Para sa kaginhawaan ng pagsasaalang-alang sa isang power function, isasaalang-alang namin ang 4 na magkakahiwalay na kaso: isang power function na may natural na exponent, isang power function na may integer exponent, isang power function na may rational exponent, at isang power function na may hindi makatwiran na exponent.
Power function na may natural na exponent
Upang magsimula, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent.
Kahulugan 1
Ang kapangyarihan ng isang tunay na numerong $a$ na may natural na exponent na $n$ ay isang numero na katumbas ng produkto ng $n$ na mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang na $a$.
Larawan 1.
$a$ ang batayan ng antas.
$n$ - exponent.
Isaalang-alang ngayon ang isang power function na may natural na exponent, mga katangian at graph nito.
Kahulugan 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ ay tinatawag na power function na may natural na exponent.
Para sa karagdagang kaginhawahan, isaalang-alang nang hiwalay ang power function na may even exponent $f\left(x\right)=x^(2n)$ at ang power function na may odd exponent $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.
Mga katangian ng isang power function na may natural even exponent
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ ay isang even function.
Saklaw -- $ \
Bumababa ang function bilang $x\in (-\infty ,0)$ at tumataas bilang $x\in (0+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$
Ang function ay matambok sa buong domain ng kahulugan.
Pag-uugali sa dulo ng saklaw:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Graph (Larawan 2).
Figure 2. Graph ng function na $f\left(x\right)=x^(2n)$
Mga katangian ng isang power function na may natural na kakaibang exponent
Ang domain ng kahulugan ay lahat ng tunay na numero.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ay isang kakaibang function.
Ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.
Ang saklaw ay lahat ng tunay na numero.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan.
$f\left(x\right)0$, para sa $x\in (0+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \kaliwa(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Ang function ay malukong para sa $x\in (-\infty ,0)$ at convex para sa $x\in (0+\infty)$.
Graph (Larawan 3).
Figure 3. Graph ng function na $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Power function na may integer exponent
Upang magsimula, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may isang integer exponent.
Kahulugan 3
Ang antas ng isang tunay na numerong $a$ na may integer exponent na $n$ ay tinutukoy ng formula:
Larawan 4
Isaalang-alang ngayon ang isang power function na may integer exponent, mga katangian at graph nito.
Kahulugan 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ay tinatawag na power function na may integer exponent.
Kung ang antas ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ay dumating tayo sa kaso ng isang power function na may natural na exponent. Isinaalang-alang na natin ito sa itaas. Para sa $n=0$ nakakakuha kami ng linear function na $y=1$. Iniiwan namin ang pagsasaalang-alang nito sa mambabasa. Ito ay nananatiling isaalang-alang ang mga katangian ng isang power function na may negatibong integer exponent
Mga katangian ng isang power function na may negatibong integer exponent
Ang saklaw ay $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.
Kung ang exponent ay even, kung gayon ang function ay even; kung ito ay kakaiba, kung gayon ang function ay kakaiba.
Ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.
Saklaw ng halaga:
Kung ang exponent ay even, kung gayon ay $(0+\infty)$, kung kakaiba, pagkatapos ay $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.
Kung kakaiba ang exponent, bumababa ang function bilang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$. Para sa pantay na exponent, bumababa ang function bilang $x\in (0+\infty)$. at tataas bilang $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ sa buong domain
1. Power function, mga katangian at graph nito;
2. Mga Pagbabago:
Parallel transfer;
Symmetry tungkol sa mga coordinate axes;
Symmetry tungkol sa pinagmulan;
Symmetry tungkol sa linyang y = x;
Lumalawak at lumiliit sa kahabaan ng coordinate axes.
3. Isang exponential function, mga katangian at graph nito, mga katulad na pagbabago;
4. Logarithmic function, mga katangian at graph nito;
5. Trigonometric function, mga katangian at graph nito, mga katulad na pagbabago (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Function: y = x\n - mga katangian at graph nito.
Power function, mga katangian at graph nito
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x atbp. Ang lahat ng mga function na ito ay mga espesyal na kaso ng power function, ibig sabihin, ang function y = xp, kung saan ang p ay isang ibinigay na tunay na numero.
Ang mga katangian at graph ng isang power function ay mahalagang nakasalalay sa mga katangian ng isang kapangyarihan na may isang tunay na exponent, at lalo na sa mga halaga kung saan x at p may katuturan xp. Magpatuloy tayo sa isang katulad na pagsasaalang-alang ng iba't ibang mga kaso, depende sa
exponent p.
- Tagapagpahiwatig p = 2n ay isang natural na numero.
y=x2n, saan n ay isang natural na numero at may mga sumusunod na katangian:
- ang domain ng kahulugan ay lahat ng tunay na numero, ibig sabihin, ang set R;
- hanay ng mga halaga - di-negatibong mga numero, ibig sabihin, ang y ay mas malaki sa o katumbas ng 0;
- function y=x2n kahit, dahil x 2n = (-x) 2n
- ang function ay bumababa sa pagitan x< 0 at pagtaas sa pagitan x > 0.
Function Graph y=x2n ay may parehong anyo tulad ng, halimbawa, ang graph ng isang function y=x4.
2. Tagapagpahiwatig p = 2n - 1- kakaibang natural na numero
Sa kasong ito, ang power function y=x2n-1, kung saan ang isang natural na numero, ay may mga sumusunod na katangian:
- domain ng kahulugan - itakda ang R;
- hanay ng mga halaga - set R;
- function y=x2n-1 kakaiba kasi (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
- tumataas ang function sa buong totoong axis.
Function Graph y=x2n-1 y=x3.
3. Tagapagpahiwatig p=-2n, saan n- natural na numero.
Sa kasong ito, ang power function y=x-2n=1/x2n ay may mga sumusunod na katangian:
- hanay ng mga halaga - positibong numero y>0;
- function y = 1/x2n kahit, dahil 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- ang pag-andar ay tumataas sa pagitan ng x0.
Graph ng function na y = 1/x2n ay may parehong anyo gaya ng, halimbawa, ang graph ng function na y = 1/x2.
4. Tagapagpahiwatig p = -(2n-1), saan n- natural na numero.
Sa kasong ito, ang power function y=x-(2n-1) ay may mga sumusunod na katangian:
- ang domain ng kahulugan ay ang set R, maliban sa x = 0;
- hanay ng mga halaga - set R, maliban sa y = 0;
- function y=x-(2n-1) kakaiba kasi (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- ang pag-andar ay bumababa sa mga pagitan x< 0 at x > 0.
Function Graph y=x-(2n-1) ay may parehong anyo tulad ng, halimbawa, ang graph ng function y = 1/x3.
