Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos ay pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Derivatives ng elementarya function

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Padaplis	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga tuntuning ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung mayroong dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng elementary function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Ang mga kumplikadong function ay hindi palaging umaangkop sa kahulugan ng isang kumplikadong function. Kung mayroong isang function ng form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, kung gayon hindi ito maituturing na kumplikado, hindi katulad ng y \u003d sin 2 x.

Ipapakita ng artikulong ito ang konsepto ng isang kumplikadong function at ang pagkakakilanlan nito. Gumawa tayo ng mga formula para sa paghahanap ng derivative na may mga halimbawa ng mga solusyon sa konklusyon. Ang paggamit ng talahanayan ng mga derivative at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ay makabuluhang binabawasan ang oras upang mahanap ang hinango.

Mga pangunahing kahulugan

Kahulugan 1

Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isang function din.

Ito ay tinukoy sa ganitong paraan: f (g (x)) . Mayroon kaming na ang function na g (x) ay itinuturing na isang argumento f (g (x)) .

Kahulugan 2

Kung mayroong function na f at isang cotangent function, kung gayon ang g(x) = ln x ay ang natural na logarithm function. Nakuha namin na ang kumplikadong function na f (g (x)) ay isusulat bilang arctg (lnx). O isang function f, na isang function na itinaas sa ika-4 na kapangyarihan, kung saan ang g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ay itinuturing na isang buong rational function, nakuha namin na f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Malinaw na ang g(x) ay maaaring nakakalito. Mula sa halimbawang y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, makikita na ang halaga ng g ay may cube root na may fraction. Ang expression na ito ay maaaring tukuyin bilang y = f (f 1 (f 2 (x))) . Kung saan mayroon tayong f ay isang function ng sine, at ang f 1 ay isang function na matatagpuan sa ilalim ng square root, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ay isang fractional rational function.

Kahulugan 3

Ang antas ng nesting ay tinutukoy ng anumang natural na numero at isinusulat bilang y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Kahulugan 4

Ang konsepto ng komposisyon ng function ay tumutukoy sa bilang ng mga nested function ayon sa pahayag ng problema. Para sa solusyon, ang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ng form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng complex function ng form na y = (2 x + 1) 2 .

Desisyon

Ayon sa convention, ang f ay isang squaring function, at ang g(x) = 2 x + 1 ay itinuturing na isang linear function.

Inilapat namin ang derivative formula para sa isang kumplikadong function at isulat ang:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Kinakailangang maghanap ng derivative na may pinasimple na paunang anyo ng function. Nakukuha namin:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Kaya mayroon tayo nito

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Nagtugma ang mga resulta.

Kapag nilulutas ang mga problema sa ganitong uri, mahalagang maunawaan kung saan matatagpuan ang function ng form na f at g (x).

Halimbawa 2

Dapat mong mahanap ang mga derivatives ng mga kumplikadong function ng form y \u003d sin 2 x at y \u003d sin x 2.

Desisyon

Ang unang entry ng function ay nagsasabi na ang f ay ang squaring function at g(x) ay ang sine function. Pagkatapos makuha namin iyon

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Ang pangalawang entry ay nagpapakita na ang f ay isang sine function, at ang g (x) = x 2 ay tumutukoy sa power function. Ito ay sumusunod na ang produkto ng isang kumplikadong function ay maaaring isulat bilang

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Ang formula para sa derivative na y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) ay isusulat bilang y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )))) . . . f n "(x)

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng function na y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Desisyon

Ipinapakita ng halimbawang ito ang pagiging kumplikado ng pagsulat at pagtukoy sa lokasyon ng mga function. Pagkatapos ay ang y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ay tumutukoy, kung saan ang f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ay ang sine function, ang function ng pagtaas sa 3 degree, isang function na may logarithm at base e, isang function ng arc tangent at isang linear.

Mula sa formula para sa kahulugan ng isang kumplikadong function, mayroon kami na

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Pagkuha ng hahanapin

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) bilang derivative ng sine sa talahanayan ng mga derivatives, pagkatapos ay f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bilang derivative ng power function, pagkatapos ay f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) bilang isang logarithmic derivative, pagkatapos ay f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) bilang derivative ng arc tangent, pagkatapos f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kapag nahanap ang derivative f 4 (x) \u003d 2 x, kunin ang 2 mula sa sign ng derivative gamit ang formula para sa derivative ng power function na may exponent na 1, pagkatapos ay f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Pinagsasama namin ang mga intermediate na resulta at makuha iyon

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Ang pagsusuri ng naturang mga function ay kahawig ng mga nesting doll. Ang mga panuntunan sa differentiation ay hindi palaging mailalapat nang tahasan gamit ang isang derivative table. Kadalasan kailangan mong ilapat ang formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng mga kumplikadong function.

Mayroong ilang mga pagkakaiba sa pagitan ng isang kumplikadong view at isang kumplikadong function. Sa isang malinaw na kakayahang makilala ito, ang paghahanap ng mga derivative ay magiging lalong madali.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang isaalang-alang sa pagdadala ng tulad ng isang halimbawa. Kung mayroong isang function ng form na y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , kung gayon maaari itong ituring bilang isang kumplikadong function ng form na g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Malinaw, kinakailangang ilapat ang formula para sa kumplikadong hinalaw:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Ang isang function ng form na y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ay hindi itinuturing na kumplikado, dahil mayroon itong kabuuan t g x 2 , 3 t g x at 1 . Gayunpaman, ang t g x 2 ay itinuturing na isang kumplikadong pag-andar, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang function ng kapangyarihan ng form na g (x) \u003d x 2 at f, na isang function ng tangent. Upang gawin ito, kailangan mong mag-iba ayon sa dami. Nakukuha namin iyon

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Lumipat tayo sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Nakukuha natin na y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Ang mga kumplikadong pag-andar ay maaaring isama sa mga kumplikadong pag-andar, at ang mga kumplikadong pag-andar mismo ay maaaring mga kumplikadong pag-andar ng kumplikadong anyo.

Halimbawa 5

Halimbawa, isaalang-alang ang isang kumplikadong function ng form na y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ang function na ito ay maaaring katawanin bilang y = f (g (x)) , kung saan ang value ng f ay isang function ng base 3 logarithm, at ang g (x) ay itinuturing na kabuuan ng dalawang function ng form na h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 at k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Malinaw, y = f (h (x) + k (x)) .

Isaalang-alang ang function h(x) . Ito ang ratio ng l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 sa m (x) = e x 2 + 3 3

Mayroon tayong l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ay ang kabuuan ng dalawang function n (x) = x 2 + 7 at p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , kung saan ang p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ay isang kumplikadong function na may numerical coefficient na 3, at ang p 1 ay isang cube function, p 2 cosine function, p 3 (x) = 2 x + 1 - linear function.

Nalaman namin na ang m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ay ang kabuuan ng dalawang function q (x) = e x 2 at r (x) = 3 3 , kung saan q (x) = q 1 (q 2 (x)) ay isang kumplikadong function, q 1 ay isang function na may exponent, q 2 (x) = x 2 ay isang power function.

Ipinapakita nito na h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kapag pumasa sa isang expression ng form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), malinaw na ang function ay kinakatawan bilang isang complex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) na may integer rational t (x) = x 2 + 1, kung saan ang s 1 ay ang squaring function, at s 2 (x) = ln x ay logarithmic na may base e .

Kasunod nito na ang expression ay kukuha ng anyong k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pagkatapos makuha namin iyon

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Ayon sa mga istruktura ng function, naging malinaw kung paano at anong mga formula ang dapat ilapat upang gawing simple ang expression kapag ito ay naiba. Upang maging pamilyar sa mga naturang problema at upang maunawaan ang kanilang solusyon, kinakailangan na sumangguni sa punto ng pagkakaiba-iba ng isang function, iyon ay, paghahanap ng derivative nito.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

At ang theorem sa derivative ng isang kumplikadong function, ang pagbabalangkas kung saan ay ang mga sumusunod:

Hayaang 1) ang function na $u=\varphi (x)$ ay may derivative na $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ sa isang punto $x_0$, 2) ang function na $y=f(u)$ ay nasa katumbas na punto na $u_0=\varphi (x_0)$ ang derivative na $y_(u)"=f"(u)$. Pagkatapos ang kumplikadong function na $y=f\left(\varphi (x) \right)$ sa nabanggit na punto ay magkakaroon din ng derivative na katumbas ng produkto ng mga derivatives ng mga function na $f(u)$ at $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

o, sa mas maikling notasyon: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Sa mga halimbawa ng seksyong ito, ang lahat ng mga function ay may anyong $y=f(x)$ (ibig sabihin, isinasaalang-alang lamang namin ang mga function ng isang variable na $x$). Alinsunod dito, sa lahat ng halimbawa, ang derivative na $y"$ ay kinukuha na may kinalaman sa variable na $x$. Upang bigyang-diin na ang derivative ay kinuha na may kinalaman sa variable na $x$, ang isa ay madalas na nagsusulat ng $y"_x$ sa halip na $ y"$.

Ang mga halimbawa #1, #2, at #3 ay nagbibigay ng isang detalyadong proseso para sa paghahanap ng derivative ng mga kumplikadong function. Ang Halimbawa Blg. 4 ay nilayon para sa isang mas kumpletong pag-unawa sa talahanayan ng mga derivatives at makatuwirang maging pamilyar dito.

Maipapayo, pagkatapos pag-aralan ang materyal sa mga halimbawa No. 1-3, na magpatuloy sa independiyenteng paglutas ng mga halimbawa No. 5, No. 6 at No. 7. Ang mga halimbawa #5, #6 at #7 ay naglalaman ng maikling solusyon upang masuri ng mambabasa ang kawastuhan ng kanyang resulta.

Halimbawa #1

Hanapin ang derivative ng function na $y=e^(\cos x)$.

Kailangan nating hanapin ang derivative ng complex function na $y"$. Since $y=e^(\cos x)$, then $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To hanapin ang derivative na $ \left(e^(\cos x)\right)"$ gamitin ang formula #6 mula sa talahanayan ng mga derivatives. Upang magamit ang formula No. 6, kailangan mong isaalang-alang na sa aming kaso $u=\cos x$. Ang karagdagang solusyon ay binubuo sa isang karaniwang pagpapalit ng expression na $\cos x$ sa halip na $u$ sa formula No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ngayon ay kailangan nating hanapin ang halaga ng expression na $(\cos x)"$. Muli tayong bumaling sa talahanayan ng mga derivatives, na pumipili ng formula No. 10 mula dito. Ang pagpapalit ng $u=x$ sa formula No. 10, mayroon tayong : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay (1.1), dinadagdagan ito ng nahanap na resulta:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x") \tag (1.2) $$

Dahil $x"=1$, ipinagpatuloy namin ang pagkakapantay-pantay (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Kaya, mula sa pagkakapantay-pantay (1.3) mayroon tayong: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturally, ang mga paliwanag at intermediate equalities ay karaniwang nilaktawan, na nagsusulat ng derivative sa isang linya, tulad ng sa pagkakapantay-pantay. ( 1.3) Kaya, ang hinango ng kumplikadong pag-andar ay natagpuan, nananatili lamang itong isulat ang sagot.

Sagot: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Halimbawa #2

Hanapin ang derivative ng function na $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Kailangan nating kalkulahin ang derivative na $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang magsimula, tandaan namin na ang pare-pareho (i.e. ang numero 9) ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$

Ngayon ay bumaling tayo sa expression na $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang gawing mas madali ang pagpili ng gustong formula mula sa talahanayan ng mga derivatives, ipapakita ko ang expression pinag-uusapan sa form na ito: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ngayon ay malinaw na kinakailangan na gumamit ng formula No. 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ipalit ang $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ at $\alpha=12$ sa formula na ito:

Bilang karagdagan sa pagkakapantay-pantay (2.1) sa nakuhang resulta, mayroon kaming:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Sa sitwasyong ito, madalas na nagkakamali kapag pinili ng solver sa unang hakbang ang formula na $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ sa halip na formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ang punto ay ang hinango ng panlabas na function ay dapat na unang mahanap. Upang maunawaan kung aling function ang magiging panlabas sa expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, isipin na binibilang mo ang halaga ng expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ para sa ilang halaga ng $x$. Una mong kalkulahin ang halaga ng $5^x$, pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 4 upang makakuha ng $4\cdot 5^x$. Ngayon ay kinukuha namin ang arctangent mula sa resultang ito, nakakakuha ng $\arctg(4\cdot 5^x)$. Pagkatapos ay itataas namin ang resultang numero sa ikalabindalawang kapangyarihan, na nakakakuha ng $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ang huling aksyon, i.e. pagtaas sa kapangyarihan ng 12, - at magiging isang panlabas na function. At mula rito na dapat simulan ng isa ang paghahanap ng hinango, na ginawa sa pagkakapantay-pantay (2.2).

Ngayon ay kailangan nating hanapin ang $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ginagamit namin ang formula No. 19 ng derivatives table, pinapalitan ang $u=4\cdot \ln x$ dito:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Bahagyang pasimplehin natin ang resultang expression, na isinasaalang-alang ang $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ang pagkakapantay-pantay (2.2) ay magiging:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Ito ay nananatili upang mahanap ang $(4\cdot \ln x)"$. Kinukuha namin ang pare-pareho (i.e. 4) sa tanda ng derivative: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Para sa Upang mahanap ang $(\ln x)"$, ginagamit namin ang formula No. 8, pinapalitan ang $u=x$ dito: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Ang pagpapalit ng resulta na nakuha sa formula (2.3), makuha namin ang:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Ipaalala ko sa iyo na ang derivative ng isang kumplikadong function ay kadalasang nasa isang linya, gaya ng nakasulat sa huling pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, kapag gumagawa ng mga karaniwang kalkulasyon o pagsubok, hindi kinakailangan na ipinta ang solusyon sa parehong detalye.

Sagot: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Halimbawa #3

Hanapin ang $y"$ ng function na $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Una, bahagyang baguhin natin ang $y$ function sa pamamagitan ng pagpapahayag ng radical (root) bilang isang kapangyarihan: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Ngayon simulan natin ang paghahanap ng derivative. Dahil $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, kung gayon:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Gumagamit kami ng formula No. 2 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=\sin(5\cdot 9^x)$ at $\alpha=\frac(3)(7)$ dito:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Ipinagpapatuloy namin ang pagkakapantay-pantay (3.1) gamit ang nakuhang resulta:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ngayon ay kailangan nating hanapin ang $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para dito, ginagamit namin ang formula No. 9 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=5\cdot 9^x$ dito:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Bilang karagdagan sa pagkakapantay-pantay (3.2) sa nakuhang resulta, mayroon kaming:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Ito ay nananatili upang mahanap ang $(5\cdot 9^x)"$. Una, kinuha natin ang pare-pareho (ang numerong $5$) mula sa tanda ng derivative, ibig sabihin, $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Upang mahanap ang derivative na $(9^x)"$, inilalapat namin ang formula No. 5 ng talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $a=9$ at $u=x$ dito: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ngayon ay maaari nating ipagpatuloy ang pagkakapantay-pantay (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Maaari kang bumalik mula sa mga kapangyarihan patungo sa mga radikal (i.e. mga ugat) muli sa pamamagitan ng pagsulat ng $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ bilang $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Pagkatapos ang derivative ay isusulat sa sumusunod na anyo:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$

Sagot: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$.

Halimbawa #4

Ipakita na ang mga formula No. 3 at No. 4 ng talahanayan ng mga derivatives ay isang espesyal na kaso ng formula No. 2 ng talahanayang ito.

Sa formula No. 2 ng talahanayan ng mga derivatives, ang derivative ng function na $u^\alpha$ ay nakasulat. Ang pagpapalit ng $\alpha=-1$ sa formula #2, makuha namin ang:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Dahil ang $u^(-1)=\frac(1)(u)$ at $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ang pagkakapantay-pantay (4.1) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ito ang formula number 3 ng derivatives table.

Bumalik tayo muli sa formula No. 2 ng derivatives table. Palitan ang $\alpha=\frac(1)(2)$ dito:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Dahil $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ at $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (4.2) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Ang resultang equality $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ay formula No. 4 ng derivatives table. Gaya ng nakikita mo, ang mga formula No. 3 at No. 4 ng derivatives table ay nakuha mula sa formula No. 2 sa pamamagitan ng pagpapalit sa katumbas na halaga ng $\alpha$.

Ang mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative gamit ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay ibinigay.

Nilalaman

Tingnan din: Patunay ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function

Mga Pangunahing Formula

Dito nagbibigay kami ng mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives ng mga sumusunod na function:
; ; ; ; .

Kung ang isang function ay maaaring katawanin bilang isang kumplikadong function sa sumusunod na anyo:
,
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
.
Sa mga halimbawa sa ibaba, isusulat namin ang formula na ito sa sumusunod na anyo:
.
saan .
Dito, ang mga subscript o , na matatagpuan sa ilalim ng tanda ng derivative, ay tumutukoy sa variable kung saan ginaganap ang pagkita ng kaibhan.

Karaniwan, sa mga talahanayan ng mga derivatives, ang mga derivatives ng mga function mula sa variable na x ay ibinibigay. Gayunpaman, ang x ay isang pormal na parameter. Ang variable na x ay maaaring mapalitan ng anumang iba pang variable. Samakatuwid, kapag iniiba ang isang function mula sa isang variable , binabago lang namin, sa talahanayan ng mga derivatives, ang variable na x sa variable na u .

Mga simpleng halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function
.

Isinulat namin ang ibinigay na function sa isang katumbas na anyo:
.
Sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.

Ayon sa formula para sa derivative ng isang kumplikadong function, mayroon kaming:
.
Dito .

Halimbawa 2

Maghanap ng derivative
.

Kinukuha namin ang pare-parehong 5 na lampas sa tanda ng derivative at mula sa talahanayan ng mga derivatives nakita namin:
.

.
Dito .

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative
.

Inalis namin ang pare-pareho -1 para sa tanda ng derivative at mula sa talahanayan ng mga derivatives ay makikita natin:
;
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.

Inilapat namin ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:
.
Dito .

Mas kumplikadong mga halimbawa

Sa mas kumplikadong mga halimbawa, inilalapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function nang maraming beses. Sa paggawa nito, kinakalkula namin ang derivative mula sa dulo. Iyon ay, hinahati namin ang function sa mga bahaging bahagi nito at hanapin ang mga derivatives ng pinakasimpleng bahagi na ginagamit derivative table. Apply din kami mga tuntunin sa kabuuan ng pagkakaiba, mga produkto at fraction . Pagkatapos ay gumawa kami ng mga pamalit at inilapat ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative
.

Pinipili namin ang pinakasimpleng bahagi ng formula at hanapin ang derivative nito. .

.
Dito ginamit namin ang notasyon
.

Nahanap namin ang derivative ng susunod na bahagi ng orihinal na function, na inilalapat ang mga resulta na nakuha. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan:
.

Muli, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function.

.
Dito .

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function
.

Pinipili namin ang pinakasimpleng bahagi ng formula at hanapin ang derivative nito mula sa talahanayan ng mga derivatives. .

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function.
.
Dito
.

Pinag-iiba namin ang susunod na bahagi, inilalapat ang mga resultang nakuha.
.
Dito
.

Ibahin natin ang susunod na bahagi.

.
Dito
.

Ngayon nakita namin ang derivative ng nais na function.

.
Dito
.

Tingnan din:

Sa araling ito, matututunan natin kung paano maghanap derivative ng isang kumplikadong function. Ang aralin ay isang lohikal na pagpapatuloy ng aralin Paano mahahanap ang derivative?, kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at nakilala din ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto ng artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring tune in sa isang seryosong mood - ang materyal ay hindi madali, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin sa talahanayan ang panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function:

Nakakaintindi kami. Una sa lahat, tingnan natin ang notasyon. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa makasagisag na pagsasalita, ay naka-nest sa function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Ginagamit ko lang ang mga impormal na expression na "external function", "internal" para mas madali mong maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine, mayroon kaming hindi lamang titik na "x", ngunit ang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinango kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay imposibleng "punitin" ang sine:

Sa halimbawang ito, mula na sa aking mga paliwanag, malinaw na malinaw na ang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang, na dapat gawin kapag hinahanap ang derivative ng isang kumplikadong function ay to maunawaan kung aling function ang panloob at alin ang panlabas.

Sa kaso ng mga simpleng halimbawa, tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-nest sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata? Paano matukoy nang eksakto kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, ipinapanukala kong gamitin ang sumusunod na pamamaraan, na maaaring isagawa sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression gamit ang isang calculator (sa halip na isa, maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Pangunahin kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , kaya ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa kakailanganin mong hanapin, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UNAWAIN Sa mga panloob at panlabas na pag-andar, oras na para ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function.

Magsisimula kaming magdesisyon. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng solusyon ng anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Sa simula nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula sa tabular ay naaangkop kahit na ang "x" ay pinalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Tandaan na ang panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, ito ay medyo halata na

Ang huling resulta ng paglalapat ng formula ay ganito:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang desisyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Inaalam namin kung saan mayroon kaming panlabas na function, at kung saan ang panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression para sa . Ano ang kailangang gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base:, na nangangahulugang ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang maisagawa ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula, kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang nais na formula sa talahanayan:. Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "x", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na function, ang panloob na function ay hindi nagbabago:

Ngayon ay nananatiling makahanap ng isang napaka-simpleng derivative ng panloob na pag-andar at "suklayin" ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong pag-andar, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan, nasaan ang panlabas at nasaan ang panloob na pag-andar, bakit nalutas ang mga gawain sa ganoong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng isang function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiiba ang ugat, dapat itong irepresenta bilang isang antas. Kaya, dinadala muna namin ang function sa tamang anyo para sa pagkita ng kaibhan:

Ang pag-aaral ng function, dumating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang exponentiation ay isang panlabas na function. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Ang antas ay muling kinakatawan bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar, nag-aaplay kami ng isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring dalhin ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakuha ang masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan, sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, ang isa ay maaaring gumamit ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang isang perversion na nakakatawa. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - kinuha namin ang minus sign ng derivative, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan:

Nahanap namin ang derivative ng panloob na function, i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga kaso kung saan nagkaroon lamang kami ng isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Naiintindihan namin ang mga attachment ng function na ito. Sinusubukan naming suriin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin, na nangangahulugan na ang arcsine ay ang pinakamalalim na pugad:

Ang arcsine ng pagkakaisa na ito ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinataas natin ang pito sa kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang nesting, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Magsisimula kaming magdesisyon

Ayon sa panuntunan, kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Sa ilalim ng gitling, mayroon kaming nakakalito na function muli! Pero mas madali na. Madaling makita na ang panloob na pag-andar ay ang arcsine at ang panlabas na pag-andar ay ang antas. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, kailangan mo munang kunin ang derivative ng degree.