Teorama 1. Ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito at ang taas:
Teorama 2. Ang mga dayagonal ng isang trapezoid ay nahahati ito sa apat na tatsulok, dalawa sa mga ito ay magkatulad at ang iba pang dalawa ay may parehong lugar:
Teorama 3. Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng base at ang taas na ibinaba sa ibinigay na base, o ang produkto ng dalawang panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila: 
Teorama 4. Sa isang paralelogram, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid nito: 
Teorama 5. Ang lugar ng isang arbitrary convex quadrilateral ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila:
Teorama 6. Ang lugar ng isang quadrilateral na nakapaligid sa isang bilog ay katumbas ng produkto ng semiperimeter ng quadrilateral na ito at ang radius ng ibinigay na bilog: 
Teorama 7. Ang isang quadrilateral na ang mga vertices ay ang mga midpoint ng mga gilid ng isang arbitrary convex quadrilateral ay isang parallelogram na ang lugar ay katumbas ng kalahati ng lugar ng orihinal na quadrilateral:
Teorama 8. Kung ang mga dayagonal ng isang matambok na may apat na gilid ay magkaparehong patayo, kung gayon ang mga kabuuan ng mga parisukat ng magkasalungat na panig ng quadrilateral na ito ay:
AB2 + CD2 = BC2 + AD2.
Ang artikulo ay nai-publish sa suporta ng kumpanya na "DKROST". Mga slide para sa mga bata, bahay, sandbox at marami pang iba - ang paggawa at pagbebenta ng mga palaruan na pakyawan at tingi. Ang pinakamababang presyo, mga diskwento, maikling oras ng produksyon, pag-alis at konsultasyon ng isang espesyalista, kalidad ng kasiguruhan. Maaari kang matuto nang higit pa tungkol sa kumpanya, tingnan ang katalogo ng produkto, mga presyo at mga contact sa website, na matatagpuan sa: http://dkrost.ru/.
Mga patunay ng ilang theorems
Katibayan ng Theorem 2. Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na trapezoid, AD at BC ang mga base nito, O ang intersection point ng mga diagonal AC at BD ng trapezoid na ito. Patunayan natin na ang mga tatsulok na AOB at COD ay may parehong lugar. Upang gawin ito, ibagsak natin ang mga perpendicular na BP at CQ mula sa mga punto B at C patungo sa linya ng AD. Kung gayon ang lugar ng tatsulok na ABD ay
At ang lugar ng tatsulok na ACD ay 
Dahil BP = CQ, pagkatapos ay S∆ABD = S∆ACD . Ngunit ang lugar ng tatsulok na AOB ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng mga tatsulok na ABD at AOD, at ang lugar ng tatsulok na COD ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng mga tatsulok na ACD at AOD. Samakatuwid, ang mga lugar ng mga tatsulok na AOB at COD ay pantay, na dapat patunayan.
Katibayan ng Theorem 4. Hayaang ang ABCD ay isang paralelogram, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Ilapat natin ang cosine theorem sa tatsulok na ABD:
Ang paglalapat ngayon ng cosine theorem sa tatsulok na ACD, nakukuha natin:
Pagdaragdag ng mga termino sa pamamagitan ng mga pagkakapantay-pantay ng termino, nakukuha namin iyon 
Q.E.D.
Patunay ng Theorem 5. Hayaang ang ABCD ay isang arbitrary na convex quadrangle, E ang intersection point ng mga diagonal nito, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Meron kami:
Q.E.D.
Katibayan ng Theorem 6. Hayaang ang ABCD ay isang di-makatwirang quadrilateral na nakapaligid sa isang bilog, ang O ang sentro ng bilog na ito, ang OK, OL, OM at ON ay ang mga perpendikular na bumaba mula sa puntong O hanggang sa mga linyang AB, BC, CD at AD, ayon sa pagkakabanggit. Meron kami: 
kung saan ang r ay ang radius ng bilog at ang p ay ang semi-perimeter ng quadrilateral ABCD.
Katibayan ng Teorama 7. Hayaang ang ABCD ay isang arbitrary na matambok na may apat na gilid, K, L, M at N ang mga midpoint ng mga gilid AB, BC, CD at AD, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang KL ay ang midline ng triangle ABC, ang line KL ay parallel sa line AC at Katulad nito, ang line MN ay parallel sa line AC at Samakatuwid, ang KLMN ay isang parallelogram. Isaalang-alang ang tatsulok na KBL. Ang lugar nito ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok na ABC. Ang lugar ng triangle MDN ay katumbas din ng isang quarter ng area ng triangle ACD. Kaya naman,
Gayundin, 
Ibig sabihin nito ay
kung saan ito sumusunod na 
Katibayan ng Theorem 8. Hayaang ang ABCD ay isang arbitrary na matambok na may apat na gilid na ang mga dayagonal ay magkaparehong patayo, hayaan ang E ang intersection point ng mga diagonal nito,
AE= a, BE = b, CE = c, DE = d. Ilapat ang Pythagorean theorem sa mga tatsulok na ABE at CDE:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
kaya naman,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Ang paglalapat ngayon ng Pythagorean theorem sa mga tatsulok na ADE at BCE, nakukuha natin ang:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
kung saan ito sumusunod na
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Kaya, AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , na dapat patunayan.
Pagtugon sa suliranin
Gawain 1. Ang isang trapezoid ay inilalarawan malapit sa bilog na may mga base na anggulo α at β. Hanapin ang ratio ng lugar ng trapezoid sa lugar ng bilog.
Desisyon. Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na trapezoid, AB at CD ang mga base nito, DK at CM ang mga patayo ay bumaba mula sa mga punto C at D hanggang sa linya ng AB. Ang nais na ratio ay hindi nakasalalay sa radius ng bilog. Samakatuwid, ipinapalagay namin na ang radius ay 1. Pagkatapos ang lugar ng bilog ay π, nakita namin ang lugar ng trapezoid. Dahil ang triangle ADK ay isang right triangle,
Katulad nito, mula sa isang kanang tatsulok na BCM nalaman namin na Dahil ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang naibigay na trapezoid, kung gayon ang mga kabuuan ng magkabilang panig ay pantay:
AB + CD = AD + BC,
saan natin mahahanap
Kaya ang lugar ng trapezoid ay
at ang nais na ratio ay 
Sagot: 
Gawain 2. Sa isang matambok na quadrilateral ABCD, ang anggulo A ay 90° at ang anggulo C ay hindi lalampas sa 90°. Ang mga perpendicular BE at DF ay ibinaba mula sa mga vertice B at D patungo sa dayagonal na AC. Ito ay kilala na AE = CF. Patunayan na ang anggulo C ay isang tamang anggulo.
Patunay. Dahil ang angle A ay 90°,
at ang anggulo C ay hindi lalampas sa 90°, pagkatapos ay ang mga puntong E at F ay nasa dayagonal AC. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na ang AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Sapat na para sa atin na patunayan na ang α + β + γ + δ = π. Bilang
kung saan natin nakuha ang dapat patunayan.
Gawain 3. Ang perimeter ng isang isosceles trapezoid na nakapaligid sa isang bilog ay p. Hanapin ang radius ng bilog na ito kung alam na ang acute angle sa base ng trapezoid ay α.
Desisyon. Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na isosceles trapezoid na may mga base AD at BC, hayaan ang BH ang taas ng trapezoid na ito mula sa vertex B.
Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang naibigay na trapezoid, kung gayon 
Kaya naman,
Mula sa kanang tatsulok ABH nakita namin,
Sagot:
Gawain 4. Ibinigay ang isang trapezoid ABCD na may mga base AD at BC. Ang mga dayagonal na AC at BD ay nagsalubong sa punto O, at ang mga linyang AB at CD ay nagsalubong sa puntong K. Ang linyang KO ay nagsalubong sa mga gilid ng BC at AD sa mga puntong M at N, ayon sa pagkakabanggit, at ang anggulong BAD ay 30°. Ito ay kilala na ang isang bilog ay maaaring inscribed sa trapezoids ABMN at NMCD. Hanapin ang area ratio ng triangle BKC at trapezoid ABCD.
Desisyon. Tulad ng alam mo, para sa isang di-makatwirang trapezoid, ang linya na nagkokonekta sa intersection point ng mga diagonal at ang intersection point ng mga extension ng mga lateral side ay naghahati sa bawat isa sa mga base sa kalahati. Kaya BM = MC at AN = ND. Dagdag pa, dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa mga trapezoid ABMN at NMCD, kung gayon
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Ito ay sumusunod na AB = CD, iyon ay, ang trapezoid ABCD ay isosceles. Ang nais na ratio ng mga lugar ay hindi nakasalalay sa sukat, kaya maaari nating ipagpalagay na ang KN = x, KM = 1. Mula sa mga tamang tatsulok na AKN at BKM, nakuha natin na Muling pagsusulat ng kaugnayan na ginamit na sa itaas
BM + AN = AB + MN ⇔
Kailangan nating kalkulahin ang ratio:
Dito ginamit namin ang katotohanan na ang mga lugar ng mga tatsulok na AKD at BKC ay nauugnay bilang mga parisukat ng mga gilid na KN at KM, ibig sabihin, bilang x2.
Sagot:
Gawain 5. Sa isang matambok na quadrilateral ABCD, ang mga puntong E, F, H, G ay ang mga midpoint ng mga gilid AB, BC, CD, DA, ayon sa pagkakabanggit, at O ay ang intersection point ng mga segment na EH at FG. Ito ay kilala na EH = a, FG = b, Hanapin ang mga haba ng mga dayagonal ng quadrilateral.
Desisyon. Ito ay kilala na kung ikinonekta mo sa serye ang mga midpoint ng mga gilid ng isang arbitrary quadrilateral, makakakuha ka ng parallelogram. Sa aming kaso, ang EFHG ay isang paralelogram at ang O ay ang intersection point ng mga diagonal nito. Pagkatapos
Ilapat ang cosine theorem sa tatsulok na FOH:
Dahil ang FH ay ang midline ng triangle BCD, kung gayon
Katulad nito, ang paglalapat ng cosine theorem sa tatsulok na EFO, nakukuha natin iyon
Sagot:
Gawain 6. Ang mga gilid ng isang trapezoid ay 3 at 5. Ito ay kilala na ang isang bilog ay maaaring inscribed sa isang trapezoid. Ang midline ng isang trapezoid ay hinahati ito sa dalawang bahagi, ang ratio ng mga lugar kung saan ay katumbas ng Hanapin ang mga base ng trapezoid.
Desisyon. Hayaang ang ABCD ay isang binigay na trapezoid, AB = 3 at CD = 5 - ang mga gilid nito, ang mga puntos ng K at M - ang mga midpoint ng mga gilid ng AB at CD, ayon sa pagkakabanggit. Hayaan, para sa katiyakan, AD > BC, kung gayon ang lugar ng trapezoid AKMD ay magiging mas malaki kaysa sa lugar ng trapezoid KBCM. Dahil ang KM ay ang midline ng trapezoid ABCD, ang mga trapezoid na AKMD at KBCM ay may pantay na taas. Dahil ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas, kung gayon ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:
Dagdag pa, dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa trapezoid ABCD, pagkatapos ay AD + BC = AB + CD = 8. Pagkatapos KM = 4 bilang midline ng trapezoid ABCD. Hayaan ang BC = x, pagkatapos AD = 8 - x. Meron kami: 
Kaya BC = 1 at AD = 7.
Sagot: 1 at 7.
Gawain 7. Ang base AB ng trapezoid ABCD ay dalawang beses ang haba ng base CD at dalawang beses ang haba ng lateral side AD. Ang haba ng dayagonal AC ay a, at ang haba ng lateral side BC ay katumbas ng b. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
Desisyon. Hayaan ang E ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid ng trapezoid at CD = x, pagkatapos AD = x, AB = 2x. Ang Segment CD ay parallel sa segment AB at dalawang beses na mas maikli, kaya ang CD ay ang midline ng triangle ABE. Samakatuwid, CE = BC = b at DE = AD = x, kung saan AE = 2x. Kaya ang tatsulok na ABE ay isosceles (AB = AE) at AC ang median nito. Samakatuwid, ang AC ay din ang taas ng tatsulok na ito, at samakatuwid
Dahil ang tatsulok na DEC ay katulad ng tatsulok na AEB na may koepisyent ng pagkakatulad, kung gayon
Sagot:
Gawain 8. Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD ay bumalandra sa punto E. Hanapin ang lugar ng tatsulok BCE kung ang mga haba ng mga base ng trapezoid ay AB = 30, DC = 24, ang haba ng gilid AD = 3 at ang anggulo DAB ay 60 °.
Desisyon. Hayaan ang DH ang taas ng trapezoid. Mula sa tatsulok na ADH nakita natin iyon 
Dahil ang taas ng tatsulok na ABC, na bumaba mula sa vertex C, ay katumbas ng taas na DH ng trapezoid, mayroon tayong: 
Sagot:
Gawain 9. Sa isang trapezoid, ang midline ay 4, at ang mga anggulo sa isa sa mga base ay 40° at 50°. Hanapin ang mga base ng trapezoid kung ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ay 1.
Desisyon. Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na trapezoid, AB at CD ang mga base nito (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Palawakin natin ang mga gilid DA at CB sa intersection sa punto E. Isaalang-alang ang tatsulok na ABE, kung saan ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
kaya ∠AEB = 90°. Ang median EM ng tatsulok na ito, na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo, ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: EM = AM. Hayaan ang EM = x, pagkatapos ay ang AM = x, DN = 4 – x. Ayon sa kondisyon ng problema MN = 1, samakatuwid,
EN = x + 1. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AEM at DEN mayroon tayo:
Nangangahulugan ito na AB = 3 at CD = 5.
Sagot: 3 at 5.
Gawain 10. Ang isang matambok na may apat na gilid ABCD ay nakapaligid sa isang bilog na nakasentro sa puntong O, habang ang AO = OC = 1, BO = OD = 2. Hanapin ang perimeter ng may apat na gilid ABCD.
Desisyon. Hayaang K, L, M, N ang mga tangency point ng bilog na may mga gilid AB, BC, CD, DA, ayon sa pagkakabanggit, r - ang radius ng bilog. Dahil ang tangent sa bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact, ang mga triangles na AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO ay right-angled. Ang paglalapat ng Pythagorean theorem sa mga tatsulok na ito, nakukuha natin iyon
Samakatuwid, AB = BC = CD = DA, ibig sabihin, ang ABCD ay isang rhombus. Ang mga diagonal ng rhombus ay patayo sa bawat isa, at ang punto ng kanilang intersection ay ang sentro ng nakasulat na bilog. Mula dito madali nating makita na ang gilid ng rhombus ay pantay at, samakatuwid, ang perimeter ng rhombus ay katumbas ng
Sagot:
Mga gawain para sa malayang solusyon
C-1. Ang isang isosceles trapezoid ABCD ay nakapaligid sa isang bilog na radius r. Hayaang ang E at K ang mga tangency point ng bilog na ito na may mga gilid ng trapezoid. Ang anggulo sa pagitan ng base AB at ng gilid AD ng trapezoid ay 60°. Patunayan na ang EK ay parallel sa AB at hanapin ang lugar ng trapezoid ABEK.
C-2. Sa isang trapezoid, ang mga diagonal ay 3 at 5, at ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ay 2. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
C-3. Posible bang bilugan ang isang bilog sa paligid ng may apat na gilid ABCD kung ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. Sa trapezoid ABCD (AB ang base), ang mga halaga ng mga anggulo DAB, BCD, ADC, ABD at ADB ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa pagkakasunud-sunod kung saan sila nakasulat). Hanapin ang distansya mula sa vertex C hanggang sa dayagonal BD kung ang taas ng trapezoid ay h.
C-5. Ibinigay ang isang isosceles trapezoid kung saan ang isang bilog ay nakasulat at sa paligid kung saan ang isang bilog ay circumscribed. Ang ratio ng taas ng trapezoid sa radius ng circumscribed circle ay Hanapin ang mga anggulo ng trapezoid.
C-6. Ang lugar ng rectangle ABCD ay 48, at ang haba ng diagonal ay 10. Sa eroplano kung saan matatagpuan ang rectangle, isang point O ang pinili upang ang OB = OD = 13. Hanapin ang distansya mula sa point O hanggang sa tuktok ng parihaba na pinakamalayo mula dito.
C-7. Ang perimeter ng paralelogram ABCD ay 26. Ang anggulong ABC ay 120°. Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa tatsulok na BCD ay Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng parallelogram kung alam na AD > AB.
C-8. Quadrilateral ABCD ay nakasulat sa isang bilog na nakasentro sa punto O. Ang radius OA ay patayo sa radius OB, at ang radius OC ay patayo sa radius OD. Ang haba ng patayo na bumaba mula sa punto C hanggang sa linya AD ay 9. Ang haba ng segment BC ay kalahati ng haba ng segment AD. Hanapin ang lugar ng tatsulok na AOB.
C-9. Sa isang matambok na may apat na gilid ABCD, ang mga vertices A at C ay magkasalungat, at ang haba ng gilid AB ay 3. Anggulo ABC ay anggulo BCD ay Hanapin ang haba ng gilid AD kung alam mo na ang lugar ng quadrilateral ay 
C-10. Ang convex quadrilateral ABCD ay may mga dayagonal na AC at BD. Ito ay kilala na
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, at ang distansya sa pagitan ng punto ng intersection ng mga bisector ng triangle ABD at ang punto ng intersection ng mga bisector ng triangle ACD ay Hanapin ang haba ng side BC.
C-11. Hayaang ang M ang intersection point ng mga diagonal ng isang convex quadrilateral ABCD, kung saan ang mga gilid AB, AD at BC ay pantay. Hanapin ang anggulo CMD kung alam na DM = MC,
at ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. Sa quadrilateral ABCD, alam natin na ∠A = 74°, ∠D = 120°. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga bisector ng mga anggulo B at C.
C-13. Ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa may apat na gilid ABCD. Hayaang K ang punto ng intersection ng mga diagonal nito. Ito ay kilala na ang AB > BC > KC, at ang perimeter at lugar ng tatsulok na BKC ay 14 at 7, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang DC.
C-14. Sa isang trapezoid na nakapaligid sa isang bilog, alam na ang BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Hanapin ang AB kung ang lugar ng trapezoid ABCD ay 10.
C-15. Sa trapezoid ABCD na may mga base AB at CD, ito ay kilala na 
∠CAB = 2∠DBA. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
C-16. Sa paralelogram ABCD alam natin na AC = a, ∠CAB = 60°. Hanapin ang lugar ng paralelogram.
S-17. Sa quadrilateral ABCD, ang mga diagonal na AC at BD ay nagsalubong sa puntong K. Ang mga punto L at M ay ayon sa pagkakabanggit ang mga midpoint ng panig BC at AD. Ang Segment LM ay naglalaman ng punto K. May apat na gilid ang ABCD na maaaring may nakasulat na bilog dito. Hanapin ang radius ng bilog na ito kung AB=3 at LK:KM=1:3.
C-18. Ang convex quadrilateral ABCD ay may mga dayagonal na AC at BD. Sa kasong ito, ∠BAC =
= ∠BDC, at ang lugar ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na BDC ay katumbas ng
a) Hanapin ang radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na ABC.
b) Alam na ang BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, hanapin ang lugar ng quadrilateral ABCD.
Tandaan. Ito ay bahagi ng aralin na may mga problema sa geometry (parallelogram section). Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, na wala dito - isulat ang tungkol dito sa forum. Upang tukuyin ang aksyon ng pagkuha ng square root sa paglutas ng mga problema, ang simbolo √ o sqrt () ay ginagamit, at ang radikal na expression ay ipinahiwatig sa mga bracket.
Teoretikal na materyal
Mga paliwanag sa mga pormula para sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram:
- Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga gilid nito at ang taas sa gilid na iyon.
- Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila
- Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila
Mga problema para sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram
Gawain.Sa isang paralelogram, ang mas maliit na taas at ang mas maliit na gilid ay 9 cm at ang ugat ng 82, ayon sa pagkakabanggit. Ang pinakamahabang dayagonal ay 15 cm. Hanapin ang lugar ng parallelogram.
Desisyon.
Tukuyin natin ang mas maliit na taas ng parallelogram ABCD, na ibinaba mula sa punto B hanggang sa mas malaking base AD bilang BK.
Hanapin ang halaga ng binti ng isang right triangle ABK na nabuo ng isang mas maliit na taas, isang mas maliit na gilid at isang bahagi ng isang mas malaking base. Ayon sa Pythagorean theorem:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1
Palawakin natin ang itaas na base ng parallelogram BC at ibaba ang taas AN dito mula sa ibabang base nito. AN = BK bilang mga gilid ng parihaba ANBK. Sa resultang kanang tatsulok na ANC nakita namin ang binti NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12
Ngayon hanapin natin ang mas malaking base BC ng parallelogram ABCD.
BC=NC-NB
Isinasaalang-alang namin na ang NB = AK bilang mga gilid ng rektanggulo, kung gayon
BC=12 - 1=11
Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base at ang taas sa base na ito.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99
Sagot: 99 cm2.
Gawain
Sa parallelogram ABCD, ang perpendicular BO ay ibinaba sa dayagonal AC. Hanapin ang lugar ng parallelogram kung AO=8, OS=6 at BO=4.
Desisyon.
Ihulog natin ang isa pang patayong DK sa dayagonal na AC.
Alinsunod dito, ang mga tatsulok na AOB at DKC, COB at AKD ay magkaparehong magkapares. Ang isa sa mga gilid ay ang kabaligtaran na bahagi ng parallelogram, ang isa sa mga anggulo ay isang tama, dahil ito ay patayo sa dayagonal, at ang isa sa mga natitirang anggulo ay ang panloob na krus na nakahiga para sa magkatulad na panig ng parallelogram at ang secant. ng dayagonal.
Kaya, ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng lugar ng ipinahiwatig na mga tatsulok. I.e
Sparall = 2S AOB +2S BOC
Ang lugar ng isang kanang tatsulok ay kalahati ng produkto ng mga binti. saan
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Sagot: 56 cm2.
Kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito, bilang karagdagan sa pangunahing katangian paralelogram at ang kaukulang mga formula, maaari mong tandaan at ilapat ang mga sumusunod:
- Ang bisector ng panloob na anggulo ng isang paralelogram ay pinuputol ang isang isosceles triangle mula dito
- Ang mga bisector ng mga panloob na anggulo na katabi ng isa sa mga gilid ng isang paralelogram ay magkaparehong patayo
- Mga bisector na nagmumula sa magkasalungat na panloob na mga anggulo ng parallelogram, parallel sa isa't isa o nakahiga sa isang tuwid na linya
- Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid nito
- Ang lugar ng isang parallelogram ay kalahati ng produkto ng mga diagonal na beses ang sine ng anggulo sa pagitan nila.
Isaalang-alang natin ang mga gawain sa solusyon kung saan ginagamit ang mga katangiang ito.
Gawain 1.
Ang bisector ng anggulo C ng parallelogram ABCD ay nag-intersect sa side AD sa point M at ang pagpapatuloy ng side AB na lampas sa point A sa point E. Hanapin ang perimeter ng parallelogram kung AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Desisyon.
1. Triangle CMD isosceles. (Property 1). Samakatuwid, ang CD = MD = 3 cm.
2. Ang Triangle EAM ay isosceles.
Samakatuwid, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimeter ABCD = 20 cm.
Sagot. 20 cm
Gawain 2.
Ang mga dayagonal ay iginuhit sa isang matambok na may apat na gilid na ABCD. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles ABD, ACD, BCD ay pantay. Patunayan na ang ibinigay na quadrilateral ay isang paralelogram.
Desisyon.
1. Hayaan ang BE ang taas ng tatsulok na ABD, CF ang taas ng tatsulok na ACD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base AD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. BE = CF.
2. BE, CF ay patayo sa AD. Ang mga punto B at C ay matatagpuan sa parehong gilid ng linya AD. BE = CF. Samakatuwid, ang linyang BC || AD. (*)
3. Hayaang AL ang altitude ng triangle ACD, BK ang altitude ng triangle BCD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base CD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. AL = BK.
4. Ang AL at BK ay patayo sa CD. Ang mga punto B at A ay matatagpuan sa parehong gilid ng tuwid na linyang CD. AL = BK. Samakatuwid, ang linyang AB || CD (**)
5. Ang mga kondisyon (*), (**) ay nagpapahiwatig na ang ABCD ay isang paralelogram.
Sagot. Napatunayan. Ang ABCD ay isang paralelogram.
Gawain 3.
Sa mga gilid ng BC at CD ng parallelogram ABCD, ang mga puntong M at H ay minarkahan, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga segment na BM at HD ay magsalubong sa puntong O;<ВМD = 95 о,
Desisyon.
1. Sa tatsulok na DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Sa isang kanang tatsulok na DHC Pagkatapos<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ngunit ang CD = AB. Pagkatapos AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Sagot: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Gawain 4. Ang isa sa mga diagonal ng isang paralelogram na may haba na 4√6 ay gumagawa ng isang anggulo na 60° sa base, at ang pangalawang dayagonal ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may parehong base. Hanapin ang pangalawang dayagonal. Desisyon.
1. AO = 2√6. 2. Ilapat ang sine theorem sa tatsulok na AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Sagot: 12.
Gawain 5. Para sa isang paralelogram na may mga gilid na 5√2 at 7√2, ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay katumbas ng mas maliit na anggulo ng paralelogram. Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga dayagonal. Desisyon.
Hayaang ang d 1, d 2 ay ang mga diagonal ng parallelogram, at ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal at ang mas maliit na anggulo ng parallelogram ay φ. 1. Magbilang tayo ng dalawang magkaibang S ABCD \u003d AB AD kasalanan A \u003d 5√2 7√2 kasalanan f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD kasalanan AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 kasalanan f. Nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f o 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Gamit ang ratio sa pagitan ng mga gilid at diagonal ng paralelogram, isinulat namin ang pagkakapantay-pantay (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Gumawa tayo ng sistema: (d 1 2 + d 2 2 = 296, I-multiply ang pangalawang equation ng system sa pamamagitan ng 2 at idagdag ito sa una. Nakukuha namin ang (d 1 + d 2) 2 = 576. Samakatuwid Id 1 + d 2 I = 24. Dahil ang d 1, ang d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng parallelogram, kung gayon ang d 1 + d 2 = 24. Sagot: 24.
Gawain 6. Ang mga gilid ng paralelogram ay 4 at 6. Ang matinding anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay 45 o. Hanapin ang lugar ng paralelogram. Desisyon.
1. Mula sa tatsulok na AOB, gamit ang cosine theorem, isinusulat namin ang relasyon sa pagitan ng gilid ng parallelogram at ng mga diagonal. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Katulad nito, isinusulat namin ang kaugnayan para sa tatsulok na AOD. Isinasaalang-alang namin iyon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Nakukuha natin ang equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. May sistema tayo Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2d 1 d 2 √2 = 80 o d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Tandaan: Sa ito at sa nakaraang problema, hindi na kailangang ganap na lutasin ang sistema, nakikita na sa problemang ito kailangan namin ang produkto ng mga diagonal upang makalkula ang lugar. Sagot: 10. Gawain 7. Ang lugar ng parallelogram ay 96 at ang mga gilid nito ay 8 at 15. Hanapin ang parisukat ng mas maliit na dayagonal. Desisyon.
1. S ABCD \u003d AB AD kasalanan VAD. Gumawa tayo ng pagpapalit sa formula. Nakukuha natin ang 96 = 8 15 sin VAD. Kaya kasalanan VAD = 4/5. 2. Maghanap ng cos BAD. kasalanan 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. Ayon sa kondisyon ng problema, makikita natin ang haba ng mas maliit na dayagonal. Ang diagonal BD ay magiging mas maliit kung ang angle BAD ay talamak. Pagkatapos cos BAD = 3/5. 3. Mula sa tatsulok na ABD, gamit ang cosine theorem, nakita natin ang parisukat ng dayagonal na BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Sagot: 145.
May tanong ka ba? Hindi alam kung paano lutasin ang isang problema sa geometry? site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan. Formula para sa lugar ng isang paralelogram Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng gilid nito at ang taas ay ibinaba sa panig na ito. Kung ang parallelogram ay isang parihaba, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa pamamagitan ng teorama ng rectangle area. Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang mga sulok ng paralelogram ay hindi tama. Hayaang ang $\angle BAD$ ay isang acute angle sa isang parallelogram na $ABCD$ at $AD > AB$. Kung hindi, papalitan namin ang pangalan ng vertex. Pagkatapos ang taas na $BH$ mula sa vertex $B$ hanggang sa linyang $AD$ ay bumabagsak sa gilid na $AD$, dahil ang binti na $AH$ ay mas maikli kaysa sa hypotenuse na $AB$, at $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Ihambing natin ang lugar ng parallelogram $ ABCD$ at ang lugar ng rectangle $HBCK$. Ang lugar ng parallelogram ay mas malaki sa pamamagitan ng lugar na $\triangle ABH$, ngunit mas kaunti sa pamamagitan ng lugar na $\triangle DCK$. Dahil ang mga tatsulok na ito ay magkatugma, ang kanilang mga lugar ay magkatugma din. Nangangahulugan ito na ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng lugar ng isang parihaba na may mga gilid na mahaba sa gilid at ang taas ng parallelogram. Formula para sa lugar ng isang paralelogram sa mga tuntunin ng mga gilid at sine Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Ang taas ng parallelogram na $ABCD$ na ibinaba sa gilid na $AB$ ay katumbas ng produkto ng segment na $BC$ at ang sine ng anggulo na $\angle ABC$. Ito ay nananatiling ilapat ang nakaraang assertion. Formula para sa lugar ng isang paralelogram sa mga tuntunin ng mga diagonal Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Hayaang mag-intersect ang mga diagonal ng parallelogram na $ABCD$ sa puntong $O$ sa isang anggulo na $\alpha$. Pagkatapos ay $AO=OC$ at $BO=OD$ ng parallelogram property. Ang mga sine ng mga anggulo na nagdaragdag ng hanggang $180^\circ$ ay $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Samakatuwid, ang mga sine ng mga anggulo sa intersection ng mga dayagonal ay katumbas ng $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\tatsulok AOB) + S_(\tatsulok na BOC) + S_(\tatsulok na COD) + S_(\tatsulok na AOD)$ ayon sa axiom ng pagsukat ng lugar. Ilapat ang formula ng tatsulok na lugar $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ para sa mga tatsulok at anggulo na ito kapag nagsalubong ang mga diagonal. Ang mga gilid ng bawat isa ay katumbas ng kalahati ng mga diagonal, ang mga sine ay pantay din. Samakatuwid, ang mga lugar ng lahat ng apat na tatsulok ay $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Summing up sa lahat ng nasa itaas, nakukuha namin $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$ Kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito, bilang karagdagan sa pangunahing katangian paralelogram at ang kaukulang mga formula, maaari mong tandaan at ilapat ang mga sumusunod: Isaalang-alang natin ang mga gawain sa solusyon kung saan ginagamit ang mga katangiang ito. Gawain 1. Ang bisector ng anggulo C ng parallelogram ABCD ay nag-intersect sa side AD sa point M at ang pagpapatuloy ng side AB na lampas sa point A sa point E. Hanapin ang perimeter ng parallelogram kung AE \u003d 4, DM \u003d 3. Desisyon.
1. Triangle CMD isosceles. (Property 1). Samakatuwid, ang CD = MD = 3 cm. 2. Ang Triangle EAM ay isosceles. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Perimeter ABCD = 20 cm. Sagot. 20 cm
Gawain 2. Ang mga dayagonal ay iginuhit sa isang matambok na may apat na gilid na ABCD. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles ABD, ACD, BCD ay pantay. Patunayan na ang ibinigay na quadrilateral ay isang paralelogram. Desisyon.
1. Hayaan ang BE ang taas ng tatsulok na ABD, CF ang taas ng tatsulok na ACD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base AD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. BE = CF. 2. BE, CF ay patayo sa AD. Ang mga punto B at C ay matatagpuan sa parehong gilid ng linya AD. BE = CF. Samakatuwid, ang linyang BC || AD. (*) 3. Hayaang AL ang altitude ng triangle ACD, BK ang altitude ng triangle BCD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base CD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. AL = BK. 4. Ang AL at BK ay patayo sa CD. Ang mga punto B at A ay matatagpuan sa parehong gilid ng tuwid na linyang CD. AL = BK. Samakatuwid, ang linyang AB || CD (**) 5. Ang mga kondisyon (*), (**) ay nagpapahiwatig na ang ABCD ay isang paralelogram. Sagot. Napatunayan. Ang ABCD ay isang paralelogram.
Gawain 3. Sa mga gilid ng BC at CD ng parallelogram ABCD, ang mga puntong M at H ay minarkahan, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga segment na BM at HD ay magsalubong sa puntong O;<ВМD = 95 о, 1. Sa tatsulok na DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. Sa isang kanang tatsulok na DHC Pagkatapos<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ngunit ang CD = AB. Pagkatapos AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Sagot: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Gawain 4. Ang isa sa mga diagonal ng isang paralelogram na may haba na 4√6 ay gumagawa ng isang anggulo na 60° sa base, at ang pangalawang dayagonal ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may parehong base. Hanapin ang pangalawang dayagonal. Desisyon.
1. AO = 2√6. 2. Ilapat ang sine theorem sa tatsulok na AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Sagot: 12.
Gawain 5. Para sa isang paralelogram na may mga gilid na 5√2 at 7√2, ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay katumbas ng mas maliit na anggulo ng paralelogram. Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga dayagonal. Desisyon.
Hayaang ang d 1, d 2 ay ang mga diagonal ng parallelogram, at ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal at ang mas maliit na anggulo ng parallelogram ay φ. 1. Magbilang tayo ng dalawang magkaibang S ABCD \u003d AB AD kasalanan A \u003d 5√2 7√2 kasalanan f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD kasalanan AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 kasalanan f. Nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f o 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Gamit ang ratio sa pagitan ng mga gilid at diagonal ng paralelogram, isinulat namin ang pagkakapantay-pantay (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Gumawa tayo ng sistema: (d 1 2 + d 2 2 = 296, I-multiply ang pangalawang equation ng system sa pamamagitan ng 2 at idagdag ito sa una. Nakukuha namin ang (d 1 + d 2) 2 = 576. Samakatuwid Id 1 + d 2 I = 24. Dahil ang d 1, ang d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng parallelogram, kung gayon ang d 1 + d 2 = 24. Sagot: 24.
Gawain 6. Ang mga gilid ng paralelogram ay 4 at 6. Ang matinding anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay 45 o. Hanapin ang lugar ng paralelogram. Desisyon.
1. Mula sa tatsulok na AOB, gamit ang cosine theorem, isinusulat namin ang relasyon sa pagitan ng gilid ng parallelogram at ng mga diagonal. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Katulad nito, isinusulat namin ang kaugnayan para sa tatsulok na AOD. Isinasaalang-alang namin iyon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Nakukuha natin ang equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. May sistema tayo Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2d 1 d 2 √2 = 80 o d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Tandaan: Sa ito at sa nakaraang problema, hindi na kailangang ganap na lutasin ang sistema, nakikita na sa problemang ito kailangan namin ang produkto ng mga diagonal upang makalkula ang lugar. Sagot: 10. Gawain 7. Ang lugar ng parallelogram ay 96 at ang mga gilid nito ay 8 at 15. Hanapin ang parisukat ng mas maliit na dayagonal. Desisyon.
1. S ABCD \u003d AB AD kasalanan VAD. Gumawa tayo ng pagpapalit sa formula. Nakukuha natin ang 96 = 8 15 sin VAD. Kaya kasalanan VAD = 4/5. 2. Maghanap ng cos BAD. kasalanan 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. Ayon sa kondisyon ng problema, makikita natin ang haba ng mas maliit na dayagonal. Ang diagonal BD ay magiging mas maliit kung ang angle BAD ay talamak. Pagkatapos cos BAD = 3/5. 3. Mula sa tatsulok na ABD, gamit ang cosine theorem, nakita natin ang parisukat ng dayagonal na BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Sagot: 145.
May tanong ka ba? Hindi alam kung paano lutasin ang isang problema sa geometry? blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
(
(Dahil sa isang kanang tatsulok, ang binti na nasa tapat ng isang anggulo na 30 o ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse).
paraan ng lugar nito.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
Patunay
Patunay
Patunay
Samakatuwid, AE = AM = 4 cm.Desisyon.
(
(Dahil sa isang kanang tatsulok, ang binti na nasa tapat ng isang anggulo na 30 o ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse).paraan ng lugar nito.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!
