206. Alam natin (n. 175) na kung ang ∠A (Fig. 203 o 204) ay intersected ng dalawang parallel na KL at BC, kung gayon ang ratio ng alinmang dalawang segment sa isang gilid ng anggulong ito ay katumbas ng ratio ng dalawang katumbas mga segment sa kabilang banda (hal., AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL, atbp.). Ngunit nakikita namin na nakakuha kami ng higit pang mga segment sa magkatulad na mga mismo, lalo na ang KL at BC. Ang tanong ay lumitaw kung posible bang pumili ng dalawang mga segment na AL, LC at AC na nakahiga sa parehong panig ng aming anggulo A upang ang kanilang ratio ay katumbas ng ratio ng mga segment na KL at BC.

Para sa layuning ito, una naming inilipat ang segment na KL sa linyang BC, kung saan kailangan naming bumuo ng LD || AB; tapos BD = KL. Pagkatapos, sa halip na ang mga segment na KL at BC, maaari nating isaalang-alang ang mga segment na BD at BC, na matatagpuan sa gilid ng CB ng anggulo C. Dahil ang ∠C ay naging intersected ng dalawang magkatulad na linya, katulad ng mga linyang AB at LD , pagkatapos, paglalapat ng § 175 sa anggulo C, nakita namin

BD/BC = AL/AC o KL/BC = AL/AC.

Nalutas ang isyu: nakahanap kami ng dalawang segment na AL at AC sa gilid ng AC upang ang kanilang ratio ay = KL/BC. Alam din na ang AK/AB = AL/AC, maaari na nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay na ito, dumating tayo sa konklusyon na ikinonekta nila ang mga gilid ng dalawang nakuha na tatsulok, katulad ng ∆AKL at ∆ABC. Isang bagong tanong ang lumitaw: ang mga anggulo ba ng mga tatsulok na ito ay konektado sa ilang paraan?

Ang sagot sa huling tanong ay madaling mahanap: ∠A ang ating mga tatsulok ay may pagkakatulad, ∠K = ∠B, bilang katumbas ng parallel KL at BC at secant AB, at ∠L = ∠C, bilang katumbas para sa parehong parallel, ngunit may secant AC.

Maaari nating ilipat ang ∆AKL (Ch. 203) sa ibang lugar, o, na pareho, bumuo ng isang bagong ∆A"K"L" na katumbas ng ∆AKL; ang mga gilid at anggulo nito ay magkakapareho sa mga gilid at anggulo ng ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

Pagkatapos ay makukuha natin ang ∆A"K"L", na nasa parehong relasyon sa ∆ABC bilang ∆AKL:
1) ang mga tatsulok na ito ay may pantay na mga anggulo: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) para sa mga panig mayroon kaming mga proporsyon:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Dapat tandaan na ang dalawang panig ng bawat relasyon ay hindi sinasadyang konektado sa isang relasyon - hindi mo, halimbawa, magsulat ng A "L" / AB \u003d A "K" / BC \u003d K "L" / AC. Dapat mahanap ng isang tao ang mga partido na dapat ay miyembro ng isang relasyon. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng mga anggulo ng mga tatsulok: mapapansin mo na ang mga gilid ng bawat relasyon sa mga pagkakapantay-pantay (1) ay nasa mga tatsulok laban sa magkapantay na mga anggulo (A"K" laban sa ∠L at AB laban sa pantay na anggulo C, atbp. .). Nakaugalian na tawagan ang mga panig na nagsisilbing mga miyembro ng parehong relasyon na magkatulad (side A "K" ay katulad ng side AB, A "L" - sa AC at K "L" - sa BC), at ang mga magkatulad na panig ay matatagpuan sa aming mga tatsulok laban sa pantay na mga anggulo.

Ang pagkakapantay-pantay (1) ay mababasa sa mga pinaikling termino:

Ang mga gilid ng tatsulok ∆A"K"L" ay proporsyonal sa magkatulad na panig ∆ABC.

Ang salitang "proporsyonal" ay nangangahulugang: ang ratio ng isang pares ng magkatulad na panig ng mga tatsulok na A"K"L" at ABC ay katumbas ng ratio ng isa pang pares at katumbas ng ratio ng ikatlong pares.

Ang mga tatsulok na mayroong dalawang tampok na matatagpuan sa itaas ay tinatawag na magkatulad. Upang ipahiwatig ang pagkakatulad ng mga tatsulok, ginagamit ang tanda ~. Nakuha namin ang: ∆AKL ~ ∆ABC at ∆A"K"L" ~ ∆ABC din.

Maaari mo na ngayong i-install:

Ang dalawang tatsulok ay tinatawag na magkatulad kung ang mga anggulo ng isa ay magkapares sa mga anggulo ng isa at ang kanilang magkatulad na panig ay proporsyonal.

Magkomento. Kunin natin mula sa pagkakapantay-pantay (1) ang isa lamang, halimbawa, A"K"/AB = A"L"/AC. Ang paglalapat ng ari-arian ng item 178 dito, nakukuha namin: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, i.e. ang ratio ng dalawang panig ng isang tatsulok ay katumbas ng ratio ng dalawang magkatulad na panig ng isa pang tatsulok na katulad ng una.

207. Ang pangunahing tanda ng pagkakatulad ng mga tatsulok. Ayon sa nakaraang talata, maaari tayong bumuo ng isang hindi mabilang na hanay ng mga tatsulok na katulad ng ibinigay: para dito kailangan nating i-intersect ang ibinigay na tatsulok na may iba't ibang mga linya na kahanay sa isa sa mga gilid nito, at pagkatapos, kung gusto mo, ilipat ang bawat resultang tatsulok. sa ibang lugar sa eroplano. Sa lahat ng nagreresultang tatsulok, ang mga anggulo ay nananatiling hindi nagbabago, at ang ratio ng anumang panig ng isa sa magkatulad na bahagi ng ibinigay na isa (skalidad ng pagkakatulad) ay nagbabago. Samakatuwid, ang pag-iisip arises kung ito ay hindi sapat para sa pagkakapareho ng dalawang triangles lamang ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga anggulo.

Bumuo tayo ng 2 tatsulok: ∆ABC at ∆DEF (Chart 205) upang ∠A = ∠E at ∠B = ∠D. Pagkatapos, una sa lahat, nakita natin na ∠C = ∠F (dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat tatsulok = 2d).

Ipinapataw namin ang ∆DEF sa ∆ABC upang, halimbawa, ang puntong E ay makarating sa puntong A. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-ikot sa puntong ito, dahil sa pagkakapantay-pantay na ∠E = ∠A, ED at EF ay sumasabay sa AB at AC, ayon sa pagkakabanggit; ang panig na DF ay dapat sumakop sa ganoong posisyon na KL na ∠AKL = ∠D = ∠B at ∠ALK = ∠F = ∠C, ibig sabihin, upang ang KL || BC, dahil ang pantay na kaukulang mga anggulo ay nakuha.

Kaya't napagpasyahan namin na ang ∆DEF ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbuo ng nakaraang seksyon at, dahil dito, na ∆DEF ~ ∆ABC. Kaya kung dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, sa dalawang anggulo ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

208. Gawain. Buuin ang ikaapat na proporsyonal sa tatlong ibinigay na mga segment.

Hayaang ibigay ang mga segment a, b at c (Chart 206); ito ay kinakailangan upang bumuo ng tulad ng isang ika-4 na segment x, upang ang proporsyon a/b = c/x ay maganap.

Bumubuo kami ng dalawang arbitrary na linya na AB at CD na nagsasalubong sa punto O at itabi mula sa punto O sa isa sa kanila ang mga segment ng unang kaugnayan: OA = a, OB = b (ito ay posible sa isa o sa iba't ibang direksyon mula sa point O) at sa kabilang linya ay kilala na segment ng pangalawang kaugnayan OC = c. Pagkatapos ay ikinonekta namin sa isang tuwid na linya ang mga dulo ng mga segment na iyon na nagsisilbing mga nakaraang miyembro ng aming proporsyon (kung ang isa sa kanila ay hindi kilala, pagkatapos ay dapat naming ikonekta ang mga dulo ng mga segment na nagsisilbing kasunod na mga miyembro ng proporsyon na ito); nakukuha namin ang linyang AC na kumukonekta sa mga dulo ng mga segment a at c. Pagkatapos, sa pamamagitan ng punto B ay binubuo namin ang linyang BD || AC. Pagkatapos ay ituturo namin ang ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, bilang patayo at ∠C = ∠D, bilang panloob na cross-lying, na sapat ayon sa nakaraang talata para sa pagkakatulad ng ating mga tatsulok). Kaya't mayroon tayong (n. 206) proporsyonalidad ng magkatulad na panig:

OA/OB = OC/OD o a/b = c/OD,

kaya sumusunod na ang nais na segment x = OD.

Kung kinakailangan upang matugunan ang mga proporsyon na x/c = a/b, kakailanganing ikonekta ang mga puntong B at C at bumuo ng AL || BD; kung gayon ang segment na OL ang gusto.

Puna . Kung bumuo tayo ng isang segment x sa paraang, halimbawa, ang proporsyon na x/c = a/b ay nasiyahan, kung gayon ang anumang iba pang segment na x" ay hindi makakatugon sa proporsyon na ito; kung x"> x, kung gayon ang x"/c > x>c at, kaya x"/c > a/b kung x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Iba pang mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok. 1) Kung ang dalawang gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa dalawang panig ng isa pa at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay, kung gayon ang dalawang tatsulok na ito ay magkatulad.

Magkaroon tayo ng ∆ABC (Ch. 207); kumuha tayo ng isang di-makatwirang segment na ED at bumuo, ayon sa aytem 208, ang segment x upang maganap ang proporsyon ng x/AC = ED/AB. Sa wakas, bumuo kami ng ∆EDF upang ang isang bahagi nito ay ang segment na ED, ang kabilang panig ay ang segment na EF = x, at, sa wakas, ∠E = ∠A. Pagkatapos ang ∆EDF at ∆ABC ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:

1) ∠E = ∠A at 2) EF/AC = ED/AB.

Magkatulad ba ang mga tatsulok na ito?

Upang masagot ang tanong na ito, kailangan lang nating tandaan na maaari tayong bumuo ng isang tatsulok na katumbas ng ∆EDF sa ibang, mas simpleng paraan. Upang gawin ito, isinantabi namin ang segment na AK = ED sa gilid AB at bumuo ng KL || BC; pagkatapos ay ∆AKL ~ ∆ABC (Sec. 197) at, dahil dito, AL/AC = AK/AB.

Dahil ang AK = ED at dahil mayroon lamang isang paraan (puna 208) upang matugunan ang mga proporsyon na x/AC = ED/AB, napaghihinuha namin mula rito na EF = AL at na ∆AKL = ∆EDF. Samakatuwid, ang ∆EDF ay maaaring superimposed ng ∆AKL at samakatuwid ay ∆EDF ~ ∆ABC. Binibigyang-katwiran nito ang tanda ng proporsyonalidad, na itinakda sa simula ng talatang ito.

2) Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay proporsyonal sa tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

Magkaroon tayo ng ∆ABC (Ch. 207); kunin natin ang segment na ED at, ayon sa aytem 208, bumuo ng dalawa pang segment na x at y upang maganap ang mga proporsyon: x/AC = ED/AB at y/BC = ED/AB. Bumuo tayo ng isang tatsulok na EDF (EF = x, DF = y) na ibinigay sa tatlong panig na ED, x at y.

Pagkatapos ang ∆EDF at ∆ABC ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:

1) EF/AC = ED/AB at 2) DF/BC = ED/AB

o, sa madaling salita:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Magkatulad ba ang mga tatsulok na ito?

Upang malutas ang isyung ito, tandaan namin na posibleng gumawa ng tatsulok na katumbas ng ∆EDF sa ibang, mas simpleng paraan.

Upang gawin ito, isinantabi namin ang segment na AK = ED sa gilid AB at bumuo ng KL || BC; pagkatapos (Sec. 206) makuha natin ang ∆AKL ~ ∆ABC at, dahil dito,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Dahil ang segment AK = ED at dahil, ayon sa remark ng aytem 208, isang segment lamang ang maaaring itayo na nakakatugon sa proporsyon x/AC = ED/AB, napagpasyahan namin na AL = EF; nalaman din natin na ang KL = DF, kung saan sinusundan nito ang ∆EDF = ∆AKL, at sa pamamagitan ng superposisyon maaari nating pagsamahin ang ∆EDF sa ∆AKL (kung minsan, maaaring kailanganin na i-on ang ∆EDF sa kabilang panig). Samakatuwid, ∆EDF ~ ∆ABC.

Ito ay nagbibigay-katwiran sa nakasaad na tanda.

Sa katulad na paraan, mahahanap ng isa ang ilang higit pang mga palatandaan ng pagkakatulad, kapwa para sa mga tatsulok sa pangkalahatan at para sa anumang mga espesyal na tatsulok. Halimbawa, kung ang hypotenuse at binti ng isang right triangle ay proporsyonal sa hypotenuse at binti ng isa pa, magkapareho ang mga triangles na ito. Ang pagpapaliwanag ng bisa nito ay batay: 1) sa pangungusap ng aytem 208 at 2) sa tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na may tamang anggulo (aytem 74, tanda 4).

Puna . Sa ilan sa mga sumusunod na problema, kakailanganin mong hanapin ang mga ratio ng mga segment na sinusukat ng ilang unit. Kung, halimbawa, ang segment x = 7½ lin. walang asawa at segment y = 3/10 lin. walang asawa (ang linear unit ay pareho), pagkatapos ay upang mahanap ang ratio ng segment x sa segment y, kinakailangan upang ipahayag ang segment x bilang isang numero, na kunin ang segment y bilang unit. Kung y = 3/10 lin. mga yunit, pagkatapos ay lin. walang asawa = 10/3 * y at samakatuwid

x = (7½ * 10/3)y, kung saan ang x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

ibig sabihin, upang i-superimpose ang ratio ng mga segment na sinusukat ng anumang isang yunit, kinakailangan upang mahanap ang ratio ng mga numero na nagpapahayag ng aming mga segment, at ang ratio ng mga numero, tulad ng nalalaman mula sa arithmetic, ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati.

210. Mga ehersisyo.

1. Given 2 right triangles; ang acute angle ng isa sa kanila = 41°, at ang acute angle ng isa pa = 49°. Alamin kung magkatulad ang mga tatsulok na ito.

2. Ibinigay ang ∆ABC at ∆KLM (Ch. 208) upang ∠B = ∠M at AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm. at MK = 10 dm. Magkatulad ba ang mga tatsulok na ito? Kung magkapareho sila, pagkatapos ay kalkulahin ang panig AC, alam na ang panig KL = 5½ dm.

3. Ibinigay ang ∆ABC at ∆KLM (drawing 208) upang AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . Magkatulad ba ang mga tatsulok na ito? Paano mo mahahanap ang pagkakatulad dito?

4. Sa mga tatsulok na ABC at KLM na ibinigay: AB = 16 dm., AC = 8 dm., BC = 20 dm., KL = 5 dm., MK = 10 dm. at ML = 12 dm. Magkatulad ba ang mga tatsulok na ito? Kung hindi sila magkatulad, paano dapat baguhin ang side ML upang magkatulad ang mga tatsulok?

5. Ibinigay ang 2 magkatulad na tatsulok, ang mga gilid ng isa ay magkapantay ayon sa pagkakabanggit. 10, 14 at 16 dm. at ang mas malaking bahagi ng isa pa = 20 dm. Hanapin ang iba pang 2 panig ng pangalawang tatsulok.

6. Binigyan ng tatsulok. Gamit ang paraan ng aytem 206, bumuo ng isa pang tatsulok na katulad ng ibinigay upang ang bawat ratio ng gilid ng bagong tatsulok sa magkatulad na bahagi ng pangalawa ay = ¾.
Gawin ang parehong konstruksyon kung ang ratio sa itaas ay dapat na 2½.

211. Mga ratio ng taas at mga lugar ng magkatulad na tatsulok. Hayaan tayong magkaroon ng ∆ABC ~ ∆DEF (Chart 209). Samakatuwid, mayroon tayong: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) at ∠C = ∠F (1) at

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Bumuo tayo ng mga taas na BM at EN sa ating mga tatsulok, na bumabagsak ng mga patayo sa magkatulad na panig; tatawagin nating magkatulad ang mga taas na ito. Pagkatapos ay ∆ABM ~ ∆DEN, dahil mayroon silang ∠A = ∠D batay sa mga pagkakapantay-pantay (1) at ∠AMB = ∠DNE bilang mga tamang anggulo (BM ⊥ AC at EN ⊥ DF), at ito ay sapat na para magkatulad ang ating mga tatsulok (207) at mula sa kanilang pagkakatulad ay nakukuha natin:

Batay sa mga pagkakapantay-pantay (2), maaari nating ipagpatuloy ang huling pagkakapantay-pantay:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

ibig sabihin, ang ratio ng magkatulad na taas ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng ratio ng magkatulad na panig.

Mula sa isang serye ng mga huling katumbas na ratio, bigyang-pansin natin ang proporsyon.

(Ratio ng magkatulad na taas = ratio ng mga base).

212. Sa talata 209 ito ay ipinahiwatig kung paano hanapin ang ratio ng dalawang segment na sinusukat ng parehong yunit. Ang parehong naaangkop sa paghahanap ng ratio ng dalawang lugar na sinusukat ng parehong square unit: ang ratio na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero na nagpapahayag ng aming mga lugar.

Maiintindihan natin sa talatang ito, at sa maraming mga kaso, sa ilalim ng notasyon, halimbawa, AB, ang numerong nagpapahayag ng segment na AB sa anumang linear na unit, at sa ilalim ng pagtatalagang "lugar ∆ABC" mauunawaan natin ang numerong nagpapahayag ng area ∆ABC sa square units. Kapag nagsusuri ng isang tanong, ang lahat ng mga segment ay ituturing na sinusukat ng parehong linear na yunit, at lahat ng mga lugar - sa pamamagitan ng kaukulang mga square unit.

Alam namin (n. 201) na upang masukat ang lugar ng isang tatsulok sa mga square unit, kinakailangang sukatin ang base at taas nito sa kaukulang linear unit at kunin ang kalahati ng produkto ng mga resultang numero.
Ngayon, gamit ang notasyon ayon sa kondisyon sa itaas, mayroon tayo para sa ∆ABC at ∆DEF (Fig. 209)
lugar ∆ABC = (AC * BM) / 2 at lugar ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Hanapin ang ratio ng mga lugar ng ating mga tatsulok sa pamamagitan ng paghahati

i.e. ang ratio ng mga lugar ng dalawang triangles ay katumbas ng produkto ng ratio ng kanilang mga base at ang ratio ng kanilang mga taas.

Isaalang-alang natin ngayon na tayo ay nakikitungo sa mga katulad na tatsulok - isinasaalang-alang natin na ∆ABC ~ ∆DEF.

Pagkatapos mula sa nakaraang talata mayroon kaming:

Ang pagpapalit sa formula na nagpapahayag ng ratio ng mga lugar ng mga tatsulok, ang ratio ng mga taas na may ratio ng mga base na katumbas nito, nakukuha natin:

Masasabi rin natin na ang ratio na ito = (AB/DE) 2 . Kaya,

ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng ratio ng kanilang magkatulad na panig.

Sumasang-ayon ang resultang ito sa makikita sa § 160 (Mga Pagsasanay 5, 6 at 7).

Isang ehersisyo. Hanapin ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok na ibinigay sa talata 210 (Mga Pagsasanay 2, 3, 5 at 6).

213. Ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na may pantay na anggulo. Ilagay sa ∆ABC at ∆DEF (Ch. 210) mayroon tayong ∠A = ∠D, at ang iba pang mga anggulo ay hindi pantay. Kung gayon ang aming mga tatsulok ay hindi magkatulad. Kami, tulad ng sa nakaraang talata, ay bumubuo ng mga taas na BM at EN ng mga tatsulok na ito at hinahanap sa pamamagitan ng paghahati ng ratio ng kanilang mga lugar

BM/EN = AB/DE (2)

Ngunit ngayon hindi na posible na palitan ang ratio ng mga taas (BM / EN) sa ratio ng mga base (AC / DF), dahil ang mga tatsulok na ito ay hindi magkatulad. Gamit ang (2) mula sa (1) mayroon kaming:

ibig sabihin, ang ratio ng mga lugar ng dalawang tatsulok na may pantay na anggulo ay katumbas ng produkto ng mga ratio ng mga panig na bumubuo sa mga anggulong ito.

Isang ehersisyo. Binigyan ng tatsulok; bumuo ng isa pang tatsulok upang ang isang anggulo ay mananatiling hindi nagbabago, at ang mga panig na bumubuo sa anggulong ito ay tumaas ng isa ng 2 beses at ang isa ay 3 beses. Paano tataas ang lawak nito? Ang isang sagot na madaling mahanap sa pamamagitan ng pagkalkula ay kanais-nais na kalkulahin sa geometrically.

252. Ang konsepto ng pagkakatulad ng mga tatsulok ay umaabot din sa mga polygon. Hayaang ibigay ang polygon ABCDE (Ch. 245); gawin ang konstruksiyon na katulad ng aytem 206. Buuin ang mga dayagonal na AC at AD at, pagpili ng ilang punto K sa gilid AB sa pagitan ng mga punto A at B o sa labas ng segment AB, bumuo ng KL || BC hanggang sa mag-intersect ito sa diagonal na AC, pagkatapos ay LM || CD sa intersection na may AD at panghuli MN || DE sa intersection sa AE. Pagkatapos ay makuha namin ang polygon AKLMN, na nauugnay sa ABCD ng mga sumusunod na dependencies:

1) Ang mga anggulo ng isang polygon ay magkapares sa mga anggulo ng isa pa: ang anggulo A na mayroon sila sa karaniwan, ∠K = ∠B (tulad ng katumbas), ∠KLM = ∠BCD, dahil ∠KLA = ∠BCA at ∠ALM = ∠ACD, atbp.

2) Ang magkatulad na panig ng mga polygon na ito ay proporsyonal, ibig sabihin, ang ratio ng isang pares ng magkatulad na panig ay katumbas ng ratio ng isa pang pares, katumbas ng ratio ng ikatlong pares, atbp.

Ang mga "katulad" na panig dito ay dapat na maunawaan nang medyo naiiba kaysa sa mga tatsulok: dito isinasaalang-alang namin bilang magkatulad na panig ang mga nakapaloob sa pagitan ng pantay na mga anggulo, halimbawa, BC at KL.

Ang bisa ng proporsyonalidad na ito ay makikita bilang mga sumusunod:

∆AKL ~ ∆ABC, samakatuwid AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, samakatuwid AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, samakatuwid AM/AD = MN/DE = AN/AE

Nakikita natin na sa unang tatlong pantay na ratio at kabilang sa ikalawang tatlong katumbas na ratio ay mayroong isang magkaparehong AL/AC; gayundin ang huling tatlong ugnayan ay konektado sa nakaraang ugnayang AM/AD. Samakatuwid, laktawan ang mga ratios ng mga diagonal, nakukuha namin:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Ang lahat ng ito ay nananatili, dahil ito ay madaling makita, wasto din para sa isang polygon na may mas maraming bilang ng mga panig kaysa sa amin.

Kung ililipat natin ang polygon AKLMN sa ibang lugar sa eroplano, ang nasa itaas na 2 ugnayan ng polygon na ito sa ABCDE ay mananatiling may bisa; ang ganitong mga polygon ay tinatawag na magkatulad. Kaya, ang dalawang polygon ay tinatawag na magkatulad kung ang mga anggulo ng isa ay magkapareho sa mga pares sa mga anggulo ng isa at kung ang kanilang magkatulad na panig ay proporsyonal.

Kaya alam namin kung paano bumuo ng isang polygon tulad nito. Nagtayo kami ng AKLMN ~ ABCDE.

Nakikita rin natin na sa polygons ABCDE at AKLMN diagonals ay binuo mula sa kani-kanilang vertices, at dalawang hanay ng magkatulad na triangles ang nakuha: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD at ∆AMN ~ ∆ADE - ang mga tatsulok na ito ay pantay na matatagpuan sa parehong polygons.

Lumilitaw ang tanong kung mananatiling wasto ang huling property kung gagawa tayo ng polygon tulad ng ibinigay sa ibang paraan kaysa sa ginamit natin dito.

253. Hayaan ang polygon A"B"C"D"E" na kahit papaano ay mabuo katulad ng polygon ABCDE (Ch. 246), ibig sabihin, upang

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Ang tanong sa dulo ng nakaraang talata ay katumbas ng isa pa: posible bang dalhin ang dalawang polygon na ito sa isang posisyon upang, halimbawa, ang puntong A "ay tumutugma sa A, at ang natitirang mga vertices ay matatagpuan sa mga pares sa mga linya na pupunta. mula sa karaniwang puntong ito, at upang ang kanilang magkatulad na mga gilid o ay parallel, o ang gilid ng isang polygon ay matatagpuan sa gilid ng isa.

Solusyonan natin ang isyung ito. Upang gawin ito, isinantabi namin ang segment AK = A"B" sa gilid AB mula sa punto A at, gamit ang nakaraang talata, bumuo ng polygon AKLMN ~ ABCDE.

Ito ay nananatiling upang makita kung ang polygon A"B"C"D"E" ay maaaring coincide sa AKLMN kapag superimposed.

Mayroon kaming: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Ang paghahambing ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa mga pagkakapantay-pantay (2) at isinasaalang-alang na ang AK = A"B", madali nating makuha ang KL = B"C", LM = C"D", atbp., i.e. lahat ng panig ng polygons A "B" Ang C"D"E" at AKLMN ay magkapares. Ilagay natin ang polygon A"B"C"D"E" sa AKLMN upang ang A" ay makapasok sa A at ang gilid A"B" ay tumutugma sa AK (binuo namin ang AK = A"B"); pagkatapos, dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo B" at K, ang panig B"C" ay pupunta sa KL, dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga panig na KL at B"C", ang punto C" ay mahuhulog sa L, atbp.

Kaya, ang A"B"C"D"E" ay tumutugma sa AKLMN, at samakatuwid, kung bubuo tayo ng mga diagonal na A"C" at A"D", makakakuha tayo ng isang serye ng mga tatsulok na katulad at pantay na matatagpuan sa ∆ABC, ∆ACD , atbp.

Samakatuwid, nagtatapos kami: Kung bubuo tayo ng mga diagonal mula sa kaukulang mga vertice sa magkatulad na polygons, makakakuha tayo ng 2 row ng magkatulad at pantay na pagitan ng mga tatsulok.

Madaling makita ang bisa ng baligtad na konklusyon: kung, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD at ∆A"D"E" ~ ∆ADE, pagkatapos ay ang polygon A "B"C"D "E" ~ polygon ABCDE. Pagkatapos ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM at ∆A"D"E" = ∆AMN, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng polygons A"B"C"D"E" at AKLMN at dahil dito ang pagkakatulad ng A"B"C"D"E" at ABCDE.

254. Ang posisyon (dalawang kaukulang vertices ay nagsanib sa isang punto, ang natitirang mga vertices ay namamalagi nang magkapares sa mga linyang dumadaan sa puntong ito, at magkatulad na panig ay magkatulad) kung saan nagawa nating magdala ng dalawang magkatulad na polygon ay isang espesyal na kaso ng isa pang mas pangkalahatan posisyon ng dalawang magkatulad na polygons.

Magkaroon tayo ng KLMN ~ ABCD (Ch. 247). Kunin ang anumang punto S at ikonekta ito sa lahat ng vertices A, B, C at D ng unang polygon. Susubukan naming bumuo ng isang polygon na katumbas ng polygon KLMN upang ang mga vertices nito ay nasa mga linyang SA, SB, SC at SD at ang mga gilid ay parallel sa mga gilid ng polygon ABCD.

Upang gawin ito, isinantabi namin ang segment na AP = KL sa gilid ng AB (ipinapalagay namin na ang KL at AB ay magkatulad na panig) at bumuo ng PB" || AS (point P at line PB" ay hindi ibinigay sa pagguhit). Sa pamamagitan ng puntong B", kung saan nagsa-intersect ang SB sa PB", binubuo namin ang B"A" || AB. Tapos A"B" = AP = KL, then we construct B"C" || BC, hanggang sa punto C", kung saan ang B"C" ay sumasalubong sa SC, gumuhit ng C"D" || CD at punto D", kung saan ang C"D" ay nagsa-intersect sa SD, kumonekta sa A". Kumuha ng polygon A"B"C "D", na, tulad ng makikita natin sa isang sandali, ay katulad ng polygon ABCD.

Since A"B" || AB, pagkatapos ∆SA"B" ~ ∆SAB, kung saan

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Dahil B"C" || BC, pagkatapos ay ∆SB"C" ~ ∆SBC, kung saan

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Dahil C"D" || CD, pagkatapos ay ∆SC"D" ~ ∆SCD, kung saan

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Mula dito maaari nating mahihinuha na ang SA "/SA \u003d SD" / SD, at samakatuwid ay ∆SA "D" ~ ∆SAD, dahil ang dalawang panig ng isa ay proporsyonal sa dalawang panig ng isa at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay. (∠S karaniwan), - A "D " || AD at

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga relasyon (1), (2), (3) at (4) madali nating makuha ang:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Bilang karagdagan, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, atbp., bilang mga anggulo na may magkatulad na panig. Samakatuwid, A"B"C"D" ~ ABCD.

Dagdag pa, madaling makita na ang KLMN = A"B"C"D". Sa katunayan, ∠K = ∠A, ngunit ∠A = ∠A", kaya ∠K = ∠A"; din ∠L = ∠B", atbp. - ang mga anggulo ng ating mga polygon ay pantay. Bilang karagdagan, mula sa pagkakatulad ng KLMN ~ ABCD ay nakukuha natin ang:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Kung ihahambing ang mga katumbas na ratio na ito sa mga pagkakapantay-pantay (5) at isinasaisip na A"B" = KL, makikita natin ang: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Ngayon ay madali, tulad ng ginawa namin sa itaas, upang makita na ang KLMN, kapag na-superimpose, ay magkakahanay sa A"B"C"D". Samakatuwid, nagawa naming ilagay ang mga katulad na polygon na ito sa isang posisyon na ang kanilang mga vertices ay matatagpuan sa mga pares sa mga linya na dumadaan sa punto S at ang kanilang mga katulad na panig ay magkatulad, na kung saan ay nagsusumikap kami para sa.

Napansin din namin na ang mga kaukulang vertices sa aming mga polygon ay sumusunod sa isa't isa sa parehong direksyon (tingnan ang mga arrow malapit sa polygons ABCD, KLMN at A "B" C "D") - clockwise.

Kung ang mga vertices ng isang polygon, na tumutugma sa sunud-sunod na vertices ng isa pa, ay sumunod sa isa't isa sa kabaligtaran ng direksyon kung paano sila matatagpuan sa isa pa, kung gayon maaari nating ilagay ang ating mga polygon upang ang mga kaukulang vertices ay matatagpuan sa magkabilang panig ng ang puntong S (tingnan ang Fig. 248).

Ang puntong S, kung saan nagtatagpo ang mga linyang nagkokonekta sa mga pares ng katumbas na vertices ng polygons, ay tinatawag na sentro ng pagkakatulad; sa unang kaso (drawing 247), kapag ang parehong kaukulang vertices (halimbawa, A at A ") ay matatagpuan sa parehong bahagi ng S, ang sentro ng pagkakatulad ay tinatawag na panlabas, at sa pangalawa (drawing 248), kapag ang katumbas na ang mga vertices ay matatagpuan sa magkabilang panig ng puntong S, ang sentro ng pagkakapareho ay tinatawag na panloob... Kung ang mga katulad na polygon ay inayos upang magkaroon sila ng sentro ng pagkakatulad, kung gayon ang mga ito ay sinasabing katulad na matatagpuan.

255. Kung bibigyan tayo ng polygon ABCD (Ch. 247 o 248), - tatawagin natin itong polygon na orihinal, - maaari nating, sa pamamagitan ng pagpili ng arbitrary point S, makuha ang mga imahe nito na katulad nito sa anumang sukat, - ang pangalang ito ay tinatawag na ratio ng anumang segment ng imahe sa kaukulang segment sa orihinal (sa ibinigay na polygon). Ang relasyong ito ay tinatawag din koepisyent ng pagkakatulad- tukuyin natin ito ng k. Sa ngayon, para sa amin, ang koepisyent ng pagkakatulad ay ang ratio ng gilid ng imahe sa gilid ng orihinal, i.e.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

Sa hinaharap, palawakin namin ang konseptong ito sa ratio ng alinmang dalawang segment ng larawan at ang orihinal na magkapareho sa isa't isa.

Mula sa pagkakapantay-pantay (1), (2), (3) at (4) ng nakaraang talata, mayroon tayong:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

i.e. ang ratio ng mga distansya mula sa sentro ng pagkakapareho ng mga kaukulang vertices ng imahe at ang orihinal na = koepisyent ng pagkakapareho.

Sa ilalim ng pangalang pigura (flat) ang ibig naming sabihin ay isang hanay ng mga punto at linya ng mga eroplano. Polygons ABCD - mayroong isang pigura. Nagdagdag kami ng isa pang punto (pinili nang random) E - nakakakuha kami ng bagong figure na binubuo ng polygon ABCD at point E, - nakita namin ang imahe ng point E. Upang gawin ito, bumuo kami ng tuwid na linya SE at i-plot ang segment SE dito upang SE "/SE \u003d k (ang ganitong segment ay madaling itayo gamit ang item 214); maaari nating ipagpaliban ang segment na ito sa direksyon ng SE (Fig. 247); o sa kabaligtaran ng direksyon (Fig. 248) Ang resultang point E "ay ang imahe ng point E - sa madaling salita, point E" at E ay ang mga katumbas na puntos sa aming dalawang magkatulad at magkatulad na inilagay na mga figure.

Ang pagkonekta sa puntong E, halimbawa, kasama ang B at ang puntong E "na may B" (B at B" ay katumbas din ng mga punto), nakakakuha kami ng dalawang kaukulang mga segment na BE at B"E".

Madaling makita na ang ∆SBE ~ ∆SB"E" (dahil ang ∠BSE = ∠B"SE at ang mga panig na bumubuo sa mga anggulong ito ay proporsyonal: SB"/SB = k at SE"/SE = k, kaya SB " / SB = SE "/ SE), ito ay sumusunod mula dito:

1) B"E" || BE at 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

i.e. mga segment na tumutugma sa bawat isa sa imahe at ang orihinal na 1) ay parallel sa bawat isa at 2) ang kanilang ratio ay katumbas ng koepisyent ng pagkakapareho .

Ipinahihiwatig nito ang posibilidad ng sumusunod na konstruksyon para sa paghahanap ng isang punto na tumutugma sa puntong ibinigay sa orihinal, kung mayroon na tayong isang pares ng mga katumbas na puntos at ang sentro ng pagkakatulad ay kilala: magkaroon tayo ng isang pares ng katumbas na mga puntos na B at B " at ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang punto na tumutugma sa punto E, - bumuo kami ng mga linya SE at BE at sa pamamagitan ng B "tayo ay bumuo ng isang linya parallel sa BE, ang intersection point E" sa SE at ibigay ang nais na punto.

256. Bumuo tayo para sa anumang pigura, isang punto kung saan ay A (Larawan 249), ang mga imahe nito, na kumukuha ng dalawang di-makatwirang puntos na S 1 at S 2 bilang mga panlabas na sentro ng pagkakatulad at ang mga numerong k 1 at k 2 bilang koepisyent ng pagkakatulad. Hayaang tumutugma ang punto A sa puntong A" sa unang larawan, at ang puntong A"" ay tumutugma sa parehong punto sa pangalawang larawan.

Idinagdag din namin sa figure na ito ang ilang punto B na nakahiga sa linyang S 1 S 2 ; pagkatapos ang puntong B na ito ay tumutugma sa unang larawan sa punto B" at sa pangalawang larawan sa puntong B"", bukod dito, ang mga puntong B" at B"" ay dapat na nasa parehong linya S 1 S 2 at mga linya ng AB, A"B Ang " at A""B "" ay dapat magkaparehas at pantay na direksyon.

Pagkatapos mayroon kaming:

A"B"/AB = k 1 at A""B""/AB = k 2 .

Mula dito makikita natin:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Ikonekta ang mga puntong A" at A"", hanapin ang intersection point S 3 linya A""A" at S 2 S 1 . Pagkatapos ay mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok S 3 A"B" at S 2 A""B"" nakita namin:

Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong A" at A"", nakita natin ang intersection point S 3 ng mga linyang A""A" at S 2 S 1 . Pagkatapos ay mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok S 3 A"B" at S 2 A""B"" nakita namin:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

ibig sabihin, ang punto S 2 ay dapat na hatiin ang segment B "B"" sa labas sa isang ratio na katumbas ng ibinigay na numero k 1 / k 2. Alam natin (n. 217) na mayroon lamang isang punto na naghahati sa ibinigay na segment B " B "" sa bagay na ito sa panlabas. Kung kukuha tayo ng anumang iba pang punto C ng figure na ito at bumuo ng mga imahe nito C" at C"", pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga punto C" at C"" at pagkuha sa punto ng intersection, muli nating tinatawag itong S 3 , ang linya C "C"" na may linyang S 1 S 2 , nakuha natin iyon ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC at B"C" || BC, samakatuwid B"" C"" || B"C"), kung saan muli nating nalaman na S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , ibig sabihin, ang bagong puntong S 3 ay tumutugma sa luma. Samakatuwid, ang S 3 ay ang sentro ng pagkakatulad ng mga numero (A"B"C"...) at (A""B""C"""...) at, bukod dito, panlabas, dahil ang direksyon kung saan ang kaukulang ang mga puntos ay sumusunod sa isa't isa sa parehong mga numero ay pareho. Mula dito ay napagpasyahan namin na ang mga numero (A"B"C"...) at (A""B""C""...) ay mayroon ding panlabas na sentro ng pagkakatulad at ito ay matatagpuan sa parehong linya kasama ang mga sentro S 1 at S 2 .

Kung ang isa sa mga sentro ng pagkakatulad na S1 ay kinuha sa labas, at ang iba pang S2 ay panloob (Larawan 250), kung gayon ang mga direksyon ng kaukulang mga segment ay ang mga sumusunod: A"B" ay kapareho ng direksyon AB, ngunit A" Ang "B"" ay kabaligtaran ng direksyon AB, - samakatuwid, ang direksyon A ""B"" pabalik sa A"B" at S3 ay ang panloob na sentro ng pagkakapareho ng mga numero (A"B"...) at (A ""B""...).

Kung kukunin natin ang parehong mga sentro ng pagkakapareho bilang panloob (halimbawa, S 2 at S 3 sa Fig. 250), kung gayon madaling makita na ang ikatlong sentro ng pagkakatulad ay magiging panlabas. Kaya, sa pangkalahatan:

Kung ang tatlong mga numero ay magkatulad na matatagpuan sa mga pares, kung gayon ang tatlong mga sentro ng pagkakatulad ay matatagpuan sa isang tuwid na linya, at alinman sa lahat ng tatlo sa kanila ay panlabas, o dalawa sa kanila ay panloob, at ang isa ay panlabas.

257. .
Magkaroon tayo ng dalawang magkatulad na polygon na ABCDEF at A"B"C"D"E"F" (Ch. 251). Tawagan natin ang koepisyent ng pagkakatulad sa pamamagitan ng k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k, atbp.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

Ang pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa mga bahagi at pagkuha ng factor k sa pangalawang bahagi sa labas ng bracket, nakukuha natin ang:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

ibig sabihin, ang ratio ng mga perimeter ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng ratio ng magkatulad na panig (o katumbas ng koepisyent ng pagkakatulad).

Pinipili namin ang dalawang katumbas na vertices, halimbawa, A at A", at binubuo ang mga dayagonal na dumadaan sa kanila. Pagkatapos ay malalaman natin ang: 1) (mula sa item 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C "D", atbp. 2) (mula sa aytem 212) Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng ratio ng kanilang magkatulad na panig, samakatuwid,

sq. ∆A"B"C" / parisukat ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; parisukat ∆A"C"D" / parisukat ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2, atbp.,

sq. ∆A"B"C" = k 2 pl. ∆ABC; pl. ∆A"C"D" = k 2 pl. ∆ACD;
sq. ∆A"D"E" = k 2 square ∆ADE ...

Ang pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa mga bahagi at paglalagay ng karaniwang salik na k 2 sa ikalawang bahagi sa labas ng bracket, makukuha natin ang:

sq. ∆A"B"C" + pl. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + ... = k 2 (pl. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

sq. A"B"C"D"E"F" / pl. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

ibig sabihin, ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na polygon ay katumbas ng parisukat ng ratio ng kanilang magkatulad na panig (o katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho).

258. Ang dalawang regular na polygon na may parehong pangalan ay palaging magkapareho. Sa katunayan, ang mga anggulo ng polygons ng parehong pangalan ay pareho (n. 248), at dahil ang lahat ng panig ng bawat isa ay pantay sa isa't isa, malinaw na ang ratio ng anumang panig ng isa sa alinmang panig ng ang iba ay isang pare-parehong numero.

Kung isusulat natin ang anumang regular na polygon sa isang bilog (Larawan 252) at bumuo ng mga tangent sa bilog sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga arko na kinontrata ng mga gilid nito, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang regular na polygon ng parehong pangalan na inilarawan sa paligid ng bilog na ito. Hindi mahirap malaman (iiwan namin ito sa mga nagnanais) na ang nagresultang dalawang regular na polygon ay magkatulad na matatagpuan, at ang gitna ng bilog ay nagsisilbing kanilang panlabas na sentro ng pagkakapareho, - panlabas dahil ang bawat pares ng kaukulang mga puntos (para sa halimbawa, ang A at A ") ay matatagpuan sa parehong direksyon mula sa gitna (kung ang polygon ay may pantay na bilang ng mga panig, kung gayon ang gitna ng bilog ay maaari ding ituring na isang panloob na sentro ng pagkakapareho, kinakailangan lamang na ipagpalagay na , halimbawa, ang punto A ay tumutugma sa puntong A "").

259. Mga ehersisyo.

1. Ang mga gilid ng isang pentagon ay 12, 14, 10, 8 at 16 dm, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang mga gilid ng isa pang pentagon na katulad ng una kung ang perimeter nito = 80 dm.

2. Ang kabuuan ng mga lugar ng dalawang magkatulad na polygon ay 250 metro kuwadrado. dm., at ang ratio ng dalawang magkatulad na panig = ¾. Kalkulahin ang lugar ng bawat isa sa kanila.

3. Ipakita na kung ang isang regular na polygon na may isang kakaibang bilang ng mga gilid ay nakasulat sa isang bilog at ang mga tangent sa bilog ay itinayo sa mga vertices nito, pagkatapos ay ang circumscribed polygon ay makukuha, na katulad na matatagpuan sa isa na nakasulat - ang gitna ng bilog nagsisilbing kanilang panloob na sentro ng pagkakatulad.

4. Nabigyan ng tatsulok; bumuo ng isa pang tatsulok, na katulad na matatagpuan sa una, upang ang sentro ng grabidad ng una ay nagsisilbing isang panloob na sentro ng pagkakatulad at ang koepisyent ng pagkakapareho = ½. Gamitin ito upang malaman kung paano matatagpuan ang mga punto ng taas, ang sentro ng grabidad at ang sentro ng nakapaligid na bilog ng tatsulok na ito.

5. Isang parisukat ang nakasulat sa tatsulok na ito.

Hayaang ABC ang ibinigay na tatsulok (Ch. 253) at DEFK ang gustong parisukat. Bumuo tayo ng isa pang parisukat na MNPQ upang ang isang gilid ng MQ ay nasa gilid ng AC ng tatsulok at ang punto N ay nasa gilid ng AB. Madaling makita na ang parisukat na MNPQ ay katulad na matatagpuan sa nais na parisukat na DEFK at ang kanilang panlabas na sentro ng pagkakatulad ay ang punto A; kaya ang punto F ay nasa linyang AP. Matapos mahanap ang punto F, ang nais na parisukat ay madaling gawin.

6. Ibinigay ang isang anggulo at isang punto sa loob nito. Maghanap ng isang punto sa isang gilid ng isang anggulo na katumbas ng layo mula sa ibinigay na punto at mula sa kabilang panig.

Ang problema ay nalutas sa parehong paraan.

7. Bumuo ng tatsulok ayon sa taas nito.

Madaling makuha, na tinatawag ang mga gilid ng tatsulok sa pamamagitan ng a, b at c at ang mga katumbas na taas sa pamamagitan ng h a , h b at h c , ang sumusunod na relasyon:

ah a = bh b = ch c , kung saan a: b = h b: h a at b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Madaling bumuo ng isang segment x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - pagbuo ng ika-4 na proporsyonal), pagkatapos nito ay bumuo kami ng isang tatsulok na may mga gilid h b , h a at x. Ang tatsulok na ito ay katulad ng ninanais, dahil a: h: c = h b: h a: x; nananatili itong bumuo ng isang tatsulok na katulad ng kakagawa lamang upang ang isa sa mga taas nito ay katumbas ng ibinigay.

KABANATA VIII.

PROPORTYONALIDAD NG MGA LINYA. PAGKAKATULAD NG MGA FIGURE.

§ 93. PAGBUO NG KATULAD NA MGA FIGURE.

1. Konstruksyon ng mga katulad na tatsulok.

Alam na natin na upang makabuo ng isang tatsulok na katulad ng ibinigay, sapat na upang gumuhit ng isang linya na kahanay sa gilid ng tatsulok mula sa ilang punto na kinuha sa gilid ng tatsulok. Nakukuha namin ang isang tatsulok na katulad nito (Larawan 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konstruksyon ng mga katulad na polygon.

Upang makabuo ng isang polygon na katulad ng ibinigay, maaari tayong magpatuloy tulad ng sumusunod: hinahati natin ang ibinigay na polygon sa mga tatsulok sa pamamagitan ng mga diagonal na iginuhit mula sa alinman sa mga vertices nito (Fig. 383). Sa ilang bahagi ng ibinigay na polygon ABCDE, halimbawa, sa gilid ng AE, kumukuha kami ng ilang punto E" at gumuhit ng isang linya na kahanay sa gilid ng ED hanggang sa mag-intersect ito sa diagonal AD, halimbawa, sa puntong D".

Mula sa punto D" gumuhit ng isang linya na parallel sa gilid ng DC hanggang sa mag-intersect ito ng diagonal AC sa punto C". Mula sa punto C" gumuhit ng isang linya na parallel sa gilid ng CB hanggang sa mag-intersect ito sa gilid AB sa punto B". Ang resultang polygon AB"C"D"E" ay katulad ng ibinigay na polygon ABCDE.

Ang bisa ng pahayag na ito ay pinatunayan nang nakapag-iisa.

Kung kinakailangan na bumuo ng isang polygon na katulad ng ibinigay na may tinukoy na koepisyent ng pagkakapareho, kung gayon ang panimulang punto E" ay kinuha sa gilid ng AE ​​o ang pagpapatuloy nito, ayon sa pagkakabanggit, ayon sa ibinigay na koepisyent ng pagkakatulad.

3. Pagbaril ng plano ng kapirasong lupa.

a) Ang pagbaril ng plano ay isinasagawa gamit ang isang espesyal na aparato na tinatawag beaker(dev. 384).

Ang menzula ay isang parisukat na board na nakalagay sa isang tripod. Kapag gumuhit ng isang plano, ang board ay dinadala sa isang pahalang na posisyon, na sinusuri gamit ang isang antas. Upang gumuhit ng mga tuwid na linya sa nais na direksyon, ginagamit ang isang alidade na nilagyan ng mga diopter. Ang bawat diopter ay may puwang kung saan ang buhok ay nakaunat, na nagpapahintulot sa iyo na tumpak na idirekta ang alidade sa tamang direksyon. Ang isang sheet ng puting papel ay nakakabit sa sukat na may mga pindutan, kung saan iginuhit ang plano.

Upang maalis ang plano mula sa land plot ABCDE, ang ilang point O ay pinili sa loob ng plot upang ang lahat ng tuktok ng land plot ay makikita mula dito (Fig. 385).

Sa tulong ng isang tinidor na may isang plumb line (Larawan 386), ang sukat ay itinakda upang ang punto O, na minarkahan sa isang sheet ng papel, ay bumagsak laban sa puntong O na pinili sa site.

Pagkatapos, mula sa punto O sa isang sheet ng papel na nakakabit sa beaker, ang mga sinag ay iguguhit na may alidade sa mga direksyon patungo sa mga puntong A, B, C, D at E; sukatin ang mga distansya
OA, OB, OS, OD at OE at nakahiga sa mga sinag na ito sa tinatanggap na mga segment ng scale
OA", OB", OS, OD" at OE".

Ang mga puntos A, B, C, D, at E ay konektado. Lumalabas ang polygon A "B" C "D" E, na isang plano ng ibinigay na land plot sa tinatanggap na sukat.

Ang paraan ng pagbaril ng sukat na inilarawan sa amin ay tinatawag na polar.

Mayroong iba pang mga paraan upang kunan ang isang eroplano na may sukat, na maaari mong basahin ang tungkol sa mga espesyal na gabay para sa pagbaril ng sukat.

Sa bawat plano, karaniwang ibinibigay ang isang sukat kung saan maaaring maitatag ang tunay na sukat ng inalis na lugar, pati na rin ang lugar nito.

Ipinapahiwatig din ng plano ang direksyon ng mga kardinal na punto.

Praktikal na trabaho.

a) Gawin ang pinakasimpleng scale model sa workshop ng paaralan at gamitin ito sa paggawa ng plano ng ilang maliit na kapirasong lupa.

b) Ang pag-survey sa plano ng land plot ay maaaring gawin sa tulong ng isang astrolabe.

Ipagpalagay na kailangang tanggalin ang plano ng lupang ABCDE. Kunin natin ang isa sa mga vertex ng seksyon, halimbawa A, bilang paunang isa at gamitin ang astrolabe upang sukatin ang mga anggulo sa vertex A, i.e.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Pagkatapos, gamit ang isang kadena ng pagsukat, sinusukat namin ang mga distansyang AE, AD, AC at AB. Depende sa laki ng plot at sa laki ng sheet ng papel kung saan inilapat ang plano, ang sukat para sa pagguhit ng plano ay pinili.

Sa puntong A, na kinuha bilang vertex ng polygon, bumuo kami ng tatlong anggulo, ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng / 1, / 2 at / 3; pagkatapos, sa napiling sukat sa mga gilid ng mga sulok na ito mula sa puntong A "ipagpaliban ang mga segment A "E", A "D", A "C" at A "B". Pagkonekta sa mga puntong A "at E", E "at D", D "at C, C" at B", B" at A", nakakakuha tayo ng polygon A"B"C"D"E", katulad ng polygon ABCDE. Ito ay magiging isang plano ng ang lupang ito, na iginuhit sa napiling sukat.

Kapag nilulutas ang maraming mga problema sa pagtatayo, ginagamit ang paraan ng pagkakapareho, ang kakanyahan nito ay ang mga sumusunod: una, ang isang figure na katulad ng ibinigay na isa ay itinayo, pagkatapos ang figure na ito ay tumataas (bumababa) sa kinakailangang ratio (ibig sabihin, ang isang katulad na figure ay binuo) na nakakatugon sa kalagayan ng problema.

Ang proseso ng pag-aaral kung paano ilapat ang pagkakatulad sa paglutas ng mga problema sa gusali ay dapat nahahati sa apat na yugto: paghahanda, panimula, pagbuo ng kasanayan, pagpapabuti ng kasanayan. Ang bawat yugto ay may sariling layuning didaktiko, na nakakamit kapag nakumpleto ng mga mag-aaral ang mga espesyal na idinisenyong gawain.

Ang didactic na layunin ng yugto ng paghahanda ay upang mabuo ang mga kasanayan ng mga mag-aaral: upang i-highlight ang data na tumutukoy sa hugis ng figure, maraming mga pares ng mga figure na katulad sa bawat isa; bumuo ng isang figure ayon sa data na tumutukoy sa hugis; lumipat mula sa constructed figure sa nais na isa.

Matapos pag-aralan ang unang tanda ng pagkakatulad ng mga tatsulok, maaari nating ipanukala ang sumusunod na hanay mga takdang-aralin:

Bumuo ng isang tatsulok na may dalawang sulok. Ilang solusyon mayroon ang problema? Anong mga elemento ang tumutukoy sa hugis ng mga itinayong tatsulok?

Pangalanan ang mga katulad na tatsulok sa Figure 35.

Ang mga sumusunod na elemento ng isang tatsulok ay kilala: a) mga anggulo ng 75 at 25; b) taas 1.5 cm; c) mga anggulo ng 75 at 25, taas na 1.5 cm. Alin sa mga datos na ito ang tumutukoy sa tanging pigura sa Fig. 35?

Anong mga anggulo ang tumutukoy sa hugis ng mga tatsulok sa Figure 35?

Posible bang matukoy ang mga sukat ng isa sa mga tatsulok sa Fig. 35 kung malalaman ang sumusunod na data: a) ang mga anggulo sa base ng tatsulok; b) ang taas ng tatsulok; c) gilid at sulok sa base?

Ang mga tatsulok ba ay ABC at ABC ay magkatulad sa Figure 36 kung ACAC? kung magkapareho sila, ano ang kanilang coefficient of similarity?

Ang hanay ng mga gawain na ipinakita sa mga mag-aaral pagkatapos pag-aralan ang ika-2 at ika-3 na palatandaan ng pagkakapareho ng mga tatsulok ay pinagsama-sama sa katulad na paraan. Gayunpaman, kapag lumipat mula sa tampok na ito patungo sa susunod, ang mga tanong ay nagiging mas kumplikado, lalo na: ang lokasyon ng mga tatsulok sa mga figure ay nagbabago, lumalayo sa pamantayan, ang hanay ng elemento na tumutukoy sa tanging figure ay nag-iiba. Mga gawain, halimbawa, ay maaaring:

1. Magkatulad ba ang mga tatsulok na ABC at ABC kung:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4.5cm, BC=7.5cm, CA=10.5cm;

d) AB=1.7cm, BC=3cm, SA=4.2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm.

2. Sa isang tatsulok na ABC na may matinding anggulo C, ang mga taas na AE at BD ay iginuhit (Larawan 37). Patunayan na ang ABC ay katulad ng EDC.

3. Patunayan na ang mga perimeter ng magkatulad na tatsulok ay magkakaugnay bilang mga kaukulang panig.

Ang didactic na layunin ng panimulang yugto ay upang ipaliwanag sa mga mag-aaral ang istraktura ng proseso ng pagtatayo sa pamamagitan ng paraan ng pagkakatulad.

Ang paliwanag ay nagsisimula sa problema.

Gawain. Bumuo ng isang tatsulok na binigyan ng dalawang ibinigay na anggulo at at isang bisector ng haba d na iginuhit mula sa tuktok ng ikatlong anggulo.

Sinusuri ang gawain kasama ang mga mag-aaral, nag-aalok ang guro ng mga gawain - mga tanong, ang mga sagot na kung saan ay maikli na naitala sa pisara. Ang mga tanong ay maaaring:

1. Anong data ang tumutukoy sa hugis ng nais na tatsulok?

2. Anong data ang tumutukoy sa mga sukat ng nais na tatsulok?

3. Ilang tatsulok ang maaaring gawin gamit ang dalawang sulok? Ano ang magiging anyo ng pagtatayo ng lahat ng mga itinayong tatsulok?

4. Anong bahagi ang dapat iguhit sa isang tatsulok na katulad ng nais?

5. Paano bumuo ng nais na tatsulok?

Ang mga sagot sa mga tanong ay sinamahan ng isang freehand drawing sa pisara (Larawan 38).

a) ABC: A=, B=;

b) bumuo ng bisector ng anggulo C sa tatsulok na ABC,

c) bumuo ng СN=d, NCD;

d) gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - ang gustong: A=, B= (mula noong ABC ABC by 1 feature) at CN=d by construction. Ang didactic na layunin ng entablado, na bumubuo ng kakayahang malutas ang mga problema ng uri na isinasaalang-alang, ay malinaw na sa pangalan nito. Ang pangunahing anyo ng aktibidad sa yugtong ito ay indibidwal na paghahanap. Nagtatapos ito sa isang buod na pag-uusap.

Narito ang ilang halimbawa ng mga gawain na maaaring imungkahi sa yugtong ito.

Gawain. Ang isang punto F ay ibinigay sa loob ng anggulo AOB. Bumuo ng isang punto M sa gilid OA, pantay na layo mula sa F at mula sa gilid OB

Desisyon.

1. Pagsusuri. Buksan natin ang Figure 39. Hayaang mabuo ang point M, pagkatapos ay MF=MP. Nangangahulugan ito na ang nais na punto M ay ang sentro ng isang bilog ng radius MF na may gitnang M, na humahawak sa gilid ng OB sa punto P.

Kung kukuha tayo ng di-makatwirang punto M sa OA at ibaba ang MP sa CB at hanapin ang F ang intersection ng bilog na may gitnang M ng radius MP na may linyang OF, ang MFP ay magiging katulad ng MFP. Mula dito ay sumusunod sa kinakailangang konstruksyon.

2. Konstruksyon. Gumuhit kami ng OF, kumuha ng arbitrary point M sa CA at ibaba ang MP sa CB. Gumuhit kami ng bilog na radius MP na nakasentro sa puntong M. Hayaang F ang intersection point ng bilog na ito na may OF. Gumuhit kami ng FM at pagkatapos ay gumuhit kami ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng puntong FFM. Ang punto M ng intersection ng linyang ito na may OA ay ang kinakailangan.

3. Patunay. Kitang-kita sa isinagawang pagsusuri.

4. Pananaliksik. Ang problema ay may 2 solusyon. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang bilog ay nag-intersect sa OF sa 2 puntos.

Gawain. Bumuo ng isang tatsulok na may 2 sulok at isang perimeter.

Desisyon.

1. Pagsusuri. Hayaan at bigyan ng mga anggulo at P ang perimeter ng gustong tatsulok (Fig. 40). Ipagpalagay natin na ang nais na tatsulok ay itinayo, at kung isasaalang-alang natin ang anumang ABC na katulad ng nais, ang ratio ng perimeter P ABC sa perimeter P ABC ay katumbas ng ratio ng mga panig AC at AC.

2. Konstruksyon. Bumuo tayo ng isang ABC na katulad ng nais. Sa ray AB, itabi ang mga segment na AD=P at AD=P, pagkatapos ay ikonekta ang punto D at C, at gumuhit ng isang linya ng DC sa punto D. Hayaan ang C ang punto ng intersection ng linya na may ray AC. Gumuhit ng isang linya CB sa punto C at tukuyin ang punto ng intersection ng linyang ito sa AD, pagkatapos ay ABC ang kinakailangan.

3. Patunay. Malinaw, ang ACD ay katulad ng ACD, samakatuwid. Ang aspect ratio ay katumbas ng ratio ng mga perimeter ng magkatulad na ABC at ABC, samakatuwid ang perimeter ABC \u003d P, samakatuwid, ang ABC ay ang nais.

4. Pananaliksik. Dahil ang kabuuan ng alinmang dalawang anggulo ng isang tatsulok<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Gawain. Ibinigay ang AOB at punto M, na matatagpuan sa panloob na rehiyon ng sulok na ito. Bumuo ng bilog na dumadaan sa punto A at hawakan ang mga gilid ng anggulong AOB.

Desisyon.

1. Pagsusuri. Hayaang ibigay ang AOB at ituro ang M, na matatagpuan sa panloob na rehiyon ng sulok (Larawan 41).

Gumuhit tayo ng isa pang bilog na nakadikit sa mga gilid ng AOB. Hayaang ang M ang punto ng intersection ng bilog na may tuwid na linya na OM at isaalang-alang ang OMN at OMN (N at N mga sentro ng bilog at).

Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad sa dalawang anggulo, kaya ang pagbuo ng nais na bilog ay maaaring gawin tulad ng sumusunod:

2. Konstruksyon. Dahil ang gitna ng nais na bilog ay nasa bisector AOB, iginuhit namin ang bisector ng anggulo. Dagdag pa, kinukuha namin ang puntong N dito at bumuo ng isang bilog na ang gitnang N ay nakadikit sa AOB. Pagkatapos ay iginuhit namin ang linya ng SM at ipahiwatig ng M - ang punto ng intersection ng linya na may bilog (mayroong dalawang tulad na mga punto - M at M - kinukuha namin ang isa sa kanila). Iginuhit namin ang linyang MN at ang linya nito sa puntong M. Pagkatapos ang N ay ang intersection ng linya kasama ang bisector ng anggulo at ang sentro ng nais na bilog, at ang radius nito ay katumbas ng MN. Ipagpatuloy natin siya.

3. Patunay. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang bilog ay magkatulad, ang O ay ang sentro ng pagkakatulad. Sumusunod ito mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na OMN at OMN, samakatuwid, dahil ang bilog ay humahawak sa mga gilid ng anggulo, kung gayon ang bilog ay hahawakan din ang mga gilid ng anggulo.

4. Pananaliksik. Ang problema ay may dalawang solusyon, dahil Ang OM ay bumalandra sa bilog sa dalawang puntong M at M, na ang bawat isa ay tumutugma sa sarili nitong bilog na dumadaan sa punto M at hawakan ang mga gilid ng AOB.

Ang didactic na layunin ng yugto na nagpapabuti sa kakayahang malutas ang mga problema ng uri na isinasaalang-alang sa itaas ay ang paglipat ng nabuong kasanayan sa mas kumplikadong mga problema, lalo na sa mga sumusunod na sitwasyon: ang nais na pigura ay sumasakop sa isang tiyak na posisyon na may kaugnayan sa mga ibinigay na puntos o linya, habang ang pag-aalis ng isa sa mga kondisyon ng problema ay humahantong sa isang sistema ng magkatulad o homothetic na mga numero. Magbigay tayo ng halimbawa ng ganitong gawain.

Gawain. Isulat ang isang parisukat sa isang ibinigay na tatsulok upang ang dalawa sa mga vertices nito ay nakahiga sa isang gilid ng tatsulok, at ang iba pang dalawa ay nasa kabilang dalawang panig.

Ang mga gawaing naaayon sa mga layunin ng yugtong ito ay hindi kasama sa mandatoryong antas ng mga gawain. Samakatuwid, ang mga ito ay inaalok lamang sa mga mag-aaral na mahusay ang pagganap. Sa yugtong ito, ang pangunahing pansin ay binabayaran sa indibidwal na aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral.

Bilang isang patakaran, ang dalawang tatsulok ay itinuturing na magkatulad kung mayroon silang parehong hugis, kahit na magkaiba sila ng laki, pinaikot o kahit na baligtad.

Ang mathematical na representasyon ng dalawang magkatulad na tatsulok A 1 B 1 C 1 at A 2 B 2 C 2 na ipinapakita sa figure ay nakasulat tulad ng sumusunod:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Ang dalawang tatsulok ay magkatulad kung:

1. Ang bawat anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng katumbas na anggulo ng isa pang tatsulok:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 at ∠C1 = ∠C2

2. Ang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok sa mga kaukulang panig ng isa pang tatsulok ay katumbas ng bawat isa:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relasyon dalawang panig ng isang tatsulok sa mga kaukulang panig ng isa pang tatsulok ay pantay sa isa't isa at sa parehong oras
ang mga anggulo sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ at $\angle A_1 = \angle A_2$
o
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ at $\angle B_1 = \angle B_2$
o
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ at $\angle C_1 = \angle C_2$

Ang mga katulad na tatsulok ay hindi dapat ipagkamali sa pantay na tatsulok. Ang mga magkaparehong tatsulok ay may katumbas na haba ng gilid. Kaya para sa pantay na tatsulok:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ito ay sumusunod mula dito na ang lahat ng pantay na tatsulok ay magkatulad. Gayunpaman, hindi lahat ng magkatulad na tatsulok ay pantay.

Bagaman ang notasyon sa itaas ay nagpapakita na upang malaman kung magkatulad ang dalawang tatsulok o hindi, kailangan nating malaman ang mga halaga ng tatlong anggulo o ang haba ng tatlong panig ng bawat tatsulok, upang malutas ang mga problema sa magkatulad na tatsulok, ito ay sapat na upang malaman ang anumang tatlong halaga mula sa itaas para sa bawat tatsulok. Ang mga halagang ito ay maaaring nasa iba't ibang kumbinasyon:

1) tatlong anggulo ng bawat tatsulok (ang mga haba ng mga gilid ng mga tatsulok ay hindi kailangang malaman).

O hindi bababa sa 2 anggulo ng isang tatsulok ay dapat na katumbas ng 2 anggulo ng isa pang tatsulok.
Dahil kung pantay ang 2 anggulo, magiging pantay din ang ikatlong anggulo.(Ang halaga ng ikatlong anggulo ay 180 - anggulo1 - anggulo2)

2) ang haba ng mga gilid ng bawat tatsulok (hindi na kailangang malaman ang mga anggulo);

3) ang haba ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila.

Susunod, isinasaalang-alang namin ang solusyon ng ilang mga problema na may katulad na mga tatsulok. Una, titingnan natin ang mga problemang maaaring lutasin sa pamamagitan ng direktang paggamit ng mga panuntunan sa itaas, at pagkatapos ay tatalakayin natin ang ilang praktikal na problema na maaaring malutas gamit ang katulad na paraan ng mga triangles.

Mga praktikal na problema sa mga katulad na tatsulok

Halimbawa #1: Ipakita na ang dalawang tatsulok sa figure sa ibaba ay magkatulad.

Desisyon:
Dahil ang mga haba ng mga gilid ng parehong tatsulok ay kilala, ang pangalawang panuntunan ay maaaring ilapat dito:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Halimbawa #2: Ipakita na ang dalawang ibinigay na tatsulok ay magkatulad at hanapin ang mga haba ng mga gilid PQ at PR.

Desisyon:
∠A = ∠P at ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(dahil ∠C = 180 - ∠A - ∠B at ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ito ay sumusunod mula dito na ang mga tatsulok na ∆ABC at ∆PQR ay magkatulad. Kaya naman:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ at
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Halimbawa #3: Tukuyin ang haba AB sa tatsulok na ito.

Desisyon:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED at ∠A karaniwan => mga tatsulok ΔABC at ΔADE ay pareho.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\beses AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Halimbawa #4: Tukuyin ang haba AD(x) geometric figure sa figure.

Ang mga Triangles ∆ABC at ∆CDE ay magkatulad dahil AB || DE at mayroon silang karaniwang tuktok na sulok C.
Nakikita namin na ang isang tatsulok ay isang pinaliit na bersyon ng isa pa. Gayunpaman, kailangan nating patunayan ito sa matematika.

AB || DE, CD || AC at BC || EU
∠BAC = ∠EDC at ∠ABC = ∠DEC

Batay sa nabanggit at isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng isang karaniwang anggulo C, maaari nating sabihin na ang mga tatsulok na ∆ABC at ∆CDE ay magkatulad.

Kaya naman:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Mga praktikal na halimbawa

Halimbawa #5: Gumagamit ang pabrika ng isang inclined conveyor belt upang maghatid ng mga produkto mula sa level 1 hanggang level 2, na 3 metro sa itaas ng level 1, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang inclined conveyor ay sineserbisyuhan mula sa isang dulo hanggang sa level 1 at mula sa kabilang dulo hanggang sa isang workstation na matatagpuan sa layo na 8 metro mula sa level 1 operating point.

Nais ng pabrika na i-upgrade ang conveyor upang ma-access ang bagong antas, na 9 metro sa itaas ng antas 1, habang pinapanatili ang anggulo ng conveyor.

Tukuyin ang distansya kung saan kailangan mong mag-set up ng bagong istasyon ng trabaho upang matiyak na gumagana ang conveyor sa bagong dulo nito sa antas 2. Kalkulahin din ang karagdagang distansya na lalakbayin ng produkto kapag lumipat sa isang bagong antas.

Desisyon:

Una, lagyan natin ng label ang bawat intersection point ng isang partikular na titik, tulad ng ipinapakita sa figure.

Batay sa pangangatwiran na ibinigay sa itaas sa mga nakaraang halimbawa, maaari nating tapusin na ang mga tatsulok na ∆ABC at ∆ADE ay magkatulad. Kaya naman,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Kaya, ang bagong punto ay dapat na mai-install sa layo na 16 metro mula sa umiiral na punto.

At dahil ang istraktura ay binubuo ng mga tamang tatsulok, maaari nating kalkulahin ang distansya ng paglalakbay ng produkto tulad ng sumusunod:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

Katulad nito, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
na kung saan ay ang distansya na ang produkto ay naglalakbay sa sandaling ito ay tumama sa kasalukuyang antas.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 m
Ito ang dagdag na distansya na dapat ilakbay ng isang produkto upang maabot ang isang bagong antas.

Halimbawa #6: Gusto ni Steve na bisitahin ang kanyang kaibigan na lumipat sa isang bagong bahay. Ang mapa ng daan upang makarating sa bahay ni Steve at ng kanyang kaibigan, kasama ang mga distansyang alam ni Steve, ay ipinapakita sa figure. Tulungan si Steve na makarating sa bahay ng kanyang kaibigan sa pinakamaikling paraan.

Desisyon:

Ang roadmap ay maaaring irepresenta nang geometriko sa sumusunod na anyo, tulad ng ipinapakita sa figure.

Nakikita namin na ang mga tatsulok na ∆ABC at ∆CDE ay magkatulad, samakatuwid:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Ang pahayag ng gawain ay nagsasaad na:

AB = 15 km, AC = 13.13 km, CD = 4.41 km at DE = 5 km

Gamit ang impormasyong ito, maaari nating kalkulahin ang mga sumusunod na distansya:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Makakapunta si Steve sa bahay ng kanyang kaibigan gamit ang mga sumusunod na ruta:

A -> B -> C -> E -> G, ang kabuuang distansya ay 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 km

F -> B -> C -> D -> G, ang kabuuang distansya ay 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 km

F -> A -> C -> E -> G, ang kabuuang distansya ay 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 km

F -> A -> C -> D -> G, ang kabuuang distansya ay 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 km

Samakatuwid, ang ruta #3 ay ang pinakamaikling at maaaring ialok kay Steve.

Halimbawa 7:
Gustong sukatin ni Trisha ang taas ng bahay, ngunit wala siyang tamang gamit. Napansin niya na may tumutubo na puno sa harap ng bahay at nagpasya na gamitin ang kanyang pagiging maparaan at kaalaman sa geometry na nakuha sa paaralan upang matukoy ang taas ng gusali. Sinukat niya ang distansya mula sa puno hanggang sa bahay, ang resulta ay 30 m. Pagkatapos ay tumayo siya sa harap ng puno at nagsimulang umatras hanggang sa makita ang tuktok na gilid ng gusali sa itaas ng tuktok ng puno. Minarkahan ni Trisha ang lugar at sinukat ang distansya mula dito sa puno. Ang distansyang ito ay 5 m.

Ang taas ng puno ay 2.8 m, at ang taas ng mga mata ni Trisha ay 1.6 m. Tulungan si Trisha na matukoy ang taas ng gusali.

Desisyon:

Ang geometric na representasyon ng problema ay ipinapakita sa figure.

Una, ginagamit namin ang pagkakatulad ng mga tatsulok na ∆ABC at ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \beses AC$

$(2.8 - 1.6) \beses AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Maaari nating gamitin ang pagkakatulad ng tatsulok ΔACB at ΔAFG o ΔADE at ΔAFG. Piliin natin ang unang opsyon.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 m$