Sa araling ito, ilalarawan namin ang mga uri ng simetrya sa espasyo, makilala ang konsepto ng isang regular na polyhedron.

Tulad ng sa planimetry, sa espasyo ay isasaalang-alang natin ang simetrya na may paggalang sa isang punto at may paggalang sa isang linya, ngunit bilang karagdagan, ang simetrya na may paggalang sa isang eroplano ay lilitaw.

Kahulugan.

Mga puntong A at tinatawag na simetriko tungkol sa puntong O (gitna ng simetrya), kung ang O ay ang midpoint ng segment. Ang punto O ay simetriko sa sarili nito.

Upang makakuha ng isang puntong simetriko dito na may paggalang sa punto O para sa isang naibigay na punto A, kailangan mong gumuhit ng isang tuwid na linya sa mga punto A at O, magtabi ng isang segment na katumbas ng OA mula sa punto O, at makuha ang nais na punto ( Larawan 1).

kanin. 1. Symmetry tungkol sa isang punto

Katulad nito, ang mga punto B at ay simetriko tungkol sa puntong O, dahil ang O ay ang midpoint ng segment.

Kaya, ang isang batas ay ibinigay ayon sa kung saan ang bawat punto ng eroplano ay papunta sa isa pang punto ng eroplano, at sinabi namin na ang anumang mga distansya ay napanatili, iyon ay, .

Isaalang-alang ang symmetry na may paggalang sa isang linya sa espasyo.

Upang makakuha ng simetriko na punto para sa isang naibigay na punto A na may paggalang sa ilang linya a, kailangan mong ibaba ang patayo mula sa punto A hanggang sa linya at magtakda ng pantay na segment dito (Larawan 2).

kanin. 2. Symmetry na may paggalang sa isang tuwid na linya sa espasyo

Kahulugan.

Points A at tinatawag na simetriko na may kinalaman sa linyang a (axis of symmetry) kung ang linyang a ay dumaan sa gitna ng segment at patayo dito. Ang bawat punto ng linya ay simetriko sa sarili nito.

Kahulugan.

Points A at tinatawag na simetriko na may kinalaman sa eroplano (plane of symmetry) kung ang eroplano ay dumaan sa gitna ng segment at patayo dito. Ang bawat punto ng eroplano ay simetriko sa sarili nito (Larawan 3).

kanin. 3. Symmetry na may paggalang sa eroplano

Ang ilang mga geometric na figure ay maaaring may sentro ng simetrya, isang axis ng symmetry, isang eroplano ng simetrya.

Kahulugan.

Ang puntong O ay tinatawag na sentro ng simetriya ng isang pigura kung ang bawat punto ng pigura ay simetriko na may paggalang dito sa ilang punto ng parehong pigura.

Halimbawa, sa isang parallelogram at isang parallelepiped, ang intersection point ng lahat ng diagonals ay ang sentro ng simetrya. Ilarawan natin para sa isang parallelepiped.

kanin. 4. Sentro ng simetrya ng parallelepiped

Kaya, na may mahusay na proporsyon tungkol sa punto O sa parallelepiped ang point A ay papunta sa point , ang point B ay papunta sa point, atbp., kaya, ang kahon ay papunta sa sarili nito.

Kahulugan.

Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na isang axis ng simetriya ng isang figure kung ang bawat punto ng figure ay simetriko tungkol dito sa ilang punto ng parehong figure.

Halimbawa, ang bawat dayagonal ng isang rhombus ay isang axis ng simetriya para dito, ang isang rhombus ay nagbabago sa sarili nito kapag ito ay simetriko tungkol sa alinman sa mga diagonal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa sa espasyo - isang hugis-parihaba na parallelepiped (mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base, pantay na mga parihaba sa mga base). Ang nasabing parallelepiped ay may mga axes ng simetrya. Ang isa sa kanila ay dumadaan sa gitna ng simetrya ng parallelepiped (ang intersection point ng mga diagonal) at ang mga sentro ng upper at lower base.

Kahulugan.

Ang eroplano ay tinatawag na plane of symmetry ng isang figure kung ang bawat punto ng figure ay simetriko na may paggalang dito sa ilang punto ng parehong figure.

Halimbawa, ang isang cuboid ay may mga eroplano ng simetrya. Ang isa sa mga ito ay dumadaan sa gitna ng kabaligtaran na mga gilid ng itaas at mas mababang mga base (Larawan 5).

kanin. 5. Plane ng simetrya ng isang parihabang parallelepiped

Ang mga elemento ng simetrya ay likas sa regular na polyhedra.

Kahulugan.

Ang isang matambok na polyhedron ay tinatawag na regular kung ang lahat ng mga mukha nito ay pantay na mga regular na polygon, at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex.

Teorama.

Walang regular na polyhedron na ang mga mukha ay regular na n-gons para sa .

Patunay:

Isaalang-alang ang kaso kung kailan ang isang regular na hexagon. Ang lahat ng mga panloob na anggulo nito ay pantay:

Pagkatapos ay sa panloob na mga anggulo ay magiging mas malaki.

Sa bawat vertex ng polyhedron, hindi bababa sa tatlong gilid ang nagtatagpo, na nangangahulugan na ang bawat vertex ay naglalaman ng hindi bababa sa tatlong flat angle. Ang kanilang kabuuang kabuuan (ipagpalagay na ang bawat isa ay mas malaki kaysa o katumbas ng ) ay mas malaki kaysa o katumbas ng . Ito ay sumasalungat sa pahayag: sa isang matambok na polyhedron, ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng eroplano sa bawat tuktok ay mas mababa sa .

Napatunayan na ang theorem.

Cube (Larawan 6):

kanin. 6. Kubo

Ang kubo ay binubuo ng anim na parisukat; ang isang parisukat ay isang regular na polygon;

Ang bawat vertex ay isang vertex ng tatlong parisukat, halimbawa, vertex A ay karaniwan sa mga parisukat na mukha ABCD, ;

Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay , dahil binubuo ito ng tatlong tamang anggulo. Ito ay mas mababa sa , na nagbibigay-kasiyahan sa paniwala ng isang regular na polyhedron;

Ang kubo ay may sentro ng simetrya - ang punto ng intersection ng mga diagonal;

Ang kubo ay may mga palakol ng simetrya, halimbawa, mga tuwid na linya a at b (Larawan 6), kung saan ang tuwid na linya a ay dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na mukha, at b sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid;

Ang isang kubo ay may mga eroplanong may simetriya, tulad ng isang eroplanong dumadaan sa mga linyang a at b.

2. Regular na tetrahedron (regular na triangular na pyramid, lahat ng mga gilid ay pantay sa bawat isa):

kanin. 7. Regular na tetrahedron

Ang isang regular na tetrahedron ay binubuo ng apat na equilateral triangles;

Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay , dahil ang isang regular na tetrahedron ay binubuo ng tatlong anggulo ng eroplano sa . Ito ay mas mababa sa , na nagbibigay-kasiyahan sa paniwala ng isang regular na polyhedron;

Ang isang regular na tetrahedron ay may mga axes ng symmetry; dumadaan sila sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid, halimbawa, tuwid na linya MN. Bilang karagdagan, ang MN ay ang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya AB at CD, ang MN ay patayo sa mga gilid ng AB at CD;

Ang isang regular na tetrahedron ay may mga eroplano ng mahusay na proporsyon, bawat isa ay dumadaan sa isang gilid at ang midpoint ng kabaligtaran na gilid (Larawan 7);

Ang isang regular na tetrahedron ay walang sentro ng simetrya.

3. Regular na octahedron:

Binubuo ng walong equilateral triangles;

Apat na gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex;

Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay , dahil ang isang regular na octahedron ay binubuo ng apat na anggulo ng eroplano sa kahabaan . Ito ay mas mababa sa , na nakakatugon sa konsepto ng isang regular na polyhedron.

4. Regular na icosahedron:

Binubuo ng dalawampung equilateral triangles;

Limang gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex;

Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay , dahil ang isang regular na icosahedron ay binubuo ng limang anggulo ng eroplano sa kahabaan . Ito ay mas mababa sa , na nakakatugon sa konsepto ng isang regular na polyhedron.

5. Regular na dodecahedron:

Binubuo ng labindalawang regular na pentagons;

Tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex;

Ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay . Ito ay mas mababa sa , na nakakatugon sa konsepto ng isang regular na polyhedron.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga uri ng simetrya sa espasyo at nagbigay ng mahigpit na mga kahulugan. Tinukoy din namin ang konsepto ng isang regular na polyhedron, na itinuturing na mga halimbawa ng naturang polyhedra at ang kanilang mga katangian.

Bibliograpiya

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometry. Baitang 10-11: Isang aklat-aralin para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometry. Baitang 10: Textbook para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon na may malalim at profile na pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: may sakit.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5class.net().

Takdang aralin

1. Tukuyin ang bilang ng mga palakol ng mahusay na proporsyon ng cuboid;
2. ipahiwatig ang bilang ng mga symmetry axes ng isang regular na pentagonal prism;
3. ipahiwatig ang bilang ng mga eroplano ng simetrya ng octahedron;
4. bumuo ng isang pyramid na mayroong lahat ng elemento ng simetriya.

- (kahulugan) isang geometric na katawan na nakatali sa lahat ng panig ng mga flat polygons - mga mukha.

Mga halimbawa ng polyhedra:

Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid, at ang mga dulo ng mga gilid ay tinatawag na mga vertices. Ayon sa bilang ng mga mukha, ang 4-hedron, 5-hedron, atbp. ay nakikilala. Ang polyhedron ay tinatawag matambok, kung lahat ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat mukha nito. Ang polyhedron ay tinatawag tama, kung ang mga mukha nito ay mga regular na polygon (iyon ay, ang mga kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay) at lahat ng polyhedral na anggulo sa vertices ay pantay. Mayroong limang uri ng regular na polyhedra: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron.

Polyhedron sa tatlong-dimensional na espasyo (ang konsepto ng isang polyhedron) - isang koleksyon ng isang may hangganan na bilang ng mga flat polygons tulad na

1) ang bawat panig ng isa ay kasabay ng isang panig ng isa (ngunit isa lamang), na tinatawag na katabi ng una (sa panig na ito);

2) mula sa alinman sa mga polygon na bumubuo sa polyhedron, maaaring maabot ng isa ang alinman sa mga ito sa pamamagitan ng pagpasa sa isang katabi nito, at mula dito, sa turn, sa isang katabi nito, atbp.

Ang mga polygon na ito ay tinatawag mga mukha, kanilang mga panig tadyang, at ang kanilang mga vertex ay mga taluktok polyhedron.

Vertices ng polyhedron

Mga gilid ng polyhedron

Facets ng isang polyhedron

Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nakahiga sa isang gilid ng eroplano ng alinman sa mga mukha nito.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang lahat ng mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang ibabaw ng isang convex polyhedron ay binubuo ng mga mukha na nakahiga sa iba't ibang mga eroplano. Sa kasong ito, ang mga gilid ng polyhedron ay ang mga gilid ng polygons, ang mga vertices ng polyhedron ay ang mga vertices ng mga mukha, ang mga flat na sulok ng polyhedron ay ang mga sulok ng polygons - mga mukha.

Tinatawag ang convex polyhedron na ang lahat ng vertices ay nasa dalawang magkatulad na eroplano prismatoid. Ang prism, pyramid, at truncated pyramid ay mga espesyal na kaso ng prismatoid. Ang lahat ng mga gilid na mukha ng isang prismatoid ay mga tatsulok o may apat na gilid, at ang mga quadrangular na mukha ay mga trapezoid o paralelogram.

Ang Polyhedra ay hindi lamang sumasakop sa isang kilalang lugar sa geometry, ngunit nagaganap din sa pang-araw-araw na buhay ng bawat tao. Hindi banggitin ang artipisyal na nilikha na mga gamit sa bahay sa anyo ng iba't ibang mga polygon, na nagsisimula sa isang kahon ng posporo at nagtatapos sa mga elemento ng arkitektura, mga kristal sa anyo ng isang kubo (asin), prism (crystal), pyramid (scheelite), octahedron (brilyante), atbp. d.

Ang konsepto ng isang polyhedron, mga uri ng polyhedra sa geometry

Ang geometry bilang isang agham ay naglalaman ng isang seksyon ng stereometry na nag-aaral ng mga katangian at katangian ng tatlong-dimensional na mga katawan, ang mga gilid nito sa tatlong-dimensional na espasyo ay nabuo ng limitadong mga eroplano (mga mukha), ay tinatawag na "polyhedra". Ang mga uri ng polyhedra ay kinabibilangan ng higit sa isang dosenang kinatawan, na naiiba sa bilang at hugis ng mga mukha.

Gayunpaman, ang lahat ng polyhedra ay may mga karaniwang katangian:

1. Ang lahat ng mga ito ay may 3 mahalagang bahagi: isang mukha (ang ibabaw ng isang polygon), isang vertex (ang mga sulok na nabuo sa kantong ng mga mukha), isang gilid (ang gilid ng figure o isang segment na nabuo sa kantong ng dalawang mukha. ).
2. Ang bawat polygon edge ay nag-uugnay sa dalawa, at dalawa lamang, na mga mukha na magkatabi.
3. Ang convexity ay nangangahulugan na ang katawan ay ganap na matatagpuan lamang sa isang gilid ng eroplano kung saan nakahiga ang isa sa mga mukha. Nalalapat ang panuntunan sa lahat ng mukha ng polyhedron. Ang ganitong mga geometric na figure sa stereometry ay tinatawag na convex polyhedra. Ang pagbubukod ay polyhedra na hugis-bituin, na mga derivatives ng regular na polyhedral geometric solids.

Ang Polyhedra ay maaaring nahahati sa:

1. Mga uri ng convex polyhedra, na binubuo ng mga sumusunod na klase: ordinaryo o classical (prism, pyramid, parallelepiped), regular (tinatawag ding Platonic solids), semi-regular (pangalawang pangalan - Archimedean solids).
2. Non-convex polyhedra (stellated).

Prism at mga katangian nito

Ang Stereometry bilang isang sangay ng geometry ay pinag-aaralan ang mga katangian ng mga three-dimensional na figure, mga uri ng polyhedra (isang prisma ay isa sa kanila). Ang prism ay isang geometric na katawan na kinakailangang may dalawang ganap na magkatulad na mukha (tinatawag din silang mga base) na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano, at ang n-th na bilang ng mga gilid na mukha sa anyo ng mga parallelograms. Sa turn, ang prisma ay mayroon ding ilang mga varieties, kabilang ang mga uri ng polyhedra bilang:

1. Ang isang parallelepiped ay nabuo kung ang base ay isang parallelogram - isang polygon na may 2 pares ng pantay na magkasalungat na anggulo at 2 pares ng magkaparehong magkabilang panig.
2. may mga tadyang patayo sa base.
3. nailalarawan sa pagkakaroon ng mga hindi tamang anggulo (maliban sa 90) sa pagitan ng mga mukha at base.
4. Ang isang regular na prisma ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga base sa anyo na may pantay na mga mukha sa gilid.

Ang mga pangunahing katangian ng isang prisma:

• Mga katugmang batayan.
• Ang lahat ng mga gilid ng prism ay pantay at parallel sa bawat isa.
• Ang lahat ng mga gilid na mukha ay paralelogram na hugis.

Pyramid

Ang pyramid ay isang geometric na katawan, na binubuo ng isang base at ang n-th na bilang ng mga tatsulok na mukha, na konektado sa isang punto - ang vertex. Dapat pansinin na kung ang mga gilid na mukha ng pyramid ay kinakailangang kinakatawan ng mga tatsulok, kung gayon sa base ay maaaring magkaroon ng alinman sa isang tatsulok na polygon, o isang quadrangle, at isang pentagon, at iba pa ad infinitum. Sa kasong ito, ang pangalan ng pyramid ay tumutugma sa polygon sa base. Halimbawa, kung mayroong isang tatsulok sa base ng pyramid - ito ay isang quadrilateral - quadrangular, atbp.

Ang mga pyramids ay cone-like polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra ng pangkat na ito, bilang karagdagan sa mga nakalista sa itaas, ay kinabibilangan din ng mga sumusunod na kinatawan:

1. ay may isang regular na polygon sa base, at ang taas nito ay inaasahang sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa base o inilarawan sa paligid nito.
2. Ang isang hugis-parihaba na pyramid ay nabuo kapag ang isa sa mga gilid ng gilid ay bumalandra sa base sa isang tamang anggulo. Sa kasong ito, makatarungan din na tawagan ang gilid na ito ng taas ng pyramid.

Mga katangian ng pyramid:

• Kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay magkapareho (ng parehong taas), pagkatapos silang lahat ay bumalandra sa base sa parehong anggulo, at sa paligid ng base maaari kang gumuhit ng isang bilog na may isang sentro na tumutugma sa projection ng tuktok ng pyramid.
• Kung ang isang regular na polygon ay namamalagi sa base ng pyramid, kung gayon ang lahat ng gilid ng gilid ay magkatugma, at ang mga mukha ay isosceles triangles.

Regular na polyhedron: mga uri at katangian ng polyhedra

Sa stereometry, ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng mga geometric na katawan na may ganap na pantay na mga mukha, sa mga vertices kung saan ang parehong bilang ng mga gilid ay konektado. Ang mga solidong ito ay tinatawag na Platonic solids, o regular polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra na may ganitong mga katangian ay may limang figure lamang:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodecahedron.
5. Icosahedron.

Ang regular na polyhedra ay may utang sa kanilang pangalan sa sinaunang pilosopong Griyego na si Plato, na inilarawan ang mga geometric na katawan na ito sa kanyang mga sinulat at ikinonekta ang mga ito sa mga natural na elemento: lupa, tubig, apoy, hangin. Ang ikalimang pigura ay ginawaran ng pagkakatulad sa istraktura ng uniberso. Sa kanyang opinyon, ang mga atomo ng mga natural na elemento sa hugis ay kahawig ng mga uri ng regular na polyhedra. Dahil sa kanilang pinakakaakit-akit na ari-arian - simetriya, ang mga geometric na katawan na ito ay may malaking interes hindi lamang sa mga sinaunang matematiko at pilosopo, kundi pati na rin sa mga arkitekto, pintor at eskultor sa lahat ng panahon. Ang pagkakaroon lamang ng 5 uri ng polyhedra na may ganap na mahusay na proporsyon ay itinuturing na isang pangunahing pagtuklas, kahit na sila ay iginawad sa isang koneksyon sa banal na prinsipyo.

Hexahedron at mga katangian nito

Sa anyo ng isang heksagono, ang mga kahalili ni Plato ay nagpalagay ng pagkakatulad sa istraktura ng mga atomo ng lupa. Siyempre, sa kasalukuyan, ang hypothesis na ito ay ganap na pinabulaanan, na, gayunpaman, ay hindi pumipigil sa mga figure na maakit ang isip ng mga sikat na figure sa kanilang mga aesthetics sa modernong panahon.

Sa geometry, ang hexahedron, na kilala rin bilang isang cube, ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang parallelepiped, na, naman, ay isang uri ng prisma. Alinsunod dito, ang mga katangian ng kubo ay nauugnay sa ang tanging pagkakaiba ay ang lahat ng mga mukha at sulok ng kubo ay pantay sa bawat isa. Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula dito:

1. Ang lahat ng mga gilid ng isang kubo ay magkatugma at nakahiga sa parallel na mga eroplano na may paggalang sa bawat isa.
2. Ang lahat ng mga mukha ay magkatugmang mga parisukat (mayroong 6 sa kabuuan sa isang kubo), alinman sa mga ito ay maaaring kunin bilang batayan.
3. Ang lahat ng mga interhedral na anggulo ay 90.
4. Mula sa bawat taluktok ay nagmumula ang isang pantay na bilang ng mga gilid, ibig sabihin, 3.
5. Ang kubo ay may 9 na lahat ay bumalandra sa intersection point ng mga diagonal ng hexahedron, na tinatawag na sentro ng simetrya.

Tetrahedron

Ang tetrahedron ay isang tetrahedron na may pantay na mukha sa anyo ng mga tatsulok, ang bawat isa sa mga vertices ay isang junction point ng tatlong mukha.

Mga katangian ng isang regular na tetrahedron:

1. Ang lahat ng mga mukha ng isang tetrahedron - ito mula sa kung saan ito ay sumusunod na ang lahat ng mga mukha ng isang tetrahedron ay kapareho.
2. Dahil ang base ay kinakatawan ng isang regular na geometric figure, iyon ay, mayroon itong pantay na panig, kung gayon ang mga mukha ng tetrahedron ay nagtatagpo sa parehong anggulo, iyon ay, ang lahat ng mga anggulo ay pantay.
3. Ang kabuuan ng mga patag na anggulo sa bawat isa sa mga vertices ay 180, dahil ang lahat ng mga anggulo ay pantay, kung gayon ang anumang anggulo ng isang regular na tetrahedron ay 60.
4. Ang bawat isa sa mga vertice ay inaasahang sa punto ng intersection ng mga taas ng kabaligtaran (orthocenter) na mukha.

Octahedron at mga katangian nito

Sa paglalarawan ng mga uri ng regular na polyhedra, hindi maaaring hindi mapansin ng isang tao ang isang bagay bilang isang octahedron, na maaaring biswal na kinakatawan bilang dalawang quadrangular na regular na pyramids na nakadikit sa mga base.

Mga katangian ng Octahedron:

1. Ang mismong pangalan ng isang geometric na katawan ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga mukha nito. Ang octahedron ay binubuo ng 8 magkaparehong equilateral triangles, sa bawat isa sa mga vertices kung saan ang pantay na bilang ng mga mukha ay nagtatagpo, ibig sabihin, 4.
2. Dahil ang lahat ng mga mukha ng isang octahedron ay pantay, gayundin ang mga anggulo ng interface nito, ang bawat isa ay katumbas ng 60, at ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng alinman sa mga vertices ay 240.

Dodecahedron

Kung iniisip natin na ang lahat ng mga mukha ng isang geometric na katawan ay isang regular na pentagon, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang dodecahedron - isang pigura ng 12 polygons.

Mga katangian ng Dodecahedron:

1. Tatlong mukha ang nagsalubong sa bawat vertex.
2. Ang lahat ng mga mukha ay pantay at may parehong haba ng gilid at pantay na lugar.
3. Ang dodecahedron ay may 15 axes at mga eroplano ng simetrya, at alinman sa mga ito ay dumadaan sa tuktok ng mukha at sa gitna ng kabaligtaran na gilid.

icosahedron

Hindi gaanong kawili-wili kaysa sa dodecahedron, ang icosahedron ay isang three-dimensional na geometric na katawan na may 20 pantay na mukha. Kabilang sa mga katangian ng isang regular na dalawampu't-hedron, ang mga sumusunod ay maaaring mapansin:

1. Ang lahat ng mga mukha ng icosahedron ay isosceles triangles.
2. Limang mukha ang nagtatagpo sa bawat vertex ng polyhedron, at ang kabuuan ng mga katabing anggulo ng vertex ay 300.
3. Ang icosahedron, tulad ng dodecahedron, ay may 15 axes at mga eroplano ng simetriya na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na mukha.

Mga semiregular na polygon

Bilang karagdagan sa Platonic solids, ang pangkat ng convex polyhedra ay kinabibilangan din ng Archimedean solids, na pinutol na regular polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra ng pangkat na ito ay may mga sumusunod na katangian:

1. Ang mga geometric na katawan ay may magkapares na magkapantay na mukha ng ilang uri, halimbawa, ang pinutol na tetrahedron ay may 8 mukha, tulad ng isang regular na tetrahedron, ngunit sa kaso ng isang Archimedean solid, 4 na mukha ay magiging tatsulok at 4 ay heksagonal.
2. Ang lahat ng mga anggulo ng isang vertex ay magkapareho.

Star polyhedra

Ang mga kinatawan ng mga di-volumetric na uri ng mga geometric na katawan ay hugis-bituin na polyhedra, na ang mga mukha ay bumalandra sa bawat isa. Maaari silang mabuo sa pamamagitan ng pagsasama ng dalawang regular na three-dimensional na katawan o sa pamamagitan ng pagpapatuloy ng kanilang mga mukha.

Kaya, ang naturang stellated polyhedra ay kilala bilang: stellated forms ng octahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

May mga espesyal na paksa sa geometry ng paaralan na inaasahan mo, inaasahan ang isang pulong na may hindi kapani-paniwalang magandang materyal. Kasama sa mga paksang ito ang "Regular polyhedra".Dito, hindi lamang ang kahanga-hangang mundo ng mga geometric na katawan na may mga natatanging katangian ay bubukas, kundi pati na rin ang mga kagiliw-giliw na pang-agham na hypotheses. At pagkatapos ang aralin sa geometry ay nagiging isang uri ng pag-aaral ng mga hindi inaasahang aspeto ng karaniwang paksa ng paaralan.

Wala sa mga geometric na katawan ang nagtataglay ng gayong kasakdalan at kagandahan gaya ng regular na polyhedra. "Ang mga regular na polyhedra ay napakakaunti," minsang isinulat ni L. Carroll, "ngunit ang detatsment na ito, na napakahinhin sa bilang, ay nakarating sa kalaliman ng iba't ibang mga agham."

Ano ang napakaliit na bilang na ito at kung bakit napakarami nito. At magkano? Ito ay lumiliko out na eksaktong lima - walang higit pa, walang mas mababa. Ito ay maaaring kumpirmahin sa pamamagitan ng paglalahad ng isang matambok na anggulo ng polyhedral. Sa katunayan, upang makakuha ng anumang regular na polyhedron ayon sa kahulugan nito, ang parehong bilang ng mga mukha ay dapat magtagpo sa bawat vertex, na ang bawat isa ay isang regular na polygon. Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang polyhedral na anggulo ay dapat na mas mababa sa 360 o, kung hindi, walang polyhedral na ibabaw ang makukuha. Dumadaan sa mga posibleng integer na solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Ang mga pangalan ng regular na polyhedra ay nagmula sa Greece. Sa literal na pagsasalin mula sa Greek na "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "icosahedron" ay nangangahulugang: "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron". dodecahedron, dodecahedron. Ang ika-13 aklat ng Euclid's Elements ay nakatuon sa magagandang katawan na ito. Tinatawag din silang mga katawan ni Plato, dahil. sinakop nila ang isang mahalagang lugar sa pilosopikal na konsepto ni Plato sa istruktura ng uniberso. Apat na polyhedron ang ipinakilala dito apat na esensya o "mga elemento". Ang tetrahedron ay sumasagisag sa apoy, dahil. ang tuktok nito ay nakadirekta paitaas; icosahedron - tubig, dahil siya ang pinaka "streamline"; kubo - lupa, bilang ang pinaka "matatag"; octahedron - hangin, bilang ang pinaka "mahangin". Ang ikalimang polyhedron, ang dodecahedron, ay naglalaman ng "lahat ng bagay na umiiral", sumisimbolo sa buong uniberso, at itinuturing na pangunahing isa.

Itinuring ng mga sinaunang Griyego ang magkatugmang mga relasyon bilang batayan ng sansinukob, samakatuwid, ang kanilang apat na elemento ay konektado sa gayong proporsyon: lupa/tubig=hangin/apoy. Ang mga atomo ng "mga elemento" ay itinuro ni Plato sa perpektong mga katinig, tulad ng apat na kuwerdas ng lira. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang isang kaaya-ayang katinig ay tinatawag na katinig. Dapat sabihin na ang mga kakaibang relasyon sa musika sa Platonic solids ay puro haka-haka at walang geometric na batayan. Ang bilang ng mga vertices ng Platonic solids, o ang mga volume ng regular na polyhedra, o ang bilang ng mga gilid o mukha ay hindi konektado ng mga relasyon na ito.

Kaugnay ng mga katawan na ito, angkop na sabihin na ang unang sistema ng mga elemento, na kinabibilangan ng apat na elemento - lupa, tubig, hangin at apoy - ay na-canonize ni Aristotle. Ang mga elementong ito ay nanatiling apat na pundasyon ng uniberso sa loob ng maraming siglo. Ito ay lubos na posible upang makilala ang mga ito sa apat na estado ng bagay na kilala sa amin - solid, likido, gas at plasma.

Ang isang mahalagang lugar ay inookupahan ng regular na polyhedra sa sistema ng maayos na istraktura ng mundo ni I. Kepler. Ang lahat ng parehong pananampalataya sa pagkakaisa, kagandahan at ang mathematically regular na istraktura ng uniberso ay humantong sa I. Kepler sa ideya na dahil mayroong limang regular na polyhedra, anim na planeta lamang ang tumutugma sa kanila. Sa kanyang opinyon, ang mga spheres ng mga planeta ay magkakaugnay sa pamamagitan ng mga Platonic solid na nakasulat sa kanila. Dahil para sa bawat regular na polyhedron ang mga sentro ng inscribed at circumscribed spheres ay nag-tutugma, ang buong modelo ay magkakaroon ng isang solong sentro, kung saan matatagpuan ang Araw.

Ang pagkakaroon ng paggawa ng isang malaking computational work, noong 1596 I. Kepler nai-publish ang mga resulta ng kanyang pagtuklas sa aklat na "The Secret of the Universe". Isinulat niya ang isang kubo sa globo ng orbit ng Saturn, sa isang cube - ang globo ng Jupiter, sa globo ng Jupiter - isang tetrahedron, at iba pa ay sunud-sunod na magkasya sa isa't isa sa globo ng Mars - isang dodecahedron, ang globo ng Earth - isang icosahedron, ang globo ng Venus - isang octahedron, ang globo ng Mercury. Ang lihim ng sansinukob ay tila bukas.

Ngayon ay ligtas na sabihin na ang mga distansya sa pagitan ng mga planeta ay hindi nauugnay sa anumang polyhedra. Gayunpaman, posible na kung wala ang "Mga Lihim ng Uniberso", "Harmony ng Mundo" ni I. Kepler, ang regular na polyhedra ay hindi magkakaroon ng tatlong sikat na batas ng I. Kepler, na may mahalagang papel sa paglalarawan ng paggalaw. ng mga planeta.

Saan mo pa makikita ang mga kahanga-hangang katawan na ito? Sa isang napakagandang aklat ng Aleman na biologist sa simula ng ating siglo, si E. Haeckel, "Ang Kagandahan ng mga Anyo sa Kalikasan," mababasa ng isa ang mga sumusunod na linya: "Ang kalikasan ay nagpapalusog sa kanyang dibdib ng hindi mauubos na bilang ng mga kamangha-manghang nilalang na hanggang sa malampasan ang lahat ng anyo na nilikha ng sining ng tao sa kagandahan at pagkakaiba-iba." Ang mga likha ng kalikasan sa aklat na ito ay maganda at simetriko. Ito ay isang hindi mapaghihiwalay na pag-aari ng natural na pagkakaisa. Ngunit dito maaari mo ring makita ang mga unicellular na organismo - feodarii, ang hugis nito ay tumpak na naghahatid ng icosahedron. Ano ang sanhi ng natural na geometrisasyon? Siguro dahil sa lahat ng polyhedra na may parehong bilang ng mga mukha, ito ang icosahedron na may pinakamalaking volume at pinakamaliit na surface area. Ang geometric na ari-arian na ito ay tumutulong sa marine microorganism na malampasan ang presyon ng haligi ng tubig.

Kapansin-pansin din na ang icosahedron ang naging sentro ng atensyon ng mga biologist sa kanilang mga pagtatalo tungkol sa hugis ng mga virus. Ang virus ay hindi maaaring maging ganap na bilog, gaya ng naisip dati. Upang maitatag ang hugis nito, kumuha sila ng iba't ibang polyhedra, itinuro ang liwanag sa kanila sa parehong mga anggulo tulad ng daloy ng mga atomo sa virus. Ito ay lumabas na isang polyhedron lamang ang nagbibigay ng eksaktong parehong anino - ang icosahedron. Ang mga geometric na katangian nito, na binanggit sa itaas, ay nagbibigay-daan sa pag-save ng genetic na impormasyon. Ang regular na polyhedra ay ang pinaka-kapaki-pakinabang na mga numero. At sinasamantala ito ng kalikasan. Ang mga kristal ng ilang mga sangkap na pamilyar sa atin ay nasa anyo ng regular na polyhedra. Kaya, ang kubo ay nagbibigay ng hugis ng sodium chloride crystals NaCl, ang solong kristal ng aluminum-potassium alum (KAlSO4) 2 12H2O ay may hugis ng isang octahedron, ang kristal ng pyrite sulfide FeS ay may hugis ng isang dodecahedron, ang antimony sodium sulfate ay isang tetrahedron, ang boron ay isang icosahedron. Tinutukoy ng regular na polyhedra ang hugis ng mga kristal na sala-sala ng ilang mga kemikal. Ilalarawan ko ang ideyang ito sa sumusunod na problema.

Gawain. Ang modelo ng CH4 methane molecule ay may hugis ng isang regular na tetrahedron, na may hydrogen atoms sa apat na vertices at isang carbon atom sa gitna. Tukuyin ang anggulo ng bono sa pagitan ng dalawang CH bond.

Desisyon. Dahil ang isang regular na tetrahedron ay may anim na pantay na gilid, posible na pumili ng gayong kubo upang ang mga diagonal ng mga mukha nito ay ang mga gilid ng isang regular na tetrahedron (Larawan 2). Ang gitna ng kubo ay din ang sentro ng tetrahedron, dahil ang apat na vertices ng tetrahedron ay ang mga vertices din ng kubo, at ang globo na inilarawan sa kanilang paligid ay natatanging tinutukoy ng apat na punto na hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang nais na anggulo j sa pagitan ng dalawang CH bond ay katumbas ng anggulong AOC. Isosceles ang Triangle AOC. Kaya, kung saan ang a ay ang gilid ng kubo, ang d ay ang haba ng dayagonal ng gilid na mukha o gilid ng tetrahedron. Kaya, mula sa kung saan \u003d 54.73561 O at j \u003d 109.47 O

Ang mga ideya ni Pythagoras, Plato, I. Kepler tungkol sa koneksyon ng regular na polyhedra na may maayos na istraktura ng mundo ay natagpuan na ang kanilang pagpapatuloy sa ating panahon sa isang kawili-wiling pang-agham na hypothesis, ang mga may-akda kung saan (sa unang bahagi ng 80s) ay mga inhinyero ng Moscow V. Makarov at V. Morozov. Naniniwala sila na ang core ng Earth ay may hugis at katangian ng isang lumalagong kristal na nakakaapekto sa pag-unlad ng lahat ng natural na proseso na nagaganap sa planeta. Ang mga sinag ng kristal na ito, o sa halip, ang patlang ng puwersa nito, ay tumutukoy sa istraktura ng icosahedron-dodecahedral ng Earth (Larawan 3), na nagpapakita mismo sa katotohanan na ang mga projection ng regular na polyhedra na nakasulat sa globo ay lumilitaw sa crust ng lupa: icosahedron at dodecahedron. Ang kanilang 62 vertices at midpoints ng mga gilid, na tinatawag na mga node ng mga may-akda, ay may ilang partikular na katangian na ginagawang posible na ipaliwanag ang ilang hindi maintindihan na phenomena.

Kung ilalagay mo sa globo ang mga sentro ng pinakamalaki at pinakakahanga-hangang kultura at sibilisasyon ng Sinaunang Mundo, mapapansin mo ang isang pattern sa kanilang lokasyon na nauugnay sa mga geographic na pole at ekwador ng planeta. Maraming deposito ng mineral ang umaabot sa isang icosahedral-dodecahedral grid. Higit pang mga kamangha-manghang bagay ang nangyayari sa intersection ng mga tadyang ito: narito ang mga sentro ng pinaka sinaunang kultura at sibilisasyon: Peru, Northern Mongolia, Haiti, kultura ng Ob at iba pa. Sa mga puntong ito, mayroong maxima at minima ng atmospheric pressure, higanteng eddies ng World Ocean, dito ang Scottish Loch Ness, ang Bermuda Triangle. Ang mga karagdagang pag-aaral ng Earth, marahil, ay matukoy ang saloobin patungo sa magandang pang-agham na hypothesis na ito, kung saan, tila, ang regular na polyhedra ay sumasakop sa isang mahalagang lugar.

Kaya, nalaman na mayroong eksaktong limang regular na polyhedra. At kung paano matukoy ang bilang ng mga gilid, mukha, vertices sa kanila? Ito ay hindi mahirap gawin para sa polyhedra na may isang maliit na bilang ng mga gilid, ngunit paano, halimbawa, upang makakuha ng naturang impormasyon para sa isang icosahedron? Nakuha ng sikat na mathematician na si L. Euler ang formula В+Г-Р=2, na nag-uugnay sa bilang ng vertices /В/, mukha /Г/ at mga gilid /Р/ ng anumang polyhedron. Ang pagiging simple ng formula na ito ay wala itong kinalaman sa distansya o mga anggulo. Upang matukoy ang bilang ng mga gilid, vertices at mga mukha ng isang regular na polyhedron, una naming mahanap ang numero k \u003d 2y - xy + 2x, kung saan ang x ay ang bilang ng mga gilid na kabilang sa isang mukha, y ay ang bilang ng mga mukha na nagtatagpo sa isang vertex. Upang mahanap ang bilang ng mga mukha, vertices at gilid ng isang regular na polyhedron, gumagamit kami ng mga formula. Pagkatapos nito, madaling punan ang isang talahanayan na nagbibigay ng impormasyon tungkol sa mga elemento ng regular na polyhedra:

polyhedron H W R

tetrahedron 4-4-6

hexahedron 6-8-12

octahedron 8-6-12

dodecahedron 12-20-30

icosahedron 20-12-30

At ang isa pang tanong ay lumitaw na may kaugnayan sa regular na polyhedra: posible bang punan ang puwang sa kanila upang walang mga puwang sa pagitan nila? Ito ay lumitaw sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga regular na polygon, na ang ilan ay maaaring punan ang eroplano. Ito ay lumiliko na maaari mong punan ang puwang lamang sa tulong ng isang regular na polyhedron-cube. Ang espasyo ay maaari ding punuin ng mga rhombic dodecahedron. Upang maunawaan ito, kailangan mong lutasin ang problema.

Gawain. Sa tulong ng pitong cubes na bumubuo ng isang spatial na "krus", bumuo ng isang rhombic dodecahedron at ipakita na maaari nilang punan ang espasyo.

Desisyon. Maaaring punan ng mga cube ang espasyo. Isaalang-alang ang isang bahagi ng cubic lattice na ipinapakita sa Fig.4. Iniiwan namin ang gitnang kubo na hindi nagalaw, at sa bawat isa sa mga "bounding" na mga cube ay gumuhit kami ng mga eroplano sa lahat ng anim na pares ng magkasalungat na mga gilid. Sa kasong ito, ang "nakapaligid" na mga cube ay hahatiin sa anim na pantay na pyramids na may mga parisukat na base at gilid ng gilid na katumbas ng kalahati ng dayagonal ng kubo. Ang mga pyramids na katabi ng hindi nagalaw na kubo ay bumubuo kasama ng huli na isang rhombic dodecahedron. Mula dito ay malinaw na ang buong espasyo ay maaaring mapunan ng mga rhombic dodecahedron. Bilang kinahinatnan, nakuha namin na ang dami ng isang rhombic dodecahedron ay katumbas ng dalawang beses sa dami ng isang kubo na ang gilid ay tumutugma sa mas maliit na dayagonal ng mukha ng dodecahedron.

Paglutas ng huling problema, dumating kami sa rhombic dodecahedrons. Kapansin-pansin, ang mga selula ng pukyutan, na pinupuno din ang espasyo nang walang mga puwang, ay perpektong mga geometric na hugis. Ang itaas na bahagi ng bee cell ay bahagi ng rhombic dodecahedron.

Kaya, ang regular na polyhedra ay nagsiwalat sa amin ng mga pagtatangka ng mga siyentipiko na lapitan ang lihim ng pagkakaisa ng mundo at ipinakita ang hindi mapaglabanan na pagiging kaakit-akit ng geometry.

Home > Abstract

MINISTERYO NG EDUKASYON

SECONDARY EDUCATIONAL SCHOOL №3

SANAYSAY

sa geometry

Paksa:

"Polyhedra".

Ginawa: estudyante ng 11-"b" class MOU secondary school No. 3 Alyabyeva Yulia. Sinuri: guro ng matematika na si Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Zheleznovodsk

Plano

I. Panimula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Teoretikal na bahagi

Dihedral anggulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Trihedral at polyhedral na mga anggulo. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polyhedron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ang imahe ng isang prisma at ang pagbuo ng mga seksyon nito. . . . . 7 direktang prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . siyam Parallelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . siyam Central symmetry ng isang parallelepiped. . . . . . . . sampu Parihabang parallelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . labing-isa

10. Symmetry ng isang parihabang parallelepiped. . . . 12 11. Pyramid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . labintatlo 12. Konstruksyon ng isang pyramid at ang mga seksyon ng eroplano nito. . . . . . labintatlo 13. Pinutol na pyramid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . labinlima 14. Tamang pyramid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . labinlima 15. Regular na polyhedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . labing-anim III. Praktikal na bahagi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Konklusyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .labinsiyam V. Panitikan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Panimula

May mga espesyal na paksa sa geometry ng paaralan na inaasahan mo, inaasahan ang isang pulong na may hindi kapani-paniwalang magandang materyal. Kabilang sa mga naturang paksa ang "Polyhedra". Dito, hindi lamang ang kahanga-hangang mundo ng mga geometric na katawan na may mga natatanging katangian ay bubukas, kundi pati na rin ang mga kagiliw-giliw na pang-agham na hypotheses. At pagkatapos ang aralin sa geometry ay nagiging isang uri ng pag-aaral ng mga hindi inaasahang aspeto ng karaniwang paksa ng paaralan. Wala sa mga geometric na katawan ang nagtataglay ng gayong kasakdalan at kagandahan gaya ng polyhedra. "Mayroong napakakaunting mga polyhedron," minsang isinulat ni L. Carroll, "ngunit ang detatsment na ito, na napakahinhin sa bilang, ay nagawang makapasok sa kalaliman ng iba't ibang agham."

II. Teoretikal na bahagi.

1. Dihedral anggulo dihedral na anggulo tinatawag na figure na nabuo ng dalawang "half-plane na may karaniwang tuwid na linya na nagbubuklod sa kanila (Fig. 1). Ang mga half-plane ay tinatawag na mga mukha, at ang linyang nagbubuklod sa kanila gilid dihedral na anggulo. Ang isang eroplanong patayo sa isang gilid ng isang dihedral na anggulo ay nag-intersect sa mga mukha nito kasama ang dalawang kalahating linya. Ang anggulo na nabuo ng mga kalahating linya na ito ay tinatawag linear. anggulo dihedral na anggulo. Ang sukat ng isang dihedral na anggulo ay kinuha bilang sukatan ng katumbas na linear na anggulo. Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pinagsama ng parallel na pagsasalin, na nangangahulugang sila ay pantay. Samakatuwid, ang sukat ng isang dihedral na anggulo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng isang linear na anggulo. 2. Trihedral at polyhedral na mga anggulo Isaalang-alang ang tatlong beam a, b, c, na nagmumula sa parehong punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano. trihedral angle (abc) tinatawag na figure na binubuo ng "tatlong flat angle (ab),(bc) at (ac) (Larawan 2). Ang mga anggulong ito ay tinatawag mga mukha trihedral na anggulo, at ang kanilang mga gilid - tadyang karaniwang vertex ng patag na sulok ay tinatawag summit tatsulok na anggulo. Ang mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo ay tinatawag dihedral na anggulo ng isang trihedral na anggulo. Ang konsepto ng isang polyhedral angle ay tinukoy nang katulad (Larawan 3).

3. Polyhedron

Sa stereometry, ang mga figure sa kalawakan, na tinatawag na mga katawan, ay pinag-aaralan. Biswal, ang isang (geometric) na katawan ay dapat isipin bilang isang bahagi ng espasyo na inookupahan ng isang pisikal na katawan at nakatali ng isang ibabaw. Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga flat polygons (Larawan 4). Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng eroplano ng bawat flat polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng convex polyhedron ay tinatawag na mukha. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron. Ipaliwanag natin kung ano ang sinabi sa halimbawa ng isang pamilyar na kubo (Larawan 5). Ang kubo ay isang convex polyhedron. Ang ibabaw nito ay binubuo ng anim na parisukat: ABCD, BEFC, .... Sila ang mga mukha nito. Ang mga gilid ng kubo ay ang mga gilid ng mga parisukat na ito: AB, BC, BE,.... Ang mga vertices ng cube ay ang vertices ng mga parisukat: A, B, C, D, E, .... Ang cube ay may anim na mukha, labindalawang gilid at walong vertices. Ang pinakasimpleng polyhedra - prisms at pyramids, na magiging pangunahing bagay ng aming pag-aaral - magbibigay kami ng mga ganitong kahulugan , na sa esensya ay hindi gumagamit ng konsepto ng isang katawan. Ang mga ito ay tutukuyin bilang mga geometric na figure na may indikasyon ng lahat ng mga punto ng espasyo na kabilang sa kanila. Ang konsepto ng isang geometric na katawan at ang ibabaw nito sa pangkalahatang kaso ay ibibigay sa ibang pagkakataon.

4. Prisma

Ang prisma ay isang polyhedron, na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga sa magkaibang mga eroplano at pinagsama ng parallel na pagsasalin, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygon na ito (Larawan 6). Ang mga polygon ay tinatawag na mga base ng prism, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ay tinatawag na mga lateral edge ng prism. Dahil ang parallel na pagsasalin ay paggalaw, ang mga base ng prisma ay pantay. Dahil, sa panahon ng parallel na paglipat, ang eroplano ay pumasa sa isang parallel na eroplano (o sa sarili nito), kung gayon ang mga base ng prism ay nasa parallel na mga eroplano. ang mga gilid ay parallel at pantay. Ang ibabaw ng isang prisma ay binubuo ng mga base at isang gilid na ibabaw. Ang lateral surface ay binubuo ng parallelograms. Para sa bawat isa sa mga paralelogram na ito, ang dalawang panig ay ang mga kaukulang panig ng mga base, at ang dalawa pa ay magkatabing gilid ng gilid. Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito. Ang isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertices ng isang prism na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag na dayagonal ng prism. Ang isang prisma ay tinatawag na n-gonal kung ang mga base nito ay n-gons. Sa hinaharap, isasaalang-alang lamang natin ang mga prisma na ang mga base ay convex polygons. Ang ganitong mga prisma ay convex polyhedra. Ang Figure 6 ay nagpapakita ng isang pentagonal prism. Ang mga base nito ay mga pentagon. PERO 1 PERO 2 ...PERO 5 , PERO 1 ’ PERO" 2 ...PERO" 5 . XX"- isang segment ng linya na nag-uugnay sa mga kaukulang punto ng mga base. Mga lateral na gilid ng prism-segment PERO 1 PERO" 2 , PERO 1 PERO" 2 , ..., PERO 5 PERO" 5 . Mga gilid na mukha ng prisma - parallelograms PERO 1 PERO 2 PERO" 2 PERO 1 , PERO 2 PERO 3 PERO ’ 3 PERO" 2 , ... .

5. Ang imahe ng isang prisma at ang pagbuo ng mga seksyon nito

Alinsunod sa mga patakaran ng parallel projection, ang imahe ng isang prisma ay itinayo bilang mga sumusunod. Una, ang isa sa mga pundasyon ay itinayo R(Larawan 7). Ito ay magiging ilang flat polygon. Pagkatapos ay mula sa mga vertex ng polygon R ang mga lateral ribs ng prism ay iginuhit sa anyo ng mga parallel na mga segment ng pantay na haba. Ang mga dulo ng mga segment na ito ay konektado, at ang isa pang base ng prisma ay nakuha. Ang mga invisible na gilid ay iginuhit gamit ang mga putol-putol na linya. Ang mga seksyon ng prisma sa pamamagitan ng mga eroplano na kahanay sa mga gilid ng gilid ay parallelograms. Sa partikular, ang mga seksyon ng dayagonal ay mga paralelogram. Ito ay mga seksyon ng mga eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha (Larawan 8). Sa pagsasagawa, sa partikular, kapag nilulutas ang mga problema, madalas na kinakailangan upang bumuo ng isang seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na tuwid na linya g sa eroplano ng isa sa mga base ng prisma. Ang ganitong linya ay tinatawag susunod pagputol ng eroplano sa eroplano ng base. Upang makabuo ng isang seksyon ng isang prisma, sapat na upang bumuo ng mga segment ng intersection ng secant plane na may mga mukha ng prisma. Ipakita natin kung paano itinayo ang naturang seksyon kung alam ang anumang punto PERO sa ibabaw ng prisma na kabilang sa seksyon (Larawan 9). Kung ang puntong ito PERO ay kabilang sa isa pang base ng prisma, kung gayon ang intersection nito sa cutting plane ay isang segment araw, parallel sa wake g at naglalaman ng ibinigay na punto PERO(Larawan 9, a). Kung ang puntong ito PERO ay kabilang sa gilid na mukha, pagkatapos ay ang intersection ng mukha na ito sa cutting plane ay itinayo, tulad ng ipinapakita sa Figure 9, b. Namely: unang isang punto ay binuo D, kung saan ang eroplano ng mukha ay nagsalubong sa ibinigay na bakas g. Pagkatapos ay iguguhit ang isang linya sa pamamagitan ng mga puntos PERO at D. Segment ng linya Araw tuwid AD sa itinuturing na mukha ay ang intersection ng mukha na ito sa cutting plane. Kung ang mukha na naglalaman ng punto PERO, parallel sa bakas g, pagkatapos ang cutting plane ay bumalandra sa mukha na ito sa kahabaan ng segment araw, dumadaan sa isang punto PERO at kahanay ng linya g.

Natapos ang linya Araw nabibilang sa mga kalapit na mukha. Samakatuwid, sa inilarawan na paraan, posible na bumuo ng intersection ng mga mukha na ito sa aming cutting plane. At iba pa. Ipinapakita ng Figure 10 ang pagbuo ng isang seksyon ng isang quadrangular prism sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa isang tuwid na linya a sa eroplano ng ibabang base ng prisma at isang punto PERO sa isa sa mga tadyang sa gilid. 6. Tuwid na prisma Ang isang prisma ay tinatawag na tuwid kung ang mga gilid ng gilid nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag na pahilig. Para sa isang tuwid na prisma, ang mga gilid na mukha ay mga parihaba. Kapag naglalarawan ng isang tuwid na prisma sa pigura, ang mga tadyang sa gilid ay karaniwang iginuhit nang patayo (Larawan 11). Ang isang kanang prisma ay tinatawag na regular kung ang mga base nito ay mga regular na polygon. Ang lateral surface ng prism (mas tiyak, ang lugar ng lateral surface) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces. Ang kabuuang ibabaw ng prisma ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base. Teorama 19.1. Ang lateral surface ng isang tuwid na prism ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prism, ibig sabihin, ang haba ng lateral edge. Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang mga base ng mga parihaba na ito ay ang mga gilid ng polygon na nakahiga sa base ng prism, at ang mga taas ay katumbas ng haba ng mga gilid ng gilid. Ito ay sumusunod na ang lateral surface ng prism ay katumbas ng

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

saan a 1 ,..., a n- ang haba ng mga gilid ng base, R - ang perimeter ng base ng prisma, at 1 - haba ng tadyang sa gilid. Napatunayan na ang theorem. 7. Parallelepiped Kung ang base ng isang prism ay isang parallelogram, kung gayon ito ay tinatawag na parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa Figure 12, a, ipinapakita ang isang hilig na parallelepiped, at sa Figure 12, b - isang tuwid na parallelepiped. Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag na magkasalungat na mukha. TEOREM 19.2. Ang isang parallelepiped ay may magkasalungat na mga mukha na parallel at pantay. Patunay. Isaalang-alang ang ilang dalawang magkasalungat na mukha ng parallelepiped, halimbawa A1A2A"2A"1 at A3A4A"4A"3. (Larawan 13). Dahil ang lahat ng mga mukha ng parallelepiped ay parallelograms, ang linyang A1A2 ay parallel sa linyang A4A3, at ang linyang A1A"1 ay parallel sa linyang A4A4". Ito ay sumusunod mula dito na ang mga eroplano ng itinuturing na mga mukha ay parallel. Mula sa katotohanan na ang mga mukha ng parallelepiped ay parallelograms, sumusunod na ang mga segment na A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 at A2A3 ay magkatulad at magkapantay. Kaya't napagpasyahan namin na ang mukha A1A2A"2A"1 ay pinagsama ng isang parallel na pagsasalin sa gilid ng A1A4. may mukha A3A4A "4A" 3. Kaya ang mga gilid na ito ay pantay. Ang paralelismo at pagkakapantay-pantay ng anumang iba pang magkasalungat na mukha ng parallelepiped ay napatunayang katulad. Napatunayan na ang theorem.
8. Central symmetry ng parallelepiped Teorama 19.3. Ang mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati. Patunay. Isaalang-alang ang ilang dalawang diagonal ng parallelepiped, halimbawa, A 1 A "3 at A 4 A" 2 (Fig. 14). Dahil ang quadrangles A 1 A 2 A 3 A 4 at A 2 A "2 A" 3 A 3 ay parallelograms na may isang karaniwang side A 2 A 3, kung gayon ang kanilang mga gilid A 1 A 4 at A "2 A" 3 ay parallel sa isa't isa, ibig sabihin ay nasa iisang eroplano sila. Ang eroplanong ito ay nag-intersect sa mga eroplano ng magkasalungat na mukha ng parallelepiped kasama ang mga parallel na linya A 1 A" 2 at A 4 A" 3 . Samakatuwid, ang quadrilateral A 4 A 1 A "2 A" 3 ay isang paralelogram. Ang mga dayagonal ng parallelepiped A 1 A "3 at A 4 A" 2 ay ang mga dayagonal ng parallelogram na ito. Samakatuwid, sila ay bumalandra at ang intersection point O ay nahahati sa kalahati. Sa katulad na paraan, napatunayan na ang mga dayagonal na A1A"3 at A2A"4, pati na rin ang mga dayagonal na A1A"3 at A3A"1 ay nagsalubong at nahahati ng intersection point. Kaya't napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na diagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati. Napatunayan na ang theorem. Ang Theorem 19.3 ay nagpapahiwatig na ang punto ng intersection ng mga diagonal ng parallelepiped ay ang sentro ng simetrya nito. 9. Parihabang kahon Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag na isang parihabang parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang cuboid ay parihaba. Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag na isang kubo. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang parihabang parallelepiped ay tinatawag na mga linear na sukat nito (mga sukat). Ang isang cuboid ay may tatlong sukat. Teorama 19.4. Sa isang cuboid, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito. Patunay. Isaalang-alang ang isang parihabang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Larawan 15). Mula sa kanang tatsulok na AC "C, ayon sa Pythagorean theorem, nakukuha natin:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Mula sa kanang tatsulok na ASV, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakuha namin

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Samakatuwid AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Ang mga gilid AB, BC at CC" ay hindi parallel, at, samakatuwid, ang kanilang mga haba ay ang mga linear na sukat ng parallelepiped. Napatunayan ang theorem. 10. Symmetry ng isang parihabang parallelepiped Ang isang hugis-parihaba na parallelepiped, tulad ng anumang parallelepiped, ay may sentro ng simetrya - ang punto ng intersection ng mga diagonal nito. Mayroon din itong tatlong eroplano ng simetrya na dumadaan sa gitna ng simetriya na kahanay sa mga mukha. Ipinapakita ng Figure 16 ang isa sa mga eroplanong ito. Dumadaan ito sa mga midpoint ng apat na parallel na gilid ng parallelepiped. Ang mga dulo ng mga gilid ay simetriko na mga punto. Kung ang isang parallelepiped ay may iba't ibang mga linear na dimensyon, kung gayon wala itong ibang mga eroplano ng simetrya maliban sa mga pinangalanan. Kung ang parallelepiped ay may dalawang linear na dimensyon na pantay, kung gayon mayroon itong dalawa pang eroplano ng simetrya. Ito ang mga eroplano ng mga diagonal na seksyon na ipinapakita sa Figure 17. Kung ang isang parallelepiped ay ang lahat ng mga linear na sukat ay pantay, iyon ay, ito ay isang kubo, kung gayon ang eroplano ng anumang diagonal na seksyon ay isang eroplano ng simetrya. Kaya, ang kubo ay may siyam na eroplano ng simetrya. 11. Pyramid Pyramid tinatawag na polyhedron, na binubuo ng isang flat polygon - mga base ng pyramid, point na hindi nakahiga sa eroplano ng base, - tuktok ng pyramid at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa tuktok ng pyramid na may mga punto ng base (Larawan 18). Ang mga segment na nagkokonekta sa tuktok ng pyramid sa mga tuktok ng base ay tinatawag gilid tadyang. Ang ibabaw ng pyramid ay binubuo ng isang base at gilid na mukha. Ang bawat gilid ng mukha ay isang tatsulok. Ang isa sa mga vertice nito ay ang tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran ay ang gilid ng base ng pyramid. taas ng pyramid, tinatawag na patayo na bumaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Ang isang pyramid ay tinatawag na n-gonal kung ang base nito ay isang n-gon. Tinatawag din ang triangular pyramid tetrahedron. Ang pyramid na ipinapakita sa Figure 18 ay may base - isang polygon A 1 A 2 ... A n, ang tuktok ng pyramid - S, gilid gilid - SA 1, S A 2, ..., S A n, side faces -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3 , ... . Sa mga sumusunod, isasaalang-alang lamang natin ang mga pyramids na may matambok na polygon sa base. Ang ganitong mga pyramids ay convex polyhedra. 12. Konstruksyon ng isang pyramid at ang mga seksyon ng eroplano nito Alinsunod sa mga patakaran ng parallel projection, ang imahe ng pyramid ay itinayo bilang mga sumusunod. Una, ang pundasyon ay itinayo. Ito ay magiging ilang flat polygon. Pagkatapos ay minarkahan ang tuktok ng pyramid, na konektado sa pamamagitan ng mga lateral ribs sa mga tuktok ng base. Ang Figure 18 ay nagpapakita ng isang imahe ng isang pentagonal pyramid. Ang mga seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng mga eroplano na dumadaan sa tuktok nito ay mga tatsulok (Larawan 19). Sa partikular, ang mga seksyon ng dayagonal ay mga tatsulok. Ito ay mga seksyon ng mga eroplano na dumadaan sa dalawang hindi magkatabing gilid ng pyramid (Larawan 20). Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na may ibinigay na bakas g sa eroplano ng base ay itinayo sa parehong paraan tulad ng seksyon ng isang prisma. Upang makagawa ng isang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano, ito ay sapat na upang bumuo ng mga intersection ng mga gilid na mukha nito sa cutting plane. Kung sa isang mukha na hindi parallel sa trace g, ang ilang punto A ay kilala na kabilang sa seksyon, pagkatapos ay ang intersection ng trace g ng cutting plane na may eroplano ng mukha na ito ay unang itinayo - point D sa Figure 21. Point D ay konektado sa point A sa pamamagitan ng isang tuwid na linya. Pagkatapos ang segment ng linyang ito na kabilang sa mukha ay ang intersection ng mukha na ito sa cutting plane. Kung ang punto A ay namamalagi sa isang mukha na kahanay sa bakas na g, pagkatapos ay ang secant plane ay bumalandra sa mukha na ito kasama ang isang segment na kahanay ng linya g. Pagpunta sa katabing bahagi ng mukha, itinatayo nila ang intersection nito sa cutting plane, atbp. Bilang resulta, ang kinakailangang seksyon ng pyramid ay nakuha.
Ipinapakita ng Figure 22 ang isang seksyon ng quadrangular pyramid sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa gilid ng base at point A sa isa sa mga gilid na gilid nito.

13. Pinutol na pyramid Teorama 19.5. Ang isang eroplano na nagsa-intersect sa isang pyramid at kahanay sa base nito ay pumutol sa isang katulad na pyramid. Patunay. Hayaang S ang vertex ng pyramid, A ang vertex ng base, at A "- ang punto ng intersection ng secant plane na may lateral edge SA (Fig. 23). Isinasailalim namin ang pyramid sa isang homothety transformation na may paggalang sa ang vertex S na may homothety coefficient

Sa homothety na ito, ang eroplano ng base ay dumadaan sa isang parallel plane na dumadaan sa puntong A ", ibig sabihin, sa cutting plane, at, dahil dito, ang buong pyramid sa bahagi na pinutol ng eroplanong ito. Dahil ang homothety ay isang pagkakatulad pagbabagong-anyo, ang cut-off na bahagi ng pyramid ay isang pyramid, katulad ng isang ito, ang teorama ay napatunayan.

Sa pamamagitan ng Theorem 19.5, ang isang eroplanong parallel sa base plane ng isang pyramid at ang intersecting sa mga gilid nito ay pumutol sa isang katulad na pyramid mula dito. Ang iba pang bahagi ay isang polyhedron, na tinatawag na pinutol na pyramid (Larawan 24). Ang mga mukha ng isang pinutol na pyramid na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano ay tinatawag na mga base; ang iba pang mga mukha ay tinatawag gilid gilid. Ang mga base ng pinutol na pyramid ay magkatulad (bukod dito, homothetic) na mga polygon, ang mga gilid na mukha ay trapezoid. 14. Tamang pyramid Ang isang pyramid ay tinatawag na regular kung ang base nito ay isang regular na polygon, at ang base ng taas ay tumutugma sa gitna ng polygon na ito. Ang axis ng isang regular na pyramid ay isang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito. Malinaw, ang mga gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay; samakatuwid, ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag na apothem. Ang lateral surface ng isang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces nito. TEOREM 19.6. Ang lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng semi-perimeter ng base at ng apothem. Patunay. Kung ang base side a, bilang ng mga panig P, kung gayon ang lateral surface ng pyramid ay katumbas ng:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

saan ako- apothem, a p- perimeter ng base ng pyramid. Napatunayan na ang theorem. Ang pinutol na pyramid, na nakuha mula sa isang regular na pyramid, ay tinatawag din tama. Ang mga lateral na mukha ng isang regular na pinutol na pyramid ay pantay na isosceles trapezoids; ang mga taas nila ay tinatawag mga apothems. 15. Regular na polyhedra Ang convex polyhedron ay tinatawag na regular kung ang mga mukha nito ay mga regular na polygon na may parehong bilang ng mga gilid at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex ng polyhedron.) Mayroong limang uri ng regular na convex polyhedra (Fig. 25): regular tetrahedron (1), cube (2), octahedron (3), dodecahedron (4); icosahedron (5). Ang isang regular na tetrahedron ay may mga mukha na regular na tatsulok; tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex. Ang tetrahedron ay isang tatsulok na pyramid na ang lahat ng mga gilid ay pantay. Sa isang kubo, ang lahat ng mga mukha ay mga parisukat; tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex. Ang kubo ay isang parihabang parallelepiped na may pantay na mga gilid. Ang mga mukha ng octahedron ay regular na mga tatsulok, ngunit hindi katulad ng tetrahedron, apat na gilid ang nagtatagpo sa bawat vertice nito. Ang mga mukha ng dodecahedron ay regular na mga pentagons. Tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex. Ang mga mukha ng icosahedron ay mga regular na tatsulok, ngunit hindi katulad ng tetrahedron at octahedron, limang gilid ang nagtatagpo sa bawat tuktok.

III. Praktikal na bahagi.

Gawain 1. Mula sa mga puntong A at B na nakahiga sa mga mukha ng dihedral na anggulo, ang mga perpendicular AA\ at BB\ ay ibinabagsak sa gilid ng anggulo. Hanapin ang haba ng segment AB kung AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c at ang dihedral angle ay a (Fig. 26). Desisyon. Gumuhit ng mga linya A 1 C||BB 1 at BC||A 1 B 1 . Ang quadrilateral A 1 B 1 BC ay isang parallelogram, na nangangahulugang AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. Ang linya A 1 B 1 ay patayo sa eroplano ng tatsulok na AA 1 C, dahil ito ay patayo sa dalawang linya sa eroplanong ito AA 1 at CA 1. Samakatuwid, ang linyang BC na kahanay nito ay patayo din sa eroplanong ito. Nangangahulugan ito na ang tatsulok na ABC ay right-angled na may tamang anggulo C. Ayon sa cosine theorem, AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . Ayon sa Pythagorean theorem, AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Gawain 2. Ang isang trihedral na anggulo (abc) ay may dihedral na anggulo sa isang gilid na may tuwid na linya, isang dihedral angle sa isang gilid b ay katumbas ng , at isang flat angle (bс) ay katumbas ng  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Desisyon. Ilabas natin mula sa isang arbitrary point A ang gilid a, ang patayo AB sa gilid b at ang patayo AC sa gilid c (Fig. 27). Ayon sa tatlong perpendicular theorem, ang CB ay ang patayo sa gilid b. Mula sa right-angled triangles OAB, OSV, AOC at ABC nakukuha natin ang: BC/sin )=tg  sin  Gawain 3. Sa isang hilig na prisma, ang isang seksyon ay iginuhit na patayo sa mga tadyang sa gilid at nagsa-intersect sa lahat ng mga tadyang sa gilid. Hanapin ang gilid na ibabaw ng prisma kung ang perimeter ng seksyon ay p at ang mga gilid ng gilid ay l. Desisyon. Ang eroplano ng seksyon na iginuhit ay naghahati sa prisma sa dalawang bahagi (Larawan 28). Ipasailalim natin ang isa sa kanila sa isang parallel na pagsasalin na pinagsasama ang mga base ng prisma. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang tuwid na prisma, kung saan ang seksyon ng orihinal na prisma ay nagsisilbing base, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l. Ang prisma na ito ay may parehong gilid na ibabaw gaya ng orihinal. Kaya, ang gilid na ibabaw ng orihinal na prisma ay katumbas ng pl. Gawain 4. Ang lateral edge ng pyramid ay nahahati sa apat na pantay na bahagi at ang mga eroplanong parallel sa base ay iginuhit sa pamamagitan ng mga division point. Ang base area ay 400 cm2. Hanapin ang lugar ng mga seksyon. Desisyon. Ang mga seksyon ay parang base ng isang pyramid na may pagkakatulad na coefficient na ¼, 2/4, at ¾. Ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay nauugnay bilang mga parisukat ng mga linear na sukat. Samakatuwid, ang ratio ng mga cross-sectional na lugar sa lugar ng base ng pyramid ay (¼) 2, (2/4) 2, at (¾) 2. Samakatuwid, ang mga cross-sectional na lugar ay 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Gawain 5. Patunayan na ang lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base at ang apothem. Desisyon. Ang mga gilid na mukha ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezium na may parehong itaas na base a, lower b at taas (apothem) l. Samakatuwid, ang lugar ng isang mukha ay katumbas ng ½ (a + b)l. Ang lugar ng lahat ng mga mukha, i.e., ang gilid na ibabaw, ay katumbas ng ½ (an + bn)l, kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices sa base ng pyramid, at ang bn ay ang mga perimeter ng mga base ng pyramid.

IV. Konklusyon

Salamat sa gawaing ito, naisa-isa ko at naisa-isa ang kaalamang natamo sa kurso ng pag-aaral sa ika-11 baitang, nakilala ko ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng malikhaing gawain, nakakuha ng bagong kaalaman at isinasabuhay. Gusto kong ituro ang 3 sa aking mga paboritong libro: A.V. Pogorelov "Geometry", G. Yakusheva "Mathematics - reference book ng isang mag-aaral", L.F. Pichurin "Sa likod ng mga pahina ng isang geometry textbook". Ang mga aklat na ito ay nakatulong sa akin nang higit kaysa sa iba. Gusto kong gamitin ang aking bagong kaalaman sa pagsasanay nang mas madalas.

V. Panitikan

1. A.V. Pogorelov Geometry. - M .: Edukasyon, 1992 2. G. Yakusheva "Matematika - gabay ng isang mag-aaral." M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev "Course of Mathematical Analysis" v.1, Moscow 1981 4. L.F. Pichurin "Sa likod ng mga pahina ng isang geometry textbook". - M .: Edukasyon, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometry".