Ang fraction ay tinatawag tama kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay mas mababa kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator. Ang integral ng isang wastong rational fraction ay may anyo:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ang formula para sa pagsasama ng mga rational fraction ay nakasalalay sa mga ugat ng polynomial sa denominator. Kung ang polynomial na $ ax^2+bx+c $ ay mayroong:

1. Mga kumplikadong ugat lamang, pagkatapos ay kinakailangan na pumili ng isang buong parisukat mula dito: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Iba't ibang tunay na ugat $ x_1 $ at $ x_2 $, pagkatapos ay kailangan mong palawakin ang integral at hanapin ang mga hindi tiyak na coefficient $ A $ at $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Isang multiple root $ x_1 $, pagkatapos ay palawakin namin ang integral at hanapin ang hindi tiyak na coefficients $ A $ at $ B $ para sa formula na ito: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kung ang fraction ay mali, iyon ay, ang pinakamataas na antas sa numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng pinakamataas na antas ng denominator, pagkatapos ay dapat itong bawasan muna sa tama isip sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial mula sa numerator ng polynomial mula sa denominator. Sa kasong ito, ang formula para sa pagsasama ng isang rational fraction ay:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1

Hanapin ang integral ng isang rational fraction: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Desisyon

Ang fraction ay regular at ang polynomial ay may mga kumplikadong ugat lamang. Samakatuwid, pumili kami ng isang buong parisukat: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ I-collapse namin ang buong square at sum sa ilalim ng differential sign $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Gamit ang talahanayan ng mga integral, nakukuha namin: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa napapanahong paraan!

Sagot

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Halimbawa 2

Isama ang mga rational fraction: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Desisyon

Lutasin ang quadratic equation: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Isulat natin ang mga ugat: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Isinasaalang-alang ang nakuha na mga ugat, binabago namin ang integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Ginagawa namin ang pagpapalawak ng isang rational fraction: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ I-equate ang mga numerator at hanapin ang mga coefficient na $ A $ at $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa integral at nilulutas ito: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Sagot

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Tulad ng nabanggit ko na, sa integral calculus ay walang maginhawang formula para sa pagsasama ng isang fraction. At samakatuwid, mayroong isang malungkot na kalakaran: mas "magarbong" ang fraction, mas mahirap hanapin ang integral mula dito. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang isa ay kailangang gumamit ng iba't ibang mga trick, na tatalakayin ko ngayon. Maaaring gamitin kaagad ng mga handa na mambabasa talaan ng nilalaman:

• Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction

Paraan ng Artipisyal na Pagbabagong Numerator

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paraan, ang itinuturing na integral ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng variable na paraan ng pagbabago, na nagsasaad ng , ngunit ang solusyon ay magiging mas mahaba.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dapat tandaan na dito hindi na gagana ang variable replacement method.

Mahalaga ang atensyon! Ang mga halimbawa No. 1, 2 ay karaniwan at karaniwan. Sa partikular, ang mga naturang integral ay madalas na lumitaw sa kurso ng paglutas ng iba pang mga integral, lalo na, kapag pinagsama ang mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).

Ang pamamaraan sa itaas ay gumagana din sa kaso kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay mas malaki kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator.

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Magsimula tayo sa numerator.

Ang algorithm ng pagpili ng numerator ay katulad nito:

1) Sa numerator kailangan kong ayusin , ngunit doon . Anong gagawin? Isinama ko sa mga bracket at i-multiply sa: .

2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga bracket na ito, ano ang mangyayari? . Hmm ... mas mabuti na, ngunit walang deuce sa simula sa numerator. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply sa:

3) Pagbukas muli ng mga bracket: . At narito ang unang tagumpay! Kailangan pala! Ngunit ang problema ay lumitaw ang isang karagdagang termino. Anong gagawin? Upang hindi magbago ang expression, dapat kong idagdag ang pareho sa aking pagbuo:
. Naging mas madali ang buhay. Posible bang mag-organisa muli sa numerator?

4) Kaya mo. Subukan namin: . Palawakin ang mga bracket ng pangalawang termino:
. Paumanhin, ngunit mayroon talaga ako sa nakaraang hakbang, at hindi . Anong gagawin? Kailangan nating i-multiply ang pangalawang termino sa pamamagitan ng:

5) Muli, para sa pagpapatunay, binubuksan ko ang mga bracket sa ikalawang termino:
. Ngayon ay normal na: nakuha mula sa huling pagbuo ng talata 3! Ngunit muli mayroong isang maliit na "ngunit", isang dagdag na termino ay lumitaw, na nangangahulugan na dapat kong idagdag sa aking expression:

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay kapag binubuksan ang lahat ng mga bracket, dapat nating makuha ang paunang numerator ng integrand. Sinusuri namin:
Mabuti.

kaya:

handa na. Sa huling termino, inilapat ko ang paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng kaugalian.

Kung makikita natin ang derivative ng sagot at bawasan ang expression sa isang common denominator, pagkatapos ay makukuha natin ang eksaktong orihinal na integrand. Ang itinuturing na paraan ng pagpapalawak sa isang kabuuan ay walang iba kundi ang reverse action upang dalhin ang expression sa isang common denominator.

Ang algorithm ng pagpili ng numerator sa mga naturang halimbawa ay pinakamahusay na ginanap sa isang draft. Sa ilang mga kasanayan, gagana rin ito sa pag-iisip. Naaalala ko ang isang record time nang gumawa ako ng isang seleksyon para sa ika-11 na kapangyarihan, at ang pagpapalawak ng numerator ay tumagal ng halos dalawang linya ng Werd.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction

Lumipat tayo sa susunod na uri ng mga fraction.
, , , (ang mga coefficient at hindi katumbas ng zero).

Sa katunayan, ang ilang mga kaso na may arcsine at arctangent ay nadulas na sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral. Ang ganitong mga halimbawa ay malulutas sa pamamagitan ng pagdadala ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian at pagkatapos ay pagsasama-sama gamit ang talahanayan. Narito ang ilang mas karaniwang mga halimbawa na may mahaba at mataas na logarithm:

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Dito ipinapayong kunin ang isang talahanayan ng mga integral at sundin kung anong mga formula at bilang nagaganap ang pagbabago. Tandaan, Paano at bakit ang mga parisukat ay naka-highlight sa mga halimbawang ito. Sa partikular, sa Halimbawa 6, kailangan muna nating katawanin ang denominator bilang , pagkatapos ay dalhin sa ilalim ng tanda ng kaugalian. At kailangan mong gawin ang lahat ng ito upang magamit ang karaniwang formula ng tabular .

Ngunit kung ano ang titingnan, subukang lutasin ang mga halimbawa No. 7,8 sa iyong sarili, lalo na dahil ang mga ito ay medyo maikli:

Halimbawa 7

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Kung maaari mo ring suriin ang mga halimbawang ito, kung gayon ang malaking paggalang ay ang iyong mga kasanayan sa pagkakaiba-iba sa kanilang pinakamahusay.

Buong parisukat na paraan ng pagpili

Mga integral ng anyo, (mga coefficient at hindi katumbas ng zero) ay nalutas buong parisukat na paraan ng pagpili, na lumabas na sa aralin Mga Pagbabagong Geometric Plot.

Sa katunayan, ang mga naturang integral ay bumababa sa isa sa apat na mga integral ng talahanayan na kakakonsidera lang namin. At ito ay nakakamit gamit ang pamilyar na pinaikling mga formula ng pagpaparami:

Inilapat ang mga formula sa direksyong ito, iyon ay, ang ideya ng pamamaraan ay ang artipisyal na pag-aayos ng mga expression sa denominator o , at pagkatapos ay i-convert ang mga ito, ayon sa pagkakabanggit, sa o .

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ang pinakasimpleng halimbawa kung saan na may term - unit coefficient(at hindi ilang numero o minus).

Tinitingnan namin ang denominator, dito ang buong bagay ay malinaw na nabawasan sa kaso. Simulan natin ang pag-convert ng denominator:

Malinaw, kailangan mong magdagdag ng 4. At upang ang expression ay hindi magbago - ang parehong apat at ibawas:

Ngayon ay maaari mong ilapat ang formula:

Pagkatapos ng conversion ay tapos na LAGI ito ay kanais-nais na magsagawa ng isang reverse move: lahat ay maayos, walang mga error.

Ang malinis na disenyo ng halimbawang pinag-uusapan ay dapat magmukhang ganito:

handa na. Ang pagdadala ng isang "libre" na kumplikadong function sa ilalim ng differential sign: , sa prinsipyo, ay maaaring mapabayaan

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Halimbawa 11

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ano ang gagawin kapag may minus sa harap? Sa kasong ito, kailangan mong alisin ang minus sa mga bracket at ayusin ang mga tuntunin sa pagkakasunud-sunod na kailangan namin:. pare-pareho("doble" sa kasong ito) Bawal hawakan!

Ngayon ay nagdaragdag kami ng isa sa mga panaklong. Pag-aralan ang expression, dumating kami sa konklusyon na kailangan namin ng isa sa likod ng bracket - idagdag:

Narito ang formula, ilapat:

LAGI nagsasagawa kami ng pagsusuri sa draft:
, na dapat i-verify.

Ang malinis na disenyo ng halimbawa ay mukhang ganito:

Ginagawa naming kumplikado ang gawain

Halimbawa 12

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Dito, kasama ang termino, ito ay hindi na isang solong koepisyent, ngunit isang "lima".

(1) Kung ang isang pare-pareho ay matatagpuan sa, pagkatapos ay agad naming alisin ito sa mga bracket.

(2) Sa pangkalahatan, palaging mas mainam na ilipat ang pare-parehong ito sa labas ng integral upang hindi ito makahadlang.

(3) Malinaw na ang lahat ay mababawasan sa formula . Kinakailangang maunawaan ang termino, ibig sabihin, upang makakuha ng "dalawa"

(4) Oo, . Kaya, idinaragdag namin ang expression, at ibawas ang parehong fraction.

(5) Ngayon pumili ng isang buong parisukat. Sa pangkalahatang kaso, kinakailangan ding kalkulahin , ngunit narito mayroon tayong mahabang logarithm formula , at ang aksyon ay hindi makatuwirang gawin, bakit - magiging malinaw ito nang kaunti.

(6) Sa totoo lang, maaari nating ilapat ang formula , sa halip na "x" lamang ang mayroon tayo, na hindi nagpapawalang-bisa sa bisa ng integral na tabular. Sa mahigpit na pagsasalita, isang hakbang ang nawawala - bago ang pagsasama, ang function ay dapat na dinala sa ilalim ng differential sign: , ngunit, tulad ng paulit-ulit kong nabanggit, ito ay madalas na napapabayaan.

(7) Sa sagot sa ilalim ng ugat, kanais-nais na buksan ang lahat ng mga bracket pabalik:

Magulo? Hindi ito ang pinakamahirap sa integral calculus. Bagaman, ang mga halimbawang isinasaalang-alang ay hindi gaanong kumplikado dahil nangangailangan sila ng mahusay na pamamaraan ng pagkalkula.

Halimbawa 13

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Sagutin sa pagtatapos ng aralin.

Mayroong mga integral na may mga ugat sa denominator, na, sa tulong ng isang kapalit, ay nabawasan sa mga integral ng itinuturing na uri, maaari mong basahin ang tungkol sa mga ito sa artikulo Mga kumplikadong integral, ngunit ito ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na lubos na handa.

Dinadala ang numerator sa ilalim ng tanda ng kaugalian

Ito ang huling bahagi ng aralin, gayunpaman, ang mga integral ng ganitong uri ay karaniwan! Kung naipon ang pagod, mas mabuting magbasa bukas? ;)

Ang mga integral na isasaalang-alang natin ay katulad ng mga integral ng nakaraang talata, mayroon silang anyo: o (ang mga coefficient , at hindi katumbas ng zero).

Ibig sabihin, mayroon tayong linear function sa numerator. Paano malutas ang mga naturang integral?

Ang problema sa paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang fractionally rational function ay binabawasan sa pagsasama ng mga simpleng fraction. Samakatuwid, inirerekumenda namin na pamilyar ka muna sa seksyon sa teorya ng agnas ng mga fraction sa mga simple.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Desisyon.

Dahil ang antas ng numerator ng integrand ay katumbas ng antas ng denominator, pipiliin muna natin ang bahagi ng integer sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa polynomial sa column:

Kaya, .

Ang agnas ng nakuhang wastong rational fraction sa simpleng fraction ay may anyo . Kaya naman,

Ang resultang integral ay integral ng pinakasimpleng fraction ng ikatlong uri. Sa pagtingin sa unahan, tandaan namin na maaari itong kunin sa pamamagitan ng pagdadala nito sa ilalim ng differential sign.

Bilang , pagkatapos . Kaya

Kaya naman,

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglalarawan ng mga pamamaraan para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga praksyon ng bawat isa sa apat na uri.

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng unang uri

Ang paraan ng direktang pagsasama ay mainam para sa paglutas ng problemang ito:

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Desisyon.

Hanapin natin ang di-tiyak na integral gamit ang mga katangian ng antiderivative, ang talahanayan ng mga antiderivative at ang panuntunan sa pagsasama.

Ibabaw ng Pahina

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng pangalawang uri

Ang paraan ng direktang pagsasama ay angkop din para sa paglutas ng problemang ito:

Halimbawa.

Desisyon.

Ibabaw ng Pahina

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng ikatlong uri

Una, ipinakita namin ang hindi tiyak na integral bilang kabuuan:

Kinukuha namin ang unang integral sa pamamagitan ng paraan ng subsuming sa ilalim ng tanda ng kaugalian:

Kaya,

Binabago namin ang denominator ng nagresultang integral:

Kaya naman,

Ang pormula para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga praksyon ng ikatlong uri ay nasa anyo:

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral .

Desisyon.

Ginagamit namin ang resultang formula:

Kung wala tayong formula na ito, ano ang gagawin natin:

Ibabaw ng Pahina

Pagsasama ng mga pinakasimpleng fraction ng ikaapat na uri

Ang unang hakbang ay buod ito sa ilalim ng differential sign:

Ang ikalawang hakbang ay ang paghahanap ng integral ng form . Ang mga integral ng ganitong uri ay matatagpuan gamit ang mga paulit-ulit na formula. (Tingnan ang seksyong pagsasama gamit ang mga recursive na formula). Para sa aming kaso, ang sumusunod na recursive formula ay angkop:

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Desisyon.

Para sa ganitong uri ng integrand, ginagamit namin ang paraan ng pagpapalit. Ipakilala natin ang isang bagong variable (tingnan ang seksyon sa pagsasama ng mga hindi makatwiran na pag-andar):

Pagkatapos ng pagpapalit mayroon kaming:

Dumating kami sa paghahanap ng integral ng isang fraction ng ikaapat na uri. Sa aming kaso, mayroon kaming mga coefficient M=0, p=0, q=1, N=1 at n=3. Inilapat namin ang recursive formula:

Pagkatapos ng reverse substitution, makuha namin ang resulta:

Pagsasama ng trigonometriko function

1. Integrals ng form ay kinakalkula sa pamamagitan ng pag-convert ng produkto ng trigonometriko function sa isang kabuuan ayon sa mga formula: Halimbawa, 2. Integrals ng form , saan m o n- isang kakaibang positibong numero, ay kinakalkula sa pamamagitan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential. Halimbawa, 3. Integrals ng form , saan m at n- kahit na ang mga positibong numero, ay kinakalkula gamit ang mga formula ng pagbabawas: Halimbawa, 4. Integrals kung saan kinakalkula sa pamamagitan ng pagbabago ng variable: o Halimbawa, 5. Ang mga integral ng anyo ay binabawasan sa mga integral ng mga rational fraction gamit ang isang unibersal na trigonometric substitution noon (dahil =[pagkatapos hatiin ang numerator at denominator sa ]= ; Halimbawa, Dapat pansinin na ang paggamit ng isang unibersal na pagpapalit ay madalas na humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon.

§5. Pagsasama-sama ng pinakasimpleng irrationalities

Isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng uri ng kawalan ng katwiran. isa. Ang mga function ng ganitong uri ay isinama sa parehong paraan tulad ng pinakasimpleng rational fraction ng ika-3 uri: sa denominator, isang buong parisukat ang kinukuha mula sa square trinomial at isang bagong variable ang ipinakilala. Halimbawa. 2. (sa ilalim ng tanda ng integral - ang rational function ng mga argumento). Ang mga integral ng ganitong uri ay kinakalkula gamit ang pagpapalit . Sa partikular, sa mga integral ng form na tinutukoy namin . Kung ang integrand ay naglalaman ng mga ugat ng iba't ibang antas: , pagkatapos ay tukuyin ang , kung saan n ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero m,k. Halimbawa 1 Halimbawa 2 ay isang hindi wastong rational fraction, piliin ang integer na bahagi: – – – 3. Integrals ng form ay kinakalkula gamit ang mga trigonometrikong pagpapalit:

44

45 Definite Integral

Tiyak na integral ay isang additive monotone normalized functional na tinukoy sa isang set ng mga pares, ang unang bahagi nito ay isang integrable function o functional, at ang pangalawa ay isang lugar sa set ng function na ito (functional).

Kahulugan

Hayaan itong tukuyin sa . Hatiin natin ito sa mga bahagi na may ilang di-makatwirang punto. Pagkatapos ay sinasabi namin na ang segment ay nahati. Susunod, pipili kami ng isang arbitrary na punto , ,

Ang tiyak na integral ng isang function sa isang segment ay ang limitasyon ng integral sums dahil ang partition rank ay nagiging zero, kung ito ay umiiral anuman ang partition at pagpili ng mga puntos, iyon ay

Kung umiiral ang limitasyong ito, ang function ay sinasabing Riemann integrable on.

Notasyon

· - mababang limitasyon.

· - itaas na limitasyon.

· - pagsamahin at pag-andar.

· - haba ng isang bahagyang segment.

· ay ang integral sum ng function sa kaukulang partition .

· - maximum na haba ng isang bahagyang segment.

Ari-arian

Kung ang isang function ay Riemann-integrable sa , kung gayon ito ay nakatali dito.

geometric na kahulugan

Ang tiyak na integral bilang lugar ng isang pigura

Ang tiyak na integral ay katumbas ng numero sa lugar ng figure na nililimitahan ng x-axis, mga tuwid na linya at at ang function graph.

Newton-Leibniz theorem

[baguhin]

(na-redirect mula sa "Newton-Leibniz Formula")

Newton - Leibniz formula o pangunahing teorama ng pagsusuri nagbibigay ng kaugnayan sa pagitan ng dalawang operasyon: pagkuha ng isang tiyak na integral at pagkalkula ng isang antiderivative.

Patunay

Hayaang magbigay ng integrable function sa segment. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagpuna na

ibig sabihin, hindi mahalaga kung aling titik (o ) ang nasa ilalim ng tanda sa isang tiyak na integral sa pagitan .

Magtakda ng isang arbitrary na halaga at tukuyin ang isang bagong function . Ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng , dahil alam natin na kung mayroong integral ng on , mayroon ding integral ng on , kung saan . Alalahanin na isinasaalang-alang namin ayon sa kahulugan

(1)

pansinin mo yan

Ipakita natin na tuloy-tuloy ito sa segment . Sa katunayan, hayaan ; pagkatapos

at kung , kung gayon

Kaya, ay tuloy-tuloy sa hindi alintana kung ito ay may mga discontinuities o wala; ito ay mahalaga na ito ay integrable sa .

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph. Ang lugar ng variable figure ay . Ang pagtaas nito ay katumbas ng lugar ng figure , na, dahil sa boundedness ng , ay malinaw na may posibilidad na zero sa kahit na ito ay isang punto ng pagpapatuloy o discontinuity, halimbawa, isang punto .

Ngayon hayaan ang function na hindi lamang maging integrable sa , ngunit maging tuloy - tuloy sa punto . Patunayan natin na may derivative sa puntong ito na katumbas ng

(2)

Sa katunayan, para sa ibinigay na punto

(1) , (3)

Inilalagay namin ang , at dahil ang pare-pareho ay nauugnay sa ,TO . Dagdag pa, dahil sa pagpapatuloy sa punto, para sa sinuman ay maaaring tukuyin tulad na para sa .

na nagpapatunay na ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay o(1) para sa .

Ang pagpasa sa limitasyon sa (3) sa ay nagpapakita ng pagkakaroon ng derivative ng sa punto at ang bisa ng pagkakapantay-pantay (2). Dito pinag-uusapan natin ang kanan at kaliwang derivatives, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa , kung gayon, batay sa kung ano ang napatunayan sa itaas, ang kaukulang function

(4)

ay may derivative na katumbas ng . Samakatuwid, ang function ay antiderivative para sa on .

Ang konklusyong ito ay minsan tinatawag na Variable Upper Limit Integral Theorem o Barrow's Theorem.

Napatunayan namin na ang isang arbitrary na tuluy-tuloy na pag-andar sa isang pagitan ay may isang antiderivative sa pagitan na ito, na tinukoy ng pagkakapantay-pantay (4). Pinatutunayan nito ang pagkakaroon ng isang antiderivative para sa anumang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan.

Hayaan ngayon na maging isang arbitrary na antiderivative ng isang function sa . Alam namin na , kung saan ay ilang pare-pareho. Ipagpalagay sa pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang iyon, nakukuha natin.

Kaya, . Pero

Hindi wastong integral

[baguhin]

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya

Tiyak na integral tinawag hindi tama kung totoo man lang ang isa sa mga sumusunod na kundisyon:

· Ang limitasyon a o b (o parehong mga limitasyon) ay walang hanggan;

· Ang function na f(x) ay may isa o higit pang mga breakpoint sa loob ng segment .

[baguhin] Mga hindi tamang integral ng unang uri

. Pagkatapos:

1. Kung at ang integral ay tinatawag . Sa kasong ito ay tinatawag na convergent.

, o simpleng divergent.

Hayaang tukuyin at tuloy-tuloy sa set mula sa at . Pagkatapos:

1. Kung , pagkatapos ay ang notasyon at ang integral ay tinatawag hindi wastong Riemann integral ng unang uri. Sa kasong ito ay tinatawag na convergent.

2. Kung walang hangganan ( o ), kung gayon ang integral ay sinasabing divergent sa , o simpleng divergent.

Kung ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong totoong linya, kung gayon ay maaaring mayroong hindi wastong integral ng function na ito na may dalawang walang katapusang limitasyon ng pagsasama, na tinutukoy ng formula:

, kung saan ang c ay isang arbitrary na numero.

[baguhin] Ang geometric na kahulugan ng hindi wastong integral ng unang uri

Ang hindi wastong integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang walang katapusang mahabang curvilinear trapezoid.

[baguhin] Mga halimbawa

[baguhin] Mga hindi wastong integral ng pangalawang uri

Hayaang tukuyin ito sa , magdusa ng walang katapusang discontinuity sa puntong x=a at . Pagkatapos:

1. Kung , pagkatapos ay ang notasyon at ang integral ay tinatawag

ay tinatawag na divergent sa , o simpleng divergent.

Hayaang tukuyin ito sa , magdusa ng walang katapusang discontinuity sa x=b at . Pagkatapos:

1. Kung , pagkatapos ay ang notasyon at ang integral ay tinatawag hindi wastong Riemann integral ng pangalawang uri. Sa kasong ito, ang integral ay tinatawag na convergent.

2. Kung o , kung gayon ang pagtatalaga ay napanatili, at ay tinatawag na divergent sa , o simpleng divergent.

Kung ang function ay dumaranas ng isang discontinuity sa isang panloob na punto ng segment, kung gayon ang hindi wastong integral ng pangalawang uri ay tinutukoy ng formula:

[baguhin] Geometric na kahulugan ng mga hindi wastong integral ng pangalawang uri

Ang hindi wastong integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang walang katapusang mataas na curvilinear trapezoid

[baguhin] Halimbawa

[baguhin] Espesyal na kaso

Hayaang tukuyin ang function sa buong totoong axis at magkaroon ng discontinuity sa mga punto.

Pagkatapos ay mahahanap natin ang hindi wastong integral

[baguhin] Cauchy criterion

1. Hayaan ay tukuyin sa set mula sa at .

Pagkatapos nagtatagpo

2. Ang Hayaan ay tinukoy sa at .

Pagkatapos nagtatagpo

[baguhin] Ganap na tagpo

integral tinawag ganap na nagtatagpo, kung nagtatagpo.
Kung ang isang integral ay ganap na nagtatagpo, pagkatapos ito ay nagtatagpo.

[baguhin] Conditional convergence

Ang integral ay tinatawag may kondisyong nagtatagpo kung nagtatagpo at diverges.

48 12. Mga hindi wastong integral.

Kapag isinasaalang-alang ang mga tiyak na integral, ipinapalagay namin na ang rehiyon ng pagsasama ay may hangganan (mas partikular, ito ay ang segment [ a ,b ]); para sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral, ang hangganan ng integrand sa [ a ,b ]. Tatawagin namin ang mga tiyak na integral kung saan nasiyahan ang parehong mga kundisyong ito (boundedness ng parehong domain ng integration at ng integrand) sariling; integral kung saan nilalabag ang mga kinakailangang ito (ibig sabihin, ang integrand, o ang domain ng integration, o pareho, ay walang hangganan) hindi pagmamay-ari. Sa seksyong ito, pag-aaralan natin ang mga hindi wastong integral.

• 12.1. Mga hindi tamang integral sa isang walang hangganang pagitan (mga hindi tamang integral ng unang uri).
• 12.1.1. Kahulugan ng isang hindi wastong integral sa isang walang katapusang pagitan. Mga halimbawa.
• 12.1.2. Ang formula ng Newton-Leibniz para sa hindi wastong integral.
• 12.1.3. Mga pamantayan sa paghahambing para sa mga di-negatibong function.
• 12.1.3.1. Tanda ng paghahambing.
• 12.1.3.2. Isang tanda ng paghahambing sa anyo ng paglilimita.
• 12.1.4. Ganap na tagpo ng mga hindi wastong integral sa isang walang katapusang pagitan.
• 12.1.5. Pamantayan ng convergence para kay Abel at Dirichlet.
• 12.2. Mga hindi wastong integral ng mga walang hangganang function (mga hindi tamang integral ng pangalawang uri).
• 12.2.1. Kahulugan ng isang hindi wastong integral ng isang walang hangganang function.
• 12.2.1.1. Singularity sa kaliwang dulo ng interval ng integration.
• 12.2.1.2. Application ng Newton-Leibniz formula.
• 12.2.1.3. Singularity sa kanang dulo ng interval ng integration.
• 12.2.1.4. Singularity sa isang panloob na punto ng agwat ng pagsasama.
• 12.2.1.5. Ilang mga singularidad sa pagitan ng pagsasama.
• 12.2.2. Mga pamantayan sa paghahambing para sa mga di-negatibong function.
• 12.2.2.1. Tanda ng paghahambing.
• 12.2.2.2. Isang tanda ng paghahambing sa anyo ng paglilimita.
• 12.2.3. Absolute at conditional convergence ng mga hindi wastong integral ng discontinuous functions.
• 12.2.4. Pamantayan ng convergence para kay Abel at Dirichlet.

12.1. Mga hindi tamang integral sa isang walang hangganang pagitan

(mga hindi tamang integral ng unang uri).

12.1.1. Kahulugan ng isang hindi wastong integral sa isang walang katapusang pagitan. Hayaan ang function f (x ) ay tinukoy sa kalahating linya at maisasama sa anumang pagitan [ mula sa, na nagpapahiwatig sa bawat isa sa mga kasong ito ng pagkakaroon at pagiging may hangganan ng kaukulang mga limitasyon. Ngayon ang mga solusyon ng mga halimbawa ay mukhang mas simple: .

12.1.3. Mga pamantayan sa paghahambing para sa mga di-negatibong function. Sa seksyong ito, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga integrand ay hindi negatibo sa buong domain ng kahulugan. Hanggang ngayon, natukoy namin ang convergence ng integral sa pamamagitan ng pagkalkula nito: kung may hangganan na limitasyon ng antiderivative na may kaukulang aspirasyon ( o ), kung gayon ang integral ay nagtatagpo, kung hindi man ito ay magkakaiba. Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, gayunpaman, mahalaga una sa lahat na itatag ang mismong katotohanan ng convergence, at pagkatapos lamang kalkulahin ang integral (bukod sa, ang antiderivative ay madalas na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar). Kami ay bumalangkas at nagpapatunay ng isang bilang ng mga theorems na nagbibigay-daan sa amin upang maitaguyod ang convergence at divergence ng mga hindi wastong integral ng mga nonnegative na function nang hindi kinakalkula ang mga ito.
12.1.3.1. Tanda ng paghahambing. Hayaan ang mga function f (x ) at g (x ) pagsasama-sama

Ang materyal na ipinakita sa paksang ito ay batay sa impormasyong ipinakita sa paksang "Rational fractions. Decomposition of rational fractions into elementary (simple) fractions". Masidhi kong ipinapayo sa iyo na suriin ang paksang ito bago magpatuloy sa pagbabasa ng materyal na ito. Bilang karagdagan, kakailanganin namin ang isang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang ilang termino. Sila ay tinalakay sa may-katuturang paksa, kaya dito ko limitahan ang aking sarili sa isang maikling pagbabalangkas.

Ang ratio ng dalawang polynomial na $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ay tinatawag na rational function o rational fraction. Ang rational fraction ay tinatawag tama kung $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется mali.

Ang elementarya (simple) rational fraction ay mga rational fraction ng apat na uri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Tandaan (kanais-nais para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto): ipakita\itago

Bakit kailangan ang kondisyong $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Halimbawa, para sa expression na $x^2+5x+10$ nakukuha namin ang: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Dahil $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa pagsusuring ito ay hindi kinakailangan na ang koepisyent sa harap ng $x^2$ ay katumbas ng 1. Halimbawa, para sa $5x^2+7x-3=0$ makuha natin ang: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Dahil $D > 0$, ang expression na $5x^2+7x-3$ ay factorizable.

Ang mga halimbawa ng rational fraction (regular at hindi wasto), pati na rin ang mga halimbawa ng pagpapalawak ng rational fraction sa elementarya, ay matatagpuan. Dito lamang kami interesado sa mga katanungan ng kanilang pagsasama. Magsimula tayo sa pagsasama ng mga elementary fraction. Kaya, ang bawat isa sa apat na uri ng mga elementary fraction sa itaas ay madaling isama gamit ang mga formula sa ibaba. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na kapag ang pagsasama ng mga fraction ng uri (2) at (4) $n=2,3,4,\ldots$ ay ipinapalagay. Ang mga formula (3) at (4) ay nangangailangan ng kundisyon $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Para sa $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ang kapalit na $t=x+\frac(p)(2)$ ay ginawa, pagkatapos ay ang resultang integral ay nahati sa dalawa. Ang una ay kakalkulahin sa pamamagitan ng pagpasok nito sa ilalim ng differential sign, at ang pangalawa ay magmumukhang $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ang integral na ito ay kinuha gamit ang recurrence relation

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)

Ang pagkalkula ng naturang integral ay sinusuri sa halimbawa No. 7 (tingnan ang ikatlong bahagi).

Scheme para sa pagkalkula ng mga integral mula sa mga rational function (mga rational fraction):

1. Kung elementary ang integrand, ilapat ang mga formula (1)-(4).
2. Kung ang integrand ay hindi elementarya, pagkatapos ay i-represent ito bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay pagsamahin gamit ang mga formula (1)-(4).

Ang algorithm sa itaas para sa pagsasama ng mga rational fraction ay may hindi maikakaila na kalamangan - ito ay pangkalahatan. Yung. Gamit ang algorithm na ito, maaaring isama ng isa anuman rational fraction. Iyon ang dahilan kung bakit halos lahat ng mga pagpapalit ng mga variable sa hindi tiyak na integral (Euler, Chebyshev substitutions, universal trigonometric substitution) ay ginagawa sa paraang pagkatapos ng kapalit na ito ay nakakakuha tayo ng rational fraction sa ilalim ng interval. At ilapat ang algorithm dito. Susuriin namin ang direktang aplikasyon ng algorithm na ito gamit ang mga halimbawa, pagkatapos gumawa ng isang maliit na tala.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Sa prinsipyo, ang integral na ito ay madaling makuha nang walang mekanikal na aplikasyon ng formula. Kung kukunin natin ang pare-parehong $7$ mula sa integral sign at isasaalang-alang na $dx=d(x+9)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para sa detalyadong impormasyon, inirerekumenda kong tingnan ang paksa. Ipinapaliwanag nito nang detalyado kung paano nalulutas ang mga naturang integral. Sa pamamagitan ng paraan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pagbabagong inilapat sa talatang ito kapag nilutas ang "manu-mano".

2) Muli, mayroong dalawang paraan: mag-apply ng isang handa na formula o gawin nang wala ito. Kung ilalapat mo ang formula, dapat mong isaalang-alang na ang coefficient sa harap ng $x$ (ang numero 4) ay kailangang alisin. Upang gawin ito, kinuha lang namin ang apat sa mga ito sa mga bracket:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\kaliwa(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$

Ngayon ay oras na upang ilapat ang formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\kaliwa(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Magagawa mo nang hindi gumagamit ng formula. At kahit na hindi inilalagay ang pare-parehong $4 sa mga bracket. Kung isasaalang-alang natin na $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Ang mga detalyadong paliwanag sa paghahanap ng mga naturang integral ay ibinibigay sa paksang "Pagsasama-sama sa pamamagitan ng pagpapalit (pagpapakilala sa ilalim ng palatandaan ng kaugalian)" .

3) Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ang fraction na ito ay may istraktura na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kung saan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Gayunpaman, upang matiyak na isa nga itong elementarya na bahagi ng ikatlong uri, kailangan mong suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lutasin natin ang parehong halimbawa, ngunit nang hindi ginagamit ang handa na pormula. Subukan nating ihiwalay ang derivative ng denominator sa numerator. Anong ibig sabihin nito? Alam natin na $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ito ang expression na $2x+10$ na kailangan nating ihiwalay sa numerator. Sa ngayon, ang numerator ay naglalaman lamang ng $4x+7$ , ngunit hindi ito nagtagal. Ilapat ang sumusunod na pagbabago sa numerator:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -labing tatlo. $$

Ngayon ang kinakailangang expression na $2x+10$ ay lumitaw sa numerator. At ang ating integral ay maaaring muling isulat gaya ng sumusunod:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Hatiin natin ang integrand sa dalawa. Well, at, nang naaayon, ang integral mismo ay "nahati" din:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Pag-usapan muna natin ang unang integral, i.e. tungkol sa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Dahil $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, kung gayon ang denominator differential ay matatagpuan sa numerator ng integrand. Sa madaling salita, sa halip ng expression na $( 2x+10)dx$ isinusulat namin ang $d(x^2+10x+34)$.

Ngayon sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa pangalawang integral. Isa-isahin natin ang buong parisukat sa denominator: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang $dx=d(x+5)$. Ngayon ang kabuuan ng mga integral na nakuha namin kanina ay maaaring muling isulat sa isang bahagyang naiibang anyo:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ siyam). $$

Kung gagawin natin ang pagbabago $u=x^2+10x+34$ sa unang integral, kukuha ito ng anyong $\int\frac(du)(u)$ at kukunin sa pamamagitan lamang ng paglalapat ng pangalawang formula mula sa . Tulad ng para sa pangalawang integral, ang kapalit na $u=x+5$ ay magagawa para dito, pagkatapos nito ay kinuha ang form na $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ito ang pinakadalisay na tubig, ang ikalabing-isang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Kaya, bumalik sa kabuuan ng mga integral, magkakaroon tayo ng:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng kapag nag-aaplay ng formula , na, sa katunayan, ay hindi nakakagulat. Sa pangkalahatan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pamamaraan na ginamit namin upang mahanap ang integral na ito. Naniniwala ako na ang isang matulungin na mambabasa ay maaaring magkaroon ng isang katanungan dito, samakatuwid ay bubuuin ko ito:

Tanong #1

Kung ilalapat natin ang pangalawang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral sa integral na $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Bakit nawawala ang module sa solusyon?

Sagot sa tanong #1

Ang tanong ay ganap na lehitimo. Ang modulus ay wala lamang dahil ang expression na $x^2+10x+34$ para sa anumang $x\in R$ ay mas malaki sa zero. Ito ay medyo madaling ipakita sa maraming paraan. Halimbawa, dahil $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ at $(x+5)^2 ≥ 0$, pagkatapos ay $(x+5)^2+9 > 0$ . Posibleng humatol sa ibang paraan, nang hindi kinasasangkutan ng pagpili ng isang buong parisukat. Mula noong $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para sa anumang $x\in R$ (kung nakakagulat ang lohikal na chain na ito, ipinapayo ko sa iyo na tingnan ang graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat). Sa anumang kaso, dahil $x^2+10x+34 > 0$, pagkatapos ay $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. maaari kang gumamit ng mga normal na bracket sa halip na isang module.

Ang lahat ng mga punto ng halimbawa No. 1 ay nalutas, ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Halimbawa #2

Hanapin ang integral na $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Sa unang sulyap, ang integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay halos kapareho sa elementary fraction ng ikatlong uri, i.e. hanggang $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Tila ang pagkakaiba lamang ay ang koepisyent na $3$ sa harap ng $x^2$, ngunit hindi magtatagal upang alisin ang koepisyent (wala sa mga bracket). Gayunpaman, ang pagkakatulad na ito ay maliwanag. Para sa fraction na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ang kundisyon $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Ang aming coefficient sa harap ng $x^2$ ay hindi katumbas ng isa, kaya suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, kaya ang expression na $3x^2-5x-2$ ay maaaring i-factorize. At nangangahulugan ito na ang fraction na $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay hindi elementarya fraction ng ikatlong uri, at nalalapat sa integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ formula ay hindi pinapayagan.

Buweno, kung ang ibinigay na rational fraction ay hindi elementarya, dapat itong irepresenta bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay isinama. Sa madaling salita, sinasamantala ng trail ang . Kung paano mabulok ang isang rational fraction sa elementarya ay nakasulat nang detalyado. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-factor ng denominator:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Kinakatawan namin ang subinternal na fraction sa sumusunod na anyo:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$

Ngayon, palawakin natin ang fraction na $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ sa elementarya:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\kanan))(\left(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\kanan). $$

Upang mahanap ang mga coefficient na $A$ at $B$ mayroong dalawang karaniwang paraan: ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient at ang paraan ng pagpapalit ng mga partial na halaga. Ilapat natin ang paraan ng pagpapalit ng bahagyang halaga sa pamamagitan ng pagpapalit ng $x=2$ at pagkatapos ay $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\kaliwa(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Dahil natagpuan ang mga koepisyent, nananatili lamang itong isulat ang natapos na pagpapalawak:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ang entry na ito, ngunit gusto ko ang isang mas tumpak na bersyon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Pagbabalik sa orihinal na integral, pinapalitan namin ang nagresultang pagpapalawak dito. Pagkatapos ay hinati namin ang integral sa dalawa, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Sagot: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Halimbawa #3

Hanapin ang integral na $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Ang numerator ay isang polynomial ng pangalawang degree, at ang denominator ay isang polynomial ng ikatlong degree. Dahil ang antas ng polynomial sa numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng polynomial sa denominator, i.e. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Kailangan lang nating hatiin ang ibinigay na integral sa tatlo, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Sagot: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Ang pagpapatuloy ng pagsusuri ng mga halimbawa ng paksang ito ay matatagpuan sa ikalawang bahagi.

Bago magpatuloy sa pagsasama-sama ng pinakasimpleng mga fraction upang mahanap ang hindi tiyak na integral ng isang fractionally rational function, inirerekumenda na i-refresh ang memorya ng seksyong "Decomposition ng isang fraction sa pinakasimpleng".

Halimbawa 1

Hanapin ang di-tiyak na integral ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Desisyon

Pinipili namin ang bahagi ng integer sa pamamagitan ng paghati sa haligi ng polynomial sa polynomial, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang antas ng numerator ng integrand ay katumbas ng antas ng denominator:

Kaya 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Nakakuha kami ng tamang rational fraction - 2 x + 3 x 3 + x, na nabubulok na namin ngayon sa mga simpleng fraction - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Kaya naman,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Nakakuha kami ng integral ng pinakasimpleng bahagi ng ikatlong uri. Maaari mo itong kunin sa pamamagitan ng pagdadala nito sa ilalim ng tanda ng kaugalian.

Dahil d x 2 + 1 = 2 x d x , pagkatapos ay 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . Kaya
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Kaya naman,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , kung saan C \u003d - C 1

Ilarawan natin ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga fraction ng bawat isa sa apat na uri.

Pagsasama-sama ng mga pinakasimpleng fraction ng unang uri A x - a

Ginagamit namin ang direktang paraan ng pagsasama upang malutas ang problemang ito:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Halimbawa 2

Hanapin ang set ng mga antiderivatives ng function na y = 3 2 x - 1 .

Desisyon

Gamit ang panuntunan sa pagsasama, ang mga katangian ng antiderivative at ang talahanayan ng mga antiderivative, makikita natin ang hindi tiyak na integral ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Sagot: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Pagsasama-sama ng mga simpleng fraction ng pangalawang uri A x - a n

Dito rin natin inilalapat ang paraan ng direktang pagsasama: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Halimbawa 3

Kinakailangang hanapin ang di-tiyak na integral ∫ d x 2 x - 3 7 .

Desisyon

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Sagot:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Pagsasama-sama ng mga simpleng fraction ng ikatlong uri M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

Bilang unang hakbang, kinakatawan namin ang hindi tiyak na integral ∫ M x + N x 2 + p x + q bilang kabuuan:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Upang makuha ang unang integral, ginagamit namin ang paraan ng subsuming sa ilalim ng differential sign:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Kaya,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Nakuha namin ang integral ∫ d x x 2 + p x + q . Ibahin natin ang denominator nito:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Kaya naman,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Ang pormula para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga praksyon ng ikatlong uri ay nasa anyo:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Halimbawa 4

Kinakailangang hanapin ang di-tiyak na integral ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Desisyon

Ilapat natin ang formula:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2 , N = 1 , p = 2 , q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Ang pangalawang solusyon ay ganito ang hitsura:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Sagot: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Pagsasama-sama ng pinakasimpleng mga praksyon ng ikaapat na uri M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

Una sa lahat, nagsasagawa kami ng pagbubuod sa ilalim ng tanda ng kaugalian:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Pagkatapos ay makikita natin ang integral ng anyong J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n gamit ang mga paulit-ulit na formula. Ang impormasyon tungkol sa mga paulit-ulit na formula ay matatagpuan sa paksang "Pagsasama-sama gamit ang mga paulit-ulit na formula".

Upang malutas ang aming problema, isang paulit-ulit na formula ng form na J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

Halimbawa 5

Kinakailangang hanapin ang di-tiyak na integral ∫ d x x 5 x 2-1 .

Desisyon

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Gagamitin namin ang paraan ng pagpapalit para sa ganitong uri ng integrand. Magpakilala tayo ng bagong variable x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Nakukuha namin:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Dumating kami sa paghahanap ng integral ng isang fraction ng ikaapat na uri. Sa aming kaso, mayroon kaming mga coefficient M=0, p=0, q=1, N=1 at n=3. Inilapat namin ang recursive formula:

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Matapos ang reverse substitution z = x 2 - 1 makuha namin ang resulta:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Sagot:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter