Pythagorean theorem- isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng kaugnayan

sa pagitan ng mga gilid ng isang right triangle.

Ito ay pinaniniwalaan na ito ay pinatunayan ng Greek mathematician na si Pythagoras, kung kanino ito pinangalanan.

Geometric formulation ng Pythagorean theorem.

Ang teorama ay orihinal na nabuo bilang mga sumusunod:

Sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat,

binuo sa mga catheter.

Algebraic formulation ng Pythagorean theorem.

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.

Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a at b:

Parehong formulations pythagorean theorems ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi

nangangailangan ng konsepto ng lugar. Ibig sabihin, mapapatunayan ang pangalawang pahayag nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at

sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Ang inverse Pythagorean theorem.

Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon

hugis-parihaba ang tatsulok.

O, sa madaling salita:

Para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b at c, ganyan

mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a at b at hypotenuse c.

Ang Pythagorean theorem para sa isang isosceles triangle.

Pythagorean theorem para sa isang equilateral triangle.

Mga patunay ng Pythagorean theorem.

Sa ngayon, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang ang theorem

Ang Pythagoras ay ang tanging teorama na may kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba

maipaliwanag lamang ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto, lahat ng mga ito ay maaaring hatiin sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila:

patunay ng paraan ng lugar, axiomatic at kakaibang ebidensya(Halimbawa,

sa pamamagitan ng differential equation).

1. Katunayan ng Pythagorean theorem sa mga tuntunin ng magkatulad na tatsulok.

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng mga patunay na binuo

direkta mula sa axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC may right angled triangle C. Gumuhit tayo ng taas mula sa C at magpakilala

pundasyon nito sa pamamagitan ng H.

Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok AB C sa dalawang sulok. Gayundin, ang tatsulok CBH katulad ABC.

Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon:

makuha namin:

,

alin ang tumutugma-

Nakatiklop a 2 at b 2, nakukuha namin ang:

o , na dapat patunayan.

2. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng area method.

Ang mga sumusunod na patunay, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila

gamitin ang mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

• Patunay sa pamamagitan ng equicomplementation.

Ayusin ang apat na pantay na parihaba

tatsulok tulad ng ipinapakita sa larawan

sa kanan.

Quadrilateral na may mga gilid c- parisukat,

dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90°, at

ang nabuong anggulo ay 180°.

Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda,

lugar ng isang parisukat na may gilid ( a+b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at

Q.E.D.

3. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan.

​

Isinasaalang-alang ang pagguhit na ipinapakita sa figure, at

pinapanood ang pagbabago sa gilida, kaya natin

isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa walang katapusan

maliit mga pagtaas sa gilidkasama at a(gamit ang pagkakatulad

mga tatsulok):

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin:

Isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti:

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kondisyon, makuha namin ang:

Kaya, dumating kami sa nais na sagot:

Dahil madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear

proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyente

kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas

(sa kasong ito, ang binti b). Pagkatapos para sa pare-parehong pagsasama ay nakukuha namin:

Huwag kalimutan ang Pythagorean theorem. Ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito. Sa madaling salita, sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti nito.

Tinutukoy ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang haba ng mga binti sa pamamagitan ng a at b:

Hypotenuse ay isa sa mga gilid ng isang tamang tatsulok. Gayundin sa tatsulok na ito ay may dalawa binti.

Sa kasong ito, ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo. At ang mga binti ay ang mga gilid na bumubuo ng isang naibigay na anggulo.

Ayon sa Pythagorean theorem, ang parisukat ng hypotenuse ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Ibig sabihin, AB = AC + BC.

Ang kabaligtaran ay totoo rin - kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo sa isang tatsulok, kung gayon ang tatsulok na ito ay right-angled.

Ang ari-arian na ito ay nakakatulong upang malutas ang maraming mga geometric na problema.

Mayroong isang bahagyang naiibang pagbabalangkas ng teorama na ito: ang lugar ng parisukat, na itinayo sa hypotenuse, ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti.

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ... mula sa paaralan sa pamamagitan ng puso. Ito ay isa sa mga patakaran na tatandaan magpakailanman.)))

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti

Tama, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Siyempre, ito ay itinuro sa amin, at na ang Pythagorean theorem na ito ay nag-iiwan ng walang pag-aalinlangan, napakagandang alalahanin kung ano ang itinuro noong nakalipas na panahon kasama ng karaniwang gawain.

Depende ito sa haba ng hypotenuse na ito. Kung ito ay katumbas ng isang metro, kung gayon ang e square ay isang square meter. At kung, halimbawa, ito ay katumbas ng 39.37 pulgada, kung gayon ang e square ay katumbas ng 1550 square inches, walang magagawa tungkol dito.

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti - ang Pythagorean theorem (sa pamamagitan ng paraan, ang pinakamadaling talata sa geometry textbook)

Oo, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Para kaming tinuruan sa school. Ilang taon na ang lumipas, at naaalala pa rin natin ang teorama na ito, na minamahal natin. Marahil, pilitin at patunayan na kaya ko, tulad ng sa kurikulum ng paaralan.

Sinabi rin nila ang isang pagbibilang na Pythagorean pants, pantay sa lahat ng direksyon;

Sinabi sa amin ng guro na kung ikaw ay natutulog at biglang may sunog, dapat mong malaman ang Pythagorean theorem))) Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig ng tatsulok (binti).

Maaari mong tandaan ito, o maaari mong maunawaan minsan at para sa lahat kung bakit ganito.

upang magsimula sa, isaalang-alang ang isang right-angled triangle na may magkaparehong mga binti at ilagay ito sa loob ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse.

Ang lugar ng malaking parisukat ay magiging katumbas ng lugar ng apat na magkaparehong tatsulok sa loob nito.

Mabilis naming kinakalkula ang lahat at makuha ang resulta na kailangan namin.



Kung sakaling ang mga binti ay hindi pareho, ang lahat ay medyo simple din:

ang lugar ng malaking parisukat ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng apat na magkaparehong tatsulok kasama ang lugar ng parisukat sa gitna.



Anuman ang sabihin ng isa, palagi tayong nakakakuha ng pagkakapantay-pantay

ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse.

Isa sa pinakatanyag sa geometry, ang Pythagorean theorem ay nagsasaad:

Ang teorama na ito ay may kinalaman sa isang tamang tatsulok, iyon ay, isa na ang anggulo ay 90 degrees. Ang mga gilid ng isang tamang anggulo ay tinatawag na mga binti, at ang mga pahilig na panig ay tinatawag na hypotenuse. Kaya, kung gumuhit ka ng tatlong mga parisukat na may base sa bawat panig ng tatsulok, kung gayon ang lugar ng dalawang parisukat na malapit sa binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na malapit sa hypotenuse.

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay karaniwang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang natural na siyentipikong pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliches at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work Zhou -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga Katibayan ng Pythagorean Theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: ang isa ay may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na pormula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled na tatsulok tulad ng ipinahiwatig sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted kasama. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang lugar ng bola ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Napatunayan na ang theorem.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa mala-silya na pigura na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's upuan” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga konstruksyon na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Tsino na mathematician at sa amin na sumusunod sa kanila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD segment ng linya ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at AT, pati na rin ang E at Sa at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang figure sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin ang kanang bahagi ng notasyon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nang matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, at mga katulad nito. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at may malaking kahalagahan sa geometry. Ang mga triple ng Pythagorean ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triple ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid na 3.4 at 5 na yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay right-angled bilang default.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa konstruksiyon: ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng malawak na aplikasyon dito sa mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng mga rafters para sa isang gable roof. Tukuyin kung gaano kataas ang isang mobile tower na kailangan para maabot ng signal ang isang tiyak na settlement. At kahit na patuloy na mag-install ng Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magdudulot ng mga pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahating kabanata ng kuwento tungkol sa dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaintindi sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong itong lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas mataas na mga marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Upang kumbinsihin sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Ang geometry ay hindi isang madaling agham. Maaari itong maging kapaki-pakinabang para sa kurikulum ng paaralan at sa totoong buhay. Ang kaalaman sa maraming mga formula at theorems ay magpapasimple sa mga geometric na kalkulasyon. Ang isa sa mga pinakasimpleng hugis sa geometry ay ang tatsulok. Ang isa sa mga varieties ng triangles, equilateral, ay may sariling mga katangian.

Mga tampok ng isang equilateral triangle

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang tatsulok ay isang polyhedron na may tatlong anggulo at tatlong panig. Ito ay isang flat two-dimensional figure, ang mga katangian nito ay pinag-aralan sa mataas na paaralan. Ayon sa uri ng anggulo, ang mga acute-angled, obtuse-angled at right-angled triangles ay nakikilala. Ang right triangle ay isang geometric figure kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90º. Ang nasabing tatsulok ay may dalawang binti (lumikha sila ng isang tamang anggulo), at isang hypotenuse (ito ay nasa tapat ng tamang anggulo). Depende sa kung anong dami ang nalalaman, may tatlong madaling paraan upang makalkula ang hypotenuse ng isang right triangle.

Ang unang paraan ay upang mahanap ang hypotenuse ng isang right triangle. Pythagorean theorem

Ang Pythagorean theorem ay ang pinakalumang paraan upang makalkula ang alinman sa mga gilid ng isang right triangle. Parang ganito: "Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Kaya, upang kalkulahin ang hypotenuse, dapat makuha ng isa ang square root ng kabuuan ng dalawang paa na squared. Para sa kalinawan, ibinigay ang mga formula at isang diagram.

Ang pangalawang paraan. Pagkalkula ng hypotenuse gamit ang 2 kilalang halaga: ang binti at ang katabing anggulo

Ang isa sa mga katangian ng isang right triangle ay nagsasabi na ang ratio ng haba ng binti sa haba ng hypotenuse ay katumbas ng cosine ng anggulo sa pagitan ng binti na ito at ng hypotenuse. Tawagin natin ang anggulong kilala natin na α. Ngayon, salamat sa kilalang kahulugan, madali nating mabuo ang formula para sa pagkalkula ng hypotenuse: Hypotenuse = leg / cos (α)

Ang ikatlong paraan. Kinakalkula ang hypotenuse gamit ang 2 kilalang halaga: ang binti at ang kabaligtaran na anggulo

Kung ang kabaligtaran na anggulo ay kilala, posibleng gamitin muli ang mga katangian ng isang tamang tatsulok. Ang ratio ng haba ng binti at hypotenuse ay katumbas ng sine ng kabaligtaran na anggulo. Tawagin nating muli ang kilalang anggulo na α. Ngayon para sa mga kalkulasyon nag-aplay kami ng isang bahagyang naiibang formula:
Hypotenuse = binti/kasalanan (α)

Mga halimbawa upang matulungan kang maunawaan ang mga formula

Para sa mas malalim na pag-unawa sa bawat isa sa mga pormula, dapat mong isaalang-alang ang mga halimbawang naglalarawan. Kaya, ipagpalagay na ang isang tamang tatsulok ay ibinigay, kung saan mayroong ganoong data:

• Binti - 8 cm.
• Ang magkadugtong na anggulo na cosα1 ay 0.8.
• Ang kabaligtaran na anggulo na sinα2 ay 0.8.

Ayon sa Pythagorean theorem: Hypotenuse \u003d square root ng (36 + 64) \u003d 10 cm.
Sa laki ng binti at kasama ang anggulo: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.
Sa laki ng binti at kabaligtaran na anggulo: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.

Ang pagkakaroon ng pag-unawa sa formula, madali mong kalkulahin ang hypotenuse sa anumang data.

Video: Pythagorean Theorem

Siguraduhin na ang tatsulok na ibinigay sa iyo ay isang tamang tatsulok, dahil ang Pythagorean theorem ay nalalapat lamang sa mga tamang tatsulok. Sa mga tamang tatsulok, ang isa sa tatlong anggulo ay palaging 90 degrees.

• Ang isang tamang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ipinapahiwatig ng isang parisukat sa halip na isang curve, na kumakatawan sa mga hindi tamang anggulo.

Lagyan ng label ang mga gilid ng tatsulok. Italaga ang mga binti bilang "a" at "b" (ang mga binti ay mga gilid na nagsasalubong sa tamang mga anggulo), at ang hypotenuse bilang "c" (ang hypotenuse ay ang pinakamalaking gilid ng isang tamang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo).

Tukuyin kung aling bahagi ng tatsulok ang gusto mong hanapin. Ang Pythagorean theorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang anumang panig ng isang right triangle (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala). Tukuyin kung aling panig (a, b, c) ang kailangang matagpuan.

• Halimbawa, binigyan ng hypotenuse na katumbas ng 5, at binigyan ng isang binti na katumbas ng 3. Sa kasong ito, kailangan mong hanapin ang pangalawang binti. Babalik tayo sa halimbawang ito mamaya.
• Kung ang iba pang dalawang panig ay hindi kilala, kinakailangan upang mahanap ang haba ng isa sa mga hindi kilalang panig upang mailapat ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, gamitin ang mga pangunahing trigonometric function (kung bibigyan ka ng halaga ng isa sa mga hindi tamang anggulo).

Palitan sa formula ang isang 2 + b 2 \u003d c 2 ang mga halaga na ibinigay sa iyo (o ang mga halaga na iyong natagpuan). Tandaan na ang a at b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 3² + b² = 5².

Kuwadrado ang bawat kilalang panig. O iwanan ang mga degree - maaari mong i-square ang mga numero sa ibang pagkakataon.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 9 + b² = 25.

Ihiwalay ang hindi kilalang panig sa isang bahagi ng equation. Upang gawin ito, ilipat ang mga kilalang halaga sa kabilang panig ng equation. Kung nakita mo ang hypotenuse, pagkatapos ay sa Pythagorean theorem ito ay nakahiwalay na sa isang bahagi ng equation (kaya walang kailangang gawin).

• Sa aming halimbawa, ilipat ang 9 sa kanang bahagi ng equation upang ihiwalay ang hindi kilalang b². Makakakuha ka ng b² = 16.

Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation pagkatapos magkaroon ng hindi alam (squared) sa isang side ng equation at isang intercept (number) sa kabilang panig.

• Sa aming halimbawa, b² = 16. Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation at makuha ang b = 4. Kaya ang pangalawang leg ay 4.

Gamitin ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay, dahil maaari itong magamit sa isang malaking bilang ng mga praktikal na sitwasyon. Upang gawin ito, matutong kilalanin ang mga tamang tatsulok sa pang-araw-araw na buhay - sa anumang sitwasyon kung saan ang dalawang bagay (o mga linya) ay nagsalubong sa tamang mga anggulo, at ang ikatlong bagay (o linya) ay nag-uugnay (diagonal) sa tuktok ng unang dalawang bagay (o linya), maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hindi kilalang panig (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala).

• Halimbawa: Binigyan ng hagdan na nakasandal sa isang gusali. Ang ibaba ng hagdan ay 5 metro mula sa base ng dingding. Ang tuktok ng hagdan ay 20 metro mula sa lupa (pataas sa dingding). Ano ang haba ng hagdan?
  • Ang ibig sabihin ng "5 metro mula sa base ng pader" ay a = 5; "ay 20 metro mula sa lupa" ay nangangahulugan na ang b = 20 (iyon ay, binibigyan ka ng dalawang paa ng isang kanang tatsulok, dahil ang pader ng gusali at ang ibabaw ng Earth ay nagsalubong sa tamang mga anggulo). Ang haba ng hagdan ay ang haba ng hypotenuse, na hindi alam.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Kaya, ang tinatayang haba ng hagdan ay 20.6 metro.