Sa paglutas ng problema C2 gamit ang coordinate method, maraming estudyante ang nahaharap sa parehong problema. Hindi nila makalkula mga coordinate ng punto kasama sa scalar product formula. Ang pinakamalaking paghihirap ay mga pyramid. At kung ang mga base point ay itinuturing na higit pa o hindi gaanong normal, kung gayon ang mga tuktok ay isang tunay na impiyerno.
Ngayon ay haharapin natin ang isang regular na quadrangular pyramid. Mayroon ding tatsulok na pyramid (aka - tetrahedron). Ito ay isang mas kumplikadong disenyo, kaya isang hiwalay na aralin ang ilalaan dito.
Magsimula tayo sa kahulugan:
Ang isang regular na pyramid ay isa kung saan:
- Ang base ay isang regular na polygon: tatsulok, parisukat, atbp.;
- Ang taas na iginuhit sa base ay dumadaan sa gitna nito.
Sa partikular, ang base ng isang quadrangular pyramid ay parisukat. Tulad ng Cheops, mas maliit lang ng kaunti.
Nasa ibaba ang mga kalkulasyon para sa isang pyramid na ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kung hindi ito ang kaso sa iyong problema, ang mga kalkulasyon ay hindi nagbabago - ang mga numero lamang ang magkakaiba.
Vertices ng isang quadrangular pyramid
Kaya, hayaan ang isang regular na quadrangular pyramid SABCD, kung saan ang S ay ang tuktok, ang base ng ABCD ay isang parisukat. Ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1. Kinakailangang magpasok ng isang coordinate system at hanapin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto. Meron kami:
Ipinakilala namin ang isang coordinate system na may pinagmulan sa punto A:
- Ang axis OX ay nakadirekta parallel sa gilid AB ;
- Axis OY - parallel sa AD . Dahil ang ABCD ay isang parisukat, AB ⊥ AD ;
- Sa wakas, ang OZ axis ay nakadirekta paitaas, patayo sa eroplanong ABCD.
Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang mga coordinate. Karagdagang konstruksiyon: SH - taas na iginuhit sa base. Para sa kaginhawahan, kukunin namin ang base ng pyramid sa isang hiwalay na pigura. Dahil ang mga puntong A , B , C at D ay nasa OXY plane, ang kanilang coordinate ay z = 0. Mayroon kaming:
- A = (0; 0; 0) - tumutugma sa pinanggalingan;
- B = (1; 0; 0) - hakbang sa pamamagitan ng 1 kasama ang OX axis mula sa pinanggalingan;
- C = (1; 1; 0) - hakbang ng 1 sa kahabaan ng OX axis at ng 1 sa kahabaan ng OY axis;
- D = (0; 1; 0) - hakbang lamang sa kahabaan ng OY axis.
- H \u003d (0.5; 0.5; 0) - ang gitna ng parisukat, ang gitna ng segment AC.
Ito ay nananatili upang mahanap ang mga coordinate ng punto S. Tandaan na ang mga x at y na coordinate ng mga puntos na S at H ay pareho dahil nakahiga sila sa isang tuwid na linya na kahanay sa OZ axis. Ito ay nananatiling mahanap ang z coordinate para sa puntong S .
Isaalang-alang ang mga tatsulok na ASH at ABH :
- AS = AB = 1 ayon sa kondisyon;
- Anggulo AHS = AHB = 90° dahil ang SH ay ang taas at AH ⊥ HB bilang mga dayagonal ng isang parisukat;
- Side AH - karaniwan.
Samakatuwid right triangles ASH at ABH pantay isang paa at isang hypotenuse. Kaya SH = BH = 0.5 BD . Ngunit ang BD ay ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid 1. Samakatuwid, mayroon tayong:
Kabuuang mga coordinate ng point S:
Sa konklusyon, isinulat namin ang mga coordinate ng lahat ng mga vertices ng isang regular na hugis-parihaba na pyramid:
Ano ang gagawin kapag iba ang tadyang
Ngunit paano kung ang mga gilid na gilid ng pyramid ay hindi katumbas ng mga gilid ng base? Sa kasong ito, isaalang-alang ang tatsulok na AHS:
Triangle AHS- hugis-parihaba, at ang hypotenuse AS ay isa ring gilid na gilid ng orihinal na pyramid SABCD. Ang binti AH ay madaling isaalang-alang: AH = 0.5 AC. Hanapin ang natitirang binti SH ayon sa Pythagorean theorem. Ito ang magiging z coordinate para sa punto S.
Gawain. Given a regular quadrangular pyramid SABCD , sa base kung saan namamalagi ang isang parisukat na may gilid 1. Gilid na gilid BS = 3. Hanapin ang mga coordinate ng point S .
Alam na natin ang x at y coordinate ng puntong ito: x = y = 0.5. Ito ay sumusunod mula sa dalawang katotohanan:
- Ang projection ng point S papunta sa OXY plane ay ang point H;
- Kasabay nito, ang punto H ay ang sentro ng parisukat na ABCD, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng 1.
Ito ay nananatili upang mahanap ang coordinate ng punto S. Isaalang-alang ang tatsulok na AHS. Ito ay hugis-parihaba, na may hypotenuse AS = BS = 3, ang binti AH ay kalahati ng dayagonal. Para sa karagdagang mga kalkulasyon, kailangan namin ang haba nito:
Pythagorean theorem para sa tatsulok AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Meron kami:
Kaya, ang mga coordinate ng punto S:
Kahulugan. Nakatagilid na mukha- ito ay isang tatsulok kung saan ang isang anggulo ay namamalagi sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi nito ay tumutugma sa gilid ng base (polygon).
Kahulugan. Mga tadyang sa gilid ay ang karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha. Ang isang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga sulok sa isang polygon.
Kahulugan. taas ng pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.
Kahulugan. Apothem- ito ang patayo ng gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.
Kahulugan. Diagonal na seksyon- ito ay isang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.
Kahulugan. Tamang pyramid- Ito ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.
Dami at lugar sa ibabaw ng pyramid
Formula. dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:
mga katangian ng pyramid
Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).
Kung ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay, kung gayon sila ay nakakiling sa base plane sa parehong mga anggulo.
Ang mga lateral ribs ay pantay-pantay kapag bumubuo sila ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.
Kung ang mga gilid na mukha ay nakakiling sa eroplano ng base sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito.
Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa base plane sa isang anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.
Mga katangian ng isang regular na pyramid
1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.
2. Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay.
3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa parehong mga anggulo sa base.
4. Ang mga apothems ng lahat ng side face ay pantay.
5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.
6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.
7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng inilarawang globo ay ang intersection point ng mga patayo na dumadaan sa gitna ng mga gilid.
8. Ang isang sphere ay maaaring nakasulat sa isang pyramid. Ang gitna ng inscribed sphere ay ang intersection point ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.
9. Kung ang gitna ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga flat na anggulo sa tuktok ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan n ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.
Ang koneksyon ng pyramid sa globo
Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid kapag sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang polyhedron sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring inilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.
Ang isang globo ay palaging maaaring ilarawan sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.
Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.
Ang koneksyon ng pyramid sa kono
Ang isang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay pantay.
Ang isang kono ay sinasabing napapaligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nagsasabay at ang base ng kono ay napapaligiran sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.
Koneksyon ng isang pyramid na may isang silindro
Ang isang pyramid ay sinasabing naka-inscribe sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay namamalagi sa isang base ng silindro, at ang base ng pyramid ay naka-inscribe sa isa pang base ng cylinder.
Ang isang cylinder ay maaaring paligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.
Ang bawat taluktok ay binubuo ng tatlong mukha at mga gilid na nabuo trihedral na anggulo.
Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median ng tetrahedron(GM).
Bimedian ay tinatawag na segment na nagdudugtong sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid na hindi magkadikit (KL).
Ang lahat ng bimedians at median ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median sa isang ratio na 3: 1 simula sa itaas.
Kahulugan. Acute Angled Pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. mapurol na pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. regular na tetrahedron Isang tetrahedron na ang apat na mukha ay equilateral triangles. Isa ito sa limang regular na polygon. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa isang vertex) ay pantay.
Kahulugan. Parihabang tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba trihedral anggulo at ang mga mukha ay tamang tatsulok, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang mukha ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.
Kahulugan. Isohedral tetrahedron Ang isang tetrahedron ay tinatawag kung saan ang mga gilid na mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Ang mga mukha ng naturang tetrahedron ay isosceles triangles.
Kahulugan. Orthocentric tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (mga patayo) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay nagsalubong sa isang punto.
Kahulugan. star pyramid Ang isang polyhedron na ang base ay isang bituin ay tinatawag.
Pyramid. Pinutol na pyramid
Pyramid ay tinatawag na polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .
Tadyang sa gilid Ang pyramid ay tinatawag na gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa isa't isa, lahat ng panig na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothema . diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.
Side surface area pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.
Theorems
1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid na gilid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.
2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.
3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.
Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, tama ang formula:
saan V- dami;
S pangunahing- base na lugar;
H ay ang taas ng pyramid.
Para sa isang regular na pyramid, ang mga sumusunod na formula ay totoo:
saan p- ang perimeter ng base;
h a- apothem;
H- taas;
S puno
S gilid
S pangunahing- base na lugar;
V ay ang volume ng isang regular na pyramid.
pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at ng cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Tamang pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid.
Mga pundasyon pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - trapezoid. taas ang pinutol na pyramid ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal Ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.
Para sa isang pinutol na pyramid, ang mga formula ay wasto:
(4)
saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;
S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;
S gilid ay ang lateral surface area;
H- taas;
V ay ang dami ng pinutol na pyramid.
Para sa isang regular na pinutol na pyramid, ang sumusunod na formula ay totoo:
saan p 1 , p 2 - base perimeter;
h a- ang apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.
Halimbawa 1 Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.
Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).
 |
Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na ang base ay isang equilateral triangle at ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ang magiging anggulo a sa pagitan ng dalawang perpendicular: i.e. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng circumscribed na bilog at ang nakasulat na bilog sa triangle ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang (halimbawa SB) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito sa base plane. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang padaplis kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB. Hayaan ang haba ng segment BD ay 3 a. tuldok O segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: 
Mula sa nakita namin: 
Sagot:
Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm at ang taas ay 4 cm.
Desisyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang mga lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit. Nangangahulugan ito ng mga lugar ng mga base at Pagpapalit ng lahat ng data sa formula, kinakalkula namin ang dami ng pinutol na pyramid:
Sagot: 112 cm3.
Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng lateral face ng isang regular na triangular truncated pyramid na ang mga gilid ng base ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.
Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).
Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezium. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang mga base at taas. Ang mga base ay ibinibigay sa pamamagitan ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hanapin ito mula sa kung saan PERO 1 E patayo mula sa isang punto PERO 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D- patayo mula sa PERO 1 sa AC. PERO 1 E\u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para sa paghahanap DE gagawa kami ng karagdagang pagguhit, kung saan ilalarawan namin ang isang tuktok na view (Larawan 20). Dot O- projection ng mga sentro ng upper at lower base. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK ay ang radius ng inscribed na bilog at 
OM ay ang radius ng inscribed na bilog:
MK=DE.
Ayon sa Pythagorean theorem mula sa
Lugar sa gilid ng mukha: 
Sagot:
Halimbawa 4 Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito a at b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.
Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid SABCD ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.
Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot O- projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa base plane. Ayon sa theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang flat figure, nakukuha namin:
Katulad nito, ang ibig sabihin nito 
Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot O ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.
Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo
Kahulugan
Pyramid ay isang polyhedron na binubuo ng isang polygon \(A_1A_2...A_n\) at \(n\) na mga tatsulok na may karaniwang vertex \(P\) (hindi nakahiga sa eroplano ng polygon) at magkasalungat na panig na tumutugma sa mga gilid ng ang polygon.
Pagtatalaga: \(PA_1A_2...A_n\) .
Halimbawa: pentagonal pyramid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Mga Triangles \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) atbp. tinawag mga mukha sa gilid pyramids, mga segment \(PA_1, PA_2\), atbp. - gilid tadyang, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – batayan, punto \(P\) – summit.
taas Ang mga pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base.
Ang isang pyramid na may tatsulok sa base nito ay tinatawag tetrahedron.
Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base nito ay isang regular na polygon at isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:
\((a)\) ang mga gilid ng gilid ng pyramid ay pantay;
\((b)\) ang taas ng pyramid ay dumadaan sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base;
\((c)\) ang mga tadyang sa gilid ay nakahilig sa base plane sa parehong anggulo.
Ang mga gilid ng \((d)\) ay nakahilig sa base plane sa parehong anggulo.
regular na tetrahedron ay isang tatsulok na pyramid, ang lahat ng mga mukha nito ay magkapantay na tatsulok.
Teorama
Ang mga kundisyon \((a), (b), (c), (d)\) ay katumbas.
Patunay
Iguhit ang taas ng pyramid \(PH\) . Hayaang ang \(\alpha\) ang eroplano ng base ng pyramid.
1) Patunayan natin na ang \((a)\) ay nagpapahiwatig ng \((b)\) . Hayaan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
kasi \(PH\perp \alpha\) , pagkatapos ay ang \(PH\) ay patayo sa anumang linyang nasa eroplanong ito, kaya ang mga tatsulok ay right-angled. Kaya't ang mga tatsulok na ito ay pantay sa karaniwang binti \(PH\) at hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Kaya \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Nangangahulugan ito na ang mga puntos na \(A_1, A_2, ..., A_n\) ay nasa parehong distansya mula sa punto \(H\) , samakatuwid, nakahiga sila sa parehong bilog na may radius \(A_1H\) . Ang bilog na ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay circumscribed tungkol sa polygon \(A_1A_2...A_n\) .
2) Patunayan natin na ang \((b)\) ay nagpapahiwatig ng \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba at pantay sa dalawang paa. Samakatuwid, ang kanilang mga anggulo ay pantay din, samakatuwid, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Patunayan natin na ang \((c)\) ay nagpapahiwatig ng \((a)\) .
Katulad ng unang punto, mga tatsulok \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hugis-parihaba at kasama ang binti at matinding anggulo. Nangangahulugan ito na ang kanilang mga hypotenuse ay pantay din, iyon ay, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Patunayan natin na ang \((b)\) ay nagpapahiwatig ng \((d)\) .
kasi sa isang regular na polygon, ang mga sentro ng circumscribed at inscribed na mga bilog ay nag-tutugma (sa pangkalahatan, ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng isang regular na polygon), pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng naka-inscribe na bilog. Gumuhit tayo ng mga patayo mula sa puntong \(H\) hanggang sa mga gilid ng base: \(HK_1, HK_2\), atbp. Ito ang radii ng inscribed na bilog (sa pamamagitan ng kahulugan). Pagkatapos, ayon sa TTP, ang (\(PH\) ay patayo sa eroplano, \(HK_1, HK_2\), atbp. ay mga projection na patayo sa mga gilid) oblique \(PK_1, PK_2\), atbp. patayo sa mga gilid \(A_1A_2, A_2A_3\), atbp. ayon sa pagkakabanggit. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H\) katumbas ng mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base. kasi ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang right-angled sa dalawang binti), pagkatapos ay ang mga anggulo \(\anggulo PK_1H, \anggulo PK_2H, ...\) ay pantay-pantay.
5) Patunayan natin na ang \((d)\) ay nagpapahiwatig ng \((b)\) .
Katulad ng pang-apat na punto, ang mga tatsulok \(PK_1H, PK_2H, ...\) ay pantay (bilang hugis-parihaba sa kahabaan ng binti at talamak na anggulo), na nangangahulugang ang mga segment \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ay pantay-pantay. Kaya, ayon sa kahulugan, ang \(H\) ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa base. Pero dahil para sa mga regular na polygon, ang mga sentro ng naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog ay nag-tutugma, pagkatapos ay ang \(H\) ay ang sentro ng circumscribed na bilog. Chtd.
Bunga
Ang mga gilid na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay na isosceles triangles.
Kahulugan
Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag apothema.
Ang apothems ng lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay sa isa't isa at mga median at bisector din.
Mahalagang Tala
1. Ang taas ng isang regular na triangular na pyramid ay bumagsak sa intersection point ng mga taas (o bisectors, o medians) ng base (ang base ay isang regular na tatsulok).
2. Ang taas ng isang regular na quadrangular pyramid ay bumaba sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang parisukat).
3. Ang taas ng isang regular na hexagonal pyramid ay bumaba sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (ang base ay isang regular na hexagon).
4. Ang taas ng pyramid ay patayo sa anumang tuwid na linya na nakahiga sa base.
Kahulugan
Ang pyramid ay tinatawag hugis-parihaba kung ang isa sa mga lateral na gilid nito ay patayo sa eroplano ng base.
Mahalagang Tala
1. Para sa isang hugis-parihaba na pyramid, ang gilid na patayo sa base ay ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, \(SR\) ang taas.
2. Dahil \(SR\) patayo sa anumang linya mula sa base, pagkatapos \(\tatsulok SRM, \tatsulok SRP\) ay mga tamang tatsulok.
3. Mga tatsulok \(\tatsulok SRN, \tatsulok SRK\) ay parihaba din.
Iyon ay, anumang tatsulok na nabuo sa gilid na ito at ang dayagonal na lalabas sa tuktok ng gilid na ito, na nasa base, ay magiging right-angled.
\[(\Large(\text(Volume at surface area ng pyramid)))\]
Teorama
Ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base at ang taas ng pyramid: \
Mga kahihinatnan
Hayaang ang \(a\) ang gilid ng base, ang \(h\) ang taas ng pyramid.
1. Ang dami ng isang regular na triangular na pyramid ay \(V_(\text(right triangle pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Ang dami ng isang regular na quadrangular pyramid ay \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. Ang dami ng isang regular na hexagonal pyramid ay \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Ang dami ng isang regular na tetrahedron ay \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorama
Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem.
\[(\Malaki(\text(Truncated pyramid)))\]
Kahulugan
Isaalang-alang ang isang arbitrary pyramid \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Gumuhit tayo ng isang eroplanong parallel sa base ng pyramid sa pamamagitan ng isang tiyak na punto na nakahiga sa gilid na gilid ng pyramid. Hahatiin ng eroplanong ito ang pyramid sa dalawang polyhedra, ang isa ay isang pyramid (\(PB_1B_2...B_n\) ), at ang isa ay tinatawag pinutol na pyramid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Ang pinutol na pyramid ay may dalawang base - polygons \(A_1A_2...A_n\) at \(B_1B_2...B_n\) , na magkapareho sa isa't isa.
Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay isang patayo na iginuhit mula sa ilang punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibabang base.
Mahalagang Tala
1. Ang lahat ng panig na mukha ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezoid.
2. Ang segment na nagkokonekta sa mga sentro ng mga base ng isang regular na pinutol na pyramid (iyon ay, isang pyramid na nakuha ng isang seksyon ng isang regular na pyramid) ay isang taas.
Panimula
Nang magsimula kaming mag-aral ng mga stereometric figure, hinawakan namin ang paksang "Pyramid". Nagustuhan namin ang temang ito dahil ang pyramid ay kadalasang ginagamit sa arkitektura. At dahil ang aming propesyon sa hinaharap bilang isang arkitekto, na inspirasyon ng figure na ito, sa palagay namin ay magagawa niya kaming itulak sa magagandang proyekto.
Ang lakas ng mga istruktura ng arkitektura, ang kanilang pinakamahalagang kalidad. Ang pag-uugnay ng lakas, una, sa mga materyales kung saan sila nilikha, at, pangalawa, sa mga tampok ng mga solusyon sa disenyo, lumalabas na ang lakas ng isang istraktura ay direktang nauugnay sa geometric na hugis na pangunahing para dito.
Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang geometric figure na maaaring ituring bilang isang modelo ng kaukulang anyo ng arkitektura. Lumalabas na tinutukoy din ng geometric na hugis ang lakas ng istraktura ng arkitektura.
Ang Egyptian pyramids ay matagal nang itinuturing na pinaka matibay na istraktura ng arkitektura. Tulad ng alam mo, mayroon silang hugis ng regular na quadrangular pyramids.
Ito ang geometriko na hugis na nagbibigay ng pinakamalaking katatagan dahil sa malaking lugar ng base. Sa kabilang banda, tinitiyak ng hugis ng pyramid na bumababa ang masa habang tumataas ang taas sa ibabaw ng lupa. Ang dalawang katangiang ito ang nagpapatatag sa pyramid, at samakatuwid ay malakas sa mga kondisyon ng grabidad.
Layunin ng proyekto: matuto ng bago tungkol sa mga pyramids, palalimin ang kaalaman at maghanap ng mga praktikal na aplikasyon.
Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:
Alamin ang makasaysayang impormasyon tungkol sa pyramid
Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric na pigura
Maghanap ng aplikasyon sa buhay at arkitektura
Maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga pyramids na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng mundo
Teoretikal na bahagi
Makasaysayang impormasyon
Ang simula ng geometry ng pyramid ay inilatag sa sinaunang Egypt at Babylon, ngunit ito ay aktibong binuo sa sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod kung ano ang katumbas ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus. Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid ay nag-systematize ng kaalaman tungkol sa pyramid sa XII volume ng kanyang "Beginnings", at inilabas din ang unang kahulugan ng pyramid: isang pigura ng katawan na napapalibutan ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano sa isang punto.
Ang mga libingan ng mga pharaoh ng Egypt. Ang pinakamalaki sa kanila - ang mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mikerin sa El Giza noong sinaunang panahon ay itinuturing na isa sa Pitong Kababalaghan ng Mundo. Ang pagtatayo ng piramide, kung saan nakita na ng mga Griyego at Romano ang isang monumento sa walang uliran na pagmamataas ng mga hari at kalupitan, na nagpahamak sa buong mga tao ng Ehipto sa walang kabuluhang pagtatayo, ay ang pinakamahalagang kilos ng kulto at dapat na ipahayag, tila, ang mystical identity ng bansa at ang pinuno nito. Ang populasyon ng bansa ay nagtrabaho sa pagtatayo ng libingan sa bahagi ng taon na walang trabaho sa agrikultura. Ang ilang mga teksto ay nagpapatotoo sa atensyon at pagmamalasakit na ibinayad ng mga hari mismo (bagaman sa ibang pagkakataon) sa pagtatayo ng kanilang libingan at ng mga tagapagtayo nito. Ito ay kilala rin tungkol sa mga espesyal na parangal sa kulto na naging mismong pyramid.
Pangunahing konsepto
Pyramid Ang isang polyhedron ay tinatawag, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex.
Apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito;
Mga mukha sa gilid- mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;
Mga tadyang sa gilid- karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;
tuktok ng pyramid- isang punto na nagkokonekta sa mga gilid ng gilid at hindi nakahiga sa eroplano ng base;
taas- isang segment ng isang patayo na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);
Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid na dumadaan sa tuktok at ang dayagonal ng base;
Base- isang polygon na hindi kabilang sa tuktok ng pyramid.
Ang mga pangunahing katangian ng tamang pyramid
Ang mga gilid ng gilid, mga mukha sa gilid at mga apothem ay pantay, ayon sa pagkakabanggit.
Ang mga anggulo ng dihedral sa base ay pantay.
Ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid ay pantay.
Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices.
Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha.
Mga pangunahing pormula ng pyramid
Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng pyramid.
Ang lugar ng lateral surface ng pyramid (puno at pinutol) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito, ang kabuuang lugar ng ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.
Theorem: Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid.
p- perimeter ng base;
h- apothem.
Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng isang pinutol na pyramid.
p1, p 2 - base perimeter;
h- apothem.
R- kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pinutol na pyramid;
S gilid- lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid;
S1 + S2- base na lugar
Dami ng Pyramid
Form Ang sukat ng volume ay ginagamit para sa mga pyramids ng anumang uri.
H ay ang taas ng pyramid.
Mga anggulo ng pyramid
Ang mga anggulo na nabuo sa gilid ng mukha at ang base ng pyramid ay tinatawag na dihedral na mga anggulo sa base ng pyramid.
Ang isang dihedral na anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang perpendicular.
Upang matukoy ang anggulong ito, madalas mong kailangang gamitin ang tatlong perpendicular theorem.
Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang gilid na gilid at ang projection nito sa eroplano ng base ay tinatawag mga anggulo sa pagitan ng lateral edge at ng eroplano ng base.
Ang anggulo na nabuo ng dalawang panig na mukha ay tinatawag dihedral angle sa lateral edge ng pyramid.
Ang anggulo, na nabuo sa pamamagitan ng dalawang gilid na gilid ng isang mukha ng pyramid, ay tinatawag sulok sa tuktok ng pyramid.
Mga seksyon ng pyramid
Ang ibabaw ng isang pyramid ay ang ibabaw ng isang polyhedron. Ang bawat mukha nito ay isang eroplano, kaya ang seksyon ng pyramid na ibinigay ng secant plane ay isang putol na linya na binubuo ng magkahiwalay na mga tuwid na linya.
Diagonal na seksyon
Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na diagonal na seksyon mga pyramid.
Mga parallel na seksyon
Teorama:
Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplanong parallel sa base, kung gayon ang mga gilid ng gilid at taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;
Ang seksyon ng eroplanong ito ay isang polygon na katulad ng base;
Ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.
Mga uri ng pyramid
Tamang pyramid- isang pyramid, kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base.
Sa tamang pyramid:
1. magkapantay ang side ribs
2. magkapantay ang mga mukha sa gilid
3. pantay-pantay ang mga apothems
4. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa base
5. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid
6. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices
7. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha
Pinutol na pyramid- ang bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base nito at ng cutting plane na kahanay ng base.
Ang base at kaukulang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag mga base ng isang pinutol na piramide.
Ang isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag ang taas ng pinutol na pyramid.
Mga gawain
No. 1. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang point O ay ang sentro ng base, SO=8 cm, BD=30 cm. Hanapin ang gilid na gilid SA.
Pagtugon sa suliranin
No. 1. Sa isang regular na pyramid, lahat ng mga mukha at gilid ay pantay.
Isaalang-alang natin ang OSB: OSB-rectangular rectangle, dahil.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pyramid sa arkitektura
Pyramid - isang monumental na istraktura sa anyo ng isang ordinaryong regular na geometric pyramid, kung saan ang mga gilid ay nagtatagpo sa isang punto. Ayon sa functional na layunin, ang mga pyramid noong sinaunang panahon ay isang lugar ng libing o pagsamba. Ang base ng isang pyramid ay maaaring triangular, quadrangular, o polygonal na may arbitrary na bilang ng vertices, ngunit ang pinakakaraniwang bersyon ay ang quadrangular base.
Ang isang malaking bilang ng mga pyramid ay kilala, na binuo ng iba't ibang kultura ng Sinaunang Mundo, pangunahin bilang mga templo o monumento. Ang pinakamalaking pyramids ay ang Egyptian pyramids.
Sa buong Earth ay makikita mo ang mga istrukturang arkitektura sa anyo ng mga pyramids. Ang mga pyramid na gusali ay nakapagpapaalaala sa sinaunang panahon at napakaganda ng hitsura.
Ang Egyptian pyramids ay ang pinakadakilang architectural monuments ng Sinaunang Egypt, kung saan ang isa sa "Seven Wonders of the World" ay ang pyramid ng Cheops. Mula sa paa hanggang sa tuktok, umabot ito sa 137.3 m, at bago ito nawala sa tuktok, ang taas nito ay 146.7 m.
Ang gusali ng istasyon ng radyo sa kabisera ng Slovakia, na kahawig ng isang baligtad na pyramid, ay itinayo noong 1983. Bilang karagdagan sa mga tanggapan at lugar ng serbisyo, mayroong isang medyo maluwang na bulwagan ng konsiyerto sa loob ng volume, na may isa sa pinakamalaking organo sa Slovakia .
Ang Louvre, na "kasing tahimik at kahanga-hanga tulad ng isang pyramid" ay dumaan sa maraming pagbabago sa paglipas ng mga siglo bago naging pinakadakilang museo sa mundo. Ito ay ipinanganak bilang isang kuta, na itinayo ni Philip Augustus noong 1190, na sa lalong madaling panahon ay naging isang maharlikang tirahan. Noong 1793 ang palasyo ay naging museo. Ang mga koleksyon ay pinayaman sa pamamagitan ng mga pamana o pagbili.
