- ang determinant ng matrix A ay kinakalkula;
- sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan, ang inverse matrix A -1 ay matatagpuan;
- isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel;
Pagtuturo. Upang makakuha ng solusyon sa pamamagitan ng inverse matrix method, kinakailangan na tukuyin ang dimensyon ng matrix. Susunod, sa bagong dialog box, punan ang matrix A at ang resultang vector B .
Tingnan din ang Solusyon ng mga equation ng matrix.Algoritmo ng solusyon
- Ang determinant ng matrix A ay kinakalkula. Kung ang determinant ay zero, pagkatapos ay ang dulo ng solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
- Kapag ang determinant ay iba sa zero, ang inverse matrix A -1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan.
- Ang decision vector X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa resultang vector B .
Algebraic na mga karagdagan.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Pagsusuri:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Paksa 2. MGA SISTEMA NG LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS.
Pangunahing konsepto.
Kahulugan 1. sistema m linear equation na may n Ang hindi kilala ay isang sistema ng anyo:
saan at mga numero.
Kahulugan 2. Ang solusyon ng sistema (I) ay isang hanay ng mga hindi alam, kung saan ang bawat equation ng sistemang ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.
Kahulugan 3. System (I) ay tinatawag magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon at hindi magkatugma kung wala itong solusyon. Ang pinagsamang sistema ay tinatawag tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi sigurado kung hindi.
Kahulugan 4. Uri ng equation
tinawag sero, at isang equation ng form
tinawag hindi magkatugma. Malinaw, ang isang sistema ng mga equation na naglalaman ng isang hindi pare-parehong equation ay hindi pare-pareho.
Kahulugan 5. Ang dalawang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag katumbas kung ang bawat solusyon ng isang sistema ay solusyon ng isa pa at, sa kabilang banda, ang bawat solusyon ng pangalawang sistema ay solusyon ng una.
Matrix notation para sa isang sistema ng mga linear equation.
Isaalang-alang ang sistema (I) (tingnan ang §1).
Ipahiwatig:
Coefficient matrix para sa mga hindi alam
Matrix - column ng mga libreng miyembro
Matrix - haligi ng mga hindi alam
.
Kahulugan 1. Ang matrix ay tinatawag ang pangunahing matrix ng system(I), at ang matrix ay ang augmented matrix ng system (I).
Sa pamamagitan ng kahulugan ng matrix equality, ang system (I) ay tumutugma sa matrix equality:
.
Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng mga matrice ( tingnan ang kahulugan 3 § 5 kabanata 1) ay maaaring i-factorize:
, ibig sabihin.
Pagkakapantay-pantay (2) tinawag matrix notation ng system (I).
Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.
Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n, ibig sabihin. ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang pangunahing matrix ng system ay nondegenerate, i.e. . Pagkatapos ang system (I) mula sa §1 ay may natatanging solusyon
kung saan ∆ = det A tinatawag na pangunahing determinant ng sistema(I), ∆ i ay nakuha mula sa determinant Δ sa pamamagitan ng pagpapalit i-th column sa column ng mga libreng miyembro ng system (I).
Halimbawa. Lutasin ang system sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
.
Sa pamamagitan ng mga formula (3)
.
Kinakalkula namin ang mga determinant ng system:
,
,
.
Upang makuha ang determinant, pinalitan namin ang unang column sa determinant ng column ng mga libreng termino; pinapalitan ang 2nd column sa determinant ng column ng mga libreng miyembro, nakuha namin; katulad nito, pinapalitan ang ika-3 column sa determinant ng column ng mga libreng miyembro, nakukuha namin . Solusyon ng system:
Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang isang inverse matrix.
Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n at ang pangunahing matrix ng system ay hindi nabubulok. Sinusulat namin ang system (I) sa matrix form ( tingnan ang §2):
kasi matris A ay nondegenerate, pagkatapos ay mayroon itong inverse matrix ( tingnan ang Theorem 1 §6 ng Kabanata 1). I-multiply ang magkabilang panig ng equation (2) sa matrix, kung gayon
Sa pamamagitan ng kahulugan ng inverse matrix . Mula sa pagkakapantay-pantay (3) meron kami
Lutasin ang system gamit ang inverse matrix
.
Magpakilala
Sa halimbawa (§ 3) kinakalkula namin ang determinant , samakatuwid, ang matrix A may inverse matrix. Pagkatapos sa puwersa (4) , ibig sabihin.
. (5)
Hanapin ang matrix ( tingnan ang §6 kabanata 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Pamamaraan ng Gauss.
Hayaang ibigay ang sistema ng mga linear na equation:
. (ako)
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga solusyon ng system (I) o upang matiyak na ang sistema ay hindi pare-pareho.
Kahulugan 1.Tawagin natin ang elementarya na pagbabago ng sistema(I) alinman sa tatlong aksyon:
1) pagtanggal ng zero equation;
2) pagdaragdag sa magkabilang bahagi ng equation ng mga kaukulang bahagi ng iba pang equation, na pinarami ng numerong l;
3) pagpapalit ng mga termino sa mga equation ng system upang ang mga hindi alam na may parehong mga numero sa lahat ng mga equation ay sumasakop sa parehong mga lugar, i.e. kung, halimbawa, sa 1st equation binago natin ang 2nd at 3rd terms, dapat ganun din ang gawin sa lahat ng equation ng system.
Ang pamamaraan ng Gauss ay binubuo sa katotohanan na ang sistema (I) sa tulong ng mga pagbabagong elementarya ay nabawasan sa isang katumbas na sistema, ang solusyon na kung saan ay matatagpuan nang direkta o ang unsolvability nito ay itinatag.
Gaya ng inilarawan sa §2, ang system (I) ay natatanging tinutukoy ng pinalawig na matrix nito, at anumang elementarya na pagbabago ng system (I) ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng pinalawak na matrix:
.
Ang pagbabagong-anyo 1) ay tumutugma sa pagtanggal ng zero na hilera sa matrix , ang pagbabagong-anyo 2) ay katumbas ng pagdaragdag sa katumbas na hilera ng matrix ang iba pang hilera nito na pinarami ng numero l, pagbabagong-anyo 3) ay katumbas ng muling pagsasaayos ng mga haligi sa matrix .
Madaling makita na, sa kabaligtaran, ang bawat elementarya na pagbabago ng matrix ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng sistema (I). Sa view ng kung ano ang sinabi, sa halip na mga operasyon sa system (I), kami ay gagana sa augmented matrix ng system na ito.
Sa matrix, ang 1st column ay binubuo ng mga coefficient sa x 1, 2nd column - mula sa coefficients sa x 2 atbp. Sa kaso ng muling pagsasaayos ng mga haligi, dapat itong isaalang-alang na ang kundisyong ito ay nilabag. Halimbawa, kung papalitan natin ang 1st at 2nd column, ngayon sa 1st column magkakaroon ng coefficients sa x 2, at sa 2nd column - coefficients sa x 1.
Lutasin natin ang system (I) sa pamamagitan ng Gauss method.
1. I-cross out ang lahat ng zero row sa matrix, kung mayroon man (i.e., cross out ang lahat ng zero equation sa system (I).
2. Suriin kung mayroong isang hilera sa mga hilera ng matrix kung saan ang lahat ng mga elemento maliban sa huli ay katumbas ng zero (tawagin natin ang gayong hilera na hindi tugma). Malinaw, ang gayong linya ay tumutugma sa isang hindi pantay na equation sa system (I), samakatuwid, ang system (I) ay walang mga solusyon, at dito nagtatapos ang proseso.
3. Hayaang ang matrix ay hindi maglaman ng hindi magkatugma na mga hilera (ang system (I) ay hindi naglalaman ng hindi magkatugma na mga equation). Kung ang a 11 =0, pagkatapos ay makikita natin sa 1st row ang ilang elemento (maliban sa huli) na iba sa zero at muling ayusin ang mga column para walang zero sa 1st row sa 1st place. Ipinapalagay na natin ngayon na (i.e., pinapalitan natin ang mga kaukulang termino sa mga equation ng system (I)).
4. I-multiply ang 1st row at idagdag ang resulta sa 2nd row, pagkatapos ay i-multiply ang 1st row at idagdag ang resulta sa 3rd row, atbp. Malinaw, ang prosesong ito ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 1 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st. Sa bagong matrix, nakakakuha tayo ng mga zero sa 1st column sa ilalim ng elemento isang 11:
.
5. I-cross out ang lahat ng zero na row sa matrix, kung mayroon man, suriin kung mayroong hindi pantay-pantay na row (kung mayroon man, inconsistent ang system at nakumpleto nito ang solusyon). Suriin natin kung isang 22 / =0, kung oo, pagkatapos ay makakahanap kami ng isang elemento sa ika-2 hilera na iba sa zero at muling ayusin ang mga hanay upang . Susunod, pinarami namin ang mga elemento ng 2nd row sa pamamagitan ng 
at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-3 hilera, pagkatapos - ang mga elemento ng ika-2 hilera sa at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-4 na hilera, atbp., hanggang sa makakuha tayo ng mga zero sa ilalim isang 22 /
.
Ang mga ginawang aksyon ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 2 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st at 2nd. Dahil ang bilang ng mga hilera ay may hangganan, samakatuwid, pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang, makukuha natin na ang system ay hindi pare-pareho, o pupunta tayo sa isang step matrix ( tingnan ang kahulugan 2 §7 kabanata 1) :
,
Isulat natin ang sistema ng mga equation na naaayon sa matrix . Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (I)
.
Mula sa huling equation ipinapahayag namin; pinapalitan natin ang nakaraang equation, hanapin, atbp., hanggang makuha natin ang .
Puna 1. Kaya, kapag nilulutas ang sistema (I) sa pamamaraang Gauss, nakarating tayo sa isa sa mga sumusunod na kaso.
1. Ang sistema (I) ay hindi pare-pareho.
2. Ang System (I) ay may natatanging solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam ().
3. Ang System (I) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam ().
Samakatuwid ang sumusunod na teorama ay humahawak.
Teorama. Ang sistema ng mga linear na equation ay maaaring hindi pare-pareho, o may natatanging solusyon, o mayroong walang katapusang hanay ng mga solusyon.
Mga halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng Gauss method o patunayan ang hindi pagkakapare-pareho nito:
b) 
;
a) Isulat muli natin ang ibinigay na sistema sa anyo:
.
Pinalitan namin ang 1st at 2nd equation ng orihinal na system para pasimplehin ang mga kalkulasyon (sa halip na mga fraction, tatakbo lang kami sa mga integer gamit ang naturang permutation).
Bumubuo kami ng pinalawak na matrix:
.
Walang mga null na linya; walang mga linyang hindi magkatugma, ; ibinubukod namin ang 1st unknown sa lahat ng equation ng system, maliban sa 1st one. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng 1st row ng matrix sa pamamagitan ng "-2" at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang elemento ng 2nd row, na katumbas ng pagpaparami ng 1st equation sa "-2" at pagdaragdag nito sa 2nd equation. Pagkatapos ay pinarami namin ang mga elemento ng 1st row sa pamamagitan ng "-3" at idagdag ang mga ito sa kaukulang mga elemento ng ikatlong hilera, i.e. multiply ang 2nd equation ng ibinigay na system sa "-3" at idagdag ito sa 3rd equation. Kunin
.
Ang matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation). - (tingnan ang Depinisyon 3 § 7 ng Kabanata 1).
Sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo
saan aij at b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij unang index i nagsasaad ng bilang ng equation, at ang pangalawa j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito.
Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay isusulat sa anyo ng isang matrix 
, na tatawagin natin system matrix.
Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation b 1 ,…,b m tinawag libreng miyembro.
Pinagsama-sama n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng sistemang ito, kung ang bawat equation ng system ay naging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.
Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon:
Ang isang sistema ng mga linear na equation na mayroong kahit isang solusyon ay tinatawag magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.
Isaalang-alang ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system.
PARAAN NG MATRIX PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS
Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:
Isaalang-alang ang matrix ng system 
at matrix na mga column ng hindi kilalang at libreng mga miyembro 
Hanapin natin ang produkto
mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos, gamit ang kahulugan ng matrix equality, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang
o mas maikli A∙X=B.
Dito matrices A at B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangan niyang mahanap, dahil. ang mga elemento nito ang solusyon ng sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.
Hayaang ang matrix determinant ay naiiba sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ang matrix equation ay malulutas bilang mga sumusunod. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa ng matrix A-1, ang kabaligtaran ng matris A: . Sa abot ng A -1 A = E at E∙X=X, pagkatapos ay makuha natin ang solusyon ng matrix equation sa anyo X = A -1 B .
Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay kapareho ng bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang matrix notation ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.
Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation.
PANUNTUNAN NI CRAMER
Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:
Third-order determinant na naaayon sa matrix ng system, i.e. binubuo ng mga coefficient sa hindi alam,
tinawag determinant ng sistema.
Bumubuo kami ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: sunud-sunod naming pinapalitan ang 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng termino
Pagkatapos ay maaari nating patunayan ang sumusunod na resulta.
Theorem (panuntunan ni Cramer). Kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at
Patunay. Kaya, isaalang-alang ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento isang 11, 2nd equation - on A21 at ika-3 - sa A 31:
Idagdag natin ang mga equation na ito:
Isaalang-alang ang bawat isa sa mga bracket at ang kanang bahagi ng equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng 1st column
Katulad nito, maaari itong ipakita na at .
Sa wakas, madaling makita iyon 
Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .
Kaya naman, .
Ang mga pagkakapantay-pantay at hinango nang magkatulad, kung saan ang assertion ng theorem ay sumusunod.
Kaya, tandaan namin na kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at kabaliktaran. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay maaaring mayroong isang walang katapusang hanay ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma.
Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation
PARAAN NG GAUSS
Ang naunang isinasaalang-alang na mga pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang pamamaraang Gaussian ay mas unibersal at angkop para sa mga sistema na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.
Isaalang-alang muli ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:
.
Iniiwan namin ang unang equation na hindi nagbabago, at mula sa ika-2 at ika-3 ibinubukod namin ang mga terminong naglalaman ng x 1. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng a 21 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag sa 1st equation. Katulad nito, hinahati namin ang ikatlong equation sa a 31 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag ito sa una. Bilang resulta, ang orihinal na sistema ay kukuha ng anyo:
Ngayon, mula sa huling equation, inalis namin ang terminong naglalaman x2. Upang gawin ito, hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng , i-multiply sa at idagdag ito sa pangalawa. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng isang sistema ng mga equation:
Kaya mula sa huling equation ay madaling mahanap x 3, pagkatapos ay mula sa 2nd equation x2 at sa wakas mula sa 1st - x 1.
Kapag ginagamit ang pamamaraang Gaussian, ang mga equation ay maaaring palitan kung kinakailangan.
Kadalasan, sa halip na magsulat ng bagong sistema ng mga equation, nililimitahan nila ang kanilang sarili sa pagsusulat ng pinahabang matrix ng system:
at pagkatapos ay dalhin ito sa isang triangular o dayagonal na anyo gamit ang mga elementarya na pagbabago.
Upang mga pagbabagong elementarya Kasama sa mga matrice ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo:
- permutasyon ng mga hilera o haligi;
- pagpaparami ng string sa isang non-zero na numero;
- pagdaragdag sa isang linya ng iba pang mga linya.
Mga halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng equation gamit ang Gauss method.
Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Isipin mo sistema ng mga linear algebraic equation(SLOW) hinggil sa n hindi kilala x 1 , x 2 , ..., x n :
Ang sistemang ito sa isang "nakatiklop" na anyo ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Alinsunod sa panuntunan ng matrix multiplication, ang itinuturing na sistema ng mga linear equation ay maaaring isulat sa anyo ng matrix ax=b, saan
,
,.
Matrix A, na ang mga column ay ang mga coefficient para sa kaukulang mga hindi alam, at ang mga hilera ay ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa katumbas na equation ay tinatawag na system matrix. column matrix b, na ang mga elemento ay ang tamang bahagi ng mga equation ng system, ay tinatawag na matrix ng tamang bahagi o simpleng kanang bahagi ng system. column matrix x , na ang mga elemento ay hindi alam na hindi alam, ay tinatawag na solusyon sa sistema.
Ang sistema ng mga linear algebraic equation na nakasulat bilang ax=b, ay isang equation ng matrix.
Kung ang matrix ng system hindi nabubulok, pagkatapos ay mayroon itong kabaligtaran na matrix, at pagkatapos ay ang solusyon sa system ax=b ay ibinigay ng formula:
x=A -1 b.
Halimbawa Lutasin ang sistema 
pamamaraan ng matrix.
Desisyon hanapin ang inverse matrix para sa coefficient matrix ng system
Kalkulahin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang hilera:
Sa abot ng Δ ≠ 0 , pagkatapos A -1 umiral.
Ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama.
Maghanap tayo ng solusyon sa sistema 
Kaya naman, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pagsusuri: 
7. Ang Kronecker-Capelli theorem sa compatibility ng isang sistema ng linear algebraic equation.
Sistema ng mga linear na equation mukhang:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Dito ang a i j at b i (i = ; j = ) ay ibinibigay, at ang x j ay hindi kilalang tunay na mga numero. Gamit ang konsepto ng isang produkto ng mga matrice, maaari nating muling isulat ang system (5.1) sa anyo:
kung saan ang A = (a i j) ay ang matrix na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam ng system (5.1), na tinatawag na system matrix, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - column vectors na binubuo ayon sa pagkakasunod-sunod ng hindi kilalang x j at mga libreng termino b i .
Nag-order ng koleksyon n tunay na mga numero (c 1 , c 2 ,..., c n) ay tinatawag solusyon sa sistema(5.1) kung bilang resulta ng pagpapalit ng mga numerong ito sa halip ng mga katumbas na variable x 1 , x 2 ,..., x n bawat equation ng system ay nagiging arithmetic identity; sa madaling salita, kung mayroong isang vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T na ang AC B.
System (5.1) ay tinatawag joint, o nalulusaw kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang sistema ay tinatawag hindi magkatugma, o hindi matutunaw kung wala itong solusyon.
,
na nabuo sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang hanay ng mga libreng termino sa matrix A sa kanan, ay tinatawag pinahabang sistema ng matrix.
Ang tanong ng compatibility ng system (5.1) ay malulutas ng sumusunod na theorem.
Kronecker-Capelli theorem . Ang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at lamang kung ang mga ranggo ng mga matrice A at A ay nagtutugma, i.e. r(A) = r(A) = r.
Para sa set M ng mga solusyon sa system (5.1), mayroong tatlong posibilidad:
1) M = (sa kasong ito ang sistema ay hindi pare-pareho);
2) M ay binubuo ng isang elemento, i.e. ang sistema ay may natatanging solusyon (sa kasong ito ang sistema ay tinatawag na tiyak);
3) M ay binubuo ng higit sa isang elemento (pagkatapos ay tinatawag ang sistema hindi sigurado). Sa ikatlong kaso, ang system (5.1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Ang sistema ay may natatanging solusyon lamang kung r(A) = n. Sa kasong ito, ang bilang ng mga equation ay hindi bababa sa bilang ng mga hindi alam (mn); kung m>n, kung gayon ang mga equation ng m-n ay mga kahihinatnan ng iba. Kung 0 Upang malutas ang isang di-makatwirang sistema ng mga linear na equation, ang isa ay dapat na malutas ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, ang tinatawag na Mga sistema ng uri ng cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Ang mga sistema (5.3) ay nalutas sa isa sa mga sumusunod na paraan: 1) sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, o sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam; 2) ayon sa mga formula ni Cramer; 3) sa pamamagitan ng pamamaraan ng matrix. Halimbawa 2.12. Siyasatin ang sistema ng mga equation at lutasin ito kung ito ay magkatugma: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Desisyon. Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system:
Kalkulahin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system. Malinaw na, halimbawa, ang pangalawang-order na menor sa kaliwang sulok sa itaas = 7 0; ang mga third-order na menor de edad na naglalaman nito ay katumbas ng zero: Samakatuwid, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2, i.e. r(A) = 2. Upang kalkulahin ang ranggo ng pinalawig na matrix A, isaalang-alang ang karatig na minor kaya, ang ranggo ng pinalawig na matrix ay r(A) = 3. Dahil r(A) r(A), ang sistema ay hindi pare-pareho. (kung minsan ang pamamaraang ito ay tinatawag ding matrix method o ang inverse matrix method) ay nangangailangan ng paunang pamilyar sa naturang konsepto bilang matrix form ng pagsulat ng SLAE. Ang inverse matrix method ay inilaan para sa paglutas ng mga system ng linear algebraic equation kung saan ang system matrix determinant ay nonzero. Naturally, ito ay nagpapahiwatig na ang matrix ng system ay parisukat (ang konsepto ng determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice). Ang kakanyahan ng inverse matrix na pamamaraan ay maaaring ipahayag sa tatlong puntos: Ang anumang SLAE ay maaaring isulat sa anyong matrix bilang $A\cdot X=B$, kung saan ang $A$ ay ang matrix ng system, ang $B$ ay ang matrix ng mga libreng termino, ang $X$ ay ang matrix ng mga hindi alam. Hayaang umiral ang matrix na $A^(-1)$. I-multiply ang magkabilang panig ng equality $A\cdot X=B$ sa matrix na $A^(-1)$ sa kaliwa: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Dahil ang $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ay ang identity matrix), kung gayon ang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay magiging: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Dahil $E\cdot X=X$, kung gayon: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Halimbawa #1 Lutasin ang SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ gamit ang inverse matrix. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Hanapin natin ang inverse matrix sa matrix ng system, i.e. kalkulahin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa #2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$ Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa equation na $X=A^(-1)\cdot B$. Pagkatapos ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$ Kaya nakuha namin ang $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ tama)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayo: $x_1=-3$, $x_2=2$. Sagot: $x_1=-3$, $x_2=2$. Halimbawa #2 Lutasin ang SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ sa pamamagitan ng inverse matrix method. Isulat natin ang matrix ng system na $A$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$ at ang matrix ng mga hindi alam na $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Ngayon ay oras na upang mahanap ang inverse matrix ng system matrix, i.e. hanapin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa #3 sa page na nakatuon sa paghahanap ng mga inverse matrice, natagpuan na ang inverse matrix. Gamitin natin ang natapos na resulta at isulat ang $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 at 37\end(array)\kanan). $$ Ngayon ay pinapalitan namin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication sa kanan panig ng pagkakapantay-pantay na ito. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$ Kaya nakuha namin ang $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\right)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
