Ang linear function ay isang function ng form na y = kx + b na tinukoy sa set ng lahat ng tunay na numero. Narito ang k ay ang slope (real number), b ang intercept (real number), x ang independent variable.

Sa isang espesyal na kaso, kung k = 0, nakakakuha tayo ng isang pare-parehong function na y = b, ang graph kung saan ay isang tuwid na linya na kahanay sa axis ng Ox, na dumadaan sa punto na may mga coordinate (0; b).

Kung b = 0, pagkatapos ay makuha natin ang function na y = kx, na isang direktang proporsyonalidad.

Ang geometric na kahulugan ng coefficient b ay ang haba ng segment na pinuputol ng tuwid na linya kasama ang Oy axis, na binibilang mula sa pinanggalingan.

Ang geometric na kahulugan ng koepisyent k - ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa positibong direksyon ng Ox axis, ay itinuturing na counterclockwise.

Mga katangian ng linear na function:

1) Ang domain ng kahulugan ng isang linear function ay ang buong tunay na axis;

2) Kung k ≠ 0, kung gayon ang hanay ng linear function ay ang buong totoong axis. Kung k = 0, ang hanay ng linear function ay binubuo ng bilang b;

3) Ang kapantay at kakaiba ng isang linear na function ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient k at b.

a) b ≠ 0, k = 0, samakatuwid ang y = b ay pantay;

b) b = 0, k ≠ 0, samakatuwid ang y = kx ay kakaiba;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, kaya ang y = kx + b ay isang pangkalahatang function;

d) b = 0, k = 0, kaya ang y = 0 ay parehong pantay at kakaibang function.

4) Ang linear function ay walang katangian ng periodicity;

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, samakatuwid (-b / k; 0) ang punto ng intersection sa abscissa axis.

Oy: y = 0k + b = b, samakatuwid (0; b) ang punto ng intersection sa y-axis.

Tandaan. Kung b = 0 at k = 0, ang function na y = 0 ay mawawala para sa anumang halaga ng x. Kung b ≠ 0 at k = 0, kung gayon ang function na y = b ay hindi maglalaho para sa anumang mga halaga ng variable x.

6) Ang mga pagitan ng sign constancy ay nakadepende sa coefficient k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positibo para sa x mula sa (-b/k; +∞),

y = kx + b - ay negatibo para sa x mula sa (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positibo para sa x mula sa (-∞; -b/k),

y = kx + b - ay negatibo para sa x mula sa (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b ay positibo sa buong domain,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Ang mga agwat ng monotonicity ng isang linear function ay nakadepende sa coefficient k.

k > 0, kaya ang y = kx + b ay tumataas sa buong domain,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Upang gumuhit ng isang tuwid na linya, ito ay sapat na upang malaman ang dalawang puntos. Ang posisyon ng tuwid na linya sa coordinate plane ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient k at b. Nasa ibaba ang isang talahanayan na malinaw na naglalarawan sa figure 1 na ito. (Fig.1)

Halimbawa Isaalang-alang ang sumusunod na linear function: y = 5x - 3.

3) Pangkalahatang tungkulin;

4) Hindi pana-panahon;

5) Mga intersection point na may mga coordinate axes:

Ox: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, samakatuwid (3/5; 0) ang punto ng intersection sa abscissa axis.

Oy: y = -3, samakatuwid (0; -3) - punto ng intersection sa y-axis;

6) y = 5x - 3 ay positibo para sa x mula sa (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - negatibo para sa x mula sa (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 tumataas sa buong domain ng kahulugan;

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

5. Monomial ay tinatawag na produkto ng numeric at alphabetic na mga salik. Coefficient ay tinatawag na numerical factor ng monomial.

6. Upang isulat ang monomial sa karaniwang anyo, kailangan mo: 1) I-multiply ang mga numerical factor at ilagay ang kanilang produkto sa unang lugar; 2) I-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga base at ilagay ang resultang produkto pagkatapos ng numerical factor.

7. Ang polynomial ay tinatawag algebraic sum ng ilang monomials.

8. Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, kinakailangang i-multiply ang monomial sa bawat termino ng polynomial at idagdag ang mga resultang produkto.

9. Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kinakailangang i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng iba pang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto.

10. Posibleng gumuhit ng tuwid na linya sa alinmang dalawang punto, at isa lamang.

11. Ang dalawang linya ay mayroon lamang isang karaniwang punto o walang karaniwang mga punto.

12. Dalawang geometric figure ay tinatawag na pantay-pantay kung maaari silang i-superimpose.

13. Ang punto ng segment na naghahati nito sa kalahati, iyon ay, sa dalawang pantay na mga segment, ay tinatawag na midpoint ng segment.

14. Ang isang sinag na nagmumula sa tuktok ng isang anggulo at hinahati ito sa dalawang magkaparehong anggulo ay tinatawag na angle bisector.

15. Ang nabuong anggulo ay 180°.

16. Ang isang anggulo ay tinatawag na tamang anggulo kung ito ay 90°.

17. Ang isang anggulo ay tinatawag na acute kung ito ay mas mababa sa 90°, iyon ay, mas mababa sa isang tamang anggulo.

18. Ang isang anggulo ay tinatawag na obtuse kung ito ay mas malaki sa 90°, ngunit mas mababa sa 180°, ibig sabihin, higit sa isang tamang anggulo, ngunit mas mababa sa isang tuwid na anggulo.

19. Ang dalawang anggulo na may magkatulad na panig at ang dalawa pa ay mga extension ng isa't isa ay tinatawag na magkatabi.

20. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.

21. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay mga extension ng mga gilid ng isa.

22. Ang mga patayong anggulo ay pantay.

23. Ang dalawang magkasalubong na linya ay tinatawag na patayo (o pareho

patayo) kung bumubuo sila ng apat na tamang anggulo.

24. Dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay hindi nagsalubong.

25. I-factor ang isang polynomial ibig sabihin ay kinakatawan ito bilang isang produkto ng ilang monomial at polynomial.

26. Mga pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial:

a) bracketing ang karaniwang kadahilanan,

b) ang paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami,

c) pagpapangkat.

27. Upang i-factor ang isang polynomial sa pamamagitan ng pag-alis ng common factor sa mga bracket, kailangan mo:

a) hanapin ang karaniwang salik na ito,

b) alisin ito sa mga bracket,

c) hatiin ang bawat termino ng polynomial sa kadahilanang ito at idagdag ang mga resultang nakuha.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok

1) Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho.

2) Kung ang isang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng isang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho.

3) Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Minimum na edukasyon

1. Factorization sa pamamagitan ng pinaikling multiplication formula:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Ang segment ng linya na nag-uugnay sa vertex ng isang tatsulok na may gitnang punto ng kabaligtaran na bahagi ay tinatawag panggitna tatsulok.

4. Ang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng isang tatsulok hanggang sa linya na naglalaman ng kabaligtaran na bahagi ay tinatawag matangkad tatsulok.

5. Sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo sa base ay pantay.

6. Sa isang isosceles triangle, ang bisector na iginuhit sa base ay ang median at taas.

7. Bilog tinatawag ang isang geometric na pigura, na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na matatagpuan sa isang naibigay na distansya mula sa isang naibigay na punto.

8. Tinatawag ang isang segment ng linya na nagdurugtong sa gitna na may punto sa bilog radius mga bilog .

9. Ang isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog ay tinatawag chord.

Ang chord na dumadaan sa gitna ng bilog ay tinatawag diameter

10. Direktang proporsyonalidad y = kx , saan X ay isang malayang variable, sa ay isang hindi zero na numero ( sa ay ang koepisyent ng proporsyonalidad).

11. Direktang proporsyonalidad na graph ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan.

12. Linear function ay isang function na maaaring ibigay ng formula y = kx + b , saan X ay isang malayang variable, sa at b - ilang mga numero.

13. Graph ng isang linear function- ay isang tuwid na linya.

14 X – function argument (independiyenteng variable)

sa – halaga ng function (dependent variable)

15. Sa b=0 ang function ay tumatagal ng form y=kx, ang graph nito ay dumadaan sa pinagmulan.

Sa k=0 ang function ay tumatagal ng form y=b, ang graph nito ay isang pahalang na linyang dumadaan sa punto ( 0;b).

Ang pagkakatugma sa pagitan ng mga graph ng isang linear function at ang mga palatandaan ng coefficients k at b

1. Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel, kung hindi sila magsalubong.

"Mga guhit para sa mga slide" - Opsyonal na kursong "Ang Mundo ng Multimedia Technologies". Mga larawan sa mga slide. C) maaari mong ilipat ang larawan sa pamamagitan ng paghawak sa gitna gamit ang mouse. Magsingit ng mga larawan sa isang slide. Munisipal na institusyong pang-edukasyon pangalawang paaralan No. 5. 95% ng impormasyon ay nakikita ng isang tao sa tulong ng mga organo ng pangitain ...

"Mga Function at kanilang mga graph" - 3. Tangent function. Trigonometric. Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Kahulugan: Ang numerical function na ibinigay ng formula y = cos x ay tinatawag na cosine. 4. Cotangent function. Sa puntong x = a mismo, ang function ay maaaring o hindi umiiral. Depinisyon 1. Hayaang tukuyin ang function na y = f(x) sa isang segment.

"Mga pag-andar ng ilang mga variable" - Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function. Weierstrass theorem. Panloob at hangganan na mga punto. Limitasyon ng isang function ng 2 variable. Function graph. Teorama. Pagpapatuloy. Limitadong lugar. Bukas at saradong mga lugar. Derivatives ng mas mataas na mga order. Mga pribadong derivatives. Mga bahagyang pagtaas ng isang function ng 2 variable.

"3d drawings on asphalt" - Si Kurt ay nagsimulang lumikha ng kanyang mga unang gawa sa edad na 16 sa Santa Barbara, kung saan siya ay naging gumon sa street art. Mga 3d na guhit sa aspalto. Si Kurt Wenner ay isa sa mga pinakasikat na street artist na gumuhit ng mga 3D na guhit sa aspalto gamit ang mga ordinaryong krayola. USA. Sa kanyang kabataan, si Kurt Wenner ay nagtrabaho bilang isang ilustrador para sa NASA, kung saan nilikha niya ang mga unang larawan ng hinaharap na spacecraft.

"Theme Function" - Kung ang mga mag-aaral ay gumagawa sa iba't ibang paraan, ang guro ay dapat makipagtulungan sa kanila sa iba't ibang paraan. Ito ay kinakailangan upang malaman hindi kung ano ang hindi alam ng mag-aaral, ngunit kung ano ang alam niya. Paglalahat. Synthesis. Mga resulta ng USE sa matematika. Opsyonal na programa ng kurso. Samahan. Pang-edukasyon at pampakay na plano (24 na oras). pagkakatulad. Kung nalampasan ng estudyante ang guro, ito ang kaligayahan ng guro.

Ang mga gawain sa mga katangian at mga graph ng isang quadratic function, tulad ng ipinapakita ng pagsasanay, ay nagdudulot ng mga malubhang problema. Ito ay medyo kakaiba, dahil ang quadratic function ay naipasa sa ika-8 baitang, at pagkatapos ay ang buong unang quarter ng ika-9 na baitang ay "extorted" ng mga katangian ng parabola at ang mga graph nito ay binuo para sa iba't ibang mga parameter.

Ito ay dahil sa ang katunayan na ang pagpilit sa mga mag-aaral na bumuo ng mga parabola, halos hindi sila naglalaan ng oras sa "pagbabasa" ng mga graph, iyon ay, hindi sila nagsasanay sa pag-unawa sa impormasyong natanggap mula sa larawan. Tila, ipinapalagay na, na nakagawa ng dalawang dosenang mga graph, ang isang matalinong mag-aaral mismo ang makakatuklas at makakapagbalangkas ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient sa formula at ang hitsura ng graph. Sa pagsasagawa, hindi ito gumagana. Para sa naturang generalization, ang seryosong karanasan sa matematika na mini-research ay kinakailangan, na, siyempre, karamihan sa mga ika-siyam na baitang ay wala. Samantala, sa GIA ay iminungkahi nilang matukoy ang mga palatandaan ng mga coefficient nang tumpak ayon sa iskedyul.

Hindi namin hihilingin ang imposible mula sa mga mag-aaral at nag-aalok lamang ng isa sa mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema.

Kaya, isang function ng form y=ax2+bx+c ay tinatawag na quadratic, ang graph nito ay isang parabola. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pangunahing bahagi ay palakol 2. I.e a hindi dapat katumbas ng zero, ang natitirang mga coefficient ( b at kasama) ay maaaring katumbas ng zero.

Tingnan natin kung paano nakakaapekto ang mga palatandaan ng mga coefficient nito sa hitsura ng parabola.

Ang pinakasimpleng pag-asa para sa koepisyent a. Karamihan sa mga mag-aaral ay kumpiyansa na sumasagot: "kung a> 0, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

Sa kasong ito a = 0,5

At ngayon para sa a < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

Sa kasong ito a = - 0,5

Impluwensiya ng koepisyent kasama sapat din na madaling sundin. Isipin na gusto naming mahanap ang halaga ng isang function sa isang punto X= 0. Palitan ang zero sa formula:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Lumalabas na y = c. I.e kasama ay ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola sa y-axis. Bilang isang tuntunin, ang puntong ito ay madaling mahanap sa tsart. At tukuyin kung ito ay nasa itaas ng zero o mas mababa. I.e kasama> 0 o kasama < 0.

kasama > 0:

y=x2+4x+3

kasama < 0

y = x 2 + 4x - 3

Alinsunod dito, kung kasama= 0, kung gayon ang parabola ay kinakailangang dumaan sa pinanggalingan:

y=x2+4x

Mas mahirap sa parameter b. Ang punto kung saan natin ito mahahanap ay nakasalalay hindi lamang sa b ngunit mula rin sa a. Ito ang tuktok ng parabola. Ang abscissa nito (axis coordinate X) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula x sa \u003d - b / (2a). kaya, b = - 2ax in. Iyon ay, kumikilos kami tulad ng sumusunod: sa graph nakita namin ang tuktok ng parabola, matukoy ang tanda ng abscissa nito, iyon ay, tumingin kami sa kanan ng zero ( x sa> 0) o sa kaliwa ( x sa < 0) она лежит.

Gayunpaman, hindi lang ito. Dapat din nating bigyang pansin ang tanda ng koepisyent a. Iyon ay, upang makita kung saan nakadirekta ang mga sanga ng parabola. At pagkatapos lamang nito, ayon sa formula b = - 2ax in matukoy ang tanda b.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Mga sanga na nakaturo pataas a> 0, ang parabola ay tumatawid sa axis sa below zero ibig sabihin kasama < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sa> 0. Kaya b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, kasama < 0.

Linear function ay tinatawag na function ng form y = kx + b, tinukoy sa hanay ng lahat ng tunay na numero. Dito k– angular coefficient (tunay na numero), b – libreng miyembro (tunay na numero), x ay isang malayang baryabol.

Sa isang partikular na kaso, kung k = 0, nakakakuha tayo ng pare-parehong function y=b, na ang graph ay isang tuwid na linya na parallel sa axis ng Ox, na dumadaan sa puntong may mga coordinate (0;b).

Kung ang b = 0, pagkatapos ay makuha namin ang function y=kx, which is sa direktang proporsyon.

b – haba ng segment, na pinuputol ang linya sa kahabaan ng axis ng Oy, na binibilang mula sa pinanggalingan.

Ang geometric na kahulugan ng koepisyent k – nakatabinging anggulo diretso sa positibong direksyon ng Ox axis ay itinuturing na counterclockwise.

Mga katangian ng linear na function:

1) Ang domain ng isang linear function ay ang buong real axis;

2) Kung ang k ≠ 0, kung gayon ang hanay ng linear function ay ang buong totoong axis. Kung ang k = 0, pagkatapos ay ang hanay ng linear function ay binubuo ng numero b;

3) Ang pagiging pantay at kakaiba ng isang linear na function ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient k at b.

a) b ≠ 0, k = 0, kaya naman, y = b ay pantay;

b) b = 0, k ≠ 0, kaya naman y = kx ay kakaiba;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, kaya naman y = kx + b ay isang pangkalahatang function;

d) b = 0, k = 0, kaya naman Ang y = 0 ay pareho at isang kakaibang function.

4) Ang isang linear function ay walang katangian ng periodicity;

5) Mga intersection point na may coordinate axes:

baka: y = kx + b = 0, x = -b/k, samakatuwid (-b/k; 0)- punto ng intersection sa abscissa axis.

Oy: y=0k+b=b, samakatuwid (0;b) ay ang punto ng intersection sa y-axis.

Tandaan.Kung b = 0 at k = 0, pagkatapos ay ang function y=0 naglalaho para sa anumang halaga ng variable X. Kung ang b ≠ 0 at k = 0, pagkatapos ay ang function y=b ay hindi naglalaho para sa anumang halaga ng variable X.

6) Ang mga pagitan ng constancy ng sign ay depende sa coefficient k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- positibo sa x mula sa (-b/k; +∞),

y = kx + b- negatibo sa x mula sa (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- positibo sa x mula sa (-∞; -b/k),

y = kx + b- negatibo sa x mula sa (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positibo sa buong domain ng kahulugan,

k = 0, b< 0; y = kx + b ay negatibo sa buong domain ng kahulugan.

7) Ang mga agwat ng monotonicity ng isang linear function ay nakadepende sa coefficient k.

k > 0, samakatuwid y = kx + b tumataas sa buong domain ng kahulugan,

k< 0 , samakatuwid y = kx + b bumababa sa buong domain ng kahulugan.

8) Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Upang gumuhit ng isang tuwid na linya, ito ay sapat na upang malaman ang dalawang puntos. Ang posisyon ng tuwid na linya sa coordinate plane ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient k at b. Nasa ibaba ang isang talahanayan na malinaw na naglalarawan nito.