Sa nakaraang seksyon, na nakatuon sa pagsusuri ng geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral, nakuha namin ang isang bilang ng mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x para sa tuluy-tuloy at hindi-negatibong function y = f (x) sa segment [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para sa tuluy-tuloy at hindi positibong function y = f (x) sa segment [ a ; b] .

Ang mga formula na ito ay naaangkop para sa paglutas ng medyo simpleng mga problema. Sa katunayan, madalas na kailangan nating gumawa ng mas kumplikadong mga hugis. Kaugnay nito, ilalaan namin ang seksyong ito sa pagsusuri ng mga algorithm para sa pagkalkula ng lugar ng mga numero na limitado ng mga function sa isang tahasang anyo, i.e. tulad ng y = f(x) o x = g(y) .

Teorama

Hayaang tukuyin at tuluy-tuloy ang mga function na y = f 1 (x) at y = f 2 (x) sa segment [ a ; b ] , at f 1 (x) ≤ f 2 (x) para sa anumang value x mula sa [ a ; b] . Pagkatapos ay ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang figure na Gbound ng mga linya x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) at y \u003d f 2 (x) ay magiging katulad ng S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Ang isang katulad na pormula ay malalapat para sa lugar ng figure na nalilimitahan ng mga linya y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) at x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Patunay

Susuriin namin ang tatlong kaso kung saan magiging wasto ang formula.

Sa unang kaso, isinasaalang-alang ang pag-aari ng additivity ng lugar, ang kabuuan ng mga lugar ng orihinal na figure G at ang curvilinear trapezoid G 1 ay katumbas ng lugar ng figure G 2 . Ibig sabihin nito ay

Samakatuwid, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Magagawa natin ang huling transition gamit ang ikatlong property ng definite integral.

Sa pangalawang kaso, totoo ang pagkakapantay-pantay: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ang graphic na ilustrasyon ay magiging ganito:

Kung ang parehong mga function ay hindi positibo, makakakuha tayo ng: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ang graphic na ilustrasyon ay magiging ganito:

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang ng pangkalahatang kaso kapag ang y = f 1 (x) at y = f 2 (x) ay nag-intersect sa axis O x .

Ipatukoy natin ang mga intersection point bilang x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Ang mga puntong ito ay sumisira sa segment [ a ; b ] sa n bahagi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , kung saan α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Kaya naman,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Magagawa natin ang huling paglipat gamit ang ikalimang katangian ng tiyak na integral.

Ilarawan natin ang pangkalahatang kaso sa graph.

Ang formula na S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ay maaaring ituring na napatunayan.

At ngayon ay lumipat tayo sa pagsusuri ng mga halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng mga figure na limitado ng mga linya y \u003d f (x) at x \u003d g (y) .

Isinasaalang-alang ang alinman sa mga halimbawa, magsisimula tayo sa pagbuo ng isang graph. Ang larawan ay magbibigay-daan sa amin na kumatawan sa mga kumplikadong hugis bilang mga kumbinasyon ng mas simpleng mga hugis. Kung nagkakaproblema ka sa pag-plot ng mga graph at figure sa mga ito, maaari mong pag-aralan ang seksyon sa mga basic elementary function, geometric transformation ng mga graph ng mga function, pati na rin ang pag-plot habang sinusuri ang isang function.

Halimbawa 1

Kinakailangan upang matukoy ang lugar ng figure, na limitado ng parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 at mga tuwid na linya y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Desisyon

I-plot natin ang mga linya sa graph sa Cartesian coordinate system.

Sa pagitan [1; 4] ang graph ng parabola y = - x 2 + 6 x - 5 ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya y = - 1 3 x - 1 2 . Kaugnay nito, upang makakuha ng sagot, ginagamit namin ang formula na nakuha nang mas maaga, pati na rin ang paraan para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang Newton-Leibniz formula:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Sagot: S (G) = 13

Tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng figure, na nililimitahan ng mga linya y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Desisyon

Sa kasong ito, mayroon lamang tayong isang tuwid na linya na kahanay sa x-axis. Ito ay x = 7 . Ito ay nangangailangan sa amin upang mahanap ang pangalawang limitasyon ng pagsasama sa ating sarili.

Bumuo tayo ng isang graph at ilagay dito ang mga linyang ibinigay sa kondisyon ng problema.

Ang pagkakaroon ng isang graph sa harap ng ating mga mata, madali nating matukoy na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay ang abscissa ng intersection point ng graph na may isang tuwid na linya y \u003d x at isang semi-parabola y \u003d x + 2. Upang mahanap ang abscissa, ginagamit namin ang mga pagkakapantay-pantay:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Lumalabas na ang abscissa ng intersection point ay x = 2.

Iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na sa pangkalahatang halimbawa sa pagguhit, ang mga linyang y = x + 2 , y = x ay nagsalubong sa punto (2 ; 2) , kaya ang mga detalyadong kalkulasyon ay maaaring mukhang kalabisan. Nagbigay kami ng ganoong detalyadong solusyon dito lamang dahil sa mas kumplikadong mga kaso ang solusyon ay maaaring hindi masyadong halata. Nangangahulugan ito na mas mahusay na palaging kalkulahin ang mga coordinate ng intersection ng mga linya nang analytically.

Sa pagitan [2; 7 ] ang graph ng function na y = x ay matatagpuan sa itaas ng graph ng function na y = x + 2 . Ilapat ang formula upang kalkulahin ang lugar:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Sagot: S (G) = 59 6

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng figure, na limitado ng mga graph ng mga function y \u003d 1 x at y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Desisyon

Gumuhit tayo ng mga linya sa graph.

Tukuyin natin ang mga limitasyon ng pagsasama. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya sa pamamagitan ng equating ang mga expression 1 x at - x 2 + 4 x - 2 . Sa kondisyon na ang x ay hindi katumbas ng zero, ang equality 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ay magiging katumbas ng equation ng ikatlong degree - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 na may mga integer coefficients . Maaari mong i-refresh ang memorya ng algorithm para sa paglutas ng mga naturang equation sa pamamagitan ng pagsangguni sa seksyong "Solusyon ng mga cubic equation".

Ang ugat ng equation na ito ay x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Hinahati ang expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ng binomial x - 1, makuha natin ang: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Mahahanap natin ang natitirang mga ugat mula sa equation x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Nakakita kami ng pagitan x ∈ 1; 3 + 13 2 , kung saan ang G ay nakapaloob sa itaas ng asul na linya at sa ibaba ng pulang linya. Nakakatulong ito sa amin na matukoy ang lugar ng hugis:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Sagot: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Halimbawa 4

Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng figure, na limitado ng mga curve y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 at ang x-axis.

Desisyon

Ilagay natin ang lahat ng linya sa graph. Makukuha natin ang graph ng function na y = - log 2 x + 1 mula sa graph y = log 2 x kung ilalagay natin ito nang simetriko tungkol sa x-axis at pataasin ito ng isang yunit. Ang equation ng x-axis y \u003d 0.

Tukuyin natin ang mga punto ng intersection ng mga linya.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang mga graph ng mga function y \u003d x 3 at y \u003d 0 ay nagsalubong sa punto (0; 0) . Ito ay dahil ang x \u003d 0 ay ang tanging tunay na ugat ng equation x 3 \u003d 0.

Ang x = 2 ay ang tanging ugat ng equation - log 2 x + 1 = 0 , kaya ang mga graph ng mga function na y = - log 2 x + 1 at y = 0 ay nagsalubong sa punto (2 ; 0) .

x = 1 ay ang tanging ugat ng equation x 3 = - log 2 x + 1 . Sa pagsasaalang-alang na ito, ang mga graph ng mga function y \u003d x 3 at y \u003d - log 2 x + 1 ay bumalandra sa punto (1; 1) . Ang huling pahayag ay maaaring hindi halata, ngunit ang equation x 3 \u003d - log 2 x + 1 ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat, dahil ang function na y \u003d x 3 ay mahigpit na tumataas, at ang function na y \u003d - log 2 x Ang + 1 ay mahigpit na bumababa.

Ang susunod na hakbang ay nagsasangkot ng ilang mga pagpipilian.

Opsyon numero 1

Maaari nating katawanin ang figure G bilang kabuuan ng dalawang curvilinear trapezoid na matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, ang una ay matatagpuan sa ibaba ng midline sa segment x ∈ 0; 1 , at ang pangalawa ay nasa ibaba ng pulang linya sa segment x ∈ 1 ; 2. Nangangahulugan ito na ang lugar ay magiging katumbas ng S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsyon numero 2

Ang figure G ay maaaring katawanin bilang pagkakaiba ng dalawang figure, ang una ay matatagpuan sa itaas ng x-axis at sa ibaba ng asul na linya sa segment x ∈ 0; 2 , at ang pangalawa ay nasa pagitan ng pula at asul na linya sa segment x ∈ 1 ; 2. Nagbibigay-daan ito sa amin na mahanap ang lugar tulad nito:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Sa kasong ito, upang mahanap ang lugar, kakailanganin mong gumamit ng formula ng form S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Sa katunayan, ang mga linyang nakagapos sa hugis ay maaaring katawanin bilang mga function ng y argument.

Lutasin natin ang mga equation na y = x 3 at - log 2 x + 1 na may paggalang sa x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Nakukuha namin ang kinakailangang lugar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Sagot: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Halimbawa 5

Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng figure, na limitado ng mga linya y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Desisyon

Gumuhit ng linya sa tsart na may pulang linya, na ibinigay ng function na y = x . Iguhit ang linyang y = - 1 2 x + 4 sa asul, at markahan ang linyang y = 2 3 x - 3 sa itim.

Tandaan ang mga intersection point.

Hanapin ang mga intersection point ng mga graph ng mga function y = x at y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i ang solusyon sa equation x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ang solusyon sa equation ⇒ (4 ; 2) punto ng intersection i y = x at y = - 1 2 x + 4

Hanapin ang intersection point ng mga graph ng mga function y = x at y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Suriin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 ang solusyon sa equation ⇒ (9; 3) point at intersection y = x at y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ay hindi solusyon sa equation

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linyang y = - 1 2 x + 4 at y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punto ng intersection y = - 1 2 x + 4 at y = 2 3 x - 3

Paraan numero 1

Kinakatawan namin ang lugar ng nais na figure bilang kabuuan ng mga lugar ng mga indibidwal na figure.

Kung gayon ang lugar ng figure ay:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Paraan numero 2

Ang lugar ng orihinal na figure ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng iba pang dalawang figure.

Pagkatapos ay lutasin namin ang equation ng linya para sa x, at pagkatapos lamang nito ay inilalapat namin ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng figure.

y = x ⇒ x = y 2 pulang linya y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 itim na linya y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Kaya ang lugar ay:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Tulad ng nakikita mo, tumutugma ang mga halaga.

Sagot: S (G) = 11 3

Mga resulta

Upang mahanap ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga ibinigay na linya, kailangan nating gumuhit ng mga linya sa isang eroplano, hanapin ang kanilang mga intersection point, at ilapat ang formula para sa paghahanap ng lugar. Sa seksyong ito, sinuri namin ang mga pinakakaraniwang opsyon para sa mga gawain.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure

Bumaling tayo ngayon sa pagsasaalang-alang ng mga aplikasyon ng integral calculus. Sa araling ito, susuriin natin ang isang tipikal at pinakakaraniwang gawain. Paano gumamit ng isang tiyak na integral upang makalkula ang lugar ng isang figure ng eroplano. Sa wakas, ang mga naghahanap ng kahulugan sa mas mataas na matematika - nawa'y mahanap nila ito. Hindi mo malalaman. Sa totoong buhay, kakailanganin mong tantiyahin ang isang cottage ng tag-init na may mga elementarya na pag-andar at hanapin ang lugar nito gamit ang isang tiyak na integral.

Upang matagumpay na makabisado ang materyal, dapat mong:

1) Unawain ang hindi tiyak na integral kahit man lang sa isang intermediate na antas. Kaya, dapat basahin muna ng mga dummies ang aralin Hindi.

2) Magagawang ilapat ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Maaari kang magtatag ng mainit na pakikipagkaibigan sa ilang mga integral sa pahina Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Sa katunayan, upang mahanap ang lugar ng isang figure, hindi mo kailangan ng napakaraming kaalaman sa hindi tiyak at tiyak na integral. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, kaya ang iyong kaalaman at kasanayan sa pagguhit ay magiging isang mas may-katuturang isyu. Kaugnay nito, kapaki-pakinabang na i-refresh ang memorya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, at, sa pinakamababa, upang makabuo ng isang tuwid na linya, isang parabola at isang hyperbola. Magagawa ito (maraming nangangailangan nito) sa tulong ng metodolohikal na materyal at isang artikulo sa mga geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph.

Sa totoo lang, pamilyar ang lahat sa problema ng paghahanap ng lugar gamit ang isang tiyak na integral mula noong paaralan, at mauuna tayo ng kaunti sa kurikulum ng paaralan. Ang artikulong ito ay maaaring wala sa lahat, ngunit ang katotohanan ay ang problema ay nangyayari sa 99 na mga kaso sa 100, kapag ang isang mag-aaral ay pinahihirapan ng isang kinasusuklaman na tore na may sigasig na makabisado ang isang kurso sa mas mataas na matematika.

Ang mga materyales ng workshop na ito ay ipinakita nang simple, detalyado at may kaunting teorya.

Magsimula tayo sa isang curvilinear trapezoid.

Curvilinear trapezoid tinatawag na flat figure na nililimitahan ng axis , straight lines , at ang graph ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na hindi nagbabago ng sign sa interval na ito. Hayaang matatagpuan ang figure na ito hindi mas mababa abscissa:

Pagkatapos ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral. Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa aralin Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon Sinabi ko na ang isang tiyak na integral ay isang numero. At ngayon ay oras na upang magpahayag ng isa pang kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay ang AREA.

I.e, ang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang figure. Halimbawa, isaalang-alang ang tiyak na integral . Ang integrand ay tumutukoy sa isang curve sa eroplano na matatagpuan sa itaas ng axis (ang mga nais ay maaaring kumpletuhin ang pagguhit), at ang tiyak na integral mismo ay numerically katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Halimbawa 1

Ito ay isang tipikal na pahayag ng gawain. Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na binuo TAMA.

Kapag gumagawa ng blueprint, inirerekomenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga linya (kung mayroon man) at lamang pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ang mga function graph ay mas kumikita sa pagbuo punto sa punto, na may pamamaraan ng pointwise construction ay matatagpuan sa reference na materyal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Doon ay makakahanap ka rin ng materyal na lubhang kapaki-pakinabang na may kaugnayan sa aming aralin - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.

Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Gumawa tayo ng isang pagguhit (tandaan na ang equation ay tumutukoy sa axis):

I will not hatch a curvilinear trapezoid, obvious naman kung anong area ang pinag-uusapan dito. Ang solusyon ay nagpapatuloy tulad nito:

Sa segment, matatagpuan ang graph ng function sa ibabaw ng axis, Kaya naman:

Sagot:

Sino ang nahihirapan sa pagkalkula ng tiyak na integral at paglalapat ng Newton-Leibniz formula , sumangguni sa panayam Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at malaman kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , at ang axis

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe?

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya at coordinate axes.

Desisyon: Gumawa tayo ng drawing:

Kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe(o hindi bababa sa hindi mas mataas ibinigay na axis), kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Sa kasong ito:

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan, lumipat kami sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, .

Desisyon: Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng parabola at ng linya. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Samakatuwid, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama, ang itaas na limitasyon ng pagsasama.
Pinakamabuting huwag gamitin ang pamamaraang ito kung maaari..

Ito ay mas kumikita at mas mabilis na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Ang point-by-point construction technique para sa iba't ibang chart ay tinalakay nang detalyado sa tulong Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At isasaalang-alang din natin ang gayong halimbawa.

Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gumawa tayo ng pagguhit:

Inuulit ko na sa pointwise construction, ang mga limitasyon ng pagsasama ay madalas na nalaman "awtomatikong".

At ngayon ang gumaganang formula: Kung mayroong ilang tuluy-tuloy na paggana sa pagitan mas malaki kaysa o katumbas ilang tuluy-tuloy na pag-andar, pagkatapos ay ang lugar ng figure na nalilimitahan ng mga graph ng mga function na ito at mga tuwid na linya, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Dito hindi na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, at, halos nagsasalita, mahalaga kung aling tsart ang nasa ITAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.
Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid sa lower half-plane (tingnan ang simpleng halimbawa No. 3) ay isang espesyal na kaso ng formula . Dahil ang axis ay ibinibigay ng equation , at ang graph ng function ay matatagpuan hindi mas mataas axes, kung gayon

At ngayon isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang desisyon

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Hanapin ang lugar ng figure na nakapaloob sa pamamagitan ng mga linya, .

Sa kurso ng paglutas ng mga problema para sa pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, minsan ang isang nakakatawang insidente ay nangyayari. Ang pagguhit ay ginawa nang tama, ang mga kalkulasyon ay tama, ngunit dahil sa kawalan ng pansin ... natagpuan ang lugar ng maling figure, iyan ang ilang beses na nakipagkulitan ang masunurin mong lingkod. Narito ang isang totoong kaso sa buhay:

Halimbawa 7

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , , .

Desisyon: Mag drawing muna tayo:

…Eh, ang pagguhit ay lumabas, ngunit ang lahat ay tila nababasa.

Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul.(maingat na tingnan ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, ang isang "glitch" ay madalas na nangyayari, na kailangan mong hanapin ang lugar ng figure na may kulay na berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din na sa loob nito ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang dalawang tiyak na integral. Talaga:

1) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph na tuwid na linya;

2) Sa segment sa itaas ng axis ay isang hyperbola graph.

Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:

Sagot:

Lumipat tayo sa isa pang makabuluhang gawain.

Halimbawa 8

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya,
Ipakita natin ang mga equation sa isang form na "paaralan", at magsagawa ng point-by-point drawing:

Makikita sa drawing na ang ating upper limit ay “good”: .
Ngunit ano ang mas mababang limitasyon? Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano? Maaaring ? Ngunit nasaan ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa nang may perpektong katumpakan, maaari itong lumabas. O ugat. Paano kung hindi namin nakuha ang graph nang tama?

Sa ganitong mga kaso, ang isa ay kailangang gumugol ng karagdagang oras at pinuhin ang mga limitasyon ng pagsasama nang analytical.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng linya at ng parabola.
Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:


,

Talaga, .

Ang karagdagang solusyon ay walang halaga, ang pangunahing bagay ay hindi malito sa mga pamalit at palatandaan, ang mga kalkulasyon dito ay hindi ang pinakamadali.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Buweno, sa pagtatapos ng aralin, isasaalang-alang natin ang dalawang gawain na mas mahirap.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , ,

Desisyon: Iguhit ang figure na ito sa drawing.

Damn, I forgot to sign the schedule, and redoing the picture, sorry, not hotz. Hindi drawing, in short, today is the day =)

Para sa point-by-point construction, kinakailangang malaman ang hitsura ng sinusoid (at sa pangkalahatan ito ay kapaki-pakinabang na malaman mga graph ng lahat ng elementarya function), pati na rin ang ilang mga halaga ng sine, makikita ang mga ito sa trigonometriko talahanayan. Sa ilang mga kaso (tulad ng sa kasong ito), pinapayagan na bumuo ng isang eskematiko na pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na maipakita nang tama sa prinsipyo.

Walang mga problema sa mga limitasyon ng pagsasama dito, sinusundan nila nang direkta mula sa kundisyon: - Ang "x" ay nagbabago mula sa zero hanggang "pi". Gumawa kami ng karagdagang desisyon:

Sa segment, ang graph ng function ay matatagpuan sa itaas ng axis, samakatuwid:

Pagkalkula ng lugar ng isang figure Ito marahil ang isa sa pinakamahirap na problema sa teorya ng lugar. Sa geometry ng paaralan, tinuturuan silang hanapin ang mga lugar ng mga pangunahing geometric na hugis tulad ng, halimbawa, isang tatsulok, isang rhombus, isang parihaba, isang trapezoid, isang bilog, atbp. Gayunpaman, ang isa ay madalas na kailangang harapin ang pagkalkula ng mga lugar ng mas kumplikadong mga numero. Ito ay sa paglutas ng mga naturang problema na ito ay napaka-maginhawa upang gamitin ang integral calculus.

Kahulugan.

Curvilinear trapezoid ang ilang figure G ay tinatawag, na nililimitahan ng mga linya y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a at x \u003d b, at ang function na f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [a; b] at hindi nagbabago ang tanda nito (Larawan 1). Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay maaaring tukuyin ng S(G).

Ang tiyak na integral ʃ a b f(x)dx para sa function na f(x), na tuluy-tuloy at hindi negatibo sa segment [a; b], at ang lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Iyon ay, upang mahanap ang lugar ng figure G, na hangganan ng mga linya y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a at x \u003d b, kinakailangan upang kalkulahin ang tiyak na integral ʃ a b f (x) dx.

kaya, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Kung ang function na y = f(x) ay hindi positibo sa [a; b], kung gayon ang lugar ng curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang lugar ng figure na hangganan ng mga linya y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Desisyon.

Ang mga ibinigay na linya ay bumubuo ng figure na ABC, na ipinapakita sa pamamagitan ng pagpisa sa kanin. 2.

Ang nais na lugar ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng curvilinear trapezoid DACE at ang square DABE.

Gamit ang formula na S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), makikita natin ang mga limitasyon ng pagsasama. Upang gawin ito, malulutas namin ang isang sistema ng dalawang equation:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Kaya, mayroon kaming x 1 \u003d 1 - ang mas mababang limitasyon at x \u003d 2 - ang pinakamataas na limitasyon.

Kaya, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (mga parisukat na yunit).

Sagot: 11/4 sq. mga yunit

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Desisyon.

Ang mga ibinigay na linya ay bumubuo ng figure na ABC, na nililimitahan mula sa itaas ng graph ng function

y \u003d √x, at mula sa ibaba ng graph ng function na y \u003d 2. Ang resultang figure ay ipinapakita sa pamamagitan ng pagpisa sa kanin. 3.

Ang gustong lugar ay katumbas ng S = ʃ a b (√x - 2). Hanapin natin ang mga limitasyon ng pagsasama: b = 9, upang mahanap ang a, lutasin natin ang sistema ng dalawang equation:

(y = √x,
(y = 2.

Kaya, mayroon tayong x = 4 = a ay ang mas mababang limitasyon.

Kaya, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (mga parisukat na yunit).

Sagot: S = 2 2/3 sq. mga yunit

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng figure na hangganan ng mga linya y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Desisyon.

I-plot natin ang function na y \u003d x 3 - 4x para sa x ≥ 0. Upang gawin ito, hanapin natin ang derivative na y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 sa х = ±2/√3 ≈ 1.1 ay mga kritikal na puntos.

Kung iguguhit natin ang mga kritikal na punto sa totoong axis at ilalagay ang mga senyales ng derivative, makukuha natin na ang function ay bumababa mula zero hanggang 2/√3 at tumataas mula 2/√3 hanggang plus infinity. Kung gayon ang x = 2/√3 ay ang pinakamababang punto, ang pinakamababang halaga ng function na y ay min = -16/(3√3) ≈ -3.

Tukuyin natin ang mga intersection point ng graph gamit ang mga coordinate axes:

kung x \u003d 0, pagkatapos ay y \u003d 0, na nangangahulugan na ang A (0; 0) ay ang punto ng intersection sa Oy axis;

kung y \u003d 0, pagkatapos x 3 - 4x \u003d 0 o x (x 2 - 4) \u003d 0, o x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, mula sa kung saan x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (hindi angkop, dahil x ≥ 0).

Ang mga puntos na A(0; 0) at B(2; 0) ay ang mga intersection point ng graph na may Ox axis.

Ang mga ibinigay na linya ay bumubuo sa OAB figure, na ipinapakita sa pamamagitan ng pagpisa sa kanin. 4.

Dahil ang function na y \u003d x 3 - 4x ay tumatagal sa (0; 2) isang negatibong halaga, kung gayon

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Mayroon kaming: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, mula sa kung saan S \u003d 4 metro kuwadrado. mga yunit

Sagot: S = 4 sq. mga yunit

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng figure na nakatali sa parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, ang mga tuwid na linya x \u003d 0, y \u003d 0 at ang tangent sa parabola na ito sa punto na may abscissa x 0 \u003d 2.

Desisyon.

Una, binubuo namin ang equation ng tangent sa parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 sa punto na may abscissa x₀ \u003d 2.

Dahil ang derivative y' = 4x - 2, kung gayon para sa x 0 = 2 makuha namin ang k = y'(2) = 6.

Hanapin ang ordinate ng touch point: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Samakatuwid, ang tangent equation ay may anyo: y - 5 \u003d 6 (x - 2) o y \u003d 6x - 7.

Bumuo tayo ng figure na may hangganan ng mga linya:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Mga punto ng intersection na may mga coordinate axes: A(0; 1) - na may Oy axis; kasama ang Ox axis - walang mga intersection point, dahil ang equation na 2x 2 - 2x + 1 = 0 ay walang mga solusyon (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, iyon ay, ang vertex ng parabola point B ay may mga coordinate B (1/2; 1/2).

Kaya, ang figure na ang lugar ay upang matukoy ay ipinapakita sa pamamagitan ng pagpisa sa kanin. 5.

Mayroon kaming: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Hanapin ang mga coordinate ng point D mula sa kundisyon:

6x - 7 = 0, ibig sabihin. x \u003d 7/6, pagkatapos ay DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Nahanap namin ang lugar ng tatsulok na DBC gamit ang formula S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. kaya,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. mga yunit

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (mga parisukat na yunit).

Sa wakas makuha namin ang: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. units).

Sagot: S = 1 1/4 sq. mga yunit

Sinuri namin ang mga halimbawa paghahanap ng mga lugar ng mga figure na nakatali sa mga ibinigay na linya. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kailangan mong makabuo ng mga linya at mga graph ng mga function sa isang eroplano, hanapin ang mga punto ng intersection ng mga linya, ilapat ang formula para sa paghahanap ng lugar, na nagpapahiwatig ng kakayahan at kasanayan upang makalkula ang ilang mga integral.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Kahulugan. Ang pagkakaiba F (b) - F (a) ay tinatawag na integral ng function na f (x) sa segment [ a ; b ] at isinasaad bilang sumusunod: = F (b) - F (a) - ang formula ng Newton-Leibniz.

Ang geometriko na kahulugan ng integral.

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng tuluy-tuloy na positibong graph sa pagitan [ a ; b ] ng function na f (x), ang Ox axis at ang mga tuwid na linya x=a at x=b:

Pagkalkula ng mga lugar gamit ang integral.

1. Ang lugar ng figure na nililimitahan ng isang graph ng tuloy-tuloy na negatibo sa pagitan [ a ; b ] ng function na f (x), ang Ox axis at ang mga tuwid na linya x=a at x=b:

2. Ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga graph ng tuluy-tuloy na function f (x), at mga tuwid na linya x \u003d a, x \u003d b:

3. Ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga graph ng tuluy-tuloy na function f (x) at:

4. Ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga graph ng tuluy-tuloy na function f (x) at ang Ox axis:

Mga gawain at pagsubok sa paksang "Integral. Pagkalkula ng mga lugar gamit ang integral"

• integral

  Aralin: 4 Takdang-Aralin: 13 Pagsusulit: 1

• Pagkalkula ng mga lugar gamit ang mga integral - Antiderivative at integral Grade 11

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 10 Pagsusulit: 1

• antiderivative - Antiderivative at integral Grade 11

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 11 Pagsusulit: 1

• Planimetry: pagkalkula ng mga haba at lugar

  Mga Gawain: 7

• Mga kalkulasyon at pagbabago - Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika

  Mga Gawain: 10

Bago mo simulan ang pagkalkula ng lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga ibinigay na linya, subukang iguhit ang figure na ito sa isang coordinate system. Ito ay lubos na mapadali ang solusyon sa problema.

Ang pag-aaral ng mga teoretikal na materyales sa paksang ito ay nagbibigay sa iyo ng pagkakataon na makabisado ang mga konsepto ng antiderivative at integral, alamin ang ugnayan sa pagitan ng mga ito, master ang pinakasimpleng pamamaraan ng integral calculus, alamin kung paano ilapat ang integral sa pagkalkula ng mga lugar ng mga figure na limitado ng function mga graph.

Mga halimbawa.

1. Kalkulahin ang integral

Desisyon:

Sagot: 0.

2. Hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

a) f(x) = 2 X – X 2 at x-axis

Desisyon: Graph ng function f (x) \u003d 2x - x 2 parabola. Vertex: (1; 1).

Sagot:(sq. units).