Sa problema B9, isang graph ng isang function o derivative ang ibinigay, kung saan kinakailangan upang matukoy ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng derivative sa ilang punto x 0,
2. Mataas o mababang mga punto (extremum point),
3. Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga function (mga agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuluy-tuloy, na lubos na nagpapadali sa solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, ito ay lubos na nasa loob ng kapangyarihan ng kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral, dahil walang malalim na teoretikal na kaalaman ang kinakailangan dito.

Upang mahanap ang halaga ng derivative, extremum point at monotonicity interval, may mga simple at unibersal na algorithm - lahat ng mga ito ay tatalakayin sa ibaba.

Maingat na basahin ang kondisyon ng problema B9 upang hindi makagawa ng mga hangal na pagkakamali: kung minsan ang mga napakaraming teksto ay makikita, ngunit may ilang mahahalagang kundisyon na nakakaapekto sa kurso ng solusyon.

Pagkalkula ng halaga ng derivative. Dalawang punto na pamamaraan

Kung ang problema ay binibigyan ng graph ng function na f(x), padaplis sa graph na ito sa ilang punto x 0 , at kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat" na puntos sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na integer. Tukuyin natin ang mga puntong ito bilang A (x 1 ; y 1) at B (x 2 ; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ang pangunahing punto ng solusyon, at anumang pagkakamali dito ay humahantong sa maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagtaas ng argumento Δx = x 2 − x 1 at ang pagtaas ng function na Δy = y 2 − y 1 .
3. Sa wakas, nakita natin ang halaga ng derivative D = Δy/Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Muli, tandaan natin: ang mga puntong A at B ay dapat na tiyak na hanapin sa tangent, at hindi sa graph ng function na f(x), gaya ng kadalasang nangyayari. Ang tangent ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang ganoong mga punto, kung hindi man ang problema ay nabuo nang hindi tama.

Isaalang-alang ang mga puntong A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hanapin natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ngayon nakita natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Nananatili itong hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari nating bumalangkas ng panuntunan: kung ang tangent ay parallel sa OX axis, ang derivative ng function sa punto ng contact ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang kalkulahin ang anuman - tingnan lamang ang graph.

Pagkalkula ng Mataas at Mababang Puntos

Minsan sa halip na isang graph ng isang function sa problema B9, isang derivative graph ang ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na punto ng function. Sa sitwasyong ito, ang two-point na paraan ay walang silbi, ngunit may isa pa, kahit na mas simpleng algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≥ f(x).
2. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≤ f(x).

Upang mahanap ang maximum at minimum na puntos sa graph ng derivative, sapat na upang isagawa ang mga sumusunod na hakbang:

1. I-redraw ang graph ng derivative, na inaalis ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang dagdag na data ay nakakasagabal lamang sa desisyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - at iyon na.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung para sa ilang punto x 0 alam na f'(x 0) ≠ 0, kung gayon dalawang opsyon lamang ang posible: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng hinalaw ay madaling matukoy mula sa orihinal na guhit: kung ang derivative graph ay nasa itaas ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≥ 0. Sa kabaligtaran, kung ang derivative graph ay nasa ibaba ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≤ 0.
3. Muli naming suriin ang mga zero at mga palatandaan ng hinalaw. Kung saan nagbabago ang sign mula minus hanggang plus, mayroong pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ito ang pinakamataas na punto. Ang pagbibilang ay palaging ginagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Gumagana lamang ang scheme na ito para sa tuluy-tuloy na mga function - walang iba sa problema B9.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−5; 5]. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na f(x) sa segment na ito.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon - iiwan lamang natin ang mga hangganan [−5; 5] at ang mga zero ng derivative x = −3 at x = 2.5. Tandaan din ang mga palatandaan:

Malinaw, sa puntong x = −3, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula minus hanggang plus. Ito ang pinakamababang punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7]. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na f(x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, na iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at ang mga zero ng derivative x = −1.7 at x = 5. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa resultang graph. Meron kami:

Malinaw, sa puntong x = 5, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus - ito ang pinakamataas na punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−6; 4]. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) na kabilang sa pagitan [−4; 3].

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng graph na nililimitahan ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, bumuo kami ng bagong graph, kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at ang mga zero ng derivative sa loob nito. Ibig sabihin, ang mga puntos na x = −3.5 at x = 2. Nakukuha namin ang:

Sa graph na ito, mayroon lamang isang maximum na punto x = 2. Nasa loob nito na ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus.

Isang maliit na tala tungkol sa mga puntos na may mga non-integer na coordinate. Halimbawa, sa huling problema, ang puntong x = −3.5 ay isinasaalang-alang, ngunit sa parehong tagumpay maaari nating kunin ang x = −3.4. Kung ang problema ay nabuo nang tama, ang mga pagbabagong ito ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga punto na "walang isang nakapirming lugar ng paninirahan" ay hindi direktang kasangkot sa paglutas ng problema. Siyempre, sa mga integer na puntos, ang gayong trick ay hindi gagana.

Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function

Sa ganoong problema, tulad ng mga punto ng maximum at minimum, iminungkahi na maghanap ng mga lugar kung saan ang function mismo ay tumataas o bumababa mula sa graph ng derivative. Una, tukuyin natin kung ano ang pataas at pababa:

1. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na pagtaas sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng function.
2. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na bumababa sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Yung. ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Bumubuo kami ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Para sa isang tuluy-tuloy na function na f(x) na tumaas sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Para bumaba ang tuluy-tuloy na function na f(x) sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f'(x) ≤ 0.

Tinatanggap namin ang mga pahayag na ito nang walang patunay. Kaya, nakakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming paraan ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga extremum na puntos:

1. Alisin ang lahat ng kalabisan na impormasyon. Sa orihinal na graph ng derivative, pangunahing interesado kami sa mga zero ng function, kaya iiwan lang namin ang mga ito.
2. Markahan ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f'(x) ≥ 0, ang function ay tumataas, at kung saan ang f'(x) ≤ 0, ito ay bumababa. Kung ang problema ay may mga paghihigpit sa variable na x, minarkahan din namin sila sa bagong chart.
3. Ngayon na alam natin ang pag-uugali ng function at ang pagpilit, nananatili itong kalkulahin ang kinakailangang halaga sa problema.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7.5]. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(x). Sa iyong sagot, isulat ang kabuuan ng mga integer na kasama sa mga pagitan na ito.

Gaya ng dati, muling iginuhit namin ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative na x = −1.5 at x = 5.3. Pagkatapos ay markahan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa pagitan (− 1.5), ito ang agwat ng pagpapababa ng function. Ito ay nananatiling pagsasama-sama ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa segment [−10; 4]. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f(x). Sa iyong sagot, isulat ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Tanggalin natin ang mga kalabisan na impormasyon. Iniiwan lamang namin ang mga hangganan [−10; 4] at mga zero ng derivative, na sa pagkakataong ito ay naging apat: x = −8, x = −6, x = −3 at x = 2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative at kunin ang sumusunod na larawan:

Interesado kami sa mga pagitan ng pagtaas ng function, i.e. kung saan ang f'(x) ≥ 0. Mayroong dalawang ganoong pagitan sa graph: (−8; −6) at (−3; 2). Kalkulahin natin ang kanilang mga haba:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Dahil kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan, isinusulat namin ang halaga l 2 = 5 bilang tugon.

Ang derivative ng isang function ay isa sa pinakamahirap na paksa sa kurikulum ng paaralan. Hindi lahat ng nagtapos ay sasagutin ang tanong kung ano ang derivative.

Ang artikulong ito ay simple at malinaw na nagpapaliwanag kung ano ang isang derivative at kung bakit ito kinakailangan.. Hindi na tayo magsusumikap para sa mathematical rigor of presentation. Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan ang kahulugan.

Tandaan natin ang kahulugan:

Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function.

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng tatlong function. Alin sa tingin mo ang pinakamabilis na lumaki?

Ang sagot ay malinaw - ang pangatlo. Ito ang may pinakamataas na rate ng pagbabago, iyon ay, ang pinakamalaking derivative.

Narito ang isa pang halimbawa.

Sina Kostya, Grisha at Matvey ay nakakuha ng mga trabaho sa parehong oras. Tingnan natin kung paano nagbago ang kanilang kita sa taon:

Makikita mo kaagad ang lahat sa chart, di ba? Ang kita ni Kostya ay higit sa doble sa loob ng anim na buwan. At tumaas din ang kita ni Grisha, pero konti lang. At bumaba sa zero ang kita ni Matthew. Ang mga panimulang kondisyon ay pareho, ngunit ang rate ng pagbabago ng function, i.e. derivative, - iba. Tulad ng para kay Matvey, ang derivative ng kanyang kita ay karaniwang negatibo.

Sa madaling salita, madali nating matantya ang rate ng pagbabago ng isang function. Ngunit paano natin ito gagawin?

Ang talagang tinitingnan natin ay kung gaano kataas (o pababa) ang graph ng function. Sa madaling salita, gaano kabilis ang pagbabago ng y sa x. Malinaw, ang parehong function sa iba't ibang mga punto ay maaaring magkaroon ng ibang halaga ng derivative - iyon ay, maaari itong magbago nang mas mabilis o mas mabagal.

Ang derivative ng isang function ay tinutukoy ng .

Ipakita natin kung paano maghanap gamit ang graph.

Ang isang graph ng ilang function ay iginuhit. Kumuha ng isang punto sa ito na may isang abscissa. Gumuhit ng tangent sa graph ng function sa puntong ito. Gusto naming suriin kung gaano kabilis ang pagtaas ng graph ng function. Ang isang madaling gamiting halaga para dito ay padaplis ng slope ng padaplis.

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.

Pakitandaan - bilang anggulo ng inclination ng tangent, kinukuha namin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis.

Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent sa graph ng isang function. Ito ay isang tuwid na linya na may tanging karaniwang punto na may graph sa seksyong ito, bukod pa rito, tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog.

Hanapin natin . Naaalala namin na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Mula sa tatsulok:

Natagpuan namin ang derivative gamit ang graph nang hindi alam ang formula ng function. Ang ganitong mga gawain ay madalas na matatagpuan sa pagsusulit sa matematika sa ilalim ng numero.

May isa pang mahalagang ugnayan. Alalahanin na ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation

Ang dami sa equation na ito ay tinatawag slope ng isang tuwid na linya. Ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis.

.

Nakukuha namin iyon

Tandaan natin ang formula na ito. Ito ay nagpapahayag ng geometric na kahulugan ng derivative.

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.

Sa madaling salita, ang derivative ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent.

Nasabi na namin na ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga derivatives sa iba't ibang mga punto. Tingnan natin kung paano nauugnay ang derivative sa pag-uugali ng function.

Gumuhit tayo ng graph ng ilang function. Hayaang tumaas ang function na ito sa ilang lugar, at bumaba sa iba, at sa iba't ibang rate. At hayaan ang function na ito na magkaroon ng maximum at minimum na mga puntos.

Sa isang punto, ang pag-andar ay tumataas. Ang tangent sa graph, na iginuhit sa punto, ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng axis. Kaya ang derivative ay positibo sa punto.

Sa punto, ang aming function ay bumababa. Ang tangent sa puntong ito ay bumubuo ng obtuse angle na may positibong direksyon ng axis. Dahil negatibo ang tangent ng isang obtuse angle, negatibo ang derivative sa punto.

Narito kung ano ang mangyayari:

Kung ang isang function ay tumataas, ang derivative nito ay positibo.

Kung ito ay bumaba, ang derivative nito ay negatibo.

At ano ang mangyayari sa maximum at minimum na puntos? Nakikita natin na sa (maximum point) at (minimum point) ang tangent ay pahalang. Samakatuwid, ang tangent ng slope ng tangent sa mga puntong ito ay zero, at ang derivative ay zero din.

Ang punto ay ang pinakamataas na punto. Sa puntong ito, ang pagtaas ng function ay pinapalitan ng pagbaba. Dahil dito, ang tanda ng derivative ay nagbabago sa punto mula sa "plus" hanggang sa "minus".

Sa punto - ang pinakamababang punto - ang derivative ay katumbas din ng zero, ngunit ang tanda nito ay nagbabago mula sa "minus" hanggang "plus".

Konklusyon: sa tulong ng derivative, maaari mong malaman ang lahat ng interes sa amin tungkol sa pag-uugali ng function.

Kung positibo ang derivative, tataas ang function.

Kung negatibo ang derivative, bumababa ang function.

Sa pinakamataas na punto, ang derivative ay zero at nagbabago ng sign mula plus hanggang minus.

Sa pinakamababang punto, ang derivative ay zero din at nagbabago ng sign mula minus hanggang plus.

Isinulat namin ang mga natuklasan na ito sa anyo ng isang talahanayan:

	nadadagdagan	pinakamataas na punto	bumababa	pinakamababang punto	nadadagdagan
+	0	-	0	+

Gumawa tayo ng dalawang maliliit na paglilinaw. Kakailanganin mo ang isa sa mga ito kapag nilulutas ang mga problema sa pagsusulit. Isa pa - sa unang taon, na may mas seryosong pag-aaral ng mga function at derivatives.

Posible ang isang kaso kapag ang derivative ng isang function sa ilang punto ay katumbas ng zero, ngunit ang function ay walang maximum o minimum sa puntong ito. Ito ang tinatawag na :

Sa isang punto, ang tangent sa graph ay pahalang at ang derivative ay zero. Gayunpaman, bago ang punto ay tumaas ang function - at pagkatapos ng punto ay patuloy itong tumataas. Ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago - ito ay nanatiling positibo tulad ng dati.

Nangyayari din na sa punto ng maximum o minimum, ang derivative ay hindi umiiral. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na break, kapag imposibleng gumuhit ng isang tangent sa isang naibigay na punto.

Ngunit paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula? Sa kasong ito, naaangkop ito

Sergei Nikiforov

Kung ang derivative ng isang function ay pare-pareho ang sign sa isang interval, at ang function mismo ay tuloy-tuloy sa mga hangganan nito, kung gayon ang mga boundary point ay nakakabit sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga pagitan, na ganap na tumutugma sa kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Kamusta. Paano (sa anong batayan) maipagtatalo na sa punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, tumataas ang function. Magbigay ng mga dahilan. Kung hindi, ito ay kapritso lamang ng isang tao. Sa pamamagitan ng anong teorama? At patunay din. Salamat.

Serbisyong pang-supporta

Ang halaga ng derivative sa isang punto ay hindi direktang nauugnay sa pagtaas ng function sa pagitan. Isaalang-alang, halimbawa, ang mga pag-andar - lahat sila ay tumataas sa pagitan

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Kung ang isang function ay tumataas sa pagitan (a;b) at tinukoy at tuloy-tuloy sa mga puntong a at b, kung gayon ito ay tumataas sa segment . Yung. ang puntong x=2 ay kasama sa ibinigay na pagitan.

Bagaman, bilang panuntunan, ang pagtaas at pagbaba ay hindi isinasaalang-alang sa isang segment, ngunit sa isang pagitan.

Ngunit sa pinakadulo x=2, ang function ay may lokal na minimum. At kung paano ipaliwanag sa mga bata na kapag naghahanap sila ng mga punto ng pagtaas (pagbaba), hindi namin binibilang ang mga punto ng lokal na extremum, ngunit pumasok sila sa mga pagitan ng pagtaas (pagbaba).

Isinasaalang-alang na ang unang bahagi ng pagsusulit ay para sa "gitnang pangkat ng kindergarten", kung gayon ang gayong mga nuances ay malamang na labis na labis.

Hiwalay, maraming salamat sa "I will solve the exam" sa lahat ng empleyado - isang mahusay na gabay.

Sergei Nikiforov

Ang isang simpleng paliwanag ay maaaring makuha kung magsisimula tayo mula sa kahulugan ng isang pagtaas / pagbaba ng function. Ipaalala ko sa iyo na ganito ang tunog: ang isang function ay tinatawag na pagtaas/pagbaba sa pagitan kung ang mas malaking argumento ng function ay tumutugma sa isang mas malaki/mas maliit na halaga ng function. Ang ganitong kahulugan ay hindi gumagamit ng konsepto ng isang derivative sa anumang paraan, kaya ang mga tanong tungkol sa mga punto kung saan ang derivative ay naglalaho ay hindi maaaring lumabas.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Magandang hapon. Dito sa mga komento ay nakikita ko ang mga paniniwala na dapat isama ang mga hangganan. Sabihin nating sumasang-ayon ako dito. Ngunit tingnan, mangyaring, sa iyong solusyon sa problema 7089. Doon, kapag tinukoy ang mga pagitan ng pagtaas, ang mga hangganan ay hindi kasama. At ito ay nakakaapekto sa tugon. Yung. ang mga solusyon ng mga gawain 6429 at 7089 ay sumasalungat sa isa't isa. Mangyaring linawin ang sitwasyong ito.

Alexander Ivanov

Ang mga Gawain 6429 at 7089 ay may ganap na magkakaibang mga katanungan.

Sa isa, may mga pagitan ng pagtaas, at sa isa pa, may mga pagitan na may positibong derivative.

Walang kontradiksyon.

Ang extrema ay kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, ngunit ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero ay hindi pumapasok sa mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo.

A Z 28.01.2019 19:09

Mga kasamahan, mayroong isang konsepto ng pagtaas sa isang punto

(tingnan ang Fichtenholtz halimbawa)

at ang iyong pag-unawa sa pagtaas sa puntong x=2 ay salungat sa klasikal na kahulugan.

Ang pagtaas at pagbaba ay isang proseso at gusto kong sumunod sa prinsipyong ito.

Sa anumang pagitan na naglalaman ng puntong x=2, ang function ay hindi tumataas. Samakatuwid, ang pagsasama ng ibinigay na punto x=2 ay isang espesyal na proseso.

Karaniwan, upang maiwasan ang pagkalito, ang pagsasama ng mga dulo ng mga pagitan ay sinabi nang hiwalay.

Alexander Ivanov

Ang function na y=f(x) ay tinatawag na pagtaas sa ilang pagitan kung ang mas malaking halaga ng argumento mula sa interval na ito ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function.

Sa puntong x = 2, ang function ay naiba-iba, at sa pagitan (2; 6) ang derivative ay positibo, na nangangahulugan na ang mga halaga nito ay mahigpit na positibo sa pagitan, na nangangahulugan na ang function ay tumataas lamang sa seksyong ito, kaya ang halaga ng function sa kaliwang dulo x = −3 mas mababa kaysa sa halaga nito sa kanang dulo x = −2.

Sagot: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Gamit ang graph ng antiderivative Φ 2 (x ) (sa aming kaso ito ay isang asul na graph), tukuyin kung alin sa 2 mga halaga ng function ang mas malaki φ 2 (−1) o φ 2 (4)?

Mula sa graph ng antiderivative, makikita na ang punto x Ang = −1 ay nasa tumataas na lugar, kaya ang halaga ng katumbas na derivative ay positibo. Dot x Ang = 4 ay nasa papababang lugar at ang halaga ng katumbas na derivative ay negatibo. Dahil ang positibong halaga ay mas malaki kaysa sa negatibo, napagpasyahan namin na ang halaga ng hindi kilalang function, na kung saan ay ang derivative, ay mas mababa sa punto 4 kaysa sa punto −1.

Sagot: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Maaari kang magtanong ng maraming katulad na mga tanong sa nawawalang graph, na humahantong sa isang malawak na iba't ibang mga problema sa isang maikling sagot na binuo ayon sa parehong pamamaraan. Subukang lutasin ang ilan sa mga ito.

Mga gawain para sa pagtukoy ng mga katangian ng derivative ayon sa graph ng isang function.

Larawan 1.

Figure 2.

Gawain 1

y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5;19). Tukuyin ang bilang ng mga integer point kung saan positibo ang derivative ng function.

Ang derivative ng function ay positibo sa mga lugar kung saan tumataas ang function. Makikita sa figure na ito ay ang mga pagitan (−10.5;−7.6), (−1;8.2) at (15.7;19). Ilista natin ang mga integer point sa loob ng mga pagitan na ito: "−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6" , "7", "8", "16", "17", "18". Mayroong 15 puntos sa kabuuan.

Sagot: 15

Remarks.
1. Kapag sa mga gawain tungkol sa mga function graph ay kinakailangang pangalanan ang "mga puntos", bilang panuntunan, ang mga halaga lamang ng argumento ang ibig sabihin x , na kung saan ay ang mga abscissas ng mga kaukulang punto na matatagpuan sa graph. Ang mga ordinate ng mga puntong ito ay ang mga halaga ng pag-andar, sila ay umaasa at madaling kalkulahin kung kinakailangan.
2. Kapag naglista ng mga punto, hindi namin isinasaalang-alang ang mga gilid ng mga agwat, dahil ang pag-andar sa mga puntong ito ay hindi tumataas o bumababa, ngunit "naglalahad". Ang derivative sa naturang mga punto ay hindi positibo o negatibo, ito ay katumbas ng zero, samakatuwid sila ay tinatawag na nakatigil na mga punto. Bilang karagdagan, hindi namin isinasaalang-alang ang mga hangganan ng domain dito, dahil sinasabi ng kundisyon na ito ay isang agwat.

Gawain 2

Ipinapakita ng Figure 1 ang isang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5;19). Tukuyin ang bilang ng mga integer point kung saan ang derivative ng function f" (x ) ay negatibo.

Ang derivative ng isang function ay negatibo sa mga lugar kung saan ang function ay bumababa. Ipinapakita ng figure na ito ang mga pagitan (−7.6;−1) at (8.2;15.7). Mga integer na puntos sa loob ng mga pagitan na ito: "−7","−6", "−5","−4", "−3","−2", "9","10", "11","12 ", "13", "14", "15". Mayroong 13 puntos sa kabuuan.

Sagot: 13

Tingnan ang mga tala sa nakaraang problema.

Upang malutas ang mga sumusunod na problema, kailangan nating tandaan ang isa pang kahulugan.

Ang maximum at minimum na puntos ng isang function ay pinagsama ng isang karaniwang pangalan - matinding puntos .

Sa mga puntong ito, ang derivative ng function ay naglalaho o wala ( kinakailangang kondisyon para sa isang extremum).
Gayunpaman, ang isang kinakailangang kondisyon ay isang senyales, ngunit hindi isang garantiya ng pagkakaroon ng isang extremum ng function. Isang sapat na kondisyon para sa isang extremum ay ang pagbabago ng sign ng derivative: kung ang derivative sa isang punto ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "−", kung gayon ito ang pinakamataas na punto ng function; kung ang derivative sa isang punto ay nagbabago ng sign mula sa "−" sa "+", kung gayon ito ang pinakamababang punto ng function; kung sa isang punto ang derivative ng function ay katumbas ng zero, o wala, ngunit ang sign ng derivative ay hindi nagbabago sa kabaligtaran kapag dumadaan sa puntong ito, kung gayon ang ipinahiwatig na punto ay hindi isang extremum point ng function. Maaari itong maging isang inflection point, isang break point, o isang break point sa isang function graph.

Gawain 3

Ipinapakita ng Figure 1 ang isang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5;19). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa linya y = 6 o kasabay nito.

Alalahanin na ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo y = kx + b , saan k- koepisyent ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa axis baka. Sa kaso natin k= 0, ibig sabihin. tuwid y = 6 hindi nakatagilid, ngunit kahanay sa axis baka. Kaya't ang nais na mga tangent ay dapat ding kahanay sa axis baka at dapat ding magkaroon ng slope coefficient na 0. Ang mga tangent ay may ganitong katangian sa mga punto ng extrema ng mga function. Samakatuwid, upang masagot ang tanong, kailangan mo lamang bilangin ang lahat ng matinding puntos sa tsart. Mayroong 4 sa kanila - dalawang maximum na puntos at dalawang minimum na puntos.

Sagot: 4

Gawain 4

Mga pag-andar y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Hanapin ang kabuuan ng mga extremum point ng function sa segment .

Sa tinukoy na segment, nakikita namin ang 2 extremum point. Ang maximum ng function ay naabot sa punto x 1 = 4, pinakamababa sa punto x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

Sagot: 12

Gawain 5

Ipinapakita ng Figure 1 ang isang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5;19). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang derivative ng function f" (x ) ay katumbas ng 0.

Ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa mga extremum point, kung saan 4 ang makikita sa graph:
2 mataas at 2 mababa.

Sagot: 4

Mga gawain para sa pagtukoy ng mga katangian ng isang function mula sa graph ng derivative nito.

Larawan 1.

Figure 2.

Gawain 6

Ipinapakita ng Figure 2 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Sa anong punto ng segment [−6;2] ang function f (x ) ay tumatagal ng pinakamalaking halaga.

Sa tinukoy na segment, ang derivative ay wala kahit saan positibo, samakatuwid, ang function ay hindi tumaas. Ito ay bumaba o dumaan sa mga nakatigil na punto. Kaya, naabot ng function ang maximum na halaga nito sa kaliwang hangganan ng segment: x = −6.

Sagot: −6

Komento: Mula sa graph ng derivative, makikita na sa segment [−6;2] ito ay katumbas ng zero tatlong beses: sa mga punto x = −6, x = −2, x = 2. Ngunit sa punto x = −2, hindi ito nagbago ng sign, na nangangahulugan na sa puntong ito ay hindi maaaring magkaroon ng extremum ng function. Malamang na mayroong inflection point sa graph ng orihinal na function.

Gawain 7

Ipinapakita ng Figure 2 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Sa anong punto sa segment kinukuha ng function ang pinakamaliit na halaga.

Sa segment, ang derivative ay mahigpit na positibo, samakatuwid, ang function ay tumaas lamang sa segment na ito. Kaya, naabot ng function ang pinakamababang halaga nito sa kaliwang hangganan ng segment: x = 3.

Sagot: 3

Gawain 8

Ipinapakita ng Figure 2 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng isang function f (x ) na kabilang sa pagitan [−5;10].

Ayon sa kinakailangang extremum na kondisyon, ang maximum ng function maaaring sa mga punto kung saan ang derivative nito ay katumbas ng zero. Sa isang partikular na segment, ito ang mga punto: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Ngunit ayon sa sapat na kondisyon, ito tiyak na magiging lamang sa mga ito kung saan ang sign ng derivative ay nagbabago mula sa "+" hanggang sa "−". Sa graph ng derivative, makikita natin ang sa mga nakalistang punto, ang punto lang ang ganoon x = 6.

Sagot: 1

Gawain 9

Ipinapakita ng Figure 2 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng isang function f (x ) na kabilang sa segment .

Ang extrema ng function ay maaaring nasa mga puntong iyon kung saan ang derivative nito ay katumbas ng 0. Sa isang partikular na segment ng derivative graph, nakikita natin ang 5 ganoong mga punto: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Ngunit sa punto x = 14 ang derivative ay hindi nagbago ng sign, kaya dapat itong hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kaya, 4 na puntos ang natitira.

Sagot: 4

Gawain 10

Ipinapakita ng Figure 1 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5;19). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f (x ). Sa iyong sagot, isulat ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Ang mga pagitan ng pagtaas ng function ay nag-tutugma sa mga pagitan ng positivity ng derivative. Sa graph, makikita natin ang tatlo sa kanila - (−9;−7), (4;12), (18;19). Ang pinakamahaba sa kanila ay ang pangalawa. Ang haba nito l = 12 − 4 = 8.

Sagot: 8

Gawain 11

Ipinapakita ng Figure 2 ang isang graph f" (x ) - derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11;23). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function f (x ) ay parallel sa linya y = −2x − 11 o tumutugma dito.

Ang slope coefficient (aka ang tangent ng slope angle) ng isang tuwid na linya k = −2. Interesado kami sa parallel o coinciding tangents, i.e. mga tuwid na linya na may parehong slope. Batay sa geometric na kahulugan ng derivative - ang slope ng tangent sa itinuturing na punto ng graph ng function, muli naming kinakalkula ang mga punto kung saan ang derivative ay −2. Mayroong 9 na ganoong mga punto sa Figure 2. Maginhawang bilangin ang mga ito sa mga intersection ng graph at ang grid line na dumadaan sa value na −2 sa axis Oy.

Sagot: 9

Tulad ng nakikita mo, gamit ang parehong graph, maaari kang magtanong ng iba't ibang mga katanungan tungkol sa pag-uugali ng isang function at ang hinango nito. Gayundin, ang parehong tanong ay maaaring maiugnay sa mga graph ng iba't ibang mga function. Mag-ingat kapag nilulutas ang problemang ito sa pagsusulit, at makikita mo ito nang napakadali. Ang iba pang mga uri ng mga gawain ng takdang-aralin na ito - sa geometric na kahulugan ng antiderivative - ay isasaalang-alang sa isa pang seksyon.