Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

institusyong pang-edukasyon na nagsasarili ng pederal na estado

mas mataas na propesyonal na edukasyon

Northern (Arctic) Federal University na pinangalanang M.V. Lomonosov"

Departamento ng Math

TRABAHO NG KURSO

Sa pamamagitan ng disiplina sa Matematika

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Superbisor

Art. guro

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

GAWAIN PARA SA KURSONG TRABAHO

Mga aplikasyon ng tiyak na integral

INITIAL DATA:

21. y=x 3 , y= ; 22.

PANIMULA

Sa gawaing kursong ito, mayroon akong mga sumusunod na gawain: upang kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na nalilimitahan ng mga graph ng mga function, na nalilimitahan ng mga linya na ibinigay ng mga equation, na nalilimigan din ng mga linya na ibinigay ng mga equation sa polar coordinates, kalkulahin ang mga haba ng mga arko ng mga kurba na ibinigay ng mga equation sa isang rectangular coordinate system, na ibinibigay ng mga parametric equation na ibinigay ng mga equation sa polar coordinates, gayundin ang pagkalkula ng mga volume ng mga katawan na nalilimitahan ng mga ibabaw, na nililimitahan ng mga graph ng mga function, at nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga figure na na-bound ng mga graph ng mga function sa paligid ng polar axis. Pumili ako ng isang term paper sa paksang “Definite Integral. Sa pagsasaalang-alang na ito, napagpasyahan kong malaman kung gaano kadali at kabilis maaari mong gamitin ang mga integral na kalkulasyon, at kung gaano ka tumpak na makalkula ang mga gawain na itinalaga sa akin.

Ang INTEGRAL ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika na lumitaw na may kaugnayan sa pangangailangan, sa isang banda, upang makahanap ng mga function sa pamamagitan ng kanilang mga derivatives (halimbawa, upang makahanap ng isang function na nagpapahayag ng landas na nilakbay ng isang gumagalaw na punto, ayon sa bilis ng puntong ito), at sa kabilang banda, upang sukatin ang mga lugar, volume, haba ng mga arko, ang gawain ng mga puwersa para sa isang tiyak na tagal ng panahon, atbp.

Pagsisiwalat ng tema ng gawaing pang-kurso, ginugol ko sa sumusunod na plano: ang kahulugan ng isang tiyak na integral at ang mga katangian nito; haba ng curve arc; lugar ng isang curvilinear trapezoid; ibabaw na lugar ng pag-ikot.

Para sa anumang function na f(x) na tuloy-tuloy sa segment , mayroong isang antiderivative sa segment na ito, na nangangahulugan na mayroong isang hindi tiyak na integral.

Kung ang function na F(x) ay anumang antiderivative ng tuluy-tuloy na function na f(x), kung gayon ang expression na ito ay kilala bilang Newton-Leibniz formula:

Ang mga pangunahing katangian ng tiyak na integral:

Kung ang mas mababa at itaas na mga limitasyon ng pagsasama ay pantay (a=b), kung gayon ang integral ay katumbas ng zero:

Kung f(x)=1, kung gayon:

Kapag muling inaayos ang mga limitasyon ng pagsasama, ang mga tiyak na integral na pagbabago ay nag-sign sa kabaligtaran:

Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng isang tiyak na integral:

Kung ang mga function ay pinagsama-sama sa, kung gayon ang kanilang kabuuan ay pinagsama-sama at ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral:

Mayroon ding mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama, tulad ng pagbabago ng variable,:

Pagkakaiba-iba:

Ginagawang posible ng formula ng integration-by-parts na bawasan ang pagkalkula ng integral sa pagkalkula ng integral, na maaaring maging mas simple:

Ang geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral ay na para sa isang tuluy-tuloy at hindi-negatibong pag-andar ito ay nasa geometric na kahulugan ang lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Bilang karagdagan, gamit ang isang tiyak na integral, mahahanap mo ang lugar ng rehiyon na nalilimitahan ng mga kurba, mga tuwid na linya at, kung saan

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nililimitahan ng isang kurba na ibinigay ng mga parametric na linya x = a at x = b at ang axis na Ox, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula, kung saan ang mga ito ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay:

. (12)

Ang pangunahing lugar, ang lugar ng kung saan ay matatagpuan gamit ang isang tiyak na integral, ay isang curvilinear na sektor. Ito ang lugar na nililimitahan ng dalawang sinag at isang kurba, kung saan ang r at mga polar na coordinate:

Kung ang curve ay isang graph ng function kung saan, at ang function ng derivative nito ay tuloy-tuloy sa segment na ito, kung gayon ang surface area ng figure na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve sa paligid ng Ox axis ay maaaring kalkulahin ng formula:

. (14)

Kung ang isang function at ang derivative nito ay tuloy-tuloy sa isang segment, ang curve ay may haba na katumbas ng:

Kung ang curve equation ay ibinigay sa parametric form

kung saan ang x(t) at y(t) ay tuluy-tuloy na mga function na may tuloy-tuloy na derivatives at pagkatapos ay ang haba ng curve ay matatagpuan ng formula:

Kung ang curve ay ibinibigay ng isang equation sa polar coordinates, kung saan at tuloy-tuloy sa segment, kung gayon ang haba ng arko ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay umiikot sa paligid ng axis ng Ox, na napapalibutan ng isang tuloy-tuloy na segment ng linya at mga tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b, kung gayon ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng trapezoid na ito sa paligid ng axis ng Ox ay magiging katumbas ng :

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nililimitahan ng isang graph ng tuluy-tuloy na function at mga linyang x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Kung ang pigura ay nililimitahan ng mga kurba at (ay "mas mataas" kaysa sa mga tuwid na linya x = a, x = b, kung gayon ang dami ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng axis ng Ox ay magiging katumbas ng:

at sa paligid ng y-axis (:

Kung ang sektor ng curvilinear ay pinaikot sa paligid ng polar axis, kung gayon ang lugar ng nagresultang katawan ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

2. PAGSOLUSYON NG PROBLEMA

Gawain 14: Kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na nililimitahan ng mga function graph:

1) Solusyon:

Figure 1 - Graph ng mga function

Ang X ay nagbabago mula 0 hanggang

x 1 = -1 at x 2 = 2 - mga limitasyon sa pagsasama (makikita ito sa Figure 1).

3) Kalkulahin ang lugar ng figure gamit ang formula (10).

Sagot: S = .

Gawain 15: Kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na bounded ng mga linya na ibinigay ng mga equation:

1) Solusyon:

Figure 2 - Graph ng mga function

Isaalang-alang ang isang function sa pagitan.

Figure 3 - Talaan ng mga variable para sa function

Dahil, pagkatapos ay 1 arc ang magkasya sa panahong ito. Ang arko na ito ay binubuo ng isang gitnang bahagi (S 1) at mga bahagi sa gilid. Ang gitnang bahagi ay binubuo ng nais na bahagi at isang parihaba (S pr):. Kalkulahin natin ang lugar ng isang gitnang bahagi ng arko.

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

at y = 6, samakatuwid

Para sa isang agwat, ang mga limitasyon ng pagsasama.

3) Hanapin ang lugar ng figure gamit ang formula (12).

curvilinear integral trapezoid

Problema 16: Kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na nililimitahan ng mga linya na ibinigay ng mga equation sa polar coordinates:

1) Solusyon:

Figure 4 - Graph ng mga function,

Figure 5 - Talaan ng mga variable function,

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

kaya naman -

3) Hanapin ang lugar ng figure gamit ang formula (13).

Sagot: S=.

Gawain 17: Kalkulahin ang mga haba ng mga arko ng mga kurba na ibinigay ng mga equation sa isang rectangular coordinate system:

1) Solusyon:

Figure 6 - Graph ng function

Figure 7 - Talaan ng mga variable ng function

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

nag-iiba mula ln hanggang ln, ito ay kitang-kita mula sa kondisyon.

3) Hanapin ang haba ng arko gamit ang formula (15).

Sagot: l =

Gawain 18: Kalkulahin ang mga haba ng mga arko ng mga kurba na ibinigay ng mga parametric equation: 1)

1) Solusyon:

Figure 8- Function Graph

Figure 11 - Talaan ng mga variable ng function

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

ts ay nag-iiba mula sa, ito ay kitang-kita mula sa kondisyon.

Hanapin natin ang haba ng arko gamit ang formula (17).

Gawain 20: Kalkulahin ang mga volume ng mga katawan na nakatali ng mga ibabaw:

1) Solusyon:

Figure 12 - Graph ng mga function:

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

Ang Z ay nagbabago mula 0 hanggang 3.

3) Hanapin ang volume ng figure gamit ang formula (18)

Gawain 21: Kalkulahin ang mga volume ng mga katawan na nakatali ng mga function graph, axis ng rotation Ox: 1)

1) Solusyon:

Figure 13 - Graph ng mga function

Figure 15 - Function Graph Table

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

Ang mga puntos (0;0) at (1;1) ay karaniwan para sa parehong mga graph, samakatuwid ito ang mga limitasyon ng pagsasama, na kitang-kita sa figure.

3) Hanapin ang volume ng figure gamit ang formula (20).

Gawain 22: Kalkulahin ang lugar ng mga katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga figure na nakatali ng mga function graph sa paligid ng polar axis:

1) Solusyon:

Figure 16 - Graph ng function

Figure 17 - Talaan ng mga variable para sa graph ng function

2) Hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama.

c nagbabago mula sa

3) Hanapin ang lugar ng figure gamit ang formula (22).

Sagot: 3.68

KONGKLUSYON

Sa proseso ng pagkumpleto ng aking gawain sa kurso sa paksang "Definite Integral", natutunan ko kung paano kalkulahin ang mga lugar ng iba't ibang mga katawan, hanapin ang mga haba ng iba't ibang mga arko ng mga kurba, at kalkulahin din ang mga volume. Ang ideyang ito ng pagtatrabaho sa mga integral ay makakatulong sa akin sa aking hinaharap na mga propesyonal na aktibidad, kung paano mabilis at mahusay na magsagawa ng iba't ibang mga aksyon. Pagkatapos ng lahat, ang integral mismo ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika, na lumitaw kaugnay ng pangangailangan, sa isang banda, upang makahanap ng mga function sa pamamagitan ng kanilang mga derivatives (halimbawa, upang makahanap ng isang function na nagpapahayag ng landas na nilakbay ng isang gumagalaw na punto, ayon sa bilis ng puntong ito), at sa kabilang banda, upang sukatin ang mga lugar, volume, haba ng arko, gawain ng mga puwersa para sa isang tiyak na tagal ng panahon, atbp.

LISTAHAN NG MGA GINAMIT NA PINAGMULAN

1. Nakasulat, D.T. Mga tala sa panayam sa mas mataas na matematika: Part 1 - 9th ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Mas Mataas na Matematika. Differential at integral calculus: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 p.

3. V. A. Zorich, Pagsusuri sa Matematika. Bahagi I. - Ed. Ika-4 - M.: MTSNMO, 2002. - 664 p.

4. Kuznetsov D.A. "Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika" Moscow, 1983

5. Nikolsky S. N. "Mga Elemento ng pagsusuri sa matematika". - M.: Nauka, 1981.

Mga Katulad na Dokumento

Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano. Paghahanap ng isang tiyak na integral ng isang function. Pagpapasiya ng lugar sa ilalim ng kurba, ang lugar ng pigura na nakapaloob sa pagitan ng mga kurba. Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng rebolusyon. Ang limitasyon ng integral sum ng isang function. Pagtukoy sa dami ng isang silindro.

pagtatanghal, idinagdag noong 09/18/2013


Mga tampok ng pagkalkula ng mga volume ng mga katawan na nakatali ng mga ibabaw gamit ang geometric na kahulugan ng dobleng integral. Pagtukoy sa mga lugar ng mga figure ng eroplano na nalilimitahan ng mga linya gamit ang paraan ng integration sa kurso ng mathematical analysis.

pagtatanghal, idinagdag noong 09/17/2013


Derivative ng isang definite integral na may kinalaman sa variable na upper limit. Pagkalkula ng isang tiyak na integral bilang isang limitasyon ng integral sum ng Newton–Leibniz formula, pagbabago ng variable at integration ng mga bahagi. Haba ng arko sa mga polar coordinates.

kontrol sa trabaho, idinagdag 08/22/2009


Mga sandali at sentro ng masa ng mga kurba ng eroplano. Ang teorama ni Gulden. Ang lugar sa ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang arko ng isang kurba ng eroplano sa paligid ng isang axis na namamalagi sa eroplano ng arko at hindi nagsalubong ito ay katumbas ng produkto ng haba ng arko at ang haba ng bilog.

lecture, idinagdag 09/04/2003


Ang pamamaraan at ang mga pangunahing yugto ng paghahanap ng mga parameter: ang lugar ng isang curvilinear trapezoid at sektor, ang haba ng arko ng curve, ang dami ng mga katawan, ang ibabaw na lugar ng mga katawan ng rebolusyon, ang gawain ng isang variable na puwersa. Ang pagkakasunud-sunod at mekanismo para sa pagkalkula ng mga integral gamit ang MathCAD package.

control work, idinagdag noong 11/21/2010


Isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral. Pagkakapantay-pantay ng isang tiyak na integral ng algebraic sum (pagkakaiba) ng dalawang function. Ang mean value theorem – corollary at proof. Ang geometriko na kahulugan ng isang tiyak na integral.

pagtatanghal, idinagdag noong 09/18/2013


Ang problema ng numerical integration ng mga function. Pagkalkula ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral. Paghahanap ng isang tiyak na integral gamit ang mga pamamaraan ng mga parihaba, gitnang parihaba, trapezoid. Ang error ng mga formula at paghahambing ng mga pamamaraan sa mga tuntunin ng katumpakan.

manwal ng pagsasanay, idinagdag noong 07/01/2009


Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga integral. Mga formula at pagpapatunay ng hindi tiyak na integral. Lugar ng isang curvilinear trapezoid. Hindi tiyak, tiyak at kumplikadong integral. Pangunahing aplikasyon ng mga integral. Geometric na kahulugan ng mga tiyak at hindi tiyak na integral.

pagtatanghal, idinagdag noong 01/15/2014


Pagkalkula ng lugar ng isang figure na nakatali sa mga ibinigay na linya gamit ang isang double integral. Pagkalkula ng double integral sa pamamagitan ng pagpunta sa polar coordinates. Isang pamamaraan para sa pagtukoy ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri sa isang ibinigay na linya at daloy ng isang vector field.

control work, idinagdag noong 12/14/2012


Ang konsepto ng isang tiyak na integral, ang pagkalkula ng lugar, dami ng katawan at ang haba ng arko, ang static na sandali at ang sentro ng grabidad ng kurba. Pagkalkula ng lugar sa kaso ng isang hugis-parihaba na curvilinear na rehiyon. Application ng curvilinear, surface at triple integral.

Tahanan > Lektura

Lektura 18. Mga aplikasyon ng isang tiyak na integral.

18.1. Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano.

Ito ay kilala na ang tiyak na integral sa isang segment ay ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng function na f(x). Kung ang graph ay matatagpuan sa ibaba ng x-axis, i.e. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, pagkatapos ay may “+” sign ang lugar.

Ang formula ay ginagamit upang mahanap ang kabuuang lugar.

Ang lugar ng isang figure na may hangganan ng ilang mga linya ay matatagpuan gamit ang ilang mga integral kung ang mga equation ng mga linyang ito ay kilala.

Halimbawa. Hanapin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

Ang nais na lugar (na may kulay sa figure) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

18.2. Paghahanap ng lugar ng isang curvilinear na sektor.

Upang mahanap ang lugar ng isang curvilinear na sektor, ipinakilala namin ang isang polar coordinate system. Ang equation ng curve na nagbubuklod sa sektor sa coordinate system na ito ay may anyong  = f(), kung saan ang  ay ang haba ng radius vector na nagkokonekta sa poste sa isang arbitrary na punto sa curve, at  ay ang anggulo ng inclination ng radius vector na ito sa polar axis.

Ang lugar ng isang hubog na sektor ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

18.3. Pagkalkula ng haba ng arko ng isang kurba.

y y = f(x)

S i y i

Ang haba ng polyline na tumutugma sa arko ay makikita bilang
.

Kung gayon ang haba ng arko ay
.

Para sa mga geometric na kadahilanan:

Sa parehong oras

Pagkatapos ay maipapakita iyon

Yung.

Kung ang equation ng curve ay ibinigay sa parametrically, kung gayon, isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagkalkula ng derivative ng parametrically na ibinigay, nakukuha namin.

,

kung saan ang x = (t) at y = (t).

Kung itinakda spatial curve, at x = (t), y = (t) at z = Z(t), pagkatapos

Kung nakatakda ang curve sa polar coordinate, pagkatapos

,  = f().

Halimbawa: Hanapin ang circumference na ibinigay ng equation x 2 + y 2 = r 2 .

1 paraan. Ipahayag natin ang variable y mula sa equation.

Hanapin natin ang derivative

Pagkatapos S = 2r. Nakuha namin ang kilalang formula para sa circumference ng isang bilog.

2 paraan. Kung kinakatawan natin ang ibinigay na equation sa isang polar coordinate system, makukuha natin ang: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, i.e. function  = f() = r,
pagkatapos

18.4. Pagkalkula ng mga volume ng katawan.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan mula sa mga kilalang lugar ng mga parallel na seksyon nito.

Hayaang magkaroon ng isang katawan ng volume V. Ang lugar ng anumang cross section ng katawan, Q, ay kilala bilang isang tuluy-tuloy na function Q = Q(x). Hatiin natin ang katawan sa "mga layer" sa pamamagitan ng mga cross section na dumadaan sa mga puntos x i ng dibisyon ng segment . kasi ang function na Q(x) ay tuloy-tuloy sa ilang intermediate na segment ng partition, pagkatapos ay tumatagal ito sa maximum at minimum na mga value nito. Italaga natin sila nang naaayon M i at m i .

Kung sa mga pinakamalaki at pinakamaliit na seksyon na ito ay bumuo ng mga cylinder na may mga generator na kahanay sa x axis, kung gayon ang mga volume ng mga cylinder na ito ay magiging ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng M i x i at m i x i dito x i = x i - x i -1 .

Ang pagkakaroon ng paggawa ng gayong mga konstruksyon para sa lahat ng mga segment ng partisyon, nakakakuha kami ng mga cylinder na ang mga volume ay, ayon sa pagkakabanggit,
at
.

Dahil ang hakbang sa partition  ay nagiging zero, ang mga sum na ito ay may karaniwang limitasyon:

Kaya, ang dami ng katawan ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Ang kawalan ng formula na ito ay upang mahanap ang lakas ng tunog, kinakailangan na malaman ang function na Q(x), na napaka-problema para sa mga kumplikadong katawan.

Halimbawa: Hanapin ang volume ng isang globo ng radius R.

Sa mga cross section ng bola, nakuha ang mga bilog ng variable radius y. Depende sa kasalukuyang x coordinate, ang radius na ito ay ipinahayag ng formula
.

Pagkatapos ang cross-sectional area function ay may anyo: Q(x) = .

Nakukuha namin ang dami ng bola:

Halimbawa: Hanapin ang volume ng isang arbitrary pyramid na may taas H at base area S.

Kapag tumatawid sa pyramid na may mga eroplano na patayo sa taas, sa seksyon ay nakakakuha kami ng mga figure na katulad ng base. Ang coefficient ng pagkakatulad ng mga figure na ito ay katumbas ng ratio x / H, kung saan ang x ay ang distansya mula sa section plane hanggang sa tuktok ng pyramid.

Ito ay kilala mula sa geometry na ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na mga figure ay katumbas ng coefficient of similarity squared, i.e.

Mula dito nakuha namin ang pag-andar ng mga cross-sectional na lugar:

Paghahanap ng volume ng pyramid:

18.5. Ang dami ng katawan ng rebolusyon.

Isaalang-alang ang curve na ibinigay ng equation na y = f(x). Ipagpalagay natin na ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa segment . Kung ang curvilinear trapezoid na naaayon dito na may mga base a at b ay pinaikot sa paligid ng axis ng Ox, pagkatapos ay makuha natin ang tinatawag na katawan ng rebolusyon.

kasi bawat seksyon ng katawan sa pamamagitan ng eroplano x = const ay isang bilog ng radius , kung gayon ang dami ng katawan ng rebolusyon ay madaling mahanap gamit ang formula na nakuha sa itaas:

18.6. Lugar sa ibabaw ng katawan ng rebolusyon.

M i B

Kahulugan: Ang ibabaw na lugar ng pag-ikot Ang curve AB sa paligid ng isang partikular na axis ay tinatawag na limitasyon kung saan ang mga lugar ng ibabaw ng rebolusyon ng mga putol na linya na nakasulat sa curve AB ay may posibilidad, kapag ang pinakamalaki sa mga haba ng mga link ng mga sirang linyang ito ay may posibilidad na zero.

Hatiin natin ang arko AB sa n bahagi sa pamamagitan ng mga puntos na M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Ang mga vertex ng nagresultang polyline ay may mga coordinate x i at y i . Kapag umiikot ang sirang linya sa paligid ng axis, nakakakuha kami ng isang ibabaw na binubuo ng mga lateral surface ng mga pinutol na cone, ang lugar kung saan ay katumbas ng P i . Ang lugar na ito ay matatagpuan gamit ang formula:

Narito ang S i ay ang haba ng bawat chord.

Inilapat namin ang teorama ni Lagrange (cf. Ang teorama ni Lagrange) sa kaugnayan
.

Ipakita natin ang ilang aplikasyon ng tiyak na integral.

Pagkalkula ng lugar ng isang flat figure

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng isang curve (kung saan
), tuwid
,
at segment
mga palakol
, ay kinakalkula ng formula

.

Lugar ng isang pigura na napapaligiran ng mga kurba
at
(saan
) tuwid
at
kinakalkula ng formula

.

Kung ang curve ay ibinibigay ng mga parametric equation
, pagkatapos ay ang lugar ng curvilinear trapezoid na napapaligiran ng curve na ito, mga tuwid na linya
,
at segment
mga palakol
, ay kinakalkula ng formula

,

saan at ay tinutukoy mula sa mga equation
,
, a
sa
.

Ang lugar ng isang hubog na sektor na nalilimitahan ng isang kurba na ibinigay sa mga polar coordinate ng equation
at dalawang polar radii
,
(
), ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

.

Halimbawa 1.27. Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nakatali ng isang parabola
at direktang
(Larawan 1.1).

	Desisyon. Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng linya at ng parabola. Upang gawin ito, lutasin namin ang equation , . saan , . Pagkatapos ay sa pamamagitan ng formula (1.6) mayroon tayo .

Pagkalkula ng Arc Length ng isang Planar Curve

Kung ang kurba
sa segment
- makinis (iyon ay, ang derivative
ay tuloy-tuloy), pagkatapos ay ang haba ng kaukulang arko ng kurba na ito ay makikita ng formula

.

Kapag tinukoy ang isang kurba nang parametric
(
- patuloy na naiba-iba na mga function) ang haba ng arko ng curve na naaayon sa isang monotonikong pagbabago sa parameter mula sa dati , ay kinakalkula ng formula

Halimbawa 1.28. Kalkulahin ang haba ng arko ng isang kurba
,
,
.

Desisyon. Hanapin natin ang mga derivative na may paggalang sa parameter :
,
. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng formula (1.7) makuha namin

.

2. Differential calculus ng mga function ng ilang variable

Hayaan ang bawat order na pares ng mga numero
mula sa ilang lugar
tumutugma sa isang tiyak na numero
. Pagkatapos tinawag function ng dalawang variable at ,
-mga independyenteng baryabol o mga argumento ,
-domain ng kahulugan function, ngunit ang set lahat ng mga halaga ng function - saklaw nito at magpakilala
.

Sa geometriko, ang domain ng isang function ay karaniwang bahagi ng eroplano
napapaligiran ng mga linya na maaaring o hindi kabilang sa lugar na ito.

Halimbawa 2.1. Maghanap ng domain
mga function
.

Desisyon. Ang function na ito ay tinukoy sa mga puntong iyon ng eroplano , kung saan , o . Mga punto ng eroplano kung saan , bumubuo sa hangganan ng rehiyon . Ang equation ay tumutukoy sa isang parabola (Larawan 2.1; dahil ang parabola ay hindi kabilang sa lugar , ito ay ipinapakita bilang isang tuldok na linya). Dagdag pa, madaling i-verify nang direkta na ang mga punto kung saan , na matatagpuan sa itaas ng parabola. Rehiyon ay bukas at maaaring tukuyin gamit ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Kung variable bigyan ng kaunting tulong
, a iwanan itong pare-pareho, pagkatapos ay ang pag-andar
ay makakatanggap ng dagdag
tinawag pribadong increment function sa pamamagitan ng variable :

Katulad nito, kung ang variable nakakakuha ng increment
, a nananatiling pare-pareho, pagkatapos ay ang pag-andar
ay makakatanggap ng dagdag
tinawag pribadong increment function sa pamamagitan ng variable :

Kung mayroong mga limitasyon:

,

,

sila ay tinatawag mga partial derivatives ng isang function
sa pamamagitan ng mga variable at ayon sa pagkakabanggit.

Puna 2.1. Ang mga partial derivatives ng mga function ng anumang bilang ng mga independiyenteng variable ay parehong tinukoy.

Puna 2.2. Dahil ang partial derivative na may kinalaman sa anumang variable ay isang derivative na may kinalaman sa variable na ito, sa kondisyon na ang iba pang mga variable ay pare-pareho, kung gayon ang lahat ng mga patakaran para sa pagkakaiba-iba ng mga function ng isang variable ay naaangkop sa paghahanap ng mga partial derivatives ng mga function ng anumang bilang ng mga variable.

Halimbawa 2.2.
.

Desisyon. Nakikita namin:

,

.

Halimbawa 2.3. Maghanap ng Mga Bahagyang Derivatives ng Mga Function
.

Desisyon. Nakikita namin:

,

,

.

Buong pagdaragdag ng function
tinatawag na pagkakaiba

Pangunahing bahagi ng kabuuang pagtaas ng function
, linearly dependent sa mga increment ng independent variables
at
,ay tinatawag na kabuuang pagkakaiba ng function at ipinapahiwatig
. Kung ang isang function ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang kabuuang differential ay umiiral at katumbas ng

,

saan
,
- di-makatwirang mga pagtaas ng mga independiyenteng variable, na tinatawag na kanilang mga pagkakaiba.

Katulad nito, para sa isang function ng tatlong variable
ang kabuuang pagkakaiba ay ibinibigay ng

.

Hayaan ang function
ay nasa punto
first-order partial derivatives na may kinalaman sa lahat ng variable. Pagkatapos ay tinawag ang vector gradient mga function
sa punto
at ipinapahiwatig
o
.

Puna 2.3. Simbolo
ay tinatawag na Hamilton operator at binibigkas na "numbla".

Halimbawa 2.4. Hanapin ang gradient ng isang function sa isang punto
.

Desisyon. Maghanap tayo ng mga partial derivatives:

,
,

at kalkulahin ang kanilang mga halaga sa punto
:

,
,
.

Kaya naman,
.

derivative mga function
sa punto
sa direksyon ng vector
tinatawag na limitasyon ng ratio
sa
:

, saan
.

Kung ang function
ay naiba-iba, kung gayon ang derivative sa direksyong ito ay kinakalkula ng formula:

,

saan ,- anggulo, aling vector mga form na may mga palakol
at
ayon sa pagkakabanggit.

Sa kaso ng isang function ng tatlong variable
ang itinuro na derivative ay tinukoy nang katulad. Ang kaukulang formula ay may anyo

,

saan
- mga cosiine ng direksyon ng vector .

Halimbawa 2.5. Hanapin ang derivative ng isang function
sa punto
sa direksyon ng vector
, saan
.

Desisyon. Hanapin natin ang vector
at ang direksyon nito ay cosines:

,
,
,
.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga partial derivatives sa punto
:

,
,
;
,
,
.

Ang pagpapalit sa (2.1), nakuha namin

.

Mga partial derivatives ng pangalawang order tinatawag na partial derivatives na kinuha mula sa partial derivatives ng unang order:

,

,

,

Mga partial derivatives
,
tinawag magkakahalo . Ang mga halaga ng halo-halong mga derivative ay pantay-pantay sa mga punto kung saan ang mga derivatives ay tuloy-tuloy.

Halimbawa 2.6. Maghanap ng mga partial derivative ng pangalawang order ng isang function
.

Desisyon. Kalkulahin ang unang partial derivatives ng unang order:

,
.

Sa muling pagkakaiba sa kanila, nakukuha natin:

,
,

,
.

Kung ihahambing ang mga huling ekspresyon, nakikita natin iyon
.

Halimbawa 2.7. Patunayan na ang function
natutugunan ang Laplace equation

.

Desisyon. Nakikita namin:

,
.

,
.

.

Dot
tinawag lokal na pinakamataas na punto (pinakamababa ) mga function
, kung para sa lahat ng puntos
, maliban sa
at kabilang sa isang sapat na maliit na kapitbahayan nito, ang hindi pagkakapantay-pantay

(
).

Ang maximum o minimum ng isang function ay tinatawag nito sukdulan . Ang punto kung saan naabot ang extremum ng function ay tinatawag matinding punto ng pag-andar .

Teorama 2.1 (Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ). Kung punto
ay ang extremum point ng function
, at hindi bababa sa isa sa mga derivative na ito ay wala.

Ang mga punto kung saan natutugunan ang mga kundisyong ito ay tinatawag nakatigil o mapanganib . Ang mga matinding punto ay palaging nakatigil, ngunit ang isang nakatigil na punto ay maaaring hindi isang matinding punto. Para ang isang nakatigil na punto ay maging isang extremum point, ang sapat na extremum na mga kondisyon ay dapat matugunan.

Ipakilala muna natin ang sumusunod na notasyon :

,
,
,
.

Teorama 2.2 (Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum ). Hayaan ang function
ay dalawang beses na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto
at tuldok
ay nakatigil para sa function
. Pagkatapos:

1.Kung ang
, pagkatapos ay ang punto
ay ang extremum ng function, at
ang magiging pinakamataas na punto sa
(
)at ang pinakamababang punto sa
(
).

2.Kung ang
, pagkatapos ay sa punto

walang extremum.

3.Kung ang
, pagkatapos ay maaaring mayroong o hindi maaaring maging isang extremum.

Halimbawa 2.8. Siyasatin ang isang function para sa isang extremum
.

Desisyon. Dahil sa kasong ito, ang mga bahagyang derivatives ng unang pagkakasunud-sunod ay palaging umiiral, upang mahanap ang mga nakatigil (kritikal) na mga punto ay malulutas namin ang system:

,
,

saan
,
,
,
. Kaya, nakakuha kami ng dalawang nakatigil na puntos:
,
.

,
,
.

Para sa punto
makuha natin:, ibig sabihin, walang extremum sa puntong ito. Para sa punto
makuha namin: at
, samakatuwid

sa puntong ito, ang function na ito ay umabot sa isang lokal na minimum: .

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali mula sa itaas ng graph ng isang function y=f(x), kaliwa at kanan - tuwid x=a at x=b ayon sa pagkakabanggit, mula sa ibaba - ang axis baka, ay kinakalkula ng formula

Lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali sa kanan ng graph ng isang function x=φ(y), itaas at ibaba - tuwid y=d at y=c ayon sa pagkakabanggit, sa kaliwa - ang axis Oy:

Ang lugar ng isang curvilinear figure na nakatali mula sa itaas ng isang graph ng isang function y 2 \u003d f 2 (x), sa ibaba - graph ng function y 1 \u003d f 1 (x), kaliwa at kanan - tuwid x=a at x=b:

Ang lugar ng isang curvilinear figure na nakatali sa kaliwa at kanan ng mga function graph x 1 \u003d φ 1 (y) at x 2 \u003d φ 2 (y), itaas at ibaba - tuwid y=d at y=c ayon sa pagkakabanggit:

Isaalang-alang ang kaso kapag ang linya na naglilimita sa curvilinear trapezoid mula sa itaas ay ibinigay ng mga parametric equation x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), saan α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Tinutukoy ng mga equation na ito ang ilang function y=f(x) sa segment [ a, b]. Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay kinakalkula ng formula

Lumipat tayo sa isang bagong variable x = φ 1 (t), pagkatapos dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), kaya \begin(displaymath)

Lugar sa polar coordinate

Isaalang-alang ang isang curvilinear na sektor OAB, bounded ng linya na ibinigay ng equation ρ=ρ(φ) sa polar coordinates, dalawang beam OA at OB, para sa φ=α , φ=β .

Hinahati natin ang sektor sa mga elementarya OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn=B). Tukuyin ng Δφ k anggulo sa pagitan ng mga beam OM k-1 at OM k bumubuo ng mga anggulo na may polar axis φk-1 at φ k ayon sa pagkakabanggit. Bawat isa sa mga elementary sector OM k-1 M k palitan ng isang pabilog na sektor na may radius ρ k \u003d ρ (φ "k), saan φ" k- halaga ng anggulo φ mula sa pagitan [ φk-1 , φk], at ang gitnang anggulo Δφ k. Ang lugar ng huling sektor ay ipinahayag ng formula .

nagpapahayag ng lugar ng "step" na sektor, na humigit-kumulang pumapalit sa ibinigay na sektor OAB.

Lugar ng sektor OAB ay tinatawag na limitasyon ng lugar ng "hakbang" na sektor sa n→∞ at λ=max Δφ k → 0:

Bilang , pagkatapos

Haba ng curve arc

Hayaan sa segment [ a, b] ibinigay ang isang naiba-iba na function y=f(x), na ang graph ay ang arko . Segment ng linya [ a,b] hatiin sa n mga bahagi na tuldok x 1, x2, …, xn-1. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga puntos M1, M2, …, Mn-1 mga arko, ikonekta ang mga ito sa isang putol na linya, na tinatawag na isang putol na linya na nakasulat sa isang arko. Ang perimeter ng putol na linyang ito ay tinutukoy ng s n, ibig sabihin

Kahulugan. Ang haba ng arko ng linya ay ang limitasyon ng perimeter ng polyline na nakasulat dito, kapag ang bilang ng mga link M k-1 M k tumataas nang walang katiyakan, at ang haba ng pinakamalaki sa mga ito ay nagiging zero:

kung saan ang λ ay ang haba ng pinakamalaking link.

Bibilangin namin ang haba ng arko mula sa ilan sa mga punto nito, halimbawa, A. Hayaan sa punto M(x,y) ang haba ng arko ay s, at sa punto M"(x+Δx,y+Δy) ang haba ng arko ay s+Δs, kung saan, i>Δs - haba ng arko. Mula sa isang tatsulok MNM" hanapin ang haba ng chord: .

Mula sa geometric na pagsasaalang-alang ito ay sumusunod na

iyon ay, ang walang katapusang maliit na arko ng linya at ang chord na nagpapa-subtend dito ay katumbas.

Ibahin natin ang formula na nagpapahayag ng haba ng chord:

Ang pagpasa sa limitasyon sa pagkakapantay-pantay na ito, makakakuha tayo ng formula para sa derivative ng function s=s(x):

kung saan natin matatagpuan

Ang formula na ito ay nagpapahayag ng kaugalian ng arko ng isang kurba ng eroplano at may simple geometriko na kahulugan: nagpapahayag ng Pythagorean theorem para sa isang infinitesimal triangle MTN (ds=MT, ).

Ang pagkakaiba ng arko ng space curve ay ibinibigay ng

Isaalang-alang ang isang arko ng isang space line na ibinigay ng mga parametric equation

saan α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) ay mga naiba-iba na function ng argumento t, pagkatapos

Pagsasama nitong pagkakapantay-pantay sa pagitan [ α, β ], nakakakuha tayo ng formula para sa pagkalkula ng haba ng arko ng linyang ito

Kung ang linya ay nasa isang eroplano Oxy, pagkatapos z=0 para sa lahat t∈[α, β], Kaya naman

Sa kaso kapag ang flat line ay ibinigay ng equation y=f(x) (a≤x≤b), saan f(x) ay isang naiba-iba na function, ang huling pormula ay nasa anyo

Hayaang ang flat line ay ibigay ng equation ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) sa mga polar coordinate. Sa kasong ito, mayroon kaming mga parametric equation ng linya x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) kasalanan φ, kung saan ang anggulo ng polar ay kinuha bilang isang parameter φ . Sa abot ng

pagkatapos ay ang formula na nagpapahayag ng haba ng arko ng linya ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) sa polar coordinates ay may anyo

dami ng katawan

Hanapin natin ang volume ng isang katawan kung ang lugar ng anumang cross section ng katawan na ito na patayo sa isang tiyak na direksyon ay kilala.

Hatiin natin ang katawan na ito sa elementarya na mga layer sa pamamagitan ng mga eroplanong patayo sa axis baka at tinukoy ng mga equation x=const. Para sa anumang naayos x∈ kilalang lugar S=S(x) cross section ng katawan na ito.

Elementary layer na pinutol ng mga eroplano x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), pinapalitan namin ito ng isang silindro na may taas ∆x k =x k -x k-1 at base area S(ξk), ξ k ∈.

Ang dami ng tinukoy na elementarya na silindro ay ipinahayag ng formula Δvk =E(ξk)Δxk. Isa-isahin natin ang lahat ng naturang produkto

na siyang integral sum para sa ibinigay na function S=S(x) sa segment [ a, b]. Ito ay nagpapahayag ng dami ng isang stepped body, na binubuo ng mga elementary cylinder at humigit-kumulang na pinapalitan ang ibinigay na katawan.

Ang volume ng isang ibinigay na katawan ay ang limitasyon ng volume ng tinukoy na stepped body sa λ→0 , saan λ - ang haba ng pinakamalaki sa elementarya na mga segment ∆x k. Tukuyin ng V ang dami ng ibinigay na katawan, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

Sa kabila,

Samakatuwid, ang dami ng katawan para sa ibinigay na mga cross section ay kinakalkula ng formula

Kung ang katawan ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis baka curvilinear trapezoid bounded mula sa itaas ng isang arko ng isang tuloy-tuloy na linya y=f(x), saan a≤x≤b, pagkatapos S(x)=πf 2 (x) at ang huling formula ay nagiging:

Magkomento. Ang dami ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid na nakatali sa kanan ng isang function graph x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), sa paligid ng axis Oy kinakalkula ng formula

Ang ibabaw na lugar ng pag-ikot

Isaalang-alang ang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng arko ng linya y=f(x) (a≤x≤b) sa paligid ng axis baka(ipagpalagay na ang function y=f(x) ay may tuluy-tuloy na derivative). Inaayos namin ang halaga x∈, ang argument ng function ay dagdagan dx, na tumutugma sa "elementarya na singsing" na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng elementarya arc Δl. Ang "singsing" na ito ay pinalitan ng isang cylindrical na singsing - ang lateral surface ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may base na katumbas ng kaugalian ng arko dl, at taas h=f(x). Ang pagputol ng huling singsing at paglalahad nito, nakakakuha kami ng isang strip na may lapad dl at haba 2πy, saan y=f(x).

Samakatuwid, ang surface area differential ay ipinahayag ng formula

Ang formula na ito ay nagpapahayag ng surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng arc ng isang linya y=f(x) (a≤x≤b) sa paligid ng axis baka.