\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ipaliwanag natin nang mas madali. Halimbawa, ang \(\log_(2)(8)\) ay katumbas ng kapangyarihang \(2\) ay dapat na itaas upang makuha ang \(8\). Mula dito ay malinaw na ang \(\log_(2)(8)=3\).

Mga halimbawa:		\(\log_(5)(25)=2\)		kasi \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		kasi \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		kasi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento at base ng logarithm

Anumang logarithm ay may sumusunod na "anatomy":

Ang argumento ng logarithm ay karaniwang nakasulat sa antas nito, at ang base ay nakasulat sa subscript na mas malapit sa sign ng logarithm. At ang entry na ito ay binasa ng ganito: "ang logarithm ng dalawampu't lima hanggang sa base ng lima."

Paano makalkula ang logarithm?

Upang makalkula ang logarithm, kailangan mong sagutin ang tanong: sa anong antas dapat itaas ang base upang makuha ang argumento?

Halimbawa, kalkulahin ang logarithm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(4\) upang makuha ang \(16\)? Halatang pangalawa. Kaya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(5)\) upang makuha ang \(1\)? At anong antas ang gumagawa ng anumang numero bilang isang yunit? Syempre zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(7)\) upang makuha ang \(\sqrt(7)\)? Sa una - anumang numero sa unang antas ay katumbas ng sarili nito.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(3\) upang makuha ang \(\sqrt(3)\)? Mula sa alam namin na iyon ay isang fractional na kapangyarihan, at samakatuwid ang square root ay ang kapangyarihan ng \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Halimbawa : Kalkulahin ang logarithm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Desisyon :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kailangan nating hanapin ang halaga ng logarithm, tukuyin natin ito bilang x. Ngayon ay gamitin natin ang kahulugan ng logarithm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Anong mga link ang \(4\sqrt(2)\) at \(8\)? Dalawa, dahil ang parehong mga numero ay maaaring kinakatawan ng dalawa: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Sa kaliwa, ginagamit namin ang mga katangian ng degree: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) at \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Ang mga base ay pantay, nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa \(\frac(2)(5)\)
		Ang resultang ugat ay ang halaga ng logarithm

Sagot : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Bakit naimbento ang logarithm?

Upang maunawaan ito, lutasin natin ang equation: \(3^(x)=9\). Itugma lang ang \(x\) para gumana ang pagkakapantay-pantay. Siyempre, \(x=2\).

Ngayon lutasin ang equation: \(3^(x)=8\).Ano ang katumbas ng x? Iyon ang punto.

Ang pinaka mapanlikha ay magsasabi: "Ang X ay mas mababa ng kaunti sa dalawa." Paano eksaktong isusulat ang numerong ito? Upang masagot ang tanong na ito, nakabuo sila ng logarithm. Salamat sa kanya, ang sagot dito ay maaaring isulat bilang \(x=\log_(3)(8)\).

Gusto kong bigyang-diin na \(\log_(3)(8)\), pati na rin anumang logarithm ay isang numero lamang. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ito ay maikli. Dahil kung gusto naming isulat ito bilang isang decimal, magiging ganito ang hitsura: \(1.892789260714.....\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(4^(5x-4)=10\)

Desisyon :

\(4^(5x-4)=10\)		Ang \(4^(5x-4)\) at \(10\) ay hindi maaaring bawasan sa parehong base. Kaya dito hindi mo magagawa nang wala ang logarithm. Gamitin natin ang kahulugan ng logarithm: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		I-flip ang equation upang ang x ay nasa kaliwa
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bago tayo. Ilipat ang \(4\) sa kanan. At huwag matakot sa logarithm, ituring ito bilang isang normal na numero.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Hatiin ang equation sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Narito ang ating ugat. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ang sagot ay hindi pinili.

Sagot : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimal at natural na logarithms

Gaya ng nakasaad sa kahulugan ng logarithm, ang base nito ay maaaring maging anumang positibong numero maliban sa isang \((a>0, a\neq1)\). At sa lahat ng posibleng mga base, mayroong dalawa na madalas na nangyayari na ang isang espesyal na maikling notasyon ay naimbento para sa mga logarithms sa kanila:

Natural logarithm: isang logarithm na ang base ay ang Euler number \(e\) (katumbas ng humigit-kumulang \(2.7182818…\)), at ang logarithm ay isinusulat bilang \(\ln(a)\).

I.e, Ang \(\ln(a)\) ay kapareho ng \(\log_(e)(a)\)

Decimal logarithm: Ang logarithm na ang base ay 10 ay nakasulat na \(\lg(a)\).

I.e, Ang \(\lg(a)\) ay kapareho ng \(\log_(10)(a)\), kung saan ang \(a\) ay ilang numero.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Ang logarithms ay may maraming katangian. Ang isa sa kanila ay tinatawag na "Basic logarithmic identity" at ganito ang hitsura:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan. Tingnan natin kung paano nangyari ang formula na ito.

Alalahanin ang maikling kahulugan ng logarithm:

kung \(a^(b)=c\), kung gayon \(\log_(a)(c)=b\)

Ibig sabihin, ang \(b\) ay kapareho ng \(\log_(a)(c)\). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang \(\log_(a)(c)\) sa halip na \(b\) sa formula \(a^(b)=c\) . Ito ay naging \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ang pangunahing logarithmic identity.

Maaari mong mahanap ang natitirang mga katangian ng logarithms. Sa kanilang tulong, maaari mong pasimplehin at kalkulahin ang mga halaga ng mga expression na may logarithms, na mahirap direktang kalkulahin.

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng expression na \(36^(\log_(6)(5))\)

Desisyon :

Sagot : \(25\)

Paano magsulat ng isang numero bilang isang logarithm?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang logarithm ay isang numero lamang. Totoo rin ang kabaligtaran: anumang numero ay maaaring isulat bilang logarithm. Halimbawa, alam namin na ang \(\log_(2)(4)\) ay katumbas ng dalawa. Pagkatapos ay maaari mong isulat ang \(\log_(2)(4)\) sa halip na dalawa.

Ngunit ang \(\log_(3)(9)\) ay katumbas din ng \(2\), kaya maaari mo ring isulat ang \(2=\log_(3)(9)\) . Katulad din sa \(\log_(5)(25)\), at sa \(\log_(9)(81)\), atbp. Ibig sabihin, lumalabas

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kaya, kung kailangan natin, maaari nating isulat ang dalawa bilang isang logarithm na may anumang base kahit saan (kahit sa isang equation, kahit sa isang expression, kahit na sa isang hindi pagkakapantay-pantay) - isinusulat lang natin ang squared base bilang isang argumento.

Ito ay pareho sa isang triple - maaari itong isulat bilang \(\log_(2)(8)\), o bilang \(\log_(3)(27)\), o bilang \(\log_(4)( 64) \) ... Dito isinulat namin ang base sa kubo bilang isang argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

At kasama ang apat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

At may minus one:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

At kasama ang isang ikatlo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Anumang numero \(a\) ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng isang expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Desisyon :

Sagot : \(1\)

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. log a x+log a y= log a (x · y);
2. log a x−log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

[Figure caption]

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:

[Figure caption]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang mag-log ang logarithm a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[Figure caption]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha natin:

[Figure caption]

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

[Figure caption]

Dahil hindi nagbabago ang produkto mula sa permutation ng mga salik, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay inisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[Figure caption]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[Figure caption]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging exponent ng argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na pangunahing logarithmic identity.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa kapangyarihan upang b sa lawak na ito ay nagbibigay ng isang numero a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

[Figure caption]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

[Figure caption]

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa pagsusulit :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. log a a Ang = 1 ay ang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na ito mismo ay katumbas ng isa.
2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang kinahinatnan ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, set ng mga halaga, pangunahing mga formula, derivative, integral, pagpapalawak sa isang serye ng kapangyarihan at representasyon ng function na ln x sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero ay ibinigay.

Kahulugan

natural na logarithm ay ang function na y = sa x, kabaligtaran sa exponent, x \u003d e y , at alin ang logarithm sa base ng numerong e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = sa x.

Graph ng natural na logarithm (mga function y = sa x) ay nakuha mula sa graph ng exponent sa pamamagitan ng mirror reflection tungkol sa tuwid na linya y = x .

Ang natural na logarithm ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng x . Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( - ∞ ).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

log 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base change formula:

Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".

Baliktad na pag-andar

Ang kapalit ng natural logarithm ay ang exponent.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon .

Derivative ln x

Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulo x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z :
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Mabuti. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:

1. Intindihin ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...

Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!

Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.