Pagpili ng mga gawain para sa pagtutulungan at pagiging produktibo. Mga gawain para sa direkta at baligtad na proporsyonalidad

Ang lahat ng mga problema sa seksyong ito ay opsyonal sa kahulugan na hindi kinakailangan para sa lahat ng mga mag-aaral na malutas ang mga ito. Gamitin ang mga ito hangga't ito ay magiging kawili-wili para sa iyong mga mag-aaral, hangga't maaari mong ayusin ang mga aktibidad sa pag-aaral ng mga mag-aaral na nakakatulong sa kanilang pag-unlad. Ang mga unang gawain ay mabuti para sa harapang gawain kasama ang klase. Pagkatapos magtrabaho sa kanila, natututo ang mga mag-aaral na mas mahusay na makilala sa pagitan ng direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad, nakakaranas ng mas kaunting kahirapan sa mga gawain sa isang simpleng triple na panuntunan.

278 .* Nangitlog ng 3 inahing manok sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw?

Magugulat ang mga estudyante kapag nalaman nilang mali ang "halatang" sagot na "12 itlog". Ang solusyon sa unang problema mula sa seksyong ito ay pinakamahusay na pinag-aralan nang sama-sama, marahil pagkatapos ng deliberasyon sa bahay. Ang mga gabay na tanong ay ibinibigay sa seksyong "Mga Sagot at Tip." Maikling isulat ang kalagayan ng problema:

araw ng itlog ng manok

12 12 x,

sa panahon ng diyalogo, kailangan mong malaman kung gaano karaming beses ang bilang ng mga manok ay tumaas (4 na beses); paano nagbago ang bilang ng mga itlog kung ang bilang ng mga araw ay hindi nagbago (nadagdagan ng 4 na beses); kung gaano karaming beses ang bilang ng mga araw ay tumaas (4 na beses); kung paano nagbago ang bilang ng mga itlog (nadagdagan ng 4 na beses). Bilang resulta, ang bilang ng mga itlog ay:

x = 3 4 4 = 48.

279 .* 100 tits sa 100 araw kumain ng 100 kg butil. Ilang kilo ng butil ang kakainin ng 10 tits sa loob ng 10 araw?

280 .* 3 pintor ang makakapagpinta ng 60 bintana sa loob ng 5 araw.

a) Ilang pintor ang dapat italaga upang magpinta ng mga bintana upang magpinta sila ng 64 na bintana sa loob ng 2 araw?

b) Ilang bintana ang pipintahan ng 5 pintor sa loob ng 4 na araw?

c) Ilang araw ang aabutin ng 2 pintor upang magpinta ng 48 na bintana?

281 .* a) 2 digger para sa 2 h humukay 2 m mga kanal. Ilang digger para sa 5 h humukay 5 m kanal?

b) 10 pump para sa 10 min pump out 10 t tubig. Ilang minuto magpapalabas ang 25 na bomba 25 t tubig?

282 .* Ang mga kurso sa wikang banyaga ay umuupa ng espasyo sa silid-aralan sa paaralan. Sa unang kalahati ng taon, para sa pag-upa ng 4 na silid-aralan para sa 6 na araw sa isang linggo, nakatanggap ang paaralan ng 336 R. kada buwan. Ano ang magiging buwanang upa sa ikalawang kalahati ng taon para sa 5 silid-aralan, 5 araw sa isang linggo sa ilalim ng parehong mga kondisyon?

283 .* Mula sa "Aritmetika" L.F. Magnitsky. May naka 100 R. sa mga mangangalakal sa loob ng 1 taon at nakakuha lamang ng 7 sa kanila R. At nang magbigay siya ng 1000 sa mga mangangalakal R. sa loob ng 5 taon, magkano ang mapapala nila?

284 .* Mula sa "General Arithmetic" ni I. Newton. Kung ang isang eskriba ay makakasulat ng 15 folio sa loob ng 8 araw, gaano karaming mga eskriba ang kakailanganin upang magsulat ng 405 folio sa loob ng 9 na araw?

285 .* lumang problema. Ang isang tagakopya ay maaaring kumopya ng 40 mga sheet sa loob ng 4 na araw, nagtatrabaho sa 9 h sa isang araw. Sa ilang araw kokopyahin niya ang 60 sheet, gumagana 12 h sa isang araw?

286 .* Tinanong ang babaing punong-abala:

Maganda ba ang mga manok mo?

Isipin mo ang iyong sarili, - ang sagot, - isa't kalahating inahin ang nangingitlog ng isa't kalahating itlog sa isang araw at kalahati, at sa kabuuan ay mayroon akong 12 inahing manok.

Ilang itlog ang inilalagay ng manok bawat araw?

287 .* a) Mayroong 4 na tao sa unang pangkat ng mga digger - sila ay para sa 4 h hinukay 4 m mga kanal. Mayroong 5 tao sa pangalawang brigada ng mga digger - sila ay para sa 5 h hinukay 5 m mga kanal. Aling koponan ang pinakamahusay na gumagana?

b) Ang unang babaing punong-abala na 3 inahin ay nangitlog ng 6 na itlog sa loob ng 3 araw, at ang pangalawang babaing punong-abala 4 na inahin ay nangitlog ng 8 itlog sa loob ng 4 na araw. Aling babaing punong-abala ang may mas magandang hens?

288 .* Mga sinaunang gawain. a) Ang pagpapanatili ng 45 katao ay ginugol sa 56 na araw 2040 R. Magkano ang dapat gastusin upang suportahan ang 75 tao sa loob ng 70 araw?

b) Upang mag-print ng aklat na naglalaman ng 32 linya bawat pahina at 30 letra bawat linya, 24 na piraso ng papel ang kailangan para sa bawat kopya. Ilang mga sheet ng papel ang kinakailangan upang mai-print ang aklat na ito sa parehong format, ngunit may 36 na linya bawat pahina at 32 na titik bawat linya?

Isaalang-alang ang mas kumplikadong mga problema na may apat at kahit anim na dami. Maaari silang ibigay bilang opsyonal na takdang-aralin sa pinakamalakas na mag-aaral na gustong tumuklas ng mga problema sa palaisipan.

289 .* Mula sa "Arithmetic" ni A.P. Kiseleva.

a) 120 pounds ng kerosene ang ginamit upang sindihan ang 18 silid sa loob ng 48 araw, na may 4 na lampara na nasusunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang sinindihan at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid?

b) Para sa 5 magkatulad na kalan ng kerosene na nasunog sa loob ng 24 na araw, 6 h araw-araw, gumastos ng 120 l kerosene. Ilang araw ang sapat na 216 l kerosene, kung 9 sa parehong kerosene ang masusunog 8 h sa isang araw?

290 .* lumang gawain. Isang artel ng mga naghuhukay ng 26 katao, nagtatrabaho sa mga makina ng 12 h bawat araw, maaaring maghukay ng kanal sa 96 m haba, 20 m lapad at 12 dm lalim sa loob ng 40 araw. Gaano katagal maaaring hukayin ang isang kanal ng 39 na naghuhukay, nagtatrabaho ng 80 araw sa 10 h bawat araw kung dapat na 10 ang lapad ng channel m, lalim 18 dm?

Gawain 290 S.I. Itinuring ni Shokhor-Trotsky na hindi ito kasiya-siya para sa mga kondisyon ng pamumuhay at hindi angkop para sa pagsasanay sa paaralan, itinuring niya ito sa kanyang "Method of Arithmetic" (1935) "para sa kanyang sarili." Ilapat natin ang "panghuling formula" na pinahusay natin. Sa isang malakas na klase, ang pamamaraang ito ay maaaring ipakita sa mga mag-aaral, ngunit sa kanilang aktibong pakikilahok sa solusyon - kung hindi, ang gawain ay magiging walang kabuluhan. Nasa ibaba ang isang maikling kondisyon ng problema at isang argumento ang ibinigay, na kahanay kung saan ang isang unti-unting nadagdag na tala, na ipinapakita sa kanan, ay maaaring itago sa pisara.

Ang haba Pers. Mga araw Oras. Shir. Ch.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

Ang haba ng channel ay tataas mula sa

pagtaas ng bilang ng mga tao sa 39 / 26 beses, x = 96· 39 / 26

mula sa pagtaas ng bilang ng mga araw sa 80 / 40 beses x = 96 39 / 26 80 / 40

at mula sa pagbabawas ng lapad sa 20 / 10 beses; x = 96 39 / 26 80 / 40 .

Ang haba ng channel ay bababa mula sa

pagbaba sa bilang ng mga oras 12 / 10 beses at x = 96 39 / 26 80 / 40 20 / 10: 12 / 10

at mula sa pagtaas ng lalim sa 18 / 12 beses: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.

Sa wakas, mayroon kaming: x = 320. Nangangahulugan ito na ang 39 na naghuhukay ay maaaring maghukay ng isang channel na 320 m ang haba.

Tatlong inahin ang nangitlog ng 3 sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw?

Magugulat ang mga estudyante kapag nalaman nilang mali ang "halatang" sagot na "12 itlog". Mas mainam na pag-aralan ang solusyon ng unang problema mula sa seksyong ito nang sama-sama, marahil pagkatapos ng pag-iisip sa bahay, isulat ang kalagayan ng problema sa madaling sabi:

Mga Itlog sa Araw ng Manok

3 33
12 12 x

2. Maaaring magpinta ng 60 bintana ang tatlong pintor sa loob ng 5 araw. Ilang pintor ang dapat italagang magpinta ng mga bintana upang makapagpinta sila ng 64 na bintana sa loob ng 2 araw?

3. Ang mga kurso sa wikang banyaga ay umuupa ng lugar para sa mga klase sa paaralan. Sa unang kalahati ng taon, nakatanggap ang paaralan ng 336 rubles para sa pag-upa ng apat na silid-aralan sa loob ng 6 na araw sa isang linggo. kada buwan. Ano ang magiging buwanang upa sa ikalawang kalahati ng taon para sa 5 silid-aralan, 5 araw sa isang linggo sa ilalim ng parehong mga kondisyon?

4. (Mula sa "General Arithmetic" ni I. Newton.) Kung ang isang eskriba ay makakasulat ng 15 folio sa loob ng 8 araw, gaano karaming mga eskriba ang kakailanganin upang magsulat ng 405 folio sa loob ng 9 na araw?

5. (Isang lumang problema.) Para sa pagpapanatili ng 45 katao, 2040 rubles ang ginugol sa 56 na araw. Magkano ang dapat gastusin upang suportahan ang 75 tao sa loob ng 70 araw?

6. (Mula sa "Arithmetic" ni A. Kiselyov.) Para sa pag-iilaw ng 18 silid, 120 libra ng kerosene ang ginugol sa loob ng 48 araw, at 4 na lampara ang nasusunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang sinindihan at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid?

7. (Isang lumang problema.) Ang isang artel ng 26 digger na nagtatrabaho sa mga makina 12 oras sa isang araw ay maaaring maghukay ng isang kanal na 96 m ang haba, 20 m ang lapad at 12 dm ang lalim sa loob ng 40 araw. Gaano katagal maaaring hukayin ang isang kanal ng 39 na mga naghuhukay, na nagtatrabaho ng 80 araw sa loob ng 10 oras sa isang araw, kung ang lapad ng kanal ay 10 m, ang lalim ay 18 dm?

A. V. Elisov

Mabuting tiisin, magaling magturo,
Makamit ang mga layunin sa pamamagitan ng kahirapan
Paglingkuran ang katotohanan nang may pagmamahal -
Tinatawag ko itong karunungan.
A. V. Elisov.

Ang pagpasa ng isang pagsusulit sa matematika ng mga nagtapos ng pangunahing paaralan sa isang bagong anyo at ng mga nagtapos ng sekondaryang paaralan sa anyo ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado ay nagdulot ng maraming katanungan para sa mga guro: Paano magturo sa mga bagong kondisyon? Paano ayusin ang iyong aralin sa paraang makakuha ng kasiyahan ang mga mag-aaral pagkatapos ng pagsusulit, at huwag sabihin na "hindi namin nalutas ang mga ganitong problema"? Ang mga salita ni L.G. Peterson: "Ngayon, ang halaga ay hindi kung saan ang mundo ay nakikita ayon sa pamamaraan na "Alam ko - hindi ko alam, kaya ko - hindi ko kaya, pagmamay-ari ko - hindi ko", ngunit kung saan mayroong thesis "Naghahanap ako at nakahanap, iniisip ko at natututo ako, nagsasanay ako at ginagawa ko". Ang personalidad ng mag-aaral, ang kanyang saloobin sa mundo, ang kakayahan para sa komunikasyon at pagmuni-muni ng kultura, sapat na pagpapahalaga sa sarili at pag-unlad sa sarili, nakatuon sa paglikha at kabutihan ay nauuna.

Ano ang dapat na modernong aralin? Una sa lahat, ito ay isang kawili-wiling aralin. Ito ang tanging paraan upang mapanatili ang mataas na motibasyon at emosyonal na kulay ng aralin. Ito ay isang maalalahanin na istraktura ng aralin, at ang lohika ng pag-aaral ng bagong materyal, at ang iba't ibang didactic na materyal, at ang organisasyon ng gawain ng mga mag-aaral, at ang patuloy na paghahanap para sa mga anyo at pamamaraan ng pagtuturo, at ang mga teknikal na kagamitan ng aralin.

Saan magsisimula? Sa simula ng bawat akademikong taon sa mga baitang 5-9 nagsasagawa ako ng mga pagsusulit sa pagsubaybay sa pasukan upang matukoy ang natitirang kaalaman ng mga mag-aaral. Ayon sa natitirang kaalaman, inuupuan ko ang mga bata alinsunod sa tatlong antas ng pagsasanay sa ilang mga hilera. Kasabay nito, alam ng mga mag-aaral na sa kanilang pagkabisado sa materyal, maaari silang lumipat sa susunod na grupo sa mga tuntunin ng kanilang antas ng paghahanda.

Upang makamit ang magagandang resulta sa bawat aralin, nagsasagawa ako ng isang ipinag-uutos na pagkalkula sa bibig, nagtuturo ng independiyenteng gawain, mga pagsubok. Sa ika-6 na baitang, dapat na master ng mga mag-aaral ang paksa ng positibo at negatibong mga numero, sa ika-7 baitang dapat nilang pag-aralan nang mabuti ang mga formula ng pinaikling multiplication, sa ika-8 baitang dapat nilang lutasin ang mga quadratic equation. Ito ay mga pandaigdigang tema na hindi maaaring patakbuhin. Sa mga baitang 5-7 gumagamit ako ng mga workbook na may mga gawain sa pagsubok, pati na rin mga koleksyon ng mga gawain na may mga pagsusulit. Ang kakilala ng mga mag-aaral na may mga algorithm para sa paglutas ng mga problema ay isinasagawa sa aralin - mga lektura. Ang mga lalaki ay may isang hiwalay na kuwaderno kung saan nagsusulat sila ng mga tagubilin at isang sample ng gawain. Ang karagdagang pag-unlad ay isinasagawa sa mga praktikal na klase na may iba't ibang anyo ng trabaho (frontal, grupo, indibidwal). Upang mabilis na makontrol ang asimilasyon ng algorithm, napakadalas (bawat aralin o bawat aralin) nagsasagawa ako ng maliit na independiyenteng gawain, ang layunin nito ay hindi upang magbigay ng mga marka, ngunit upang makilala ang mga mag-aaral na hindi naiintindihan ang isang bagay. Ang mga taong ito ay binibigyan ng agarang tulong ng mga consultant o ipinaliwanag ko muli, tumatawag sa board. Kapag nag-oorganisa ng trabaho sa mga grupo, ang ilang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga gawain na naglalayong makamit ang mga mandatoryong resulta ng pag-aaral, at ang ilan ay may sample na gawain sa harap nila, habang ang iba ay may algorithm lamang, ang mas malakas na mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga gawain sa isang advanced na antas. Sa ganoong aralin, ang aking trabaho ay nakatuon sa mas mahihinang mga mag-aaral, sa isang malakas na grupo, bilang panuntunan, palagi silang nakakahanap ng tamang solusyon sa pamamagitan ng kolektibong pagsisikap, na nakapag-iisa na nag-aaplay ng kaalaman at pamamaraan ng aktibidad sa isang bagong sitwasyon. Kapag sinusuri ang mga mag-aaral, hindi ako nagmamadaling maglagay ng mga marka sa journal, palagi akong nagbibigay ng pagkakataon na makakuha ng mas mataas na marka at siguraduhing iwasto ang "deuce", para dito dapat gawin ng mag-aaral ang mga pagkakamali sa kanyang pagmamay-ari o sa tulong ng mga consultant (sa tulong ko), at pagkatapos ay lutasin ang isang katulad na gawain sa aralin .

Ang pangunahing bagay ay sa paglipas ng panahon, ang mga lalaki ay huminto sa pagkatakot sa "dalawa", nagtatanong sila nang mas matapang, nakayanan ang mga gawain ng mandatory na antas. Ang kapaligiran sa aralin ay palakaibigan, kalmado.

Ang mga algorithm ng pagtuturo ay ginagawang posible upang makamit ang isang ipinag-uutos na antas ng pag-aaral para sa pinakamahina na mga mag-aaral at hindi maaaring humantong sa standardisasyon ng pag-iisip at pagsugpo sa mga malikhaing kapangyarihan ng mga bata, dahil ang pagbuo ng iba't ibang mga awtomatikong aksyon (kasanayan) ay isang kinakailangang bahagi ng proseso ng malikhaing , kung wala ito ay imposible lamang.

Ang pag-aaral ng mga algorithm ay hindi limitado sa pagsasaulo ng mga ito, ito ay nagsasangkot din ng independiyenteng pagtuklas, pagbuo at pagbuo ng mga algorithm, at ito ang malikhaing proseso. Sa wakas, hindi saklaw ng algorithmization ang buong proseso ng edukasyon, ngunit ang mga bahagi lamang nito kung saan ito naaangkop. Ang sistema ng mga algorithm - ang mga programa ay nagbibigay-daan sa isang tiyak na lawak na i-automate ang proseso ng edukasyon sa yugto ng pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga tipikal na problema at lumilikha ng sapat na mga pagkakataon para sa aktibong independiyenteng gawain ng mga mag-aaral.

Sa pagtatapos ng ika-7 baitang at sa ika-8 baitang, ipinakilala ko ang mga mag-aaral sa koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa pangwakas na sertipikasyon ng estado sa ika-9 na baitang ni L. V. Kuznetsova, ang Prosveshchenie publishing house 2007-2009. Ang koleksyon na ito ay inilaan upang maghanda para sa panghuling sertipikasyon ng estado sa algebra sa isang bagong anyo, na binubuo ng tatlong pangunahing seksyon at dalawang apendise.

Sa ika-9 na baitang, binuo ko ang aking sistema ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa pagsusulit para sa kurso ng pangunahing paaralan.

Sa temang kalendaryong pagpaplano ng mga aralin sa algebra para sa ika-9 na baitang, ipinakilala ko ang mga paksang kailangang ulitin.

Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon;

Mga problema sa pagguhit at paglutas ng mga proporsyon;

Mga gawain sa interes;

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami;

Mga ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago

Mga equation at sistema ng mga equation;

Mga hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay;

Arithmetic at geometric progressions.
Nagsasagawa ako ng pag-uulit sa klase at pagkatapos ng klase sa pamamagitan ng mga sistematikong konsultasyon. Sa aralin, na lumikha ng isang microclimate sa silid-aralan, ginagawa ko ang algorithmization ng mga aksyon; pagpapanatili ng interes ng mga mag-aaral sa paksa, bumubuo ako ng motibasyon para sa pag-aaral. Natututo nang mabuti ang mga mag-aaral ng kinakailangang minimum na materyal sa matematika kung gumagamit sila ng mga pamamaraang pamamaraan:

Paglutas ng mga problema ayon sa modelo;

Pagsasaalang-alang ng iba't ibang mga diskarte sa paglutas ng parehong problema;

Pagsasama-sama ng mga diagram ng sanggunian at ang paggamit ng iba pang mga visual na pantulong sa pagtuturo;

Tamang pagpili ng mga paksa at antas ng mga gawain, na nagbibigay sa kanila ng isang nakakaaliw na anyo;

Ang paggamit ng kompetisyon na udyok ng mga sumusunod na tanong ng guro: "Paano mas mabilis na malutas?", Sino ang may pinakamaikling solusyon?". , Pinakamadali?".

Nagsasagawa ako ng pampakay na kontrol gamit ang pagsubok, na sumusunod sa mga patakaran para sa pag-aayos ng trabaho na may mga pagsubok:

Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga tala sa mga answer card;

Ang guro ay nagbibigay ng mga tagubilin kung paano sagutan ng tama ang card;

Ang mga oras ng pagkumpleto at mga pamantayan sa pagtatasa ay dapat na ipaliwanag nang maaga sa mag-aaral.
Sa mga aralin gumagamit ako ng mga card-consultant, sa tulong kung saan inuulit nila ang pinag-aralan na materyal. Naglalaman ang mga ito ng lahat ng mga kondisyong sandali ng paksang pinag-aaralan, pati na rin ang algorithm para sa paglutas ng mga gawain.
CARD-CONSULTANT SA PAKSA

"SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS"
Sistema ng mga linear na equation:
:

Mga paraan upang malutas ito

Grapikong paraan

Pamamaraan ng pagpapalit

Paraan ng pagdaragdag

1. Sa bawat equation, ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x

2. I-plot ang function ng bawat equation

3. Tukuyin ang mga coordinate ng intersection point

1. Mula sa anumang equation

ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa.

2. Palitan ang mga nakuhang expression at lutasin ito.

3. Palitan ang nahanap na halaga ng variable at kalkulahin ang halaga ng pangalawang variable.

1. I-equalize ang mga module ng coefficients ng anumang variable.

2. Idagdag (bawas) ang natanggap na mga equation ng system.

3. Bumuo ng isang bagong sistema: ang isang equation ay bago: ang isa ay isa sa mga luma.

4. Lutasin ang isang bagong equation at hanapin ang halaga ng isang variable.

5. Palitan ang halaga ng natagpuang variable sa lumang equation at hanapin ang halaga ng isa pang variable.

Sagot: x \u003d _______; y =_______

Sa pagtatrabaho sa mga bata na mababa ang tagumpay, gumagamit ako ng isang buong arsenal ng mga card, Magtrabaho ayon sa modelo!" , na nagbibigay-daan sa iyo na gawin ang algorithm ng iba't ibang mga aksyon at mga pagpapatakbo sa matematika.
Mga halimbawang takdang-aralin.

1 pagpapahayag	2 pagpapahayag	Ang produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito sa pamamagitan ng kanilang kabuuan	Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression na ito
kasama 3y 0.5 x aw	kasama 5v 2y 2s	(c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v)	C 2 - x 2 9u 2 - 25v 2

Ang produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan ng dalawang expression.

Dapat kumpletuhin ng mga mag-aaral ang mga takdang-aralin na may mga puwang. Ang mga pangunahing salita ay tinanggal, ang tamang pagsasaulo nito ay nagpapahiwatig ng pag-unawa sa materyal.
Ipasa ang mga gawain.
parisukat na ugat.

Gumamit ng mga pampakay na talahanayan para sa iba't ibang seksyon ng kurso sa paaralan. Ang bawat talahanayan ay maikling binabalangkas ang teorya ng isang partikular na isyu (mga kahulugan, theorems, corollaries, formula); mga guhit, mga graph, pati na rin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakapangunahing problema ay ibinigay.

Ang mga talahanayan ay tumutulong sa sistematikong kaalaman, mabilis at ganap na ulitin ang mga pangunahing punto ng isang partikular na paksa.

mesa. parisukat na ugat.

Kahulugan ng arithmetic root

= 4, dahil 4  0, 4 2 = 16;

 7, dahil 7 2  25;

 −5, dahil −5  0;

hindi determinado.

2
 3;

0.8
 0.9.

Mga pagkakakilanlan

Mga pangunahing katangian

Mga paghahambing na nauugnay sa square roots

Kung a  b  0, kung gayon

.

Kung a  1, pagkatapos ay a  at  1.

Kung 0  a  1, pagkatapos ay a  at 0   1.

Pag-alis mula sa ilalim ng ugat

, b  0

Panimula sa ilalim ng ugat

;

Nagsasagawa ako ng mga aralin ng generalization at systematization ng kaalaman. Kung walang mga aralin ng generalization at systematization ng kaalaman, na tinatawag ding mga aralin ng generalizing repetition, ang proseso ng pag-uulit ng mga mag-aaral ng materyal na pang-edukasyon ay hindi maituturing na kumpleto. Ang pangunahing layunin ng mga araling ito ay i-assimilate ng mga mag-aaral ang mga koneksyon at relasyon sa pagitan ng mga konsepto, teorya, sa pagbuo ng isang holistic na pananaw ng mga mag-aaral tungkol sa materyal na pinag-aralan, ang kahalagahan at aplikasyon nito sa mga tiyak na kondisyon. Ang pagbubuod at pag-uulit ay nakatuon sa pagtiyak na ang mga mag-aaral ay magtagumpay sa mga pagsusulit sa matematika. Magbibigay ako ng isang halimbawa ng isang pangkalahatang pag-uulit sa paksa: "Paglutas ng mga problema sa teksto."

Mga Tanong:

Mga simpleng problema sa proporsyon.
Mga problema sa mahirap na ratio.
Pagsubok bilang 1.
Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.
Paghahanap ng porsyento.
Pagsubok bilang 2.
Mga kumplikadong problema sa porsyento. Mag-ehersisyo.
Mga gawain para sa paglipat sa tabi ng ilog.
Mga gawain sa paggalaw.
Numero ng pagsubok 3.
Numero ng pagsubok 4.
Mga problema para sa pagpaparami at paghahati ng mga natural na numero.
Bahagi ng mga gawain.
Mga gawain sa pagtutulungan.
Paglutas ng problema gamit ang mga equation.
Pagsubok bilang 5.
Iba't ibang gawain. Mga tanong at gawain.

Mga ginamit na mapagkukunan :

Algebra: Sab. mga takdang-aralin upang maghanda para sa huling sertipikasyon sa baitang 9 / [L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich at iba pa]. M.: Edukasyon, 2007.
Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan Mathematics 2005, Blg. 18,19, 20, 21, 22, 23; 2007 Blg. 18, 19; 2008 No. 11, 12.
Mga programa ng mga institusyong pang-edukasyon. Algebra 7-9. Moscow. Edukasyon. 2008 Compiled by: Burmistrova T. A.

Mga Simpleng Problema sa Proporsyon

Ang mga unang gawain ay nagsasangkot ng pagkuha ng isang sagot batay sa mga karanasang ideya ng mga mag-aaral, ang mga ito ay naglalayong ulitin ang mga konsepto ng direkta at baligtad na proporsyonalidad.

Kapag nilulutas ang mga unang problema, kapaki-pakinabang na bigyang-diin na ang presyo ng pagbili ay tinutukoy ng formula

gastos = dami ng presyo,

at subaybayan kung paano, sa isang pagtaas (pagbaba) sa isang halaga ng ilang beses, ang pangalawang halaga ay nagbabago nang hindi nagbabago ang pangatlo.
1°. Para sa ilang magkaparehong mga lapis ay binayaran ng 8 rubles. Magkano ang dapat mong bayaran para sa parehong mga lapis kung binili ang mga ito ng 2 beses na mas mababa?
2°. Para sa ilang magkaparehong mga lapis ay binayaran ng 8 rubles. Magkano ang dapat mong bayaran para sa parehong bilang ng mga lapis, na ang bawat isa ay 2 beses na mas mahal?
3°. May pera pambili ng 30 lapis. Ilang notebook ang mabibili sa parehong pera kung ang notebook ay 2 beses na mas mura kaysa sa lapis?

Isang siklista ang naglakbay ng 36 km sa loob ng ilang oras. Ano ang distansya na nilakbay ng isang pedestrian na ang bilis ay 3 beses na mas mababa kaysa sa bilis ng isang siklista?

Isang siklista ang naglakbay sa isang tiyak na distansya sa loob ng 3 oras. Ilang oras ang isang nagmomotorsiklo na naglalakbay sa distansyang ito, na ang bilis ay 5 beses kaysa sa isang siklista?

Magpatuloy tayo sa paglutas ng mga problema gamit ang mga proporsyon. Ang una sa mga ito ay naglalaman ng mga halaga ng integer ng mga dami, ang ratio kung saan ay isang integer din.
6. Sa loob ng 6 na oras ay bumiyahe ang tren ng 480 km. Anong distansya ang nilakbay ng tren sa unang 2 oras kung pare-pareho ang bilis nito?

7. Upang gumawa ng cherry jam para sa 6 kg ng mga berry, kumuha ng 4 kg ng butil na asukal. Ilang kilo ng granulated sugar ang dapat inumin para sa 12 kg ng berries?

Ang 100 g ng solusyon ay naglalaman ng 4 g ng asin. Ilang gramo ng asin ang nasa 300 g ng solusyon?

9. Isang pampasaherong tren ang naglakbay sa distansya sa pagitan ng dalawang lungsod sa bilis na 80 km/h sa loob ng 3 oras. Ilang oras ang aabutin para sa isang tren ng kargamento upang maabot ang parehong distansya sa bilis na 40 km/h?
10. Limang pintor ang maaaring magpinta ng bakod sa loob ng 8 araw. Ilang araw ang aabutin ng 10 pintor upang ipinta ang parehong bakod?
Sa problema 10, tulad ng sa maraming iba pang mga problema, ipinapalagay na ang lahat ng mga manggagawa ay nagtatrabaho nang may parehong produktibidad at hindi nakikialam sa isa't isa. Ito ay kanais-nais na itakda ito sa bawat oras upang ang mga mag-aaral ay mas maasikaso sa mga ganitong kondisyon.

Baka makuha nila ang impresyon na mayroon lamang dalawang uri ng pagkagumon - direkta o baligtad na proporsyonal - ito ay kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang mga nakakapukaw na gawain kung saan ang pagtitiwala ay may ibang kalikasan.
11. 1) 12 crucian ang nahuli sa loob ng 2 oras. Ilang carp ang mahuhuli sa loob ng 3 oras?

Tatlong tandang ang gumising ng 6 na tao. Ilang tao ang gigisingin ng limang tandang?
Kapag nabasa na ni Vasya ang 10 pahina ng libro, mayroon pa siyang 90 na pahina na dapat basahin. Ilang pahina pa ba ang natitira niyang basahin kapag nakabasa na siya ng 30 pages?

Ang kaugnayan sa pagitan ng bilang ng mga pahinang nabasa sa isang aklat at ang bilang ng mga pahinang natitira ay kadalasang itinuturing bilang isang kabaligtaran na relasyon: mas maraming pahina ang nabasa, mas kaunti ang natitira upang basahin. Bigyang-pansin ang mga bata na ang pagtaas ng isa at ang pagbaba sa iba pang halaga ay hindi nangyayari sa parehong bilang ng beses.

Isaalang-alang ang isang problema kung saan ang pagtitiwala sa pagitan ng mga dami ay madalas na isinasaalang-alang bilang isang direktang proporsyonalidad at ang sagot na "sa 4 na linggo" ay itinuturing na tama.
12*. Ang lawa ay tinutubuan ng mga liryo, at sa isang linggo ang lugar na natatakpan ng mga liryo ay doble. Ilang linggo ang kalahati ng lawa ay natatakpan ng mga liryo kung ito ay ganap na natatakpan ng mga liryo sa loob ng 8 linggo?
Dahil ang lugar na natatakpan ng mga liryo ay doble sa isang linggo, isang linggo bago ang lawa ay ganap na natatakpan ng mga liryo, ang lugar nito ay natatakpan ng mga ito ng kalahati. Iyon ay, ang pond ay kalahating natatakpan ng mga liryo sa loob ng 7 linggo?

Ang 8 m ng tela ay katumbas ng 63 m ng chintz. Ilang metro ng chintz ang mabibili sa halip na 12 metrong tela?

(Isang lumang problema.) Sa isang mainit na araw, 6 na tagagapas ang uminom ng isang bariles ng kvass sa loob ng 8 oras. Kailangan nating malaman kung gaano karaming mga mower ang iinom ng parehong bariles ng kvass sa loob ng 3 oras?

(Mula sa "Arithmetic" ni Al. Kiselyov?) Ang 8 arshin ng tela ay nagkakahalaga ng 30 rubles. Magkano ang 15 arshin ng telang ito?

Isang trak sa bilis na 60 km/h ang bumiyahe ng distansya sa pagitan ng mga lungsod sa loob ng 8 oras. Ilang oras ang bibiyahe ng isang kotse sa parehong distansya sa bilis na 80 km/h?

Napansin ng motorista na sa bilis na 60 km / h ay pinalayas niya ang tulay sa ibabaw ng ilog sa loob ng 40 segundo. Sa pagbabalik, tumawid siya sa tulay sa loob ng 30 segundo. Tukuyin ang bilis ng sasakyan sa pagbabalik.
Dalawang gears ay meshed na may ngipin. Ang una, na may 60 ngipin, ay gumagawa ng 50 revolutions kada minuto. Ilang rebolusyon kada minuto ang ginagawa ng pangalawa, na may 40 ngipin?

Ang mga problemang isinasaalang-alang sa itaas ay sapat na para matutunan ng mga mag-aaral na makilala ang direkta at baligtad na proporsyonalidad, gumawa ng mga proporsyon] at lutasin ang mga ito.

(Mula sa "Arithmetic" ni A.P. Kiselev.) 8 manggagawa ang nakatapos ng ilang trabaho sa loob ng 18 araw; ilang araw matatapos ng 9 na tao ang parehong gawain, na matagumpay na gagana gaya ng una?

20*. (Isang lumang problema.) Dapat tapusin ng sampung manggagawa ang trabaho sa loob ng 8 araw. Nang sila ay nagtrabaho ng 2 araw, ito ay naging kinakailangan upang tapusin ang trabaho pagkatapos ng 3 araw. Ilang manggagawa pa ang kailangan mong kunin?

(Mula sa "Arithmetic" ni L.F. Magnitsky.) Isang maginoo ang tumawag ng karpintero at nag-utos na itayo ang bakuran. Binigyan niya siya ng 20 manggagawa at tinanong kung ilang araw nila gagawin ang kanyang bakuran. Sumagot ang karpintero: sa loob ng 30 araw. At ang panginoon ay kailangang magtayo sa loob ng 5 araw, para sa kapakanan kung saan tinanong niya ang karpintero: gaano karaming mga tao ang kailangan mong magkaroon, upang makagawa ka ng isang bakuran kasama nila sa loob ng 5 araw; at ako ay isang karpintero, nalilito, nagtatanong sa iyo, isang aritmetika: ilang tao ang kailangan niya upang maitayo ang bakuran na iyon sa loob ng 5 araw?

22*. (Isang lumang problema.) Kumuha sila ng 560 sundalo para pakainin sa loob ng 7 buwan, at inutusan silang maglingkod sa loob ng 10 buwan; at gusto nilang ilayo ang mga tao sa kanilang sarili para magkaroon ng sapat na pagkain sa loob ng 10 buwan. Ang tanong, ilang tao ang dapat bawasan.

(Isang lumang problema.) Ang isang gang ng mga karpintero, na binubuo ng 28 katao, ay maaaring magtayo ng bahay sa loob ng 54 araw, at isa pa - ng 30 katao - sa loob ng 45 araw. Aling artel ang pinakamahusay na gumagana?

Ang pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa mga problema na nalutas sa tulong ng mga proporsyon, kinakailangan na magbigay ng isang halimbawa ng isang problema na hindi malulutas "sa lumang paraan"

24. Ang isang pampasaherong tren ay bumibiyahe sa isang tiyak na distansya sa loob ng 3 oras, at isang mabilis na tren sa loob ng 2 oras. Kapag ang mga tren na ito ay umalis sa dalawang lungsod patungo sa isa't isa nang sabay-sabay. Naglakbay ang pampasaherong tren ng 120 km bago makipagkita sa ambulansya. Ilang kilometro ang nilakbay ng mabilis na tren bago nakasalubong ang pampasaherong tren?

Dito hindi mo maaaring hatiin ang 120 km sa 3 oras, dahil ang ibang distansya ay natakpan sa loob ng 3 oras. Isulat natin sa madaling sabi ang kalagayan ng problema.

Distansya ng Oras

Ipahayag ang 2h x km

Pasahero SP 120 km

Sa unang pagkakataon, ang mga tren ay naglakbay sa parehong landas, habang ang bilis ay inversely proportional sa oras, iyon ay, ang bilis ng mabilis na tren ay dalawang beses sa bilis ng pampasaherong tren.

At sa pangalawang pagkakataon, ang oras ng paggalaw ay pare-pareho, habang ang distansya ay direktang proporsyonal sa bilis, iyon ay, ang distansya na nilakbay ng mabilis na tren ay dalawang beses sa distansya na nilakbay ng pampasaherong tren.

Gumawa tayo ng isang proporsyon
, solving which we get x = 180. Ang mabilis na tren ay naglakbay ng 180 km bago makipagkita sa pampasaherong tren.

Mahirap na gawain sa proporsyon

Ang desisyon ng unamaikling kondisyon ng gawain:

Mga Itlog sa Araw ng Manok

3 33
12 12 x

5. (Isang lumang problema.)

7. (Isang lumang problema.)
Pagsubok 1

Pagpipilian 1

Ang dalawang aklatan ay may parehong bilang ng mga aklat. Pagkalipas ng isang taon, ang bilang ng mga libro sa unang aklatan ay tumaas ng 50%, at sa pangalawa - 2 beses. Aling library ang may mas maraming libro?

PERO. Sa unang library

B. Sa pangalawang silid-aklatan

AT. Mayroong pantay na bilang ng mga libro

Kapag bumibili ng washing machine na nagkakahalaga ng 6500 r. ang mamimili ay nagpakita ng isang patalastas na pinutol mula sa pahayagan, na nagbibigay ng karapatan sa isang 5% na diskwento. Magkano ang babayaran niya para sa kotse?

PERO. 325 r. B. 3250 r. AT. 6175 r. G. 6495 r.

180 katao ang maaaring tanggapin sa unang kurso ng institute. Ang bilang ng mga aplikasyon na isinumite ay 120% ng bilang ng mga lugar sa kurso. Ilang aplikasyon na ang naisumite?

A. 36 B. 150 C. 216 D. 300

Ang lebel ng tubig sa ilog ay nasa humigit-kumulang 2.4 m. Sa mga unang oras ng baha, tumaas ito ng 5%. Anong antas ang naabot ng tubig sa ilog?

A. 0.12 m B. 2.52 m C. 3.6 m D. 7.4

Opsyon 2

Ang dalawang aklatan ay may parehong bilang ng mga aklat. Pagkalipas ng isang taon, ang bilang ng mga libro sa unang aklatan ay tumaas ng 50%, at sa pangalawa - 1.5 beses. Aling library ang may mas maraming libro?

PERO. Sa unang library

B. Sa pangalawang silid-aklatan

AT. Mayroong pantay na bilang ng mga libro

G. Walang sapat na data upang sagutin

Ang utility bill ay 800 rubles. Magkano ang kailangan mong bayaran para sa mga utility pagkatapos ng kanilang pagtaas sa presyo ng 6%?

A. 48 p. B. 480 r. B. 806 p. G. 848 p.

Noong Disyembre, ang bawat empleyado ng negosyo ay binayaran ng bonus na nagkakahalaga ng 130 ng kanyang buwanang suweldo. Anong bonus ang natanggap ng isang empleyado na ang suweldo ay 5500 rubles?

A. 71500 r. B. 7150 R. B. 5630 r. G. 1650 p.

Ang kumpanya ay naglagay ng 5 milyong rubles sa bangko. sa 8% kada taon. Magkano ang nasa account ng kumpanya sa isang taon?

A. 13 milyong rubles. B. 5.4 milyong rubles.

B. 9 milyong rubles D. 0.4 milyong rubles
Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito

Dinala ang mga bombilya sa tindahan ng mga gamit sa kuryente. Kabilang sa mga ito ang 16 na sirang bombilya, na 2% ng kanilang bilang. Ilang bumbilya ang dinala
puntos?
Maghanap ng isang numero na ang 110% ay katumbas ng 33.

60% ng klase ang pumunta sa sinehan, at ang natitirang 12 tao ay pumunta sa eksibisyon. Ilang estudyante ang nasa klase?

Ang pagsusuri ng mga kondisyon ng mga problema para sa mga porsyento ay tinutulungan ngschematic drawings, "prompting" sa iba pakaso, ang pagkakasunod-sunod ng mga hakbang na humahantong sadesisyon. Halimbawa, kapag nilulutas ang problema 50, unanatural na malaman ang bilang ng mga porsyentong maiuugnay sapara sa 12 tao.
4. Ang presyo ng mga kalakal ay tumaas ng 30% at ngayon ay 91 rubles. Magkano ang produkto bago ang pagtaas ng presyo?
5. Ang planta ay nagplano na gumawa ng 10,000 mga kotse. Ang plano ay nalampasan ng 2%. Ilang sasakyan ang ginawa ng planta na labis sa plano? Ilang sasakyan ang nailabas mo sa tubig?
Ang problema 5 ay pinakamahusay na nalutas sa dalawang paraan. Una, pagsagot sa mga tanong na ibinibigay:

10,000 0.02 = 200 (makina);
10,000 + 200 = 10,200 (machine),

pagkatapos ay nagtatanong ng higit pang mga katanungan:

-Sa anong porsyento natupad ng halaman ang plano?

- Sa 100 + 2 = 102 (%).

-Ilang sasakyan ang account para sa 102%?

10,000-1.02 = 10200 (machine)

Ang damo sa panahon ng pagpapatayo ay nawawalan ng 80% ng masa nito. Ilang toneladang dayami ang makukuha mula sa 4 na toneladang sariwang damo? Ilang toneladang damo ang dapat putulin para matuyo ang 4 na toneladang dayami?

100 - 80 \u003d 20 (%) - ang masa ng damo ay ang masa ng dayami;
4 0.2 \u003d 0.8 (t) - ang hay ay makukuha mula sa 4 na toneladang damo;
4: 0.2 \u003d 20 (t) - dapat putulin ang damo.

Ang presyo ng album ay binawasan muna ng 15%, pagkatapos ay sa isa pang 15 rubles. Ang bagong presyo ng album pagkatapos ng dalawang pagbawas ng 19 rubles. Tukuyin ang orihinal na presyo nito.

15 + 19 = 34 (p.) - ang halaga ng album hanggang sa pangalawa
bawas presyo;

100 - 15 \u003d 85 (%) - nahuhulog sa 34 rubles;

3)
= 40 (p.) - orihinal na nagkakahalaga ang album.

Pagsama-samahin ang tatlong numero. Ang una ay umabot sa 25% ng halaga, at ang pangalawa - 40%. Hanapin ang pangatlong numero kung ito ay 45 mas mababa kaysa sa pangalawa.

100 - 25 - 40 = 35 (%) - mga halagang naitala
sa ikatlong numero;

40 - 35 \u003d 5 (%) - ang halaga ay bumaba sa 45;

3)
= 315 ang pangatlong numero.

30% ng klase at 5 pang tao ang pumunta sa sinehan, at ang natitirang 3 ay pumunta sa klase at 8 pang tao ang nagpunta sa isang iskursiyon. Ilang tao ang nasa klase?

Isang ikatlo ng mga manggagawa ng negosyo ang nagkaroon ng bakasyon sa tag-araw, 35% ng natitirang mga manggagawa ay nagbakasyon sa taglagas at isa pang 2,314 na tao ang nagbakasyon sa taglamig at tagsibol. Ilang manggagawa ang nasa negosyo?

Kapag nagbebenta ng mga kalakal para sa 693 p. nakatanggap ng 10% na kita. Tukuyin ang halaga ng item.

Paghahanap ng Porsiyento

Sa paglutas ng mga problema sa seksyong ito, dapat na makabisado ng mga mag-aaral ang isang simpleng ideya: upang mahanap ang porsyento ng dalawang numero, i.e. kung gaano karaming porsyento ang unang numero mula sa pangalawa, maaari mong ipahayag ang ratio ng unang numero sa pangalawa bilang isang porsyento.

Ang mga unang problema ng ganitong uri ay dapat na simple, iyon ay, ang ratio ng mga numero ay dapat ipahayag bilang isang may hangganang bahagi ng decimal.
Upang mahanap ang porsyento ng dalawang numero, maaari mong hatiin ang unang numero sa pangalawa at i-multiply ang resulta sa 100.

Mula sa 16 kg ng sariwang peras, nakuha ang 4 kg ng pinatuyong peras. Anong bahagi ng masa ng sariwang peras ang iniiwan ng masa ng mga tuyong peras? Ipahayag ang bahaging ito bilang isang porsyento. Ilang porsyento ng masa ang nawala sa panahon ng pagpapatayo?

Anong porsyento ng 50 ang 40? Anong porsyento ng bilang 40 ang bilang 50?

Nabasa ni Masha ang 120 na pahina at mayroon pa siyang 130 na pahina ng aklat na natitira upang basahin. Ilang porsyento ng lahat ng pahina ang nabasa niya? Ilang porsyento ng lahat ng mga pahina ang natitira niyang basahin?

Ang buwan ay may 12 maaraw at 18 maulap na araw. Ilang porsyento ng buwan ang maaraw na araw? maulap na araw?

5. Ilang porsyento ang 50 higit sa 40? 40 mas mababa sa 50?

50 sa 40 ay , o
% = 125% ;

50 higit sa 40 ng 125 - 100 = 25 (%);

40 sa 50 ay , o
% = 80% ;

Ang 40 ay mas mababa sa 50 ng 100 - 80 = 20 (%).
6. Ang presyo ng mga kalakal ay bumaba mula sa 40 rubles. hanggang 30 r. Magkano ang ibinaba ng presyo? Ilang porsyento ang pagbaba ng presyo?
Sa suliranin 6, nahihirapan ang mga mag-aaral na matukoy kung aling numero ang kukunin bilang 100%. Kailangan mong iguhit ang kanilang atensyon sa numero kung saan sila naghahambing ng isa pang numero. Ang repormulasyon ng problema ay nakakatulong dito: "Ilang porsyento ng 30 r. mas mababa sa 40 rubles? Ihambing sa kabuuan ng 40 rubles, na nangangahulugang 40 rubles. ay 100%.

Pagsubok 2

Pagpipilian 1

Ang bilang ng mga aksidente sa trapiko sa panahon ng tag-araw ay 0.7 ng kanilang bilang sa panahon ng taglamig. Sa anong porsyento bumaba ang bilang ng mga aksidente sa trapiko sa tag-araw kumpara sa taglamig?

A. 70% B. 30% C. 7% D. 3%

A. B. C. 0.08 D. 0.8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Opsyon 2

Pagkatapos ng markdown ng TV, ang bagong presyo nito ay 0.8 ng luma. Ilang porsyento ng lumang presyo ang bago?

A. 0.8% B. 8% C. 20% D. 80%

Itugma ang mga fraction na nagpapahayag ng mga fraction ng isang tiyak na halaga, at ang mga porsyento na naaayon sa kanila.

A. B. C. 0.4 D. 0.04
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%

Mahirap na gawain sa proporsyon

Tatlong inahin ang nangitlog ng 3 sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw?

Magugulat ang mga estudyante kapag nalaman nilang mali ang "halatang" sagot na "12 itlog". Ang desisyon ng unaAng mga dacha mula sa seksyong ito ay pinakamahusay na i-disassemble nang sama-sama,marahil, pagkatapos ng pag-iisip sa bahay, isulatmaikling kondisyon ng gawain:

Mga Itlog sa Araw ng Manok

3 33
12 12 x

Sa panahon ng diyalogo, kailangan mong malaman kung gaano karaming beses nadagdagan ang bilang ng mga manok (4 na beses); paano nagbago ang bilang ng mga itlog kung ang bilang ng mga araw ay hindi nagbago (nadagdagan ng 4 na beses); kung gaano karaming beses ang bilang ng mga araw ay tumaas (4 na beses); kung paano nagbago ang bilang ng mga itlog (nadagdagan ng 4 na beses). Ang bilang ng mga itlog ay: x = 3 4 4 = 48.
2. Maaaring magpinta ng 60 bintana ang tatlong pintor sa loob ng 5 araw. Ilang pintor ang dapat italagang magpinta ng mga bintana upang makapagpinta sila ng 64 na bintana sa loob ng 2 araw?

5. (Isang lumang problema.) Para sa pagpapanatili ng 45 katao, 2040 rubles ang ginugol sa 56 na araw. Magkano ang dapat gastusin upang suportahan ang 75 tao sa loob ng 70 araw?
Isaalang-alang ang mas kumplikadong mga problema na may apat at kahit anim na dami. Maaari silang ibigay bilang opsyonal na takdang-aralin sa pinakamalakas na mag-aaral na gustong tumuklas ng mga problema sa palaisipan.
6. (Mula sa "Arithmetic" ni A. Kiselyov.) Para sa pag-iilaw ng 18 silid, 120 libra ng kerosene ang ginugol sa loob ng 48 araw, at 4 na lampara ang nasusunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang sinindihan at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid?

Ang mga bilis sa ibaba ng agos at sa itaas ng agos ay ang kabuuan at pagkakaiba ng sariling bilis at ang bilis ng agos. Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong ilapat ang dati nang pinagkadalubhasaan na paraan ng paghahanap ng dalawang dami sa pamamagitan ng kanilang kabuuan at pagkakaiba: ang pagkakaiba sa mga bilis sa ibaba at sa itaas ng agos ay katumbas ng dalawang beses sa kasalukuyang bilis.
1. Sa daan mula sa punto PERO sa talata AT ang barko ay gumugol ng 1 oras 40 minuto, at sa pagbabalik - 2 oras. Saang direksyon dumadaloy ang ilog?

Ang bilis ng bangka sa tahimik na tubig ay 18 km/h. Ang bilis ng ilog ay 2 km/h. Gaano kabilis uusad ang bangka sa ilog? Laban sa batis?
Ang bilis ng bangka sa tahimik na tubig (sariling bilis) ay 12 km/h, at ang bilis ng ilog ay 3 km/h. Tukuyin: ang bilis ng bangka sa agos at laban sa agos ng ilog; ang landas ng bangka sa tabi ng ilog sa loob ng 3 oras; ang landas ng bangka laban sa agos ng ilog sa loob ng 5 oras.
Ang sariling bilis ng barko ay 27 km/h, ang bilis ng ilog ay 3 km/h. Gaano katagal ang barko sa paglalakbay sa tabi ng ilog sa pagitan ng dalawang puwesto kung ang distansya sa pagitan ng mga ito ay 120 km?
Ang isang bangka na may sariling bilis na 15 km/h ay naglayag ng 2 oras sa ibaba ng agos at 3 oras laban sa agos. Gaano kalayo siya lumangoy sa lahat ng oras, kung ang bilis ng ilog ay 2 km/h?
Ang distansya sa pagitan ng dalawang berth ay 24 km. Gaano katagal ang motor

isang bangka sa daan mula sa isang pier patungo sa isa pa at pabalik, kung ang sarili nitong bilis ay 10 km/h, at ang bilis ng agos ay 2 km/h?
Ang talahanayan sa ibaba (kasama ang iba pang numerical data) ay maginhawang gamitin para sa independiyenteng trabaho.

Tukuyin ang mga bilis at punan ang talahanayan:

	sariling bilis	bilis ng ilog	Bilis ng sa ibaba ng agos Pagdaloy ng ilog	Bilis laban sa agos
1	12 km/h	4 km/h
2	25 km/h		28 km/h
3	24 km/h			20 km/h
4		5 km/h	17 km/h
5		3 km/h		16 km/h
6			48 km/h	42 km/h

Lumangoy ang bangkang de-motor ng 48 km pababa sa loob ng 3 oras, at laban sa agos sa loob ng 4 na oras. Hanapin ang bilis ng agos.
Ang bilis ng ilog ay 3 km/h. Ilang kilometro bawat oras ang bilis ng bangka sa ibaba ng agos na mas malaki kaysa sa bilis nito sa itaas ng agos?

Mga gawain para sa paggalaw

5 rate ng pag-alis.)

bilis ng pagsasara.)

(Isang lumang problema.)
(Isang lumang problema.)

sa ang landas ng unang tren;

8. Distansya sa pagitan ng mga lungsod PERO at AT katumbas ng 720 km. Mula sa PERO sa AT

10. 1) Mula sa talata PERO sa talata AT A at B katumbas ng 30 km?

Mula sa punto A hanggang sa punto SA,

ay mahalagang tungkol sa paggalaw patungo sa isa't isa kasama

30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).

Mga gawain para sa paggalaw

1. Dalawang pedestrian ang umalis sa parehong punto sa magkasalungat na direksyon sa parehong oras. Ang bilis ng una ay 4 km/h, ang bilis ng pangalawa 5 km/h Gaano sila kalayo pagkatapos ng 3 oras? Ilang kilometro bawat oras ang paglayo ng mga naglalakad sa isa't isa? (Ang halagang ito ay tinatawag na rate ng pag-alis.)

2. Mula sa dalawang nayon, ang distansya sa pagitan ng kung saan ay 36 km, dalawang pedestrian ang lumabas patungo sa isa't isa sa parehong oras. Ang kanilang bilis ay 4 km/h at 5 km/h. Ilang kilometro bawat oras ang paglapit ng mga naglalakad sa isa't isa? (Ang halagang ito ay tinatawag na bilis ng pagsasara.)
Gaano sila kalayo pagkatapos ng 3 oras?

Dalawang siklista ang umalis sa parehong oras patungo sa isa't isa mula sa dalawang punto, ang distansya sa pagitan ay 36 km. Ang bilis ng una ay 10 km / h, ang pangalawa ay 8 km / h. Ilang oras kaya sila magkikita?
1) Ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod ay 900 km. Dalawang tren ang umalis sa mga lungsod na ito patungo sa isa't isa na may bilis na 60 km/h at 80 km/h. Gaano kalayo ang pagitan ng mga tren 1 oras bago ang pulong? Mayroon bang karagdagang kondisyon sa gawain?

2) Ang distansya mula sa nayon hanggang sa lungsod ay 45 km. Isang pedestrian ang umalis sa nayon patungo sa lungsod sa bilis na 5 km/h. Makalipas ang isang oras, isang siklista ang sumakay patungo sa kanya mula sa lungsod hanggang sa nayon sa bilis na 15 km/h. Sino sa kanila ang mas malapit sa nayon sa oras ng pagpupulong?

3) Dalawang siklista ang umalis nang sabay-sabay na nagkikita mula sa dalawang nayon, ang layo nito ay 54 km. Ang bilis ng una ay 12 km / h, ang pangalawa ay 15 km / h. Sa ilang oras magiging 27 km ang agwat nila sa isa't isa?

Ang isang siklista at isang nakamotorsiklo ay umalis sa parehong lugar sa parehong oras sa parehong direksyon. Ang bilis ng isang nakamotorsiklo ay 40 km/h at ang bilis ng isang siklista ay 12 km/h. Ang bilis naman ng pagtanggal nila sa isa't isa? Sa ilang oras magiging 56 km ang distansya sa pagitan nila?
(Isang lumang problema.) Isang binata ang nagpunta mula sa Moscow patungong Vologda. Naglakad siya ng 40 milya bawat araw. Pagkaraan ng isang araw, isa pang binata ang ipinadala sa kanya, na dumadaan sa 45 milya bawat araw. Ilang araw aabutan ng pangalawa ang una?
(Isang lumang problema.) Dalawang tren ang umalis sa Moscow papuntang Tver nang sabay. Ang una ay pumasa sa 39 versts at dumating sa Tver dalawang oras mas maaga.
ang pangalawa, na lumipas sa isang oras na 26 versts. Ilang milya mula sa Moscow papuntang Tver?

26 2 \u003d 52 (versts) - kung magkano ang nahuli ng tren sa una;
39 - 26 \u003d 13 (versts) - kung magkano ang nahuli ng pangalawang tren sa likod ng unang tren sa loob ng 1 oras;
52: 13 \u003d 4 (h) - napakaraming oras sa ang landas ng unang tren;
39 4 \u003d 156 (versts) - ang distansya mula sa Moscow hanggang Tver.

8. Distansya sa pagitan ng mga lungsod PERO at AT katumbas ng 720 km. Mula sa PERO sa AT Isang mabilis na tren ang umaalis sa bilis na 80 km/h. Pagkaraan ng 2 oras, isang pampasaherong tren ang umalis sa B papuntang A patungo sa kanya sa bilis na 60 km/h. Ilang oras pagkatapos umalis ng express train sila magkikita?

9. Dalawang tren ang kumikilos patungo sa isa't isa - isa sa bilis na 70 km/h, ang isa naman sa bilis na 80 km/h. Napansin ng isang pasaherong nakaupo sa pangalawang tren na nilagpasan siya ng unang tren sa loob ng 12 segundo. Ano ang haba ng unang tren?

10. 1) Mula sa talata PERO sa talata AT Umalis ang isang pedestrian sa bilis na 5 km/h. Kasabay nito, umalis ang isang siklista sa A papuntang B sa bilis na 10 km/h. Nagmaneho ang siklista sa B, tumalikod at sumakay sa parehong bilis patungo sa pedestrian. Ilang oras pagkatapos ng pagsisimula ng kilusan ay magkikita sila kung ang distansya sa pagitan A at B katumbas ng 30 km?

Mula sa punto A hanggang sa punto SA, ang distansya sa pagitan ng kung saan ay 17 km, isang siklista ang umalis sa bilis na 12 km / h. Kasabay nito, ang isang pedestrian ay umalis sa A papuntang B sa bilis na 5 km/h. Ang siklista ay nagmaneho sa B, lumiko at sumakay pabalik sa parehong bilis.
Ilang oras pagkatapos ng pagsisimula ng kilusan sila magkikita?
Ang distansya sa pagitan ng dalawang punto ay 12 km. Dalawang siklista ang sabay na umalis patungo sa isa't isa na may bilis na 10 km/h at 8 km/h. Bawat isa sa kanila ay umabot sa magkaibang punto, tumalikod at bumalik sa parehong bilis. Ilang oras pagkatapos ng pagsisimula ng kilusan ay magkikita sila sa pangalawang pagkakataon?

Ipakita natin ang isang "mahabang" solusyon ng Problema 10 (1) nang walang paliwanag.

1)30:10 = 3(h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);

5-3 = 15 (km); 5) 15: 15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).

Maaari itong gawing simple sa pamamagitan ng pagpuna na ang problema ay pagsasalitaay mahalagang tungkol sa paggalaw patungo sa isa't isa kasamadoble ang distansya. Ang parehong sagot ay nakuha kungreformulate ang kalagayan ng problema gaya ng mga sumusunodzom: "Ang distansya sa pagitan ng mga punto A at B ay 60 km.Isang pedestrian ang umalis sa point A para sa point B sa bilis na 5 km/h. Kasabay nito, umalis ang isang siklista sa B papuntang A sa bilis na 10 km/h. Makalipas ang ilang orasMagkikita kaya sila pagkatapos magsimula ang kilusan?

30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).

Ito ay isang halimbawa ng matagumpay na repormasyon ng problema, na humahantong sa pagpapasimple ng solusyon nito.

Pagsubok #4
1. Hanapin ang oras na aabutin ng isang siklista upang makarating mula sa punto A hanggang sa punto B

(tingnan ang diagram sa figure 1).
υ=12 km/h

A| _________________________________________ AT

s = 6 na km
kanin. isa.
PERO. 72 h B. 0.5 oras AT. 2 h

G. 5 h D. ________________

Mula sa dalawang punto, ang distansya sa pagitan ng kung saan ay 10 km, dalawang turista ang umalis sa parehong oras sa parehong direksyon. Ang bilis ng unang turista ay 4 km/h, at ang bilis ng sumusunod sa kanya ay 6 km/h. Gaano katagal bago maabutan ng pangalawang turista ang una?

PERO. Pagkatapos ng 1 oras B. Pagkatapos ng 2.5 oras AT. Sa 1

G. Pagkatapos ng 5 oras D. ________________________

Mula sa isang istasyon patungo sa isa pa sa tabi ng ilog, ang bangka ay naglayag sa loob ng 3 oras, at gumugol ng 4 na oras sa pagbabalik.Ang bilis ng ilog ay 1 km / h. Sumulat ng isang equation upang mahanap ang sariling bilis ng bangka gamit ang x km/h.

Sagot: ____________________

Layunin ng Aralin:

paglutas ng mas kumplikadong mga problema para sa mga proporsyonal na dami ("Kumplikadong triple na panuntunan");
ang pagbuo ng hindi lamang lohikal, kundi pati na rin ang makasagisag na pag-iisip, ang imahinasyon ng mga bata at ang kanilang kakayahang mangatuwiran, magtanong at sagutin ang mga ito, iyon ay, ang pagsasalita ng mga nagsasanay;
pagpapalawak ng abot-tanaw sa paglutas ng mga sinaunang praktikal (o makatotohanang) problema;
pagbuo ng mga ideya tungkol sa kayamanan ng kultura at makasaysayang pamana ng sangkatauhan.

Sa panahon ng mga klase

I. Sandali ng organisasyon:

Ngayon kami ay nagsisimula upang malutas ang mas kumplikado, ngunit walang mas kawili-wiling mga problema para sa mga proporsyonal na dami.

Ang pag-aaral ng mga proporsyon at mga dependency na ito ay may malaking kahalagahan para sa kasunod na pag-aaral ng matematika.

Sa ibang pagkakataon, sa tulong ng mga proporsyon, malulutas mo ang mga problema sa kimika, pisika at geometry.

Ano ang sinimulan nila?

Maging pamilyar sa mga konsepto ng "ratio", "proporsyon"
(ratio - ………., proporsyon - ……… (inaasahan ang mga sagot ng mag-aaral)
Natutunan namin kung paano lutasin ang mga proporsyon at nalaman na ang pangunahing paraan upang malutas ang mga ito ay dapat na batay sa ....... (pangunahing pag-aari ng mga sukat)
Natutunan namin na makilala ang dalawang dami sa mga kondisyon ng mga problema, upang magtatag uri ng adiksyon sa pagitan nila. (direkta o kabaligtaran na relasyon)
Natutunan namin kung paano gumawa ng isang maikling talaan ng kondisyon ng problema at gumuhit ng isang proporsyon (ang pagbaba sa halaga ay ipinapakita gamit ang isang pababang arrow, at pagtaas ng isang pataas na arrow)
Ngunit huwag nating kalimutan iyon
sinuri ang paraan ng paglutas ng mga problema nang walang mga proporsyon sa lahat (ang aplikasyon ng pamamaraan na ito ay dapat na mauna sa mga tanong na itinatanong kapag nilutas ang mga problema: ilang beses nadagdagan o nabawasan ang halaga?)

Sumulong tayo mula sa simple hanggang sa kumplikado.

II. gawaing pasalita.

1. Mula sa mga halagang ito, piliin ang mga direkta o baligtad na proporsyonal:

a) ang haba ng gilid ng parisukat at ang perimeter.
b) ang haba ng gilid ng parisukat at ang lugar nito.
c) ang haba at lapad ng isang parihaba para sa isang partikular na lugar.
d) ang bilis ng sasakyan at ang landas na tatahakin nito sa isang tiyak na oras.
e) ang bilis ng pagpunta ng isang turista mula sa camp site hanggang sa istasyon, at ang oras na aabutin niya upang makarating sa istasyon.
e) ang edad ng puno at ang taas nito.
g) ang dami ng bolang bakal at ang masa nito.
h) ang bilang ng mga pahinang nabasa sa aklat at ang bilang ng mga pahinang natitira upang basahin.

(Ang ugnayan sa pagitan ng bilang ng mga pahinang nabasa sa isang aklat at ang bilang ng mga pahinang natitira ay kadalasang napagkakamalang proporsyonal: kung mas maraming pahina ang nabasa, mas kaunti ang natitira upang basahin. Pakitandaan na ang pagtaas sa isa at pagbaba sa isa ay hindi nangyayari. sa parehong bilang ng beses.).

2. Suriin natin ang problema:

Kapag nabasa na ni Vasya ang 10 pahina ng libro, mayroon pa siyang 90 na pahina na dapat basahin. Ilang pahina pa ang natitira para basahin kapag nabasa na niya ang 30 pages.

3. Isaalang-alang ang mga gawain ("kalikasan na mapanukso"):

a) 12 crucian ang nahuli sa loob ng 2 oras. Ilang carp ang mahuhuli sa loob ng 3 oras.

b) Tatlong tandang ang gumising ng 6 na tao. Ilang tao ang magigising ng 5 tandang.

c) * Ang lawa ay tinutubuan ng mga liryo, at sa isang linggo ang lugar na natatakpan ng mga liryo ay doble. Sa ilang linggo magiging kalahating matatakpan ng mga liryo ang lawa kung ito ay ganap na natatakpan ng mga liryo sa loob ng 8 linggo?

(Solusyon: dahil ang lugar na natatakpan ng mga liryo ay doble sa isang linggo, pagkatapos isang linggo bago ang pond ay ganap na natatakpan ng mga liryo, ang lugar nito ay kalahating natatakpan sa kanila, ibig sabihin, ang pond ay kalahating natatakpan ng mga liryo sa loob ng 7 linggo)

III. Pagtugon sa suliranin:

(ang kondisyon ng mga gawain ay ibinigay sa pisara)

Ang isang maikling kondisyon at dalawang solusyon ay iminungkahi na gawin nang napakabilis ng mga mag-aaral sa pisara.

1 paraan:

Paraan 2: ang halaga ng tela ay nadagdagan ng 15/8 beses, na nangangahulugan na magbabayad sila ng 15/8 beses na mas maraming pera

Х=30*15/8=56r25k

2. Isang maginoo ang tumawag ng karpintero at nag-utos na magtayo ng bakuran. Binigyan niya siya ng 20 manggagawa at tinanong kung ilang araw sila magtatayo ng bakuran para sa kanya. Sumagot ang karpintero: sa loob ng 30 araw. At ang panginoon ay kailangang magtayo sa loob ng 5 araw, at para dito ay tinanong niya ang karpintero: gaano karaming mga tao ang kailangan mong magkaroon, upang maaari kang bumuo ng isang bakuran sa kanila sa loob ng 5 araw; at ang karpintero, na nalilito, ay nagtanong sa iyo, aritmetika: ilang tao ang kailangan niyang upahan upang magtayo ng isang bakuran sa loob ng 5 araw?

Isang hindi natapos na maikling kondisyon ang nakasulat sa pisara:

Kumpletuhin ang kondisyon at lutasin ang problema sa dalawang paraan.

Opsyon ko: proporsyon

II opsyon: walang proporsyon

Kasabay nito, dalawang estudyante ang nagtatrabaho sa pisara.

ako.

II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 manggagawa

3. Kumuha sila ng 560 kawal ng pagkain sa loob ng 7 buwan, at inutusan silang maglingkod sa loob ng 10 buwan, at nais nilang alisin ang mga tao sa kanilang sarili upang magkaroon ng sapat na pagkain sa loob ng 10 buwan. Ang tanong, ilang tao ang dapat bawasan?

lumang gawain.

(nagsusulat sa pisara)

(pagpupuno ng maikling tala ng mga mag-aaral)

Lutasin ang problemang ito nang walang proporsyon:

(Ang bilang ng mga buwan ay tumataas ng isang kadahilanan, na nangangahulugang ang bilang ng mga sundalo ay bumababa ng isang kadahilanan.

560 - 392 = 168 (dapat bawasan ang mga sundalo)

Noong sinaunang panahon, para sa paglutas ng maraming uri ng mga problema, mayroong mga espesyal na patakaran para sa paglutas ng mga ito. Ang mga problema na pamilyar sa amin para sa direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad, kung saan kinakailangan upang mahanap ang ikaapat sa pamamagitan ng tatlong halaga ng dalawang dami, ay tinawag na mga problema para sa "triple rule".

Kung para sa tatlong mga halaga, limang mga halaga ang ibinigay, at kinakailangan upang mahanap ang ikaanim, kung gayon ang panuntunan ay tinawag na "lima". Katulad nito, para sa apat na dami ay nagkaroon ng "rule of septenary". Ang mga gawain para sa paglalapat ng mga panuntunang ito ay tinatawag ding mga gawain para sa "komplikadong triple na panuntunan".

Subukan Natin!!!

4. Gawin ang gawain na inialok sa iyo bilang isang karagdagang.

Takdang-aralin.

Tatlong inahin ang nangitlog ng 3 sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw?

Ang sagot sa problema ay ………?

Susuriin namin ang solusyon ng problema nang sama-sama, isusulat nang maikli ang kalagayan ng problema:

Sinisikap ng mga mag-aaral na sama-samang magtanong at sagutin ang mga ito.

(Ang bilang ng mga eskriba ay tumataas mula sa pagdami ng mga sheet sa mga oras at bumababa

mula sa pagtaas ng mga araw ng trabaho (mga eskriba)).

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong problema na may apat na dami.

Kunin ang isang problema, na may anim na halaga, bilang opsyonal na takdang-aralin para sa mga mag-aaral na gustong tumuklas ng mga problema sa palaisipan.

6. Para sa pag-iilaw ng 18 silid sa loob ng 48 araw, 120 tonelada ng kerosene ang ginugol, at 4 na lampara ang sinunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang iluminado at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid?

Ang isang maikling kondisyon ng problema ay isinulat at ang isang argumento ay ibinigay, na kahanay kung saan ang isang unti-unting nadagdag na tala X = ... .. ay maaaring itago sa pisara.

Ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene ay tumataas mula sa pagtaas ng dami ng kerosene sa
beses at mula sa pagbabawas ng mga lamp sa kalahati.

Bumababa ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene sa pagdami ng mga kwarto sa 20 beses.

X = 48 * * : = 60 (araw)

Sa wakas ay may X = 60. Nangangahulugan ito na ang 125 pounds ng kerosene ay sapat na para sa 60 araw.

IV. Buod ng aralin.

Nalutas ang buong aralin ngayon halos nakalimutan na mga gawain. Lumipat kami mula sa simple hanggang sa kumplikado. Malinaw na interesado ang mga lumang problema, nakakatuwang makita ang iyong pagsusumikap sa paglutas ng mga problema, nagkaroon kami ng magandang pagsasanay sa pagkilala sa pagitan ng direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad.

Ang mga paliwanag na inaalok ng guro ay tila malinaw, ngunit kailangan mo ring sumulong sa iyong sarili.

V. Takdang-Aralin.

Tit araw ng butil

X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg

2. Lumang problema.

Dirham na termino ng kita

3. * Karagdagang gawain.

Ang isang artel ng 26 digger na nagtatrabaho sa mga makina 12 oras sa isang araw ay maaaring maghukay ng isang kanal na 96 metro ang haba, 20 metro ang lapad at 12 metro ang lalim sa loob ng 40 araw. Gaano katagal maaaring hukayin ang isang kanal ng 30 mga naghuhukay, nagtatrabaho ng 80 araw, 10 oras sa isang araw, kung ang lapad ay dapat

10 m, lalim 18 dm?

desisyon.

Mga Gawain sa Pakikipagtulungan at Produktibo

Ang mga gawain ng ganitong uri ay karaniwang naglalaman ng impormasyon tungkol sa pagganap ng ilang mga paksa (mga manggagawa, mekanismo, bomba, atbp.) ng ilang trabaho, ang dami nito ay hindi ipinahiwatig at hindi kinakailangan (halimbawa, muling pag-print ng isang manuskrito, paggawa ng mga bahagi, paghuhukay trenches, pagpuno sa mga tubo ng isang reservoir, at iba pa). Ipinapalagay na ang gawaing isinagawa ay isinasagawa nang pantay-pantay, i.e. na may patuloy na pagganap para sa bawat paksa. Dahil ang dami ng trabahong ginawa (o ang dami ng pool na pinupuno, halimbawa) ay hindi interesado sa amin, kung gayon ang dami ng lahat ng trabaho. o pool ay kinuha bilang isang yunit. Orastkinakailangang gawin ang lahat ng gawain, at si P ang tagagawalabor intensity, iyon ay, ang dami ng trabaho na ginawa sa bawat yunit ng oras, ay magkakaugnay

ratioP= 1/t .Kapaki-pakinabang na malaman ang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga karaniwang problema.

Hayaang gumawa ng ilang trabaho ang isang manggagawa sa x oras at isa pang manggagawa sa y oras. Pagkatapos sa isang oras ay magpe-perform sila ayon sa pagkakasunod-sunod 1/xat 1/ybahagi ng trabaho. Magkasama sa loob ng isang oras makumpleto nila ang 1/x +1/ ybahagi ng trabaho. Samakatuwid, kung sila ay magtutulungan, ang lahat ng gawain ay gagawin sa 1/ (1/x+ 1/ y)

Ang paglutas ng mga collaborative na problema ay mahirap para sa mga mag-aaral, kaya kapag naghahanda para sa isang pagsusulit, maaari kang magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng mga pinakasimpleng problema. Isaalang-alang ang uri ng mga problema kung saan sapat na upang ipakilala lamang ang isang variable.

Gawain 1. Maaaring kumpletuhin ng isang plasterer ang isang gawain nang 5 oras nang mas mabilis kaysa sa isa pa. Magkasama nilang tatapusin ang gawaing ito sa loob ng 6 na oras. Ilang oras makumpleto ng bawat isa sa kanila ang gawain?

Desisyon. Hayaang kumpletuhin ng unang plasterer ang gawain para saxoras, pagkatapos ay kukumpletuhin ng pangalawang plasterer ang gawaing itox+5 oras. Sa 1 oras ng magkasanib na trabaho, makukumpleto nila ang 1/x + 1/( x+5) mga gawain. Gumawa tayo ng equation

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 ox² - 7 x-30 = 0. Paglutas ng equation na ito, nakukuha natinx= 10 atx= -3. Ayon sa gawainxay isang positibong halaga. Samakatuwid, ang unang plasterer ay maaaring makumpleto ang trabaho sa loob ng 10 oras, at ang pangalawa sa loob ng 15 oras.

Gawain 2 . Nakumpleto ng dalawang manggagawa ang trabaho sa loob ng 12 araw. Ilang araw kayang tapusin ng bawat manggagawa ang trabaho kung ang isa sa kanila ay tumagal ng 10 araw upang makumpleto ang buong trabaho kaysa sa isa pa?

Desisyon . Hayaang gumastos ang unang manggagawa sa lahat ng trabahoxaraw, pagkatapos ay ang pangalawa- (x-10 araw. Para sa 1 araw ng magkasanib na trabaho, nagsasagawa sila ng 1/x+ 1/( x-10) mga gawain. Gumawa tayo ng equation

12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 ox²- 34x+120=0. Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha naminx=30 atx= 4. Lamangx=30. Samakatuwid, maaaring kumpletuhin ng unang manggagawa ang trabaho sa loob ng 30 araw, at ang pangalawa sa loob ng 20 araw.

Gawain 3. Para sa 4 na araw ng magkasanib na trabaho, 2/3 ng bukid ay naararo ng dalawang traktor. Ilang araw ang aabutin upang araruhin ang buong bukid sa bawat traktor, kung ang una ay maaaring araruhin nang 5 araw nang mas mabilis kaysa sa pangalawa?

Desisyon. Hayaang gumastos ang unang traktorupang makumpleto ang gawain x araw, pagkatapos ay ang pangalawa - x + 5 araw. Para sa 4 na araw ng magkasanib na trabaho, ang parehong traktora ay nag-araro ng 4×(1/ x + 1/( x +5)) mga gawain, iyon ay, 2/3 ng field. Isinulat namin ang equation 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 ox² -7x-30 = 0. . Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha naminx= 10 atx= -3. Ayon sa gawainxay isang positibong halaga. Samakatuwid, ang unang traktor ay maaaring mag-araro sa bukid sa loob ng 10 oras, at ang pangalawa - sa 15 oras.

Gawain 4 . Maaaring mag-print si Masha ng 10 pahina sa loob ng 1 oras, Tanya - 4 na pahina sa 0.5, at Olya - 3 pahina sa loob ng 20 minuto. Paano maipamahagi ng mga batang babae ang 54 na pahina ng teksto sa kanilang mga sarili upang ang bawat isa ay gumana para sa parehong dami ng oras?

Desisyon . Ayon sa kondisyon, nagpi-print si Tanya ng 4 na pahina sa loob ng 0.5 oras, i.e. 8 pahina sa 1 oras, at Olya - 9 na pahina sa 1 oras. Tinutukoy sa X na oras ang oras kung kailan nagtrabaho ang mga babae, nakukuha namin ang equation

10X + 8X + 9X \u003d 54, mula sa kung saan X \u003d 2.

Kaya, dapat mag-print si Tanya ng 20 pages, Tanya 16 pages, at Olya 18 pages.

Gawain 5. Sa dalawang duplicator na gumagana nang sabay-sabay, maaari kang gumawa ng kopya ng manuskrito sa loob ng 20 minuto. Sa anong oras maaaring gawin ang gawaing ito sa bawat kagamitan nang hiwalay, kung alam na kapag nagtatrabaho sa una ay aabutin ng 30 minuto na mas mababa kaysa sa paggawa sa pangalawa?

Desisyon. Hayaang ang X min ay ang oras na kinakailangan upang makagawa ng isang kopya sa unang makina, pagkatapos ay ang X + 30 min ay ang oras na kinakailangan upang gumana sa pangalawang makina. Pagkatapos, ang 1/X na kopya ay ginagawa ng unang kagamitan sa loob ng 1 min, at 1/(X + 30) na mga kopya - ang pangalawang device.

Gawin natin ang equation: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, nakukuha natinX²-10X-600= 0. Kung saan ang X = 30 at X = - 20. Ang kondisyon ng problema ay nakakatugon sa X = 30. Nakuha namin ang: 30 minuto - ang oras kung kailan gagawa ng kopya ang unang aparato, 60 minuto - ang pangalawa.

Gawain 6. Maaaring kumpletuhin ng Firm A ang ilang order para sa paggawa ng mga laruan nang 4 na araw nang mas mabilis kaysa sa firm B. Gaano katagal makukumpleto ng bawat kumpanya ang order na ito kung alam na kapag nagtutulungan sila sa loob ng 24 na araw ay nakumpleto nila ang isang order nang 5 beses na mas malaki?

Desisyon. Tinutukoy para sa X araw ang oras na kinakailangan ng kumpanya A upang makumpleto ang order, pagkatapos X + 4 na araw ay ang oras para sa kumpanya B. Kapag gumuhit ng equation, dapat itong isaalang-alang na sa 24 na araw ng magkasanib na trabaho, hindi 1 order ay makukumpleto, ngunit 5 mga order. Nakukuha namin, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Mula sa kung saan sumusunod ang 5 X²-28X-96 = 0. Nang malutas ang quadratic equation, nakukuha natin ang X = 8 at X = - 12/5. Maaaring kumpletuhin ng unang kumpanya ang order sa loob ng 8 araw, firm B sa loob ng 12 araw.

Kapag nilulutas ang mga sumusunod na problema, kailangan mong magpasok ng higit sa isang variableat lutasin ang mga sistema ng mga equation.

Gawain 7 . Dalawang manggagawa ang gumagawa. Pagkatapos ng 45 minuto ng magkasanib na trabaho, ang unang manggagawa ay inilipat sa ibang trabaho, at ang pangalawang manggagawa ay natapos ang natitirang bahagi ng trabaho sa loob ng 2 oras at 15 minuto. Sa anong oras maaaring isa-isang gawin ng bawat manggagawa ang lahat ng gawain, kung alam na ang pangalawa ay mangangailangan ng 1 oras na higit pa kaysa sa una?

Desisyon. Hayaang gawin ng unang manggagawa ang lahat ng trabaho sa x oras, at ang pangalawang manggagawa sa y oras. Mula sa kondisyon ng problema mayroon tayong x = y -1. 1 oras muna

gagawa ang manggagawa ng 1/xbahagi ng gawain, at ang pangalawa - 1/ybahagi ng trabaho.T.sa. nagtulungan sila ng ¾ oras, pagkatapos sa panahong ito ay natapos nila ang ¾ (1 /x + 1/ y)

bahagi ng trabaho. sa likod2i 1/4h ng trabaho ang pangalawa ay nakumpleto 9/4× (1/y) bahagi ng trabaho.T.sa. tapos na ang lahat ng gawain, pagkatapos ay binubuo namin ang equation ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 o

¾×1/x+ 3 × 1/y =1

Pagpapalit ng halagaxsa equation na ito, makakakuha tayo ng ¾× 1/ (y-1)+ 3×1/y= 1. Binabawasan namin ang equation na ito sa quadratic equation na 4y2 -19y + 12 =0, na may

mga desisyon sa 1 = h atsa 2 = 4 h. Ang unang solusyon ay hindi angkop (parehongtungkol sana nagtulungan lamang ng ¾ oras!). Pagkatapos y \u003d 4, at x \u003d3.

Sagot. 3 oras, 4 na oras.

Gawain 8. Ang pool ay maaaring punuin ng tubig mula sa dalawang gripo. Kung ang unang gripo ay binuksan sa loob ng 10 minuto, at ang pangalawa - sa loob ng 20 minuto, pagkatapos ay mapupuno ang pool.

Kung ang unang tap ay binuksan sa loob ng 5 minuto, at ang pangalawa - sa loob ng 15 minuto, pagkatapos ay 3/5 ang mapupuno pool.

Gaano katagal para mapuno ng bawat gripo ang buong pool?

Desisyon. Hayaan mula sa unang tap posible na punan ang pool sa x minuto, at mula sa pangalawa - sa y 1 minuto. Napuno ang unang gripo bahagi ng pool, at ang pangalawa . Sa loob ng 10 minuto, mapupuno ang unang tap bahagi ng pool, at sa loob ng 20 minuto mula sa pangalawang gripo - . T.sa. mapupuno ang pool, pagkatapos ay makuha namin ang unang equation: . Katulad nito, isinusulat namin ang pangalawang equation (napuno para sa buong pool, ngunit lamang dami nito). Upang gawing simple ang solusyon ng problema, ipinakilala namin ang mga bagong variable: Pagkatapos ay mayroon kaming isang linear na sistema ng mga equation:

10u + 20v =1,

na ang solusyon ay magiging u = v = . Mula dito nakuha namin ang sagot: x = min, y = 50 min.

Gawain 9 . Dalawa ang gumagawa ng trabaho. Ang una ay nagtrabaho ang oras na kinakailangan para sa iba upang gawin ang lahat ng gawain. Pagkatapos ay gumana ang pangalawa ang oras na aabutin para matapos ng una ang natitirang gawain. Pareho lang silang gumanap lahat ng trabaho. Gaano katagal ang bawat isa upang makumpleto ang gawaing ito, kung alam na kapag nagtutulungan sila ay gagawin nila ito3 h36 min?

Desisyon. Tukuyin sa pamamagitan ng x na oras at y na oras ang oras kung kailan ginagawa ng una at pangalawa ang lahat ng gawain, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos at

Ang mga bahagi ng trabaho na kanilang ginagawa1 orasNagtatrabaho (ayon sa kondisyon) oras, ang una ay isasagawa bahagi ng trabaho. Mananatiling hindi natutupad bahagi ng gawaing gagastusin ng una oras. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang pangalawa ay gumagana 1/3 sa pagkakataong ito. Pagkatapos ay gagawin niya bahagi ng trabaho. Pareho lang silang natapos lahat ng trabaho. Samakatuwid, nakukuha namin ang equation . Nagtutulungan para sa1 pareho ang gagawin + bahagi ng trabaho. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, gagawin nila ang gawaing ito para sa3 h36 min (i.e.a 3 oras), pagkatapos1 oras na gagawin nila lahat ng trabaho. Samakatuwid 1/x + 1/ y = 5/18. Pagtukoy sa unang equation , nakukuha namin ang quadratic equation

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , na ang mga ugat ay pantayt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Dahil hindi alam kung sino ang mas mabilis na tumakbo, isinasaalang-alang namin ang parehong mga kaso.

a)t = => y= X. I-substitute ang y sa pangalawang equation: Malinaw na hindi ito solusyon.

mga gawain, dahil magkasama nilang ginagawa ang trabaho sa loob ng higit sa 3 oras.

b) t=3/2 => y=3/2 x. Mula sa pangalawang equation mayroon kaming 1/x+2/3× 1/x\u003d 5 / 18. Mula ditox=6,y=9.

Gawain 10. Ang tubig ay pumapasok sa tangke mula sa dalawang tubo na may magkakaibang diameter. Sa unang araw, ang parehong mga tubo, na gumagana nang sabay-sabay, ay nagsampa ng 14m 3 tubig. Sa ikalawang araw, ang maliit na trumpeta lamang ang nakabukas. Nag-file siya ng 14 m 3 tubig, na nagtrabaho ng 5 oras na mas mahaba kaysa sa unang araw. Sa ikatlong araw, nagpatuloy ang trabaho sa parehong oras tulad ng sa pangalawa, ngunit sa una ang parehong mga tubo ay gumana, na nagbibigay ng 21 m 3 tubig. At pagkatapos ay isang malaking tubo lamang ang nagtrabaho, na nagbibigay ng isa pang 20 m 3 tubig. Hanapin ang pagganap ng bawat tubo.

Desisyon. Sa problemang ito, walang abstract na konsepto ng "volume ng isang reservoir", ngunit ang mga tiyak na volume ng tubig na dumadaloy sa mga tubo ay ipinahiwatig. Gayunpaman, ang pamamaraan para sa paglutas ng problema ay talagang nananatiling pareho.

Hayaang magbomba ang mas maliliit at malalaking tubo sa loob ng 1 oras x at y m3 tubig. Sa pagtutulungan, ang parehong mga tubo ay nagbibigay ng x + y m3 tubig.

Samakatuwid, sa unang araw ang mga tubo ay gumana 14/(x+ y) oras. Sa ikalawang araw, ang maliit na tubo ay gumana nang 5 oras pa, ibig sabihin, 5+14/(x+ y) . Para dito

oras na nag-file siya ng 14 m 3 tubig. Mula dito nakukuha natin ang unang equation 14 o 5+14/(x+ y)=14/ x. Sa ikatlong araw ang parehong tubo ay nagtutulungan21/(x+ y) na oras at pagkatapos ay gumana ang malaking tubo ng 20/xoras. Ang kabuuang oras ng mga tubo ay tumutugma sa oras ng pagpapatakbo ng unang tubo sa ikalawang araw, i.e.

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Dahil ang kaliwang bahagi ng equation ay pantay, mayroon tayo . Ang pag-alis ng mga denominator, nakakakuha tayo ng isang homogenous na equation 20x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Paghahati ng equation sa pamamagitan ngy 2 at pagtatalagax/ y= t, mayroon kaming 20t 2 +27 t-14=0. Mula sa dalawang ugat ng quadratic equation na ito (t 1 = , t 2 = ) ayon sa kahulugan ng problema ay angkop lamangt= . Kaya naman,x= y. Pagpapalitxsa unang equation, nakita naminy=5. Pagkataposx=2.

Gawain 11. Ang dalawang crew, na nagtutulungan, ay naghukay ng trench sa loob ng dalawang araw. Pagkatapos nito, nagsimula silang maghukay ng kanal ng parehong lalim at lapad, ngunit 5 beses na mas mahaba kaysa sa una. Sa una, ang unang brigada lamang ang nagtrabaho, at pagkatapos ay ang pangalawang brigada lamang, na nakumpleto ang isa at kalahating beses na mas kaunting trabaho kaysa sa unang brigada. Nakumpleto ang paghuhukay ng pangalawang trench sa loob ng 21 araw. Ilang araw ang aabutin ng pangalawang koponan upang maghukay ng unang kanal kung alam na ang dami ng gawaing ginawa ng unang pangkat sa isang araw ay mas malaki kaysa sa dami ng gawaing ginawa sa isang araw ng pangalawang pangkat?

Desisyon.Ang problemang ito ay mas maginhawa upang malutas kung dadalhin mo ang gawaing isinagawa sa parehong sukat. Kung hinukay ng parehong mga tripulante ang unang trench, nagtutulungan, sa loob ng 2 araw, maliwanag na hinukay nila ang pangalawang trench (limang beses ang haba) sa loob ng 10 araw. Hayaang hukayin ng unang brigada ang trench na ito sa x araw, at ang pangalawa sa y, i.e. sa 1 araw ang una ay humukay bahagi ng trench, ang pangalawa - para sa 1/y , at magkasama -1/x+1/ y bahagi ng trench.

Tapos meron kami . Ang mga brigada ay nagtrabaho nang hiwalay kapag hinuhukay ang pangalawang trench. Kung nakumpleto ng pangalawang pangkat ang saklaw ng trabahom, pagkatapos (ayon sa kondisyon ng problema) - ang unang brigada . Bilangm + m = m katumbas ng dami ng trabahong kinuha bilang isang yunit, kung gayonm = . Dahil dito, naghukay ang pangalawang brigada trenches at ginugol dito sa mga araw. Naghukay ang unang brigada trenches at ginugol X araw. Kaya mayroon kami oX = 35- . Ang pagpapalit ng x sa unang equation, dumating tayo sa quadratic equation2y 2 - 95y +1050 = 0, ang mga ugat nito ay magiging y 1 = at sa 2 = 30. Pagkatapos, ayon sa pagkakabanggit,X 1 = at X 2 =15. Mula sa kalagayan ng problema piliin ang kailangan mo: y \u003d 30. Dahil ang nahanap na halaga ay tumutukoy sa pangalawang trench, ang unang trench (limang beses na mas maikli) ay hinukay ng pangalawang koponan sa loob ng 6 na araw.

Gawain 12. Tatlong excavator ang lumahok sa paghuhukay ng hukay na may dami na 340 m 3 . Sa isang oras, ang unang excavator ay kukuha ng 40 m 3 pounds, ang pangalawang - sa may m 3 mas mababa kaysa sa una, at ang pangatlo - 2s higit pa kaysa sa una. Una, ang una at pangalawang excavator ay nagtrabaho nang sabay-sabay, at naghukay ng 140 m 3 lupa. Pagkatapos ang natitirang bahagi ng hukay ay hinukay, gumagana nang sabay-sabay, ang una at ikatlong excavator. Tukuyin ang mga halaga gamit ang(0<с<15), kung saan ang hukay ay hinukay sa loob ng 4 na oras, kung ang gawain ay isinasagawa nang walang pagkagambala.

Desisyon. Dahil ang unang excavator ay tumatagal ng 40 m 3 lupa bawat oras, pagkatapos ay ang pangalawang - (40-s) m 3 , at ang pangatlo - (40 + 2s) m 3 libra kada oras. Hayaang magtulungan ang una at pangalawang excavator sa loob ng x na oras. Pagkatapos ay mula sa kondisyon ng problema ay sumusunod (40+40-s)x = 140 o (80-s)x = 140. Kung ang una at ikatlong excavator ay nagtutulungan sa orasan, kung gayon mayroon kaming (40+40+2s) y = 340-140 o (80 + 2s) y - 200. Dahil ang kabuuang oras ng pagpapatakbo ay 4 na oras, nakuha namin ang sumusunod na equation para sa pagtukoy sa x + y \u003d 4 o

Ang equation na ito ay katumbas ng quadratic equationkasama 2 -30s+ 200 =0, kung kaninong desisyon ang magiging 1 = 10 m 3 at kasama ang 2 = 20m 3 . Ayon sa kondisyon ng problema, lamangsa

c = 10 m 3 .

Gawain 10. Ang bawat isa sa dalawang manggagawa ay itinalaga upang iproseso ang parehong bilang ng mga bahagi. Ang una ay nagsimula kaagad sa trabaho at natapos ito sa loob ng 8 oras. Ang pangalawa ay gumugol sa una ng higit sa 2 oras sa pag-aayos ng aparato, at pagkatapos ay sa tulong nito natapos ang trabaho ng 3 oras na mas maaga kaysa sa una. Nabatid na ang pangalawang manggagawa, isang oras pagkatapos ng pagsisimula ng kanyang trabaho, ay nagproseso ng maraming detalye gaya ng naproseso ng unang manggagawa sa sandaling iyon. Ilang beses pinapataas ng kabit ang pagiging produktibo ng makina (ibig sabihin, ang bilang ng mga bahagi na naproseso bawat oras ng trabaho)?

Desisyon. Ito ay isang halimbawa ng isang problema kung saan hindi lahat ng hindi alam ay kailangang matagpuan.

Italaga natin ang oras ng pag-setup ng makina ng pangalawang manggagawa bilang x (sa pamamagitan ng kundisyon x>2). Ipagpalagay na ito ay kinakailangan upang iproseso ang bawat isanmga detalye.

Pagkatapos ay ang unang manggagawa kada oras ay nagpoproseso mga detalye, at ang pangalawa mga detalye. Ang parehong mga manggagawa ay nagproseso ng parehong bilang ng mga bahagi isang oras pagkatapos ng pagsisimula ng trabaho ng pangalawa. Ibig sabihin nito ay Mula dito nakukuha natin ang equation para sa pagtukoy ng x: X 2 -4x + 3-0 na ang mga ugat ay x 1 = 1 atX 2 = 3. Dahil

x > 2, kung gayon ang kinakailangang halaga ay x = 3. Samakatuwid, ang pangalawang manggagawa ay nagpoproseso kada oras mga detalye. Dahil ang unang manggagawa kada oras ay nagpoproseso

mga bahagi, pagkatapos ay mula rito nalaman namin na pinapataas ng device ang produktibidad sa paggawa = 4 na beses.

Gawain 1 3. Tatlong manggagawa ang dapat gumawa ng ilang bahagi. Noong una, isang trabahador lamang ang nagsimulang magtrabaho, at pagkaraan ng ilang sandali, ang pangalawa ay sumama sa kanya. Nang ang 1/6 ng lahat ng mga bahagi ay ginawa, ang ikatlong manggagawa ay nagsimula na ring magtrabaho. Tinapos nila ang gawain nang sabay-sabay, at bawat isa ay gumawa ng parehong bilang ng mga bahagi. Gaano katagal nagtrabaho ang ikatlong manggagawa kung alam na siya ay nagtrabaho nang mas mababa ng dalawang oras kaysa sa pangalawa at ang una at pangalawa, na nagtutulungan, ay makakagawa ng lahat ng kinakailangang bilang ng mga bahagi 9 na oras na mas maaga kaysa sa ginawa ng ikatlo, na nagtatrabaho nang hiwalay ?

Desisyon. Hayaang magtrabaho ang unang manggagawa ng x oras at ang ikatlong manggagawa x oras. Pagkatapos ang pangalawang manggagawa ay nagtrabaho ng 2 higit pang oras, iyon ay, y + 2 oras. Ang bawat isa sa kanila ay gumawa ng pantay na bilang ng mga bahagi, iyon ay, 1/3 ng lahat ng bahagi. Dahil dito, gagawin ng una ang lahat ng detalye sa loob ng 3 oras, ang pangalawa sa 3 (y + 2) na oras, at ang pangatlo sa 3y oras. Samakatuwid, ang una ay gumagawa sa isang oras bahagi ng lahat ng mga detalye, ang pangalawa - at pangatlo - .

Dahil ang lahat ng tatlong sa panahon ng kanilang magkasanib na trabaho ginawa lahat ng mga detalye, pagkatapos ay makuha namin ang unang equation (lahat ng tatlo ay nagtutulungan sa orasan)

. (1)

Ang una at pangalawa, na nagtutulungan, ay gagawin ang lahat ng mga bahagi nang magkakasama ng 9 na oras na mas maaga kaysa sa gagawin ng ikatlong manggagawa, na nagtatrabaho nang mag-isa. Mula dito nakukuha natin ang pangalawang equation

. (2)

Ang dalawang equation na ito ay madaling nabawasan sa isang katumbas na sistema

Ang pagpapahayag mula sa pangalawang equation x at pagpapalit sa unang equation, makuha natin ang y 3 -5y 2 - 32y - 36 = 0. Ang equation na ito ay factorized(y- 9) (y +2) 2 = 0.

Dahil y > 0, ang equation ay mayroon lamang isang gustong ugat y \u003d 9.Sagot:y = 9.

Gawain 14. Ang tubig ay pantay na pumapasok sa hukay, 10 magkaparehong mga bomba, na kumikilos nang sabay-sabay, ay maaaring magbomba ng tubig mula sa isang punong hukay sa loob ng 12 oras, at 15 tulad ng mga bomba - sa 6h.Gaano katagal maaaring magtulungan ang 25 naturang mga bomba upang magbomba ng tubig mula sa isang punong hukay?

Desisyon.Hayaan ang dami ng hukayVm 3 , at ang pagganap ng bawat bomba ay x m 3 ng Ala una. Tuloy-tuloy na dumadaloy ang tubig sa hukay.T.k. hindi alam ang halaga ng resibo nito, pagkatapos ay tinutukoy namin ng y m 3 bawat oras - ang dami ng tubig na pumapasok sa hukay. Sampung bomba ang lalabas sa loob ng 12 oras X= 120x tubig. Ang dami ng tubig na ito ay katumbas ng kabuuang dami ng hukay at dami ng tubig na pumapasok sa hukay sa loob ng 12 oras. Ang buong volume na ito ayV+12 y. Pag-equate sa mga volume na ito, ginagawa namin ang unang equation na 120x =V + 12 y .

Katulad nito, ang isang equation ay iginuhit para sa 15 tulad ng mga bomba:15-6 x = V + 6 yo 90x = V + 6 y. Mula sa unang equation mayroon tayong V = 120x - 12y. Ang pagpapalit ng V sa pangalawang equation, nakukuha natin ang y = 5x.

Ang tagal ng panahon kung kailan gagana ang 25 naturang mga bomba ay hindi alam. Tukuyin natin ito sa pamamagitan ngt. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng problema, sa pamamagitan ng pagkakatulad ay binubuo namin ang huling equation. Mayroon kaming 25tx=V+ty. Ang pagpapalit ng y at V sa equation na ito, makikita natin ang 25tx= 120x -12 5x +t 5x o 20tx= 60x. Mula dito nakukuha natint= 3 oras.Sagot: para sa 3 oras.

Gawain 15. Dalawang koponan ang nagtulungan sa loob ng 15 araw, at pagkatapos ay sumali sa kanila ang isang pangatlong koponan, at 5 araw pagkatapos noon, natapos ang lahat ng gawain. Nabatid na ang pangalawang brigada ay gumagawa ng 20% na higit pa bawat araw kaysa sa una. Ang pangalawa at pangatlong brigada na magkasama ay kayang gawin ang lahat ng gawain ang oras na kinakailangan upang makumpleto ang lahat ng gawain ng una at pangatlong koponan kapag sila ay nagtutulungan. Gaano katagal ang lahat ng tatlong koponan upang gawin ang lahat ng gawain, nagtutulungan?

Desisyon. Hayaang ang lahat ng gawain, nagtatrabaho nang hiwalay, ay isagawa ng una, pangalawa at pangatlong koponan, ayon sa pagkakabanggit, para sa x, y atzaraw. Tapos sa araw na nagpe-perform sila bahagi ng trabaho. Ang pagbabago sa unang kondisyon ng problema sa isang equation, sa pag-aakalang ang buong dami ng trabaho ay katumbas ng isa, nakukuha natin

15 o

(1)

20 .

Dahil ang pangalawang brigada ay gumagawa ng 120% ng kung ano ang ginagawa ng unang brigada (20% higit pa), mayroon kaming o . (2)

Gagawin ng ikalawa at ikatlong brigada ang lahat ng gawain sa 1/ araw, at ang una at pangatlo - para sa 1/ araw. Ayon sa kondisyon, ang unang halaga ay katumbas ng

(3)

Ang pangalawa, iyon ay, 1/ . Mula dito nakukuha natin ang ikatlong equation .

Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang oras para sa pagkumpleto ng buong gawain sa tatlo mga koponan na nagtutulungan, iyon ay, ang laki1/ .

Malinaw na mas maginhawang lutasin ang sistema ng mga equation (1)-(3) kung magpapasok tayo ng mga bagong variable: , Ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga

l/(u + v+ w) .Tapos meron tayong equivalent system

Ang paglutas ng linear system na ito, madali nating mahanapu= Kung gayon ang nais na halaga ay katumbas ng 1/ KayaKaya, sa pagtutulungan, makukumpleto ng lahat ng tatlong koponan ang buong trabaho sa loob ng 16 na araw.

Sagot: sa loob ng 16 na araw. Kung dumoble ang produktibidad ng pangalawang pabrika, magiging katumbas ito ng halos lahat ng uri ng mga gawain sa pagganap ay nakatagpo.

Mga gawain

Maaaring tapusin ng dalawang manggagawang magkasama ang ilang trabaho sa loob ng 10 araw. Pagkatapos ng 7 araw na magkasamang nagtatrabaho, ang isa sa kanila ay nagkasakit, at ang isa ay natapos ang trabaho pagkatapos magtrabaho ng isa pang 9 na araw. Ilang arawMaaari bang hiwalay na gawin ng bawat manggagawa ang lahat ng gawain?

Ang ilang mga manggagawa ay nakatapos ng trabaho sa loob ng ilang araw. Kung tataas ang bilang ng mga manggagawatsya ng 3, pagkatapos ang trabaho ay gagawin nang 2 araw nang mas maaga, at kung ang bilang ng mga manggagawa ay tumaas ng 12, pagkatapos ay 5 araw na mas maaga. Tukuyin ang bilang ng mga manggagawa at ang oras na kinakailangan upang makumpleto ang gawaing ito.

Dalawang bomba na may magkaibang kapangyarihan, na nagtutulungan, ay pinupuno ang pool sa loob ng 4 na oras. Upang mapuno ang kalahati ng pool, ang unang pump ay tumatagal ng 4 na oras na mas mahaba kaysa sa pangalawang pump upang mapuno ang tatlong quarter ng pool. Gaano katagal ang aabutin ng bawat indibidwal na bomba upang mapuno ang pool?

10. Ang barko ay puno ng mga crane. Una, apat na crane ng parehong kapangyarihan ang nagtrabaho sa loob ng 2 oras, pagkatapos ay dalawa pang crane, ngunit mas mababang kapangyarihan, ang sumali sa kanila, at pagkatapos ng 3 oras ang pagkarga ay nakumpleto. Kung ang lahat ng mga crane ay nagsimulang gumana sa parehong oras, kung gayon ang pagkarga ay magiging natitirang trabaho. Ang pagiging produktibo ng ikatlong pangkat ay kalahati ng kabuuan ng pagiging produktibo ng una at pangalawang koponan. Ilang beses mas malaki ang produktibidad ng pangalawang brigada kaysa sa produktibidad ng ikatlong brigada?

15. Dalawang pangkat ng mga plasterer, na nagtutulungan, ang nagplaster sa isang gusali ng tirahan sa loob ng 6 na araw. Sa isa pang pagkakataon, nagplaster sila ng isang club at gumawa ng tatlong beses kaysa sa dami ng trabahong ginawa nila sa plaster ng isang apartment building. Sa una ang unang brigada ay nagtrabaho sa club, at pagkatapos ay pinalitan ito ng pangalawang brigada at dinala ang gawain sa dulo, at ang unang brigada ay nakumpleto ang dami ng trabaho nang dalawang beses kaysa sa pangalawa. Nilagyan nila ng plaster ang club sa loob ng 35 araw. Ilang araw kaya ng unang brigadaupang maglibot sa isang gusali ng tirahan kung alam na ang pangalawang brigada ay gugugol ng higit sa 14 na araw para dito?

Ang dalawang koponan ay nagsimulang magtrabaho sa alas-8. Sa paggawa ng 72 bahagi nang magkasama, nagsimula silang magtrabaho nang hiwalay. Sa 3 p.m., lumabas na sa oras ng hiwalay na trabaho, ang unang brigada ay gumawa ng 8 higit pang mga detalye kaysa sa pangalawa. Sa susunod na araw, ang unang brigada ay gumawa ng isa pang bahagi sa loob ng 1 oras, at ang pangalawang brigada ay gumawa ng isang mas kaunting bahagi sa loob ng 1 oras kaysa sa unang araw. Ang gawain ng brigada ay nagsimula nang magkasama sa alas-8 ng gabi at, nang gumawa ng 72 bahagi, muli silang nagsimulang magtrabaho nang hiwalay. Ngayon, sa panahon ng hiwalay na trabaho, ang unang brigada ay gumawa ng 8 bahagi nang higit pa kaysa sa pangalawa, pagsapit ng 13:00. Ilang bahagi kada oras ang ginawa ng bawat brigada?

Tatlong manggagawa ang dapat gumawa ng 80 magkatulad na bahagi. Nabatid na ang tatlong magkakasama ay gumagawa ng 20 bahagi sa loob ng isang oras. Ang una ay nagsimulang magtrabaho muna.nagtatrabaho. Gumawa siya ng 20 bahagi, na gumugol ng higit sa 3 oras sa kanilang paggawa. Ang buong trabaho ay tumagal ng 8 oras. Ilang oras ang aabutin ng unang manggagawa upang gawin ang lahat ng 80 bahagi?

Ang pool ay napuno ng tubig sa pamamagitan ng unang tubo 5 oras na mas mabilis kaysa sa pamamagitan ng pangalawang tubo, at 30 oras na mas mabilis kaysa sa pamamagitan ng ikatlong tubo. Nabatid na si prang pagpapababa ng kapasidad ng ikatlong tubo ay 2.5 beses na mas mababa kaysa sa kapasidad ng pagdadala ng unang tubo at 24 m 3 /h ay mas mababa kaysa sa kapasidad ng pangalawang tubo. Hanapin ang kapasidad ng una at pangatlong tubo.

Dalawang excavator, kung saan ang una ay may mas mababang produktibidad, ay hinukayjoint work excavation na may dami na 240 m 3 . Pagkatapos ay nagsimulang maghukay ang una sa pangalawang kanal, at ang pangalawa ay nagpatuloy sa paghukay sa una. 7 oras pagkatapos ng pagsisimula ng kanilang trabaho, ang dami ng unang hukay ay 480 m 3 higit pa sa dami ng pangalawang hukay. Kinabukasan, ang pangalawang excavator ay nadagdagan ang pagiging produktibo nito ng 10 m 3 / h, at ang una ay nabawasan ng 10 m 3 /h Una, magkasama silang naghukay ng hukay na 240 m 3 , pagkatapos nito ang una ay nagsimulang maghukay ng isa pang hukay, at ang pangalawa ay nagpatuloy sa paghukay ng una. Ngayon ang dami ng unang hukay ay naging 480 m 3 higit pa sa dami ng pangalawang hukay na 5 oras pagkatapos ng pagsisimula ng trabaho ng mga excavator. Ilang lupa kada oras ang nahukay ng mga excavator sa unang araw ng trabaho?

Tatlong sasakyang de-motor ang nagdadala ng butil, ganap na naglo-load sa bawat biyahe. Para sa isang paglipad, ang una at pangalawang sasakyan ay dinadala nang magkasama6 tonelada ng butil, at ang una at pangatlo na magkasama ay nagdadala ng parehong dami ng butil sa 2 flight gaya ng pangalawa sa 3 flight. Gaano karaming butil ang dinadala sa isang biyahe ng pangalawang kotse, kung alam na ang isang tiyak na halaga ng butil ay dinadala ng pangalawa at pangatlo nang magkasama, na maypaggawa ng 3 beses na mas kaunting mga biyahe kaysa sa isang pangatlong sasakyan upang maghatid ng parehong dami ng butil?

Ang dalawang excavator na magkaibang disenyo ay dapat maglatag ng dalawang trenches ng parehong krusmalinaw na seksyon na may haba na 960mi180 m. Ang buong trabaho ay tumagal ng 22 araw, kung saan ang unang excavator ay naglagay ng isang malaking trench. Ang pangalawang excavator ay nagsimulang magtrabaho pagkalipas ng 6 na araw kaysa sa una, naghukay ng mas maliit na kanal, nag-ayos nito sa loob ng 3 araw at pagkatapos ay tinulungan ang una. Kung hindi kinakailangan na gumugol ng oras sa pag-aayos, pagkatapos ay matatapos ang trabaho sa loob ng 21 araw. Ilang metro ng trench ang maaaring hukayin ng bawat excavator bawat araw?

Tatlong brigada ang nag-araro ng dalawang bukirin na may kabuuang lawak na 120 ektarya. Ang unang bukid ay naararo sa loob ng 3 araw, kasama ang lahat ng tatlong koponan na nagtutulungan. Ang pangalawang bukid ay inararo sa loob ng 6 na araw ng una at ikalawang brigadas. Kung ang lahat ng tatlong koponan ay nagtrabaho sa pangalawang field sa loob ng 1 araw, ang unang koponan ay maaaring araruhin ang natitirang bahagi ng pangalawang field sa loob ng 8 araw. Ilang ektarya kada araw ang inararo ng ikalawang brigada?

Dalawang tubo na may pantay na diameter ay konektado sa dalawang pool(sabawat pool ay may sariling tubo). Ang isang tiyak na dami ng tubig ay ibinuhos sa unang tubo patungo sa unang pool, at kaagad pagkatapos nito, ang parehong dami ng tubig ay ibinuhos sa pangalawang pool sa pamamagitan ng pangalawang tubo, at lahat ng ito ay tumagal ng 16 na oras. Kung ang tubig ay dumaloy sa una pipe ng mas maraming oras sa pamamagitan ng pangalawa, at sa pamamagitan ng pangalawa - kasing dami ng oras sa una, pagkatapos ay ibubuhos ang tubig sa unang tubo sa 320 m 3 mas mababa sa pangalawa. Kung sa una ay lalampas ito ng 10 m 3 mas kaunti, at sa pamamagitan ng pangalawa - sa pamamagitan ng 10 m 3 mas maraming tubig, pagkatapos ay aabutin ng 20 oras upang ibuhos ang unang dami ng tubig sa pool (una sa una, at pagkatapos ay sa pangalawa). Gaano katagal dumaloy ang tubig sa bawat isa sa mga tubo?

Dalawang convoy, na binubuo ng parehong bilang ng mga kotse, transport cargo. Sa bawat isa saAng mga kalapit na sasakyan ay may parehong kapasidad sa pagdadala at ganap na kargado sa mga biyahe. Ang kapasidad ng pagdadala ng mga kotse sa iba't ibang mga hanay ay iba, at para sa 1 biyahe ang unang convoy ay nagdadala ng 40 toneladang mas maraming kargamento kaysa sa pangalawang convoy. Kung ang bilang ng mga kotse sa unang convoy ay nabawasan ng 2, at sa pangalawang convoy - ng 10, ang unang convoy ay magdadala ng 90 tonelada ng kargamento sa 1 run, at ang pangalawang convoy ay magdadala ng 90 tonelada ng kargamento sa 3 run. . Ano ang carrying capacity ng mga sasakyan ng ikalawang convoy?

Ang isang manggagawa ay maaaring gumawa ng isang batch ng mga bahagi sa loob ng 12 oras. Isang manggagawa ang nagsimula sa trabaho, ang isa pa ay sumama sa kanya makalipas ang isang oras, ang pangatlo ay makalipas ang isang oras, at iba pa, hanggang sa matapos ang trabaho. Gaano katagal nagtrabaho ang unang manggagawa? (Ang pagiging produktibo ng paggawa ng lahat ng manggagawa ay pareho.)

Ang isang pangkat ng mga manggagawa na may parehong mga kwalipikasyon ay kailangang gumawa ng isang batch ng mga bahagi. UnaSa simula, isang manggagawa ang nagsimulang magtrabaho, makalipas ang isang oras ay sumama sa kanya ang pangalawa, makalipas ang isang oras, isang ikatlo, at iba pa, hanggang sa magsimulang magtrabaho ang buong pangkat. Kung ang lahat ng miyembro ng pangkat ay nagtrabaho mula pa sa simula, ang gawain ay natapos nang 2 oras nang mas mabilis. Ilang manggagawa ang nasa pangkat?

Naghuhukay ng kanal ang tatlong manggagawa. Sa una, ang unang manggagawa ay nagtrabaho nang kalahating oras, neohinihingi ng dalawa pang hukayin ang buong kanal, pagkatapos ay ang pangalawang manggagawa ay nagtrabaho sa kalahati ng oras na kinuha ng dalawa pa upang hukayin ang buong kanal, at sa wakas ang ikatlong manggagawa ay nagtrabaho sa kalahati ng oras na inabot ng dalawa pa upang hukayin ang buong kanal. Dahil dito, hinukay ang kanal. Gaano karaming beses na mas mabilis na mahukay ang kanal kung ang lahat ng tatlong manggagawa ay nagtatrabaho sa parehong oras mula pa sa simula?

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Mahirap na gawain sa proporsyon

Pagsubok 2

Mahirap na gawain sa proporsyon

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO