Panimula

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang paaralang pangkalahatang edukasyon ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng isang modernong tao. Halos lahat ng bagay na pumapalibot sa isang modernong tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. At ang pinakabagong mga tagumpay sa pisika, inhinyero at teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang estado ng mga gawain ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay binabawasan sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangang matutunan upang malutas.

Sa elementarya na matematika, dalawang uri ng mga equation ang nakikilala: algebraic at transendental. Kasama sa mga algebraic equation ang:

linear; parisukat; kubiko; biquad; equation ng ikaapat na antas ng isang pangkalahatang anyo; dalawang-matagalang algebraic equation ng nth degree; kapangyarihan algebraic; - pagbabalik (algebraic); – algebraic equation ng ika-degree ng isang pangkalahatang anyo;

10. fractional algebraic equation, i.e. mga equation na naglalaman ng mga polynomial at algebraic fraction (mga fraction ng form

, kung saan at mga polynomial);

11. hindi makatwiran equation, i.e. mga equation na naglalaman ng mga radical kung saan matatagpuan ang mga polynomial at algebraic fraction;

12. mga equation na naglalaman ng isang module, sa ilalim ng module kung saan nakapaloob ang mga polynomial at algebraic fraction.

Ang mga equation na naglalaman ng transendental na function, tulad ng logarithmic, exponential, o trigonometric function, ay tinatawag na transendental. Sa aming trabaho, isinasaalang-alang namin ang mga algebraic equation nang mas detalyado.

Sa pang-edukasyon at pamamaraang panitikan, ang mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ay tradisyonal na isinasaalang-alang. Samantala, ang mga detalye ng paglutas ng mga equation ng bawat seksyon ay isang pangalawang bagay. Sa pangkalahatan, mayroong apat na pangunahing pamamaraan:

Pinapalitan ang equation na h (f(x))=h (g(x)) ng equation na f(x)=g(x);

Paraan ng pagpapalit ng variable;

Pamamaraan ng Factoring;

Functional-graphical na pamamaraan at ang kanilang iba't ibang mga pagbabago.

Ang pinakakaraniwan sa mga ito ay ang variable substitution method.

Batay dito, nabuo namin ang layunin ng aming trabaho: pag-aralan ang mga posibilidad ng paraan ng pagpapalit ng hindi alam sa paglutas ng mga algebraic equation at upang ipakita ang kanilang aplikasyon sa pamantayan at hindi pamantayang mga sitwasyon. Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

1. Palawakin ang nilalaman ng mga pangunahing konsepto at pahayag na may kaugnayan sa teorya ng paglutas ng mga equation: paglutas ng equation, equivalence at consequence, pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.

2. Upang matukoy ang mga posibilidad ng paggamit ng paraan ng pagpapalit ng hindi alam kapag nilulutas ang mga algebraic equation sa pamantayan at hindi karaniwang mga sitwasyon.

3. Upang magsagawa ng typification ng mga pamamaraan para sa pagpapakilala ng mga bagong hindi alam kapag nilulutas ang mga algebraic equation at tukuyin ang pamantayan para sa kanilang pagiging angkop

4. Bumuo ng isang hanay ng mga tipikal na problema na nagmumula sa paggamit ng kapalit na paraan sa paglutas ng mga equation, at ipakita ang kanilang solusyon.

1. Mga pangunahing konsepto at pahayag na may kaugnayan sa teorya ng paglutas ng mga equation

Sa unang kabanata ng aming trabaho, ipapakita namin ang nilalaman ng mga pangunahing konsepto at pahayag na may kaugnayan sa teorya ng paglutas ng mga equation.

Nakikilala natin ang konsepto ng "equation" sa mga aralin sa matematika na nasa elementarya na, at ang gawain ng "paglutas ng isang equation" ay marahil ang pinakakaraniwang gawain. Gayunpaman, hindi tayo makapagbibigay ng tiyak na kahulugan ng konsepto ng "equation", tiyak na tukuyin kung ano ang ibig sabihin ng "solve an equation", nang hindi lumalampas sa balangkas ng kurso ng elementarya na matematika. Upang gawin ito, kinakailangan na isama ang napakaseryosong lohikal at kahit pilosopiko na mga kategorya. Sapat na para sa atin na makilala ang mga konseptong ito sa antas ng "common sense".

Isaalang-alang ang dalawang equation A at B na may parehong hindi alam. Sasabihin natin na ang equation B ay kahihinatnan equation A, kung ang anumang ugat ng equation A ay ugat ng equation B.

Ang mga equation ay tinatawag katumbas kung ang alinmang ugat ng isa sa kanila ay ugat ng isa at kabaliktaran. Kaya, ang mga equation ay katumbas kung ang bawat isa sa kanila ay bunga ng isa pa.

Mula sa mga kahulugang ito ay sumusunod, halimbawa, na ang dalawang equation na walang mga solusyon ay katumbas. Kung ang A ay walang mga solusyon, kung gayon ang B ay kahihinatnan A, kahit anong equation B.

Tukuyin natin ang konsepto ng "paglutas ng isang equation". lutasin ang equation- nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga naturang halaga ng mga hindi alam na kasama dito, na ginagawang isang pagkakakilanlan ang equation. Ang mga halagang ito ay tinatawag na mga ugat ng equation.

Ang proseso ng paglutas ng mga equation ay pangunahing binubuo sa pagpapalit ng isang ibinigay na equation ng isa pang katumbas nito.

Tulad ng nabanggit kanina, mayroong apat na pinakakaraniwang pamamaraan na ginagamit sa paglutas ng mga equation ng anumang uri. Tingnan natin ang bawat pamamaraan.

Ang paraan ng pagpapalit ng equation h (f(x))=h (g(x)) ng equation f(x)=g(x) ay magagamit lamang kapag

ay isang monotonikong function na kumukuha ng bawat isa sa mga halaga nito nang isang beses. Kung ang function na ito ay nonmonotonic, kung gayon ang tinukoy na pamamaraan ay hindi mailalapat, dahil ang pagkawala ng mga ugat ay posible.

Ang kakanyahan ng paraan ng factorization ay ang mga sumusunod: ang equation

maaaring palitan:

Matapos malutas ang mga equation ng set na ito, kailangan mong kunin ang mga ugat na kabilang sa domain ng kahulugan ng orihinal na equation, at itapon ang natitira bilang extraneous. Ang ideya ng isang graphical na paraan para sa paglutas ng equation

ay ang mga sumusunod: kailangan mong bumuo ng mga graph ng mga function , at hanapin ang kanilang mga punto ng intersection. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga puntong ito. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang bilang ng mga ugat ng equation, hulaan ang halaga ng ugat, hanapin ang tinatayang, at kung minsan ay eksaktong mga halaga ng mga ugat. Sa ilang mga kaso, ang pagtatayo ng mga graph ng mga function ay maaaring mapalitan ng isang sanggunian sa ilang mga katangian ng mga pag-andar (kaya't hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa isang graphical, ngunit tungkol sa isang functional-graphical na paraan para sa paglutas ng mga equation). Kung, halimbawa, ang isa sa mga function tataas, at ang iba ay bumababa, kung gayon ang equation ay maaaring walang ugat o may isang ugat. Banggitin natin ang isa pang medyo magandang pagkakaiba-iba ng functional-graphical na pamamaraan: kung sa pagitan ang pinakamalaking halaga ng isa sa mga function ay katumbas ng at ang Ang pinakamaliit na halaga ng iba pang function ay katumbas din, kung gayon ang equation ay katumbas sa pagitan ng isang sistema ng mga equation.

Ihayag natin ang kakanyahan ng paraan ng pagbabago ng variable: kung ang equation

Paglutas ng mga Equation sa pamamagitan ng Pagbabago ng mga Variable

Karamihan sa mga gawain sa buhay

ay malulutas bilang algebraic equation:

binabawasan ang mga ito sa kanilang pinakasimpleng anyo.

L.N. Tolstoy.

Ang layunin ng aralin: upang ayusin ang mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga mag-aaral sa mastering ang mga pamamaraan ng paglutas ng buong equation ng mas mataas na degree sa pamamagitan ng paraan ng pagbabago ng isang variable; upang ipakilala sa mga mag-aaral ang mga konsepto, pamamaraan ng paglutas ng mga katumbas at simetriko na equation.

Mga gawain:pang-edukasyon: patuloy na bumuo ng kakayahang mag-aplay ng kapalit na paraan

variable kapag nilulutas ang mga equation; pagbuo ng kakayahang makita ang parehong paraan ng paglutas ng mga equation sa iba't ibang sitwasyon; bumuo ng isang ideya ng mga pamamaraan at paraan ng paglutas ng mga hindi pamantayang problema at algebraic equation sa isang antas na lampas sa antas ng mga pamantayang pang-edukasyon ng estado;

pagbuo: pag-unlad ng pag-iisip ng mga mag-aaral; pag-unlad ng memorya; pag-unlad

lohikal na pag-iisip, ang kakayahang malinaw na ipahayag ang kanilang mga iniisip; pagbuo ng imahinasyon ng mga mag-aaral; pag-unlad ng oral speech.

pang-edukasyon: edukasyon ng pagmamasid; edukasyon ng katumpakan

kapag gumagawa ng mga tala sa pisara at sa isang kuwaderno; edukasyon ng kalayaan sa pagganap ng praktikal na gawain.

Sa panahon ng mga klase

Oras ng pag-aayos.

Aktwalisasyon at sistematisasyon ng kaalaman.

Gawain bilang 1. Lutasin ang crossword puzzle. Isulat ang iyong mga sagot sa nominative case lamang.

Pahalang:

4. Ano ang expression para sa isang quadratic equation? (discriminant)

6. Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. (ugat)

8. Equation ng form
, saan
. (bi-square)

9. French mathematician na may kaugnayan sa quadratic equation. (Viet)

10. Isang equation kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay mga integer na expression. (buo)

11. Mga equation na may isang variable na may parehong hanay ng mga ugat. (katumbas)

Patayo:

1. Ang hanay ng mga ugat ng equation. (desisyon)

2. Solusyon ng equation
. (zero)

3.Equality na naglalaman ng variable. (ang equation)

5. Isang quadratic equation kung saan ang isa sa mga coefficient b o c ay katumbas ng 0. (hindi kumpleto)

7. Isang quadratic equation kung saan ang unang coefficient ay katumbas ng isa. (binawasan)

Ano ang iaalay natin sa ating aralin ngayon? ( Paglutas ng mga Equation )

Gawain bilang 2. Paano mo lulutasin ang mga equation para sa bawat pangkat?

MGA SAGOT: Ang mga halimbawa ng pangkat 1) ay pinakamahusay na malulutas sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket o sa pamamagitan ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Pangkat 2) ang mga halimbawa ay mas mahusay na nalutas sa pamamagitan ng pagpapangkat at factoring.

Ang mga halimbawa ng pangkat 3) ay mas mahusay na nalutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable at pagpasa sa isang quadratic equation.

1 Anong multiplier ang aalisin mo sa mga bracket sa mga halimbawa ng pangkat 1?

MGA SAGOT:

Paano mo papangkatin ang mga termino sa mga halimbawa ng pangkat 2?

MGA SAGOT:

Ano ang nais mong tukuyin ng isang bagong variable sa pangkat 3 mga halimbawa?

MGA SAGOT:

Paano mo mai-factor ang isang polynomial
?

MGA SAGOT: .

Ngayon sa aralin ay ipapakita mo ang iyong kaalaman sa paksang "Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng pagbabago ng variable"

Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno.

Ngayon sa aralin ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga equation ng mas mataas na antas - ang paraan ng pagbabago ng isang variable; makikilala natin ang mga konsepto, pamamaraan para sa paglutas ng reciprocal at simetriko equation.

Ang sining ng pagpapalit ng mga variable ay upang makita kung aling pagpapalit ang mas makatwiran at humahantong sa mas mabilis na tagumpay.

Gawain bilang 3.

Lutasin ang equation.(Ang gawain sa pisara ay malulutas nang sabay-sabay ng 2 mag-aaral.)

a) (Ang unang mag-aaral ay nagpasiya sa pisara na may paliwanag.)

b) (Tahimik na nilulutas ng pangalawang estudyante ang equation, pagkatapos ay ipinaliwanag ang solusyon, nakikinig ang klase at nagtatanong kung may hindi malinaw.)

1 mag-aaral Kapalit:
.

2 mag-aaral Kapalit:
.

(Karagdagang para sa mga nakipag-usap sa mga nakaraang equation dati).

. .

3 mag-aaral

(Ang mga mag-aaral ay nagkokomento sa pag-usad ng desisyon mula sa lugar.)

SOLUSYON: Alisin ang karaniwang salik: ,

saan
o
, ibig sabihin.

Sagot:

Pagpapalalim at pagpapalawak ng kaalaman

Patuloy kaming nagtatrabaho. Makikita mo ang equation sa slide: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x + 1 = 0.

Paano mo ipanukala na lutasin ito? Paano magiging tayo?

Posible bang malutas ito sa loob ng balangkas ng mga programa ng paaralan sa matematika? Maaari mong sagutin ang hindi. Pagkatapos ng lahat, ang mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation sa paaralan ay nagbibigay para sa paglutas ng mga equation na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang degree. Ngunit maaalala natin na ang mga indibidwal na equation ng mas mataas na antas ay nalutas pa rin sa paaralan. Totoo, ang mga pamamaraan ng kanilang solusyon ay ang malikhaing aplikasyon ng mga kilalang pamamaraan, ang kanilang pagbawas sa solusyon ng isa o ilang mga equation ng degree na hindi mas mataas kaysa sa pangalawa.

Tingnang mabuti ang equation na ito? Ano ang napansin mo ?(sa equation na ito, ang mga coefficient na equidistant mula sa mga dulo ay pantay)

Guys, isang equation ng ganitong uri, kapag ang coefficients equidistant mula sa mga dulo ay pareho, ay tinatawag na maibabalik. Ang equation na ito ay binabawasan sa isang quadratic gamit ang substitution.

Inaalok ko sa iyo ang sumusunod na algorithm para sa paglutas ng mga ito:

Algorithm para sa paglutas ng reciprocal equation.

1. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa x 2.

2. Pangkatin ang mga termino (ang una sa huli, ang pangalawa sa ikaapat).

Dalhin ang equation sa form a + c = 0

3.Magpakilala ng bagong variable t = , pagkatapos ay t 2 = , ibig sabihin. \u003d t 2 - 2.

4. Isagawa ang pagpapalit at lutasin ang quadratic equation.

5. Bumalik sa kapalit at lutasin ang mga resultang equation.

6. Isulat ang sagot.

Ang mga lalaki ay natututo ng algorithm.

Ang mag-aaral sa pisara ayon sa algorithm at sa tulong ng guro ay malulutas ang equation, ang iba ay sumulat sa mga notebook.

6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.

Desisyon.

6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.

6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.

Ilagay ang t: pagpapalit (x + 1/x) = t. Kapalit: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, mayroon kaming:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 o t = 10/3.

Balik tayo sa x. Pagkatapos ng reverse substitution, malulutas namin ang dalawang resultang equation:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 o x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 - 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 o x = 1/3.

Sagot: -2; -1/2; 1/3; 3.

Ang mga Italyano na matematiko noong ika-16 na siglo na sina N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano at iba pa ay gumawa ng malaking kontribusyon sa problema ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri. Noong 1535, isang siyentipikong tunggalian ang naganap sa pagitan ng A. Fiore at N. Tartaglia, kung saan nanalo ang huli. Sa loob ng 2 oras, nalutas niya ang 30 problema na iminungkahi ni Fiore, at si Fiore mismo ay hindi makalutas ng kahit isang ibinigay sa kanya ni Tartaglia.

Guys, at gusto kong mag-alok sa iyo ng isa pang equation ngayon, kinuha ko ito mula sa koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa OGE.

. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Ang paggawa ng pagbabago x 2 + 5x + 4 = t, mayroon kaming equation

t(t + 2) = 24, ito ay parisukat:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 o t = 4.

Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, madali nating mahahanap ang mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot: -5; 0.

Malikhaing paglipat ng kaalaman at kasanayan sa mga bagong kondisyon.

Sa simula ng aralin, napag-usapan namin ang katotohanan na kung may mga paulit-ulit na elemento sa equation, maaaring gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit. Hindi pa rin namin alam kung paano lutasin ang mga trigonometriko at hindi makatwiran na mga equation. Tingnan natin kung maaari nating ilapat ang pamamaraang ito sa kanila kung alam natin kung paano lutasin ang pinakasimpleng trigonometriko at hindi makatwiran na mga equation.

Ehersisyo 1: Pangalanan ang pagbabago ng variable sa mga sumusunod na equation.

Gawain 2: Sumulat ng ilang equation batay sa pagbabago ng variable na pamamaraan.

Pagbubuod.

Kaya guys, natapos na ang ating aralin. Ibuod natin ang ating aralin.

Anong mga layunin ang itinakda natin sa simula ng aralin?

Nakamit ba ang ating mga layunin?

Ano ang bagong natutunan natin sa aralin?

Takdang aralin.

4x 4 - 8x 3 + 3x 2 - 8x + 4 = 0

(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40

. (isang equation ng Italian mathematician)

At nais kong tapusin ang aralin sa mga salita ng mahusay na siyentipiko na si Einstein A.:

"Kailangan kong hatiin ang aking oras sa pagitan ng pulitika at mga equation. Gayunpaman, ang equation, sa aking opinyon, ay mas mahalaga, dahil ang pulitika ay umiiral lamang sa sandaling ito, at ang equation ay iiral magpakailanman.

Salamat sa aralin! paalam na!

Pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral. Formula para sa pagbabago ng mga kaugalian. Mga halimbawa ng integrasyon. Mga halimbawa ng linear substitutions.

Paraan ng pagpapalit ng variable

Sa tulong ng isang pagbabago ng variable, maaari mong kalkulahin ang mga simpleng integral at, sa ilang mga kaso, pasimplehin ang pagkalkula ng mga mas kumplikado.

Ang paraan ng pagpapalit ng variable ay pumunta tayo mula sa orihinal na variable ng integration, hayaan itong maging x , patungo sa isa pang variable, na tinutukoy natin bilang t . Kasabay nito, ipinapalagay namin na ang mga variable na x at t ay nauugnay sa ilang ugnayang x = x (t), o t = t (x). Halimbawa x = mag-log t, x = kasalanan t, t = 2 x + 1, atbp. Ang aming gawain ay pumili ng gayong ugnayan sa pagitan ng x at t upang ang orihinal na integral ay bumaba sa isang tabular o maging mas simple.

Pangunahing Formula ng Pagbabago ng Variable

Isaalang-alang ang expression na nasa ilalim ng integral sign. Binubuo ito ng produkto ng integrand, na tutukuyin natin bilang f (x) at kaugalian dx : . Ipasa natin sa isang bagong variable t sa pamamagitan ng pagpili ng ilang ugnayang x = x (t). Pagkatapos ay kailangan nating ipahayag ang function f (x) at ang differential dx sa mga tuntunin ng variable t .

Upang ipahayag ang integrand f (x) sa pamamagitan ng variable t , kailangan mo lang palitan ang napiling ratio x = x sa halip na ang variable x (t).

Ang pagbabagong pagkakaiba ay ginagawa tulad nito:
.
Ibig sabihin, ang differential dx ay katumbas ng produkto ng derivative ng x na may paggalang sa t at ang differential dt.

Pagkatapos
.

Sa pagsasagawa, ang pinakakaraniwang kaso ay kapag nagsasagawa kami ng kapalit sa pamamagitan ng pagpili ng bagong variable bilang function ng luma: t = t (x). Kung nahulaan namin na ang integrand ay maaaring katawanin bilang
,
saan t' (x) ay ang hinango ng t na may paggalang sa x, kung gayon
.

Kaya, ang pangunahing formula ng pagbabago ng variable ay maaaring katawanin sa dalawang anyo.
(1) ,
kung saan ang x ay isang function ng t .
(2) ,
kung saan ang t ay isang function ng x .

Mahalagang paalaala

Sa mga talahanayan ng mga integral, ang variable ng pagsasama ay kadalasang tinutukoy bilang x . Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang na ang variable ng pagsasama ay maaaring ipahiwatig ng anumang titik. Bukod dito, ang anumang expression ay maaaring gamitin bilang integration variable.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang table integral
.

Dito ang x ay maaaring palitan ng anumang iba pang variable o isang function ng isang variable. Narito ang mga halimbawa ng mga posibleng opsyon:
;
;
.

Sa huling halimbawa, kailangan mong isaalang-alang na kapag pumasa sa integration variable x , ang pagkakaiba ay binago tulad ng sumusunod:
.
Pagkatapos
.

Ang halimbawang ito ay ang kakanyahan ng pagsasama ng pagpapalit. Ibig sabihin, dapat nating hulaan iyon
.
Pagkatapos nito, ang integral ay nabawasan sa isang tabular.
.

Maaari mong kalkulahin ang integral na ito gamit ang isang pagbabago ng variable, paglalapat ng formula (2) . Hayaan ang t = x 2+x. Pagkatapos
;
;

.

Mga halimbawa ng integrasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng variable

1) Kinakalkula namin ang integral
.
Napapansin natin yan (sin x)′ = cos x. Pagkatapos

.
Dito namin inilapat ang pagpapalit t = kasalanan x.

2) Kinakalkula namin ang integral
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos

.
Dito naisagawa namin ang pagsasama sa pamamagitan ng pagbabago ng variable t = arctg x.

3) Pagsamahin natin
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos

. Dito, sa panahon ng pagsasama, ang pagbabago ng variable t = x 2 + 1 .

Mga linear na pagpapalit

Marahil ang pinakakaraniwan ay ang mga linear na pagpapalit. Ito ay isang pagpapalit ng variable ng form
t = palakol + b
kung saan ang a at b ay mga pare-pareho. Sa ilalim ng naturang pagbabago, ang mga pagkakaiba ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan
.

Mga halimbawa ng pagsasama sa pamamagitan ng mga linear na pagpapalit

A) Kalkulahin ang Integral
.
Desisyon.
.

b) Hanapin ang integral
.
Desisyon.
Gamitin natin ang mga katangian ng exponential function.
.
ln 2- ay isang pare-pareho. Kinakalkula namin ang integral.

.

c) Kalkulahin ang Integral
.
Desisyon.
Dinadala namin ang square polynomial sa denominator ng isang fraction sa kabuuan ng mga parisukat.
.
Kinakalkula namin ang integral.

.

D) Hanapin ang integral
.
Desisyon.
Binabago namin ang polynomial sa ilalim ng ugat.

.
Nagsasama kami gamit ang pagbabago ng variable na pamamaraan.

.
Nakuha namin dati ang formula
.
Mula rito
.
Ang pagpapalit sa ekspresyong ito, makukuha natin ang pangwakas na sagot.

Ang matematika ay isang borehole kung saan ang lohikal na pag-iisip ay maaaring maniktik sa perpektong mundo.

Krotov Victor

Sa paaralan, ang nangungunang lugar sa kurso ng algebra ay inookupahan ng mga rational equation. Mas maraming oras ang inilalaan sa kanilang pag-aaral kaysa sa iba pang paksa. Pangunahing ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga equation ay hindi lamang ng malaking teoretikal na kahalagahan, ngunit nagsisilbi rin ng maraming praktikal na layunin. Ang isang malaking bilang ng mga problema sa totoong mundo ay bumaba sa paglutas ng iba't ibang mga equation, at pagkatapos mo lamang makabisado ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga ito, makakahanap ka ng mga sagot sa iba't ibang mga katanungan ng agham at teknolohiya.

Para sa pagbuo ng kakayahang malutas ang mga rational equation, ang independiyenteng gawain ng mag-aaral ay napakahalaga. Gayunpaman, bago lumipat sa independiyenteng trabaho, kinakailangan na malinaw na malaman at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng posibleng pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa nang detalyado paraan ng pagbabago ng variable para sa paglutas ng mga rational equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.

Desisyon.

Muli naming isinusulat ang equation sa form

(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Gumawa tayo ng pagbabago. Hayaan ang 2x 2 - 3x \u003d t, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo:

(t + 1) 2 = 11t + 1.

Ngayon binuksan namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad, nakukuha namin:

t2 + 2t + 1 = 11t + 1;

Sa nagreresultang hindi kumpletong quadratic equation, inaalis namin ang common factor sa mga bracket, magkakaroon kami ng:

t = 0 o t = 9.

Ngayon ay kailangan mong gumawa ng kabaligtaran na kapalit at lutasin ang bawat isa sa mga resultang equation:

2x 2 - 3x = 0 o 2x 2 - 3x = 9

x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0

x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2

Sagot: -1.5; 0; 1.5; 3.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation (x 2 - 6x) 2 - 2(x - 3) 2 = 81.

Desisyon.

Ilapat natin ang difference square formula (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Sinusulat namin ang orihinal na equation sa form

(x 2 - 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. Ngayon ay maaari kang gumawa ng kapalit.

Hayaan ang x 2 - 6x \u003d t, kung gayon ang equation ay magiging ganito:

t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.

t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;

t 2 - 2t - 99 = 0.

Ayon sa Vieta theorem, ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -9 at 11.

Gawin natin ang reverse substitution:

x 2 - 6x = -9 o x 2 - 6x = 11

x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0

(x - 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.

Sagot: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.

Halimbawa 3

Lutasin ang equation (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 at hanapin ang produkto ng mga ugat nito.

Desisyon.

Maghanap tayo ng isang "pinakinabangang" paraan upang pagpangkatin ang mga salik at buksan ang mga pares ng mga bracket:

((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;

(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.

Gawin natin ang pagbabago x 2 + 4x = t, pagkatapos ang equation ay magiging ganito:

(t - 5)(t - 21) = 297.

Buksan natin ang mga bracket, magbigay ng mga katulad na termino:

t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;

t 2 - 26t - 192 = 0.

Ayon sa Vieta theorem, tinutukoy namin na ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -6 at 32.

Pagkatapos ng reverse substitution magkakaroon tayo ng:

x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0

D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0

Walang mga ugat x 1 = -8; x 2 = 4

Hanapin natin ang produkto ng mga ugat: -8 4 = -32.

Sagot: -32.

Halimbawa 4

Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2.

Desisyon.

Hayaan ang x 2 - 2x + 2 \u003d t, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo:

t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.

Isaalang-alang ang resultang equation bilang isang quadratic na may paggalang sa t.

D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤

t 1 = (-3x - 7x) / 2 at t 2 = (-3x + 7x) / 2;

t 1 = -5x at t 2 = 2x.

Dahil t \u003d x 2 - 2x + 2, pagkatapos

x 2 - 2x + 2 = -5x o x 2 - 2x + 2 = 2x. Lutasin natin ang bawat isa sa mga nakuhang equation.

x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 - 4x + 2 = 0.

Ang parehong mga equation ay may mga ugat, dahil D > 0.

Gamit ang Vieta theorem, maaari nating tapusin na ang kabuuan ng mga ugat ng unang equation ay -3, at ang pangalawang equation ay 4. Nakuha natin na ang kabuuan ng mga ugat ng orihinal na equation ay -3 + 4 = 1

Sagot: 1.

Halimbawa 5

Hanapin ang ugat ng equation (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32 na kabilang sa pagitan [-5; sampu].

Desisyon.

Hayaan ang x = t - 3, pagkatapos x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 at ang orihinal na equation ay nagiging:

(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Upang itaas ang mga expression sa ikaapat na kapangyarihan, maaari mong gamitin ang tatsulok ni Pascal (Larawan 1);

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, makukuha natin ang:

2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t4 + 24t2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t \u003d 0 o t 2 \u003d -24.

Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, na nangangahulugan na t = 0 at pagkatapos ng reverse substitution

x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. Ang ugat ng equation -3 ay kabilang sa pagitan [-5; sampu].

Sagot: -3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang mga rational equation, kailangan mong malaman ang mga formula sa itaas at makapagbilang ng tama. Ang mga error ay kadalasang nangyayari kapag pumipili ng kapalit at kapag pabalik na pagpapalit. Upang maiwasan ito, kailangan mong ilarawan nang detalyado ang bawat aksyon, pagkatapos ay walang mga pagkakamali sa iyong mga desisyon.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang matematika ay isang borehole kung saan ang lohikal na pag-iisip ay maaaring maniktik sa perpektong mundo.

Krotov Victor

Sa paaralan, ang nangungunang lugar sa kurso ng algebra ay inookupahan ng mga rational equation. Mas maraming oras ang inilalaan sa kanilang pag-aaral kaysa sa iba pang paksa. Pangunahing ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga equation ay hindi lamang ng malaking teoretikal na kahalagahan, ngunit nagsisilbi rin ng maraming praktikal na layunin. Ang isang malaking bilang ng mga problema sa totoong mundo ay bumaba sa paglutas ng iba't ibang mga equation, at pagkatapos mo lamang makabisado ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga ito, makakahanap ka ng mga sagot sa iba't ibang mga katanungan ng agham at teknolohiya.

Para sa pagbuo ng kakayahang malutas ang mga rational equation, ang independiyenteng gawain ng mag-aaral ay napakahalaga. Gayunpaman, bago lumipat sa independiyenteng trabaho, kinakailangan na malinaw na malaman at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng posibleng pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa nang detalyado paraan ng pagbabago ng variable para sa paglutas ng mga rational equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.

Desisyon.

Muli naming isinusulat ang equation sa form

(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Gumawa tayo ng pagbabago. Hayaan ang 2x 2 - 3x \u003d t, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo:

(t + 1) 2 = 11t + 1.

Ngayon binuksan namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad, nakukuha namin:

t2 + 2t + 1 = 11t + 1;

Sa nagreresultang hindi kumpletong quadratic equation, inaalis namin ang common factor sa mga bracket, magkakaroon kami ng:

t = 0 o t = 9.

Ngayon ay kailangan mong gumawa ng kabaligtaran na kapalit at lutasin ang bawat isa sa mga resultang equation:

2x 2 - 3x = 0 o 2x 2 - 3x = 9

x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0

x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2

Sagot: -1.5; 0; 1.5; 3.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation (x 2 - 6x) 2 - 2(x - 3) 2 = 81.

Desisyon.

Ilapat natin ang difference square formula (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Sinusulat namin ang orihinal na equation sa form

(x 2 - 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. Ngayon ay maaari kang gumawa ng kapalit.

Hayaan ang x 2 - 6x \u003d t, kung gayon ang equation ay magiging ganito:

t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.

t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;

t 2 - 2t - 99 = 0.

Ayon sa Vieta theorem, ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -9 at 11.

Gawin natin ang reverse substitution:

x 2 - 6x = -9 o x 2 - 6x = 11

x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0

(x - 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.

Sagot: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.

Halimbawa 3

Lutasin ang equation (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 at hanapin ang produkto ng mga ugat nito.

Desisyon.

Maghanap tayo ng isang "pinakinabangang" paraan upang pagpangkatin ang mga salik at buksan ang mga pares ng mga bracket:

((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;

(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.

Gawin natin ang pagbabago x 2 + 4x = t, pagkatapos ang equation ay magiging ganito:

(t - 5)(t - 21) = 297.

Buksan natin ang mga bracket, magbigay ng mga katulad na termino:

t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;

t 2 - 26t - 192 = 0.

Ayon sa Vieta theorem, tinutukoy namin na ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -6 at 32.

Pagkatapos ng reverse substitution magkakaroon tayo ng:

x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0

D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0

Walang mga ugat x 1 = -8; x 2 = 4

Hanapin natin ang produkto ng mga ugat: -8 4 = -32.

Sagot: -32.

Halimbawa 4

Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2.

Desisyon.

Hayaan ang x 2 - 2x + 2 \u003d t, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo:

t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.

Isaalang-alang ang resultang equation bilang isang quadratic na may paggalang sa t.

D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤

t 1 = (-3x - 7x) / 2 at t 2 = (-3x + 7x) / 2;

t 1 = -5x at t 2 = 2x.

Dahil t \u003d x 2 - 2x + 2, pagkatapos

x 2 - 2x + 2 = -5x o x 2 - 2x + 2 = 2x. Lutasin natin ang bawat isa sa mga nakuhang equation.

x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 - 4x + 2 = 0.

Ang parehong mga equation ay may mga ugat, dahil D > 0.

Gamit ang Vieta theorem, maaari nating tapusin na ang kabuuan ng mga ugat ng unang equation ay -3, at ang pangalawang equation ay 4. Nakuha natin na ang kabuuan ng mga ugat ng orihinal na equation ay -3 + 4 = 1

Sagot: 1.

Halimbawa 5

Hanapin ang ugat ng equation (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32 na kabilang sa pagitan [-5; sampu].

Desisyon.

Hayaan ang x = t - 3, pagkatapos x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 at ang orihinal na equation ay nagiging:

(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Upang itaas ang mga expression sa ikaapat na kapangyarihan, maaari mong gamitin ang tatsulok ni Pascal (Larawan 1);

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, makukuha natin ang:

2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t4 + 24t2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t \u003d 0 o t 2 \u003d -24.

Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, na nangangahulugan na t = 0 at pagkatapos ng reverse substitution

x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. Ang ugat ng equation -3 ay kabilang sa pagitan [-5; sampu].

Sagot: -3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang mga rational equation, kailangan mong malaman ang mga formula sa itaas at makapagbilang ng tama. Ang mga error ay kadalasang nangyayari kapag pumipili ng kapalit at kapag pabalik na pagpapalit. Upang maiwasan ito, kailangan mong ilarawan nang detalyado ang bawat aksyon, pagkatapos ay walang mga pagkakamali sa iyong mga desisyon.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.