Sa pinakadulo simula ng artikulong ito, tinalakay namin ang konsepto ng trigonometriko function. Ang pangunahing layunin ng kanilang layunin ay pag-aralan ang mga pangunahing kaalaman ng trigonometrya at ang pag-aaral ng mga pana-panahong proseso. At gumuhit kami ng isang trigonometric na bilog para sa isang kadahilanan, dahil sa karamihan ng mga kaso ang trigonometriko function ay tinukoy bilang ang ratio ng mga gilid ng isang tatsulok o ang ilang mga segment nito sa isang yunit ng bilog. Binanggit ko rin ang hindi maikakailang malaking kahalagahan ng trigonometry sa modernong buhay. Ngunit ang agham ay hindi tumitigil, bilang isang resulta, maaari naming makabuluhang palawakin ang saklaw ng trigonometrya at ilipat ang mga probisyon nito sa tunay, at kung minsan sa mga kumplikadong numero.
Mga formula ng trigonometrya may ilang uri. Isaalang-alang natin ang mga ito sa pagkakasunud-sunod.
Mga ugnayan ng trigonometric function ng parehong anggulo
Mga expression ng trigonometriko function sa bawat isa
(Ang pagpili ng sign sa harap ng ugat ay tinutukoy kung alin sa mga quarter ng bilog ang sulok na matatagpuan?)
Ang mga sumusunod ay ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga anggulo:
Mga formula na doble, triple at kalahating anggulo.
Pansinin ko na lahat sila ay sumusunod mula sa mga nakaraang formula.
Mga formula para sa pag-convert ng mga trigonometrikong expression:
Narito tayo sa pagsasaalang-alang ng naturang konsepto bilang pangunahing mga pagkakakilanlan ng trigonometriko.
Ang pagkakakilanlang trigonometric ay isang pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga ugnayang trigonometriko at totoo para sa lahat ng mga halaga ng mga anggulo na kasama dito.
Isaalang-alang ang pinakamahalagang trigonometric na pagkakakilanlan at ang kanilang mga patunay:
Ang unang pagkakakilanlan ay sumusunod mula sa mismong kahulugan ng padaplis.
Kumuha ng tamang tatsulok na may matinding anggulo x sa vertex A.
Upang patunayan ang mga pagkakakilanlan, kinakailangang gamitin ang Pythagorean theorem:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Ngayon hinahati natin sa (AB) 2 ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay at pag-alala sa mga kahulugan ng kasalanan at cos ng anggulo, nakuha natin ang pangalawang pagkakakilanlan:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sin 2 x + cos 2 x = 1
Upang patunayan ang ikatlo at ikaapat na pagkakakilanlan, ginagamit namin ang nakaraang patunay.
Upang gawin ito, hinati namin ang parehong bahagi ng pangalawang pagkakakilanlan sa pamamagitan ng cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Batay sa unang pagkakakilanlan tg x \u003d sin x / cos x makuha natin ang pangatlo:
1 + tg2x = 1/cos2x
Ngayon hinati natin ang pangalawang pagkakakilanlan sa pamamagitan ng kasalanan 2 x:
sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x ay walang iba kundi 1/tg 2 x, kaya nakuha natin ang ikaapat na pagkakakilanlan:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
Panahon na upang matandaan ang teorama sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok, na nagsasabing ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok \u003d 180 0. Ito ay lumiliko na sa vertex B ng tatsulok mayroong isang anggulo na ang halaga ay 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.
Alalahanin muli ang mga kahulugan para sa kasalanan at cos at makuha natin ang ikalima at ikaanim na pagkakakilanlan:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
Ngayon gawin natin ang sumusunod:
cos x = (AC)/(AB)
kasalanan(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
As you can see, elementary lahat dito.
Mayroong iba pang mga pagkakakilanlan na ginagamit sa paglutas ng mga mathematical na pagkakakilanlan, bibigyan ko lamang sila bilang isang sanggunian, dahil lahat sila ay nagmula sa itaas.
kasalanan 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
Ang kahilingang "kasalanan" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang kahulugan. Ang kahilingang "seg" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang kahulugan. Ang "Sine" ay nagre-redirect dito; tingnan din ang iba pang mga kahulugan ... Wikipedia
kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
Geodetic measurements (XVII century) ... Wikipedia
Sa trigonometrya, ang formula para sa tangent ng kalahating anggulo ay nag-uugnay sa tangent ng kalahating anggulo sa trigonometric function ng isang buong anggulo: Ang iba't ibang variation ng formula na ito ay ang mga sumusunod ... Wikipedia
- (mula sa Greek τρίγονο (tatsulok) at Greek μετρειν (sa pagsukat), iyon ay, ang pagsukat ng mga tatsulok) isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga function ng trigonometriko at ang kanilang mga aplikasyon sa geometry. Ang terminong ito ay unang lumitaw noong 1595 bilang ... ... Wikipedia
- (Latin solutio triangulorum) isang makasaysayang termino na nangangahulugang ang solusyon ng pangunahing problemang trigonometriko: gamit ang kilalang data tungkol sa isang tatsulok (mga gilid, anggulo, atbp.), hanapin ang natitirang mga katangian nito. Ang tatsulok ay matatagpuan sa ... ... Wikipedia
Mga libro
- Isang set ng mga mesa. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. 17 talahanayan + pamamaraan, . Ang mga talahanayan ay naka-print sa makapal na polygraphic na karton na may sukat na 680 x 980 mm. Kasama sa kit ang isang brochure na may mga rekomendasyong pamamaraan para sa mga guro. Study album ng 17 sheets.…
- Mga talahanayan ng integral at iba pang mathematical formula, Dwight G.B.. Ang ikasampung edisyon ng sikat na reference book ay naglalaman ng napakadetalyadong mga talahanayan ng mga hindi tiyak at tiyak na integral, pati na rin ang malaking bilang ng iba pang mga mathematical formula: series expansions, ...
Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.
Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon, ang komunidad na pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging isang pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.
Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng paglalapat sa halip na mga constant. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Kami, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, inilalapat ang pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Mula sa pisikal na pananaw, ito ay mukhang isang pagbagal ng oras hanggang sa ganap itong huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.
Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."
Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga katumbas na halaga. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:
Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, si Achilles ay tatakbo ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang mga hakbang sa unahan ng pagong.
Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.
Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:
Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.
Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto sa oras ay kailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (natural, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya). Ang gusto kong ituro sa partikular ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay dalawang magkaibang bagay na hindi dapat malito dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.
Miyerkules, Hulyo 4, 2018
Napakahusay na inilarawan sa Wikipedia ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset. Tumingin kami.
Tulad ng nakikita mo, "ang set ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa set, ang nasabing set ay tinatawag na "multiset". Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong lohika ng kahangalan. Ito ang antas ng pakikipag-usap ng mga parrot at sinanay na unggoy, kung saan ang isip ay wala sa salitang "ganap." Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.
Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung gumuho ang tulay, namatay ang pangkaraniwang inhinyero sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makayanan ang karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.
Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto", mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.
Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash desk, nagbabayad ng suweldo. Narito ang isang mathematician ay pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical salary set". Ipinaliwanag namin ang matematika na matatanggap niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.
Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "maaari mong ilapat ito sa iba, ngunit hindi sa akin!" Dagdag pa, magsisimula ang mga katiyakan na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga banknote ng parehong denominasyon, na nangangahulugan na hindi sila maaaring ituring na magkaparehong elemento. Well, binibilang namin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito maaalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo para sa bawat barya ay natatangi ...
At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang hangganan kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham dito ay hindi kahit na malapit.
Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng isang trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa alinman sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.
Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."
Linggo, Marso 18, 2018
Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shaman para doon, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.
Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahina ng "Sum of Digits of a Number". Wala siya. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika, ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga mathematician ang problemang ito, ngunit magagawa ito ng mga shamans.
Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, sabihin nating mayroon tayong numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.
1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang numerong graphic na simbolo. Ito ay hindi isang mathematical operation.
2. Pinutol namin ang isang natanggap na larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.
3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na character sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.
4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.
Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.
Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa isang malaking bilang ng 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.
Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta kapag tinutukoy ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro.
Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanan na . Isang tanong para sa mga mathematician: paano ito tinutukoy sa matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko, hindi. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.
Ang resultang nakuha ay dapat ituring bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.
Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakadepende sa halaga ng numero, ang yunit ng sukat na ginamit, at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.
Aray! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang katapusang kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbus sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?
Babae... Isang halo sa itaas at isang arrow pababa ay lalaki.
Kung mayroon kang isang gawa ng sining ng disenyo na kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,
Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:
Sa personal, nagsusumikap ako sa aking sarili na makita ang minus apat na degree sa isang taong tumatae (isang larawan) (komposisyon ng ilang larawan: minus sign, numero apat, pagtatalaga ng degree). At hindi ko itinuturing ang babaeng ito na isang tanga na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang arc stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.
Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal number system. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistemang ito ng numero ay awtomatikong nakikita ang numero at titik bilang isang graphic na simbolo.
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema !!!
Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at isasaalang-alang pa natin ang kanilang mga formula.
Ang pinakasimpleng mga equation ay `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang root formula para sa bawat isa sa kanila.
1. Equation `sin x=a`.
Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.
Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Equation `cos x=a`
Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, walang mga solusyon sa mga tunay na numero.
Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph. 
3. Equation `tg x=a`
Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equation `ctg x=a`
Mayroon din itong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan
Para sa sinus: 
Para sa cosine: 
Para sa tangent at cotangent: 
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Ang solusyon ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:
- ginagamit upang i-convert ito sa pinakasimpleng;
- lutasin ang resultang simpleng equation gamit ang mga formula sa itaas para sa mga ugat at talahanayan.
Isaalang-alang natin ang mga pangunahing paraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.
algebraic na pamamaraan.
Sa pamamaraang ito, ang pagpapalit ng isang variable at ang pagpapalit nito sa pagkakapantay-pantay ay ginagawa.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,
nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorization.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.
Desisyon. Ilipat sa kaliwa ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago namin at ginagawang factorize ang kaliwang bahagi:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Pagbawas sa isang homogenous na equation
Una, kailangan mong dalhin ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:
`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).
Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` para sa pangalawa. Nakukuha namin ang mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na dapat lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Desisyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, na hinahati ang kaliwa at kanang bahagi nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha natin:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, bilang resulta `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Pumunta sa Half Corner
Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Desisyon. Ang paglalapat ng mga formula ng dobleng anggulo, ang resulta ay: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Panimula ng isang pantulong na anggulo
Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hinahati namin ang parehong bahagi sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin, ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin natin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, pagkatapos:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.
Desisyon. Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng `sqrt (3^2+4^2)`, makuha natin ang:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Tukuyin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kinukuha namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Fractional-rational trigonometric equation
Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction, sa mga numerator at denominator kung saan mayroong mga trigonometriko na pag-andar.
Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Desisyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng equation sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Dahil hindi maaaring zero ang denominator, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
I-equate ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometry, at trigonometric equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 na baitang, palaging may mga gawain para sa pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometriko equation - tiyak na darating ang mga ito para sa iyo!
Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan, at makapag-deduce. Hindi ito kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.
