang elementong y sa m mga paraan at, at walang paraan ng pagpili ng elementong x ay pareho sa anumang paraan ng pagpili ng elementong y, kung gayon ang pagpili ng "x o y " ay maaaring gawing k + m na paraan.
Para sa mga set, mayroon din kaming n(А´В) = n(А) × n(В)
Sa combinatorics, ang panuntunang ito ay tinatawag tuntunin ng produkto at binabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang elementong x ay maaaring mapili sa k na mga paraan, at kung pagkatapos ng bawat naturang pagpipilian ang elementong y ay maaaring mapili sa m mga paraan, kung gayon ang pagpili ng inayos na pares m mga paraan.
Halimbawa. May 3 kalsada mula sa lungsod A hanggang lungsod B, at 2 kalsada mula B hanggang C. Ilang paraan ang mayroon upang maglakbay mula A papuntang C sa pamamagitan ng B?
Desisyon. Kung tinutukoy natin ang mga numero 1, 2, 3, at ang mga kalsada mula B hanggang C - ang mga titik x at y, kung gayon ang bawat opsyon ng landas mula A hanggang C ay ibinibigay ng isang nakaayos na pares ng mga numero at titik. Ngunit maaari tayong pumili ng isang numero sa tatlong paraan, at isang titik sa dalawang paraan, kaya ang bilang ng naturang mga pares na nakaayos ay 3 × 2 = 6.
Mga tirahan.
Hayaan n(A) = m. Ang isang tuple ng haba k (k £ m), na ang mga bahagi ay mga elemento ng set A, at lahat ng mga bahagi ay magkapares na naiiba, ay tinatawag paglalagay nang walang pag-uulit
Para sa anumang set A na ang n(A) = m, ang bilang ng mga posibleng pagsasaayos ng m elemento ng k ay ipinapahiwatig
At ito ay kinakalkula ayon sa formula
Halimbawa. 5 mag-aaral at 15 mag-aaral ang lumahok sa chess tournament. Sa ilang paraan maipamahagi ang mga lugar na inookupahan ng mga mag-aaral sa paligsahan kung malalaman na walang dalawang kalahok ang nakakuha ng parehong bilang ng mga puntos?
Desisyon. Sa kabuuan mayroong 20 kalahok sa paligsahan. Dahil dito, sa 20 na lugar, ang mga mag-aaral ay kabilang sa 5. Samakatuwid, ang solusyon ng problema ay nauugnay sa pagbuo ng lahat ng posibleng mga tuple ng haba 5 mula sa mga elemento ng set, kung saan mayroong 20 elemento, iyon ay, tayo ay pinag-uusapan ang tungkol sa mga pagkakalagay nang walang pag-uulit ng 20 elemento ng 5 elemento.
Hayaan n(A) = m. Ang isang tuple ng haba k, na ang mga bahagi ay mga elemento ng set A, ay tinatawag paglalagay na may mga pag-uulit mula sa m elemento hanggang k elemento.
Para sa anumang set A na ang n(A) = m, ang bilang ng mga posibleng pagsasaayos na may mga pag-uulit ng m elemento sa pamamagitan ng k ay tinutukoy at kinakalkula ng formula .
Halimbawa. Mayroong 5 magkakaibang upuan at 7 rolyo ng tapiserya sa iba't ibang kulay. Sa ilang paraan maaaring maging upholster ang mga upuan?
Desisyon. Dahil magkaiba ang mga upuan, ang bawat upholstery ay isang tuple na 5 ang haba, na binubuo ng mga elemento ng isang ibinigay na hanay ng mga kulay ng tela, na naglalaman ng 7 elemento. Nangangahulugan ito na mayroong maraming mga paraan ng tapiserya ng mga upuan tulad ng mayroong mga tuple, iyon ay, mga pagsasaayos na may mga pag-uulit ng 7 elemento ng 5. Nakukuha namin .
Mga permutasyon.
Hayaan n(A) = m. Permutasyon nang walang pag-uulit mula sa m elemento ay tinatawag ang anumang order na m-element set.
Ang bilang ng iba't ibang permutations ng m elemento ay katumbas ng produkto ng magkakasunod na natural na numero mula 1 hanggang m inclusive, i.e.
Halimbawa. Ilang magkakaibang limang-digit na numero ang maaaring isulat gamit ang mga digit na 0, 1, 2, 3, 4 kung walang digit sa numero ang inuulit nang dalawang beses?
Desisyon. Ang bilang ng lahat ng posibleng permutasyon ng limang digit ay P 5 = 5!. At dahil hindi mauuna ang numerong zero, ang gustong numero ay:
P 5 - P 4 \u003d 5! - 4! = 120 - 24 = 96.
permutasyon na may mga pag-uulit mula sa mga elemento a, b,…,l, kung saan ang mga elementong ito ay paulit-ulit m 1 , m 2 , ..., m k beses, ayon sa pagkakabanggit, ay tinatawag na tuple ng haba m = m 1 + m 2 + ... + m k , kabilang sa mga bahagi kung saan a nangyayari m 1 beses, b- m 2 beses at iba pa l- mk beses.
Ang bilang ng mga permutasyon na may mga pag-uulit ay tinutukoy ng simbolo
Bilang ng iba't ibang permutasyon na may mga pag-uulit ng mga elemento a, b,…,l, kung saan ang mga elementong ito ay inuulit m 1 , m 2 , ..., m k beses, ayon sa pagkakabanggit, ay tinutukoy ng formula
Halimbawa. Ilang numero ang maaaring isulat gamit ang mga numero 1, 3, 5, sa kondisyon na ang numero 1 ay inuulit ng apat na beses sa bawat numero, ang mga numero 3 at 5 - 2 beses bawat isa?
Desisyon. Ang nais na numero ay ang bilang ng iba't ibang mga permutasyon na may mga pag-uulit ng mga numero 1, 3, 5, kung saan ang numero 1 ay inuulit ng apat na beses, at ang mga numero 3 at 5 ay inuulit nang dalawang beses. Samakatuwid, ayon sa pormula, mayroon kaming: 
.
Mga kumbinasyon.
Anumang k-element subset ng isang m-element set (k £ m) ay tinatawag kumbinasyon nang walang pag-uulit mula sa m elemento ni k.
Ang bilang ng iba't ibang kumbinasyon ng m elemento sa pamamagitan ng k ay tinutukoy ng simbolo
Halimbawa. Sa ilang paraan maaari kang pumili ng tatlong attendant sa 30 estudyante?
Desisyon. Dahil ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ng mga attendant ay walang papel, ang problema ay tungkol sa pagpili mula sa isang set kung saan mayroong 30 elemento ng mga subset na naglalaman ng tatlong elemento bawat isa, iyon ay, mga kumbinasyon na walang pag-uulit ng tatlumpung elemento ng tatlo.
Kaya naman, 
.
Kumbinasyon sa mga pag-uulit mula sa ibinigay na m iba't ibang uri ng mga elemento ng mga elemento ng k, ang anumang koleksyon na naglalaman ng mga elemento ng k ay tinatawag, na ang bawat isa ay isa sa mga elemento ng tinukoy na mga uri.
Ang bilang ng iba't ibang kumbinasyon na may mga pag-uulit ng m elemento sa pamamagitan ng k elemento ay ilalarawan ng simbolo.
Ang bilang ng iba't ibang kumbinasyon na may mga pag-uulit ng m uri ng mga elemento para sa mga elemento ng k ay tinutukoy ng formula
Halimbawa. Ang post office ay nagbebenta ng apat na uri ng mga postkard. Sa ilang paraan mabibili ang 9 na postkard dito?
Desisyon. Ang bilang ng mga paraan upang bumili ng mga postkard ay katumbas ng bilang ng iba't ibang kumbinasyon na may mga pag-uulit ng 4 na elemento ng 9, iyon ay, katumbas ng 
.
Ang bilang ng mga subset ng isang finite set.
Hayaan n(A) = m.
Ang bilang ng lahat ng mga subset ng set A ay 2 n .
Pagsasanay 6
1. Mayroong 30 tao sa klase na pumapasok sa mga opsyonal na klase sa pisika at matematika. Nabatid na 10 tao ang nag-aaral ng parehong asignatura nang malalim, at 25 na tao ang nag-aaral ng matematika. Ilang tao ang pumapasok sa mga opsyonal na klase sa pisika lamang?
2. Sa 50 estudyante, 20 ang nagsasalita ng German at 15 ang nagsasalita ng Ingles. Ano ang maaaring bilang ng mga mag-aaral na nakakaalam ng parehong wika; alam ang kahit isang wika?
3. Sa 100 tao, 28 ang nag-aaral ng English, 30 – German, 10 – French, 5 – German at French, 15 – German at English, 6 – English at French. Ang lahat ng tatlong wika ay pinag-aaralan ng 3 mag-aaral. Ilang estudyante ang nag-aaral ng isang wika lamang? Ilang estudyante ang hindi nag-aaral ng anumang wika?
Mga gawain para sa independiyenteng gawain sa paksang "Combinatorics" .
1. Ang iskedyul ng isang araw ay naglalaman ng 5 aralin sa iba't ibang paksa. Tukuyin ang bilang ng mga naturang iskedyul kapag pumipili mula sa 11 na paksa.
2. Ang komisyon ay binubuo ng isang tagapangulo, kanyang kinatawan at lima pang tao. Sa ilang paraan maaaring ipamahagi ng mga miyembro ng komisyon ang mga tungkulin ng chairman at deputy sa kanilang sarili?
3. Sa ilang paraan maaaring pumili ng tatlong attendant mula sa isang grupo ng 20 tao?
4. Ilang magkakaibang kumbinasyon ng tunog ang maaaring kunin sa sampung piling piano key, kung ang bawat kumbinasyon ng tunog ay maaaring maglaman ng tatlo hanggang sampung tunog?
5. Mayroong 10 pula at 5 pink na carnation sa isang plorera. Sa ilang paraan mapipili ang limang carnation ng parehong kulay mula sa isang plorera?
6. Ang mga numero ng ruta ng tram ay minsan ay ipinapahiwatig ng dalawang kulay na ilaw. Ilang iba't ibang ruta ang maaaring markahan gamit ang mga lantern na may walong kulay?
7. Ang kampeonato, kung saan lumahok ang 16 na mga koponan, ay gaganapin sa dalawang round (ibig sabihin, ang bawat koponan ay nagkikita ng dalawang beses). Tukuyin ang bilang ng mga pagpupulong na gaganapin.
8. Ang lock ay magbubukas lamang kung ang isang tiyak na tatlong-digit na numero ay na-dial. Ang pagtatangka ay binubuo sa pag-type ng tatlong digit nang random mula sa ibinigay na limang digit. Posibleng hulaan ang numero lamang sa huli ng lahat ng posibleng pagtatangka. Ilang mga pagtatangka ang naroon bago ang isang matagumpay?
9. Mula sa grupo ng 15 katao, apat na kalahok sa relay ang pipiliin 800 + 400 + 200 + 100. Sa ilang paraan mailalagay ang mga atleta sa mga yugto ng relay?
10. Ang isang pangkat ng lima ay nakikipagkumpitensya sa isang kompetisyon sa paglangoy kasama ang 20 iba pang mga atleta. Sa ilang paraan maipamahagi ang mga lugar na inookupahan ng mga miyembro ng pangkat na ito?
11. Sa ilang paraan maaaring ilagay ang dalawang rook sa isang chessboard upang hindi makuha ng isa ang isa? (Maaaring makuha ng isang rook ang isa pa kung ito ay nasa parehong ranggo o file sa chessboard kasama nito.)
12. Dalawang rook na may iba't ibang kulay ang inilalagay sa isang chessboard upang makuha ng bawat isa ang isa. Ilang ganoong lokasyon ang umiiral?
13. Ang pagkakasunud-sunod ng pagganap ng walong kalahok sa kompetisyon ay tinutukoy sa pamamagitan ng lot. Ilang iba't ibang resulta ng draw ang posible?
14. Tatlumpung tao ay nahahati sa tatlong pangkat I, II at III ng sampung tao bawat isa. Ilang iba't ibang komposisyon ng pangkat ang maaaring mayroon?
15. Ilang apat na digit na mga numero na nahahati sa 5 ang maaaring gawin mula sa mga numerong 0, 1, 3, 5, 7, kung ang bawat numero ay hindi dapat maglaman ng parehong mga numero?
16. Ilang iba't ibang maliwanag na singsing ang maaaring gawin sa pamamagitan ng paglalagay ng 10 maraming kulay na bombilya sa paligid ng isang bilog (ang mga singsing ay itinuturing na pareho kung ang mga kulay ay nasa parehong pagkakasunud-sunod)?
17. Mayroong 30 tomo sa isang bookshelf. Sa ilang paraan maaari silang ayusin upang ang una at ikalawang tomo ay hindi magkatabi?
18. Dapat na tamaan ng apat na shooters ang walong target (dalawa bawat isa). Sa ilang paraan maaari nilang ipamahagi ang mga target sa kanilang sarili?
19. Mula sa isang grupo ng 12 tao, dalawang duty officer ang pinipili araw-araw sa loob ng 6 na araw. Tukuyin ang bilang ng iba't ibang listahan ng tungkulin kung ang bawat tao ay naka-duty nang isang beses.
20. Ilang apat na digit na numero ang binubuo ng mga numero 0, 1, 2, 3, 4, 5 na naglalaman ng numero 3 (ang mga numero sa mga numero ay hindi inuulit)?
21. Sampung grupo ay nakikibahagi sa sampung magkakasunod na silid-aralan. Ilang mga pagpipilian sa iskedyul ang mayroon kung saan ang mga pangkat 1 at 2 ay nasa katabing silid-aralan?
22. 16 na manlalaro ng chess ang lumahok sa paligsahan. Tukuyin ang bilang ng iba't ibang mga iskedyul para sa unang round (itinuturing na iba ang mga iskedyul kung magkaiba ang mga ito sa mga kalahok ng hindi bababa sa isang laro; ang kulay ng mga piraso at ang bilang ng board ay hindi isinasaalang-alang).
23. Anim na kahon ng iba't ibang materyales ang inihahatid sa limang palapag ng construction site. Sa ilang paraan matutukoy ang mga materyales sa pamamagitan ng mga sahig? Sa ilang mga variant ang anumang materyal ay naihatid sa ikalimang palapag?
24. Dalawang kartero ay dapat maghatid ng 10 liham sa 10 address. Sa ilang mga paraan maaari nilang ipamahagi ang trabaho?
©2015-2019 site
Lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kanilang mga may-akda. Hindi inaangkin ng site na ito ang pagiging may-akda, ngunit nagbibigay ng libreng paggamit.
Petsa ng paggawa ng page: 2016-08-20
Dati, ang mga numero ng tram ay minarkahan ng dalawang kulay na parol. Ilang iba't ibang ruta ang maaaring markahan gamit ang walong magkakaibang kulay ng mga ilaw?
Mga sagot:
ang formula ay magiging: 8²=64 64 iba't ibang ruta.
Mga katulad na tanong
- Alalahanin ang mga arkitektura na gusali at eskultura ng Renaissance, na may katulad sa Cathedral of the Renaissance, at ang estatwa ni Verrocchio. Isulat ang kanilang mga pangalan.
- Ipasok sa halip na mga puwang ang mga serial number ng mga kaukulang salita mula sa iminungkahing listahan. Ang mga salita ay ibinigay sa listahan sa isahan, sa nominative case. PAKITANDAAN: mas maraming salita sa listahan kaysa sa mga puwang sa teksto! Isang klasipikasyon na, depende sa mga batayan at kundisyon para sa pagkuha ng ____ na pagiging miyembro, ay malawakang ginagamit sa ____, na nagpapakilala sa mga tauhan sa ____ na partido. Ang una ay nakikilala sa pamamagitan ng katotohanan na sila ay nabuo sa paligid ng isang grupo ng mga politikal na ___, at ang batayan ng kanilang istraktura ay isang komite ng mga aktibista. Ang mga partidong tauhan ay karaniwang binubuo "mula sa itaas" batay sa iba't ibang ___ paksyon, mga asosasyon ng burukrasya ng partido. Karaniwang pinapaigting ng mga naturang partido ang kanilang mga aktibidad para lamang sa oras na ___. Ang ibang mga partido ay sentralisado, mahusay na disiplinadong organisasyon. Bigyang-pansin nila ang pagkakaisa ng mga miyembro ng partido. Ang mga nasabing partido ay kadalasang nabuo "mula sa ibaba", batay sa unyon ng manggagawa at iba pang ___ kilusan, na sumasalamin sa iba't ibang interes sa lipunan. grupo 1) Sosyolohiya 10) halalan 2) pampubliko 11) pamantayan 3 salik 12) partido 4) elektoral 13) parlyamentaryo 5) pambansa 14) pinagkasunduan 6) lipunan 15) idiological 7) masa 16) sistema 8) impeachment 17) pinuno 9) Agham pampulitika
- Hindi. a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- ay ang numerong 2008*2011*2012*2014+1 ay isang eksaktong parisukat
- Mayroong 300 na mga apartment sa bagong itinayong gusali. Sa unang araw, 120 na mga apartment ang okupado, sa ikalawang araw - isang ikatlong bahagi ng natitira. Ilang mga apartment ang natitira upang okupahan?
- Pinarami ni Tolik ang limang digit na numero sa kabuuan ng mga digit nito. Pagkatapos ay pinarami ni Tolik ang resulta sa kabuuan ng kanyang (resulta) na mga digit. Nakapagtataka, naging five-digit na numero na naman. Anong numero ang pinarami ni Tolik sa unang pagkakataon? (Hanapin ang lahat ng posibleng sagot.)
