« Physics - Grade 10"

Bakit ang skater ay umaabot sa kahabaan ng axis ng pag-ikot upang mapataas ang angular na bilis ng pag-ikot.
Dapat bang umikot ang isang helicopter kapag umiikot ang propeller nito?

Iminumungkahi ng mga itinanong na kung ang mga panlabas na puwersa ay hindi kumikilos sa katawan o ang kanilang pagkilos ay nabayaran at ang isang bahagi ng katawan ay nagsimulang umikot sa isang direksyon, kung gayon ang kabilang bahagi ay dapat umiikot sa kabilang direksyon, tulad ng kapag ang gasolina ay inilabas mula sa isang rocket, ang rocket mismo ay gumagalaw sa tapat na direksyon.

sandali ng salpok.

Kung isasaalang-alang natin ang isang umiikot na disk, nagiging malinaw na ang kabuuang momentum ng disk ay zero, dahil ang anumang particle ng katawan ay tumutugma sa isang particle na gumagalaw na may pantay na bilis sa ganap na halaga, ngunit sa kabaligtaran ng direksyon (Larawan 6.9).

Ngunit ang disk ay gumagalaw, ang angular na bilis ng pag-ikot ng lahat ng mga particle ay pareho. Gayunpaman, malinaw na mas malayo ang particle mula sa axis ng pag-ikot, mas malaki ang momentum nito. Samakatuwid, para sa rotational motion kinakailangan na ipakilala ang isa pang katangian, katulad ng isang salpok, - ang angular momentum.

Ang angular momentum ng isang particle na gumagalaw sa isang bilog ay ang produkto ng momentum ng particle at ang distansya mula dito sa axis ng pag-ikot (Fig. 6.10):

Ang mga linear at angular na bilis ay nauugnay sa pamamagitan ng v = ωr, pagkatapos

Ang lahat ng mga punto ng isang matibay na bagay ay gumagalaw na may kaugnayan sa isang nakapirming axis ng pag-ikot na may parehong angular na bilis. Ang isang matibay na katawan ay maaaring katawanin bilang isang koleksyon ng mga materyal na puntos.

Ang angular momentum ng isang matibay na katawan ay katumbas ng produkto ng moment of inertia at ang angular velocity ng pag-ikot:

Ang angular momentum ay isang vector quantity, ayon sa formula (6.3), ang angular momentum ay nakadirekta sa parehong paraan tulad ng angular velocity.

Ang pangunahing equation ng dynamics ng rotational motion sa impulsive form.

Ang angular acceleration ng isang body ay katumbas ng pagbabago sa angular velocity na hinati sa pagitan ng oras kung kailan nangyari ang pagbabagong ito: I-substitute ang expression na ito sa basic equation para sa dynamics ng rotational motion kaya I(ω 2 - ω 1) = MΔt, o IΔω = MΔt.

kaya,

∆L = M∆t. (6.4)

Ang pagbabago sa angular momentum ay katumbas ng produkto ng kabuuang sandali ng mga puwersang kumikilos sa katawan o sistema at ang oras ng pagkilos ng mga puwersang ito.

Batas ng konserbasyon ng angular momentum:

Kung ang kabuuang sandali ng mga puwersa na kumikilos sa isang katawan o sistema ng mga katawan na may nakapirming axis ng pag-ikot ay katumbas ng zero, kung gayon ang pagbabago sa angular momentum ay katumbas din ng zero, ibig sabihin, ang angular na momentum ng system ay nananatiling pare-pareho.

∆L=0, L=const.

Ang pagbabago sa momentum ng system ay katumbas ng kabuuang momentum ng mga pwersang kumikilos sa system.

Ang umiikot na skater ay ikinakalat ang kanyang mga braso sa mga gilid, sa gayon ay pinapataas ang sandali ng pagkawalang-galaw upang bawasan ang angular na bilis ng pag-ikot.

Ang batas ng konserbasyon ng angular momentum ay maaaring ipakita gamit ang sumusunod na eksperimento, na tinatawag na "eksperimento sa Zhukovsky bench." Ang isang tao ay nakatayo sa isang bangko na may patayong axis ng pag-ikot na dumadaan sa gitna nito. Hawak ng lalaki ang mga dumbbells sa kanyang mga kamay. Kung ang bangko ay ginawa upang paikutin, pagkatapos ay maaaring baguhin ng isang tao ang bilis ng pag-ikot sa pamamagitan ng pagpindot sa mga dumbbells sa kanyang dibdib o pagbaba ng kanyang mga braso, at pagkatapos ay ikalat ang mga ito. Ang pagkalat ng kanyang mga braso, pinapataas niya ang sandali ng pagkawalang-galaw, at ang angular na bilis ng pag-ikot ay bumababa (Larawan 6.11, a), binababa ang kanyang mga kamay, binabawasan niya ang sandali ng pagkawalang-galaw, at ang angular na bilis ng pag-ikot ng bangko ay tumataas (Fig. 6.11, b).

Maaari ding paikutin ng isang tao ang isang bangko sa pamamagitan ng paglalakad sa gilid nito. Sa kasong ito, ang bangko ay iikot sa kabaligtaran na direksyon, dahil ang kabuuang angular na momentum ay dapat manatiling katumbas ng zero.

Ang prinsipyo ng pagpapatakbo ng mga device na tinatawag na gyroscope ay batay sa batas ng konserbasyon ng angular momentum. Ang pangunahing pag-aari ng isang gyroscope ay ang pagpapanatili ng direksyon ng axis ng pag-ikot, kung ang mga panlabas na puwersa ay hindi kumikilos sa axis na ito. Noong ika-19 na siglo ang mga gyroscope ay ginamit ng mga navigator upang mag-navigate sa dagat.

Kinetic energy ng isang umiikot na matibay na katawan.

Ang kinetic energy ng isang umiikot na solid body ay katumbas ng kabuuan ng mga kinetic energies ng mga indibidwal na particle nito. Hatiin natin ang katawan sa maliliit na elemento, na ang bawat isa ay maaaring ituring na isang materyal na punto. Kung gayon ang kinetic energy ng katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga kinetic energies ng mga materyal na punto kung saan ito ay binubuo:

Ang angular na bilis ng pag-ikot ng lahat ng mga punto ng katawan ay pareho, samakatuwid,

Ang halaga sa mga bracket, tulad ng alam na natin, ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng matibay na katawan. Sa wakas, ang formula para sa kinetic energy ng isang matibay na katawan na may nakapirming axis ng pag-ikot ay may anyo

Sa pangkalahatang kaso ng paggalaw ng isang matibay na katawan, kapag ang axis ng pag-ikot ay libre, ang kinetic energy nito ay katumbas ng kabuuan ng mga energies ng translational at rotational motions. Kaya, ang kinetic energy ng isang gulong, ang masa nito ay puro sa rim, na gumugulong sa kalsada sa isang pare-parehong bilis, ay katumbas ng

Inihahambing ng talahanayan ang mga formula ng mekanika ng paggalaw ng pagsasalin ng isang materyal na punto na may mga katulad na formula para sa paggalaw ng pag-ikot ng isang matibay na katawan.

Tukuyin natin ang kinetic energy ng isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis. Hatiin natin ang katawan na ito sa n materyal na mga punto. Ang bawat punto ay gumagalaw nang may linear na bilis υ i =ωr i , pagkatapos ay ang kinetic energy ng punto

o

Ang kabuuang kinetic energy ng isang umiikot na matibay na katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga kinetic energies ng lahat ng mga materyal na punto nito:

(3.22)

(J - sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa axis ng pag-ikot)

Kung ang mga trajectory ng lahat ng mga punto ay nasa parallel na mga eroplano (tulad ng isang silindro na gumulong pababa sa isang hilig na eroplano, ang bawat punto ay gumagalaw sa sarili nitong eroplano fig), ito ay patag na galaw. Alinsunod sa prinsipyo ni Euler, ang paggalaw ng eroplano ay maaaring palaging mabulok sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan sa pagsasalin at paikot na paggalaw. Kung ang bola ay bumagsak o dumulas sa isang hilig na eroplano, ito ay umuusad lamang; kapag gumulong ang bola, umiikot din ito.

Kung ang isang katawan ay nagsasagawa ng pagsasalin at pag-ikot ng mga galaw sa parehong oras, kung gayon ang kabuuang kinetic energy nito ay katumbas ng

(3.23)

Mula sa paghahambing ng mga formula para sa kinetic energy para sa translational at rotational motions, makikita na ang sukatan ng inertia sa panahon ng rotational motion ay ang moment of inertia ng katawan.

§ 3.6 Ang gawain ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan

Kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot, ang potensyal na enerhiya nito ay hindi nagbabago, samakatuwid, ang elementarya na gawain ng mga panlabas na puwersa ay katumbas ng pagtaas sa kinetic energy ng katawan:

dA = dE o

Isinasaalang-alang na ang Jβ = M, ωdr = dφ, mayroon tayong α ng katawan sa isang may hangganang anggulo na katumbas ng φ

(3.25)

Kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis, ang gawain ng mga panlabas na pwersa ay tinutukoy ng pagkilos ng sandali ng mga puwersang ito tungkol sa isang naibigay na axis. Kung ang sandali ng mga puwersa tungkol sa axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga puwersang ito ay hindi gumagawa ng trabaho.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 2.1. masa ng flywheelm=5kg at radiusr= 0.2 m umiikot sa pahalang na axis na may dalasν 0 =720 min -1 at humihinto kapag nagpeprenot=20 s. Hanapin ang braking torque at ang bilang ng mga rebolusyon bago huminto.

Upang matukoy ang braking torque, inilalapat namin ang pangunahing equation para sa dynamics ng rotational motion

kung saan ang I=mr 2 ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk; Δω \u003d ω - ω 0, at ω \u003d 0 ang panghuling angular velocity, ω 0 \u003d 2πν 0 ang paunang. Ang M ay ang sandali ng pagpepreno ng mga puwersang kumikilos sa disk.

Alam ang lahat ng mga dami, posible na matukoy ang metalikang kuwintas ng pagpepreno

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Mula sa kinematics ng rotational motion, ang anggulo ng pag-ikot habang humihinto ang pag-ikot ng disk ay maaaring matukoy ng formula

(3)

kung saan ang β ay ang angular acceleration.

Ayon sa kondisyon ng problema: ω = ω 0 - βΔt, dahil ω=0, ω 0 = βΔt

Pagkatapos ang expression (2) ay maaaring isulat bilang:

Halimbawa 2.2. Dalawang flywheel sa anyo ng mga disk ng parehong radii at masa ay pinaikot hanggang sa bilis ng pag-ikotn= 480 rpm at naiwan sa kanilang sarili. Sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa ng friction ng mga shaft sa mga bearings, ang una ay tumigil pagkatapost\u003d 80 s, at ginawa ng pangalawaN= 240 rebolusyon upang ihinto. Sa aling flywheel, ang sandali ng mga puwersa ng friction ng mga shaft sa mga bearings ay mas malaki at kung gaano karaming beses.

Mahahanap natin ang sandali ng mga puwersa ng mga tinik M 1 ng unang flywheel gamit ang pangunahing equation ng dynamics ng rotational motion

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

kung saan ang Δt ay ang oras ng pagkilos ng sandali ng mga puwersa ng friction, I \u003d mr 2 - ang sandali ng pagkawalang-galaw ng flywheel, ω 1 \u003d 2πν at ω 2 \u003d 0 ay ang paunang at panghuling angular na bilis ng mga flywheel

Pagkatapos

Ang sandali ng friction forces M 2 ng pangalawang flywheel ay ipinahayag sa pamamagitan ng ugnayan sa pagitan ng work A ng friction forces at ang pagbabago sa kinetic energy nito ΔE k:

kung saan ang Δφ = 2πN ay ang anggulo ng pag-ikot, N ay ang bilang ng mga rebolusyon ng flywheel.

Tapos saan

O magiging ratio

Ang friction torque ng pangalawang flywheel ay 1.33 beses na mas malaki.

Halimbawa 2.3. Mass ng isang homogenous solid disk m, masa ng load m 1 at m 2 (fig.15). Walang slip at friction ng thread sa axis ng cylinder. Hanapin ang acceleration ng mga masa at ang ratio ng mga tensyon ng threadsa proseso ng paggalaw.

Walang slippage ng thread, samakatuwid, kapag ang m 1 at m 2 ay gagawa ng translational motion, ang silindro ay iikot sa axis na dumadaan sa punto O. Ipagpalagay natin para sa katiyakan na m 2 > m 1.

Pagkatapos ang load m 2 ay binabaan at ang silindro ay umiikot nang pakanan. Isulat natin ang mga equation ng paggalaw ng mga katawan na kasama sa sistema

Ang unang dalawang equation ay isinulat para sa mga katawan na may masa m 1 at m 2 na nagsasagawa ng translational motion, at ang ikatlong equation ay para sa umiikot na silindro. Sa ikatlong equation, sa kaliwa ay ang kabuuang sandali ng mga puwersa na kumikilos sa silindro (ang sandali ng puwersa T 1 ay kinuha gamit ang isang minus sign, dahil ang puwersa T 1 ay may posibilidad na i-on ang silindro pakaliwa). Sa kanan, ang I ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng silindro tungkol sa axis O, na katumbas ng

kung saan ang R ay ang radius ng silindro; Ang β ay ang angular acceleration ng cylinder.

Dahil walang thread slip,
. Isinasaalang-alang ang mga expression para sa I at β, nakukuha natin ang:

Ang pagdaragdag ng mga equation ng system, dumating tayo sa equation

Mula dito makikita natin ang acceleration a kargamento

Makikita mula sa resultang equation na ang mga tensyon ng thread ay magiging pareho, i.e. =1 kung ang masa ng silindro ay mas mababa kaysa sa masa ng mga timbang.

Halimbawa 2.4. Ang isang guwang na bola na may mass m = 0.5 kg ay may panlabas na radius R = 0.08m at isang panloob na radius r = 0.06m. Ang bola ay umiikot sa paligid ng isang axis na dumadaan sa gitna nito. Sa isang tiyak na sandali, ang isang puwersa ay nagsisimulang kumilos sa bola, bilang isang resulta kung saan ang anggulo ng pag-ikot ng bola ay nagbabago ayon sa batas.
. Tukuyin ang sandali ng inilapat na puwersa.

Malutas namin ang problema gamit ang pangunahing equation ng dynamics ng rotational motion
. Ang pangunahing kahirapan ay upang matukoy ang sandali ng pagkawalang-galaw ng guwang na bola, at ang angular acceleration β ay matatagpuan bilang
. Ang sandali ng inertia I ng isang guwang na bola ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bola na may radius R at isang bola ng radius r:

kung saan ang ρ ay ang density ng materyal ng bola. Nahanap namin ang density, alam ang masa ng isang guwang na bola

Mula dito tinutukoy namin ang density ng materyal ng bola

Para sa sandali ng puwersa M makuha namin ang sumusunod na expression:

Halimbawa 2.5. Ang isang manipis na baras na may mass na 300 g at isang haba na 50 cm ay umiikot na may angular na bilis na 10 s -1 sa isang pahalang na eroplano sa paligid ng isang patayong axis na dumadaan sa gitna ng baras. Hanapin ang angular velocity kung, sa panahon ng pag-ikot sa parehong eroplano, ang baras ay gumagalaw upang ang axis ng pag-ikot ay dumaan sa dulo ng baras.

Ginagamit namin ang batas ng konserbasyon ng angular momentum

(1)

(J i - sandali ng pagkawalang-galaw ng baras na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot).

Para sa isang nakahiwalay na sistema ng mga katawan, ang vector sum ng angular momentum ay nananatiling pare-pareho. Dahil sa katotohanan na ang pamamahagi ng masa ng baras na nauugnay sa axis ng pag-ikot ay nagbabago, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras ay nagbabago din alinsunod sa (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Ito ay kilala na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng masa at patayo sa baras ay katumbas ng

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Ayon sa Steiner theorem

J = J 0 +m a 2

(Ang J ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras tungkol sa isang di-makatwirang axis ng pag-ikot; ang J 0 ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa isang parallel axis na dumadaan sa gitna ng masa; a- distansya mula sa sentro ng masa hanggang sa napiling axis ng pag-ikot).

Hanapin natin ang sandali ng inertia tungkol sa axis na dumadaan sa dulo nito at patayo sa baras:

J 2 \u003d J 0 +m a 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Palitan natin ang mga formula (3) at (4) sa (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2/3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

Halimbawa 2.6 . masa taom= 60 kg, nakatayo sa gilid ng platform na may mass M = 120 kg, umiikot sa pamamagitan ng inertia sa paligid ng isang nakapirming vertical axis na may frequency ν 1 =12min -1 , papunta sa gitna nito. Isinasaalang-alang ang platform bilang isang bilog na homogenous na disk, at ang tao bilang isang point mass, matukoy kung anong frequency ν 2 pagkatapos ay iikot ang platform.

Ibinigay: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Hanapin: v 1

Desisyon: Ayon sa kondisyon ng problema, ang platform na may tao ay umiikot sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, i.e. ang resultang sandali ng lahat ng pwersa na inilapat sa umiikot na sistema ay zero. Samakatuwid, para sa sistemang "platform-man", ang batas ng konserbasyon ng momentum ay natutupad

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

saan
- ang sandali ng pagkawalang-galaw ng system kapag ang isang tao ay nakatayo sa gilid ng platform (isinasaalang-alang namin na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng platform ay katumbas ng (R ay ang radius p
platform), ang sandali ng inertia ng isang tao sa gilid ng platform ay mR 2).

- ang sandali ng pagkawalang-kilos ng system kapag ang isang tao ay nakatayo sa gitna ng platform (isinasaalang-alang namin na ang sandali ng isang tao na nakatayo sa gitna ng platform ay katumbas ng zero). Angular velocity ω 1 = 2π ν 1 at ω 1 = 2π ν 2 .

Ang pagpapalit ng mga nakasulat na expression sa formula (1), makuha namin

kung saan ang nais na bilis ng pag-ikot

Sagot: v 2 =24 min -1 .

Isaalang-alang ang isang ganap na matibay na katawan na umiikot sa isang nakapirming axis. Hatiin natin ang katawan na ito sa walang katapusang maliliit na piraso na may walang katapusang maliit na sukat at masa. m v t., t 3 ,... sa mga kalayuan R v R 0 , R 3 ,... mula sa axis. Kinetic energy ng isang umiikot na katawan nakikita natin bilang kabuuan ng mga kinetic energies ng maliliit na bahagi nito:

- sandali ng pagkawalang-galaw matibay na katawan na may kaugnayan sa ibinigay na axis 00,. Mula sa isang paghahambing ng mga formula para sa kinetic energy ng translational at rotational motions, ito ay malinaw na Ang moment of inertia sa rotational motion ay kahalintulad ng mass sa translational motion. Ang formula (4.14) ay maginhawa para sa pagkalkula ng sandali ng pagkawalang-galaw ng mga system na binubuo ng mga indibidwal na punto ng materyal. Upang kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-kilos ng mga solidong katawan, gamit ang kahulugan ng integral, maaari mong i-convert ito sa anyo

Madaling makita na ang sandali ng pagkawalang-galaw ay nakasalalay sa pagpili ng axis at mga pagbabago sa parallel na pagsasalin at pag-ikot nito. Hanapin natin ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa ilang mga homogenous na katawan.

Mula sa formula (4.14) ay kitang-kita na sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto katumbas

saan t - punto ng masa; R- distansya sa axis ng pag-ikot.

Madaling kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw para sa guwang na manipis na pader na silindro(o isang espesyal na kaso ng isang silindro na may maliit na taas - manipis na singsing) radius R tungkol sa axis ng simetrya. Ang distansya sa axis ng pag-ikot ng lahat ng mga punto para sa naturang katawan ay pareho, katumbas ng radius at maaaring alisin mula sa ilalim ng tanda ng kabuuan (4.14):

kanin. 4.5

solidong silindro(o isang espesyal na kaso ng isang silindro na may maliit na taas - disk) radius R upang kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis ng symmetry ay nangangailangan ng pagkalkula ng integral (4.15). Maaari itong maunawaan nang maaga na ang masa sa kasong ito, sa karaniwan, ay puro medyo mas malapit sa axis kaysa sa kaso ng isang guwang na silindro, at ang formula ay magiging katulad ng (4.17), ngunit isang koepisyent na mas mababa sa isa ay lumitaw sa loob nito. Hanapin natin ang coefficient na ito. Hayaang ang solidong silindro ay may density p at taas A. Hatiin natin ito sa mga guwang na silindro (manipis na cylindrical na ibabaw) na may kapal Dr(Larawan 4.5 ay nagpapakita ng projection na patayo sa axis ng symmetry). Ang dami ng naturang guwang na silindro ng radius r ay katumbas ng lugar sa ibabaw na pinarami ng kapal: dV = 2nrhdr, timbang: dm=2nphrdr, at ang sandali ng pagkawalang-galaw alinsunod sa formula (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Ang kabuuang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama (pagsusuma) ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga guwang na silindro:

Katulad na hinanap sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na baras haba L at ang masa t, kung ang axis ng pag-ikot ay patayo sa baras at dumadaan sa gitna nito. Putulin natin ito

Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang masa ng isang solidong silindro ay nauugnay sa density ng formula t = nR 2 hp, sa wakas meron na tayo sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro:

kanin. 4.6

pamalo alinsunod sa fig. 4.6 piraso ang kapal dl. Ang masa ng naturang piraso ay dm = mdl/L, at ang sandali ng pagkawalang-galaw alinsunod sa formula (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Ang kabuuang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na baras ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama (pagsusuma) ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga piraso:

Ang pagkuha ng elementary integral ay nagbibigay ng sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na baras ng haba L at ang masa t

kanin. 4.7

Ang integral ay kinuha medyo mas kumplikado kapag naghahanap sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na bola radius R at mass /77 na may paggalang sa axis ng symmetry. Hayaang may densidad ang isang solidong bola p. Hatiin natin ito tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.7 para sa hollow thin cylinders kapal dr, na ang symmetry axis ay tumutugma sa axis ng pag-ikot ng bola. Ang dami ng tulad ng isang guwang na silindro ng radius G ay katumbas ng lugar sa ibabaw na pinarami ng kapal:

saan ang taas ng silindro h natagpuan gamit ang Pythagorean theorem:

Pagkatapos ay madaling mahanap ang masa ng guwang na silindro:

pati na rin ang sandali ng pagkawalang-galaw alinsunod sa formula (4.15):

Ang kabuuang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong bola ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama (pagsusuma) ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga guwang na silindro:

Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang masa ng isang solidong bola ay nauugnay sa density ng hugis - 4 .

loy t = -npR A y sa wakas ay mayroon tayong moment of inertia tungkol sa axis

symmetry ng isang homogenous na bola ng radius R masa t:

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang nakapirming axis, na tatawagin nating z-axis (Larawan 41.1). Ang linear na bilis ng elementarya ay kung saan ang distansya ng masa mula sa axis. Samakatuwid, para sa kinetic energy ng isang elementary mass, nakuha ang expression

Ang kinetic energy ng isang katawan ay binubuo ng mga kinetic energies ng mga bahagi nito:

Ang kabuuan sa kanang bahagi ng ratio na ito ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan 1 tungkol sa axis ng pag-ikot. Kaya, ang kinetic energy ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis ay

Hayaang kumilos ang panloob na puwersa at panlabas na puwersa sa masa (tingnan ang Fig. 41.1). Ayon sa (20.5), ang mga puwersang ito ay gagana sa panahon

Ang pagsasagawa ng isang paikot na permutasyon ng mga salik sa halo-halong produkto ng mga vectors (tingnan ang (2.34)), nakukuha namin ang:

kung saan ang N ay ang sandali ng panloob na puwersa na nauugnay sa puntong O, ang N ay ang kahalintulad na sandali ng panlabas na puwersa.

Pagsusuma ng expression (41.2) sa lahat ng elementarya, nakukuha natin ang elementarya na gawain na isinagawa sa katawan sa panahon ng dt:

Ang kabuuan ng mga sandali ng panloob na puwersa ay katumbas ng zero (tingnan ang (29.12)). Samakatuwid, na tinutukoy ang kabuuang sandali ng mga panlabas na puwersa sa pamamagitan ng N, nakarating tayo sa expression

(ginamit namin ang formula (2.21)).

Sa wakas, isinasaalang-alang na mayroong isang anggulo kung saan umiikot ang katawan sa oras, nakukuha natin:

Ang tanda ng trabaho ay nakasalalay sa tanda, ibig sabihin, sa tanda ng projection ng vector N sa direksyon ng vector

Kaya, kapag ang katawan ay umiikot, ang mga panloob na pwersa ay hindi gumaganap ng trabaho, habang ang gawain ng mga panlabas na pwersa ay tinutukoy ng formula (41.4).

Ang pormula (41.4) ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng katotohanan na ang gawaing ginawa ng lahat ng pwersang inilapat sa katawan ay napupunta sa pagtaas ng kinetic energy nito (tingnan ang (19.11)). Sa pagkuha ng pagkakaiba ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (41.1), nakarating tayo sa ugnayan

Ayon sa equation (38.8) kaya, ang pagpapalit sa pamamagitan ay darating tayo sa formula (41.4).

Talahanayan 41.1

Sa mesa. 41.1, ang mga formula ng mekanika ng mga rotational motions ay inihambing sa mga katulad na formula ng mechanics ng translational motion (mechanics ng isang point). Mula sa paghahambing na ito ay madaling tapusin na sa lahat ng mga kaso ang papel ng masa ay ginampanan ng sandali ng pagkawalang-kilos, ang papel ng puwersa ay ang sandali ng puwersa, ang papel ng momentum ay nilalaro ng sandali ng momentum, atbp.

Formula. (41.1) nakuha namin para sa kaso kapag ang katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis na naayos sa katawan. Ngayon ipagpalagay natin na ang katawan ay umiikot nang arbitraryo tungkol sa isang nakapirming punto na tumutugma sa sentro ng masa nito.

Mahigpit nating ikonekta ang Cartesian coordinate system sa katawan, ang pinagmulan nito ay ilalagay sa gitna ng masa ng katawan. Ang bilis ng i-th elementary mass ay Samakatuwid, para sa kinetic energy ng katawan, maaari nating isulat ang expression

nasaan ang anggulo sa pagitan ng mga vector Pinapalitan ang isang through at isinasaalang-alang kung ano ang nakukuha natin:

Isinulat namin ang mga produktong scalar sa mga tuntunin ng mga projection ng mga vector sa mga axes ng coordinate system na nauugnay sa katawan:

Sa wakas, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga termino na may parehong mga produkto ng mga bahagi ng angular velocity at pagkuha ng mga produktong ito mula sa mga palatandaan ng mga kabuuan, makakakuha tayo ng: kaya ang formula (41.7) ay nasa anyo (ihambing sa (41.1)). Kapag ang isang arbitrary na katawan ay umiikot sa isa sa mga pangunahing axes ng inertia, sabihin na ang mga axes at formula (41.7) ay napupunta sa (41.10.

Sa gayon. ang kinetic energy ng isang umiikot na katawan ay katumbas ng kalahati ng produkto ng moment of inertia at ang square ng angular velocity sa tatlong kaso: 1) para sa isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis; 2) para sa isang katawan na umiikot sa paligid ng isa sa mga pangunahing axes ng inertia; 3) para sa isang ball top. Sa ibang mga kaso, ang kinetic energy ay tinutukoy ng mas kumplikadong mga formula (41.5) o (41.7).

Isaalang-alang muna ang isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis OZ na may angular na bilis ω (fig.5.6). Hatiin natin ang katawan sa elementarya. Ang linear velocity ng isang elementary mass ay , kung saan ang distansya nito mula sa axis ng pag-ikot. Kinetic energy i-na ang elementarya ay magiging katumbas ng

.

Ang kinetic energy ng buong katawan ay binubuo ng kinetic energies ng mga bahagi nito, samakatuwid

.

Isinasaalang-alang na ang kabuuan sa kanang bahagi ng kaugnayan na ito ay kumakatawan sa sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa axis ng pag-ikot, sa wakas ay nakuha natin

. (5.30)

Ang mga formula para sa kinetic energy ng isang umiikot na katawan (5.30) ay katulad ng mga katumbas na formula para sa kinetic energy ng translational motion ng katawan. Ang mga ito ay nakuha mula sa huli sa pamamagitan ng pormal na pagpapalit .

Sa pangkalahatang kaso, ang paggalaw ng isang matibay na katawan ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga galaw - translational na may bilis na katumbas ng bilis ng sentro ng masa ng katawan, at pag-ikot na may isang angular na bilis sa paligid ng instantaneous axis na dumadaan sa sentro ng masa. Sa kasong ito, ang expression para sa kinetic energy ng katawan ay tumatagal ng anyo

.

Hanapin natin ngayon ang gawaing ginawa ng sandali ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Pangunahing gawain ng mga panlabas na puwersa sa oras dt ay magiging katumbas ng pagbabago sa kinetic energy ng katawan

Ang pagkuha ng pagkakaiba mula sa kinetic energy ng rotational motion, nakita natin ang pagtaas nito

.

Alinsunod sa pangunahing equation ng dynamics para sa rotational motion

Isinasaalang-alang ang mga ugnayang ito, binabawasan namin ang expression para sa elementarya sa anyo

kung saan ang projection ng nagresultang sandali ng mga panlabas na puwersa sa direksyon ng axis ng pag-ikot OZ, ay ang anggulo ng pag-ikot ng katawan para sa isinasaalang-alang na tagal ng panahon.

Pagsasama ng (5.31), nakakakuha tayo ng formula para sa gawain ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa isang umiikot na katawan

Kung , kung gayon ang formula ay pinasimple

Kaya, ang gawain ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang nakapirming axis ay tinutukoy ng pagkilos ng projection ng sandali ng mga puwersang ito sa isang naibigay na axis.

Gyroscope

Ang gyroscope ay isang mabilis na umiikot na simetriko na katawan, ang axis ng pag-ikot na maaaring magbago ng direksyon nito sa kalawakan. Upang ang axis ng gyroscope ay malayang umiikot sa kalawakan, ang gyroscope ay inilalagay sa tinatawag na gimbal suspension (Larawan 5.13). Ang flywheel ng gyroscope ay umiikot sa panloob na annular cage sa paligid ng C 1 C 2 axis na dumadaan sa sentro ng grabidad nito. Ang panloob na hawla, sa turn, ay maaaring paikutin sa panlabas na hawla sa paligid ng axis B 1 B 2 patayo sa C 1 C 2 . Sa wakas, ang panlabas na lahi ay maaaring malayang umiikot sa strut bearings sa paligid ng axis A 1 A 2 patayo sa mga axes C 1 C 2 at B 1 B 2 . Ang lahat ng tatlong axes ay bumalandra sa ilang nakapirming punto O, na tinatawag na sentro ng suspensyon o ang fulcrum ng gyroscope. Ang gyroscope sa gimbal ay may tatlong antas ng kalayaan at, samakatuwid, ay maaaring gumawa ng anumang pag-ikot sa paligid ng gitna ng gimbal. Kung ang sentro ng suspensyon ng gyroscope ay tumutugma sa sentro ng grabidad nito, kung gayon ang nagresultang sandali ng grabidad ng lahat ng bahagi ng gyroscope na may kaugnayan sa sentro ng suspensyon ay katumbas ng zero. Ang ganitong gyroscope ay tinatawag na balanse.

Isaalang-alang natin ngayon ang pinakamahalagang katangian ng gyroscope, na natagpuan ang malawak na aplikasyon para dito sa iba't ibang larangan.

1) Pagpapanatili.

Sa anumang pag-ikot ng balanseng gyroscope rack, ang axis ng pag-ikot nito ay nananatiling parehong direksyon na may paggalang sa frame ng sanggunian ng laboratoryo. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa, katumbas ng sandali ng mga puwersa ng friction, ay napakaliit at halos hindi nagiging sanhi ng pagbabago sa angular momentum ng gyroscope, i.e.

Dahil ang angular momentum ay nakadirekta kasama ang axis ng pag-ikot ng gyroscope, ang oryentasyon nito ay dapat manatiling hindi nagbabago.

Kung ang isang panlabas na puwersa ay kumikilos nang maikling panahon, kung gayon ang integral na tumutukoy sa pagtaas ng angular momentum ay magiging maliit.

. (5.34)

Nangangahulugan ito na sa ilalim ng panandaliang impluwensya ng kahit na malalaking pwersa, ang paggalaw ng isang balanseng gyroscope ay bahagyang nagbabago. Ang gyroscope, tulad nito, ay lumalaban sa lahat ng mga pagtatangka na baguhin ang magnitude at direksyon ng angular momentum nito. Kaugnay nito ay ang kahanga-hangang katatagan na nakukuha ng paggalaw ng isang gyroscope matapos itong dalhin sa mabilis na pag-ikot. Ang pag-aari na ito ng gyroscope ay malawakang ginagamit upang awtomatikong kontrolin ang paggalaw ng sasakyang panghimpapawid, barko, rocket at iba pang sasakyan.

Kung, gayunpaman, ang gyroscope ay kumilos sa loob ng mahabang panahon sa pamamagitan ng isang sandali ng mga panlabas na pwersa na pare-pareho sa direksyon, pagkatapos ang axis ng gyroscope ay sa wakas ay nakatakda sa direksyon ng sandali ng mga panlabas na pwersa. Ang phenomenon na ito ay ginagamit sa gyrocompass. Ang aparatong ito ay isang gyroscope, ang axis nito ay maaaring malayang umiikot sa isang pahalang na eroplano. Dahil sa pang-araw-araw na pag-ikot ng Earth at ang pagkilos ng sandali ng mga puwersang sentripugal, ang axis ng gyroscope ay umiikot upang ang anggulo sa pagitan at maging minimal (Larawan 5.14). Ito ay tumutugma sa posisyon ng gyroscope axis sa meridian plane.

2). Gyroscopic effect.

Kung ang isang pares ng pwersa ay inilapat sa isang umiikot na gyroscope, na may posibilidad na paikutin ito sa paligid ng isang axis na patayo sa axis ng pag-ikot, pagkatapos ay iikot ito sa ikatlong axis, patayo sa unang dalawa (Fig. 5.15). Ang hindi pangkaraniwang pag-uugali na ito ng gyroscope ay tinatawag na gyroscopic effect. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang sandali ng isang pares ng mga puwersa ay nakadirekta sa kahabaan ng O 1 O 1 axis at ang pagbabago sa vector ng isang halaga sa paglipas ng panahon ay magkakaroon ng parehong direksyon. Bilang resulta, ang bagong vector ay iikot tungkol sa O 2 O 2 axis. Kaya, ang tila hindi likas na pag-uugali ng gyroscope ay ganap na tumutugma sa mga batas ng dynamics ng rotational motion.

3). Gyro precession.

Ang precession ng isang gyroscope ay ang conical na paggalaw ng axis nito. Ito ay nangyayari kapag ang sandali ng mga panlabas na puwersa, na nananatiling pare-pareho sa magnitude, ay umiikot nang sabay-sabay sa axis ng gyroscope, na bumubuo ng isang tamang anggulo kasama nito sa lahat ng oras. Upang ipakita ang precession, ang isang gulong ng bisikleta na may pinahabang axle, na dinala sa mabilis na pag-ikot (Larawan 5.16), ay maaaring magsilbi.

Kung ang gulong ay sinuspinde ng pinahabang dulo ng ehe, ang ehe nito ay magsisimulang mag-uuna sa paligid ng vertical axis sa ilalim ng pagkilos ng sarili nitong timbang. Ang isang mabilis na umiikot na tuktok ay maaari ding magsilbi bilang isang pagpapakita ng precession.

Alamin ang mga dahilan para sa precession ng gyroscope. Isaalang-alang ang isang hindi balanseng gyroscope na ang axis ay maaaring malayang umiikot sa isang tiyak na punto O (Larawan 5.16). Ang moment of gravity na inilapat sa gyroscope ay pantay sa magnitude

kung saan ang masa ng dyayroskop, ay ang distansya mula sa puntong O hanggang sa gitna ng masa ng dyayroskop, ay ang anggulo na nabuo ng axis ng dyayroskop na may patayo. Ang vector ay nakadirekta patayo sa patayong eroplano na dumadaan sa axis ng gyroscope.

Sa ilalim ng impluwensya ng sandaling ito, ang angular na momentum ng gyroscope (ang simula nito ay nakalagay sa punto O) ay makakatanggap ng pagtaas sa oras, at ang patayong eroplano na dumadaan sa axis ng gyroscope ay iikot sa pamamagitan ng isang anggulo. Ang vector ay palaging patayo sa , samakatuwid, nang hindi nagbabago sa magnitude, ang vector ay nagbabago lamang sa direksyon. Sa kasong ito, pagkaraan ng ilang sandali, ang kamag-anak na posisyon ng mga vector at magiging pareho sa unang sandali. Bilang resulta, ang axis ng gyroscope ay patuloy na iikot sa paligid ng patayo, na naglalarawan ng isang kono. Ang kilusang ito ay tinatawag na precession.

Alamin natin ang angular velocity ng precession. Ayon sa Fig.5.16, ang anggulo ng pag-ikot ng eroplano na dumadaan sa axis ng cone at ang axis ng gyroscope ay katumbas ng

nasaan ang angular momentum ng gyroscope, at ang pagtaas nito sa paglipas ng panahon.

Ang paghahati sa pamamagitan ng , isinasaalang-alang ang mga relasyon sa itaas at mga pagbabagong-anyo, nakukuha natin ang angular na bilis ng precession

. (5.35)

Para sa mga gyroscope na ginagamit sa teknolohiya, ang angular velocity of precession ay milyun-milyong beses na mas mababa kaysa sa rotational speed ng gyroscope.

Sa konklusyon, tandaan namin na ang phenomenon ng precession ay sinusunod din sa mga atomo dahil sa orbital motion ng mga electron.

Mga halimbawa ng paglalapat ng mga batas ng dinamika

Kapag umiikot

1. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng batas ng konserbasyon ng angular momentum, na maaaring ipatupad gamit ang Zhukovsky bench. Sa pinakasimpleng kaso, ang Zhukovsky bench ay isang hugis-disk na plataporma (upuan) na maaaring malayang umiikot sa paligid ng isang vertical axis sa ball bearings (Larawan 5.17). Ang demonstrador ay nakaupo o nakatayo sa bangko, pagkatapos nito ay dinadala sa rotational motion. Dahil sa ang katunayan na ang mga puwersa ng friction dahil sa paggamit ng mga bearings ay napakaliit, ang angular na momentum ng system na binubuo ng isang bangko at isang demonstrator tungkol sa axis ng pag-ikot ay hindi maaaring magbago sa oras kung ang system ay naiwan sa sarili nito. Kung ang demonstrador ay may hawak na mabibigat na dumbbells sa kanyang mga kamay at ikakalat ang kanyang mga braso sa mga gilid, pagkatapos ay tataas niya ang sandali ng pagkawalang-galaw ng system, at samakatuwid ang angular na bilis ng pag-ikot ay dapat bumaba upang ang angular na momentum ay mananatiling hindi nagbabago.

Ayon sa batas ng konserbasyon ng angular momentum, bumubuo kami ng isang equation para sa kasong ito

kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng tao at ng bangko, at ang sandali ng pagkawalang-galaw ng mga dumbbells sa una at pangalawang posisyon, at ang mga angular na bilis ng sistema.

Ang angular na bilis ng pag-ikot ng system kapag dumarami ang mga dumbbells sa gilid ay magiging katumbas ng

.

Ang gawaing ginawa ng isang tao kapag gumagalaw ang mga dumbbells ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagbabago sa kinetic energy ng system

2. Magbigay tayo ng isa pang eksperimento sa bangko ni Zhukovsky. Ang demonstrador ay nakaupo o nakatayo sa isang bangko at binibigyan ng mabilis na umiikot na gulong na may patayong nakadirekta na axis (Larawan 5.18). Pagkatapos ay pinaikot ng demonstrador ang gulong 180 0 . Sa kasong ito, ang pagbabago sa angular na momentum ng gulong ay ganap na inilipat sa bench at ang demonstrator. Bilang resulta, ang bench, kasama ang demonstrator, ay umiikot na may angular na bilis na tinutukoy batay sa batas ng konserbasyon ng angular momentum.

Ang angular momentum ng system sa paunang estado ay tinutukoy lamang ng angular na momentum ng gulong at katumbas ng

kung saan ang moment of inertia ng gulong, ay ang angular velocity ng pag-ikot nito.

Pagkatapos paikutin ang gulong sa isang anggulong 180 0, matutukoy na ang sandali ng momentum ng system sa pamamagitan ng kabuuan ng momentum ng momentum ng bench kasama ang tao at ang sandali ng momentum ng gulong. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang momentum vector ng gulong ay nagbago ng direksyon nito sa kabaligtaran, at ang projection nito sa vertical axis ay naging negatibo, nakuha namin

,

kung saan ang moment of inertia ng "man-platform" system, ay ang angular velocity ng pag-ikot ng bench kasama ang tao.

Ayon sa batas ng konserbasyon ng angular momentum

at .

Bilang isang resulta, nakita namin ang bilis ng pag-ikot ng bangko

3. Manipis na rod mass m at haba l umiikot na may angular na bilis ω=10 s -1 sa isang pahalang na eroplano sa paligid ng isang patayong axis na dumadaan sa gitna ng baras. Ang patuloy na pag-ikot sa parehong eroplano, ang baras ay gumagalaw upang ang axis ng pag-ikot ay dumaan na ngayon sa dulo ng baras. Hanapin ang angular velocity sa pangalawang kaso.

Sa problemang ito, dahil sa ang katunayan na ang pamamahagi ng masa ng baras na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot ay nagbabago, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras ay nagbabago din. Alinsunod sa batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang nakahiwalay na sistema, mayroon tayo

Dito - ang sandali ng pagkawalang-kilos ng baras tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng baras; - ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras tungkol sa axis na dumadaan sa dulo nito at natagpuan ng teorem ni Steiner.

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa batas ng konserbasyon ng angular momentum, nakuha namin

,

.

4. Haba ng baras L=1.5 m at timbang m 1=10 kg ay nakabitin sa itaas na dulo. Ang isang bala ay tumama sa gitna ng pamalo na may masa m2=10 g, lumilipad nang pahalang sa bilis na =500 m/s, at naipit sa pamalo. Sa anong anggulo lilihis ang baras pagkatapos ng impact?

Isipin natin sa Fig. 5.19. sistema ng mga nakikipag-ugnayang katawan na "rod-bullet". Ang mga sandali ng mga panlabas na puwersa (gravity, axis reaction) sa sandali ng epekto ay katumbas ng zero, kaya maaari nating gamitin ang batas ng konserbasyon ng angular momentum

Ang angular momentum ng system bago ang impact ay katumbas ng angular momentum ng bullet na may kaugnayan sa suspension point

Ang angular na momentum ng system pagkatapos ng inelastic na epekto ay tinutukoy ng formula

,

kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras na may kaugnayan sa punto ng suspensyon, ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bala, ay ang angular na bilis ng baras na may bala kaagad pagkatapos ng epekto.

Ang paglutas ng nagresultang equation pagkatapos ng pagpapalit, nakita namin

.

Gamitin natin ngayon ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya. Itumbas natin ang kinetic energy ng baras matapos itong tamaan ng bala sa potensyal nitong enerhiya sa pinakamataas na punto ng pag-akyat:

,

kung saan ang taas ng sentro ng masa ng ibinigay na sistema.

Nang maisagawa ang mga kinakailangang pagbabago, nakukuha namin

Ang anggulo ng pagpapalihis ng baras ay nauugnay sa halaga ng ratio

.

Nang maisagawa ang mga kalkulasyon, nakuha namin ang =0,1p=18 0 .

5. Tukuyin ang acceleration ng mga katawan at ang pag-igting ng thread sa Atwood machine, sa pag-aakala na (Fig. 5.20). Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bloke tungkol sa axis ng pag-ikot ay ako, block radius r. Huwag pansinin ang masa ng thread.

Ayusin natin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga load at block, at buuin ang mga dynamics equation para sa kanila.

Kung walang slippage ng thread kasama ang block, ang linear at angular acceleration ay nauugnay sa kaugnayan

Ang paglutas ng mga equation na ito, nakukuha namin

Pagkatapos ay makikita natin ang T 1 at T 2 .

6. Ang isang thread ay nakakabit sa pulley ng Oberbeck cross (Fig. 5.21), kung saan ang isang load ng masa M= 0.5 kg. Tukuyin kung gaano katagal bago mahulog ang isang load mula sa taas h=1 m sa ilalim na posisyon. Pulley radius r\u003d 3 cm. Apat na timbang ng masa m=250g bawat isa sa layo R= 30 cm mula sa axis nito. Pabayaan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng krus mismo at ang kalo kumpara sa sandali ng pagkawalang-galaw ng mga timbang.