Paano i-plot ang function y=sin x? Una, isaalang-alang ang graph ng sine sa pagitan.

Kumuha kami ng isang segment na may haba na 2 cell ng isang notebook. Minarkahan namin ang unit sa Oy axis.

Para sa kaginhawahan, binibilog namin ang numerong π/2 hanggang 1.5 (at hindi hanggang 1.6, ayon sa hinihingi ng mga panuntunan sa pag-round). Sa kasong ito, ang isang segment ng haba π/2 ay tumutugma sa 3 mga cell.

Sa axis ng Ox, hindi namin minarkahan ang iisang segment, ngunit ang mga segment na may haba π / 2 (bawat 3 cell). Alinsunod dito, ang isang segment ng haba π ay tumutugma sa 6 na mga cell, isang segment ng haba π/6 ay tumutugma sa 1 cell.

Sa ganitong pagpili ng isang segment, ang graph na inilalarawan sa isang sheet ng notebook sa isang kahon ay tumutugma sa graph ng function na y=sin x hangga't maaari.

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga ng sine sa pagitan:

Ang mga resultang punto ay minarkahan sa coordinate plane:

Dahil ang y=sin x ay isang kakaibang function, ang sine graph ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan - point O(0;0). Isinasaalang-alang ang katotohanang ito, patuloy naming i-plot ang graph sa kaliwa, pagkatapos ay ang mga puntos -π:

Ang function na y=sin x ay periodic na may period T=2π. Samakatuwid, ang graph ng function, na kinuha sa pagitan [-π; π], ay inuulit ng walang katapusang bilang ng beses sa kanan at kaliwa.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Function y=sin(x). Definition and properties"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula sa 1C
Malulutas namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain sa pagtatayo para sa mga baitang 7-10
Software environment "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:

• Mga katangian ng Y=sin(X) function.
• Function graph.
• Paano bumuo ng isang graph at ang sukat nito.
• Mga halimbawa.

mga katangian ng sine. Y=sin(X)

Guys, nakilala na natin ang trigonometric functions ng isang numerical argument. Naaalala mo ba sila?

Tingnan natin ang Y=sin(X) function

Isulat natin ang ilang katangian ng function na ito:
1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero.
2) Ang pag-andar ay kakaiba. Alalahanin natin ang kahulugan ng isang kakaibang function. Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo: y(-x)=-y(x). Tulad ng naaalala natin mula sa mga formula ng multo: sin(-x)=-sin(x). Ang kahulugan ay nasiyahan, kaya ang Y=sin(X) ay isang kakaibang function.
3) Ang function na Y=sin(X) ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan [π/2; π]. Kapag gumagalaw tayo sa unang quarter (counterclockwise), tumataas ang ordinate, at kapag gumagalaw tayo sa second quarter, bumababa ito.

4) Ang function na Y=sin(X) ay may hangganan mula sa ibaba at itaas. Ang ari-arian na ito ay nagmula sa katotohanan na
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Ang pinakamaliit na halaga ng function ay -1 (para sa x = - π/2+ πk). Ang pinakamalaking halaga ng function ay 1 (para sa x = π/2+ πk).

Gamitin natin ang mga katangian 1-5 upang i-plot ang function na Y=sin(X). Bubuo kami ng aming graph nang sunud-sunod, na inilalapat ang aming mga katangian. Magsimula tayo sa pagbuo ng isang graph sa segment.

Ang partikular na pansin ay dapat bayaran sa sukat. Sa ordinate axis, mas maginhawang kumuha ng isang segment na katumbas ng 2 cell, at sa abscissa axis - isang solong segment (dalawang cell) na kukunin na katumbas ng π / 3 (tingnan ang figure).

Pag-plot ng function na sine x, y=sin(x)

Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa aming segment:

Bumuo tayo ng isang graph para sa ating mga puntos, na isinasaalang-alang ang ikatlong ari-arian.

Talahanayan ng conversion para sa mga ghost formula

Gamitin natin ang pangalawang pag-aari, na nagsasabing kakaiba ang ating pag-andar, na nangangahulugang maaari itong maipakita nang simetriko tungkol sa pinagmulan:

Alam natin na sin(x+ 2π) = sin(x). Nangangahulugan ito na sa segment [- π; π] graph ay katulad ng sa segment na [π; 3π] o o [-3π; - pi] at iba pa. Nananatili para sa amin na maingat na i-redraw ang graph sa nakaraang figure sa buong x-axis.

Ang graph ng function na Y=sin(X) ay tinatawag na sinusoid.

Sumulat tayo ng ilan pang mga katangian ayon sa nabuong graph:
6) Ang function na Y=sin(X) ay tumataas sa anumang bahagi ng anyo: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], ang k ay isang integer at bumababa sa anumang segment ng form: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], ang k ay isang integer.
7) Ang function na Y=sin(X) ay isang tuluy-tuloy na function. Tingnan natin ang graph ng function at siguraduhing walang break ang ating function, nangangahulugan ito ng continuity.
8) Saklaw ng mga halaga: segment [- 1; 1]. Malinaw din itong nakikita mula sa graph ng function.
9) Ang function na Y=sin(X) ay isang periodic function. Tingnan natin muli ang graph at tingnan na ang function ay tumatagal sa parehong mga halaga sa ilang mga pagitan.

Mga halimbawa ng problema sa sine

1. Lutasin ang equation na sin(x)= x-π

Solusyon: Bumuo tayo ng 2 graph ng function: y=sin(x) at y=x-π (tingnan ang figure).
Ang aming mga graph ay nagsalubong sa isang punto A(π; 0), ito ang sagot: x = π

2. I-plot ang function na y=sin(π/6+x)-1

Solusyon: Ang nais na graph ay nakuha sa pamamagitan ng paglipat ng graph ng function na y=sin(x) sa pamamagitan ng π/6 units sa kaliwa at 1 unit pababa.

Solusyon: Bumuo tayo ng graph ng function at isaalang-alang ang ating segment [π/2; 5π/4].
Ang graph ng function ay nagpapakita na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay naabot sa mga dulo ng segment, sa mga puntong π/2 at 5π/4, ayon sa pagkakabanggit.
Sagot: sin(π/2) = 1 ang pinakamalaking halaga, sin(5π/4) = ang pinakamaliit na halaga.

Mga problema sa sinus para sa independiyenteng solusyon

• Lutasin ang equation: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• I-plot ang function na y=sin(π/3+x)-2
• I-plot ang function na y=sin(-2π/3+x)+1
• Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y=sin(x) sa segment
• Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y=sin(x) sa segment [- π/3; 5π/6]

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang tanong kung paano i-plot ang mga function ng trigonometriko ng maraming anggulo ωx, Saan ω ay ilang positibong numero.

Upang magplano ng isang function y = kasalanan ωx Ihambing natin ang function na ito sa function na napag-aralan na natin y = kasalanan x. Ipagpalagay natin na sa x = x 0 function y = kasalanan x tumatagal ng isang halaga na katumbas ng 0 . Pagkatapos

y 0 = kasalanan x 0 .

Ibahin natin ang ratio na ito tulad ng sumusunod:

Samakatuwid, ang pag-andar y = kasalanan ωx sa X = x 0 / ω tumatagal ng parehong halaga sa 0 , na siyang function y = kasalanan x sa x = x 0 . At ito ay nangangahulugan na ang function y = kasalanan ωx inuulit ang mga halaga nito sa ω beses na mas madalas kaysa sa pag-andar y = kasalanan x. Kaya ang graph ng function y = kasalanan ωx nakuha sa pamamagitan ng "pag-compress" sa graph ng function y = kasalanan x V ω beses sa kahabaan ng x-axis.

Halimbawa, ang graph ng function y \u003d kasalanan 2x nakuha sa pamamagitan ng "pag-compress" sa sinusoid y = kasalanan x dalawang beses sa kahabaan ng abscissa.

Function Graph y \u003d kasalanan x / 2 nakuha sa pamamagitan ng "pag-unat" ng sinusoid y \u003d sin x dalawang beses (o "pag-compress" sa 1 / 2 beses) kasama ang x-axis.

Dahil ang function y = kasalanan ωx inuulit ang mga halaga nito sa ω beses na mas madalas kaysa sa pag-andar
y = kasalanan x, pagkatapos ay ang tagal nito sa ω beses na mas mababa kaysa sa panahon ng pag-andar y = kasalanan x. Halimbawa, ang panahon ng pag-andar y \u003d kasalanan 2x katumbas 2π / 2 = π , at ang panahon ng function y \u003d kasalanan x / 2 katumbas π / x / 2 = 4π .

Ito ay kagiliw-giliw na pag-aralan ang pag-uugali ng function y \u003d kasalanan palakol sa halimbawa ng animation, na napakadaling malikha sa programa maple:

Katulad nito, ang mga graph ay itinayo para sa iba pang trigonometriko na pag-andar ng maraming anggulo. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function y = cos 2x, na nakukuha sa pamamagitan ng "pag-compress" ng cosine y = cos x dalawang beses sa kahabaan ng x-axis.

Function Graph y = cos x / 2 nakuha sa pamamagitan ng "pag-unat" ng cosine wave y = cos x dalawang beses sa kahabaan ng x-axis.

Sa figure makikita mo ang isang graph ng function y = tg 2x, nakuha sa pamamagitan ng "pag-compress" sa tangentoid y = tg x dalawang beses sa kahabaan ng abscissa.

Function Graph y = tg x / 2 , nakuha sa pamamagitan ng "pag-unat" ng tangentoid y = tg x dalawang beses sa kahabaan ng x-axis.

At sa wakas, ang animation na ginawa ng programa maple:

Mga ehersisyo

1. Bumuo ng mga graph ng mga function na ito at ipahiwatig ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga graph na ito gamit ang mga coordinate axes. Tukuyin ang mga panahon ng mga function na ito.

A). y=kasalanan 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 at). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg x / 3

V). y=tg 4x / 3 e). y = kasalanan 2x / 3

2. Tukuyin ang Mga Panahon ng Paggana y \u003d kasalanan (πx) At y = tg (πх / 2).

3. Magbigay ng dalawang halimbawa ng isang function na kumukuha ng lahat ng value mula -1 hanggang +1 (kabilang ang dalawang numerong ito) at pana-panahong nagbabago na may panahon na 10.

4 *. Magbigay ng dalawang halimbawa ng mga pag-andar na kumukuha ng lahat ng mga halaga mula 0 hanggang 1 (kabilang ang dalawang numerong ito) at pana-panahong nagbabago sa isang tuldok π / 2.

5. Magbigay ng dalawang halimbawa ng mga function na kumukuha ng lahat ng tunay na halaga at pana-panahong nagbabago sa panahon 1.

6 *. Magbigay ng dalawang halimbawa ng mga pag-andar na kumukuha ng lahat ng mga negatibong halaga at zero, ngunit hindi kumukuha ng mga positibong halaga at pana-panahong nagbabago sa isang panahon na 5.