Farafonova Natalia Igorevna
Paksa: Hindi kumpletong quadratic equation.
Layunin ng Aralin:- Ipakilala ang konsepto ng isang hindi kumpletong quadratic equation;
Alamin kung paano lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation.
Layunin ng aralin:- Matukoy ang anyo ng isang quadratic equation;
Lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation.
Webbook: Algebra: Proc. para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov at iba pa - M .: Edukasyon, 2010.
Sa panahon ng mga klase.
1. Paalalahanan ang mga mag-aaral na bago lutasin ang anumang quadratic equation, kailangan itong dalhin sa isang karaniwang anyo. Tandaan ang kahulugan buong quadratic equation:ax2+bx +c = 0,isang ≠ 0.
Sa mga quadratic equation na ito, pangalanan ang mga coefficient a, b, c:
a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 \u003d 0; d) 5x 2 + 3x = 0.
2. Magbigay ng kahulugan ng hindi kumpletong quadratic equation:
Ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag hindi kumpleto, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient, b o c, ay katumbas ng 0. Bigyang-pansin na ang coefficient a ≠ 0. Mula sa mga equation na ipinakita sa itaas, pumili ng hindi kumpletong quadratic equation.
3. Ito ay mas maginhawa upang ipakita ang mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation na may mga halimbawa ng mga solusyon sa anyo ng isang talahanayan:
- Nang walang paglutas, tukuyin ang bilang ng mga ugat para sa bawat hindi kumpletong quadratic equation:
a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x \u003d 0; d) 0.6x2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.
- Lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation (solusyon ng mga equation, na may tsek sa pisara, 2 pagpipilian):
c) 2x 2 + 15 = 0
d) 3x 2 + 2x = 0
e) 2x 2 - 16 = 0
f) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
g) (x + 1) 2 - 4 = 0
c) 2x 2 + 7 = 0
d) x 2 + 9x = 0
e) 81x 2 - 64 = 0
f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
g) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Malayang gawain sa mga opsyon:
1 opsyon
a) 3x 2 - 12 = 0
b) 2x 2 + 6x = 0
e) 7x 2 - 14 = 0
Opsyon 2
b) 6x 2 + 24 = 0
c) 9y 2 - 4 = 0
d) -y 2 + 5 = 0
e) 1 - 4y 2 = 0
f) 8y 2 + y = 0
3 opsyon
a) 6y - y 2 = 0
b) 0.1y 2 - 0.5y = 0
c) (x + 1) (x -2) = 0
d) x(x + 0.5) = 0
e) x 2 - 2x = 0
f) x 2 - 16 = 0
4 na opsyon
a) 9x 2 - 1 = 0
b) 3x - 2x 2 = 0
d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
e) 3x 2 + 7 = 12x + 7
5 opsyon
a) 2x 2 - 18 = 0
b) 3x 2 - 12x = 0
d) x 2 + 16 = 0
e) 6x 2 - 18 = 0
f) x 2 - 5x = 0
6 na opsyon
b) 4x 2 + 36 = 0
c) 25y 2 - 1 = 0
d) -y 2 + 2 = 0
e) 9 - 16y 2 = 0
f) 7y 2 + y = 0
7 opsyon
a) 4y - y 2 = 0
b) 0.2y 2 - y = 0
c) (x + 2)(x - 1) = 0
d) (x - 0.3)x = 0
e) x 2 + 4x = 0
f) x 2 - 36 = 0
8 pagpipilian
a) 16x 2 - 1 = 0
b) 4x - 5x 2 = 0
d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
e) 5x 2 - 6 = 15x - 6
Mga sagot para sa malayang gawain:
Opsyon 1: a) 2, b) 0; -3; c) 0; d) walang mga ugat; e);
Opsyon 2 a) 0; b) mga ugat; sa); G); e); f)0;-;
3 opsyon a) 0; 6; b) 0;5; c) -1;2; d) 0; -0.5; e) 0;2; f)4
4 na opsyon a); b) 0; 1.5; c) 0;3; d) 3; e)0;4 e)5
5 opsyon a)3; b) 0;4; c) 0; d) walang mga ugat; e) f) 0; 5
6 opsyon a) 0; b) walang mga ugat; c) d) e) f) 0;-
7 opsyon a) 0; 4; b) 0;5; c) -2;1; d) 0; 0.03; e) 0;-4; f)6
8 opsyon a) b) 0; c) 0;7; d) 4; e) 0;3; e)
Buod ng aralin: Ang konsepto ng "incomplete quadratic equation" ay nabuo; ipinapakita ang mga paraan ng paglutas ng iba't ibang uri ng hindi kumpletong quadratic equation. Sa kurso ng pagsasagawa ng iba't ibang mga gawain, ang mga kasanayan sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ay ginawa.
7. Takdang aralin: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Karagdagang gawain:
Para sa anong mga halaga ng a ang equation ay isang hindi kumpletong quadratic equation? Lutasin ang equation para sa mga nakuhang halaga ng a:
a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
b) (a - 2)x 2 + ax \u003d 4 - a 2 \u003d 0
Ang mga gawain para sa isang quadratic equation ay pinag-aaralan kapwa sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Nauunawaan ang mga ito bilang mga equation ng form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kung saan x- variable, a,b,c – mga pare-pareho; a<>0 . Ang problema ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.
Ang geometric na kahulugan ng quadratic equation
Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa x-axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga pataas o ang mas mababang isa ay may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).
2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa axis na Ox. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga nito. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawang magkaparehong ugat).
3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.
Batay sa pagsusuri ng mga coefficient sa mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.
1) Kung ang coefficient a ay mas malaki kaysa sa zero, ang parabola ay nakadirekta paitaas, kung negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.
2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano, kung kukuha ito ng negatibong halaga, pagkatapos ay sa kanan.
Derivation ng isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation
Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation 
para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression
I-multiply ang magkabilang panig sa 4a 
Upang makakuha ng isang buong parisukat sa kaliwa, idagdag ang b ^ 2 sa parehong bahagi at gawin ang pagbabago
Mula dito makikita natin
Formula ng discriminant at mga ugat ng quadratic equation
Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula 
Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa itaas na formula para sa D=0. Kapag ang discriminant ay negatibo, walang mga tunay na ugat. Gayunpaman, upang pag-aralan ang mga solusyon ng quadratic equation sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula ng formula 
Ang teorama ni Vieta
Isaalang-alang ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Mula sa notation, ang Vieta theorem mismo ay madaling sumusunod: kung mayroon tayong quadratic equation ng form 
pagkatapos ay ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent p, kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formula para sa itaas ay magmumukhang Kung ang pare-parehong a sa classical na equation ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation dito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta theorem.
Iskedyul ng quadratic equation sa mga salik
Hayaang itakda ang gawain: i-decompose ang quadratic equation sa mga salik. Upang maisagawa ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga nahanap na ugat sa formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation. Ang problemang ito ay malulutas.
Mga gawain para sa isang quadratic equation
Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation
x^2-26x+120=0 .
Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan sa discriminant formula
Ang ugat ng halagang ito ay 14, madaling mahanap ito gamit ang isang calculator, o tandaan ito sa madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na madalas ay matatagpuan sa mga ganitong gawain.
Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa root formula 
at nakukuha namin 
Gawain 2. lutasin ang equation
2x2+x-3=0.
Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant 
Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation 
Gawain 3. lutasin ang equation
9x2 -12x+4=0.
Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Tukuyin ang discriminant
Nakuha namin ang kaso kapag ang mga ugat ay nag-tutugma. Nahanap namin ang mga halaga ng mga ugat sa pamamagitan ng formula 
Gawain 4. lutasin ang equation
x^2+x-6=0 .
Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang Vieta theorem. Sa pamamagitan ng kondisyon nito, nakakakuha tayo ng dalawang equation
Mula sa pangalawang kondisyon, nakuha namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon(-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay
Gawain 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak ay 77 cm 2.
Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid. Tukuyin natin ang x - ang mas malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hanapin ang discriminant ng equation
Kinakalkula namin ang mga ugat ng equation 
Kung ang x=11, pagkatapos 18x=7 , vice versa ay totoo din (kung x=7, pagkatapos ay 21-x=9).
Suliranin 6. I-factorize ang quadratic 10x 2 -11x+3=0 equation.
Solusyon: Kalkulahin ang mga ugat ng equation, para dito makikita natin ang discriminant 
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa formula ng mga ugat at kalkulahin 
Inilapat namin ang formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation sa mga tuntunin ng mga ugat 
Pagpapalawak ng mga bracket, makukuha natin ang pagkakakilanlan.
Quadratic equation na may parameter
Halimbawa 1. Para sa anong mga halaga ng parameter a , may isang ugat ba ang equation (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0?
Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3, makikita natin na wala itong solusyon. Dagdag pa, gagamitin natin ang katotohanan na sa isang zero discriminant, ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant 
pasimplehin ito at katumbas ng zero
Nakuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang Vieta theorem. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng enumeration, itinatatag namin na ang mga numero 3.4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na natin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a = 4, ang equation ay may isang ugat.
Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng parameter a , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?
Solusyon: Isaalang-alang muna ang mga isahan na puntos, sila ang magiging mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0 .
Kalkulahin ang discriminant 
at hanapin ang mga halaga ng isang kung saan ito ay positibo 
Mula sa unang kondisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at ang mga ugat ng equation 
Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 ay nakukuha natin 3>0
.
Kaya, sa labas ng pagitan (-3; 1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang tuldok a=0 na dapat na hindi kasama, dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa kondisyon ng problema 
Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang harapin ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan nang mabuti ang mga formula para sa paglutas ng mga parisukat na equation, ang mga ito ay madalas na kinakailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga problema at agham.
Unang antas
Quadratic equation. Comprehensive Guide (2019)
Sa terminong "quadratic equation" ang pangunahing salita ay "quadratic". Nangangahulugan ito na ang equation ay kinakailangang naglalaman ng variable (parehong X) sa parisukat, at sa parehong oras ay hindi dapat magkaroon ng Xs sa pangatlo (o mas mataas) na antas.
Ang solusyon ng maraming mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga quadratic equation.
Matuto tayong tukuyin na mayroon tayong quadratic equation, at hindi iba.
Halimbawa 1
Alisin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x
Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!
Halimbawa 2
I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:
Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi isang parisukat!
Halimbawa 3
I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:
Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree ... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:
Halimbawa 4
Ito ay tila, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:
Kita mo, lumiit ito - at ngayon isa na itong simpleng linear equation!
Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:
Mga halimbawa:
Mga sagot:
- parisukat;
- parisukat;
- hindi parisukat;
- hindi parisukat;
- hindi parisukat;
- parisukat;
- hindi parisukat;
- parisukat.
May kondisyong hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:
- Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, kabilang sa mga kumpletong quadratic equation, mayroong binigay ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)
- Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:
Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawalang elemento sa kanila. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared !!! Kung hindi, hindi na ito magiging isang parisukat, ngunit ibang equation.
Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang mayroong X squared, at okay. Ang ganitong dibisyon ay dahil sa mga pamamaraan ng solusyon. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.
Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation
Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!
Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may mga uri:
- , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
- , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
- , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.
1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, ipahayag natin mula sa equation na ito
Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.
At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay ay dapat mong laging malaman at tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.
Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.
Halimbawa 5:
Lutasin ang Equation
Ngayon ay nananatili itong kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo ba kung paano i-extract ang mga ugat?
Sagot:
Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong senyales!!!
Halimbawa 6:
Lutasin ang Equation
Sagot:
Halimbawa 7:
Lutasin ang Equation
Aray! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation
walang ugat!
Para sa mga naturang equation kung saan walang mga ugat, ang mga mathematician ay may isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:
Sagot:
Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:
Lutasin ang Equation
Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
kaya,
Ang equation na ito ay may dalawang ugat.
Sagot:
Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagaman lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:
Dito gagawin natin nang walang mga halimbawa.
Paglutas ng kumpletong quadratic equation
Ipinapaalala namin sa iyo na ang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan
Ang paglutas ng buong quadratic equation ay medyo mas kumplikado (medyo lang) kaysa sa ibinigay.
Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.
Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.
1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant.
Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.
Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon ang dapat bayaran sa hakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.
- Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
- Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.
Bumalik tayo sa ating mga equation at tumingin sa ilang mga halimbawa.
Halimbawa 9:
Lutasin ang Equation
Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Kaya ang equation ay may dalawang ugat.
Hakbang 3
Sagot:
Halimbawa 10:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Kaya ang equation ay may isang ugat.
Sagot:
Halimbawa 11:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.
Hakbang 2
Paghahanap ng discriminant:
Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat mula sa discriminant. Walang mga ugat ng equation.
Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.
Sagot: walang ugat
2. Solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem.
Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):
Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang teorem ng Vieta:
Ang kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.
Halimbawa 12:
Lutasin ang Equation
Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil .
Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, i.e. makuha namin ang unang equation:
At ang produkto ay:
Gawin at lutasin natin ang system:
- at. Ang kabuuan ay;
- at. Ang kabuuan ay;
- at. Ang halaga ay katumbas.
at ang solusyon ng system:
Sagot: ; .
Halimbawa 13:
Lutasin ang Equation
Sagot:
Halimbawa 14:
Lutasin ang Equation
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Sagot:
QUADRATIC EQUATIONS. GITNANG ANTAS
Ano ang isang quadratic equation?
Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - hindi kilala, - ilang mga numero, bukod pa rito.
Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, isang - libreng miyembro.
Bakit? Dahil kung, ang equation ay magiging linear kaagad, dahil mawawala.
Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa stool equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga tuntunin ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.
Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:
Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.
Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:
I. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.
II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.
Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:
Ang isang numerong naka-squad ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. Kaya:
kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;
kung mayroon tayong dalawang ugat
Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.
Mga halimbawa:
Mga solusyon:
Sagot:
Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!
Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation
walang ugat.
Upang maikling isulat na ang problema ay walang solusyon, ginagamit namin ang walang laman na icon ng set.
Sagot:
Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.
Sagot:
Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
Ang produkto ay katumbas ng zero kung ang isa man lang sa mga salik ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:
Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.
Halimbawa:
Lutasin ang equation.
Desisyon:
Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:
Sagot:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:
1. Diskriminasyon
Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.
Napansin mo ba ang ugat ng discriminant sa root formula? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.
- Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
- Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:
Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.
- Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.
Bakit may iba't ibang bilang ng mga ugat? Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:
Sa isang partikular na kaso, na isang quadratic equation, . At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa x-axis (axis). Ang parabola ay maaaring hindi tumawid sa axis, o maaari itong mag-intersect sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.
Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, at kung - pagkatapos ay pababa.
Mga halimbawa:
Mga solusyon:
Sagot:
Sagot: .
Sagot:
Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.
Sagot: .
2. Vieta's theorem
Ang paggamit ng Vieta theorem ay napakadali: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.
Mahalagang tandaan na ang teorama ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa ibinigay na mga quadratic equation ().
Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Halimbawa #1:
Lutasin ang equation.
Desisyon:
Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil . Iba pang mga coefficient: ; .
Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:
At ang produkto ay:
Piliin natin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:
- at. Ang kabuuan ay;
- at. Ang kabuuan ay;
- at. Ang halaga ay katumbas.
at ang solusyon ng system:
Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.
Sagot: ; .
Halimbawa #2:
Desisyon:
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:
at: magbigay ng kabuuan.
at: magbigay ng kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng pinaghihinalaang mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang trabaho.
Sagot:
Halimbawa #3:
Desisyon:
Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Kaya ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga module.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:
at: ang kanilang pagkakaiba ay - hindi angkop;
at: - hindi angkop;
at: - hindi angkop;
at: - angkop. Nananatili lamang na tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, kung gayon ang ugat, na mas maliit sa ganap na halaga, ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:
Sagot:
Halimbawa #4:
Lutasin ang equation.
Desisyon:
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:
Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:
Sagot:
Halimbawa #5:
Lutasin ang equation.
Desisyon:
Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:
Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, nangangahulugan ito na ang parehong mga ugat ay minus.
Pinipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng:
Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.
Sagot:
Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang mag-imbento ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang pangit na diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ng Vieta nang madalas hangga't maaari.
Ngunit ang Vieta theorem ay kailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang maging kapaki-pakinabang para sa iyo na gamitin ito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa automatism. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi mo magagamit ang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:
Mga solusyon para sa mga gawain para sa malayang gawain:
Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Ayon sa teorama ni Vieta:
Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa produkto:
Hindi angkop dahil ang dami;
: ang dami mo kailangan.
Sagot: ; .
Gawain 2.
At muli, ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat gumana, ngunit ang produkto ay pantay.
Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).
Sagot: ; .
Gawain 3.
Hmm... Nasaan na?
Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:
Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.
Oo, tumigil ka! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation. Kung hindi mo ito masabi, i-drop ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagdadala ng isang quadratic equation ay nangangahulugan na gawing katumbas ang nangungunang coefficient sa:
ayos lang. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.
Mas madaling kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).
Sagot: ; .
Gawain 4.
Ang libreng termino ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan na ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.
Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.
Sagot: ; .
Gawain 5.
Ano ang kailangang gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:
Muli: pinipili namin ang mga salik ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:
Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na sa isang minus magkakaroon ng isang mas malaking ugat.
Sagot: ; .
Hayaan akong buod:
- Ang teorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga equation na parisukat.
- Gamit ang Vieta theorem, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
- Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino, walang mga integer na ugat, at kailangan mo itong lutasin sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).
3. Buong parisukat na paraan ng pagpili
Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan bilang mga termino mula sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos ng pagbabago ng mga variable, ang equation ay maaaring katawanin bilang isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.
Halimbawa:
Halimbawa 1:
Lutasin ang equation: .
Desisyon:
Sagot:
Halimbawa 2:
Lutasin ang equation: .
Desisyon:
Sagot:
Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:
Ito ay nagpapahiwatig: .
Hindi ba ito nagpapaalala sa iyo ng anuman? Ito ang discriminant! Ganyan talaga nakuha ang discriminant formula.
QUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Quadratic equation ay isang equation ng anyo, kung saan ang hindi alam, ay ang mga coefficient ng quadratic equation, ay ang libreng termino.
Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.
Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .
Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:
- kung ang coefficient, ang equation ay may anyo: ,
- kung isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
- kung at, ang equation ay may anyo: .
1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation
1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :
1) Ipahayag ang hindi alam: ,
2) Suriin ang tanda ng expression:
- kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
- kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.
1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :
1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,
2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:
1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:
Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .
2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan
2.1. Solusyon gamit ang discriminant
1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,
2) Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: , na nagsasaad ng bilang ng mga ugat ng equation:
3) Hanapin ang mga ugat ng equation:
- kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
- kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
- kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.
2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , a.
2.3. Buong parisukat na solusyon
Ang mga quadratic equation ay ginagamit sa paglutas ng maraming problema. Ang isang makabuluhang bahagi ng mga problema na madaling malutas sa tulong ng mga equation ng unang antas ay maaari ding malutas nang purong aritmetika, bagaman kung minsan sa isang mas mahirap, mahaba at madalas na artipisyal na paraan. Ang mga problema na humahantong sa mga parisukat na equation, bilang panuntunan, ay hindi nagpapahiram sa kanilang sarili sa solusyon sa aritmetika. Marami at pinaka-iba't ibang mga katanungan ng physics, mechanics, hydromechanics, aerodynamics at marami pang iba pang aplikadong agham ang humahantong sa mga ganitong problema.
Ang mga pangunahing yugto ng pag-compile ng mga quadratic equation ayon sa mga kondisyon ng problema ay kapareho ng sa paglutas ng mga problema na humahantong sa mga equation ng unang degree. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
Gawain. 1. Dalawang makinilya ang muling nag-type ng manuskrito sa loob ng 6 na oras. 40 min. Gaano katagal ang aabutin para sa bawat typist na muling i-type ang manuskrito, nagtatrabaho nang mag-isa, kung ang una ay gumugol ng 3 oras nang higit pa sa gawaing ito kaysa sa pangalawa?
Desisyon. Hayaang gumugol ng x oras ang pangalawang typist sa muling pag-print ng manuscript. Nangangahulugan ito na ang unang typist ay gugugol ng oras sa parehong trabaho.
Aalamin natin kung anong bahagi ng buong gawain ang ginagawa ng bawat typist sa loob ng isang oras at kung anong bahagi - parehong magkasama.
Nakumpleto ng unang typist ang isang bahagi sa loob ng isang oras
Pangalawang bahagi.
Ang parehong mga makinilya ay gumaganap ng isang bahagi.
Kaya mayroon kaming:
Ayon sa kahulugan ng problema, isang positibong numero
I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng Pagkatapos ng pagpapasimple, nakakakuha tayo ng quadratic equation:
Dahil , ang equation ay may dalawang ugat. Sa pamamagitan ng formula (B) makikita natin:
Ngunit tulad ng nararapat, ang halagang iyon ay hindi wasto para sa gawaing ito.
Sagot. Ang unang typist ay gugugol ng oras sa trabaho, ang pangalawang 12 oras.
Problema 2. Ang sariling bilis ng sasakyang panghimpapawid km kada oras. Ang eroplano ay lumipad ng layo na 1 km nang dalawang beses: una sa ilalim ng hangin, pagkatapos ay laban sa hangin, at sa pangalawang paglipad ay gumugol ito ng mas maraming oras. Kalkulahin ang bilis ng hangin.
Ilarawan namin ang kurso ng solusyon sa anyo ng isang diagram.
