Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula 1C
Algebraic na mga problema sa mga parameter, grade 9–11
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical constructor 6.1"
1. Bilog ng numero sa buhay.
2. Kahulugan ng isang numerical na bilog.
3. Pangkalahatang view at haba ng numerical circle.
4. Lokasyon ng mga pangunahing punto ng bilog.
Bilang bilog at buhay
Sa totoong buhay, karaniwan ang circular motion. Halimbawa, isang kompetisyon sa pagbibisikleta na kumukumpleto sa isang partikular na lap laban sa orasan, o isang kompetisyon sa karera ng kotse na kailangang kumpletuhin ang pinakamaraming lap sa isang partikular na oras.
Isaalang-alang ang isang partikular na halimbawa…
Ang isang runner ay tumatakbo sa isang bilog na 400 metro ang haba. Ang atleta ay nagsisimula sa punto A (fig. 1) at gumagalaw nang pakaliwa. Nasaan siya sa 200 m, 800 m, 1500 m? At saan iguguhit ang linya ng pagtatapos kung ang mananakbo ay kailangang tumakbo ng 4195 m? 
Desisyon:
Pagkatapos ng 200 m, ang mananakbo ay nasa punto C. Dahil eksaktong kalahati ng distansya ang tatakbo niya.
Pagkatapos tumakbo ng 800 m, ang mananakbo ay gagawa ng eksaktong dalawang laps at mapupunta sa punto A.
Ang 1500m ay 3 lap ng 400m (1200m) at isa pang 300m, ibig sabihin, $\frac(3)(4)$ mula sa track, tinatapos ang distansyang ito sa punto D.
Nasaan ang ating mananakbo pagkatapos tumakbo ng 4195 m? Ang 10 laps ay 4000m, 195m ang natitira sa pagtakbo, na 5m mas mababa sa kalahati ng distansya. Kaya ang finish line ay nasa punto K, na matatagpuan malapit sa punto C.
Kahulugan ng isang bilog na numero
Tandaan!ay isang bilog na yunit na ang mga punto ay tumutugma sa ilang mga tunay na numero. bilog na yunit tinatawag na bilog ng radius 1.
Pangkalahatang view ng bilog ng numero
1) Radius ang bilog ay kinuha bilang yunit ng pagsukat.
2) Pahalang ang diameter ay tinutukoy ng AC, na ang A ang pinakakanang punto. Patayo ang diameter ay itinalagang BD, na ang B ang pinakamataas na punto.
Ang mga diameter ng AC at BD ay hatiin ang bilog sa apat na quarter:
unang quarter ay ang arko AB.
ikalawang quarter- arko BC.
ikatlong quarter– arc CD.
ikaapat na quarter– arko DA.
3) panimulang punto bilog na numero - punto A.
Pagbibilang mula sa punto Ang isang pakaliwa ay tinatawag na positibong direksyon. Ang pagbibilang mula sa punto A clockwise ay tinatawag na negatibong direksyon.
Haba ng bilog ng numero
Ang haba ng numerical na bilog ay kinakalkula ng formula:$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Dahil ito ang bilog ng yunit, kung gayon ang $R = 1$.
Kung kukuha tayo ng $π ≈ 3.14$, kung gayon ang circumference L ay maaaring ipahayag bilang isang numero:
$2 π ≈ 2 * 3.14 = $6.28.
Ang haba ng bawat quarter ay: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$.
Lokasyon ng mga pangunahing punto ng bilog
Ang mga pangunahing punto sa bilog at ang kanilang mga pangalan ay ipinapakita sa figure:
Ang bawat isa sa apat na quarter ng numerical circle ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi. Malapit sa bawat isa sa labindalawang puntos na nakuha, may nakasulat na numero kung saan ito tumutugma.
Ang sumusunod na pahayag ay totoo para sa isang bilog na numero:Kung ang isang puntong $M$ ng isang numerong bilog ay tumutugma sa isang numerong $t$ , pagkatapos ay tumutugma din ito sa isang numero ng anyong $t+2π *k$, kung saan ang $k$ ay isang integer. $M(t) = M(t+2π*k)$.
Isaalang-alang ang isang halimbawa.
Sa bilog ng yunit, ang arko AB ay nahahati sa puntong M sa dalawang pantay na bahagi, at sa mga puntong K at P sa tatlong pantay na bahagi. Ano ang haba ng arko: AM, MB, AK, KR, RB, AR, KM?
Haba ng arko $AB =\frac(π)(2)$. Hinahati ito sa dalawang pantay na bahagi sa pamamagitan ng puntong M, makakakuha tayo ng dalawang arko, bawat isa ay may haba $\frac(π)(4)$. Samakatuwid $AM =MV=\frac(π)(4)$.
Ang arc AB ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi sa pamamagitan ng mga puntos na K at P. Ang haba ng bawat resultang bahagi ay katumbas ng $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, ibig sabihin, $\frac(π )(6) $. Kaya naman, $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$.
Ang arc АР ay binubuo ng dalawang arc na AK at КР ng haba - $\frac(π)(6)$. Samakatuwid $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$.
Ito ay nananatiling kalkulahin ang haba ng KM arc. Ang arko na ito ay nakuha mula sa arko AM sa pamamagitan ng pag-aalis ng arko AK. Kaya, $KM = AM – AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$.
Gawain:
Maghanap ng isang punto sa bilog ng numero na tumutugma sa isang naibigay na numero:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$.
Desisyon:
Ang puntong A ay tumutugma sa bilang na $2π$, dahil dumadaan sa bilog ang isang landas na may haba $2π$, i.e. eksaktong isang bilog, muli tayong makarating sa punto A.
Ang bilang na $\frac(7π)(2)$ ay tumutugma sa punto D, dahil $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, ibig sabihin. gumagalaw sa positibong direksyon, kailangan mong dumaan sa isang buong bilog at bilang karagdagan sa isang landas na may haba na $\frac(3π)(2)$, na magtatapos sa punto D.
Ang puntong M ay tumutugma sa bilang na $\frac(π)(4)$, dahil gumagalaw sa positibong direksyon, kailangan mong dumaan sa isang landas na kalahati ng arko AB ng haba $\frac(π)(2)$, na magtatapos sa puntong M.
Ang bilang na $-\frac(3π)(2)$ ay tumutugma sa punto B, dahil gumagalaw sa negatibong direksyon mula sa punto A, kailangan mong dumaan sa isang landas na may haba na $\frac(3π)(2)$, na magtatapos sa punto B.
Halimbawa.
Maghanap ng mga puntos sa bilog ng numero:
a) $21\frac(π)(4)$;
b) $-37\frac(π)(6)$.
Desisyon:
Gamitin natin ang formula: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 slide) nakukuha natin:
a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, pagkatapos ay ang numerong $\frac(21π)(4)$ ay tumutugma sa parehong numero ng bilang na $\frac(5)(4π)$ - sa gitna ng ikatlong quarter.
b) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π )(6)$. Kaya, ang numerong $-\frac(37π)(6)$ ay tumutugma sa parehong numero ng numerong $-\frac(1)(6π)$. Kapareho ng $\frac(11π)(6)$.
Halimbawa.
Hanapin ang lahat ng mga numero t na tumutugma sa mga puntos sa bilog ng numero na kabilang sa isang ibinigay na arko:
a) VA;
b) MK.
Desisyon:
a) Ang Arc BA ay isang arko na may simula sa punto B at isang dulo sa punto A, habang gumagalaw sa isang bilog na pakaliwa. Ang punto B ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $\frac(π)(2)$, at ang punto A ay katumbas ng $2π$. Kaya, para sa mga puntos t mayroon kaming: $\frac(π)(2) ≤ t ≤ 2π$. Ngunit ayon sa formula sa slide 8, ang mga numerong $\frac(π)(2)$ at $2π$ ay tumutugma sa mga numero ng anyong $\frac(π)(2)+2π*k$ at $2π+2π *k$, ayon sa pagkakabanggit.
$\frac(π)(2) +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, kung saan ang $k$ ay isang integer.
b) Ang arko MK ay isang arko na may simula sa puntong M at ang dulo sa puntong K. Ang puntong M, ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng $-\frac(3π)(4)$, at ang puntong K ay katumbas hanggang $\frac(π)(4)$.
Kaya para sa mga puntos t mayroon kaming:
$\frac(-3π)(4) ≤ t ≤\frac(π)(4)$.
Ayon sa formula sa slide 8, ang mga numerong $-\frac(3π)(4)$ at $\frac(π)(4)$ ay tumutugma sa mga numero ng form: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ at $\ frac(π)(4)+2π*k$ ayon sa pagkakabanggit.
Pagkatapos ang aming numero t ay kumukuha ng mga halaga:
$-\frac(3π)(4)+2π*k ≤ t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, kung saan ang $k$ ay isang integer.
Mga gawain para sa malayang solusyon
1) Sa bilog ng yunit, ang arc BC ay nahahati sa puntong T sa dalawang pantay na bahagi, at ng mga puntos na K at P sa tatlong pantay na bahagi. Ano ang haba ng arko: BT, TS, VC, CR, RS, BP, CT?
2) Maghanap ng isang punto sa bilog ng numero na tumutugma sa isang naibigay na numero:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$.
3) Hanapin ang lahat ng mga numero t, na sa bilog ng numero ay tumutugma sa mga puntos na kabilang sa ibinigay na arko:
a) AB;
b) AC;
c) PM, kung saan ang P ay ang midpoint ng arc AB at ang point M ay ang midpoint ng DA.
3) numero
itugma natin ang tuldok.
Ang bilog ng yunit na may itinatag na sulat ay tatawagin
bilog na numero.
Ito ang pangalawang geometric na modelo para sa set ng real
numero. Ang unang modelo - ang linya ng numero - alam na ng mga mag-aaral. meron
pagkakatulad: para sa linya ng numero, ang tuntunin sa pagsusulatan (mula sa numero hanggang sa punto)
halos pare-pareho lang. Ngunit mayroon ding pangunahing pagkakaiba - ang pinagmulan
pangunahing kahirapan sa pagtatrabaho sa isang bilog na numero: sa isang tuwid na linya, bawat isa
tumutugma ang tuldok Ang nag-iisang numero, sa isang bilog ay hindi. Kung ang
ang bilog ay tumutugma sa isang numero, pagkatapos ay tumutugma ito sa lahat
mga numero ng form
Nasaan ang haba ng bilog ng unit, at isang integer
kanin. isa
isang numero na nagsasaad ng bilang ng mga kumpletong pag-ikot ng bilog sa isang direksyon o iba pa
gilid.
Ang sandaling ito ay mahirap para sa mga mag-aaral. Dapat silang ihandog
pag-unawa sa kakanyahan ng tunay na gawain:
Ang stadium running track ay 400m ang haba, ang runner ay 100m ang layo
mula sa panimulang punto. Anong landas ang kanyang tinahak? Kung nagsimula lang siyang tumakbo, kung gayon
tumakbo ng 100 m; kung nagawa mong tumakbo ng isang lap, kung gayon - (
Dalawang bilog - () ; kung kaya mong tumakbo
bilog, kung gayon ang landas ay magiging (
). Ngayon ay maaari mong ihambing
ang resulta na nakuha sa pagpapahayag
Halimbawa 1 Anong mga numero ang katumbas ng tuldok
bilog na numero
Desisyon. Dahil ang haba ng buong bilog
Iyon ang haba ng quarter niya
Samakatuwid, para sa lahat ng mga numero ng form
Katulad nito, itinatag kung aling mga numero ang tumutugma sa mga puntos
tinatawag ayon sa pagkakabanggit ang una, pangalawa, pangatlo,
ikaapat na quarter ng bilog na numero.
Ang lahat ng trigonometrya ng paaralan ay batay sa isang numerical na modelo
mga bilog. Ipinapakita ng karanasan na ang mga pagkukulang sa modelong ito ay masyadong
Ang mabilis na pagpapakilala ng mga function ng trigonometriko ay hindi pinapayagan na lumikha
isang matatag na pundasyon para sa matagumpay na asimilasyon ng materyal. Samakatuwid, hindi
kailangan mong magmadali, at maglaan ng ilang oras upang isaalang-alang ang mga sumusunod
limang magkakaibang uri ng mga problema sa isang bilog na numero.
Ang unang uri ng mga gawain. Paghahanap ng mga puntos sa numerical circle,
katumbas ng ibinigay na mga numero, na ipinahayag sa mga fraction ng isang numero
Halimbawa 2
numero
Desisyon. Hatiin natin ang arko
sa kalahati na may isang punto sa tatlong pantay na bahagi -
mga tuldok
(Larawan 2). Pagkatapos
Kaya ang numero
Kaukulang punto
numero
Halimbawa
3.
sa
numerical
mga bilog
puntos,
kaukulang numero:
Desisyon. Magtatayo tayo
a) Pagpapaliban ng arko
(ang haba nito
) Limang beses
mula sa punto
sa negatibong direksyon
makakuha ng isang punto
b) Ipagpaliban ang arko
(ang haba nito
) pitong beses mula sa
sa positibong direksyon, nakakakuha tayo ng puntong naghihiwalay
ikatlong bahagi ng arko
Ito ay tumutugma sa numero
c) Pagpapaliban ng arko
(ang haba nito
) limang beses mula sa punto
positibo
direksyon, nakakakuha tayo ng punto
Paghihiwalay sa ikatlong bahagi ng arko. Siya at
tutugma sa numero
(Ipinakikita ng karanasan na mas mabuting huwag ipagpaliban
limang ulit
At 10 beses
Pagkatapos ng halimbawang ito, angkop na magbigay ng dalawang pangunahing layout ng numeric
bilog: sa una sa kanila (Larawan 3) ang lahat ng quarters ay nahahati sa kalahati, sa
ang pangalawa (Larawan 4) - sa tatlong pantay na bahagi. Ang mga layout na ito ay kapaki-pakinabang na magkaroon sa opisina
matematika.
kanin. 2
kanin. 3 kanin. 4
Siguraduhing talakayin sa mga mag-aaral ang tanong: ano ang mangyayari kung
bawat isa sa mga layout ay hindi gumagalaw sa positibo, ngunit sa negatibo
direksyon? Sa unang layout, ang mga napiling punto ay kailangang italaga
iba pang "pangalan": ayon sa pagkakabanggit
atbp.; sa pangalawang layout:
Ang pangalawang uri ng mga gawain. Paghahanap ng mga puntos sa numerical circle,
katumbas ng ibinigay na mga numero, hindi ipinahayag sa mga fraction ng isang numero
Halimbawa 4 Maghanap ng mga puntos sa bilog na numero na katumbas ng
mga numero 1; 2; 3; -5.
Desisyon.
Dito kailangan nating umasa sa katotohanang iyon
Samakatuwid punto 1
matatagpuan sa arko
mas malapit sa punto
Ang mga puntos 2 at 3 ay nasa arko, ang una ay
Ang pangalawa ay mas malapit sa (Larawan 5).
Tingnan natin nang maigi
sa paghahanap ng punto na tumutugma sa numero - 5.
Lumipat mula sa isang punto
sa negatibong direksyon, i.e. clockwise
kanin. 5
palaso. Kung pupunta tayo sa direksyong ito hanggang sa punto
Kunin
Nangangahulugan ito na ang punto na naaayon sa numero - 5 ay matatagpuan
bahagyang nasa kanan ng tuldok
(tingnan ang fig.5).
Ang ikatlong uri ng mga gawain. Paghahanda ng mga analytical record (doble
hindi pagkakapantay-pantay) para sa mga arko ng isang numerical na bilog.
Sa katunayan, kami ay kumikilos sa
ang parehong plano na ginamit sa 5-8
mga klase para sa pag-aaral ng linya ng numero:
humanap muna ng isang punto sa pamamagitan ng numero, pagkatapos ay sa pamamagitan ng
tuldok - numero, pagkatapos ay gumamit ng doble
hindi pagkakapantay-pantay para sa pagsusulat ng mga puwang sa
linya ng numero.
Isaalang-alang, halimbawa, ang isang bukas
Nasaan ang gitna ng una
quarters ng isang number circle, at
- gitna nito
ikalawang quarter (Larawan 6).
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nagpapakilala sa arko, i.e. kumakatawan
Ang isang analytical na modelo ng arko ay iminungkahi na i-compile sa dalawang yugto. Sa una
entablado ang bumubuo sa core analytical record(ito ang pangunahing bagay na dapat sundin
turuan ang mga mag-aaral) para sa isang ibinigay na arko
Sa pangalawa
entablado ay bumubuo ng isang pangkalahatang talaan:
Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa arc
Pagkatapos, kapag nagsusulat ng kernel, kailangan mong isaalang-alang iyon
() ay nasa loob ng arko, at samakatuwid kailangan mong lumipat sa simula ng arko
sa negatibong direksyon. Samakatuwid, ang kernel ng analytical notation ng arc
may porma
kanin. 6
Ang mga terminong "kernel ng analytical
arc records", "analytical record
arcs" ay hindi karaniwang tinatanggap,
pagsasaalang-alang.
Pang-apat
mga gawain.
Naghahanap
Cartesian
mga coordinate
numero ng mga punto ng bilog, gitna
na pinagsama sa simula ng sistema
mga coordinate.
Isaalang-alang muna natin ang isang medyo banayad na punto, hanggang ngayon
halos hindi nabanggit sa kasalukuyang mga aklat-aralin sa paaralan.
Nagsisimulang pag-aralan ang modelong "numerical circle sa isang coordinate
eroplano", dapat na malinaw na alam ng mga guro kung anong mga paghihirap ang naghihintay
mga estudyante dito. Ang mga paghihirap na ito ay nauugnay sa katotohanan na sa pag-aaral nito
ang mga modelo mula sa mga mag-aaral ay kinakailangang magkaroon ng sapat na mataas na antas
kulturang matematika, dahil kailangan nilang magtrabaho nang sabay-sabay
dalawang coordinate system - sa "curvilinear", kapag impormasyon tungkol sa
ang posisyon ng punto ay kinuha sa kahabaan ng bilog (numero
tumutugma sa
punto ng bilog
(); ay ang "curvilinear coordinate" ng punto), at sa
Cartesian rectangular coordinate system (sa punto
Tulad ng bawat punto
coordinate plane, mayroong abscissa at ordinate). Ang gawain ng guro ay tumulong
mga mag-aaral sa pagharap sa mga likas na paghihirap na ito. Sa kasamaang palad,
kadalasan sa mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi nila ito pinapansin at mula sa pinakadulo
ang mga unang aralin ay gumamit ng mga tala
Not considering that the letter in
sa isip ng isang mag-aaral ay malinaw na nauugnay sa abscissa sa Cartesian
rectangular coordinate system, at hindi sa haba na nilakbay kasama ang numerical
mga bilog ng landas. Samakatuwid, kapag nagtatrabaho sa isang bilog na numero, hindi dapat
gumamit ng mga simbolo
kanin. 7
Bumalik tayo sa ikaapat na uri ng mga gawain. Ito ay tungkol sa paglipat mula sa pagsusulat
mga talaan
(), ibig sabihin. mula sa curvilinear hanggang cartesian na mga coordinate.
Pagsamahin natin ang numerong bilog sa Cartesian rectangular system
mga coordinate tulad ng ipinapakita sa Fig. 7. Pagkatapos ay mga tuldok
Magkakaroon
ang mga sumusunod na coordinate:
() () () (). Sobrang importante
turuan ang mga mag-aaral na matukoy ang mga coordinate ng lahat ng mga puntong iyon
minarkahan sa dalawang pangunahing layout (tingnan ang Fig.3,4). Para sa punto
Ang lahat ay bumaba sa
isinasaalang-alang ang isosceles right triangle na may hypotenuse
Magkapantay ang kanyang mga paa
Kaya ang mga coordinate
). Ang parehong ay totoo para sa mga puntos.
Ngunit ang pagkakaiba lamang ay kailangan mong isaalang-alang
abscissa at ordinate sign. Partikular:
Ano ang dapat tandaan ng mga mag-aaral? Tanging ang mga module ng abscissa at
ang mga ordinate sa mga midpoint ng lahat ng quarters ay pantay
At dapat alam nila ang mga palatandaan
tukuyin para sa bawat punto nang direkta mula sa pagguhit.
Para sa punto
Ang lahat ay bumababa sa pagsasaalang-alang sa isang hugis-parihaba
tatsulok na may hypotenuse 1 at anggulo
(Larawan 9). Tapos yung cathet
sa tapat ng sulok
Magiging pantay
katabi
√
Ibig sabihin,
mga coordinate ng punto
Ang parehong ay totoo para sa punto
ang mga binti lamang ang "nagbabago ng mga lugar", at samakatuwid
kanin. walo
kanin. siyam
nakukuha natin
). Ito ay ang mga kahulugan
(hanggang sa mga palatandaan) at magiging
"ihatid" ang lahat ng mga punto ng pangalawang layout (tingnan ang Fig. 4), maliban sa mga puntos
bilang abscissa at ordinate. Iminungkahing paraan ng pag-alala: "saan ang mas maikli,
; kung saan mas mahaba
Halimbawa 5 Maghanap ng mga coordinate ng isang punto
(tingnan ang Fig.4).
Desisyon. Dot
Mas malapit sa vertical axis kaysa sa
pahalang, i.e. ang modulus ng abscissa nito ay mas mababa kaysa sa modulus ng ordinate nito.
Kaya ang modulus ng abscissa ay
Ang modyul ng ordinate ay
mga palatandaan sa pareho
negatibo ang mga kaso (third quarter). Konklusyon: tuldok
May mga coordinate
Sa ikaapat na uri ng mga problema, ang Cartesian coordinate ng lahat
mga puntos na ipinakita sa una at pangalawang layout na nabanggit
Sa katunayan, sa kurso ng ganitong uri ng mga gawain, inihahanda namin ang mga mag-aaral para sa
pagkalkula ng mga halaga ng trigonometriko function. Kung nandito ang lahat
nagtrabaho nang lubos na mapagkakatiwalaan, pagkatapos ay ang paglipat sa isang bagong antas ng abstraction
(ordinate - sine, abscissa - cosine) ay hindi gaanong masakit kaysa
Kasama sa ikaapat na uri ang mga gawain ng ganitong uri: para sa isang punto
maghanap ng mga palatandaan ng mga coordinate ng cartesian
Ang desisyon ay hindi dapat magdulot ng kahirapan para sa mga mag-aaral: ang bilang
match point
Ang ibig sabihin ng fourth quarter ay .
Ikalimang uri ng mga gawain. Paghahanap ng mga puntos sa numerical circle sa pamamagitan ng
ibinigay na mga coordinate.
Halimbawa 6 Maghanap ng mga puntos na may ordinate sa isang bilog na numero
isulat kung anong mga numero ang katumbas ng mga ito.
Desisyon. Diretso
Tinatawid ang bilog ng numero sa mga punto
(Larawan 11). Sa tulong ng pangalawang layout (tingnan ang Fig. 4) itinakda namin na ang punto
tumutugma sa numero
Kaya siya
tumutugma sa lahat ng numero ng form
tumutugma sa numero
At ang kahulugan niyan ay
lahat ng numero ng form
Sagot:
Halimbawa 7 Hanapin sa numeric
bilog na punto na may abscissa
isulat kung anong mga numero ang katumbas ng mga ito.
Desisyon.
Diretso
√
bumabagtas sa bilog ng numero sa mga punto
- sa gitna ng ikalawa at ikatlong quarter (Larawan 10). Sa tulong ng una
itinakda ng layout ang puntong iyon
tumutugma sa numero
At ibig sabihin, lahat
mga numero ng form
tumutugma sa numero
At ibig sabihin, lahat
mga numero ng form
Sagot:
Dapat mong ipakita ang pangalawang opsyon.
itala ang sagot halimbawa 7. Pagkatapos ng lahat, ang punto
tumutugma sa numero
Yung. lahat ng numero ng form
makuha namin:
kanin. sampu
Fig.11
Bigyang-diin ang hindi maikakaila na kahalagahan
ang ikalimang uri ng mga gawain. Sa katunayan, nagtuturo kami
mga mag-aaral
desisyon
protozoa
trigonometric equation: sa halimbawa 6
ito ay tungkol sa equation
At sa halimbawa
- tungkol sa equation
ang pag-unawa sa kakanyahan ng bagay ay mahalagang ituro
lutasin ng mga mag-aaral ang mga equation ng mga uri
kasama ang numero ng bilog
huwag magmadali sa mga formula
Ipinapakita ng karanasan na kung ang unang yugto (magtrabaho sa
numerical circle) ay hindi sapat na mapagkakatiwalaan, pagkatapos ay ang pangalawang yugto
(trabaho sa mga formula) ay pormal na nakikita ng mga mag-aaral, na,
Natural, dapat itong lampasan.
Katulad ng mga halimbawa 6 at 7 ay dapat matagpuan sa bilog ng numero
mga puntos na may lahat ng "major" ordinates at abscissas
Bilang mga espesyal na paksa, angkop na iisa-isa ang mga sumusunod:
Puna 1. Sa propaedeutic terms, paghahanda
magtrabaho sa paksang "Haba ng isang bilog" sa kurso ng geometry ng ika-9 na baitang. Mahalaga
payo: ang sistema ng mga pagsasanay ay dapat magsama ng mga gawain ng uri na iminungkahi
sa ibaba. Ang bilog ng yunit ay nahahati sa apat na pantay na bahagi ayon sa mga puntos
ang arko ay hinahati ng isang punto at ang arko ay hinahati ng mga puntos
sa tatlong pantay na bahagi (Larawan 12). Ano ang mga haba ng mga arko
(Ipinapalagay na ang circumnavigation ng bilog ay isinasagawa sa isang positibo
direksyon)?
kanin. 12
Kasama sa ikalimang uri ng mga gawain ang pagtatrabaho sa mga kundisyon tulad ng
ibig sabihin
sa
desisyon
protozoa
mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, unti-unti din tayong "magkasya".
limang aralin at sa ikaanim na aralin lamang dapat ang mga kahulugan ng sine at
cosine bilang mga coordinate ng isang punto sa isang numerical circle. Kung saan
ipinapayong lutasin muli ang lahat ng uri ng problema sa mga mag-aaral, ngunit sa
gamit ang ipinakilalang notasyon, na nag-aalok na gawin ito
halimbawa, mga gawain: kalkulahin
lutasin ang equation
hindi pagkakapantay-pantay
atbp. Binibigyang-diin natin iyan sa mga unang aralin
trigonometrya simpleng trigonometric equation at inequalities
hindi layunin pagsasanay, ngunit ginamit bilang mga pasilidad para sa
mastering ang pangunahing bagay - ang mga kahulugan ng sine at cosine bilang mga coordinate ng mga puntos
bilog na numero.
Hayaan ang numero
match point
bilog na numero. Pagkatapos ang abscissa nito
tinawag cosine ng isang numero
at ipinapahiwatig
At ang ordinate nito ay tinatawag ang sine ng isang numero
at minarkahan. (Larawan 13).
Mula sa kahulugan na ito ay maaari kaagad
itakda ang mga palatandaan ng sine at cosine ayon sa
quarters: para sa sine
Para sa cosine
Mag-alay ng buong aral dito (ganun nga
tinanggap) ay hindi angkop. Huwag mong gawin iyan
pilitin ang mga mag-aaral na isaulo ang mga palatandaang ito: anumang mekanikal
pagsasaulo, ang pagsasaulo ay isang marahas na pamamaraan kung saan ang mga mag-aaral,
Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado ang kahulugan ng isang numerical na bilog, alamin ang pangunahing pag-aari nito at ayusin ang mga numero 1,2,3, atbp. Tungkol sa kung paano markahan ang iba pang mga numero sa bilog (halimbawa, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) naiintindihan .
Bilog ng numero tumawag sa isang bilog ng unit radius, ang mga punto na tumutugma sa inayos ayon sa mga sumusunod na patakaran:
1) Ang pinanggalingan ay nasa pinakakanang punto ng bilog;
2) Counterclockwise - positibong direksyon; clockwise - negatibo;
3) Kung i-plot natin ang distansya \(t\) sa bilog sa positibong direksyon, aabot tayo sa punto na may halagang \(t\);
4) Kung i-plot natin ang distansya \(t\) sa bilog sa negatibong direksyon, aabot tayo sa punto na may halagang \(–t\).
Bakit tinatawag na numero ang bilog?
Dahil may mga numero ito. Sa ito, ang bilog ay katulad ng numero ng axis - sa bilog, pati na rin sa axis, para sa bawat numero ay may isang tiyak na punto.
Bakit alam kung ano ang isang bilog na numero?
Sa tulong ng isang numerical na bilog, natutukoy ang halaga ng mga sine, cosine, tangent at cotangent. Samakatuwid, upang malaman ang trigonometrya at makapasa sa pagsusulit na may 60+ puntos, kinakailangang maunawaan kung ano ang isang bilog na numero at kung paano maglagay ng mga tuldok dito.
Ano ang ibig sabihin ng mga salitang "... ng unit radius ..." sa kahulugan?
Nangangahulugan ito na ang radius ng bilog na ito ay \(1\). At kung gagawa tayo ng gayong bilog na nakasentro sa pinanggalingan, pagkatapos ay magsa-intersect ito sa mga axes sa mga puntong \(1\) at \(-1\).
Hindi kinakailangang iguhit ito ng maliit, maaari mong baguhin ang "laki" ng mga dibisyon kasama ang mga palakol, kung gayon ang larawan ay magiging mas malaki (tingnan sa ibaba).
Bakit isa ang radius? Ito ay mas maginhawa, dahil sa kasong ito, kapag kinakalkula ang circumference gamit ang formula \(l=2πR\), nakukuha namin:
Ang haba ng bilog na numero ay \(2π\) o tinatayang \(6,28\).
At ano ang ibig sabihin ng "... ang mga punto na tumutugma sa mga tunay na numero"?
Tulad ng nabanggit sa itaas, sa bilog ng numero para sa anumang tunay na numero, tiyak na magkakaroon ng "lugar" nito - isang punto na tumutugma sa numerong ito.
Bakit alamin ang pinanggalingan at direksyon sa bilog ng numero?
Ang pangunahing layunin ng bilog na numero ay ang natatanging matukoy ang punto nito para sa bawat numero. Ngunit paano mo matutukoy kung saan tatapusin kung hindi mo alam kung saan magbibilang at kung saan lilipat?
Narito mahalaga na huwag malito ang pinagmulan sa linya ng coordinate at sa bilog ng numero - ito ay dalawang magkaibang sistema ng sanggunian! Gayundin, huwag malito ang \(1\) sa \(x\) axis at \(0\) sa bilog - ito ay mga punto sa iba't ibang bagay.
Anong mga punto ang tumutugma sa mga numerong \(1\), \(2\), atbp?
Tandaan, ipinapalagay namin na ang radius ng isang bilog na numero ay \(1\)? Ito ang magiging solong segment natin (sa pagkakatulad sa number axis), na ilalagay natin sa bilog.
Upang markahan ang isang punto sa bilog ng numero na tumutugma sa numero 1, kailangan mong maglakbay mula sa 0 sa isang distansya na katumbas ng radius sa positibong direksyon.
Upang markahan ang isang punto sa bilog na tumutugma sa numerong \(2\), kailangan mong maglakbay ng isang distansya na katumbas ng dalawang radii mula sa pinanggalingan, upang ang \(3\) ay isang distansya na katumbas ng tatlong radii, atbp.
Sa pagtingin sa larawang ito, maaaring mayroon kang 2 tanong:
1. Ano ang mangyayari kapag ang bilog ay "matatapos" (ibig sabihin, gumawa tayo ng isang buong bilog)?
Sagot: punta tayo sa second round! At kapag natapos na ang pangalawa, pupunta tayo sa pangatlo at iba pa. Samakatuwid, ang isang walang katapusang bilang ng mga numero ay maaaring ilapat sa isang bilog.
2. Nasaan ang mga negatibong numero?
Sagot: doon! Maaari din silang ayusin, binibilang mula sa zero ang kinakailangang bilang ng radii, ngunit ngayon ay nasa negatibong direksyon.
Sa kasamaang palad, mahirap magtalaga ng mga integer sa bilog ng numero. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang haba ng numerical na bilog ay hindi magiging isang integer: \ (2π \). At sa mga pinaka-maginhawang lugar (sa mga punto ng intersection sa mga axes) magkakaroon din ng hindi mga integer, ngunit mga fraction.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Ipinakita namin sa iyong pansin ang isang aralin sa video sa paksang "Numeric Circle". Ang isang kahulugan ay ibinigay kung ano ang sine, cosine, tangent, cotangent at mga function y= kasalanan x, y= cos x, y= tg x, y= ctg x para sa anumang numeric na argumento. Isinasaalang-alang namin ang mga karaniwang gawain para sa pagsusulatan sa pagitan ng mga numero at mga punto sa isang bilog na numero ng yunit upang makahanap ng isang solong punto para sa bawat numero, at, sa kabaligtaran, upang makahanap para sa bawat punto ng isang hanay ng mga numero na tumutugma dito.
Paksa: Mga elemento ng teorya ng trigonometriko function
Aralin: Bilugan ng Bilang
Ang aming agarang layunin ay tukuyin ang mga function ng trigonometriko: sinus, cosine, padaplis, cotangent-
Ang isang numerical argument ay maaaring i-plot sa isang coordinate line o sa isang bilog.
Ang nasabing bilog ay tinatawag na numerical o unit circle, dahil. para sa kaginhawahan, kumuha ng isang bilog na may
Halimbawa, kung may punto, markahan ito sa linya ng coordinate
at sa bilog na numero.
Kapag nagtatrabaho sa isang bilog na numero, napagkasunduan na ang counterclockwise na paggalaw ay isang positibong direksyon, ang clockwise na paggalaw ay negatibo.
Mga karaniwang gawain - kailangan mong matukoy ang mga coordinate ng isang naibigay na punto o, sa kabaligtaran, maghanap ng isang punto sa pamamagitan ng mga coordinate nito.
Ang linya ng coordinate ay nagtatatag ng isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga puntos at numero. Halimbawa, ang isang numero ay tumutugma sa point A na may coordinate
Ang bawat punto B na may isang coordinate ay nailalarawan sa pamamagitan lamang ng isang numero - ang distansya mula 0 hanggang kinuha na may plus o minus sign.
Sa bilog ng numero, ang isa-sa-isang sulat ay gumagana lamang sa isang direksyon.
Halimbawa, mayroong isang punto B sa coordinate circle (Fig. 2), ang haba ng arc ay 1, i.e. ang puntong ito ay tumutugma sa 1.
Dahil sa isang bilog, ang circumference ng isang bilog. Kung gayon ay ang haba ng bilog na yunit.
Kung idinagdag natin, makakakuha tayo ng parehong punto B, higit pa - makarating din tayo sa punto B, ibawas - din sa punto B.
Isaalang-alang ang punto B: haba ng arko =1, pagkatapos ay ang mga numero ay nagpapakilala sa punto B sa bilog ng numero.
Kaya, ang numero 1 ay tumutugma sa tanging punto ng numerical na bilog - punto B, at ang punto B ay tumutugma sa isang hindi mabilang na hanay ng mga punto ng form. 
.
Ang sumusunod ay totoo para sa isang bilog na numero:
Kung si T. M numero ng bilog ay tumutugma sa isang numero pagkatapos ito ay tumutugma din sa isang numero ng form
Maaari kang gumawa ng maraming buong pagliko sa paligid ng bilog ng numero sa positibo o negatibong direksyon hangga't gusto mo - ang punto ay pareho. Samakatuwid, ang mga trigonometrikong equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Halimbawa, ibinigay na punto D. Ano ang mga numerong katumbas nito?
Sinusukat namin ang arko.
ang hanay ng lahat ng mga numero na tumutugma sa punto D.
Isaalang-alang ang mga pangunahing punto sa bilog ng numero.
Ang haba ng buong bilog.
Yung. ang talaan ng hanay ng mga coordinate ay maaaring iba .
Isaalang-alang ang mga karaniwang gawain sa bilog ng numero.
1. Naibibigay: . Maghanap: isang punto sa isang bilog na numero.
Pinipili namin ang buong bahagi:
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang m. sa numero ng bilog. 
, pagkatapos 
.
Kasama rin sa set na ito ang punto .
2. Naibibigay: . Maghanap: isang punto sa isang bilog na numero.
Kailangang hanapin ang t.
m. kabilang din sa set na ito.
Ang paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsusulatan sa pagitan ng mga numero at mga puntos sa isang bilog na numero, nalaman namin na posible na makahanap ng isang solong punto para sa bawat numero, at posible na makahanap para sa bawat punto ng isang hanay ng mga numero na nailalarawan sa isang naibigay na punto.
Hatiin natin ang arko sa tatlong pantay na bahagi at markahan ang mga puntong M at N.
Hanapin natin ang lahat ng mga coordinate ng mga puntong ito.
 |
Kaya, ang aming layunin ay tukuyin ang mga function ng trigonometriko. Upang gawin ito, kailangan nating matutunan kung paano magtakda ng argumento ng function. Isinaalang-alang namin ang mga punto ng bilog ng yunit at nalutas ang dalawang karaniwang problema - upang makahanap ng isang punto sa bilog ng numero at isulat ang lahat ng mga coordinate ng punto ng bilog ng yunit.
1. Mordkovich A.G. at iba pa.Algebra Ika-9 na baitang: Proc. Para sa pangkalahatang edukasyon Institusyon - ika-4 na ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. et al Algebra Baitang 9: Taskbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Baitang 9: aklat-aralin para sa mga mag-aaral sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Ika-7 ed., Rev. at karagdagang - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Baitang 9 ika-16 na ed. - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12th ed., nabura. — M.: 2010. — 224 p.: may sakit.
6. Algebra. Baitang 9 Sa 2 oras. Bahagi 2. Task book para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina at iba pa; Ed. A. G. Mordkovich. - ika-12 ed., Rev. — M.: 2010.-223 p.: may sakit.
Mordkovich A.G. et al Algebra Baitang 9: Taskbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
